全国各地中考数学试卷分类汇编二次函数

全国各地中考数学试卷分类汇编二次函数

‎2009年中考试题 二次函数专题 1. ‎(2009杭州) 已知点P（，）在函数的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. ‎(2009杭州) 有以下三个说法：①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的；②除了平面直角坐标系，我们也可以用方向和距离来确定物体的位置；③平面直角坐标系内的所有点都属于四个象限。其中错误的是 A.只有① B.只有② C.只有③ D.①②③‎ 3. ‎(2009台州)已知二次函数的与的部分对应值如下表：‎ ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎…‎ 则下列判断中正确的是（　▲　）‎ A．抛物线开口向上　　　　　　 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当＝4时，＞0 D．方程的正根在3与4之间 4. ‎（2009南州）抛物线的图象如图1所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）学科网 A、y=x2-x-2 B、y= 学科网 图1‎ C、y= D、y=学科网 5. ‎(2009南充)抛物线的对称轴是直线（ ）‎ A． B． C． D．‎ 6. ‎（2009莆田）二次函数的图象如何平移就褥到的图像( )‎ ‎ A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位．‎ ‎ B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．‎ ‎ C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位．‎ ‎ D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位。‎ ‎(第7题)‎ 7. ‎（2009丽水）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：‎ ‎①a＞0.‎ O ‎②该函数的图象关于直线对称.‎ ‎③当时，函数y的值都等于0.‎ 其中正确结论的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0‎ 8. ‎（2009遂宁）把二次函数用配方法化成的形式 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 1. ‎（2009嘉兴）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（　▲　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎（第12题）‎ 2. ‎（2009湖州）已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？（ ）‎ A．6 B．‎‎7 C．8 D．9‎ 3. ‎（2009广州）二次函数的最小值是（ ）‎ ‎（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2‎ 4. ‎（2009烟台）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）‎ ‎1‎ O x y ‎（第11题图）‎ y x O y x O B．‎ C．‎ y x O A．‎ y x O D．‎ 5. ‎（2009黄石）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，‎ 下列结论：①abc＞0 ②2a+b＜0 ③4a－2b+c＜0 ④a+c＞0，‎ 其中正确结论的个数为（ ）‎ A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 图4‎ 6. ‎（2009南州）二次函数的图象关于原点O（0, 0）对称的图象的解析式是_________________。学科网 7. ‎（2009湖州）已知抛物线（＞0）的对称轴为直线，且经过点，试比较和的大小：‎ ‎ _（填“>”，“<”或“=”）‎ 1. ‎（2009荆门）函数y=(x－2)(3－x)取得最大值时，x=______．‎ 2. ‎（2009义乌）如图，抛物线与轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则 ‎(填“”或“”)；‎ 的取值范围是 3. ‎(2009重庆)某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价（元）与月份之间满足函数关系，去年的月销售量（万台）与月份之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：‎ 月份 ‎1月 ‎5月 销售量 ‎3.9万台 ‎4.3万台 ‎（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？‎ ‎（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了，且每月的销售量都比去年12月份下降了。国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴。受此政策的影响，今年3月份至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台。若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予财政补贴936万元，求的值（保留一位小数）‎ ‎（参考数据：，，，）‎ 4. ‎（2009宁波）如图抛物线与ｘ轴相交于点Ａ、Ｂ，且过点Ｃ（５，４）．‎ ‎(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标．‎ ‎(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．‎ E A B G N D M C ‎（第22题图）‎ 5. ‎（2009德州）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=‎2米，BC=‎1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆． ‎ ‎（1）当MN和AB之间的距离为‎0.5米时，求此时△EMN的面积； ‎ ‎（2）设MN与AB之间的距离为米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数； ‎ ‎（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由． ‎ 6. ‎(本题满分l2分)‎ ‎（2009宜宾）如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB．tan∠BA0=，点B的坐标为(7，4)．‎ ‎(1)求点A、C的坐标；‎ ‎(2)求经过点0、B、C的抛物线的解析式；‎ ‎(3)在第一象限内(2)中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分?若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．‎ 1. ‎(本题满分12分)‎ ‎ （2009泸州） 如图12，已知二次函数 的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，‎ 与y轴相交于点C，且．‎ ‎ (1)求c的值；‎ ‎ (2)若△ABC的面积为3，求该二次函数的解析式； ‎ 图12‎ ‎ (3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 2. ‎（12分）（2009南州）已知二次函数。‎ ‎（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。‎ ‎（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。‎ ‎（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。‎ 3. ‎(2009成都)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝。‎ ‎ (2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；‎ ‎ ‎ ‎ (3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?‎ 1. ‎（2009莆田）已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B．‎ ‎ (1)求抛物线的解析式；‎ ‎ (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：‎ ‎ (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ x y O ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ A 2. ‎（2009江苏）如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．‎ ‎（1）求点与点的坐标；‎ ‎（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．‎ 3. ‎（2009泰安）如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线 （1） 求点E的坐标；‎ （2） 求过 A、O、E三点的抛物线解析式；‎ （3） ‎（2009遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.‎ ‎⑴求二次函数的解析式；‎ ‎⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；‎ ‎⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 1. ‎（2009湖州）已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.‎ ‎(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； ‎ ‎(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；‎ ‎(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.‎ 第（2）题 x y B C O D A M N N′‎ x y B C O A M N 备用图 ‎（第24题）‎ 2. ‎（2009广州）如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为。‎ ‎（1）求该二次函数的关系式；‎ ‎（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴上午垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；‎ ‎（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。‎ x y D C A O B ‎（第24题）‎ 3. ‎（2009江西）如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.‎ ‎（1）直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴； ‎ ‎（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；‎ ‎①用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？‎ ‎②设的面积为，求与的函数关系式.‎ 1. ‎（2009安顺）如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。‎ （1） 求抛物线的解析式；‎ （2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；‎ （3） ‎△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。‎ 2. ‎(2009洛江)我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元 ∕ 件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价（元 ∕ 件）与每天销售量（件）之间满足如图所示关系．‎ ‎（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和 ‎40元时相应的日销售量；‎ ‎（2）①试求出与之间的函数关系式；‎ ‎②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价－成本总价）。‎ 3. ‎（2009衡阳）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．‎ 4. ‎（2009烟台） 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．‎ ‎ （1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）‎ ‎ （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？‎ ‎ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？‎ 5. ‎（2009娄底）已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4. ‎（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数. ‎（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且+=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式.‎ 6. ‎(2009中山)正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.‎ ‎（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；‎ D B A M C N ‎（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值.‎ 第25题图 1. ‎（2009荆门）一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．‎ ‎(1)若m为常数，求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？‎ ‎(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 2. ‎（１３分）(2009洛江)我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元 ∕ 件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价（元 ∕ 件）与每天销售量（件）之间满足如图所示关系．‎ ‎（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和 ‎40元时相应的日销售量；‎ ‎（2）①试求出与之间的函数关系式；‎ ‎②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价－成本总价）。（2009日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=‎2米，BC=‎1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆． ‎ ‎（1）当MN和AB之间的距离为‎0.5米时，求此时△EMN的面积； ‎ ‎（2）设MN与AB之间的距离为米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数； ‎ E A B G N D M C ‎（第23题图）‎ ‎（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由． ‎ 3. ‎(2009杭州)已知平行于x轴的直线与函数和函数的图象分别交于点A和点B，又有定点P（2，0）。‎ ‎（1）若，且tan∠POB=，求线段AB的长；‎ ‎（2）在过A，B两点且顶点在直线上的抛物线中，已知线段AB=，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；‎ ‎（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到的图象，求点P到直线AB的距离。‎ 1. ‎（2009义乌）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。‎ （1）当时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；‎ ‎（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；‎ ‎（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。‎ 温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！‎ 2. ‎（2009义乌）已知点A、B分别是轴、轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方形ABCD是一次函数图像的其中一个伴侣正方形。‎ ‎（1）若某函数是一次函数，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；‎ ‎（2）若某函数是反比例函数，他的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m <2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；‎ ‎（3）若某函数是二次函数，它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？。(本小题只需直接写出答案)‎ 3. ‎(2009重庆) (2009重庆已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在轴的正半轴上，OC在轴的正半轴上，OA=2，OC=3。过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E。‎ ‎（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；‎ ‎（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G。如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 1. ‎(2009重庆) (2009重庆已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在轴的正半轴上，OC在轴的正半轴上，OA=2，OC=3。过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E。‎ ‎（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；‎ ‎（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G。如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 2. ‎(2009台州)如图，已知直线　　　　　　　交坐标轴于两点，以线段为边向上作 正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．‎ ‎（1）请直接写出点的坐标； ‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；‎ ‎（第24题）‎ ‎（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积．‎ 备用图 3. ‎(2009南充)如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．‎ ‎（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；‎ ‎（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；‎ ‎（3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；‎ y x O C D B A ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 1. ‎（2009深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.‎ B A O y x ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.‎ 2. ‎（2009丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.‎ ‎(第24题)‎ ‎(1)填空：菱形ABCD的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 ‎ 高BE的长是 ▲ ；‎ ‎(2)探究下列问题：‎ ‎①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值； ‎ ‎②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得 ‎△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边 形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.‎ 3. ‎（本题满分13分）（2009宁德）如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．‎ ‎（1）求P点坐标及a的值；（4分）‎ ‎（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）‎ y x A O B P N 图2‎ C1‎ C4‎ Q E F 图（2）‎ ‎（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）‎ y x A O B P M 图1‎ C1‎ C2‎ C3‎ 图（1）‎ 1. ‎（2009嘉兴）如图，曲线C是函数在第一象限内的图象，抛物线是函数的图象．点（）在曲线C上，且都是整数．‎ ‎（1）求出所有的点；‎ ‎（2）在中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；‎ ‎（3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率．‎ ‎（第22题）‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ y x O 2. ‎（2009益阳）阅读材料：‎ ‎ 如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.‎ ‎ 解答下列问题：‎ ‎ 如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.‎ ‎(1)求抛物线和直线AB的解析式；‎ ‎(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；‎ 图12-2‎ x C O y A B D ‎1‎ ‎1‎ ‎(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 1. ‎（2009衡阳）如图12，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．‎ ‎ （1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；‎ ‎ （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与的函数关系式并画出该函数的图象．‎ B x y M C D O A 图12（1）‎ B x y O A 图12（2）‎ B x y O A 图12（3）‎ 2. ‎ （2009娄底）如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH ‎（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3‎ ‎（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积. ‎（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个 单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B 重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯 形为DEFH′（如图12）. 探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能， ‎ 请求出此时t的值；若不能，请说明理由. 探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠 部分的面积为y，求y与t的函数关系. 3. ‎（2009南州）已知二次函数。‎ ‎（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。‎ ‎（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。‎ ‎（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。‎