二次函数与几何综合有答案中考数学压轴题必做

二次函数与几何综合有答案中考数学压轴题必做

二次函数与几何综合 ‎07年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。‎ 题型分析 题目分析及对考生要求 ‎（1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。‎ ‎（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。‎ ‎（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系，再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。‎ 在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种常见的条件转化思想。‎ ‎1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底，根据面积公式转化为线段条件。‎ ‎2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。‎ 二次函数与三角形综合 【例1】. ‎（2012武汉中考）如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；‎ ‎（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 解答：解：（1）当x=0时，y=﹣2；∴A（0，﹣2）．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，则：‎ ‎，解得 ‎∴直线AB解析式为y=2x﹣2．‎ ‎∵点C为直线y=2x﹣2与抛物线y=x2﹣2的交点，则点C的横、纵坐标满足：‎ ‎，解得、（舍）‎ ‎∴点C的坐标为（4，6）．‎ ‎（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C1于D．E两点．‎ ‎∴yD=4，yE=，∴DE=． ‎ ‎∵FG=DE=4：3，∴FG=2．‎ ‎∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点．‎ ‎∴yF=2a﹣2，yG=a2﹣2‎ ‎∴FG=|2a﹣a2|=2，‎ 解得：a1=2，a2=﹣2+2，a3=2﹣2．‎ ‎（3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；‎ 设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为y=x2﹣2﹣m；‎ ‎∴0=﹣t2﹣2﹣m，∴﹣2﹣m=﹣t2．‎ ‎∴y=x2﹣t2，∴点P坐标为（0，﹣t2）．‎ ‎∵点N是直线AB与抛物线y=x2﹣t2的交点，则点N的横、纵坐标满足：‎ ‎，解得、（舍）‎ ‎∴N（2﹣t，2﹣2t）．‎ NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t，‎ ‎∴MQ=NQ，∴∠MNQ=45°．‎ ‎∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，‎ ‎∴MO=OT，HT=HN ‎∴OT=4，NT=﹣，NH=（2﹣t），PT=﹣t+t2．‎ ‎∵PN平分∠MNQ，‎ ‎∴PT=NT，‎ ‎∴﹣t+t2=（2﹣t），‎ ‎∴t1=﹣2，t2=2（舍）‎ ‎﹣2﹣m=﹣t2=﹣（﹣2）2，∴m=2．‎ 【例1】. ‎（2011武汉中考）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.     （1）求抛物线的解析式；     （2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；     （3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 【例1】. ‎（2010武汉中考）如图，拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1，0)，C(2，)两点，与x轴交于另一点B；‎ ‎ (1) 求此拋物线的解析式；‎ ‎ (2) 若拋物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点(不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且ÐMPQ=45°，设线段OP=x，MQ=y2，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；‎ ‎ (3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与拋物线交于点E，G，与(2)中的函数图像交于点F，H。问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由。‎ P M Q A B O y x ‎25. 解：(1) ∵拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1，0)，‎ C(0，)两点，∴，∴a= -，‎ ‎ b=，∴拋物线的解析式为y1= -x2+x+。‎ P M Q A B O y x N ‎ (2) 作MN^AB，垂足为N。由y1= -x2+x+易得M(1，2)，‎ ‎ N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，‎ ‎ ÐMBN=45°。根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2。‎ ‎ ∴(2)2-22=PM2= -(1-x)2…j，又ÐMPQ=45°=ÐMBP，‎ ‎ ∴△MPQ~△MBP，∴PM2=MQ´MB=y2´2…k。‎ ‎ 由j、k得y2=x2-x+。∵0£x<3，∴y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0£x<3)。‎ O E F G H x y ‎ (3) 四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是 ‎ m+n=2(0£m£2，且m¹1)。∵点E、G是抛物线y1= -x2+x+ ‎ 分别与直线x=m，x=n的交点，∴点E、G坐标为 ‎ E(m，-m2+m+)，G(n，-n2+n+)。同理，点F、H坐标 ‎ 为F(m，m2-m+)，H(n，n2-n+)。‎ ‎ ∴EF=m2-m+-(-m2+m+)=m2-2m+1，GH=n2-n+-(-n2+n+)=n2-2n+1。‎ ‎ ∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH。∴m2-2m+1=n2-2n+1，∴(m+n-2)(m-n)=0。‎ ‎ 由题意知m¹n，∴m+n=2 (0£m£2，且m¹1)。‎ ‎ 因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2 (0£m£2，且m¹1)。‎ 【例1】. ‎（2009武汉中考）如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；‎ y x O A B C ‎（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．‎ ‎25．解：（1）抛物线经过，两点，‎ 解得 抛物线的解析式为．‎ y x O A B C D E ‎（2）点在抛物线上，，‎ 即，或．‎ 点在第一象限，点的坐标为．‎ 由（1）知．‎ 设点关于直线的对称点为点．‎ ‎，，且，‎ ‎，‎ 点在轴上，且．‎ y x O A B C D E P F ‎，．‎ 即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．‎ ‎（3）方法一：作于，于．‎ 由（1）有：，‎ ‎．‎ ‎，且．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，，，‎ ‎．‎ 设，则，，‎ ‎．‎ 点在抛物线上，‎ ‎，‎ ‎（舍去）或，．‎ y x O A B C D P Q G H 方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作于．‎ ‎．‎ ‎，‎ 又，．‎ ‎，，．‎ 由（2）知，．‎ ‎，直线的解析式为．‎ 解方程组得 点的坐标为．‎ 【例1】. ‎（2011年四调）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么，我们称抛物线C1与C2关联．‎ ‎（1）已知抛物线①y=x2+2x﹣1，判断下列抛物线②y=﹣x2+2x+1；③y=x2+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由．‎ ‎（2）抛物线C1：y=（x+1）2﹣2，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1与C2关联，求抛物线C2的解析式．‎ ‎（3）A为抛物线C1：y=（x+1）2﹣2的顶点，B为与抛物线C1关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角△ABC，使其直角顶点C在y轴上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：代数几何综合题。‎ 分析：（1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上即可求得答案；‎ ‎（2）首先求得抛物线C1的顶点坐标，则可得：点P在直线y=2上，则可作辅助线：作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则可求得：点N的坐标，利用顶点式即可求得结果；‎ ‎（3）分别从当A，B，C逆时针分布时与当A，B，C顺时针分布时分析，根据全等三角形的知识，即可求得点C的坐标，注意别漏解．‎ 解答：解：（1）∵①抛物线y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2的顶点坐标为M（﹣1，﹣2），‎ ‎∴②当x=﹣1时，y=﹣x2+2x+1=﹣1﹣2+1=﹣2，‎ ‎∴点M在抛物线②上；‎ ‎∵③当x=﹣1时，y=x2+2x+1=1﹣2+1=0，‎ ‎∴点M不在抛物线③上；‎ ‎∴抛物线①与抛物线②有关联；‎ ‎∵抛物线②y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，﹣2），‎ 经验算：（1，﹣2）在抛物线①上，‎ ‎∴抛物线①、②是关联的；‎ ‎（2）抛物线C1：y=（x+1）2﹣2的顶点M的坐标为（﹣1，﹣2），‎ ‎∵动点P的坐标为（t，2），‎ ‎∴点P在直线y=2上，‎ 作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则ME=NF=3，‎ ‎∴点N的纵坐标为6，‎ 当y=6时，（x+1）2﹣2=6，‎ 解得：x1=7，x2=﹣9，‎ ‎①设抛物C2的解析式为：y=a（x﹣7）2+6，‎ ‎∵点M（﹣1，﹣2）在抛物线C2上，‎ ‎∴﹣2=a（﹣1﹣7）2+6，‎ ‎∴a=﹣．‎ ‎∴抛物线C2的解析式为：y=﹣（x﹣7）2+6；‎ ‎②设抛物C2的解析式为：y=a（x+9）2+6，‎ ‎∵点M（﹣1，﹣2）在抛物线C2上，‎ ‎∴﹣2=a（﹣1+9）2+6，‎ ‎∴a=﹣．‎ ‎∴抛物线C2的解析式为：y=﹣（x+9）2+6；‎ ‎（3）点C在y轴上的一动点，以AC为腰作等腰直角△ABC，令C的坐标为（0，c），则点B的坐标分两类：‎ ‎①当A，B，C逆时针分布时，如图中B点，过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为H，F，则△BCF≌△CAH，‎ ‎∴CF=AH=1，BF=CH=c+2，点B的坐标为（c+2，c﹣1），‎ 当点B在抛物线C1：y=（x+1）2﹣2上时，c﹣1=（c+2+1）2﹣2，‎ 解得：c=1．‎ ‎②当A，B，C顺时针分布时，如图中B′点，过点B′作y轴的垂线，垂足为D，‎ 同理可得：点B′的坐标为（﹣c﹣2，c+1），‎ 当点B′在抛物线C1：y=（x+1）2﹣2上时，c+1=（﹣c﹣2+1）2﹣2，‎ 解得：c=3+4或c=3﹣4．‎ 综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C点的坐标分别为：C1（0，1），C2（0，3+4），C3（0，3﹣4）．‎ 点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，全等三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．‎ 【例1】. ‎（2009年四调）已知抛物线y＝ax2－2ax＋b与x轴交于点A(3，0)，与y轴相交于点B(0，－)‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)如图(1)，P为抛物线上的点，且在第二象限，若△POA的面积等于△POB的面积的2倍，求点P的坐标；‎ ‎(3)如图(2)，C为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点D使△DAC为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 【例1】. ‎（2010年四调）抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于，为抛物线的顶点，直线轴，垂足为，.‎ ‎（1）求这个抛物线的解析式；‎ ‎（2）为直线上的一动点，以为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在轴上.若在轴上的直角顶点只有一个时，求点的坐标；‎ ‎（3）为抛物线上的一动点，过作直线，交直线于，当点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点三等分线段的情况，若存在，请求出所有符合条件的的坐标，若不存在，请说明理由 ‎ ‎ ‎ ‎ 二次函数与四边形 【例1】. ‎（2008武汉）如图1，抛物线经过A（－1，0），C（3，2）两点，与轴交于点D，与轴交于另一点B。‎ ‎⑴求此抛物线的解析式；‎ ‎⑵若直线将四边形ABCD面积二等分，求的值；‎ ‎⑶如图2，过点E（1，－1）作EF⊥轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ（点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标．‎ O E B D A F 图2‎ A C O B D 图1‎ ‎25.⑴；⑵；⑶M（3，2），N（1，3）‎ 【例2】. ‎（2012年四调）将抛物线关于轴作轴对称变换，再将变换后的抛物线沿轴的正方向平移0.5个单位，沿轴的正方向平移个单位，得到抛物线，抛物线 ‎、的顶点分别为B、D．‎ ‎（1）直接写出当和时抛物线的解析式；‎ ‎（2）分别求出符合下列条件的的值：①线段BD经过原点；②点D刚好落在抛物线上；‎ ‎（3）抛物线与轴交于A、C两点（A点在C点的左侧），是否存在的值，使四边形ABCD为梯形，若存在，求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎