常州市中考数学试题分类解析专题函数的图像与性质

常州市中考数学试题分类解析专题函数的图像与性质

‎2001-2012年江苏常州中考数学试题分类解析汇编（12专题）‎ 专题6：函数的图象与性质 锦元数学工作室 编辑 一、 选择题 ‎1. （2001江苏常州2分）下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例y=mnx(m,n是常数，且mn≠0)图象的是【　　】‎ A．　B. 　　C. 　　D. ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】一次函数（正比例函数）和系数与的关系。‎ ‎【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”判断出m、n的符号，再根据一次函数的性质进行判断：‎ ‎①当mn＞0，m，n同号，y=mnx的图象经过1，3象限；‎ 同正时y=mx+n的图象过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限。‎ ‎②当mn＜0时，m，n异号，y=mnx的图象经过2，4象限；‎ 则y=mx+n的图象过1，3，4象限或2，4，1象限。‎ 结合所给图象，只有选项A符合当mn＜0时，m，n异号，y=mnx的图象经过2，4象限，y=mx+n的图象过2，4，1象限。故选A。‎ ‎2. （2001江苏常州2分）已知反比例函数y=(k<0)的图象上两点A（x1,y1）,B(x2,y2)，且x1 ＜x2，则 y1－y2的值是【　　】‎ A．正数　　　B.负数　　　　C.非正数　　　　D.不能确定 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。‎ ‎【分析】∵自变量所在象限不定，∴在x1 ＜x2时，相应函数值的大小也不定。‎ ‎ 若x1、x2同号，则y1－y2＜0；若x1、x2异号，则y1－y2＞0。故选D。‎ ‎3. （江苏省常州市2002年2分）若抛物线y=x2－6x＋c的顶点在x轴上，则c的值是【 】‎ A. 9 B. ‎3 C.-9 D. 0‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】当抛物线顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，根据顶点纵坐标公式求解即可：‎ ‎∵抛物线y=x2－6x＋c的顶点在x轴上，a=1，b=－6，c=c，‎ ‎∴顶点纵坐标为0，即，解得c=9。故选A。‎ ‎4. （江苏省常州市2002年2分）已知一次函数y=k1+b，y随x的增大而减小，且b>0，反比例函数y=中的k2与k1值相等，则它们在同一坐标系中的图像只可能是【 】‎ ‎ ‎ A B C D ‎【答案】C。‎ ‎【考点】反比例函数和一次函数的性质。‎ ‎【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小，则k1＜0，且b＞0与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴一次函数图象过一、二、四象限，故A和B错误；又∵反比例函数y= 中的k2与k1值相等，k2＜0，∴反比例函数图象位于二、四象限。故选C。‎ ‎5. （江苏省常州市2003年2分）已知圆柱的侧面积是，若圆柱底面半径为，高为，则关于的函数图象大致是【 】‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】反比例函数的应用。‎ ‎【分析】根据题意有：，化简可得，故与之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义与应大于0，其图象在第一象限。故选B。‎ ‎6. （江苏省常州市2004年2分）关于函数，下列结论正确的是【 】‎ ‎（A）图象必经过点（﹣2，1） （B）图象经过第一、二、三象限 ‎（C）当时， （D）随的增大而增大 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一次函数的性质。‎ ‎【分析】将四个选项分别验证即可得出结论：‎ ‎ A、将（－2，1）代入中得左边=1，右边=－2×（－2）+1=5≠左边，选项错误；‎ B、根据正比例函数的性质，时，图象经过一、二、四象限，选项错误；‎ C、直线与轴的交点为（ ，0），当＞ 时，＜0，选项正确；‎ D、根据一次函数的性质，，随的增大而增减小，选项错误。‎ 故选C。‎ ‎7. （江苏省常州市2007年2分）若二次函数（为常数）的图象如下，则的值为【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系。‎ ‎【分析】由图象可知：抛物线与y轴的交于原点，∴a2＋2=0，解得a=±。‎ 由抛物线的开口向上，得a＞0。‎ ‎∴a=。故选D。‎ ‎8. （江苏省常州市2008年2分）若反比例函数的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，‎ 则k的值可以是【 】‎ A.－1 B‎.3 ‎ C.0 D.－3‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】反比例函数的性质。‎ ‎【分析】根据题意列出不等式确定k的范围，再找出符合范围的选项：‎ ‎ 根据题意k－1＞0，则k＞1。故选B。‎ ‎9. （江苏省常州市2010年2分）函数的图象经过的点是【 】‎ A.（2，1） B.（2，－1） C.（2，4） D. ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】在曲线上的点的坐标一定会使方程（函数关系式）的左右两边相等，反之不在曲线上。因此，满足的只有（2，1）。故选A。‎ ‎10. （江苏省常州市2010年2分）如图，一次函数的图象上有两点A、B，A点的横坐标为 ‎2，B点的横坐标为a（0＜a＜4且a≠2），过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD 的面积分别为S1、S2，S1与S2的大小关系是【 】‎ A．S1＞S2 B．S1＝S‎2 C．S1＜S2 D．无法确定 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】直线上点的坐标与方程的关系，直角三角形面积公式，代数式大小比较。‎ ‎【分析】代数式比较大小，可以采用求差法，求商法、求倒法等，本题采用求差法，求出S1和S2，求差即可：‎ ‎∵A点在一次函数的图象上，且它的横坐标为a，∴它的纵坐标为1。‎ ‎ ∴S1 ＝×2×1=1。‎ ‎ 又∵B点在一次函数的图象上，且它的横坐标为a（0＜a＜4且a≠2），‎ ‎∴它的纵坐标为。‎ ‎ ∴S2 ＝a（－a+2）＝－a2+a。‎ ‎ ∴S1－ S2＝ (a－2)2 。‎ ‎ ∵0＜a＜4且a≠2，∴S1－ S2＝ (a－2)2 >0。∴S1＞S2。。故选A。‎ ‎11. （2011江苏常州2分）已知二次函数，当自变量取时对应的值大于0，当自变量分别取、时对应的函数值为、，则、必须满足【 】‎ A．＞0、＞0 B．＜0、＜‎0 C．＜0、＞0 D．＞0、＜0‎ ‎【答案】B．‎ ‎【考点】二次函数，不等式。‎ ‎ 故选 B。‎ ‎12. （2012江苏常州2分）已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 B。‎ ‎【考点】二次函数的图象和性质。‎ ‎【分析】由二次函数知，‎ 它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。‎ 根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等。‎ 由于二次函数在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而0＜1＜，因此，。故选B。‎ 二、填空题 ‎1. （江苏省常州市2002年1分）写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限：‎ ‎ ▲ .‎ ‎【答案】（答案不唯一）。‎ ‎【考点】反比例函数的性质。‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数的图像不经过第一、第三象限，∴反比例函数的系数即可，如。‎ ‎2. （江苏省常州市2006年2分）已知反比例函数的图像经过点（1，），则这个函数的 表达式是 ▲ 。当时，的值随自变量值的增大而 ▲ （填“增大”或“减小”）‎ ‎【答案】；增大。‎ ‎【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质。‎ ‎【分析】根据题意，利用待定系数法解出系数则可。再根据值的正负确定函数的增减性：‎ ‎∵反比例函数的图像经过点（1，－2），∴。‎ ‎∴这个函数的表达式是。‎ 又∵，当时，的值随自变量值的增大而增大。‎ ‎3. （江苏省常州市2007年2分）已知一次函数的图象经过点A（0，－2），B（1，0），则 ‎ ▲ ， ▲ ．‎ ‎【答案】－2；2。‎ ‎【考点】直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】将A（0，－2），B（1，0）代入，得 ‎ ，解得。‎ ‎4. （江苏省常州市2007年2分）二次函数的部分对应值如下表：‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 二次函数图象的对称轴为 ▲ ，对应的函数值 ▲ ．‎ ‎【答案】1；－8。‎ ‎【考点】二次函数的图象和性质。‎ ‎【分析】由表格的数据可以看出，x=－3和x=5时y的值相同都是7，‎ ‎∴可以判断出，点（－3，7）和点（5，7）关于二次函数的对称轴对称，‎ ‎∴对称轴为 。‎ 又∵x=2的点关于对称轴x=1对称的点为x=0，而x=0时，y=－8，‎ ‎∴x=2时，y=－8。‎ ‎5. （江苏省常州市2008年2分）过反比例函数的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段，‎ 如果垂线段与x、y轴所围成的矩形面积是6，那么该函数的表达式是 ▲ ，若点A(－3，m)在这个反比例函数的图象上，则m= ▲ .‎ ‎【答案】；－2。‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义。‎ ‎【分析】利用矩形面积S=|k|和k＞0可确定出k的值，从而求得函数的解析式。再将点A的坐标代入求得m的值即可：‎ 过图象上的点（x，y）的垂线段与x、y轴所所作构成的矩形面积是6可知：|k|=6。‎ 又∵k＞0，图象在第一、三象限内，∴反比例函数的系数k=6。‎ ‎∴函数的表达式是。‎ 又∵点A（－3，m）在这个反比例函数的图象上，∴。‎ ‎6. （江苏省常州市2008年2分）已知函数的部分图象如图所示，则c= ▲ ，当 x ▲ 时，y随x的增大而减小. ‎ ‎【答案】3；＞1。‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系。‎ ‎【分析】根据函数图象与x轴的交点，可求出c的值，根据图象可判断函数的增减性 ‎∵二次函数的图象过点（3，0），∴－9＋6＋c=0，解得c=3。‎ 由图象可知：x＞1时，y随x的增大而减小。‎ ‎7. （江苏省2009年3分）反比例函数的图象在第 ▲ 象限．‎ ‎【答案】二、四。‎ ‎【考点】反比例函数的性质。‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数的系数，∴‎ 图象两个分支分别位于第二、四象限。‎ ‎10. （2012江苏常州2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0），⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆。若一次函数的图象过点A（－1，0）且与⊙P相切，则的值为 ▲ 。‎ ‎【答案】或。‎ ‎【考点】一次函数综合题，直线与圆相切的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质。‎ ‎【分析】如图，设一次函数与y轴交于点C，与⊙P相切于点P。‎ ‎ 则OA=1，OC=∣b∣，OP=3，BP=2，AP=4。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由△AOC∽△ABP，得，即，‎ 解得。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由图和一次函数的性质可知，k，b同号，‎ ‎∴或。‎ ‎11. （2012江苏常州2分）如图，已知反比例函数和。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若△BOC的面积为，AC：AB=2：3，则= ▲ ，= ▲ 。‎ ‎【答案】2，－3。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】设点A（0，a）（∵点A在y轴的正半轴上，∴a＞0），则点B（），点C（）。‎ ‎ ∴OA= a，AB=（∵），AC=（∵），AB=。‎ ‎ ∵△BOC的面积为，∴，即①。‎ ‎ 又∵AC：AB=2：3，∴，即②。‎ ‎ 联立①②，解得=2，=－3。‎ 三、解答题 ‎1. （2001江苏常州6分）已知二次函数的图象如图所示：‎ （1） 这个二次函数的解析式是y=_____________________；‎ （1） 当x=____________时，y=3；‎ （2） 根据图象回答：当x_______________时，y>0。‎ ‎【答案】解：（1）。‎ ‎ （2）3或－1。‎ ‎（3）x＜0或x＞2。‎ ‎【考点】二次函数的图象，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）由图知顶点为（1，－1），那么可设顶点式，再把（0，0）代入求a得 ‎0=a－1，即a=1。∴这个二次函数的解析式为。‎ ‎（2）把y=3代入抛物线解析式即可。当y=3时，=3，解得x=3或x=－1。‎ ‎（3）函数值大于0，指x轴上方的函数图象所对应的x的取值：‎ 由图可知，抛物线与x轴两交点为（0，0），（2，0），开口向上。所以当x＜0或x＞2时，y＞0。‎ ‎2. （江苏省常州市2002年6分）已知抛物线的图象过原点，且开口向上, ‎ ‎(1)求m的值,并写出函数解析式; ‎ ‎(2)写出函数图象的顶点坐标及对称轴 ‎【答案】解：（1）∵抛物线的图象过原点，且开口向上，‎ ‎∴，且，解得m=±2。‎ 而m＞1，∴m=2。‎ ‎∴函数解析式为。 （2）∵，‎ ‎∴顶点坐标为（－1，－1），对称轴为x=－1。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。‎ ‎【分析】（1）直接根据抛物线的性质可知，0，解之即可得到m=2，即。（2）由直接可写出顶点坐标及对称轴。 ‎ ‎3. （江苏省常州市2002年6分）阅读函数图像，并根据你所获得的信息回答问题：‎ （1） 折线OAB表示某个实际总是的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题；‎ （2） 根据你给出的应用题分别指出x轴，y轴所表示的意义，并写出A，B两点的坐标；‎ （3） 求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围。‎ ‎【答案】解：（1）张老师从家出发，乘车去学校，汽车的速度是每小时25千米，经过2小时到达，到校后因家中有事，立即骑车返回，5小时到家。‎ ‎（2）x轴表示时间，单位为时，y轴表示离家的路程，单位是千米，则A（2，50），B（7，0）。‎ ‎（3）设过A，B的解析式为y=kx+b，则 ‎，解得。‎ ‎∴图象AB的函数解析式为y=－10x＋70（2≤x≤7）。‎ ‎【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】应选取常见的量，比如横轴表示时间，纵轴表示离家的路程，这段函数大致可理解为到一个地方去，到后立即返回到家（答案不唯一）。‎ ‎4. （江苏省常州市2002年8分）图1是棱长为a的小正方体，图2，图3‎ 由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层，。。。。。。第n层，第n层的小正方体的个数记为s，‎ 解答下列问题：‎ ‎（1） 按照要求填表：‎ n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……‎ s ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎…‎ ‎(2) 写出当n=10时，s=______________.‎ （1） 据上表中的数据，把s作为纵坐标，n作为横坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应 的各点。‎ （2） 请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式。‎ ‎【答案】解：（1）由题意得，‎ n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……‎ s ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎（2）55．‎ ‎（3）描点如下：‎ ‎（4）猜想各点在二次函数的图象上。‎ 设函数的解析式为，‎ 由题意得，解之得。‎ ‎∴函数的解析式为。‎ ‎【考点】二次函数的应用，分类归纳（图形变化）。待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）找规律：s=1+2+3+…+n=n（n+1），∴当n=4时，s=10。‎ ‎（2）当n=10时，s=×10×（10+1）=55。‎ ‎（3）描点。‎ ‎（4）由（1）s =n（n+1）可得猜想，用待定系数法求之。‎ ‎5. （江苏省常州市2003年6分）已知二次函数的图象经过点（2，0）、（－1，6）。‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）画出它的图象；‎ ‎（3）不用列表，在下图中画出函数图象，观察图象写出y＞0时，x的取值范围。‎ ‎【答案】解：（1）∵的图象经过点（2，0）、（－1，6），‎ ‎∴ ，解得 。‎ ‎∴二次函数的解析式为。 （2）作图如下：‎ ‎（3）由图可知：当y＞0时，x＞2或x＜0。‎ ‎【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质。‎ ‎【分析】（1）将已知的两点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，求出二次函数的解析式。‎ ‎（2）可根据（1）的抛物线解析式作图。‎ ‎（3）根据函数的图象得出y＞0时，x的取值范围。‎ ‎6. （江苏省常州市2003年10分）设一次函数的图象为直线，与x轴、y轴分别交于点A、B。‎ ‎（1）求tan∠BAO的值；‎ ‎（2）直线过点（－3，0），若直线、与x轴围成的三角形和直线、与y轴围成的三角形相似，求直线的解析式。‎ ‎【答案】解：（1）在一次函数中，令x=0，解得y=2；令y=0，解得x=－4。‎ ‎∴A，B的坐标是（－4，0），（0，2）。‎ ‎∴OA=4，OB=2。‎ ‎∴。‎ ‎（2）设直线与相交于点M，与x轴相交于点P（－3，0），与y轴相交于点N，则直线、与x轴围成的三角形为△APM，直线、与y轴围成的三角形为△NBM。‎ ‎ 分三种情况讨论：‎ ‎ ①当点N在y轴负半轴上，如图1，‎ 当只有当∠AMP=∠NMB=900时，△APM∽△NBM。‎ 此时，△AOB∽△NOP，得，‎ ‎∵OP=3，OB=2，OA=4，∴ON=6。∴N（0，－6）。‎ 设直线的解析式为，则，‎ 解得。‎ ‎∴直线的解析式为。‎ ②当点N在y轴正半轴上，且在OB的延长线上，如图2，‎ 当只有当∠MAP=∠MNB时，△APM∽△NBM。‎ 此时，△AOB∽△NOP，得，‎ ‎∵OP=3，OB=2，OA=4，∴ON=6。∴N（0，6）。‎ 设直线的解析式为，则，‎ 解得。‎ ‎∴直线的解析式为。‎ ②当点N在y轴正半轴上，且在OB上，如图3，‎ ‎∵∠AMP=∠BMN，‎ 但∠BNM=∠PNO＞∠NPO（∵ON＜OP＜OA）‎ ‎ ＜∠PAM，‎ ‎ ∠BNM=∠PNO＜∠APM，‎ ‎∴此时，△APM∽△NBM不成立。‎ 综上所述，直线、与x轴围成的三角形和直线、与y轴围成的三角形相似时，直线的解析式为或。‎ ‎【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，三角形边角关系，三角形外角性质。‎ ‎【分析】（1）在一次函数中，求出函数与坐标轴的交点坐标，就可以求出OA，OB的长，就可以求出三角函数值。‎ ‎ （2）分点N在y轴负半轴上；点N在y轴正半轴上，且在OB上；点N在y轴正半轴上，且在OB上三种情况分别讨论即可。‎ ‎7. （江苏省常州市2004年6分）已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）写出它的对称轴和顶点坐标。‎ ‎8. （江苏省常州市2004年5分）在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数图象如下图所示：‎ ‎（1）I与R的函数关系式为： ；‎ ‎（2）结合图象回答：当电路中的电流不得超过‎12 A时，电路中电阻R的取值范围是 。‎ ‎【答案】解：（1）。（2）R≥3。‎ ‎【考点】跨学科问题，反比例函数的应用。‎ ‎【分析】（1）根据图象可知I与R之间的关系，然后列出函数关系式，U保持不变，再把图象所经过的点A（6，6）代入函数式，求出U的值等于36，即得I与R的函数关系式为。‎ ‎ （2）当I=12时，R=3，所以求出R的取值范围是R≥3。‎ ‎9. （江苏省常州市2005年8分）有一个Rt△ABC，∠A=900，∠B=600，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数的图象上，求点C的坐标．‎ ‎【答案】解：本题共有4种情况：‎ ‎（1）如图①，过点A做AD⊥BC于D，‎ 在Rt△ABC中，∠A=900，∠B=600，AB=1，‎ ‎∴。‎ 在Rt△ABC中，∠ADB=900，∠B=600，AB=1，‎ ‎∴AD=ABsin60°=，BD= ABcos60°=。‎ ‎∴点A的纵坐标为 。 ‎ 将其代入，得x=2，即OD=2 。‎ ‎∴OC=OB＋BC=（OD－BD）＋BC=（2－）＋2=。‎ ‎∴点C1的坐标为（）。 ‎ ‎（2）如图②，过点A作AE⊥BC于E，‎ 同上，可得AE=，OE=2，CE=，OC= 。‎ ‎∴点C2的坐标为（，0）。 ‎ 根据双曲线的对称性，得点C3的坐标为（）， 点 C4的坐标为（）。‎ 综上所述，点C的坐标分别为：（）、（，0）、（）、（）。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质，分四种情况解直角三角形即可。‎ ‎10. （江苏省常州市2006年8分）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD时一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式。‎ ‎【答案】解：本题共有4种情况：‎ ‎ 设二次函数的图像得对称轴与轴相交于点E，‎ ‎ （1）如图①，当抛物线开口向上，∠CAD=600时，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，一边长为2，∴DE=1，BE=。‎ ‎ ∴点B的坐标为（，0），点C的坐标为（1，－1），‎ ‎ ∵点B、C在二次函数的图像上，‎ ‎ ∴， 解得。‎ ‎ ∴此二次函数的表达式。‎ ‎ （2）如图②，当抛物线开口向上，∠ACB=600时，‎ 由菱形性质知点A的坐标为（0，0），点C的坐标为（1，），‎ 解得 ‎ ∴此二次函数的表达式为。‎ ‎ 同理可得：抛物线开口向下时，此二次函数的表达式为 ‎。‎ ‎ 综上所述，符合条件的二次函数的表达式有：‎ ‎，，‎ ‎。‎ ‎【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，菱形的性质，解直角三角形。‎ ‎【分析】根据题意，画出图形，可得以下四种情况：‎ ‎（1）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；‎ ‎（2）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下；‎ ‎（3）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；‎ ‎（4）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下。‎ 利用四边形ACBD一个边长为2且有一个内角为60°的条件，根据解直角三角形的相关知识解答。‎ ‎11. （江苏省常州市2007年10分）已知A与B是反比例函数图象上的两个点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若点C，则在反比例函数图象上是否存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵A与B是反比例函数图象上的两个点，‎ ‎ ∴，解得。‎ ‎ ∴。‎ ‎（2）如图1，作BE⊥x轴，E为垂足，‎ ‎ ∵B（2，），C（－1，0），‎ ‎∴CE=3，BE= ，BC=。‎ ‎∴∠BCE=30°，‎ 由于点C与点A的横坐标相同，因此CA⊥x轴，从而∠ACB=120°。‎ ①当AC为底时，由于过点B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B，故不符题意。‎ ②如图1，当BC为底时，过点A作BC的平行线，交双曲线于点D。设BC的解析式为：‎ ‎∵B（2，），C（－1，0），‎ ‎∴，解得。∴BC的解析式为。‎ ‎∵AD∥BC，∴设AD的解析式为。‎ ‎∵A，∴，解得。‎ ‎∴AD的解析式为。‎ 由，解得，。‎ ‎∴D（6，）。‎ 此时AD=，与BC=不等，故四边形ADBC是梯形。‎ ③如图2，当AB为底时，过点C作AB的平行线，与双曲线的交点为D。设AB的解析式为：。‎ ‎∵A，B（2，），‎ ‎∴，解得。‎ ‎∴AB的解析式为。‎ ‎∵CD∥AB，∴设CD的解析式为。‎ ‎∵C（－1，0），∴，解得。‎ ‎∴CD的解析式为。‎ 由，解得，。‎ ‎∴D（－2，）或（1，）。‎ 此时CD=2或CD=4，与AB=6不等，故四边形ABCD或ABDC是梯形。‎ 综上所述，符合条件的点D的坐标为（6，），（－2，），（1，）。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的性质，梯形的判定。‎ ‎【分析】（1）由于A与B是反比例函数图象上的两个点，根据曲线上点的坐标与方程的关系，可列方程组求k的值。‎ ‎（2）判断是不是梯形，就要判定一组对边平行且不相等．求出坐标，既能求线段长度，又能判别平行。‎ ‎12. （江苏省2009年10分）如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．‎ ‎（1）求点与点的坐标；‎ ‎（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴顶点的坐标为，对称轴为。‎ 又∵二次函数的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，‎ ‎∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。‎ ‎（2）∵四边形是菱形，‎ ‎∴点和点关于直线对称。∴点的坐标为。‎ ‎∵二次函数的图象经过点，，‎ ‎∴，解得 ‎∴二次函数的关系式为。‎ ‎【考点】‎ 二次函数的性质，点关于直线对称的性质，菱形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）把化为顶点式，即可求得点的坐标。根据的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，可知点和点关于直线对称，从而根据点关于直线对称的性质求得点的坐标。‎ ‎ （2）由于四边形是菱形，根据菱形的性质，知点和点关于直线对称，从而求得点的坐标。由二次函数的图象经过点，，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，列方程组求解即可。‎ ‎13. （江苏省2009年12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）‎ 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；‎ ‎（2）分别求出线段与所对应的函数关系式；‎ ‎（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）‎ ‎【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。‎ 答：销售量为‎4万升时销售利润为4万元。‎ ‎（2）∵点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），‎ ‎∴销售量为（万升）。∴点的坐标为。‎ 设线段所对应的函数关系式为，‎ 则，解得。‎ ‎∴线段所对应的函数关系式为。‎ ‎∵从15日到31日销售‎5万升，利润为（万元），‎ ‎∴本月销售该油品的利润为（万元）。∴点的坐标为。‎ 设线段所对应的函数关系式为，‎ 则，解得。‎ ‎∴线段所对应的函数关系式为。‎ ‎（3）线段。‎ ‎【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）根据公式：销售利润＝（售价－成本价）×销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量＝销售利润÷（售价－成本价）。‎ ‎ （2）分别求出点、、的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出和所对应的函数关系式。‎ ‎ （3）段的利润率=；‎ ‎ 段的利润率=；‎ 段的利润率=。‎ ‎∴段的利润率最大。‎ ‎14. （江苏省常州市2010年7分）向阳花卉基地出售两种花卉——百合和玫瑰，其单价为：玫瑰4元/株，百合5元/株，如果同一客户所购的玫瑰数量大于1200株，那么每株玫瑰还可降价1元。现某鲜花店向向阳花卉基地采购玫瑰1000株～1500株，百合若干株，此鲜花店本次用于采购玫瑰和百合恰好花去了9000元。然后再以玫瑰5元、百合6.5元的价格卖出。问：此鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的毛利润最大？‎ ‎（注：1000株～1500株，表示大于或等于1000株，且小于或等于1500株。‎ 毛利润＝鲜花店卖出百合和玫瑰所获的总金额—购进百合和玫瑰的所需的总金额。）‎ ‎【答案】解：设采购玫瑰x株，百合y株，毛利润为W元.‎ ‎①当1000≤x≤1200时， 得4x+5y＝9000，y＝，‎ ‎ W＝（5－4）x＋（6.5－5）y＝x＋1.5·＝2700－。‎ ‎ ∵它是的一次函数，函数单调减小，∴当x=1000时，W有最大值2500。‎ ‎②当1200＜x≤1500时，得3x+5y＝9000，y＝，‎ ‎ W＝（5－3）x＋（6.5－5）y＝2x＋1.5y＝2x+1.5×＝2700+‎ ‎∵它是的一次函数，函数单调增加，∴当x=15000时，W有最大值4350。‎ 综上所述，采购玫瑰1500株，采购百合900株，毛利润最大为4350元。‎ 答：采购百合900株，采购玫瑰1500株，毛利润最大为4350元。‎ ‎【考点】一次函数的应用，一次函数的性质。‎ ‎【分析】依题意，分1000≤x≤1200和1200＜x≤1500列出函数关系式，根据一次函数的性质求解。‎ ‎15. （江苏省常州市2010年9分）如图，已知二次函数的图像与轴相交于点A、C，与轴相较于点B，A（），且△AOB∽△BOC。‎ ‎（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数的关系式；‎ ‎（2）在线段AC上是否存在点M（）。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】.解：（1）∵当=0时，=3，∴B（0，3）。‎ ‎ ∵△AOB∽△BOC，∴∠OAB＝∠OBC，。‎ ‎ ∵OA=，OB=3，∴，解得OC=4。∴C（4，0）。‎ ‎∵∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠OBC+∠OBA＝90°。∴∠ABC＝90°。‎ ‎ ∵图象经过点A（），C（4，0），‎ ‎ ∴，解得。‎ ‎ ∴二次函数的关系式为。‎ ‎ （2）存在。分三种情况：‎ ‎①如图1，当CP＝CO时，点P在以BM为直径的圆上，‎ ‎∵BM为圆的直径， ∴∠BPM＝90°。 ‎ 又∵∠ABC＝90°，∴PM∥AB。‎ ‎ ∴△CPM∽△CBA。∴。‎ ‎ ∵OC=4，OB=3，∴CB=5。‎ ‎ 又CA=，CP=CO=4，∴，解得CM＝5。‎ ‎ ∴＝－1。‎ ‎ ②如图2，当PC＝PO时，点P在OC垂直平分线上，‎ 则CP＝。‎ ‎ 由△CPM∽△CBA，得，即，‎ 解得 CM＝。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ③当OC＝OP时，M点不在线段AC上。‎ ‎ 综上所述，的值为或－1。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，平行的判定，线段中垂线的性质。 ‎ ‎【分析】（1）由点B是二次函数的图像与轴的交点，令=0，即可得点B的坐标，从而由△AOB∽△BOC得对应边的比，求得C（4，0）。由三角形内角和定理求出∠ABC＝90°。由二次函数图象经过点A（），C（4，0），用待定系数法求出函数关系式。‎ ‎ （2）分CP＝CO，PC＝PO和OC＝OP三种情况分别讨论即可。‎ ‎16. （2011江苏常州10分）在平面直角坐标系XOY中，直线过点且与轴平行，直线过点且与轴平行，直线与直线相交于点P。点E为直线上一点，反比例函数（＞0）的图像过点E与直线相交于点F。‎ ‎⑴若点E与点P重合，求的值；‎ ‎⑵连接OE、OF、EF。若＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；‎ ‎⑶是否存在点E及轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）∵直线过点A（1，0）且与轴平行，直线过点B（0。2）且与轴平行，直线与直线相交于点P，∴点P（1，2）。‎ ‎ 若点E与点P重合，则k＝1×2＝2。‎ ‎ （2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂 足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形 ‎ ∵PE⊥PF， ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴S△PEF＝‎ ‎ ∴四边形PFGE是矩形， ∴S△PEF＝S△GFE，‎ ‎∴S△OEF＝S矩形OCGD－S△DOF－S△GFE－S△OCE＝ ‎ ‎∵S△OEF＝2S△PEF， ∴，解得k＝6或k＝2，‎ ‎∵k＝2时，E、F重合，舍去。 ∴k＝6， ∴E点坐标为：（3，2）。‎ ‎（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF ‎①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H ‎∵△FHM∽△MBE， ∴ ‎ ‎∵FH＝1，EM＝PE＝1－ ，FM＝PF＝2－k， ‎ ‎∴。‎ 在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2， ‎ ‎∴（1－ ）2＝（ ）2＋（）2‎ 解得k＝ ，此时E点坐标为（ ，2）。‎ ‎②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得， 。‎ ‎∵FQ＝1，EM＝PF＝k－2，FM＝PE＝ －1，‎ ‎ ∴ ＝ ，BM＝2‎ 在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2‎ ‎∴（k－2）2＝（）2＋22，解得k＝ 或0，但k＝0不符合题意， ∴k＝ ． ‎ 此时E点坐标为（ ，2）‎ ‎∴符合条件的E点坐标为（ ，2）（ ，2）．‎ ‎【考点】反比例函数，矩形，一元二次方程，全等级三角形，相似三角形，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）易由直线，求交点P坐标。若点E与点P重合，则点P在图象上，坐标满足函数关系式，求出。‎ ‎ （2）要求E点的坐标，只要先利用相似三角形对应边的比，用表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用相似三角形OEF 面积是PEF面积2倍的关系求出。‎ ‎ （3）要求E点的坐标，只要先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用勾股定理求出。要注意应根据点P、E、F三点位置分k＜2和k＞2两种情况讨论。‎ ‎17. （2012江苏常州7分）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）‎