江苏省苏州市中考数学试卷含解析

江苏省苏州市中考数学试卷含解析

‎2014年江苏省苏州市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2014•苏州）（﹣3）×3的结果是（　　）‎ A．﹣9B．0C．9D．﹣6‎ ‎2．（3分）（2014•苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（　　）‎ A．30°B．60°C．70°D．150°‎ ‎3．（3分）（2014•苏州）有一组数据：1，3，3，4，5，这组数据的众数为（　　）‎ A．1B．3C．4D．5‎ ‎4．（3分）（2014•苏州）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x≤﹣4B．x≥﹣4C．x≤4D．x≥4‎ ‎5．（3分）（2014•苏州）如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（　　）‎ A．B．C．D．‎ ‎6．（3分）（2014•苏州）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（　　）‎ A．30°B．40°C．45°D．60°‎ ‎7．（3分）（2014•苏州）下列关于x的方程有实数根的是（　　）‎ A．x2﹣x+1=0B．x2+x+1=0C．（x﹣1）（x+2）=0D．（x﹣1）2+1=0‎ ‎8．（3分）（2014•苏州）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（　　）‎ A．﹣3B．﹣1C．2D．5‎ ‎9．（3分）（2014•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（　　）‎ A．4kmB．2kmC．2kmD．（+1）km ‎10．（3分）（2014•苏州）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（　　）‎ A．（，）B．（，）C．（，）D．（，4）‎ ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11．（3分）（2014•苏州）的倒数是　　　　　　．‎ ‎12．（3分）（2014•苏州）已知地球的表面积约为510000000km2，数510000000用科学记数法可表示为　　　　　　．‎ ‎13．（3分）（2014•苏州）已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长为　　　　　　．‎ ‎14．（3分）（2014•苏州）某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解各门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，由此可以估计选修C课程的学生有　　　　　　人．‎ ‎15．（3分）（2014•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=　　　　　　．‎ ‎16．（3分）（2014•苏州）某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，则（x+y）的值为　　　　　　．‎ ‎17．（3分）（2014•苏州）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为　　　　　　．‎ ‎18．（3分）（2014•苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共11小题，共76分）‎ ‎19．（5分）（2014•苏州）计算：22+|﹣1|﹣．‎ ‎20．（5分）（2014•苏州）解不等式组：．‎ ‎21．（5分）（2015•东莞）先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．‎ ‎22．（6分）（2014•苏州）解分式方程：+=3．‎ ‎23．（6分）（2014•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．‎ ‎（1）求证：△BCD≌△FCE；‎ ‎（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．‎ ‎24．（7分）（2014•苏州）如图，已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）若OB=CD，求a的值．‎ ‎25．（7分）（2014•苏州）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A、B、C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A、C两个区域所涂颜色不相同的概率．‎ ‎26．（8分）（2014•苏州）如图，已知函数y=（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．‎ ‎（1）求△OCD的面积；‎ ‎（2）当BE=AC时，求CE的长．‎ ‎27．（8分）（2014•苏州）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．‎ ‎（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；‎ ‎（2）求证：BF=BD；‎ ‎（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．‎ ‎28．（9分）（2014•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）‎ ‎（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为　　　　　　°；‎ ‎（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；‎ ‎（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．‎ ‎29．（10分）（2014•苏州）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．‎ ‎（1）用含m的代数式表示a；‎ ‎（2）求证：为定值；‎ ‎（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2014年江苏省苏州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2014•苏州）（﹣3）×3的结果是（　　）‎ A．﹣9B．0C．9D．﹣6‎ ‎【解答】解：原式=﹣3×3=﹣9，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2014•苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（　　）‎ A．30°B．60°C．70°D．150°‎ ‎【解答】解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α=30°，‎ ‎∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2014•苏州）有一组数据：1，3，3，4，5，这组数据的众数为（　　）‎ A．1B．3C．4D．5‎ ‎【解答】解：这组数据中3出现的次数最多，‎ 故众数为3．‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．（3分）（2014•苏州）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ A．x≤﹣4B．x≥﹣4C．x≤4D．x≥4‎ ‎【解答】解：依题意知，x﹣4≥0，‎ 解得x≥4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2014•苏州）如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（　　）‎ A．B．C．D．‎ ‎【解答】解：设圆的面积为6，‎ ‎∵圆被分成6个相同扇形，‎ ‎∴每个扇形的面积为1，‎ ‎∴阴影区域的面积为4，‎ ‎∴指针指向阴影区域的概率==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2014•苏州）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（　　）‎ A．30°B．40°C．45°D．60°‎ ‎【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，‎ ‎∴∠B=∠ADB=80°，‎ ‎∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，‎ ‎∵AD=CD，‎ ‎∴∠C===40°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2014•苏州）下列关于x的方程有实数根的是（　　）‎ A．x2﹣x+1=0B．x2+x+1=0C．（x﹣1）（x+2）=0D．（x﹣1）2+1=0‎ ‎【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；‎ B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；‎ C、x﹣1=0或x+2=0，则x1=1，x2=﹣2，所以C选项正确；‎ D、（x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2014•苏州）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（　　）‎ A．﹣3B．﹣1C．2D．5‎ ‎【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），‎ ‎∴a+b﹣1=1，‎ ‎∴a+b=2，‎ ‎∴1﹣a﹣b=1﹣（a+b）=1﹣2=﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2014•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（　　）‎ A．4kmB．2kmC．2kmD．（+1）km ‎【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．‎ 在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，‎ ‎∴AD=OA=2．‎ 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，‎ ‎∴BD=AD=2，‎ ‎∴AB=AD=2．‎ 即该船航行的距离（即AB的长）为2km．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2014•苏州）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（　　）‎ A．（，）B．（，）C．（，）D．（，4）‎ ‎【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，‎ ‎∵A（2，），‎ ‎∴OC=2，AC=，‎ 由勾股定理得，OA===3，‎ ‎∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，‎ ‎∴OB=2OC=2×2=4，‎ 由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，‎ ‎∴O′D=4×=，‎ BD=4×=，‎ ‎∴OD=OB+BD=4+=，‎ ‎∴点O′的坐标为（，）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11．（3分）（2014•苏州）的倒数是　　．‎ ‎【解答】解：的倒数是，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2014•苏州）已知地球的表面积约为510000000km2，数510000000用科学记数法可表示为　5.1×108　．‎ ‎【解答】解：510 000 000=5.1×108．‎ 故答案为：5.1×108．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2014•苏州）已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长为　4　．‎ ‎【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC=，‎ ‎∴边长AB=÷=1，‎ ‎∴正方形ABCD的周长=4×1=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2014•苏州）某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解各门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，由此可以估计选修C课程的学生有　240　人．‎ ‎【解答】解：C占样本的比例，‎ C占总体的比例是，‎ 选修C课程的学生有1200×=240（人），‎ 故答案为：240．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2014•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=　　．‎ ‎【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，‎ ‎∵AB=AC=5，‎ ‎∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，‎ ‎∵∠BPC=∠BAC，‎ ‎∴∠BPC=∠BAE．‎ 在Rt△BAE中，由勾股定理得 AE=，‎ ‎∴tan∠BPC=tan∠BAE=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2014•苏州）某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，则（x+y）的值为　20　．‎ ‎【解答】解：设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，由题意，得 ‎，‎ 解得：．‎ ‎∴x+y=20．‎ 故答案为：20．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2014•苏州）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为　5　．‎ ‎【解答】解：如图，连接BE，则BE=BC．‎ 设AB=3x，BC=5x，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB=CD=3x，AD=BC=5x，∠A=90°，‎ 由勾股定理得：AE=4x，‎ 则DE=5x﹣4x=x，‎ ‎∵AE•ED=，‎ ‎∴4x•x=，‎ 解得：x=（负数舍去），‎ 则AB=3x=，BC=5x=，‎ ‎∴矩形ABCD的面积是AB×BC=×=5，‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2014•苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是　2　．‎ ‎【解答】解：如图，作直径AC，连接CP，‎ ‎∴∠CPA=90°，‎ ‎∵AB是切线，‎ ‎∴CA⊥AB，‎ ‎∵PB⊥l，‎ ‎∴AC∥PB，‎ ‎∴∠CAP=∠APB，‎ ‎∴△APC∽△PBA，‎ ‎∴，‎ ‎∵PA=x，PB=y，半径为4，‎ ‎∴=，‎ ‎∴y=x2，‎ ‎∴x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，‎ 当x=4时，x﹣y有最大值是2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 三、解答题（共11小题，共76分）‎ ‎19．（5分）（2014•苏州）计算：22+|﹣1|﹣．‎ ‎【解答】解：原式=4+1﹣2=3．‎ ‎　‎ ‎20．（5分）（2014•苏州）解不等式组：．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得：x＞3；由②得：x≤4，‎ 则不等式组的解集为3＜x≤4．‎ ‎　‎ ‎21．（5分）（2015•东莞）先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=÷（+）‎ ‎=÷‎ ‎=×‎ ‎=，‎ 把，代入原式====．‎ ‎　‎ ‎22．（6分）（2014•苏州）解分式方程：+=3．‎ ‎【解答】解：去分母得：x﹣2=3x﹣3，‎ 解得：x=，‎ 经检验x=是分式方程的解．‎ ‎　‎ ‎23．（6分）（2014•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．‎ ‎（1）求证：△BCD≌△FCE；‎ ‎（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．‎ ‎【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，‎ ‎∴CD=CE，∠DCE=90°，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，‎ 在△BCD和△FCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCD≌△FCE（SAS）．‎ ‎（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，‎ ‎∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，‎ ‎∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，‎ ‎∵EF∥CD，‎ ‎∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，‎ ‎∴∠BDC=90°．‎ ‎　‎ ‎24．（7分）（2014•苏州）如图，已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）若OB=CD，求a的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，‎ ‎∴点M的坐标为（2，2），‎ 把M（2，2）代入y=﹣x+b得﹣1+b=2，解得b=3，‎ ‎∴一次函数的解析式为y=﹣x+3，‎ 把y=0代入y=﹣x+3得﹣x+3=0，解得x=6，‎ ‎∴A点坐标为（6，0）；‎ ‎（2）把x=0代入y=﹣x+3得y=3，‎ ‎∴B点坐标为（0，3），‎ ‎∵CD=OB，‎ ‎∴CD=3，‎ ‎∵PC⊥x轴，‎ ‎∴C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a）‎ ‎∴a﹣（﹣a+3）=3，‎ ‎∴a=4．‎ ‎　‎ ‎25．（7分）（2014•苏州）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A、B、C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A、C两个区域所涂颜色不相同的概率．‎ ‎【解答】解：画树状图，如图所示：‎ 所有等可能的情况8种，其中A、C两个区域所涂颜色不相同的有4种，‎ 则P=．‎ ‎　‎ ‎26．（8分）（2014•苏州）如图，已知函数y=（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．‎ ‎（1）求△OCD的面积；‎ ‎（2）当BE=AC时，求CE的长．‎ ‎【解答】解；（1）y=（x＞0）的图象经过点A（1，2），‎ ‎∴k=2．‎ ‎∵AC∥y轴，AC=1，‎ ‎∴点C的坐标为（1，1）．‎ ‎∵CD∥x轴，点D在函数图象上，‎ ‎∴点D的坐标为（2，1）．‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵BE=，‎ ‎∴．‎ ‎∵BE⊥CD，‎ 点B的纵坐标=2﹣=，‎ 由反比例函数y=，‎ 点B的横坐标x=2÷=，‎ ‎∴点B的横坐标是，纵坐标是．‎ ‎∴CE=．‎ ‎　‎ ‎27．（8分）（2014•苏州）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．‎ ‎（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；‎ ‎（2）求证：BF=BD；‎ ‎（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．‎ ‎【解答】（1）解：连接OB，OD，‎ ‎∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，‎ ‎∴∠BOD=360°﹣240°=120°，‎ ‎∵⊙O的半径为3，‎ ‎∴劣弧的长为：×π×3=2π；‎ ‎（2）证明：连接AC，‎ ‎∵AB=BE，∴点B为AE的中点，‎ ‎∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，‎ ‎∴BF=AC，‎ ‎∵=，‎ ‎∴+=+，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BD=AC，‎ ‎∴BF=BD；‎ ‎（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，‎ ‎∵BF为△EAC的中位线，‎ ‎∴BF∥AC，‎ ‎∴∠FBE=∠CAE，‎ ‎∵=，‎ ‎∴∠CAB=∠DBA，‎ ‎∵由作法可知BP⊥AE，‎ ‎∴∠GBP=∠FBP，‎ ‎∵G为BD的中点，‎ ‎∴BG=BD，‎ ‎∴BG=BF，‎ 在△PBG和△PBF中，‎ ‎，‎ ‎∴△PBG≌△PBF（SAS），‎ ‎∴PG=PF．‎ ‎　‎ ‎28．（9分）（2014•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）‎ ‎（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为　105　°；‎ ‎（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；‎ ‎（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．‎ ‎【解答】解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，‎ ‎∴∠OAD=45°，‎ ‎∵AB=4cm，AD=4cm，‎ ‎∴CD=4cm，‎ ‎∴tan∠DAC===，‎ ‎∴∠DAC=60°，‎ ‎∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，‎ 故答案为：105；‎ ‎（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，‎ 连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，‎ 在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，‎ ‎∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，‎ 在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，‎ ‎∴A1E==，‎ ‎∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，‎ ‎∴t﹣2=，‎ ‎∴t=+2，‎ ‎∴OO1=3t=2+6；‎ ‎（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，‎ 如图位置一，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，‎ 设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，‎ ‎∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，‎ 由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，‎ ‎∴∠O2A2F=60°，‎ 在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，‎ ‎∵OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+，‎ ‎∴4t1+﹣3t1=2，‎ ‎∴t1=2﹣，‎ ‎②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，‎ 记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，‎ 由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，‎ ‎∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），‎ 解得：t2=2+2，‎ 综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．‎ ‎　‎ ‎29．（10分）（2014•苏州）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．‎ ‎（1）用含m的代数式表示a；‎ ‎（2）求证：为定值；‎ ‎（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】（1）解：将C（0，﹣3）代入二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2），‎ 则﹣3=a（0﹣0﹣3m2），‎ 解得 a=．‎ ‎（2）方法一：‎ 证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．‎ 由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，‎ 解得 x1=﹣m，x2=3m，‎ 则 A（﹣m，0），B（3m，0）．‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴D点的纵坐标为﹣3，‎ 又∵D点在抛物线上，‎ ‎∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为（2m，﹣3）．‎ ‎∵AB平分∠DAE，‎ ‎∴∠DAM=∠EAN，‎ ‎∵∠DMA=∠ENA=90°，‎ ‎∴△ADM∽△AEN．‎ ‎∴==．‎ 设E坐标为（x，），‎ ‎∴=，‎ ‎∴x=4m，‎ ‎∴E（4m，5），‎ ‎∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，‎ ‎∴==，即为定值．‎ 方法二：‎ 过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N，‎ ‎∵a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，‎ ‎∴x1=﹣m，x2=3m，‎ 则A（﹣m，0），B（3m，0），‎ ‎∵CD∥AB，∴D点的纵坐标为﹣3，∴D（2m，﹣3），‎ ‎∵AB平分∠DAE，∴KAD+KAE=0，‎ ‎∵A（﹣m，0），D（2m，﹣3），‎ ‎∴KAD==﹣，∴KAE=，‎ ‎∴⇒x2﹣3mx﹣4m2=0，‎ ‎∴x1=﹣m（舍），x2=4m，∴E（4m，5），‎ ‎∵∠DAM=∠EAN=90°‎ ‎∴△ADM∽△AEN，‎ ‎∴，‎ ‎∵DM=3，EN=5，‎ ‎∴．‎ ‎（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH⊥x轴于点H．‎ 连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．‎ ‎∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，‎ ‎∵OC=3，HF=4，OH=m，‎ ‎∴OG=3m．‎ ‎∵GF===4，‎ ‎ AD===3，‎ ‎∴=．‎ ‎∵=，‎ ‎∴AD：GF：AE=3：4：5，‎ ‎∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；wdzyzlhx；caicl；dbz1018；sjzx；CJX；gsls；星期八；HJJ；hdq123；zjx111；wkd；sks；gbl210；wd1899；sd2011；SPIDER（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2016年7月19日