中考数学分类解析套专题专题矩形菱形正方形

中考数学分类解析套专题专题矩形菱形正方形

‎2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）‎ 专题44：矩形、菱形、正方形 一、选择题 ‎1. （2012天津市3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为【 】‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】正方形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DM=DE，所以可以求出DE，从而得到DG的长：∵四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，∴DM=DC=1。‎ ‎∴。∴ME=MC= 。∴ED=EM－DM=。‎ ‎∵四边形EDGF是正方形，∴DG=DE= 。故选D。‎ ‎2. （2012安徽省4分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为【 】‎ A.2 B. 3 C. 4 D.5‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质。‎ ‎【分析】图案中间的阴影部分是正方形，面积是，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算：‎ ‎。故选A。‎ ‎3. （2012山西省2分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是【 】‎ ‎　 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】菱形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=，AO⊥BO，‎ ‎∴。∴。‎ 又∵，∴BC·AE=24，即。故选D。‎ ‎4. （2012陕西省3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=1300，则∠AOE的大小为【 】‎ A．75° B．65° C．55° D．50°‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】菱形的性质，直角三角形两锐角的关系。‎ ‎【分析】根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可：‎ 在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°－130°=50°。∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°。‎ ‎∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°－∠BAO=90°－25°=65°。故选B。‎ ‎5. （2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】‎ ‎　 A． 1 B． C． 2 D．＋1‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】分两步分析：‎ ‎ （1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。‎ ‎ 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 ‎ P1K1 = P K1，P1K=PK。‎ ‎ 由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。‎ ‎ ∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。‎ ‎ （2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。‎ ‎ 因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。‎ ‎ 过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。‎ ‎ 又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。‎ ‎ 综上所述，PK+QK的最小值为。故选B。‎ ‎6. （2012江苏南通3分）如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120º，则AB的长为【】‎ A．cmB．2cmC．2cmD．4cm ‎【答案】D。‎ ‎【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，‎ ‎∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°－120°=60°。∴△AOB是等边三角形。‎ ‎∴AB=AO=4cm。故选D。‎ ‎7. （2012江苏苏州3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，‎ 则四边形CODE的周长是【 】‎ A.4 B.6 C.8 D. 10‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】矩形的性质，菱形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形。‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD。∴OD=OC=AC=2。‎ ‎∴四边形CODE是菱形。∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8。故选C。‎ ‎8. （2012江苏徐州3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC。图中相似三角形共有【 】‎ A．1对 B．2对 C．3对D．4对 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定。‎ ‎【分析】根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定：‎ ‎ 同已知，设CF=a，则CE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a。‎ ‎ 根据勾股定理，得EF=，AE=，AF=5a。‎ ‎ ∴。‎ ‎∴△CEF∽△DEA，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EAF。共有3对相似三角形。故选C。‎ ‎9. （2012福建宁德4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD 的各边上，EF∥HG，EH∥FG，则四边形EFGH的周长是【 】‎ A． B． C．2 D．2 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】矩形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∴。‎ ‎ 又∵点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥HG，EH∥FG，‎ ‎ ∴不妨取特例，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边的中点，满足EF∥HG，EH∥FG。‎ ‎ ∴CG=ｘ，CF=，∴FG=。∴四边形EFGH的周长是。故选D。‎ ‎ 对于一般情况，可设CG=ｘ，则CF=ｘ，DG=2－ｘ，BF=3－ｘ。‎ ‎ 由△CFG∽△CBD得，即，∴。‎ ‎ 由△BEF∽△BAC得，即，∴。‎ ‎ ∴四边形EFGH的周长是2（EF＋EG）=。故选D。‎ ‎10. （2012福建厦门3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于【 】‎ A．40° B．50° C．80° D．100°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】菱形的性质，平行的性质。‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠BAD，CB∥AD。‎ ‎∵∠BAC=50°，∴∠BAD=100°。‎ ‎∵CB∥AD，∴∠ABC+∠BAD=180°。‎ ‎∴∠ABC=180°－100°=80°。故选C。‎ ‎11. （2012湖北宜昌3分）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于【 】‎ A．20 B．15 C．10 D．5‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质。1419956‎ ‎【分析】∵ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴∠B=60°，BA=BC。‎ ‎∴△ABC是等边三角形。∴△ABC的周长=3AB=15。故选B。‎ ‎12. （2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【 】‎ A． B．2 C．3 D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】如图，设BF、CE相交于点M，‎ ‎∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，‎ ‎∴△BCM∽△BGF，∴，即。‎ 解得CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8。‎ ‎∵∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°。‎ ‎∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°=2×，‎ 菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3×。‎ ‎∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM=×0.8×+×0.8×。故选A。‎ ‎13. （2012湖北黄冈3分）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是【 】‎ A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形 ‎【答案】 C。‎ ‎【考点】矩形的性质，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，‎ 根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG。‎ ‎∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD。‎ 故选C。‎ ‎14. （2012湖北孝感3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60º，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF 相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论，其中正确的有【 】‎ ‎①∠BGD＝120º；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质 三角形三边关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】∵在菱形ABCD中，∠A＝60º，∴∠BCD＝60º，∠ADC＝120º，AB=AD。‎ ‎ ∴△ABD是等边三角形。‎ ‎ 又∵E是AB的中点，∴∠ADE＝∠BDE＝30º。∴∠CDG＝90º。同理，∠CBG＝90º。‎ ‎ 在四边形BCDG中，∠CDG＋∠CBG＋∠BCD＋∠BGD=3600，∴∠BGD＝120º。故结论①正确。‎ ‎ 由HL可得△BCG≌△DCG，∴∠BCG＝∠DCG＝30º。∴BG=DG=CG。‎ ‎ ∴BG＋DG＝CG。故结论②正确。‎ ‎ 在△BDG中，BG＋DG＞BD，即CG＞BD，∴△BDF≌△CGB不成立。故结论③不正确。‎ ‎ ∵DE=ADsin∠A=ABsin60º=AB，‎ ‎∴。故结论④正确。‎ 综上所述，正确的结论有①②④三个。故选C。‎ ‎15. （2012湖北襄阳3分）如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是【 】‎ A．△AED≌△BFA B．DE﹣BF=EF C．△BGF∽△DAE D．DE﹣BG=FG ‎【答案】D。‎ ‎【考点】正方形的性质，直角三角形两锐角的关系，全等、相似三角形的判定和性质，完全平方公式，勾股定理。‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，AD∥BC，‎ ‎∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG。∴∠AED=∠DEF=∠BFE=90°。‎ ‎∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE。‎ ‎∴△AED≌△BFA（AAS）。故结论A正确。‎ ‎∴DE=AF，AE=BF，∴DE﹣BF=AF﹣AE=EF。故结论B正确。‎ ‎∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BGF。‎ ‎∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠GFB=90°。∴△BGF∽△DAE。故结论C正确。‎ 由△ABF∽△AGB得，即。‎ 由勾股定理得，。‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎∵（只有当∠BAG=300时才相等，由于G是的任意一点，∠BAG=300不一定），‎ ‎∴不一定等于，即DE﹣BG=FG不一定成立。故结论D不正确。故选D。　‎ ‎16. （2012湖南长沙3分）下列四边形中，两条对角线一定不相等的是【 】‎ A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．直角梯形 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】正方形、矩形、等腰梯形和直角梯形的性质 ‎【分析】根据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线一定相等，只有直角梯形的对角线一定不相等。故选D。‎ ‎17. （2012湖南长沙3分）已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为【 】‎ A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm ‎【答案】C。‎ ‎【考点】菱形的性质，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，CD=AD=6cm，‎ ‎∵OE∥DC，∴OE是△BCD的中位线。∴OE=CD=3cm。故选C。‎ ‎18. （2012湖南张家界3分）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是【 】‎ ‎　 A． 正方形 B． 矩形 C． 菱形 D． 等腰梯形 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】矩形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定。‎ ‎【分析】如图，连接AC．BD，‎ 在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=BD。‎ 同理FG=BD，HG=AC，EF=AC。‎ 又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE。‎ ‎∴四边形EFGH为菱形。故选C。‎ ‎19. （2012四川成都3分）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是【 】A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC ‎【答案】B。‎ ‎【考点】菱形的性质。‎ ‎【分析】根据菱形的性质作答：‎ A、菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确；‎ B、菱形的对角线不一定相等，故本选项错误；‎ C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故本选项正确；‎ D、菱形的对角线互相平分，OA=OC，故本选项正确。‎ 故选B。‎ ‎20. （2012四川自贡3分）如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD．DF，则图中全等的直角三角形共有【 】‎ ‎　 A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】矩形的性质，直角三角形全等的判定。‎ ‎【分析】根据矩形的性质和直角三角形全等的判定，图中全等的直角三角形有：△AED≌△FEC，△BDC≌△FDC≌△DBA，共4对。故选B。‎ ‎21. （2012四川泸州2分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC = 6，BD = 4，则菱形的周长是【 】‎ A、24 B、16 C、 D、‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】菱形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=2，AB=BC=CD=AD。‎ ‎∴在Rt△AOB中，。‎ ‎∴菱形的周长是：4AB=4。故选C。‎ ‎22. （2012四川泸州2分）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE 交DC于点F，连接AF。设，下列结论：‎ ‎    (1)△ABE∽△ECF，(2)AE平分∠BAF，(3)当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是【 】‎ A、(1)(2)(3) B、(1)(3) C、(1) (2) D、(2)(3)‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，正方形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°。∴∠BAE+∠AEB=90°。‎ ‎∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC=90°。∴∠BAE=∠FEC。∴△ABE∽△ECF。故（1）正确。‎ ‎（2）∵△ABE∽△ECF，∴.‎ ‎∵E是BC的中点，∴BE=EC。∴。‎ 在Rt△ABE中，tan∠BAE= ，‎ 在Rt△AEF中，tan∠EAF= ，‎ ‎∴tan∠BAE=tan∠EAF。∴∠BAE=∠EAF。∴AE平分∠BAF。故（2）正确。 （3）∵当k=1时，即,∴AB=AD。∴四边形ABCD是正方形。‎ ‎∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD。‎ ‎∵△ABE∽△ECF，∴。‎ ‎∴CF=CD。∴DF=CD。∴AB：AD=1，BE：DF=2：3.‎ ‎∴△ABE与△ADF不相似。故（3）错误。‎ 故选C。‎ ‎23. （2012辽宁本溪3分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点 D作AC 的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为【 】‎ ‎ A、22 B、24 C、48 D、44‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理和逆定理。‎ ‎【分析】∵AD∥BE，AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形。∴AC=DE=6。‎ 在Rt△BCO中，，∴BD=8。‎ 又∵BE=BC+CE=BC+AD=10，∴。‎ ‎∴△BDE是直角三角形。∴。故选B。‎ ‎24. （2012辽宁大连3分）如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长为【 】‎ ‎  A.20   B.24   C.28   D.40‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】菱形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】设AC与BD相交于点O，‎ ‎ 由AC＝8，BD＝6，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，得AO=4，BO=3，∠AOB=900。‎ ‎ 在Rt△AOB中，根据勾股定理，得AB=5。‎ ‎ 根据菱形四边相等的性质，得AB=BC=CD=DA=5。‎ ‎ ∴菱形的周长为5×4=20。故选A。‎ ‎25. （2012辽宁丹东3分）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于【 】‎ A.3cmB.4cm C.2.5cm D.2cm ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】菱形的性质，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】∵菱形ABCD的周长为24cm，∴边长AB=24÷4=6cm。‎ ‎∵对角线AC、BD相交于O点，∴BO=DO。‎ 又∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线。∴OE=AB=×6=3（cm）。故选A。‎ ‎26. （2012辽宁丹东3分）如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.‎ 下列结论：‎ ‎①∠DOC=90° , ②OC=OE， ③tan∠OCD = ，④ 中，正确的有【 】‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，反证法，线段垂直平分线的性质，三角形边角关系，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°。‎ ‎∵AE=BF=1，∴BE=CF=4－1=3。‎ 在△EBC和△FCD中，∵BC=CD，∠B=∠DCF，BE=CF，∴△EBC≌△FCD（SAS）。‎ ‎∴∠CFD=∠BEC。∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°。‎ ‎∴∠DOC=90°。故①正确。‎ 如图，若OC=OE，∵DF⊥EC，∴CD=DE。‎ ‎∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误。‎ ‎∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC。‎ ‎∴tan∠OCD=tan∠DFC=。故③正确。‎ ‎∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD。‎ ‎∴S△EBC－S△FOC=S△FCD－S－，即S△ODC=S四边形BEOF。故④正确。故选C。‎ ‎27. （2012贵州毕节3分）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作。若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是【 】‎ ‎（参考数据：，π取3.14）‎ A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.36‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。‎ ‎【分析】由图知，。因此，由已知，根据正方形、等边三角形的性质和勾股定理，可得等边△AEF的边长为2，高为；Rt△AEF的两直角边长为；扇形AEF的半径为2圆心角为600。‎ ‎ ∴。故选A。‎ ‎28. （2012贵州黔南4分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是【 】‎ A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD ‎【答案】D。‎ ‎【考点】矩形的判定。‎ ‎【分析】已知四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等或一个角是直角即可，即D正确。而A、B两选项为平行四边形本身具有“对边相等”的性质，C选项添加后ABCD为菱形，运用排除法也知D正确。故选D。‎ ‎29. （2012山东枣庄3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为【 】‎ A、14 B、16 C、20 D、28 ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】平移的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】由勾股定理，得AB=，将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，‎ ‎∴五个小矩形的周长之和=2（AB+CD）=2×（6+8）=28。故选D。‎ ‎30. （2012山东滨州3分）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为【 】‎ ‎　　A．3：1　　B．4：1　　C．5：1　　D．6：1‎ ‎【答案】 C。‎ ‎【考点】菱形的性质；含30度角的直角三角形的性质。‎ ‎【分析】如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1。故选C。‎ ‎31. （2012山东日照3分）在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F， 若EC=2BE，则 的值是【 】‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】如图，∵在菱形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，‎ ‎∴△BEF∽△DAF，∴。‎ 又∵EC=2BE，∴BC=3BE，即AD=3BE。‎ ‎∴。故选B。‎ ‎32.（2012山东泰安3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为【 】‎ ‎　　A．3　　B．3.5　　C．2.5　　D．2.8‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE。‎ 设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x。，‎ 在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x 2=22+（4－x）2 ，解得x=2.5，即CE的长为2.5。‎ 故选C。‎ ‎33. （2012山东威海3分）如图，在ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线。添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是【 】‎ A.AE=AF B.EF⊥AC C.∠B=600 D.AC是∠EAF的平分线 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】平行四边形的判定和性质，平行的判定和性质，角平分线的定义，菱形的判定。‎ ‎【分析】根据菱形的判定逐一作出判断：‎ ‎ 由已知在ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，根据平行四边形和平行的判定和性质可判断四边形AECF是平行四边形。因此，‎ ‎ A. 添加AE=AF，可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定得出四边形AECF是菱形。‎ ‎ B. 添加EF⊥AC，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得出四边形AECF是菱形。‎ ‎ C. 添加∠B=600 ，不能判定四边形AECF是菱形。‎ D. 添加AC是∠EAF的平分线，根据角平分线的定义和平行的性质，可得出∠EAC=∠ECA，从而根据等腰三角形等角对等边的判定得AE=CE。因此，可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定得出四边形AECF是菱形。‎ 故选C。‎ ‎34. （2012广西贵港3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C＝90°，AD＝5，BC＝9，以A为 中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，则△ADE的面积等于【　　】‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质，直角梯形的性质，矩形的判定和性质，旋转的性质。‎ ‎【分析】如图，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥AD，交DA延长线于M，‎ ‎∵AD∥BC，∠C＝90°，‎ ‎∴∠C＝∠ADC＝∠ANC＝90°。∴四边形ANCD是矩形。‎ ‎∴∠DAN＝90°＝∠ANB＝∠MAN，AD＝NC＝5，AN＝CD。‎ ‎∴BN＝9－5＝4。‎ ‎∵∠M＝∠EAB＝∠MAN＝∠ANB=90°，‎ ‎∴∠EAM＋∠BAM＝90°，∠MAB＋∠NAB＝90°。∴∠EAM＝∠NAB，‎ ‎∵在△EAM和△BNA中，∠M＝∠ANB；∠EAM＝∠BAN；AE＝AB，‎ ‎∴△EAM≌△BNA（AAS）。∴EM＝BN＝4。‎ ‎∴△ADE的面积是×AD×EM＝×5×4＝10。故选A。‎ ‎35. （2012广西河池3分）用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形 ABCD是菱形的依据是【 】‎ A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】菱形的判定，作图（复杂作图）。‎ ‎【分析】由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形。故选B。‎ ‎36. （2012内蒙古包头3分）在矩形ABCD 中，点O是BC的中点，∠AOD=900，矩形ABCD 的周长为20cm，则AB 的长为【 】‎ A.1 cmB.2 cmC.cmD .cm ‎【答案】 D。‎ ‎【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定。‎ ‎【分析】∵点O是BC的中点，∴OB=0C。‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠C=900。‎ ‎∴△ABO≌△DCO（SAS）。∴∠AOB=∠DOC。‎ ‎∵∠AOD=900，∴∠AOB=∠DOC=450。∴AB=OB。‎ ‎∵矩形ABCD 的周长为20cm，∴AB=cm。故选D。37. （2012黑龙江牡丹江3分）如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，‎ 且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=1200，③AH+CH=DH，④AD 2=OD·DH中，正确的是【 】．‎ A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，四点共圆的判定，圆周角定理。‎ ‎【分析】∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ABC是等边三角形。∴∠B=∠EAC=600。‎ ‎ 又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS）。结论①正确。‎ ‎∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF=∠ACE。‎ ‎∴∠AHC=1800－（∠ACE＋∠CAF）=1800－（∠BAF＋∠CAF）=1800－∠BAC=1800－600=1200。‎ 结论②正确。‎ 如图，在HD上截取HG=AH。‎ ‎∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ADC是等边三角形。‎ ‎∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=600。‎ 又∵∠AHC=1200，∴∠AHC＋∠ADC =1200＋600=1800。‎ ‎∴A，H，C，D四点共圆。∴∠AHD=∠ACD =600。∴△AHG是等边三角形。‎ ‎∴AH=AG，∠GAH=600。∴∠CAH=600－∠CAG=∠DAG。‎ 又∵AC=AD，∴△CAH≌△DAG（SAS）。∴CH=DG。∴AH+CH= HG+ DG =DH。结论③正确。‎ ‎∵∠AHD =∠OAD=600，∠ADH=∠ODA，△ADH∽△ODA。∴。‎ ‎∴AD 2=OD·DH。结论④正确。‎ 综上所述，正确的是①②③④。故选D。‎ 二、填空题 ‎1. （2012天津市3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】连接AE，BE，DF，CF。‎ ‎∵以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，AB=1，‎ ‎∴AB=AE=BE，∴△AEB是等边三角形。‎ ‎∴边AB上的高线为：。‎ 同理：CD边上的高线为：。‎ 延长EF交AB于N，并反向延长EF交DC于M，则E、F、M，N共线。‎ ‎∵AE=BE，∴点E在AB的垂直平分线上。‎ 同理：点F在DC的垂直平分线上。‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC。∴MN⊥AB，MN⊥DC。‎ 由正方形的对称性质，知EM=FN。‎ ‎∴EF＋2EM=AD=1，EF＋EM=，解得EF=。‎ ‎2. （2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：‎ ‎ ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3‎ ‎ ③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）.‎ ‎【答案】②④。‎ ‎【考点】矩形的性质，相似 ‎【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，‎ ‎∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，‎ ‎∴此时两三角形的高的和为AB，‎ ‎∴S1+S3=S矩形ABCD；‎ 同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。‎ ‎∴②S2+S4= S1+ S3正确，则①S1+S2=S3+S4错误。‎ 若S3=2 S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论③错误。‎ 如图，若S1=S2，则×PF×AD=×PE×AB，‎ ‎∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。‎ ‎∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形，‎ ‎∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。‎ ‎∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC，‎ 即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。‎ ‎∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。‎ 故结论④正确。‎ 综上所述，结论②和④正确。‎ ‎3. （2012宁夏区3分）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是 ▲ .‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD。‎ ‎∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形。∴BD=AB=6。‎ ‎∴菱形较短的对角线长是6。‎ ‎4. （2012广东深圳3分）如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 ▲ ．‎ ‎【答案】7。‎ ‎【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，过O作OF垂直于BC，再过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，‎ ‎∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB。‎ ‎∴∠AOM+∠BOF=90°。‎ 又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°。∴∠BOF=∠OAM。‎ 在△AOM和△BOF中，‎ ‎∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF， OA=OB，‎ ‎∴△AOM≌△BOF（AAS）。∴AM=OF，OM=FB。‎ 又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形。∴AM=CF，AC=MF=5。‎ ‎∴OF=CF。∴△OCF为等腰直角三角形。‎ ‎∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=（6）2，解得：CF=OF=6。‎ ‎∴FB=OM=OF－FM=6－5=1。∴BC=CF+BF=6+1=7。‎ ‎5. （2012广东肇庆3分）菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 ▲ ．‎ ‎【答案】20。‎ ‎【考点】菱形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可 如图，根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD。‎ ‎∴△AOB是直角三角形。‎ ‎∴。‎ ‎∴此菱形的周长为：5×4=20。‎ ‎6. （2012江苏淮安3分）菱形ABCD中，若对角线长AC＝8cm，BD=6cm，则边长AB＝ ▲ cm。‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】菱形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，由对角线长AC＝8cm，BD=6cm，得AO＝4cm，BP=3cm；‎ 在Rt△ABO中，根据勾股定理，得（cm）。‎ ‎7. （2012江苏宿迁3分）已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是 ▲ .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）‎ ‎【答案】矩形。‎ ‎【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。‎ ‎【分析】如图，连接AC，BD。‎ ‎ ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，‎ ‎∴根据三角形中位线定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF。‎ 又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900。‎ ‎∴四边形EFGH是矩形。‎ 且∵AC≠BD，∴四边形EFGH邻边不相等。‎ ‎∴四边形EFGH不可能是菱形。‎ ‎8. （2012江苏徐州2分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600。是以点A为圆心、AB长为半径的弧，是以点B为圆心、BC长为半径的弧。则阴影部分的面积为 ▲ cm2。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】如图，连接BD。‎ ‎ ∵菱形ABCD中∠A=600，‎ ‎ ∴△ABD和△BCD是边长相等的等边三角形。‎ ‎ ∴BD与围成的弓形面积等于CD与围成的弓形面积。‎ ‎∴阴影部分的面积等于△BCD的面积。‎ 由菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600得△BCD的高为2sin600=。‎ ‎∴△BCD的面积等于（cm2），即阴影部分的面积等于cm2。‎ ‎9. （2012福建宁德3分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF＝6cm，则AB＝ ▲ cm．‎ ‎【答案】12。‎ ‎【考点】菱形的性质，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】∵点E、F分别是BD、CD的中点，∴EF=BC=6。‎ ‎ ∴BC=12。‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC。‎ ‎∴AB =12。‎ ‎10. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混合运算。‎ ‎【分析】连接BE，‎ ‎∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，‎ ‎∴BE∥AM。∴△AME与△AMB同底等高。‎ ‎∴△AME的面积=△AMB的面积。‎ ‎∴当AB=n时，△AME的面积为，当AB=n－1时，△AME的面积为。‎ ‎∴当n≥2时，。‎ ‎11. （2012湖北十堰3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；．‎ ‎【分析】连接EC，AC、EF相交于点O。‎ ‎∵AC的垂直平分线EF，∴AE=EC。‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。‎ ‎∴△AOE∽△COF。∴。‎ ‎∵OA=OC，∴OE=OF，即EF=2OE。‎ 在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4－CE）2+22，解得： CE=。‎ ‎∵在Rt△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=，∴CO=。‎ ‎∵在Rt△CEO中，CO=，CE=，由勾股定理得：EO=。∴EF=2EO=。‎ ‎12. （2012湖南郴州3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，则这个菱形的边长为 ▲ ．‎ ‎13. （2012湖南衡阳3分）如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=，则菱形ABCD的面积为 ‎ ▲ cm2．‎ ‎【答案】24。‎ ‎【考点】菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】连接AC交BD于点O，则可设BO=3x，AO=4x，从而在Rt△ABO中利用勾股定理求出AB，结合菱形的周长为20cm可得出x的值，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案：‎ 连接AC交BD于点O，则AC⊥BD，AO=OC，BO=DO。‎ ‎∵tan∠ABD=，∴可设BO=3x，AO=4x，则AB=5x。‎ 又∵菱形ABCD的周长为20，∴4×5x=20，解得：x=1。‎ ‎∴AO=4，BO=3。∴AC=2AO=8，BD=2BO=6。‎ ‎∴菱形ABCD的面积为AC×BD=24（cm2）。　‎ ‎14. （2012四川宜宾3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC．BD，CE平分∠ACD交BD 于点E，则DE= ▲．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】过E作EF⊥DC于F，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD。‎ ‎∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO=EF。‎ ‎∵正方形ABCD的边长为1，∴AC=。∴CO=。‎ ‎∴CF=CO=。∴EF=DF=DC﹣CF=1﹣。‎ ‎∴。‎ ‎15. （2012四川绵阳4分）如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为▲（结果保留两位有效数字，参考数据π≈3.14）。‎ ‎【答案】1.7。‎ ‎【考点】正方形的性质，有效数字。‎ ‎【分析】由图形可知，四个半圆的面积=正方形的面积－空白部分的面积（空白部分被重叠算了1次），所以空白部分的面积=四个半圆的面积－正方形的面积=2个圆的面积－正方形的面积，则阴影部分的面积=正方形的面积－空白部分的面积，计算即可得解：‎ 空白部分的面积= 2×π×12－2×2=2π－4，‎ 阴影部分的面积=2×2－（2π－4）=8－2π≈8－2×3.14=1.72≈1.7。‎ ‎16. （2012四川凉山5分）如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、‎ BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2= ▲ 。‎ ‎【答案】36。‎ ‎【考点】三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，连接EF，FG，GH，EH，EG与FH相交于点O。‎ ‎∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线。‎ ‎∴EH= BD=3。‎ 同理可得EF=GH= AC=3，FG= BD=3。‎ ‎∴EH=EF=GH=FG=3。∴四边形EFGH为菱形。‎ ‎∴EG⊥HF，且垂足为O。∴EG=2OE，FH=2OH。‎ 在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9。‎ 等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36。 ‎ ‎∴（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36。‎ ‎17. （2012辽宁沈阳4分）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为 ▲ _cm2.‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】如图，连接BD，‎ ‎ 根据菱形四边相等和对角相等的性质，得AB=AD=CB=CD，∠C=∠A=60°，‎ ‎ ∴△ABD和△BCD是等边三角形。‎ ‎ 由DE⊥AB，DF⊥BC，根据等边三角形三线合一的性质，‎ 得AE=BE=BF=CF。‎ ‎ ∴△ADE、△BDE、△BDF和△CDF全等。∴四边形BEDF的面积=△ABD的面积。‎ ‎ 由∠A=60°，菱形ABCD的边长为8cm，得DE=4cm。‎ ‎ ∴四边形BEDF的面积=△ABD的面积=（cm2）。‎ ‎18. （2012贵州毕节5分）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形。现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是 ▲ 。‎ ‎【答案】5cm。‎ ‎【考点】菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质。‎ ‎【分析】如图，顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形；理由如下：‎ ‎∵E、F、G、H分别为各边中点，‎ ‎∴EF∥GH∥DB，EF=GH=DB，EH∥FG∥AC ，EH=FG=AC。‎ 又∵四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC。∴EF⊥EH。‎ ‎∴四边形EFGH是矩形。‎ ‎∵EH=BD=3cm，EF=AC=4cm，∴根据勾股定理，得cm。‎ ‎19. （2012贵州铜仁4分）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】正方形的性质，垂线段最短的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】如图，‎ ‎∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD。‎ ‎∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°。‎ ‎∴∠CAO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，∴∠COA=∠DOB。‎ ‎∵在△COA和△DOB中，∠OCA=∠ODB，OC=OD，∠COA=∠DOB，‎ ‎∴△COA≌△DOB（ASA）。∴OA=OB。‎ ‎∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形。‎ 由勾股定理得：。‎ ‎∴要使AB最小，只要OA取最小值即可。‎ 根据垂线段最短的性质，当OA⊥CD时，OA最小。‎ ‎∵四边形CDEF是正方形，∴FC⊥CD，OD=OF。∴CA=DA，∴OA=CF=1。‎ ‎∴AB=。‎ ‎20. （2012山东临沂3分）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= ▲ °．‎ ‎【答案】70。‎ ‎【考点】菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质。‎ ‎【分析】∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形。∴DB=DE。‎ ‎∵∠BDE=70°，∴∠ABD==55°。‎ ‎∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°。‎ 根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，‎ ‎∴∠BAC=∠BAD=35°。∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°。‎ ‎21. （2012广西玉林、防城港3分）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是 ▲ .‎ ‎【答案】30°。‎ ‎【考点】矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理。‎ ‎【分析】连接OB，‎ ‎∵CN=CO，∴OB=ON=2OC。‎ ‎∵四边形OABC是矩形，∴∠BCO=90°。‎ ‎∴。∴∠BOC=60°。‎ ‎∴∠NMB=∠BOC=30°。‎ ‎22. （2012江西省3分）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是　 ▲ 　．‎ ‎【答案】15°或165°。‎ ‎【考点】正方形和正三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】正三角形AEF可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解：‎ ‎ ①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，‎ ‎∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，‎ ‎∴AB=AD，AE=AF。‎ ‎∵当BE=DF时，在△ABE和△ADF中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，‎ ‎∴△ABE≌△ADF（SSS）。∴∠BAE=∠FAD。‎ ‎∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAD=30°。∴∠BAE=∠FAD=15°。‎ ‎②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转小于1800时，如图2，‎ 同上可得△ABE≌△ADF（SSS）。∴∠BAE=∠FAD。‎ ‎∵∠EAF=60°，∴∠BAF=∠DAE。‎ ‎∵900＋600＋∠BAF＋∠DAE=3600，∴∠BAF=∠DAE=105°。‎ ‎∴∠BAE=∠FAD=165°。‎ ‎③当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转大于1800时，如图3，‎ 同上可得△ABE≌△ADF（SSS）。∴∠BAE=∠FAD。‎ ‎∵∠EAF=60°，∠BAE=90°，‎ ‎∴90°＋∠DAE=60°＋∠DAE，这是不可能的。‎ ‎∴此时不存在BE=DF的情况。‎ 综上所述，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是15°或165°。‎ ‎23. （2012内蒙古赤峰3分）如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，E、F分别是DC．DB的中点，若EF=6，则菱形ABCD的周长是 ▲ ．‎ ‎【答案】48。‎ ‎【考点】菱形的性质，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】∵AC是菱形ABCD的对角线，E、F分别是DC．DB的中点，‎ ‎∴EF是△BCD的中位线，∴EF=BC=6。∴BC=12。‎ ‎∴菱形ABCD的周长是4×12=48。‎ ‎24. （2012黑龙江绥化3分）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为 ▲ .‎ ‎【答案】13。‎ ‎【考点】正方形的性质，直角三角形两个锐角的关系，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵ABCD是正方形（已知），∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°（正方形的性质）。‎ 又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°（直角三角形两个锐角互余），‎ ‎∴∠FBA=∠EAD（等量代换）。‎ ‎∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，‎ 在Rt△AFB和Rt△AED中，∵∠AFB=∠DEA=90°，∠FBA=∠EAD， AB=DA，‎ ‎∴△AFB≌△AED（AAS）。∴AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等）。‎ ‎∴EF=AF＋AE=DE＋BF=8＋5=13。‎ ‎25. （2012黑龙江哈尔滨3分）如图。四边形ABCD是矩形，点E在线段CB 的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】矩形的性质，平行的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。∴∠CED=∠ADE。‎ ‎ ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=900。‎ ‎ ∵点G是DF的中点，∴AG=DF=DG。∴∠CGE=2∠ADE=2∠CED。‎ ‎ 又∵∠AED=2∠CED，∴∠CGE=∠AED。∴AE=AG。‎ ‎ 又∵BE=1，AG=4，∴AE=4。‎ ‎ ∴。‎ 三、解答题 ‎1. （2012上海市12分）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．‎ ‎（1）求证：BE=DF；‎ ‎（2）当时，求证：四边形BEFG是平行四边形．‎ ‎【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，‎ ‎∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF。‎ ‎∴△BAE≌△DAF（ASA）。∴BE=DF。‎ ‎（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC。∴△ADG∽△EBG。∴。‎ 又∵BE=DF ，，∴。∴GF∥BC。‎ ‎∴∠DGF=∠DBC=∠BDC。∴DF=GF。‎ 又∵BE=DF ，∴BE=GF。∴四边形BEFG是平行四边形。‎ ‎【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定。‎ ‎【分析】（1）由菱形的性质和∠BAF=∠DAE，证得△ABF与△AFD全等后即可证得结论。‎ ‎（2）由AD∥BC证得△ADG∽△EBG，从而；由和BE=DF即可得证得。从而根据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC，进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，根据等腰三角形等角对等边的判定和BE=DF ，证得BE=GF。利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形。‎ ‎2. （2012重庆市10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．‎ ‎（1）若CE=1，求BC的长；‎ ‎（2）求证：AM=DF+ME．‎ ‎【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD。∴∠1=∠ACD。‎ ‎ ∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2。∴MC=MD。‎ ‎∵ME⊥CD，∴CD=2CE。‎ ‎∵CE=1，∴CD=2。∴BC=CD=2。‎ ‎（2）证明：∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC。∴CF=CE。‎ ‎∵在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD。‎ 在△CEM和△CFM中，∵CE=CF，∠ACB=∠ACD，CM=CM，‎ ‎∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF。‎ 延长AB交DF于点G，‎ ‎∵AB∥CD，∴∠G=∠2。‎ ‎∵∠1=∠2，∴∠1=∠G。‎ ‎∴AM=MG。‎ 在△CDF和△BGF中，‎ ‎∵∠G=∠2，∠BFG=∠CFD，BF=CF，∴△CDF≌△BGF（AAS）。‎ ‎∴GF=DF。‎ 由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME。‎ ‎【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥D，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度。‎ ‎（2）先利用SAS证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用AAS证明△CDF和 ‎△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证。‎ ‎3. （2012广东梅州8分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：‎ ‎①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；‎ ‎②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；‎ ‎③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．‎ ‎（1）求证：四边形ADCE是菱形；‎ ‎（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．‎ ‎【答案】（1）证明：由作法可知：直线DE是线段AC的垂直平分线，‎ ‎ ∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO。‎ 又∵CE∥AB，∴∠ADO =∠CEO。‎ ‎∴△AOD≌△COE（AAS）。∴OD=OE。∴四边形ADCE是菱形。‎ ‎（2）解：当∠ACB=90°时，‎ ‎ 由（1）知AC⊥DE，∴OD∥BC。‎ ‎∴△ADO∽△ABC。∴。‎ 又∵BC=6，∴OD=3。‎ 又∵△ADC的周长为18，∴AD+AO=9， 即AD=9﹣AO。‎ ‎∴，解得AO=4‎ ‎∴。‎ ‎【考点】作图（复杂作图），线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，从而得出△AOD≌△COE，即可得出四边形ADCE是菱形。‎ ‎（2）利用当∠ACB=90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可由相似三角形的性质和勾股定理得出OD和AO的长，即根据菱形的性质得出四边形ADCE的面积。‎ ‎4. （2012浙江嘉兴、舟山8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．‎ ‎（1）求证：BD=EC；‎ ‎（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．‎ ‎【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD。‎ ‎ 又∵BE=AB，∴BE=CD，BE∥CD。∴四边形BECD是平行四边形。‎ ‎∴BD=EC。‎ ‎（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°。‎ 又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD。∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°。‎ ‎【考点】菱形的性质，平行四边形的判定和性质，平行的性质，直角三角形两锐角的关系。‎ ‎【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证。‎ ‎（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解。 ‎ ‎5. （2012江苏常州7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。‎ 求证：AE=AF。‎ ‎【答案】证明：连接CE。‎ ‎∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。‎ ‎ 又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。‎ ‎∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。‎ 又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。‎ ‎∴AE=AF。‎ ‎【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。‎ ‎6. （2012江苏南通10分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60º，点E在边BC上，点F在边CD上．‎ ‎(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60º，‎ 求证：BE＝DF；‎ ‎(2)如图2，若∠EAF＝60º，‎ 求证：△AEF是等边三角形．‎ ‎【答案】证明：（1）连接AC。‎ ‎∵菱形ABCD中，∠B=60°，‎ ‎∴AB=BC=CD，∠C=180°－∠B=120°。‎ ‎∴△ABC是等边三角形。‎ ‎∵E是BC的中点，∴AE⊥BC。‎ ‎∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°－∠AEF=30°。‎ ‎∴∠CFE=180°－∠FEC－∠C=180°－30°－120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。‎ ‎∴EC=CF。∴BE=DF。‎ ‎（2）连接AC。‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，‎ ‎∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF。‎ ‎∴△ABC是等边三角形。‎ ‎∴AB=AC，∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。‎ ‎∴∠AEB=∠AFC。‎ 在△ABE和△AFC中，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC， AB=AC， ‎ ‎∴△ABE≌△ACF（AAS）。∴AE=AF。‎ ‎∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。‎ ‎【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，‎ 又由三线合一，可证得AE⊥BC，从而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，从而证得BE=DF。‎ ‎（2）连接AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形。‎ ‎7. （2012广东河源9分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A、C为圆心，以大于AC 的长为半径在AC的两边作弧，交于点M、N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过点C作CE∥AB 交MN于点E，连接AE、CD．‎ ‎(1)求证：四边形ADEC是菱形；‎ ‎(2)当∠ACB＝90º，BC＝6，△ACD的周长为18时，求四边形ADEC的面积．‎ ‎【答案】（1）证明：由作法可知：直线DE是线段AC的垂直平分线，‎ ‎ ∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO。‎ 又∵CE∥AB，∴∠ADO =∠CEO。‎ ‎∴△AOD≌△COE（AAS）。∴OD=OE。∴四边形ADCE是菱形。‎ ‎（2）解：当∠ACB=90°时，‎ ‎ 由（1）知AC⊥DE，∴OD∥BC。‎ ‎∴△ADO∽△ABC。∴。‎ 又∵BC=6，∴OD=3。‎ 又∵△ADC的周长为18，∴AD+AO=9， 即AD=9﹣AO。‎ ‎∴，解得AO=4‎ ‎∴。‎ ‎【考点】作图（复杂作图），线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，从而得出△AOD≌△COE，即可得出四边形ADCE是菱形。‎ ‎（2）利用当∠ACB=90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可由相似三角形的性质和勾股定理得出OD和AO的长，即根据菱形的性质得出四边形ADCE的面积。‎ ‎8. （2012湖北恩施8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．‎ ‎【答案】证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，‎ ‎∴四边形AEDF是平行四边形。‎ 又∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC。∴AE=AF。‎ ‎∴平行四边形AEDF是菱形。‎ ‎【考点】三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，菱形的判定。‎ ‎【分析】首先判定四边形AEDF是平行四边形，然后证得AE=AF，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定菱形即可。‎ ‎9. （2012湖北黄冈7分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F 分别在OD、OC ‎ 上，且DE=CF，连接DF、AE，AE 的延长线交DF于点M. ‎ 求证：AM⊥DF.‎ ‎【答案】证明：∵ABCD是正方形，∴OD=OC。‎ ‎ 又∵DE=CF，∴OD－DE=OC－CF，即OF=OE。‎ 在Rt△AOE和Rt△DOF中，∵AO=DO ，∠AOD=∠DOF， OE=OF ，‎ ‎∴△AOE≌△DOF（SAS）。∴∠OAE=∠ODF。‎ ‎∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，∴∠ODF+∠DEM=90°。∴AM⊥DF。‎ ‎【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系。‎ ‎【分析】由DE=CF，根据正方形的性质可得出OE=OF，从而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，‎ 然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论。‎ ‎10. （2012湖南娄底9分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．‎ ‎（1）求证：△MBA≌△NDC；‎ ‎（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°。‎ ‎ ∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，∴AM=AD，CN=BC。‎ ‎∴AM=CN。‎ 在△MAB和△NDC中，∵AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN ‎ ‎∴△MAB≌△NDC（SAS）。‎ ‎（2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：‎ 连接AN，易证：△ABN≌△BAM，‎ ‎∴AN=BM。‎ ‎∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN。‎ ‎∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ。‎ ‎∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，∴△MQD≌△NPB（SAS）。∴MQ=PN。x kb1. ‎ ‎∴四边形MPNQ是平行四边形。‎ ‎∵M是AB中点，Q是DN中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM。‎ 又∵MP=BM，∴MP=MQ。∴四边形MQNP是菱形。‎ ‎【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定。‎ ‎【分析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC。‎ ‎（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，由（1）可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，从而证明四边形MQNP是菱形。‎ ‎11. （2012四川内江9分）如图，矩形ABCD中，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，‎ 点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F。‎ （1） 求证：四边形ABCD是正方形；‎ （2） 当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论。‎ ‎【答案】（1）证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，‎ ‎∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE。‎ ‎∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE。‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD。‎ ‎∴∠CBE=∠ABE=45°。∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形。‎ ‎∴AB=AD=BC=CD，∴四边形ABCD是正方形。 （2）解：当AE=2EF时，FG=3EF。证明如下：‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE。‎ ‎∵AE=2EF，∴BE：DE=AE：EF=2。∴BC：AD=BE：DE=2，即BG=2AD。‎ ‎∵BC=AD，∴CG=AD。‎ ‎∵△ADF∽△GCF，∴FG：AF=CG：AD，即FG=AF=AE+EF=3EF。‎ ‎【考点】矩形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性质，即可得∠CBE=∠ABE，又由四边形ABCD是矩形，即可证得△ABD与△BCD是等腰直角三角形，继而证得四边形ABCD是正方形。‎ ‎ （2）由题意易证得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得FG=3EF。‎ ‎12. （2012四川凉山7分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F．‎ ‎（1）求证：△ABE∽△DEF；‎ ‎（2）求EF的长．‎ ‎13. （2012贵州贵阳10分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．‎ ‎（1）求证：CE=CF；‎ ‎（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．‎ ‎【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD。‎ ‎∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF。‎ 在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB=AD，AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）。‎ ‎∴CE=CF。‎ ‎（2）解：连接AC，交EF于G点，‎ ‎∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，∴AC⊥EF。‎ 在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=×2=1，∴EC=。‎ 设BE=x，则AB=BC=x+，‎ 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，解得x=（负值舍去）。‎ ‎∴AB=。‎ ‎∴正方形ABCD的周长为4AB=2（）。‎ ‎【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质；等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据正方形可知AB=AD，由等边三角形可知AE=AF，于是可以证明出△ABE≌△ADF，即可得出CE=CF。‎ ‎（2）连接AC，交EF与G点，由△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，于是可知AC⊥EF，求出EG=1，设BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出AB的值，从而求出正方形的周长。　‎ ‎14. （2012贵州黔南12分）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AE⊥EF，BE=2‎ ‎（1）求EC：CF值；‎ ‎（2）延长EF交正方形∠BCD的外角平分线CP于点P（图2），试判断AE与EP大小关系，并说明理由；‎ ‎（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）∵AE⊥EF，∴∠BEA+∠CEF=90°。‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=90°。‎ ‎∴∠BAE +∠BEA =90°。∴∠BA E=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。‎ ‎∴EC：CF=AB：BE=5：2。‎ ‎（2）在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME。‎ ‎∴AM=CE。∴∠BME=45°。∴∠AME=135°。‎ ‎∵CP是外角平分线，∴∠DCP=45°。∴∠ECP=135°。‎ ‎∴∠AME=∠ECP。‎ ‎∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，‎ ‎∴∠BAE=∠CEF。∴△AME≌△PCE（ASA）。∴AE=EP。‎ ‎（3）存在，过点D作DM⊥AE交AB于点M，则此时M使得四边形DMEP是平行四边形。证明如下：‎ ‎ ∵DM⊥AE，∴∠ADM=90°－∠DAE。‎ ‎ ∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠B=∠BAD=90°。‎ ‎ ∴∠BAE=90°－∠DAE。∴∠BAE=∠ADM。‎ ‎ ∴△BAE≌△ADM（ASA）。∴AD=DM。‎ ‎ 由（2）AE=EP，得DM= EP。‎ ‎ 双∵DM⊥AE，AE⊥EF，∴DM∥ EP。∴四边形DMEP是平行四边形。‎ ‎【考点】相似三角形的判定和性质，正方形的性质，外角平分线定义，全等三角形的判定和性质，平行的判定，平行四边形的判定。‎ ‎【分析】（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，即可证得：△ABE∽△EFC，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得EC：CF的值.‎ ‎（2）作辅助线：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，利用ASA，易证得：△AME≌△PCE，则可证得：AE=EP。‎ ‎（3）过点D作DM⊥AE交AB于点M，此时M使得四边形DMEP是平行四边形。一方面由△BAE≌△ADM（ASA）得AD=DM；另一方面由DM⊥AE，AE⊥EF得DM∥ EP。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得证。‎ ‎15. （2012山东东营10分）‎ ‎（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；‎ ‎（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．‎ ‎（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：‎ 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．‎ ‎【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，‎ ‎∴△CBE≌△CDF（SAS）。∴CE＝CF。‎ ‎（2）证明： 如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。‎ ‎ 由（1）知△CBE≌△CDF，‎ ‎∴∠BCE＝∠DCF。‎ ‎∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，‎ 即∠ECF＝∠BCD＝90°。‎ 又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°。‎ ‎∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，‎ ‎∴△ECG≌△FCG（SAS）。∴GE＝GF，‎ ‎∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD。‎ ‎（3）如图，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．‎ 在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°。‎ 又∠CGA＝90°，AB＝BC，‎ ‎∴四边形ABCD 为正方形。 ∴AG＝BC。‎ 已知∠DCE＝45°，‎ 根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG。 ‎ ‎∴10=4+DG，即DG=6。‎ 设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，‎ 在Rt△AED中，∵DE2=AD2＋AE2，即102=（x－6）2＋（x－4）2。‎ 解这个方程，得：x=12或x=－2（舍去）。‎ ‎∴AB=12。‎ ‎∴。‎ ‎∴梯形ABCD的面积为108。‎ ‎【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。‎ ‎【分析】（1）由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF。‎ ‎（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，从而可得GE=BE+GD。‎ ‎（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。‎ ‎16. （2012山东聊城7分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．‎ 求证：四边形OCED是菱形．‎ ‎【答案】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形。‎ ‎ ∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD。‎ ‎∴四边形OCED是菱形。‎ ‎【考点】矩形的性质，菱形的判定。‎ ‎【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论。‎ ‎17. （2012山东临沂7分）如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．‎ ‎（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，‎ ‎（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．‎ ‎【答案】（1）证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF。‎ ‎∵在△ABC和△DEF中，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，‎ ‎∴△ABC≌DEF（SAS）。∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF。‎ ‎∴四边形BCEF是平行四边形．‎ ‎（2）解：连接BE，交CF与点G，‎ ‎∵四边形BCEF是平行四边形，‎ ‎∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形。‎ ‎∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，‎ ‎∴AC=。‎ ‎∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC。‎ ‎∴，即。∴。‎ ‎∵FG=CG，∴FC=2CG=，‎ ‎∴AF=AC﹣FC=5﹣。‎ ‎∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．‎ ‎【考点】平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行的判定，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，根据SAS得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形。‎ ‎（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值。‎ ‎18. （2012山东青岛8分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于 F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．‎ ‎(1)求证：△BOE≌△DOF；‎ ‎(2)若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°。‎ ‎∵点O是EF的中点，∴OE=OF。‎ 又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）。 （2）四边形ABCD是矩形。理由如下：‎ ‎∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD。‎ 又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形。‎ ‎∵OA=BD，OA=AC，∴BD=AC。∴平行四边形ABCD是矩形。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质，矩形的判定。‎ ‎【分析】（1）根据垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，再由点O是EF的中点可得OE=OF，再加上对顶角 ‎∠DOF=∠BOE，可利用ASA证明△BOE≌△DOF。‎ ‎（2）根据△BOE≌△DOF可得DO=BO，再加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形，再证明DB=AC，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论。‎ ‎19. （2012山东日照9分）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BF⊥AE，垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.‎ 求证：（1） CG=BH；（2）FC2=BF·GF；（3）.‎ ‎【答案】证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，CG⊥BF，∴CG⊥BF.‎ ‎ ∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=900, ∠CBG+∠BCG=900, ∠BAH+∠ABH=900,‎ ‎∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG。‎ 又∵AB=BC，∴△ABH≌△BCG（ASA）。∴CG=BH。‎ ‎（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=900，∴△CFG∽△BFC。‎ ‎ ∴，即FC2=BF·GF。‎ ‎（3）∵∠CBG=∠FBC，∠CGB=∠FCB =900，∴△CBG∽△FBC。‎ ‎∴，即BC2=BF·BG。‎ ‎∵AB=BC，∴AB2=BF·BG。‎ ‎∴，即。‎ ‎【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由互余关系得出∠BAH=∠CBG，而∠AHB=∠BGC=90°，AB=BC，可证△ABH≌△BCG，得出结论。‎ ‎（2）在Rt△BCF中，CG⊥BF，利用互余关系可证△CFG∽△BFC，利用相似比得出结论。‎ ‎（3）根据Rt△BCF中，CG⊥BF，同理可证△CBG∽△FBC，利用相似比得出BC2=BF·BG，即AB2=BF·BG，结合（2）的结论求比即可。‎ ‎20. （2012山东泰安10分）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H．‎ ‎（1）求证：△ABE∽△ECF；‎ ‎（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；‎ ‎（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．‎ ‎∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEB+∠BEA=90°。‎ ‎∴∠BAE=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。‎ ‎（2）△ABH∽△ECM。证明如下：‎ ‎∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°。∴∠ABH=∠ECM。‎ 由（1）知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM。‎ ‎（3）作MR⊥BC，垂足为R，‎ ‎∵AB=BE=EC=2，‎ ‎∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°。‎ ‎∴∠MER=45°，CR=2MR。‎ ‎∴MR=ER=。∴EM=。‎ ‎【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠BAE=∠CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△ABE∽△ECF。‎ ‎（2）由BG⊥AC，易证得∠ABH=∠ECM，又由（1）中∠BAH=∠CEM，即可证得 ‎△ABH∽△ECM。‎ ‎（3）首先作MR⊥BC，垂足为R，由AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，即可求得MR的长，又由EM= 即可求得答案。‎ ‎21. （2012山东淄博9分）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．‎ ‎（1）当点G与点D重合时，求x的值；‎ ‎（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．‎ ‎【答案】解：（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合。‎ ‎ ∵矩形ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形。‎ ‎ ∵BC=4，∴x= AB= BC=4。‎ ‎ （2）∵点F为AD中点，BC=4，∴AF=2。‎ ‎ ∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴△AEF∽△BEB。∴。‎ ‎ ∴。∴。‎ ‎ ∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=900，‎ ‎ ∴在Rt△ABC和Rt△BAF中由勾股定理得，‎ ‎ 即。‎ ‎ 两式相加，得。‎ ‎ 又∵AC⊥BG，∴在Rt△ABE中，。‎ ‎ ∴，解得（已舍去负值）。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴在Rt△CEF中由勾股定理得。‎ ‎ ∴。∴。‎ ‎【考点】矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。‎ ‎ （2）由点F为AD中点和矩形的性质，得△AEF∽△BEB，从而得。在Rt△ABC、 Rt△BAF和Rt△ABE应用勾股定理即可求得x的值。在Rt△CEF中应用勾股定理求得CF，根据锐角三角函数定义即可求得∠ECF的正弦值。‎ ‎22. （2012广西柳州8分）如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是一个特 殊的四边形．‎ ‎（1）这个特殊的四边形应该叫做；‎ ‎（2）请证明你的结论．‎ ‎【答案】解：（1）菱形；‎ ‎（2）证明：‎ ‎ ∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组 成的图形，‎ ‎∴AB∥CD，AD∥BC。‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）。‎ 过点D分别作AB，BC边上的高为DE，DF。则DE=DF（两纸条相同，纸条宽度相同）。‎ ‎∵平行四边形的面积为AB×DE=BC×DF，∴AB=BC。‎ ‎∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。‎ ‎【考点】菱形的判定和性质。‎ ‎【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边 相等，则重叠部分为菱形。‎ ‎23. （2012云南省7分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．‎ ‎（1）求证：四边形BMDN是菱形；‎ ‎（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。∴∠BNO=∠DMO，∠NBO=∠MDO。‎ ‎∵MN是BD的中垂线，∴OB=OD，BD⊥MN。‎ ‎∴△BNO≌△DMO（AAS）。∴ON=OM。‎ ‎∴四边形BMDN的对角线互相平分。∴四边形BMDN是平行四边形。‎ ‎∵BD⊥MN，∴平行四边形BMDN是菱形。‎ ‎（2）∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD。‎ 设MD长为x，则MB=DM=x，AM=8－x。‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=900。‎ 在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2，即x2=（8－x）2+42，解得：x=5。‎ 答：MD长为5。‎ ‎【考点】矩形的性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，根据OB=OD和AD∥BC推出△BNO≌△DMO ，OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN。‎ ‎（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出 x2=x2－16x＋64＋16，求出即可。‎ ‎24. （2012河南省9分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=600，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.‎ ‎（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；‎ ‎（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；‎ ‎ ②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形。‎ ‎25. （2012江西省6分）如图，已知两个菱形ABCD．CEFG，其中点A．C．F在同一直线上，连接BE、DG．‎ ‎（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；‎ ‎（2）证明：BE=DG．‎ ‎【答案】（1）解：△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC。‎ ‎（2）证明：∵四边形ABCD．CEFG是菱形，‎ ‎∴DC=BC，CG=CE，∠DCA=∠BCA，∠GCF=∠ECF。‎ ‎∵∠ACF=180°，∴∠DCG=∠BCE，‎ 在△DCG和△BCE中，∵DC=BC，∠DCG=∠BCE，CG=CE，‎ ‎∴△DCG≌△BCE（SAS）。∴BE=DG。‎ ‎【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC，根据菱形的性质推出AD=AB，DC=BC，根据SSS即可证出结论。‎ ‎（2）根据菱形性质求出DC=BC，CG=CE，推出∠DCG=∠BCE，根据SAS证出△DCG≌△BCE即可。‎ ‎26. （2012青海西宁8分）如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．‎ ‎(1)证明：四边形AECF是矩形；‎ ‎(2)若AB＝8，求菱形的面积．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC。‎ 又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形。‎ ‎∵E是BC的中点，∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）。∴∠AEC=90°。‎ ‎∵E、F分别是BC、AD的中点，∴AF=AD，EC=BC。‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD=BC。‎ ‎∴AF∥EC且AF=EC。‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。‎ 又∵∠AEC =90°，∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。‎ ‎（2） 在Rt△ABE中，‎ ‎∴S菱形AECF=8×4=32。‎ ‎【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根据菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等，从而判定出四边形AECF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证。‎ ‎（2）根据勾股定理求出AE的长度，然后利用菱形的面积等于底乘以高计算即可得解。‎ ‎27. （2012青海省8分）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．‎ ‎①求证：CD=AN；‎ ‎②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．‎ ‎【答案】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA。‎ 在△AMD和△CMN中，∵∠DAC=∠NCA，MA=MC，∠AMD=∠CMN（对顶角相等），‎ ‎∴△AMD≌△CMN（ASA）。∴AD=CN。‎ 又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形。∴CD=AN。‎ ‎②∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，∴∠MCD=∠MDC。∴MD=MC。‎ 由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD=MN=MA=MC。∴AC=DN。‎ ‎∴四边形ADCN是矩形。‎ ‎【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定。‎ ‎【分析】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC=∠NCA，然后利用“ASA”证明△AND和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证。‎ ‎②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD=∠MDC，再根据等角对等边可得MD=MC，然后证明AC=DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证。　‎ ‎28. （2012内蒙古赤峰10分）如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．‎ ‎（1）求证：四边形CDOF是矩形；‎ ‎（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），‎ ‎∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF。‎ ‎∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°。∴∠COD+∠COF=90°。‎ ‎∴∠DOF=90°。‎ ‎∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知）。‎ ‎∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性质）。∴∠CDO=90°。‎ ‎∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°。‎ ‎∴四边形CDOF是矩形。‎ ‎（2）解：当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形。理由如下：‎ ‎∵∠AOC=90°，AD=DC，∴OD=DC。‎ 又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形。‎ 因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，矩形的判定，直角三角形的斜边上的中线的性质，正方形的判定。‎ ‎【分析】（1）利用角平分线的性质、平角的定义可以求得∠DOF=90°；由等腰三角形的“三合一”的性质可推知OD⊥AC，即∠CDO=90°；根据已知条件“CF⊥OF”知∠CFO=90°；则三个角都是直角的四边形是矩形。‎ ‎（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形；因为Rt△AOC的斜边上的中线OD等于斜边的一半，所以矩形的邻边OD=CD，所以矩形CDOF是正方形。‎ ‎29. （2012黑龙江绥化8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．‎ ‎（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= （不需证明）．‎ ‎（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．‎ ‎【答案】解：（2）图2中结论PR＋PQ=仍成立。证明如下：‎ 连接BP，过C点作CK⊥BD于点K。‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°。‎ 又∵CD=AB=3，BC=4，∴。‎ ‎∵S△BCD=BC•CD=BD•CK，∴3×4=5CK，∴CK=。‎ ‎∵S△BCE=BE•CK，S△BEP=PR•BE，S△BCP=PQ•BC，且S△BCE=S△BEP＋S△BCP，‎ ‎∴BE•CK=PR•BE＋PQ•BC。‎ 又∵BE=BC，∴CK=PR＋PQ。∴CK=PR＋PQ。‎ 又∵CK=，∴PR＋PQ=。‎ ‎（3）图3中的结论是PR－PQ=．‎ ‎【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。‎ ‎【分析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。‎ ‎（3）图3中的结论是PR－PQ=125 。‎ 连接BP，S△BPE－S△BCP=S△BEC，S△BEC 是固定值，BE=BC 为两个底，PR，PQ 分别为高，从而PR－PQ=。‎