2019年甘肃省天水市中考数学试卷

2019年甘肃省天水市中考数学试卷

‎2019年甘肃省天水市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）‎ ‎1．（4分）已知|a|＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3‎ ‎2．（4分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（　　）‎ A．73×10﹣6 B．0.73×10﹣4 C．7.3×10﹣4 D．7.3×10﹣5‎ ‎3．（4分）如图所示，圆锥的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．（4分）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED＝50°，那么∠BFA的大小为（　　）‎ A．145° B．140° C．135° D．130°‎ ‎5．（4分）下列运算正确的是（　　）‎ A．（ab）2＝a2b2 B．a2+a2＝a4 C．（a2）3＝a5 D．a2•a3＝a6‎ 第26页（共26页）‎ ‎6．（4分）已知a+b＝，则代数式2a+2b﹣3的值是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣3‎ ‎7．（4分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（4分）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（　　）‎ A．（1，1） B．（1，） C．（，1） D．（，）‎ ‎9．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（　　）‎ A．20° B．25° C．30° D．35°‎ ‎10．（4分）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（　　）‎ 第26页（共26页）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果）‎ ‎11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎12．（4分）分式方程﹣＝0的解是　 　．‎ ‎13．（4分）一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a．其中整数a是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是　 　．‎ ‎14．（4分）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为　 　．（用百分数表示）‎ ‎15．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a﹣b．则M、N的大小关系为M　 　N．（填“＞”、“＝”或“＜”）‎ ‎16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则圆中阴影部分的面积为　 　．（结果保留根号和π）‎ ‎17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为　 　．‎ 第26页（共26页）‎ ‎18．（4分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有　 　个〇．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共28分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）‎ ‎19．（10分）（1）计算：（﹣2）3+﹣2sin30°+（2019﹣π）0+|﹣4|‎ ‎（2）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．‎ ‎20．（8分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，一共抽查了　 　名学生．‎ ‎（2）请你补全条形统计图．‎ ‎（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为　 　度．‎ ‎（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？‎ 第26页（共26页）‎ ‎21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ ‎（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0中x的取值范围；‎ ‎（3）求△AOB的面积．‎ 四、解答题（本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）‎ ‎22．（7分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；‎ ‎（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．‎ ‎23．（10分）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？‎ 第26页（共26页）‎ ‎24．（10分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与 OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．‎ ‎25．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．‎ ‎（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；‎ ‎（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；‎ ‎（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．‎ ‎26．（13分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l 第26页（共26页）‎ 是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．‎ ‎（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；‎ ‎（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；‎ ‎（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．‎ 第26页（共26页）‎ ‎2019年甘肃省天水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）‎ ‎1．（4分）已知|a|＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3‎ ‎【解答】解：∵|a|＝1，b是2的相反数，‎ ‎∴a＝1或a＝﹣1，b＝﹣2，‎ 当a＝1时，a+b＝1﹣2＝﹣1；‎ 当a＝﹣1时，a+b＝﹣1﹣2＝﹣3；‎ 综上，a+b的值为﹣1或﹣3，‎ 故选：C．‎ ‎2．（4分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（　　）‎ A．73×10﹣6 B．0.73×10﹣4 C．7.3×10﹣4 D．7.3×10﹣5‎ ‎【解答】解：0.000073用科学记数法表示为7.3×10﹣5，‎ 故选：D．‎ ‎3．（4分）如图所示，圆锥的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：‎ 第26页（共26页）‎ 故选：A．‎ ‎4．（4分）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED＝50°，那么∠BFA的大小为（　　）‎ A．145° B．140° C．135° D．130°‎ ‎【解答】解：∠FDE＝∠C+∠CED＝90°+50°＝140°，‎ ‎∵DE∥AF，‎ ‎∴∠BFA＝∠FDE＝140°．‎ 故选：B．‎ ‎5．（4分）下列运算正确的是（　　）‎ A．（ab）2＝a2b2 B．a2+a2＝a4 C．（a2）3＝a5 D．a2•a3＝a6‎ ‎【解答】解：‎ A选项，积的乘方：（ab）2＝a2b2，正确 B选项，合并同类项：a2+a2＝2a2，错误 C选项，幂的乘方：（a2）3＝a6，错误 D选项，同底数幂相乘：a2•a3＝a5，错误 故选：A．‎ ‎6．（4分）已知a+b＝，则代数式2a+2b﹣3的值是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣3‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵2a+2b﹣3＝2（a+b）﹣3，‎ ‎∴将a+b＝代入得：2×﹣3＝﹣2‎ 第26页（共26页）‎ 故选：B．‎ ‎7．（4分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，‎ 针尖落在黑色区域内的概率＝＝．‎ 故选：C．‎ ‎8．（4分）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（　　）‎ A．（1，1） B．（1，） C．（，1） D．（，）‎ ‎【解答】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，‎ ‎∴OH＝1，BH＝．‎ ‎∴点B的坐标为（1，）．‎ 故选：B．‎ ‎9．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（　　）‎ 第26页（共26页）‎ A．20° B．25° C．30° D．35°‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，‎ ‎∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，‎ ‎∵四边形AECD是圆内接四边形，‎ ‎∴∠AEB＝∠D＝80°，‎ ‎∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，‎ 故选：C．‎ ‎10．（4分）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；‎ A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；‎ D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果）‎ ‎11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥2　．‎ ‎【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，‎ 第26页（共26页）‎ 解得：x≥2，‎ 故答案为：x≥2．‎ ‎12．（4分）分式方程﹣＝0的解是　x＝2　．‎ ‎【解答】解：‎ 原式通分得：＝0‎ 去分母得：x﹣2（x﹣1）＝0‎ 去括号解得，x＝2‎ 经检验，x＝2为原分式方程的解 故答案为x＝2‎ ‎13．（4分）一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a．其中整数a是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是　5　．‎ ‎【解答】解：∵整数a是这组数据中的中位数，‎ ‎∴a＝4，‎ ‎∴这组数据的平均数＝（2.2+3.3+4.4+4+11.1）＝5．‎ 故答案为5．‎ ‎14．（4分）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为　40%　．（用百分数表示）‎ ‎【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，‎ ‎20000（1+x）2＝39200，‎ 解得，x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍去），‎ ‎∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，‎ 故答案为：40%．‎ ‎15．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a﹣b．则M、N的大小关系为M　＜　N．（填“＞”、“＝”或“＜”）‎ 第26页（共26页）‎ ‎【解答】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，‎ 当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，‎ M﹣N＝4a+2b﹣（a﹣b）‎ ‎＝4a+2b+c﹣（a﹣b+c）＜0，‎ 即M＜N，‎ 故答案为：＜‎ ‎16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则圆中阴影部分的面积为　2π﹣2　．（结果保留根号和π）‎ ‎【解答】解：连接AB，‎ ‎∵∠AOB＝90°，‎ ‎∴AB是直径，‎ 根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，‎ ‎∵OB＝2，‎ ‎∴OA＝OBtan∠ABO＝OBtan30°＝2×＝2，AB＝AO÷sin30°＝4，即圆的半径为2，‎ ‎∴S阴影＝S半圆﹣S△ABO＝﹣×2×2＝2π﹣2．‎ 故答案为：2π﹣2．‎ 第26页（共26页）‎ ‎17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为　　．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，‎ ‎∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，‎ ‎∴AF＝AD＝5，EF＝DE，‎ 在Rt△ABF中，∵BF＝＝4，‎ ‎∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，‎ 设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x 在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，‎ ‎∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，‎ ‎∴EF＝3﹣x＝，‎ ‎∴sin∠EFC＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎18．（4分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有　6058　个〇．‎ 第26页（共26页）‎ ‎【解答】解：由图可得，‎ 第1个图象中〇的个数为：1+3×1＝4，‎ 第2个图象中〇的个数为：1+3×2＝7，‎ 第3个图象中〇的个数为：1+3×3＝10，‎ 第4个图象中〇的个数为：1+3×4＝13，‎ ‎……‎ ‎∴第2019个图形中共有：1+3×2019＝1+6057＝6058个〇，‎ 故答案为：6058．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共28分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）‎ ‎19．（10分）（1）计算：（﹣2）3+﹣2sin30°+（2019﹣π）0+|﹣4|‎ ‎（2）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．‎ ‎【解答】解：（1）原式＝﹣8+4﹣2×+1+4﹣‎ ‎＝﹣8+4﹣1+1+4﹣‎ ‎＝﹣；‎ ‎（2）原式＝•‎ ‎＝﹣•‎ ‎＝，‎ 解不等式组得﹣1≤x＜3，‎ 则不等式组的整数解为﹣1、0、1、2，‎ ‎∵x≠±1，x≠0，‎ ‎∴x＝2，‎ 第26页（共26页）‎ 则原式＝＝﹣2．‎ ‎20．（8分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，一共抽查了　50　名学生．‎ ‎（2）请你补全条形统计图．‎ ‎（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为　115.2　度．‎ ‎（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？‎ ‎【解答】解：（1）8÷16%＝50，‎ 所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；‎ ‎（2）喜欢戏曲的人数为50﹣8﹣10﹣12﹣16＝4（人），‎ 条形统计图为：‎ ‎（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°×＝115.2°；‎ 故答案为50；115.2；‎ 第26页（共26页）‎ ‎（4）1200×＝288，‎ 所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．‎ ‎21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ ‎（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0中x的取值范围；‎ ‎（3）求△AOB的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A 在反比例函数y＝上，‎ ‎∴＝4，解得m＝1，‎ ‎∴点A的坐标为（1，4），‎ 又∵点B也在反比例函数y＝上，‎ ‎∴＝n，解得n＝2，‎ ‎∴点B的坐标为（2，2），‎ 又∵点A、B在y＝kx+b的图象上，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+6．‎ ‎（2）根据图象得：kx+b﹣＞0时，x的取值范围为x＜0或1＜x＜2；‎ ‎（3）∵直线y＝﹣2x+6与x轴的交点为N，‎ ‎∴点N的坐标为（3，0），‎ S△AOB＝S△AON﹣S△BON＝×3×4﹣×3×2＝3．‎ 第26页（共26页）‎ 四、解答题（本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）‎ ‎22．（7分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；‎ ‎（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：，‎ ‎∴tanα＝，‎ ‎∴α＝30°；‎ ‎（2）该文化墙PM不需要拆除，‎ 理由：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，‎ ‎∵新坡面的坡度为1：，‎ ‎∴tan∠CAD＝，‎ 解得，AD＝6米，‎ ‎∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，‎ ‎∴BD＝6米，‎ ‎∴AB＝AD﹣BD＝（﹣6）米，‎ 又∵PB＝8米，‎ ‎∴PA＝PB﹣AB＝8﹣（﹣6）＝14﹣6≈14﹣6×1.732≈3.6米＞3米，‎ ‎∴该文化墙PM不需要拆除．‎ ‎23．（10分）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．‎ 第26页（共26页）‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，‎ 将（10，30）、（16，24）代入，得：，‎ 解得：，‎ 所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；‎ ‎（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y ‎＝（x﹣10）（﹣x+40）‎ ‎＝﹣x2+50x﹣400‎ ‎＝﹣（x﹣25）2+225，‎ ‎∵a＝﹣1＜0，‎ ‎∴当x＜25时，W随x的增大而增大，‎ ‎∵10≤x≤16，‎ ‎∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，‎ 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．‎ ‎24．（10分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与 OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．‎ 第26页（共26页）‎ ‎【解答】解：（1）连接OC，‎ ‎∵OD⊥AC，OD经过圆心O，‎ ‎∴AD＝CD，‎ ‎∴PA＝PC，‎ 在△OAP和△OCP中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△OAP≌△OCP（SSS），‎ ‎∴∠OCP＝∠OAP ‎∵PA是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAP＝90°．‎ ‎∴∠OCP＝90°，‎ 即OC⊥PC ‎∴PC是⊙O的切线．‎ ‎（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∴∠COB＝60°，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∵AB＝10，‎ ‎∴OC＝5，‎ 由（1）知∠OCF＝90°，‎ ‎∴CF＝OCtan∠COB＝5．‎ ‎25．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．‎ ‎（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；‎ ‎（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；‎ ‎（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．‎ ‎【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．‎ 证明：∵AB＝AD，‎ ‎∴点A在线段BD的垂直平分线上，‎ ‎∵CB＝CD，‎ ‎∴点C在线段BD的垂直平分线上，‎ ‎∴直线AC是线段BD的垂直平分线，‎ ‎∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；‎ ‎（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．‎ 如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，‎ 求证：AD2+BC2＝AB2+CD2‎ 证明：∵AC⊥BD，‎ ‎∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，‎ 第26页（共26页）‎ 由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，‎ AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，‎ ‎∴AD2+BC2＝AB2+CD2；‎ 故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2．‎ ‎（3）连接CG、BE，‎ ‎∵∠CAG＝∠BAE＝90°，‎ ‎∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，‎ 在△GAB和△CAE中，，‎ ‎∴△GAB≌△CAE（SAS），‎ ‎∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，‎ ‎∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，‎ ‎∴四边形CGEB是垂美四边形，‎ 由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，‎ ‎∵AC＝4，AB＝5，‎ ‎∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，‎ ‎∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，‎ ‎∴GE＝．‎ ‎26．（13分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），‎ 第26页（共26页）‎ CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．‎ ‎（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；‎ ‎（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；‎ ‎（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9），‎ ‎∵点C（0，4）在抛物线上，‎ ‎∴4＝﹣27a，‎ ‎∴a＝﹣，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+3）（x﹣9）＝﹣x2+x+4，‎ ‎∵CD垂直于y轴，C（0，4），‎ 令﹣x2+x+4＝4，‎ 解得，x＝0或x＝6，‎ ‎∴点D的坐标为（6，4）；‎ ‎（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，‎ ‎∵点F是抛物线y＝﹣x2+x+4的顶点，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴F（3，），‎ ‎∴FH＝﹣4＝，‎ ‎∵GH∥A1O1，‎ ‎∴△FGH∽△FA1O1，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得，GH＝1，‎ ‎∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，‎ ‎∴S重叠部分＝﹣S△FGH ‎＝A1O1•O1F﹣GH•FH ‎＝‎ ‎＝；‎ ‎（3）①当0＜t≤3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M，‎ ‎∵C2O2∥DE，‎ ‎∴△OO2M∽△OED，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴O2M＝t，‎ ‎∴S＝＝OO2×O2M＝t×t＝t2；‎ ‎②当3＜t≤6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，‎ 将点D（6，4）代入y＝kx，‎ 得，k＝，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴yOD＝x，‎ 将点（t﹣3，0），（t，4）代入y＝kx+b，‎ 得，，‎ 解得，k＝，b＝﹣t+4，‎ ‎∴直线A2C2的解析式为：y＝x﹣t+4，‎ 联立yOD＝x与y＝x﹣t+4，‎ 得，x＝x﹣t+4，‎ 解得，x＝﹣6+2t，‎ ‎∴两直线交点M坐标为（﹣6+2t，﹣4+t），‎ 故点M到O2C2的距离为6﹣t，‎ ‎∵C2N∥OC，‎ ‎∴△DC2N∽△DCO，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴C2N＝（6﹣t），‎ ‎∴S＝＝﹣‎ ‎＝OA•OC﹣C2N（6﹣t）‎ ‎＝×3×4﹣×（6﹣t）（6﹣t）‎ ‎＝﹣t2+4t﹣6；‎ ‎∴S与t的函数关系式为：S＝．‎ 第26页（共26页）‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/13 9:10:49；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557‎ 第26页（共26页）‎