2019年甘肃省天水市中考数学试卷

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文档介绍

2019年甘肃省天水市中考数学试卷

‎2019年甘肃省天水市中考数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确的选项选出来)‎ ‎1.(4分)已知|a|=1,b是2的相反数,则a+b的值为(  )‎ A.﹣3 B.﹣1 C.﹣1或﹣3 D.1或﹣3‎ ‎2.(4分)自然界中的数学不胜枚举,如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料,其厚度为0.000073米,将0.000073用科学记数法表示为(  )‎ A.73×10﹣6 B.0.73×10﹣4 C.7.3×10﹣4 D.7.3×10﹣5‎ ‎3.(4分)如图所示,圆锥的主视图是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4.(4分)一把直尺和一块三角板ABC(含30°、60°角)如图所示摆放,直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E,另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A,且∠CED=50°,那么∠BFA的大小为(  )‎ A.145° B.140° C.135° D.130°‎ ‎5.(4分)下列运算正确的是(  )‎ A.(ab)2=a2b2 B.a2+a2=a4 C.(a2)3=a5 D.a2•a3=a6‎ 第26页(共26页)‎ ‎6.(4分)已知a+b=,则代数式2a+2b﹣3的值是(  )‎ A.2 B.﹣2 C.﹣4 D.﹣3‎ ‎7.(4分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,现随机向正方形内掷一枚小针,则针尖落在黑色区域内的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(4分)如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为(  )‎ A.(1,1) B.(1,) C.(,1) D.(,)‎ ‎9.(4分)如图,四边形ABCD是菱形,⊙O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连接AC、AE.若∠D=80°,则∠EAC的度数为(  )‎ A.20° B.25° C.30° D.35°‎ ‎10.(4分)已知点P为某个封闭图形边界上一定点,动点M从点P出发,沿其边界顺时针匀速运动一周,设点M的运动时间为x,线段PM的长度为y,表示y与x的函数图象大致如图所示,则该封闭图形可能是(  )‎ 第26页(共26页)‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分。只要求填写最后结果)‎ ‎11.(4分)函数y=中,自变量x的取值范围是   .‎ ‎12.(4分)分式方程﹣=0的解是   .‎ ‎13.(4分)一组数据2.2,3.3,4.4,11.1,a.其中整数a是这组数据中的中位数,则这组数据的平均数是   .‎ ‎14.(4分)中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2016年人均年收入20000元,到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为   .(用百分数表示)‎ ‎15.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若M=4a+2b,N=a﹣b.则M、N的大小关系为M   N.(填“>”、“=”或“<”)‎ ‎16.(4分)如图,在平面直角坐标系中,已知⊙D经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、B两点,B点坐标为(0,2),OC与⊙D交于点C,∠OCA=30°,则圆中阴影部分的面积为   .(结果保留根号和π)‎ ‎17.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么sin∠EFC的值为   .‎ 第26页(共26页)‎ ‎18.(4分)观察下列图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第2019个图形中共有   个〇.‎ 三、解答题(本大题共3小题,共28分,解答时写出必要的文字说明及演算过程)‎ ‎19.(10分)(1)计算:(﹣2)3+﹣2sin30°+(2019﹣π)0+|﹣4|‎ ‎(2)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x的值从不等式组的整数解中选取.‎ ‎20.(8分)天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况,在全校范围内随机抽取了部分学生,在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中,围绕你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)进行了问卷调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请你根据统计图解答下列问题:‎ ‎(1)在这次调查中,一共抽查了   名学生.‎ ‎(2)请你补全条形统计图.‎ ‎(3)扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为   度.‎ ‎(4)请根据样本数据,估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生?‎ 第26页(共26页)‎ ‎21.(10分)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(m,4)、B(2,n)两点,与坐标轴分别交于M、N两点.‎ ‎(1)求一次函数的解析式;‎ ‎(2)根据图象直接写出kx+b﹣>0中x的取值范围;‎ ‎(3)求△AOB的面积.‎ 四、解答题(本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程)‎ ‎22.(7分)某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1:1,文化墙PM在天桥底部正前方8米处(PB的长),为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1:.(参考数据:≈1.414,≈1.732)‎ ‎(1)若新坡面坡角为α,求坡角α度数;‎ ‎(2)有关部门规定,文化墙距天桥底部小于3米时应拆除,天桥改造后,该文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.‎ ‎23.(10分)天水某景区商店销售一种纪念品,这种商品的成本价10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件,市场调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示.‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?‎ 第26页(共26页)‎ ‎24.(10分)如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与 OD的延长线交于点P,PC、AB的延长线交于点F.‎ ‎(1)求证:PC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若∠ABC=60°,AB=10,求线段CF的长.‎ ‎25.(10分)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.‎ ‎(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由;‎ ‎(2)性质探究:如图1,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD.试证明:AB2+CD2=AD2+BC2;‎ ‎(3)解决问题:如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连结CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.‎ ‎26.(13分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0)、B(9,0)和C(0,4),CD垂直于y轴,交抛物线于点D,DE垂直于x轴,垂足为E,直线l 第26页(共26页)‎ 是该抛物线的对称轴,点F是抛物线的顶点.‎ ‎(1)求出该二次函数的表达式及点D的坐标;‎ ‎(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移,使其直角边OC与对称轴l重合,再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合,得到Rt△A1O1F,求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积;‎ ‎(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0<t≤6)得到Rt△A2O2C2,Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S,求S与t之间的函数表达式,并写出自变量t的取值范围.‎ 第26页(共26页)‎ ‎2019年甘肃省天水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确的选项选出来)‎ ‎1.(4分)已知|a|=1,b是2的相反数,则a+b的值为(  )‎ A.﹣3 B.﹣1 C.﹣1或﹣3 D.1或﹣3‎ ‎【解答】解:∵|a|=1,b是2的相反数,‎ ‎∴a=1或a=﹣1,b=﹣2,‎ 当a=1时,a+b=1﹣2=﹣1;‎ 当a=﹣1时,a+b=﹣1﹣2=﹣3;‎ 综上,a+b的值为﹣1或﹣3,‎ 故选:C.‎ ‎2.(4分)自然界中的数学不胜枚举,如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料,其厚度为0.000073米,将0.000073用科学记数法表示为(  )‎ A.73×10﹣6 B.0.73×10﹣4 C.7.3×10﹣4 D.7.3×10﹣5‎ ‎【解答】解:0.000073用科学记数法表示为7.3×10﹣5,‎ 故选:D.‎ ‎3.(4分)如图所示,圆锥的主视图是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:圆锥的主视图是等腰三角形,如图所示:‎ 第26页(共26页)‎ 故选:A.‎ ‎4.(4分)一把直尺和一块三角板ABC(含30°、60°角)如图所示摆放,直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E,另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A,且∠CED=50°,那么∠BFA的大小为(  )‎ A.145° B.140° C.135° D.130°‎ ‎【解答】解:∠FDE=∠C+∠CED=90°+50°=140°,‎ ‎∵DE∥AF,‎ ‎∴∠BFA=∠FDE=140°.‎ 故选:B.‎ ‎5.(4分)下列运算正确的是(  )‎ A.(ab)2=a2b2 B.a2+a2=a4 C.(a2)3=a5 D.a2•a3=a6‎ ‎【解答】解:‎ A选项,积的乘方:(ab)2=a2b2,正确 B选项,合并同类项:a2+a2=2a2,错误 C选项,幂的乘方:(a2)3=a6,错误 D选项,同底数幂相乘:a2•a3=a5,错误 故选:A.‎ ‎6.(4分)已知a+b=,则代数式2a+2b﹣3的值是(  )‎ A.2 B.﹣2 C.﹣4 D.﹣3‎ ‎【解答】解:‎ ‎∵2a+2b﹣3=2(a+b)﹣3,‎ ‎∴将a+b=代入得:2×﹣3=﹣2‎ 第26页(共26页)‎ 故选:B.‎ ‎7.(4分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,现随机向正方形内掷一枚小针,则针尖落在黑色区域内的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:设正方形ABCD的边长为2a,‎ 针尖落在黑色区域内的概率==.‎ 故选:C.‎ ‎8.(4分)如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为(  )‎ A.(1,1) B.(1,) C.(,1) D.(,)‎ ‎【解答】解:过点B作BH⊥AO于H点,∵△OAB是等边三角形,‎ ‎∴OH=1,BH=.‎ ‎∴点B的坐标为(1,).‎ 故选:B.‎ ‎9.(4分)如图,四边形ABCD是菱形,⊙O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连接AC、AE.若∠D=80°,则∠EAC的度数为(  )‎ 第26页(共26页)‎ A.20° B.25° C.30° D.35°‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∠D=80°,‎ ‎∴∠ACB=∠DCB=(180°﹣∠D)=50°,‎ ‎∵四边形AECD是圆内接四边形,‎ ‎∴∠AEB=∠D=80°,‎ ‎∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=30°,‎ 故选:C.‎ ‎10.(4分)已知点P为某个封闭图形边界上一定点,动点M从点P出发,沿其边界顺时针匀速运动一周,设点M的运动时间为x,线段PM的长度为y,表示y与x的函数图象大致如图所示,则该封闭图形可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:y与x的函数图象分三个部分,而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段,其图象要分四个部分,所以B、C选项不正确;‎ A选项中的封闭图形为圆,开始y随x的增大而增大,然后y随x的减小而减小,所以A选项不正确;‎ D选项为三角形,M点在三边上运动对应三段图象,且M点在P点的对边上运动时,PM的长有最小值.‎ 故选:D.‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分。只要求填写最后结果)‎ ‎11.(4分)函数y=中,自变量x的取值范围是 x≥2 .‎ ‎【解答】解:依题意,得x﹣2≥0,‎ 第26页(共26页)‎ 解得:x≥2,‎ 故答案为:x≥2.‎ ‎12.(4分)分式方程﹣=0的解是 x=2 .‎ ‎【解答】解:‎ 原式通分得:=0‎ 去分母得:x﹣2(x﹣1)=0‎ 去括号解得,x=2‎ 经检验,x=2为原分式方程的解 故答案为x=2‎ ‎13.(4分)一组数据2.2,3.3,4.4,11.1,a.其中整数a是这组数据中的中位数,则这组数据的平均数是 5 .‎ ‎【解答】解:∵整数a是这组数据中的中位数,‎ ‎∴a=4,‎ ‎∴这组数据的平均数=(2.2+3.3+4.4+4+11.1)=5.‎ 故答案为5.‎ ‎14.(4分)中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2016年人均年收入20000元,到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为 40% .(用百分数表示)‎ ‎【解答】解:设该地区居民年人均收入平均增长率为x,‎ ‎20000(1+x)2=39200,‎ 解得,x1=0.4,x2=﹣2.4(舍去),‎ ‎∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%,‎ 故答案为:40%.‎ ‎15.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若M=4a+2b,N=a﹣b.则M、N的大小关系为M < N.(填“>”、“=”或“<”)‎ 第26页(共26页)‎ ‎【解答】解:当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,‎ 当x=2时,y=4a+2b+c<0,‎ M﹣N=4a+2b﹣(a﹣b)‎ ‎=4a+2b+c﹣(a﹣b+c)<0,‎ 即M<N,‎ 故答案为:<‎ ‎16.(4分)如图,在平面直角坐标系中,已知⊙D经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、B两点,B点坐标为(0,2),OC与⊙D交于点C,∠OCA=30°,则圆中阴影部分的面积为 2π﹣2 .(结果保留根号和π)‎ ‎【解答】解:连接AB,‎ ‎∵∠AOB=90°,‎ ‎∴AB是直径,‎ 根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°,‎ ‎∵OB=2,‎ ‎∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2×=2,AB=AO÷sin30°=4,即圆的半径为2,‎ ‎∴S阴影=S半圆﹣S△ABO=﹣×2×2=2π﹣2.‎ 故答案为:2π﹣2.‎ 第26页(共26页)‎ ‎17.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么sin∠EFC的值为  .‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴AD=BC=5,AB=CD=3,‎ ‎∵矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F处,‎ ‎∴AF=AD=5,EF=DE,‎ 在Rt△ABF中,∵BF==4,‎ ‎∴CF=BC﹣BF=5﹣4=1,‎ 设CE=x,则DE=EF=3﹣x 在Rt△ECF中,∵CE2+FC2=EF2,‎ ‎∴x2+12=(3﹣x)2,解得x=,‎ ‎∴EF=3﹣x=,‎ ‎∴sin∠EFC==.‎ 故答案为:.‎ ‎18.(4分)观察下列图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第2019个图形中共有 6058 个〇.‎ 第26页(共26页)‎ ‎【解答】解:由图可得,‎ 第1个图象中〇的个数为:1+3×1=4,‎ 第2个图象中〇的个数为:1+3×2=7,‎ 第3个图象中〇的个数为:1+3×3=10,‎ 第4个图象中〇的个数为:1+3×4=13,‎ ‎……‎ ‎∴第2019个图形中共有:1+3×2019=1+6057=6058个〇,‎ 故答案为:6058.‎ 三、解答题(本大题共3小题,共28分,解答时写出必要的文字说明及演算过程)‎ ‎19.(10分)(1)计算:(﹣2)3+﹣2sin30°+(2019﹣π)0+|﹣4|‎ ‎(2)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x的值从不等式组的整数解中选取.‎ ‎【解答】解:(1)原式=﹣8+4﹣2×+1+4﹣‎ ‎=﹣8+4﹣1+1+4﹣‎ ‎=﹣;‎ ‎(2)原式=•‎ ‎=﹣•‎ ‎=,‎ 解不等式组得﹣1≤x<3,‎ 则不等式组的整数解为﹣1、0、1、2,‎ ‎∵x≠±1,x≠0,‎ ‎∴x=2,‎ 第26页(共26页)‎ 则原式==﹣2.‎ ‎20.(8分)天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况,在全校范围内随机抽取了部分学生,在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中,围绕你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)进行了问卷调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请你根据统计图解答下列问题:‎ ‎(1)在这次调查中,一共抽查了 50 名学生.‎ ‎(2)请你补全条形统计图.‎ ‎(3)扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为 115.2 度.‎ ‎(4)请根据样本数据,估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生?‎ ‎【解答】解:(1)8÷16%=50,‎ 所以在这次调查中,一共抽查了50名学生;‎ ‎(2)喜欢戏曲的人数为50﹣8﹣10﹣12﹣16=4(人),‎ 条形统计图为:‎ ‎(3)扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°×=115.2°;‎ 故答案为50;115.2;‎ 第26页(共26页)‎ ‎(4)1200×=288,‎ 所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生.‎ ‎21.(10分)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(m,4)、B(2,n)两点,与坐标轴分别交于M、N两点.‎ ‎(1)求一次函数的解析式;‎ ‎(2)根据图象直接写出kx+b﹣>0中x的取值范围;‎ ‎(3)求△AOB的面积.‎ ‎【解答】解:(1)∵点A 在反比例函数y=上,‎ ‎∴=4,解得m=1,‎ ‎∴点A的坐标为(1,4),‎ 又∵点B也在反比例函数y=上,‎ ‎∴=n,解得n=2,‎ ‎∴点B的坐标为(2,2),‎ 又∵点A、B在y=kx+b的图象上,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴一次函数的解析式为y=﹣2x+6.‎ ‎(2)根据图象得:kx+b﹣>0时,x的取值范围为x<0或1<x<2;‎ ‎(3)∵直线y=﹣2x+6与x轴的交点为N,‎ ‎∴点N的坐标为(3,0),‎ S△AOB=S△AON﹣S△BON=×3×4﹣×3×2=3.‎ 第26页(共26页)‎ 四、解答题(本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程)‎ ‎22.(7分)某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1:1,文化墙PM在天桥底部正前方8米处(PB的长),为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1:.(参考数据:≈1.414,≈1.732)‎ ‎(1)若新坡面坡角为α,求坡角α度数;‎ ‎(2)有关部门规定,文化墙距天桥底部小于3米时应拆除,天桥改造后,该文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)∵新坡面坡角为α,新坡面的坡度为1:,‎ ‎∴tanα=,‎ ‎∴α=30°;‎ ‎(2)该文化墙PM不需要拆除,‎ 理由:作CD⊥AB于点D,则CD=6米,‎ ‎∵新坡面的坡度为1:,‎ ‎∴tan∠CAD=,‎ 解得,AD=6米,‎ ‎∵坡面BC的坡度为1:1,CD=6米,‎ ‎∴BD=6米,‎ ‎∴AB=AD﹣BD=(﹣6)米,‎ 又∵PB=8米,‎ ‎∴PA=PB﹣AB=8﹣(﹣6)=14﹣6≈14﹣6×1.732≈3.6米>3米,‎ ‎∴该文化墙PM不需要拆除.‎ ‎23.(10分)天水某景区商店销售一种纪念品,这种商品的成本价10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件,市场调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示.‎ 第26页(共26页)‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?‎ ‎【解答】解:(1)设y与x的函数解析式为y=kx+b,‎ 将(10,30)、(16,24)代入,得:,‎ 解得:,‎ 所以y与x的函数解析式为y=﹣x+40(10≤x≤16);‎ ‎(2)根据题意知,W=(x﹣10)y ‎=(x﹣10)(﹣x+40)‎ ‎=﹣x2+50x﹣400‎ ‎=﹣(x﹣25)2+225,‎ ‎∵a=﹣1<0,‎ ‎∴当x<25时,W随x的增大而增大,‎ ‎∵10≤x≤16,‎ ‎∴当x=16时,W取得最大值,最大值为144,‎ 答:每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元.‎ ‎24.(10分)如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与 OD的延长线交于点P,PC、AB的延长线交于点F.‎ ‎(1)求证:PC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若∠ABC=60°,AB=10,求线段CF的长.‎ 第26页(共26页)‎ ‎【解答】解:(1)连接OC,‎ ‎∵OD⊥AC,OD经过圆心O,‎ ‎∴AD=CD,‎ ‎∴PA=PC,‎ 在△OAP和△OCP中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△OAP≌△OCP(SSS),‎ ‎∴∠OCP=∠OAP ‎∵PA是⊙O的切线,‎ ‎∴∠OAP=90°.‎ ‎∴∠OCP=90°,‎ 即OC⊥PC ‎∴PC是⊙O的切线.‎ ‎(2)∵OB=OC,∠OBC=60°,‎ ‎∴△OBC是等边三角形,‎ ‎∴∠COB=60°,‎ 第26页(共26页)‎ ‎∵AB=10,‎ ‎∴OC=5,‎ 由(1)知∠OCF=90°,‎ ‎∴CF=OCtan∠COB=5.‎ ‎25.(10分)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.‎ ‎(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由;‎ ‎(2)性质探究:如图1,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD.试证明:AB2+CD2=AD2+BC2;‎ ‎(3)解决问题:如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连结CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.‎ ‎【解答】解:(1)四边形ABCD是垂美四边形.‎ 证明:∵AB=AD,‎ ‎∴点A在线段BD的垂直平分线上,‎ ‎∵CB=CD,‎ ‎∴点C在线段BD的垂直平分线上,‎ ‎∴直线AC是线段BD的垂直平分线,‎ ‎∴AC⊥BD,即四边形ABCD是垂美四边形;‎ ‎(2)猜想结论:垂美四边形的两组对边的平方和相等.‎ 如图2,已知四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为E,‎ 求证:AD2+BC2=AB2+CD2‎ 证明:∵AC⊥BD,‎ ‎∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°,‎ 第26页(共26页)‎ 由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,‎ AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,‎ ‎∴AD2+BC2=AB2+CD2;‎ 故答案为:AD2+BC2=AB2+CD2.‎ ‎(3)连接CG、BE,‎ ‎∵∠CAG=∠BAE=90°,‎ ‎∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,‎ 在△GAB和△CAE中,,‎ ‎∴△GAB≌△CAE(SAS),‎ ‎∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90°,‎ ‎∴∠ABG+∠AME=90°,即CE⊥BG,‎ ‎∴四边形CGEB是垂美四边形,‎ 由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,‎ ‎∵AC=4,AB=5,‎ ‎∴BC=3,CG=4,BE=5,‎ ‎∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73,‎ ‎∴GE=.‎ ‎26.(13分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0)、B(9,0)和C(0,4),‎ 第26页(共26页)‎ CD垂直于y轴,交抛物线于点D,DE垂直于x轴,垂足为E,直线l是该抛物线的对称轴,点F是抛物线的顶点.‎ ‎(1)求出该二次函数的表达式及点D的坐标;‎ ‎(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移,使其直角边OC与对称轴l重合,再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合,得到Rt△A1O1F,求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积;‎ ‎(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0<t≤6)得到Rt△A2O2C2,Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S,求S与t之间的函数表达式,并写出自变量t的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)∵抛抛线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0)、B(9,0)和C(0,4),‎ ‎∴抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣9),‎ ‎∵点C(0,4)在抛物线上,‎ ‎∴4=﹣27a,‎ ‎∴a=﹣,‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=﹣(x+3)(x﹣9)=﹣x2+x+4,‎ ‎∵CD垂直于y轴,C(0,4),‎ 令﹣x2+x+4=4,‎ 解得,x=0或x=6,‎ ‎∴点D的坐标为(6,4);‎ ‎(2)如图1所示,设A1F交CD于点G,O1F交CD于点H,‎ ‎∵点F是抛物线y=﹣x2+x+4的顶点,‎ 第26页(共26页)‎ ‎∴F(3,),‎ ‎∴FH=﹣4=,‎ ‎∵GH∥A1O1,‎ ‎∴△FGH∽△FA1O1,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 解得,GH=1,‎ ‎∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG,‎ ‎∴S重叠部分=﹣S△FGH ‎=A1O1•O1F﹣GH•FH ‎=‎ ‎=;‎ ‎(3)①当0<t≤3时,如图2所示,设O2C2交OD于点M,‎ ‎∵C2O2∥DE,‎ ‎∴△OO2M∽△OED,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴O2M=t,‎ ‎∴S==OO2×O2M=t×t=t2;‎ ‎②当3<t≤6时,如图3所示,设A2C2交OD于点M,O2C2交OD于点N,‎ 将点D(6,4)代入y=kx,‎ 得,k=,‎ 第26页(共26页)‎ ‎∴yOD=x,‎ 将点(t﹣3,0),(t,4)代入y=kx+b,‎ 得,,‎ 解得,k=,b=﹣t+4,‎ ‎∴直线A2C2的解析式为:y=x﹣t+4,‎ 联立yOD=x与y=x﹣t+4,‎ 得,x=x﹣t+4,‎ 解得,x=﹣6+2t,‎ ‎∴两直线交点M坐标为(﹣6+2t,﹣4+t),‎ 故点M到O2C2的距离为6﹣t,‎ ‎∵C2N∥OC,‎ ‎∴△DC2N∽△DCO,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴C2N=(6﹣t),‎ ‎∴S==﹣‎ ‎=OA•OC﹣C2N(6﹣t)‎ ‎=×3×4﹣×(6﹣t)(6﹣t)‎ ‎=﹣t2+4t﹣6;‎ ‎∴S与t的函数关系式为:S=.‎ 第26页(共26页)‎ 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/7/13 9:10:49;用户:柯瑞;邮箱:ainixiaoke00@163.com;学号:500557‎ 第26页(共26页)‎
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