2017年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷含答案解析

2017年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷含答案解析

‎2017年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）数轴上，表示数a的点的绝对值是（　　）‎ A．2 B． C． D．﹣2‎ ‎2．（3分）空气中有一种有害粉尘颗粒，其直径大约为0.000 000 017m，该直径可用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.17×10﹣7m B．1.7×107m C．1.7×10﹣8m D．1.7×108m ‎3．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．a4•a1=a4 B．（a3）2=a5 C．3x2﹣x2=2 D．2a2÷3a=‎ ‎4．（3分）四张形状大小完全一致的卡片，放在不透明的箱子中，每张卡片正反面上分别标的点的坐标如下表所示：‎ 第一张 第二张 第三张 第四张 正面 ‎（2，3）‎ ‎（1，3）‎ ‎（﹣1，2）‎ ‎（2，4）‎ 反面 ‎（﹣2，1）‎ ‎（﹣1，﹣3）‎ ‎（1，2）‎ ‎（﹣3，4）‎ 若从中随机抽取一张，其正反面上两点正好关于y轴对称的概率是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎5．（3分）如图是一副三角尺ABC和与DEF拼成的图案，若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转，则边DE与边AB第一次平行时，旋转角的度数是（　　）‎ A．75° B．60° C．45° D．30°‎ ‎6．（3分）桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示，则组成此几何体需要正方体的个数是（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧交于点P，作射线AP交BC于点D，再作射线DE交AB于点E，则下列结论错误的是（　　）‎ A．∠ADB=120° B．S△ADC：S△ABC=1：3‎ C．若CD=2，则BD=4 D．DE垂直平分AB ‎8．（3分）2016年5月15日从呼市到鄂尔多斯市的D6767次动车首发成功，鄂尔多斯市自此迎来了动车时代，已知两地铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从呼市到鄂尔多斯市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x千米，则可列方程为（　　）‎ A．﹣=40 B．﹣=40‎ C．﹣= D．﹣=‎ ‎9．（3分）如图，将半圆形纸片折叠，使折痕CD与直径AB平行，的中点P落在OP上的点P'处，且OP'=OP，折痕CD=2，则tan∠COP的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（3分）如图1，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点，且∠APD=60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，图1中某线段的长度为y，y与x的函数关系的大致图象如图2，则这条线段可能是图1中的（　　）‎ A．线段AD B．线段AP C．线段PD D．线段CD ‎　‎ 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）函数的自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎12．（3分）计算：（π﹣3.14）0﹣2sin60°﹣=　 　．‎ ‎13．（3分）如图，由一些点组成形如正多边形的图案，按照这样的规律摆下去，则第n（n＞0）个图案需要点的个数是　 　．‎ ‎14．（3分）下列说法正确的是　 　，（请直接填写序号）‎ ‎①2＜2＜3；②四边形的内角和与外角和相等；③的立方根为4；‎ ‎④一元二次方程x2﹣6x=10无实数根；‎ ‎⑤若一组数据7，4，x，3，5，6的众数和中位数都是5，则这组数据的平均数也是5．‎ ‎15．（3分）如图所示，反比例函数y=（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D、E，若BD=3，OA=4，则k的值为　 　．‎ ‎16．（3分）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为4，则线段CF的最小值是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）‎ ‎17．（8分）（1）化简求值： +，其中x是一元二次方程x（x﹣1）=2x﹣2的解．‎ ‎（2）解不等式组：，并求其整数解的和．‎ ‎18．（9分）鄂尔多斯市加快国家旅游改革先行示范区建设，越来越多的游客慕名而来，感受鄂尔多斯市“24℃夏天的独特魅力”，市旅游局工作人员依据2016年7月份鄂尔多斯市各景点的游客数量，绘制了如下尚不完整的统计图；‎ 根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）2016年7月份，鄂尔多斯市共接待游客　 　万人，扇形统计图中乌兰木伦景观湖所对应的圆心角的度数是　 　，并补全条形统计图；‎ ‎（2）预计2017年7月份约有200万人选择来鄂尔多斯市旅游，通过计算预估其中选择去响沙湾旅游的人数；‎ ‎（3）甲、乙两个旅行团准备去响沙湾、成吉思汗陵、蒙古源流三个景点旅游，若这三个景点分别记作a、b、c，请用树状图或列表法求他们选择去同一个景点的概率．‎ ‎19．（7分）一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．‎ ‎（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；‎ ‎（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？‎ ‎20．（9分）某商场试销A、B两种型号的台灯，下表是两次进货情况统计：‎ 进货情况 进货次数 进货数量（台）‎ 进货资金（元）‎ A B 第一次 ‎5‎ ‎3‎ ‎230‎ 第二次 ‎10‎ ‎4‎ ‎440‎ ‎（1）求A、B两种型号台灯的进价各为多少元？‎ ‎（2）经试销发现，A型号台灯售价x（元）与销售数量y（台）满足关系式2x+y=140此商场决定两种型号台灯共进货100台，并一周内全部售出，若B型号台灯售价定为20元，求A型号台灯售价定为多少时，商场可获得最大利润？并通过计算说明商场获得最大利润时的进货方案．‎ ‎21．（8分）某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层AD与BC平行，层高AB为8米，A、D间水平距离为5米，∠ACB=21.5°‎ ‎（1）通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D处会不会碰到头部；‎ ‎（2）若采用中段加平台设计（如图虚线所示），已知平台MN∥BC，且AM段和NC段的坡度均为1：2（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求平台MN的长度．‎ ‎（参考数据：sin21.5°=，cos21.5°=，tan21.5°=）‎ ‎22．（8分）如图，四边形ABCD中，MA=MC，MB=MD，以AB为直径的O过点M且与DC延长线相切于点E．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）若AB=4，求的长（结果请保留π）‎ ‎23．（11分）已知抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）与y轴交于点A（0，2），顶点为B，且对称轴l1与x轴交于点M ‎（1）求a的值，并写出点B的坐标；‎ ‎（2）有一个动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t秒，求t为何值时PA+PB最短；‎ ‎（3）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C，且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N，过点C作DE∥x轴，分别交l1，l2于点D、E，若四边形MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式．‎ ‎24．（12分）【问题情景】‎ 利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．‎ 例如：张老师给小聪提出这样一个问题：‎ 如图1，在△ABC中，AB=3，AD=6，问△ABC的高AD与CE的比是多少？‎ 小聪的计算思路是：‎ 根据题意得：S△ABC=BC•AD=AB•CE．‎ 从而得2AD=CE，∴=‎ 请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：‎ ‎（1）【类比探究】‎ 如图2，在▱ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，‎ 求证：BO平分角AOC．‎ ‎（2）【探究延伸】‎ 如图3，已知直线m∥n，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且∠APB=90°，两平行线m、n间的距离为4．求证：PA•PB=2AB．‎ ‎（3）【迁移应用】‎ 如图4，E为AB边上一点，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分别为D，C，∠DAB=∠B，AB=，BC=2，AC=，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN．求△DEM与△CEN的周长之和．‎ ‎　‎ ‎2017年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）数轴上，表示数a的点的绝对值是（　　）‎ A．2 B． C． D．﹣2‎ ‎【解答】解：由题意可知：a=﹣2‎ ‎∴|a|=2‎ 故选（A）‎ ‎　‎ ‎2．（3分）空气中有一种有害粉尘颗粒，其直径大约为0.000 000 017m，该直径可用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.17×10﹣7m B．1.7×107m C．1.7×10﹣8m D．1.7×108m ‎【解答】解：0.000 000 017=1.7×10﹣8，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．a4•a1=a4 B．（a3）2=a5 C．3x2﹣x2=2 D．2a2÷3a=‎ ‎【解答】解：A、a4•a1=a5，错误；‎ B、（a3）2=a6，错误；‎ C、3x2﹣x2=2x2，错误；‎ D、2a2÷3a=，正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）四张形状大小完全一致的卡片，放在不透明的箱子中，每张卡片正反面上分别标的点的坐标如下表所示：‎ 第一张 第二张 第三张 第四张 正面 ‎（2，3）‎ ‎（1，3）‎ ‎（﹣1，2）‎ ‎（2，4）‎ 反面 ‎（﹣2，1）‎ ‎（﹣1，﹣3）‎ ‎（1，2）‎ ‎（﹣3，4）‎ 若从中随机抽取一张，其正反面上两点正好关于y轴对称的概率是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【解答】解：∵有四张形状大小完全一致的卡片，关于y轴对称的只有第三张，‎ ‎∴从中随机抽取一张，其正反面上两点正好关于y轴对称的概率是：．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）如图是一副三角尺ABC和与DEF拼成的图案，若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转，则边DE与边AB第一次平行时，旋转角的度数是（　　）‎ A．75° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【解答】解：过M作MH∥AB交BC于H，‎ ‎∵AB⊥BC，‎ ‎∴MH⊥BC，‎ ‎∴△BMH是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BMH=45°，‎ ‎∴若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转，则边DE与边AB第一次平行时，旋转角的度数是45°，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示，则组成此几何体需要正方体的个数是（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【解答】解：根据俯视图可知该组合体共3行、2列，‎ 结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：‎ 则组成此几何体需要正方体的个数是7，‎ 故选：B ‎　‎ ‎7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧交于点P，作射线AP交BC于点D，再作射线DE交AB于点E，则下列结论错误的是（　　）‎ A．∠ADB=120° B．S△ADC：S△ABC=1：3‎ C．若CD=2，则BD=4 D．DE垂直平分AB ‎【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，‎ ‎∴∠CAB=60°，‎ 由题意知AD平分∠CAB=60°，‎ ‎∴∠CAD=∠DAB=30°，‎ 则∠ADB=180°﹣∠DAB﹣∠B=120°，故A选项正确；‎ 在Rt△ACD中，设CD=x，则AD=2x，‎ ‎∵∠DAB=∠B=30°，‎ ‎∴DB=DA=2x，‎ ‎∴BC=CD+BD=3x，‎ 则===，故B选项正确；‎ 由以上可知BD=2CD，‎ ‎∴当CD=2时，BD=4，故C选项正确；‎ 由于点E的位置不确定，故无法判断DE是否垂直平分AB，则D选项错误；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）2016年5月15日从呼市到鄂尔多斯市的D6767次动车首发成功，鄂尔多斯市自此迎来了动车时代，已知两地铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从呼市到鄂尔多斯市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x千米，则可列方程为（　　）‎ A．﹣=40 B．﹣=40‎ C．﹣= D．﹣=‎ ‎【解答】解：设动车速度为每小时x千米，则可列方程为：‎ ‎﹣=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）如图，将半圆形纸片折叠，使折痕CD与直径AB平行，的中点P落在OP上的点P'处，且OP'=OP，折痕CD=2，则tan∠COP的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由折叠得：EP'=EP，‎ ‎∵OP'=OP，‎ ‎∴EP'=EP=OP'，‎ 设OP'=x，则OC=3x，OE=2x，‎ ‎∵P是的中点，‎ ‎∴OP⊥CD，‎ ‎∴CE=CD=，‎ 在Rt△OCE中，由勾股定理得：OC2=OE2+CE2，‎ ‎（3x）2=（2x）2+（）2，‎ ‎5x2=3，‎ x=，‎ ‎（舍），，‎ ‎∴tan∠COP===，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）如图1，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点，且∠APD=60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，图1中某线段的长度为y，y与x的函数关系的大致图象如图2，则这条线段可能是图1中的（　　）‎ A．线段AD B．线段AP C．线段PD D．线段CD ‎【解答】解：由图2知，当x取最小值2时，y=3．‎ 正△ABC的边长为4，则0≤x≤4，‎ 根据等边三角形的性质可知，当AP⊥BC即x=2时，线段AP、PD有最小值，‎ 此时AP=2，PD=AP=，AD=APcos30°=3，CD=AC﹣AD=1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）函数的自变量x的取值范围是　x≥2　．‎ ‎【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，‎ 解得x≥2．‎ 故答案为：x≥2．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）计算：（π﹣3.14）0﹣2sin60°﹣=　0　．‎ ‎【解答】解：（π﹣3.14）0﹣2sin60°﹣‎ ‎=1﹣2×+2‎ ‎=3﹣3‎ ‎=0．‎ 故答案为：0．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）如图，由一些点组成形如正多边形的图案，按照这样的规律摆下去，则第n（n＞0）个图案需要点的个数是　n2+2n　．‎ ‎【解答】解：第1个图形是2×3﹣3，‎ 第2个图形是3×4﹣4，‎ 第3个图形是4×5﹣5，‎ 按照这样的规律摆下去，‎ 则第n个图形需要云子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n，‎ 故答案为：n2+2n．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）下列说法正确的是　②⑤　，（请直接填写序号）‎ ‎①2＜2＜3；②四边形的内角和与外角和相等；③的立方根为4；‎ ‎④一元二次方程x2﹣6x=10无实数根；‎ ‎⑤若一组数据7，4，x，3，5，6的众数和中位数都是5，则这组数据的平均数也是5．‎ ‎【解答】解：①∵2＜3＜2，‎ ‎∴①错误；‎ ‎②∵四边形的内角和为360°，四边形的外角和为360°，‎ ‎∴四边形的内角和与外角和相等，②正确；‎ ‎③∵=8，‎ ‎∴的立方根为2，③错误；‎ ‎④原方程可变形为x2﹣6x﹣10=0，‎ ‎∵△=（﹣6）2﹣4×1×（﹣10）=76＞0，‎ ‎∴一元二次方程x2﹣6x=10有两个不相等的实数根，④错误；‎ ‎⑤∵数据7，4，x，3，5，6的众数和中位数都是5，‎ ‎∴x=5，‎ ‎∴这组数据的平均数为（7+4+5+3+5+6）÷6=5，⑤正确．‎ 故答案为：②⑤．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）如图所示，反比例函数y=（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D、E，若BD=3，OA=4，则k的值为　﹣4　．‎ ‎【解答】解：设D（﹣4，m），∴|k|=4m，‎ 过点M作MF⊥OA于点F，连接OB，‎ 由矩形的性质可知：BM=OM，‎ ‎∴FA=FO，‎ ‎∴S△OMF=S△AMO=S△ABO=×OA•AB=（3+m），‎ ‎∴|k|=（3+m），‎ ‎∴|k|=（3+m），‎ ‎∴（3+m）=4m，‎ ‎∴m=1，‎ ‎∴|k|=4‎ ‎∵k＜0‎ ‎∴k=﹣4，‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为4，则线段CF的最小值是　2﹣2　．‎ ‎【解答】解：在正方形ABCD中，AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE，‎ 在Rt△ADM和Rt△BCN中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ADM和Rt△BCN（HL），‎ ‎∴∠1=∠2，‎ 在△DCE和△BCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△DCE≌△BCE（SAS），‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∵∠ADF+∠3=∠ADC=90°，‎ ‎∴∠1+∠ADF=90°，‎ ‎∴∠AFD=180°﹣90°=90°，‎ 取AD的中点O，连接OF、OC，‎ 则OF=DO=AD=2，‎ 在Rt△ODC中，OC===2，‎ 根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，‎ ‎∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，‎ 最小值=OC﹣OF=2﹣2．‎ 故答案为：2﹣2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）‎ ‎17．（8分）（1）化简求值： +，其中x是一元二次方程x（x﹣1）=2x﹣2的解．‎ ‎（2）解不等式组：，并求其整数解的和．‎ ‎【解答】解：（1）原式=﹣•=﹣=﹣，‎ 已知方程整理得：（x﹣2）（x﹣1）=0，‎ 解得：x=2或x=1（舍去），‎ 当x=2时，原式=﹣；‎ ‎（2）由①得：x≤0，‎ 由②得：x＞﹣，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣＜x≤0，即整数解为﹣1，0，之和为﹣1．‎ ‎　‎ ‎18．（9分）鄂尔多斯市加快国家旅游改革先行示范区建设，越来越多的游客慕名而来，感受鄂尔多斯市“24℃夏天的独特魅力”，市旅游局工作人员依据2016年7月份鄂尔多斯市各景点的游客数量，绘制了如下尚不完整的统计图；‎ 根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）2016年7月份，鄂尔多斯市共接待游客　150　万人，扇形统计图中乌兰木伦景观湖所对应的圆心角的度数是　72　，并补全条形统计图；‎ ‎（2）预计2017年7月份约有200万人选择来鄂尔多斯市旅游，通过计算预估其中选择去响沙湾旅游的人数；‎ ‎（3）甲、乙两个旅行团准备去响沙湾、成吉思汗陵、蒙古源流三个景点旅游，若这三个景点分别记作a、b、c，请用树状图或列表法求他们选择去同一个景点的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由条形图和扇形图可知，游其他的人数是12万人，占8%，‎ 则鄂尔多斯市共接待游客人数为：12÷8%=150（万人），‎ 乌兰木伦景观湖所对应的圆心角的度数是：360°×=72°，‎ 黄河大峡谷人数为：150﹣45﹣27﹣30﹣24﹣12=12（万人），补全条形统计图如图：‎ 故答案为：150，72；‎ ‎（2）根据题意得：‎ ‎200×=60（万人）‎ 答：估计其中选择去响沙湾旅游的人数有60万人；‎ ‎（3）设a，b，c分别表示响沙湾、成吉思汗陵、蒙古源流，列树状图如下：‎ 由此可见，共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有3种 则同时选择去同一个景点的概率是=‎ ‎　‎ ‎19．（7分）一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．‎ ‎（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；‎ ‎（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？‎ ‎【解答】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+30，‎ 把B（10，50）代入得，k1=2，‎ ‎∴AB解析式为：y1=2x+30（0≤x≤10）．‎ 设C、D所在双曲线的解析式为y2=，‎ 把C（44，50）代入得，k2=2200，‎ ‎∴曲线CD的解析式为：y2=（x≥44）；‎ ‎（2）将y=40代入y1=2x+30得：2x+30=40，解得：x=5，‎ 将y=40代入y2=得：x=55．‎ ‎55﹣5=50．‎ 所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟．‎ ‎　‎ ‎20．（9分）某商场试销A、B两种型号的台灯，下表是两次进货情况统计：‎ 进货情况 进货次数 进货数量（台）‎ 进货资金（元）‎ A B 第一次 ‎5‎ ‎3‎ ‎230‎ 第二次 ‎10‎ ‎4‎ ‎440‎ ‎（1）求A、B两种型号台灯的进价各为多少元？‎ ‎（2）经试销发现，A型号台灯售价x（元）与销售数量y（台）满足关系式2x+y=140此商场决定两种型号台灯共进货100台，并一周内全部售出，若B型号台灯售价定为20元，求A型号台灯售价定为多少时，商场可获得最大利润？并通过计算说明商场获得最大利润时的进货方案．‎ ‎【解答】解：（1）设A、B两种型号台灯的进价分别为x元，y元，‎ 由题意得，，‎ 解得：，‎ 答：A、B两种型号台灯的进价分别为40元，10元；‎ ‎（2）∵A型号台灯售价x（元）与销售数量y（台）满足关系式2x+y=140此商场决定两种型号台灯共进货100台，即y=﹣2x+140，则B型号台灯共进货（100﹣y）台=（2x﹣40）台，‎ 设商场可获得利润为w，则w=（x﹣40）（﹣2x+140）+（20﹣10）（2x﹣40）=﹣2x2+240x﹣6000=﹣2（x﹣60）2+1200，‎ ‎∵﹣2＜0，‎ ‎∴A型号台灯售价定为60元时，商场可获得最大利润为1200元．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层AD与BC平行，层高AB为8米，A、D间水平距离为5米，∠ACB=21.5°‎ ‎（1）通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D处会不会碰到头部；‎ ‎（2）若采用中段加平台设计（如图虚线所示），已知平台MN∥BC，且AM段和NC段的坡度均为1：2（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求平台MN的长度．‎ ‎（参考数据：sin21.5°=，cos21.5°=，tan21.5°=）‎ ‎【解答】解：（1）作GD⊥AD，交AC于点G，‎ ‎∵∠ACB=21.5°，AD∥BC，‎ ‎∴∠DAG=21.5°，‎ ‎∴DG=tan21.5°×5=0.4×5=2＜2.4，‎ ‎∴会碰到头部；‎ ‎（2）∵AB=8，‎ ‎∴CB═20，‎ 过点M作ME⊥AB，垂足为点E，过点N作NF⊥CD，垂足为点F，‎ 设FN=x，则AE=8﹣x，‎ ‎∵AM段和NC段的坡度i=1：2，‎ ‎∴EM=2（8﹣x）=16﹣2x，CF=2x，‎ ‎∴EM+CF=16﹣2x+2x=16，‎ ‎∴MN=BC﹣（EM+CF）=20﹣16=4（米）．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）如图，四边形ABCD中，MA=MC，MB=MD，以AB为直径的O过点M且与DC延长线相切于点E．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）若AB=4，求的长（结果请保留π）‎ ‎【解答】解：（1）∵MA=MC，MB=MD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，且⊙O经过点M，‎ ‎∴∠AMB=90°，即AC⊥BD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）如图，作CH⊥AB于点H，连接OE，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，且AB=4，‎ ‎∴DE∥AB，BC=AB=4，OA=OB=OE=2，‎ ‎∵⊙O与DC相切于点E，‎ ‎∴OE⊥DC，‎ 则CH=OE=2，‎ 在Rt△BCH中，由BC=2CH知∠CBH=30°，‎ ‎∴∠OBM=∠CBH=15°，‎ ‎∵OB=OM=2，‎ ‎∴∠BOM=150°，‎ 则的长为=．‎ ‎　‎ ‎23．（11分）已知抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）与y轴交于点A（0，2），顶点为B，且对称轴l1与x轴交于点M ‎（1）求a的值，并写出点B的坐标；‎ ‎（2）有一个动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t秒，求t为何值时PA+PB最短；‎ ‎（3）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C，且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N，过点C作DE∥x轴，分别交l1，l2于点D、E，若四边形MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式．‎ ‎【解答】解：（1）把A（0，2）代入抛物线的解析式可得，2=a+3，‎ ‎∴a=﹣1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+3，‎ ‎∴抛物线的顶点B坐标为（1，3）．‎ ‎（2）如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P，点P即为所求．‎ ‎∵A′（0，﹣2），B（1，3），‎ ‎∴直线A′B的解析式为y=5x﹣2，‎ ‎∴P（，0），‎ ‎∴t==时，PA+PB最短 ‎（3）如图2中，设抛物线向右平移后的解析式为y=﹣（x﹣m）2+3．‎ 由，解得x=，‎ ‎∴点C的横坐标，‎ ‎∵MN=m﹣1，四边形MDEN是正方形，‎ ‎∴C（，m﹣1），‎ 把点C的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+3，‎ 得到m﹣1=﹣+3，‎ 解得m=3或﹣5（舍弃），‎ ‎∴移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+3．‎ 当点C在x轴下方时，C（，1﹣m），‎ 把点C的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+3，‎ 得到1﹣m=﹣+3，‎ 解得m=7或﹣1（舍弃），‎ ‎∴移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣7）2+3．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）【问题情景】‎ 利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．‎ 例如：张老师给小聪提出这样一个问题：‎ 如图1，在△ABC中，AB=3，AD=6，问△ABC的高AD与CE的比是多少？‎ 小聪的计算思路是：‎ 根据题意得：S△ABC=BC•AD=AB•CE．‎ 从而得2AD=CE，∴=‎ 请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：‎ ‎（1）【类比探究】‎ 如图2，在▱ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，‎ 求证：BO平分角AOC．‎ ‎（2）【探究延伸】‎ 如图3，已知直线m∥n，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且∠APB=90°，两平行线m、n间的距离为4．求证：PA•PB=2AB．‎ ‎（3）【迁移应用】‎ 如图4，E为AB边上一点，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分别为D，C，∠DAB=∠‎ B，AB=，BC=2，AC=，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN．求△DEM与△CEN的周长之和．‎ ‎【解答】证明：（1）如图2，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴S△ABF=S▱ABCD，S△BCE=S▱ABCD，‎ ‎∴S△ABF=S△BCE，‎ 过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，‎ ‎∴S△ABF=AF×BG，S△BCE=CE×BH，‎ ‎∴AF×BG=CE×BH，即：AF×BG=CE×BH，‎ ‎∵AF=CE，‎ ‎∴BG=BH，‎ 在Rt△BOG和Rt△BOH中，，‎ ‎∴Rt△BOG≌Rt△BOH，‎ ‎∴∠BOG=∠BOH，‎ ‎∴OB平分∠AOC，‎ ‎（2）如图3，‎ 过点P作PG⊥n于G，交m于F，‎ ‎∵m∥n，‎ ‎∴PF⊥AC，‎ ‎∴∠CFP=∠BGP=90°，‎ ‎∵点P是CD中点，‎ 在△CPF和△DPG中，，‎ ‎∴△CPF≌△DPG，‎ ‎∴PF=PG=FG=2，‎ 延长BP交AC于E，‎ ‎∵m∥n，‎ ‎∴∠ECP=∠BDP，‎ ‎∴CP=DP，‎ 在△CPE和△DPB中，，‎ ‎∴△CPE≌△DPB，‎ ‎∴PE=PB，‎ ‎∵∠APB=90°，‎ ‎∴AE=AB，‎ ‎∴S△APE=S△APB，‎ ‎∵S△APE=AE×PF=AE=AB，S△APB=AP×PB，‎ ‎∴AB=AP×PB，‎ 即：PA•PB=2AB；‎ ‎（3）如图4，延长AD，BC交于点G，‎ ‎∵∠BAD=∠B，‎ ‎∴AG=BG，过点A作AF⊥BC于F，‎ 设CF=x（x＞0），‎ ‎∴BF=BC+CF=x+2，‎ 在Rt△ABF中，AB=，‎ 根据勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2，‎ 在Rt△ACF中，AC=，‎ 根据勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2，‎ ‎∴34﹣（x+2）2=26﹣x2，‎ ‎∴x=﹣1（舍）或x=1，‎ ‎∴AF==5，‎ 连接EG，‎ ‎∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG（DE+CE），‎ ‎∴DE+CE=AF=5，‎ 在Rt△ADE中，点M是AE的中点，‎ ‎∴AE=2DM=2EM，‎ 同理：BE=2CN=2EN，‎ ‎∵AB=AE+BE，‎ ‎∴2DM+2CN=AB，‎ ‎∴DM+CN=AB，‎ 同理：EM+EN=AB ‎∴△DEM与△CEN的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）+[（DM+CN）+（EM+EN）]‎ ‎=（DE+CN）+AB=5+．‎ ‎　‎