2017年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷含答案解析

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2017年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷含答案解析

‎2017年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)‎ ‎1.(3分)数轴上,表示数a的点的绝对值是(  )‎ A.2 B. C. D.﹣2‎ ‎2.(3分)空气中有一种有害粉尘颗粒,其直径大约为0.000 000 017m,该直径可用科学记数法表示为(  )‎ A.0.17×10﹣7m B.1.7×107m C.1.7×10﹣8m D.1.7×108m ‎3.(3分)下列计算正确的是(  )‎ A.a4•a1=a4 B.(a3)2=a5 C.3x2﹣x2=2 D.2a2÷3a=‎ ‎4.(3分)四张形状大小完全一致的卡片,放在不透明的箱子中,每张卡片正反面上分别标的点的坐标如下表所示:‎ 第一张 第二张 第三张 第四张 正面 ‎(2,3)‎ ‎(1,3)‎ ‎(﹣1,2)‎ ‎(2,4)‎ 反面 ‎(﹣2,1)‎ ‎(﹣1,﹣3)‎ ‎(1,2)‎ ‎(﹣3,4)‎ 若从中随机抽取一张,其正反面上两点正好关于y轴对称的概率是(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎5.(3分)如图是一副三角尺ABC和与DEF拼成的图案,若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转,则边DE与边AB第一次平行时,旋转角的度数是(  )‎ A.75° B.60° C.45° D.30°‎ ‎6.(3分)桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体,其三视图如图所示,则组成此几何体需要正方体的个数是(  )‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎7.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心适当长为半径画弧,分别交AC、AB于点M、N,分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧交于点P,作射线AP交BC于点D,再作射线DE交AB于点E,则下列结论错误的是(  )‎ A.∠ADB=120° B.S△ADC:S△ABC=1:3‎ C.若CD=2,则BD=4 D.DE垂直平分AB ‎8.(3分)2016年5月15日从呼市到鄂尔多斯市的D6767次动车首发成功,鄂尔多斯市自此迎来了动车时代,已知两地铁路长为450千米,动车比火车每小时多行驶50千米,从呼市到鄂尔多斯市乘动车比乘火车少用40分钟,设动车速度为每小时x千米,则可列方程为(  )‎ A.﹣=40 B.﹣=40‎ C.﹣= D.﹣=‎ ‎9.(3分)如图,将半圆形纸片折叠,使折痕CD与直径AB平行,的中点P落在OP上的点P'处,且OP'=OP,折痕CD=2,则tan∠COP的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(3分)如图1,正△ABC的边长为4,点P为BC边上的任意一点,且∠APD=60°,PD交AC于点D,设线段PB的长度为x,图1中某线段的长度为y,y与x的函数关系的大致图象如图2,则这条线段可能是图1中的(  )‎ A.线段AD B.线段AP C.线段PD D.线段CD ‎ ‎ 二、填空题(本大题共6题,每题3分,共18分)‎ ‎11.(3分)函数的自变量x的取值范围是   .‎ ‎12.(3分)计算:(π﹣3.14)0﹣2sin60°﹣=   .‎ ‎13.(3分)如图,由一些点组成形如正多边形的图案,按照这样的规律摆下去,则第n(n>0)个图案需要点的个数是   .‎ ‎14.(3分)下列说法正确的是   ,(请直接填写序号)‎ ‎①2<2<3;②四边形的内角和与外角和相等;③的立方根为4;‎ ‎④一元二次方程x2﹣6x=10无实数根;‎ ‎⑤若一组数据7,4,x,3,5,6的众数和中位数都是5,则这组数据的平均数也是5.‎ ‎15.(3分)如图所示,反比例函数y=(x<0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M,分别与AB,BC交于点D、E,若BD=3,OA=4,则k的值为   .‎ ‎16.(3分)如图,M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点,满足AM=BN,连接AC交BN于点E,连接DE交AM于点F,连接CF,若正方形的边长为4,则线段CF的最小值是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共8题,共72分,解答时写出必要的文字说明,演算步骤或推理过程)‎ ‎17.(8分)(1)化简求值: +,其中x是一元二次方程x(x﹣1)=2x﹣2的解.‎ ‎(2)解不等式组:,并求其整数解的和.‎ ‎18.(9分)鄂尔多斯市加快国家旅游改革先行示范区建设,越来越多的游客慕名而来,感受鄂尔多斯市“24℃夏天的独特魅力”,市旅游局工作人员依据2016年7月份鄂尔多斯市各景点的游客数量,绘制了如下尚不完整的统计图;‎ 根据以上信息解答下列问题:‎ ‎(1)2016年7月份,鄂尔多斯市共接待游客   万人,扇形统计图中乌兰木伦景观湖所对应的圆心角的度数是   ,并补全条形统计图;‎ ‎(2)预计2017年7月份约有200万人选择来鄂尔多斯市旅游,通过计算预估其中选择去响沙湾旅游的人数;‎ ‎(3)甲、乙两个旅行团准备去响沙湾、成吉思汗陵、蒙古源流三个景点旅游,若这三个景点分别记作a、b、c,请用树状图或列表法求他们选择去同一个景点的概率.‎ ‎19.(7分)一般情况下,中学生完成数学家庭作业时,注意力指数随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB、BC为线段,CD为双曲线的一部分).‎ ‎(1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式;‎ ‎(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间,根据图中信息,求出一般情况下,完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟?‎ ‎20.(9分)某商场试销A、B两种型号的台灯,下表是两次进货情况统计:‎ 进货情况 进货次数 进货数量(台)‎ 进货资金(元)‎ A B 第一次 ‎5‎ ‎3‎ ‎230‎ 第二次 ‎10‎ ‎4‎ ‎440‎ ‎(1)求A、B两种型号台灯的进价各为多少元?‎ ‎(2)经试销发现,A型号台灯售价x(元)与销售数量y(台)满足关系式2x+y=140此商场决定两种型号台灯共进货100台,并一周内全部售出,若B型号台灯售价定为20元,求A型号台灯售价定为多少时,商场可获得最大利润?并通过计算说明商场获得最大利润时的进货方案.‎ ‎21.(8分)某机场为了方便旅客换乘,计划在一、二层之间安装电梯,截面设计图如图所示,已知两层AD与BC平行,层高AB为8米,A、D间水平距离为5米,∠ACB=21.5°‎ ‎(1)通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下,搭乘电梯在D处会不会碰到头部;‎ ‎(2)若采用中段加平台设计(如图虚线所示),已知平台MN∥BC,且AM段和NC段的坡度均为1:2(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),求平台MN的长度.‎ ‎(参考数据:sin21.5°=,cos21.5°=,tan21.5°=)‎ ‎22.(8分)如图,四边形ABCD中,MA=MC,MB=MD,以AB为直径的O过点M且与DC延长线相切于点E.‎ ‎(1)求证:四边形ABCD是菱形;‎ ‎(2)若AB=4,求的长(结果请保留π)‎ ‎23.(11分)已知抛物线y=a(x﹣1)2+3(a≠0)与y轴交于点A(0,2),顶点为B,且对称轴l1与x轴交于点M ‎(1)求a的值,并写出点B的坐标;‎ ‎(2)有一个动点P从原点O出发,沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动,设运动时间为t秒,求t为何值时PA+PB最短;‎ ‎(3)将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C,且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N,过点C作DE∥x轴,分别交l1,l2于点D、E,若四边形MDEN是正方形,求平移后抛物线的解析式.‎ ‎24.(12分)【问题情景】‎ 利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法,此方法是我们解决几何问题的途径之一.‎ 例如:张老师给小聪提出这样一个问题:‎ 如图1,在△ABC中,AB=3,AD=6,问△ABC的高AD与CE的比是多少?‎ 小聪的计算思路是:‎ 根据题意得:S△ABC=BC•AD=AB•CE.‎ 从而得2AD=CE,∴=‎ 请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题:‎ ‎(1)【类比探究】‎ 如图2,在▱ABCD中,点E、F分别在AD,CD上,且AF=CE,并相交于点O,连接BE、BF,‎ 求证:BO平分角AOC.‎ ‎(2)【探究延伸】‎ 如图3,已知直线m∥n,点A、C是直线m上两点,点B、D是直线n上两点,点P是线段CD中点,且∠APB=90°,两平行线m、n间的距离为4.求证:PA•PB=2AB.‎ ‎(3)【迁移应用】‎ 如图4,E为AB边上一点,ED⊥AD,CE⊥CB,垂足分别为D,C,∠DAB=∠B,AB=,BC=2,AC=,又已知M、N分别为AE、BE的中点,连接DM、CN.求△DEM与△CEN的周长之和.‎ ‎ ‎ ‎2017年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)‎ ‎1.(3分)数轴上,表示数a的点的绝对值是(  )‎ A.2 B. C. D.﹣2‎ ‎【解答】解:由题意可知:a=﹣2‎ ‎∴|a|=2‎ 故选(A)‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)空气中有一种有害粉尘颗粒,其直径大约为0.000 000 017m,该直径可用科学记数法表示为(  )‎ A.0.17×10﹣7m B.1.7×107m C.1.7×10﹣8m D.1.7×108m ‎【解答】解:0.000 000 017=1.7×10﹣8,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)下列计算正确的是(  )‎ A.a4•a1=a4 B.(a3)2=a5 C.3x2﹣x2=2 D.2a2÷3a=‎ ‎【解答】解:A、a4•a1=a5,错误;‎ B、(a3)2=a6,错误;‎ C、3x2﹣x2=2x2,错误;‎ D、2a2÷3a=,正确.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)四张形状大小完全一致的卡片,放在不透明的箱子中,每张卡片正反面上分别标的点的坐标如下表所示:‎ 第一张 第二张 第三张 第四张 正面 ‎(2,3)‎ ‎(1,3)‎ ‎(﹣1,2)‎ ‎(2,4)‎ 反面 ‎(﹣2,1)‎ ‎(﹣1,﹣3)‎ ‎(1,2)‎ ‎(﹣3,4)‎ 若从中随机抽取一张,其正反面上两点正好关于y轴对称的概率是(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎【解答】解:∵有四张形状大小完全一致的卡片,关于y轴对称的只有第三张,‎ ‎∴从中随机抽取一张,其正反面上两点正好关于y轴对称的概率是:.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)如图是一副三角尺ABC和与DEF拼成的图案,若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转,则边DE与边AB第一次平行时,旋转角的度数是(  )‎ A.75° B.60° C.45° D.30°‎ ‎【解答】解:过M作MH∥AB交BC于H,‎ ‎∵AB⊥BC,‎ ‎∴MH⊥BC,‎ ‎∴△BMH是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠BMH=45°,‎ ‎∴若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转,则边DE与边AB第一次平行时,旋转角的度数是45°,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体,其三视图如图所示,则组成此几何体需要正方体的个数是(  )‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎【解答】解:根据俯视图可知该组合体共3行、2列,‎ 结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示:‎ 则组成此几何体需要正方体的个数是7,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎7.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心适当长为半径画弧,分别交AC、AB于点M、N,分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧交于点P,作射线AP交BC于点D,再作射线DE交AB于点E,则下列结论错误的是(  )‎ A.∠ADB=120° B.S△ADC:S△ABC=1:3‎ C.若CD=2,则BD=4 D.DE垂直平分AB ‎【解答】解:∵∠C=90°,∠B=30°,‎ ‎∴∠CAB=60°,‎ 由题意知AD平分∠CAB=60°,‎ ‎∴∠CAD=∠DAB=30°,‎ 则∠ADB=180°﹣∠DAB﹣∠B=120°,故A选项正确;‎ 在Rt△ACD中,设CD=x,则AD=2x,‎ ‎∵∠DAB=∠B=30°,‎ ‎∴DB=DA=2x,‎ ‎∴BC=CD+BD=3x,‎ 则===,故B选项正确;‎ 由以上可知BD=2CD,‎ ‎∴当CD=2时,BD=4,故C选项正确;‎ 由于点E的位置不确定,故无法判断DE是否垂直平分AB,则D选项错误;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)2016年5月15日从呼市到鄂尔多斯市的D6767次动车首发成功,鄂尔多斯市自此迎来了动车时代,已知两地铁路长为450千米,动车比火车每小时多行驶50千米,从呼市到鄂尔多斯市乘动车比乘火车少用40分钟,设动车速度为每小时x千米,则可列方程为(  )‎ A.﹣=40 B.﹣=40‎ C.﹣= D.﹣=‎ ‎【解答】解:设动车速度为每小时x千米,则可列方程为:‎ ‎﹣=.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)如图,将半圆形纸片折叠,使折痕CD与直径AB平行,的中点P落在OP上的点P'处,且OP'=OP,折痕CD=2,则tan∠COP的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:由折叠得:EP'=EP,‎ ‎∵OP'=OP,‎ ‎∴EP'=EP=OP',‎ 设OP'=x,则OC=3x,OE=2x,‎ ‎∵P是的中点,‎ ‎∴OP⊥CD,‎ ‎∴CE=CD=,‎ 在Rt△OCE中,由勾股定理得:OC2=OE2+CE2,‎ ‎(3x)2=(2x)2+()2,‎ ‎5x2=3,‎ x=,‎ ‎(舍),,‎ ‎∴tan∠COP===,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)如图1,正△ABC的边长为4,点P为BC边上的任意一点,且∠APD=60°,PD交AC于点D,设线段PB的长度为x,图1中某线段的长度为y,y与x的函数关系的大致图象如图2,则这条线段可能是图1中的(  )‎ A.线段AD B.线段AP C.线段PD D.线段CD ‎【解答】解:由图2知,当x取最小值2时,y=3.‎ 正△ABC的边长为4,则0≤x≤4,‎ 根据等边三角形的性质可知,当AP⊥BC即x=2时,线段AP、PD有最小值,‎ 此时AP=2,PD=AP=,AD=APcos30°=3,CD=AC﹣AD=1,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共6题,每题3分,共18分)‎ ‎11.(3分)函数的自变量x的取值范围是 x≥2 .‎ ‎【解答】解:根据题意得,x﹣2≥0,‎ 解得x≥2.‎ 故答案为:x≥2.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)计算:(π﹣3.14)0﹣2sin60°﹣= 0 .‎ ‎【解答】解:(π﹣3.14)0﹣2sin60°﹣‎ ‎=1﹣2×+2‎ ‎=3﹣3‎ ‎=0.‎ 故答案为:0.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)如图,由一些点组成形如正多边形的图案,按照这样的规律摆下去,则第n(n>0)个图案需要点的个数是 n2+2n .‎ ‎【解答】解:第1个图形是2×3﹣3,‎ 第2个图形是3×4﹣4,‎ 第3个图形是4×5﹣5,‎ 按照这样的规律摆下去,‎ 则第n个图形需要云子的个数是(n+1)(n+2)﹣(n+2)=n2+2n,‎ 故答案为:n2+2n.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)下列说法正确的是 ②⑤ ,(请直接填写序号)‎ ‎①2<2<3;②四边形的内角和与外角和相等;③的立方根为4;‎ ‎④一元二次方程x2﹣6x=10无实数根;‎ ‎⑤若一组数据7,4,x,3,5,6的众数和中位数都是5,则这组数据的平均数也是5.‎ ‎【解答】解:①∵2<3<2,‎ ‎∴①错误;‎ ‎②∵四边形的内角和为360°,四边形的外角和为360°,‎ ‎∴四边形的内角和与外角和相等,②正确;‎ ‎③∵=8,‎ ‎∴的立方根为2,③错误;‎ ‎④原方程可变形为x2﹣6x﹣10=0,‎ ‎∵△=(﹣6)2﹣4×1×(﹣10)=76>0,‎ ‎∴一元二次方程x2﹣6x=10有两个不相等的实数根,④错误;‎ ‎⑤∵数据7,4,x,3,5,6的众数和中位数都是5,‎ ‎∴x=5,‎ ‎∴这组数据的平均数为(7+4+5+3+5+6)÷6=5,⑤正确.‎ 故答案为:②⑤.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)如图所示,反比例函数y=(x<0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M,分别与AB,BC交于点D、E,若BD=3,OA=4,则k的值为 ﹣4 .‎ ‎【解答】解:设D(﹣4,m),∴|k|=4m,‎ 过点M作MF⊥OA于点F,连接OB,‎ 由矩形的性质可知:BM=OM,‎ ‎∴FA=FO,‎ ‎∴S△OMF=S△AMO=S△ABO=×OA•AB=(3+m),‎ ‎∴|k|=(3+m),‎ ‎∴|k|=(3+m),‎ ‎∴(3+m)=4m,‎ ‎∴m=1,‎ ‎∴|k|=4‎ ‎∵k<0‎ ‎∴k=﹣4,‎ 故答案为:﹣4.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)如图,M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点,满足AM=BN,连接AC交BN于点E,连接DE交AM于点F,连接CF,若正方形的边长为4,则线段CF的最小值是 2﹣2 .‎ ‎【解答】解:在正方形ABCD中,AD=BC=CD,∠ADC=∠BCD,∠DCE=∠BCE,‎ 在Rt△ADM和Rt△BCN中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△ADM和Rt△BCN(HL),‎ ‎∴∠1=∠2,‎ 在△DCE和△BCE中,‎ ‎,‎ ‎∴△DCE≌△BCE(SAS),‎ ‎∴∠2=∠3,‎ ‎∴∠1=∠3,‎ ‎∵∠ADF+∠3=∠ADC=90°,‎ ‎∴∠1+∠ADF=90°,‎ ‎∴∠AFD=180°﹣90°=90°,‎ 取AD的中点O,连接OF、OC,‎ 则OF=DO=AD=2,‎ 在Rt△ODC中,OC===2,‎ 根据三角形的三边关系,OF+CF>OC,‎ ‎∴当O、F、C三点共线时,CF的长度最小,‎ 最小值=OC﹣OF=2﹣2.‎ 故答案为:2﹣2.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共8题,共72分,解答时写出必要的文字说明,演算步骤或推理过程)‎ ‎17.(8分)(1)化简求值: +,其中x是一元二次方程x(x﹣1)=2x﹣2的解.‎ ‎(2)解不等式组:,并求其整数解的和.‎ ‎【解答】解:(1)原式=﹣•=﹣=﹣,‎ 已知方程整理得:(x﹣2)(x﹣1)=0,‎ 解得:x=2或x=1(舍去),‎ 当x=2时,原式=﹣;‎ ‎(2)由①得:x≤0,‎ 由②得:x>﹣,‎ ‎∴不等式组的解集为﹣<x≤0,即整数解为﹣1,0,之和为﹣1.‎ ‎ ‎ ‎18.(9分)鄂尔多斯市加快国家旅游改革先行示范区建设,越来越多的游客慕名而来,感受鄂尔多斯市“24℃夏天的独特魅力”,市旅游局工作人员依据2016年7月份鄂尔多斯市各景点的游客数量,绘制了如下尚不完整的统计图;‎ 根据以上信息解答下列问题:‎ ‎(1)2016年7月份,鄂尔多斯市共接待游客 150 万人,扇形统计图中乌兰木伦景观湖所对应的圆心角的度数是 72 ,并补全条形统计图;‎ ‎(2)预计2017年7月份约有200万人选择来鄂尔多斯市旅游,通过计算预估其中选择去响沙湾旅游的人数;‎ ‎(3)甲、乙两个旅行团准备去响沙湾、成吉思汗陵、蒙古源流三个景点旅游,若这三个景点分别记作a、b、c,请用树状图或列表法求他们选择去同一个景点的概率.‎ ‎【解答】解:(1)由条形图和扇形图可知,游其他的人数是12万人,占8%,‎ 则鄂尔多斯市共接待游客人数为:12÷8%=150(万人),‎ 乌兰木伦景观湖所对应的圆心角的度数是:360°×=72°,‎ 黄河大峡谷人数为:150﹣45﹣27﹣30﹣24﹣12=12(万人),补全条形统计图如图:‎ 故答案为:150,72;‎ ‎(2)根据题意得:‎ ‎200×=60(万人)‎ 答:估计其中选择去响沙湾旅游的人数有60万人;‎ ‎(3)设a,b,c分别表示响沙湾、成吉思汗陵、蒙古源流,列树状图如下:‎ 由此可见,共有9种可能出现的结果,这些结果出现的可能性相等,其中同时选择去同一个景点的结果有3种 则同时选择去同一个景点的概率是=‎ ‎ ‎ ‎19.(7分)一般情况下,中学生完成数学家庭作业时,注意力指数随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB、BC为线段,CD为双曲线的一部分).‎ ‎(1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式;‎ ‎(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间,根据图中信息,求出一般情况下,完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟?‎ ‎【解答】解:(1)设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+30,‎ 把B(10,50)代入得,k1=2,‎ ‎∴AB解析式为:y1=2x+30(0≤x≤10).‎ 设C、D所在双曲线的解析式为y2=,‎ 把C(44,50)代入得,k2=2200,‎ ‎∴曲线CD的解析式为:y2=(x≥44);‎ ‎(2)将y=40代入y1=2x+30得:2x+30=40,解得:x=5,‎ 将y=40代入y2=得:x=55.‎ ‎55﹣5=50.‎ 所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟.‎ ‎ ‎ ‎20.(9分)某商场试销A、B两种型号的台灯,下表是两次进货情况统计:‎ 进货情况 进货次数 进货数量(台)‎ 进货资金(元)‎ A B 第一次 ‎5‎ ‎3‎ ‎230‎ 第二次 ‎10‎ ‎4‎ ‎440‎ ‎(1)求A、B两种型号台灯的进价各为多少元?‎ ‎(2)经试销发现,A型号台灯售价x(元)与销售数量y(台)满足关系式2x+y=140此商场决定两种型号台灯共进货100台,并一周内全部售出,若B型号台灯售价定为20元,求A型号台灯售价定为多少时,商场可获得最大利润?并通过计算说明商场获得最大利润时的进货方案.‎ ‎【解答】解:(1)设A、B两种型号台灯的进价分别为x元,y元,‎ 由题意得,,‎ 解得:,‎ 答:A、B两种型号台灯的进价分别为40元,10元;‎ ‎(2)∵A型号台灯售价x(元)与销售数量y(台)满足关系式2x+y=140此商场决定两种型号台灯共进货100台,即y=﹣2x+140,则B型号台灯共进货(100﹣y)台=(2x﹣40)台,‎ 设商场可获得利润为w,则w=(x﹣40)(﹣2x+140)+(20﹣10)(2x﹣40)=﹣2x2+240x﹣6000=﹣2(x﹣60)2+1200,‎ ‎∵﹣2<0,‎ ‎∴A型号台灯售价定为60元时,商场可获得最大利润为1200元.‎ ‎ ‎ ‎21.(8分)某机场为了方便旅客换乘,计划在一、二层之间安装电梯,截面设计图如图所示,已知两层AD与BC平行,层高AB为8米,A、D间水平距离为5米,∠ACB=21.5°‎ ‎(1)通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下,搭乘电梯在D处会不会碰到头部;‎ ‎(2)若采用中段加平台设计(如图虚线所示),已知平台MN∥BC,且AM段和NC段的坡度均为1:2(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),求平台MN的长度.‎ ‎(参考数据:sin21.5°=,cos21.5°=,tan21.5°=)‎ ‎【解答】解:(1)作GD⊥AD,交AC于点G,‎ ‎∵∠ACB=21.5°,AD∥BC,‎ ‎∴∠DAG=21.5°,‎ ‎∴DG=tan21.5°×5=0.4×5=2<2.4,‎ ‎∴会碰到头部;‎ ‎(2)∵AB=8,‎ ‎∴CB═20,‎ 过点M作ME⊥AB,垂足为点E,过点N作NF⊥CD,垂足为点F,‎ 设FN=x,则AE=8﹣x,‎ ‎∵AM段和NC段的坡度i=1:2,‎ ‎∴EM=2(8﹣x)=16﹣2x,CF=2x,‎ ‎∴EM+CF=16﹣2x+2x=16,‎ ‎∴MN=BC﹣(EM+CF)=20﹣16=4(米).‎ ‎ ‎ ‎22.(8分)如图,四边形ABCD中,MA=MC,MB=MD,以AB为直径的O过点M且与DC延长线相切于点E.‎ ‎(1)求证:四边形ABCD是菱形;‎ ‎(2)若AB=4,求的长(结果请保留π)‎ ‎【解答】解:(1)∵MA=MC,MB=MD,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,且⊙O经过点M,‎ ‎∴∠AMB=90°,即AC⊥BD,‎ ‎∴四边形ABCD是菱形;‎ ‎(2)如图,作CH⊥AB于点H,连接OE,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,且AB=4,‎ ‎∴DE∥AB,BC=AB=4,OA=OB=OE=2,‎ ‎∵⊙O与DC相切于点E,‎ ‎∴OE⊥DC,‎ 则CH=OE=2,‎ 在Rt△BCH中,由BC=2CH知∠CBH=30°,‎ ‎∴∠OBM=∠CBH=15°,‎ ‎∵OB=OM=2,‎ ‎∴∠BOM=150°,‎ 则的长为=.‎ ‎ ‎ ‎23.(11分)已知抛物线y=a(x﹣1)2+3(a≠0)与y轴交于点A(0,2),顶点为B,且对称轴l1与x轴交于点M ‎(1)求a的值,并写出点B的坐标;‎ ‎(2)有一个动点P从原点O出发,沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动,设运动时间为t秒,求t为何值时PA+PB最短;‎ ‎(3)将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C,且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N,过点C作DE∥x轴,分别交l1,l2于点D、E,若四边形MDEN是正方形,求平移后抛物线的解析式.‎ ‎【解答】解:(1)把A(0,2)代入抛物线的解析式可得,2=a+3,‎ ‎∴a=﹣1,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+3,‎ ‎∴抛物线的顶点B坐标为(1,3).‎ ‎(2)如图1中,作点A关于x轴的对称点A′,连接BA′交x轴于P,点P即为所求.‎ ‎∵A′(0,﹣2),B(1,3),‎ ‎∴直线A′B的解析式为y=5x﹣2,‎ ‎∴P(,0),‎ ‎∴t==时,PA+PB最短 ‎(3)如图2中,设抛物线向右平移后的解析式为y=﹣(x﹣m)2+3.‎ 由,解得x=,‎ ‎∴点C的横坐标,‎ ‎∵MN=m﹣1,四边形MDEN是正方形,‎ ‎∴C(,m﹣1),‎ 把点C的坐标代入y=﹣(x﹣1)2+3,‎ 得到m﹣1=﹣+3,‎ 解得m=3或﹣5(舍弃),‎ ‎∴移后抛物线的解析式为y=﹣(x﹣3)2+3.‎ 当点C在x轴下方时,C(,1﹣m),‎ 把点C的坐标代入y=﹣(x﹣1)2+3,‎ 得到1﹣m=﹣+3,‎ 解得m=7或﹣1(舍弃),‎ ‎∴移后抛物线的解析式为y=﹣(x﹣7)2+3.‎ ‎ ‎ ‎24.(12分)【问题情景】‎ 利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法,此方法是我们解决几何问题的途径之一.‎ 例如:张老师给小聪提出这样一个问题:‎ 如图1,在△ABC中,AB=3,AD=6,问△ABC的高AD与CE的比是多少?‎ 小聪的计算思路是:‎ 根据题意得:S△ABC=BC•AD=AB•CE.‎ 从而得2AD=CE,∴=‎ 请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题:‎ ‎(1)【类比探究】‎ 如图2,在▱ABCD中,点E、F分别在AD,CD上,且AF=CE,并相交于点O,连接BE、BF,‎ 求证:BO平分角AOC.‎ ‎(2)【探究延伸】‎ 如图3,已知直线m∥n,点A、C是直线m上两点,点B、D是直线n上两点,点P是线段CD中点,且∠APB=90°,两平行线m、n间的距离为4.求证:PA•PB=2AB.‎ ‎(3)【迁移应用】‎ 如图4,E为AB边上一点,ED⊥AD,CE⊥CB,垂足分别为D,C,∠DAB=∠‎ B,AB=,BC=2,AC=,又已知M、N分别为AE、BE的中点,连接DM、CN.求△DEM与△CEN的周长之和.‎ ‎【解答】证明:(1)如图2,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴S△ABF=S▱ABCD,S△BCE=S▱ABCD,‎ ‎∴S△ABF=S△BCE,‎ 过点B作OG⊥AF于G,OH⊥CE于H,‎ ‎∴S△ABF=AF×BG,S△BCE=CE×BH,‎ ‎∴AF×BG=CE×BH,即:AF×BG=CE×BH,‎ ‎∵AF=CE,‎ ‎∴BG=BH,‎ 在Rt△BOG和Rt△BOH中,,‎ ‎∴Rt△BOG≌Rt△BOH,‎ ‎∴∠BOG=∠BOH,‎ ‎∴OB平分∠AOC,‎ ‎(2)如图3,‎ 过点P作PG⊥n于G,交m于F,‎ ‎∵m∥n,‎ ‎∴PF⊥AC,‎ ‎∴∠CFP=∠BGP=90°,‎ ‎∵点P是CD中点,‎ 在△CPF和△DPG中,,‎ ‎∴△CPF≌△DPG,‎ ‎∴PF=PG=FG=2,‎ 延长BP交AC于E,‎ ‎∵m∥n,‎ ‎∴∠ECP=∠BDP,‎ ‎∴CP=DP,‎ 在△CPE和△DPB中,,‎ ‎∴△CPE≌△DPB,‎ ‎∴PE=PB,‎ ‎∵∠APB=90°,‎ ‎∴AE=AB,‎ ‎∴S△APE=S△APB,‎ ‎∵S△APE=AE×PF=AE=AB,S△APB=AP×PB,‎ ‎∴AB=AP×PB,‎ 即:PA•PB=2AB;‎ ‎(3)如图4,延长AD,BC交于点G,‎ ‎∵∠BAD=∠B,‎ ‎∴AG=BG,过点A作AF⊥BC于F,‎ 设CF=x(x>0),‎ ‎∴BF=BC+CF=x+2,‎ 在Rt△ABF中,AB=,‎ 根据勾股定理得,AF2=AB2﹣BF2=34﹣(x+2)2,‎ 在Rt△ACF中,AC=,‎ 根据勾股定理得,AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2,‎ ‎∴34﹣(x+2)2=26﹣x2,‎ ‎∴x=﹣1(舍)或x=1,‎ ‎∴AF==5,‎ 连接EG,‎ ‎∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG(DE+CE),‎ ‎∴DE+CE=AF=5,‎ 在Rt△ADE中,点M是AE的中点,‎ ‎∴AE=2DM=2EM,‎ 同理:BE=2CN=2EN,‎ ‎∵AB=AE+BE,‎ ‎∴2DM+2CN=AB,‎ ‎∴DM+CN=AB,‎ 同理:EM+EN=AB ‎∴△DEM与△CEN的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=(DE+CE)+[(DM+CN)+(EM+EN)]‎ ‎=(DE+CN)+AB=5+.‎ ‎ ‎
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