数学中考压试题精编

数学中考压试题精编

数学中考压试题精编 ‎1、（2008年广东省）22.（本题满分9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．‎ ‎(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.‎ ‎(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.‎ ‎(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.‎ E D C H F G B A P y x 图10‎ ‎10‎ D C B A E 图9‎ 解：（1），，…………………………1分 等腰；…………………………2分 ‎ （2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）‎ ‎ 　①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)‎ ‎②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)‎ ‎③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)‎ 所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分 K ‎（3）由题意知，FP∥AE，‎ ‎ ∴ ∠1＝∠PFB，‎ 又∵ ∠1＝∠2＝30°，‎ ‎ ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,‎ ‎∴ FP＝BP.…………………………6分 过点P作PK⊥FB于点K，则.‎ ‎∵ AF＝t，AB＝8，‎ ‎∴ FB＝8－t，.‎ 在Rt△BPK中，∴ △FBP的面积，‎ ‎∴ S与t之间的函数关系式为：‎ ‎ ，或. …………………………………8分 t的取值范围为：. …………………………………………………………9分 注：其中东莞市、中山市、汕头市与本题，（即2008年广东省的压轴题）是一样的。‎ ‎2、（2008年广东省佛山市）‎ ‎25．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究.‎ 例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）. ‎ 请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：‎ ‎(1) 如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线（和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？‎ ‎(2) 如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线和（与圆O分别交于点A、B，与圆O分别交于点C、D）.‎ 请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之.‎ ‎(3) 如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是ABC 的中点，弦DE⊥AB于点F. 请找出点C和点E重合的条件，并说明理由.‎ A B O m 第25题图1‎ O 第25题图2‎ A B O E 第25题图3‎ D C F G D C 解：(1) 弦（图中线段AB）、弧（图中的ACB弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等. （写对一个给1分，写对两个给2分）‎ ‎(2) 情形1 如图21，AB为弦，CD为垂直于弦AB的直径. …………………………3分 结论：（垂径定理的结论之一）. …………………………………………………………………………4分 证明：略（对照课本的证明过程给分）. ……………………………………………………………7分 情形2 如图22，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P.‎ 结论：.‎ 证明：略.‎ O n D A C B m 第25题图21‎ P 情形3 （图略）AB为弦，CD为弦，且与在圆外相交于点P.‎ 结论：.‎ 证明：略.‎ AD BC 情形4 如图23，AB为弦，CD为弦，且AB∥CD.‎ 结论： = .‎ 证明：略.‎ ‎（上面四种情形中做一个即可，图1分，结论1分，证明3分；‎ 其它正确的情形参照给分；若提出的是错误的结论，则需证明结论是错误的）‎ ‎(3) 若点C和点E重合，‎ 则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称. …………………………………………8分 ABC 设，则，.…………………………………………9分 又D是 的中点，所以，‎ 即.………………………………………………………………………………10分 解得.………………………………………………………………………………………11分 A B O E 第25题图3‎ D C F G O 第25题图22‎ n D A C B m P O 第25题图23‎ n D A C B m ‎（若求得或等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点B、C是圆的十二等分点，然后说明）‎ ‎3、（2008年广州市）25、（2008广州）（14分）如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米 ‎（1）当t=4时，求S的值 ‎（2）当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值 图11‎ 解：（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合，‎ 重合部分是＝‎ ‎(2)当QB=DP=t-4,CR=6-t,AP=6-t 由∽∽，得 ‎,‎ S＝‎ 当t取5时，最大值为 当t取6时，有最大值，综上所述，最大值为。‎ 相关链接 :‎ 若是一元二次方程的两根，则 ‎4、（2008年广东省茂名市）25（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A（0，－4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5．‎ ‎（1）求、的值；（4分）‎ ‎（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以 ‎（第25题图）‎ A x y B C O BC为对角线的菱形；（3分）‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH 是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，‎ 并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）解法一：∵抛物线=－++经过点A（0，－4），‎ ‎ ∴=－4 1分 又由题意可知，、是方程－++=0的两个根，‎ ‎∴+=， =－=6 2分 由已知得（-）=25‎ 又（-）=（+）－4 =－24‎ ‎ ∴ －24=25 解得=± 3分 当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．‎ ‎∴=－． 4分 解法二：∵、是方程－++c=0的两个根，‎ ‎ 即方程2－3+12=0的两个根．‎ ‎∴=， 2分 ‎∴－==5，‎ ‎ 解得 =± 3分 ‎（以下与解法一相同．） ‎ ‎（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分 ‎ 又∵=－－－4=－（+）+ 6分 ‎ ∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D． 7分 ‎ （3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），‎ 根据菱形的性质，点P必是直线=-3与 抛物线=－--4的交点， 8分 ‎ ∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4， ‎ ‎ ∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． 9分 ‎ 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ‎ ‎5、（2008年广东省梅州市）23．（本题满分11分）如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；‎ ‎（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．‎ ‎（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）‎ ‎ ‎ 解： （1） DC∥AB，AD=DC=CB， ∠CDB=∠CBD=∠DBA， 0.5分 ‎ ∠DAB=∠CBA， ∠DAB=2∠DBA， 1分 ‎∠DAB+∠DBA=90， ∠DAB=60， 1.5分 ‎ ∠DBA=30，AB=4， DC=AD=2， 2分 RtAOD，OA=1，OD=， 2.5分 A（-1，0），D（0， ），C（2， ）． 4分 ‎（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），‎ 故可设所求为 = （+1）（ -3） 6分 将点D（0， ）的坐标代入上式得， =．‎ 所求抛物线的解析式为 = 7分 其对称轴L为直线=1． 8分 ‎（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：‎ ‎①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B， ‎ P1DB为等腰三角形； 9分 ‎②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；‎ ‎③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5． 10分 由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．‎ 图11‎ C P B y A ‎6、（2008年广东省湛江市）28． 如图11所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．‎ ‎（1）求A、B、C三点的坐标．‎ ‎（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．‎ ‎（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴 于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．‎ 若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．‎ 解：第28题图1‎ E C B y P A （1）令，得 解得 令，得 ‎∴ A B C （2分）‎ ‎（2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=‎ ‎∵AP∥CB， ∴PAB=‎ ‎ 过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形 令OE=，则PE= ∴P ‎∵点P在抛物线上 ∴ ‎ 解得，（不合题意，舍去） ∴PE= 4分）‎ ‎∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE ‎= 6分）‎ ‎(3)． 假设存在 ‎∵PAB=BAC = ∴PAAC ‎∵MG轴于点G， ∴MGA=PAC =‎ 在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC=‎ 在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= 7分） ‎ 设M点的横坐标为，则M ‎ ‎①点M在轴左侧时，则 G M 第28题图2‎ C B y P A ‎(ⅰ) 当AMG PCA时，有=‎ ‎∵AG=，MG=‎ 即 ‎ 解得（舍去） （舍去）‎ ‎(ⅱ) 当MAG PCA时有=‎ 即 ‎ 解得：（舍去） ‎ ‎∴M （10分）‎ G M 第28题图3‎ C B y P A ‎② 点M在轴右侧时，则 ‎ ‎(ⅰ) 当AMG PCA时有=‎ ‎∵AG=，MG= ‎ ‎∴ 解得（舍去） ‎ ‎ ∴M ‎ ‎(ⅱ) 当MAGPCA时有= ‎ 即 ‎ 解得：（舍去） ∴M ‎∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似 M点的坐标为，， （13分）‎ 说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分 ‎7、（2008年广东省深圳市）22．如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝．‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式．‎ ‎（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．‎ ‎（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.‎ ‎ ‎ 解：22．（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ……………………1分 将A、B、C三点的坐标代入得 …………………………2分 解得： …………………………3分 所以这个二次函数的表达式为： …………………………3分 方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …………………………1分 设该表达式为： …………………………2分 将C点的坐标代入得： …………………………3分 所以这个二次函数的表达式为： …………………………3分 ‎（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）‎ ‎（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） …………………………4分 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：‎ ‎∴E点的坐标为（－3，0） …………………………4分 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ‎∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ‎∴存在点F，坐标为（2，－3） …………………………5分 方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：‎ ‎∴E点的坐标为（－3，0） …………………………4分 ‎∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ‎∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） ‎ 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合 ‎∴存在点F，坐标为（2，－3） …………………………5分 ‎（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），‎ 代入抛物线的表达式，解得 …………6分 ‎②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），‎ 则N（r+1，－r），‎ 代入抛物线的表达式，解得 ………7分 ‎∴圆的半径为或． ……………7分 ‎（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，‎ 易得G（2，－3），直线AG为．……………8分 设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．‎ ‎ …………………………9分 当时，△APG的面积最大 此时P点的坐标为，． …………………………10分 ‎8、（2008年广东省肇庆市）25.（本小题满分10分）已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.‎ ‎（1）求抛物线与x轴的交点坐标；‎ ‎（2）当a=1时，求△ABC的面积；‎ ‎（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.‎ 解：（1）由5=0， （1分）‎ 得，． （2分）‎ ‎∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）． （3分）‎ ‎（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81）， （4分）‎ 分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有 ‎=S - - （5分）‎ ‎ =-- （6分）‎ ‎=5（个单位面积） （7分）‎ ‎（3）如：． （8分）‎ 事实上， =45a2+36a． ‎ ‎ 3（）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）] =45a2+36a． （9分）‎ ‎∴． （10分）‎