北京市各区中考二模数学试题分类汇编综合题含答案

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北京市各区中考二模数学试题分类汇编综合题含答案

‎2013年初三二模分类试题—综合题 西城、解答题 ‎1.在平面直角坐标系xOy中, A,B两点在函数的图象上,‎ 其中.AC⊥轴于点C,BD⊥轴于点D,且 AC=1.‎ ‎ (1) 若=2,则AO的长为 ,△BOD的面积为 ;‎ ‎(2) 如图1,若点B的横坐标为,且,当AO=AB时,求的值;‎ ‎(3) 如图2,OC=4,BE⊥轴于点E,函数的图象分别与线段BE,‎ BD交于点M,N,其中.将△OMN的面积记为,△BMN的面积记为,若,求与的函数关系式以及的最大值.‎ 图2‎ 图1‎ ‎2.在△ABC中,AB=AC,AD,CE分别平分∠BAC和∠ACB,且AD与CE交于点M.点N在射线AD上,且NA=NC.过点N作NF⊥CE于点G,且与AC交于点F,再过点F作FH∥CE,且与AB交于点H.‎ ‎(1) 如图1,当∠BAC=60°时,点M,N,G重合.‎ ‎①请根据题目要求在图1中补全图形;‎ ‎②连结EF,HM,则EF与HM的数量关系是__________;‎ ‎(2) 如图2,当∠BAC=120°时,求证:AF=EH;‎ 图1‎ 图2‎ 备用图 ‎(3) 当∠BAC=36°时,我们称△ABC为“黄金三角形”,此时.若EH=4,‎ 直接写出GM的长.‎ ‎3.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线和抛物线W交于A,B两点,其中点A是抛物线W的顶点.当点A在直线上运动时,抛物线W随点A作平移运动.在抛物线平移的过程中,线段AB的长度保持不变. ‎ 图1‎ ‎ 应用上面的结论,解决下列问题:‎ ‎ 如图2,在平面直角坐标系xOy中,已知直线.点A是直线上的一个动点,且点A的横坐标为.以A为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点B.‎ ‎ (1) 当时,求抛物线的解析式和AB的长;‎ ‎(2) 当点B到直线OA的距离达到最大时,直接写出此时点A的坐标;‎ ‎ (3) 过点A作垂直于轴的直线交直线于点C.以C为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点D.‎ ‎ ①当AC⊥BD时,求的值;‎ ‎②若以A,B,C,D为顶点构成的图形是凸四边形,直接写出满足条件的的取值范围.‎ 图2‎ 备用图 海淀4.已知:抛物线过点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折,图象其余的部分保持不变,得到的新函数图象记为.点在图象上,且.‎ ‎①求的取值范围;‎ ‎②若点也在图象上,且满足恒成立,则的取值范围为 .‎ ‎5.如图1,在△ABC中,AB=AC,. 过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D,连接CD. ‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)点为线段延长线上一点,将射线GC绕着点G逆时针旋转,与射线BD交于点E.‎ ‎①若,,如图2所示,求证:;‎ ‎②若,,请直接写出的值(用含的代数式表示).‎ ‎6. 在平面直角坐标系xOy中,点的坐标是,过点作直线垂直轴,点是直线上异于点的一点,且.过点作直线的垂线,点在直线上,且在直线的下方,.设点的坐标为.‎ (1) 判断△的形状,并加以证明;‎ (2) 直接写出与的函数关系式(不要求写自变量的取值范围);‎ (3) 延长交(2)中所求函数的图象于点.求证:.‎ 东城7. 已知:关于的一元二次方程(m为实数).‎ ‎(1)若方程有两个不相等的实数根,求的取值范围;‎ ‎(2)求证:抛物线总过轴上的一个定点;‎ ‎(3)若是整数,且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根时,把抛物线向右平移3个单位长度,求平移后的解析式.‎ ‎8. 在矩形中,,,是边上一点,交于点,过点作,交射线于点,交射线于点.‎ ‎(1)如图1,当点与点重合时,求的长;‎ ‎(2)如图2,当点在线段上时,设,,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;‎ ‎(3)连结,当以点E,F,H为顶点的三角形与△AEC相似时,求线段的长.‎ ‎9.定义:P,Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离. 已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中的四点.‎ ‎ (1)根据上述定义,当m=2,n=2时,如图1,线段BC与线段OA的距离是_____;‎ ‎ 当m=5,n=2时,如图2,线段BC与线段OA的距离是______ .‎ ‎(2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上,求线段BC与线段OA的距离d. ‎ ‎(3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2,若线段BC的中点为M,直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长 .‎ 朝阳10.已知关于x的一元二次方程x2+(4-m)x+1-m = 0.‎ ‎ (1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;‎ ‎ (2)此方程有一个根是-3,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m 向右平移3个单位,得到一个新的抛物线,当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时,求b的值.‎ ‎11.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y= ax2+bx+4与x轴交于点A(-2,0)、‎ B(6,0),与y轴交于点C,直线CD∥x轴,且与抛物线交于点D,P是抛物线上一动 备用图 点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)过点P作PQ⊥CD于点Q,将△CPQ绕点C顺时针旋转,旋转角为α(0º﹤α﹤90º),当cosα=,且旋转后点P的对应点恰好落在x轴上时,求点P的坐标.‎ ‎12. 在□ABCD中,E是AD上一点,AE=AB,过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得∠EGB=∠EAB,连接AG.‎ ‎(1)如图1,当EF与AB相交时,若∠EAB=60°,求证:EG =AG+BG;‎ ‎(2)如图2,当EF与AB相交时,若∠EAB= α(0º﹤α﹤90º),请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系(用含α的式子表示); ‎ ‎(3)如图3,当EF与CD相交时,且∠EAB=90°,请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系,并证明你的结论.‎ 图3‎ 图1‎ 图2‎ 房山13.已知二次函数. ‎ ‎(1)求证:不论k为任何实数,该函数的图象与x轴必有两个交点;‎ ‎(2)若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A(1,0)的两侧,且关于x的一元二次方程k2x2+(2k+3)x+1=0有两个不相等的实数根,求k的整数值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,关于x的另一方程 x2+2(a+k)x+2a-k2+6 k-4=0 有大于0且小于3的实数根,求a的整数值.‎ ‎14.(1)如图1,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,且满足BE=CF,联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系;‎ ‎(2)如图2,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,联结BF,过点E作EG⊥BF于点H,交AD于点G,试判断线段BF与GE的数量关系,并证明你的结论;‎ ‎(3)如图3,在(2)的条件下,联结GF、HD.‎ 求证:①FG+BE≥BF;‎ ‎②∠HGF=∠HDF.‎ 第21题图3‎ 第24题图2‎ 第24题图1‎ ‎15.已知抛物线的最低点A的纵坐标是3,直线经过点A,与y轴交于点B,与x轴交于点C.‎ ‎(1)求抛物线与直线AB的解析式.‎ ‎(2)将直线AB绕点O顺时针旋转90°,与x轴交于点D,与y轴交于点E,求sin∠BDE的值.‎ ‎(3)过B点作x轴的平行线BG,点M在直线BG上,且到抛物线的对称轴的距离为6,设点N在直线BG上,请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=450的点N的坐标.‎ 第25题图 ‎ ‎ ‎ ‎ 门头沟16. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过原点O, 点B(-2,n)在这条抛物线上.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)将直线沿y轴向下平移b个单位后得到直线l, 若直线l经过B点,求n、b的值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,设抛物线的对称轴与x轴交于点C,直线l与y轴交于点D,且与抛物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点,且PB=PE,求P点的坐标.‎ x y ‎1‎ ‎1‎ O ‎17.已知:在△AOB与△COD中,OA=OB,OC=OD,. ‎ ‎(1)如图1,点C、D分别在边OA、OB上,连结AD、BC,点M为线段BC的中点,连结OM,则线段AD与OM之间的数量关系是 ,位置关系是 ;‎ ‎(2)如图2,将图1中的△COD绕点逆时针旋转,旋转角为 ().连结AD、BC,点M为线段BC的中点,连结OM.请你判断(1)中的两个结论是否仍然成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由;‎ ‎(3)如图3,将图1中的 △COD绕点 O逆时针旋转到使 △COD的一边OD恰好与 ‎△AOB的边OA在同一条直线上时,点C落在OB上,点M为线段BC的中点.‎ 请你判断(1)中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化,写出你的猜想,并加以证明.‎ ‎18. 如图,在平面直角坐标系xOy中, 已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B(1,0)、C(3,0).直线AC与y轴交于点G(0,6).动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点 Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.‎ ‎(1)求直线AC的解析式;‎ ‎(2)当t为何值时,△CQE的面积最大?最大值为多少?‎ ‎(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形? ‎ 怀柔19. 已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点.‎ ‎ (1)求C1的顶点坐标;‎ ‎ (2)将C1向下平移若干个单位后,得抛物线C2,如果C2与x轴的一个交点为A(—3,0),求C2的函数关系式,并求C2与x轴的另一个交点坐标;‎ ‎ (3)若直接写出实数n的取值范围.‎ 解:‎ ‎20. 如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,连结AM、CM.‎ ‎(1) 当M点在何处时,AM+CM的值最小;‎ ‎(2)当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;‎ ‎(3)当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.‎ 解: (1)‎ ‎21.如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,‎ 抛物线经过A,B两点,抛物线的顶点为D.‎ ‎(1)b= ,c= ;‎ ‎(2)点E是Rt△ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线 交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三 角形? 若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ 解:(1)b= , c= ;‎ ‎21题图 21题备用图 ‎(2)‎ ‎(3)‎ 大兴22.已知:如图,抛物线L1:y=x2﹣4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.‎ ‎(1)直接写出点A和抛物线L1的顶点坐标;‎ ‎(2)研究二次函数L2:y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).‎ ‎ ①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;‎ ‎ ②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否会因k值的变化而发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.‎ ‎23.已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB =,AD = 3,BC = 4,以点D为旋转中心,将腰DC逆时针旋转а至DE.‎ ‎(1)当а=90°时,连结AE,则△EAD的面积等于___________(直接写出结果);‎ ‎(2)当0°<а< 180°时,连结BE,请问BE能否取得最大值,若能,请求出BE的最大值;若不能,请说明理由;‎ ‎(3)当0°<а< 180°时,连结CE,请问а为多少度时,△CDE的面积是.‎ ‎ ‎ ‎24.已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是菱形,顶点A.C.D均在坐标轴上,且AB=5,sinB=.‎ ‎(1)求过A.C.D三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)记直线AB的解析式为y1=mx+n,(1)中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c,求当y1<y2时,自变量x的取值范围;‎ ‎(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E,P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点,当P点在何处时,△PAE的面积最大?并求出面积的最大值.‎ 丰台 ‎25.已知关于的方程.‎ ‎(1)求证:此方程总有两个实数根;‎ ‎(2)设抛物线与轴交于点M,若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=-x的对称点恰好是点M,求的值.‎ ‎26.在Rt△ABC中,AB=BC,∠B=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上,将三角板绕点O旋转.‎ ‎(1)当点O为AC中点时,‎ ‎①如图1, 三角板的两直角边分别交AB,BC于E、F两点,连接EF,猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系(无需证明);‎ ‎②如图2, 三角板的两直角边分别交AB,BC延长线于E、F两点,连接EF,判断①中的猜想是否成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由;‎ ‎(2)当点O不是AC中点时,如图3,,三角板的两直角边分别交AB,BC于E、F两点,若,求的值.‎ C O B A O E 图1‎ F B A O C E F ‎ ‎ A B C E F 图2‎ 图3‎ ‎27.如图,把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中,,,把△OAB沿轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE.‎ ‎(1)若过原点的抛物线经过点B、E,求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点在该抛物线上移动,当点P在第一象限内时,过点作轴于点,连结.若以、、为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似,直接写出点的坐标;‎ ‎(3)若点M(-4,n) 在该抛物线上,平移抛物线,记平移后点M的对应点为M′,点B的对应点为B′.‎ A O x B C D y E 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形M′B′CD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.‎ 石景山28.如图,抛物线过点A(-1,0),B(3,0),其对称轴与x轴的交点为C, 反比例函数(x>0,k是常数)的图象经过抛物线的顶点D.‎ ‎ (1)求抛物线和反比例函数的解析式.‎ y x O ‎ (2)在线段DC上任取一点E,过点E作轴平行线,交y轴于点F、交双曲线于点G,联结DF、DG、FC、GC.‎ ‎①若△DFG的面积为4,求点G的坐标;‎ ‎②判断直线FC和DG的位置关系,请说明理由;‎ ‎③当DF=GC时,求直线DG的函数解析式.‎ 解:‎ ‎29.如图,四边形、是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形.其中,正方形可以绕中心旋转,正方形静止不动.‎ ‎(1)如图1,当四点共线时,四边形的面积为 __;‎ ‎(2)如图2,当三点共线时,请直接写出= _________;‎ ‎(3)在正方形绕中心旋转的过程中,直线与直线的位置关系是______________,请借助图3证明你的猜想.‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ 解:‎ ‎30.(1)如图1,把抛物线平移后得到抛物线,抛物线经过点和原点,它的顶点为,它的对称轴与抛物线交于点,则抛物线的解析式为____________;图中阴影部分的面积为_____.‎ ‎(2)若点为抛物线上的动点,我们把时的△称为抛物线的内接直角三角形.过点做轴的垂线,抛物线的内接直角三角形的两条直角边所在直线、与直线分别交于、两点,以为直径的⊙与轴交于、两点,如图2.请问:当点在抛物线上运动时,线段的长度是否会发生变化?请写出并证明你的判断.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图2‎ 图1‎ 解:‎ 昌平31. 已知点A(a,)、B(2a,y)、C(3a,y)都在抛物线上.‎ ‎(1)求抛物线与x轴的交点坐标;‎ ‎(2)当a=1时,求△ABC的面积;‎ ‎(3)是否存在含有、y、y,且与a无关的等式?如果存在,试给出一个,并加以证明;如果不存在,请说明理由.‎ ‎32.(1)如图1,以AC为斜边的Rt△ABC和矩形HEFG摆放在直线l上(点B、C、E、F在直线l上),已知BC=EF=1,AB=HE=2. △ABC沿着直线l向右平移,设CE=x,△ABC与矩形HEFG重叠部分的面积为y(y≠0). 当x=时,求出y的值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,如图2,将Rt△ABC绕AC的中点旋转180°后与Rt△ABC 形成一个新的矩形ABCD,当点C在点E的左侧,且x =2时,将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角,将矩形HEFG绕着点E逆时针旋转相同的角度. 若旋转到顶点D、H重合时,连接AG,求点D到AG的距离;‎ ‎(3)在(2)的条件下,如图3,当α=45°时,设AD与GH交于点M,CD与HE交于点N,求证:四边形MHND为正方形.‎ ‎ 33. 如图,已知半径为1的与轴交于两点,为的切线,切点为,圆心的坐标为,二次函数的图象经过两点.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)求切线的函数解析式;‎ ‎(3)线段上是否存在一点,使得以为顶点的三角形与相似.若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 密云34.已知:关于的一元二次方程(m为实数)‎ ‎ (1)若方程有两个不相等的实数根,求的取值范围;‎ ‎ (2)在(1)的条件下,求证:无论取何值,抛物线总过轴上的一个固定点;‎ ‎ (3)若是整数,且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根,把抛物线向右平移3个单位长度,求平移后的 ‎ 解析式.‎ ‎35.如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边 ‎ ‎ 上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.‎ ‎ (1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗? ‎ ‎ 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.‎ ‎ (2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.‎ ‎ ①求证:BD⊥CF;‎ ‎ ②当AB=4,AD=时,求线段BG的长.‎ ‎36.概念:P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段a与 线段b的距离. 已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中四点. (1)根据上述概念,当m=2,n=2时,如图1,线段BC与线段OA的距离是 2;‎ ‎ 当m=5,n=2时,如图2,线段BC与线段OA的距离(即线段AB长)为 ; (2)图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上,线段BC与线段OA的距离记为d,‎ ‎ 求d关于m的函数解析式. (3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的中点为M, ①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长; ②点D的坐标为(0,2),m≥0,n≥0,作MN⊥x轴,垂足为H,是否存在m的值 ‎ 使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似?若存在,求出m的值;若不存在 请 说明理由. ‎ 顺义37.已知抛物线. ‎ ‎(1)求证:无论为任何实数,抛物线与x轴 ‎ 总有两个交点;‎ ‎(2)若为整数,当关于x的方程的两个有理数根都在与之间 ‎ (不包括-1、)时,求的值. ‎ ‎(3)在(2)的条件下,将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新图象,再将图象向上平移个单位,若图象与过点(0,3)且与x轴平行的直线有4个交点,直接写出n的取值范围是 . ‎ ‎  ‎ ‎38.如图,直线与线段相交于点, 点和点在直线上,且.‎ ‎(1) 如图1所示,当点与点重合时 ,且,请写出与的数量关系和位置关系;‎ ‎(2)将图1中的绕点顺时针旋转到如图2所示的位置,,(1)中的与的数量关系和位置关系是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;‎ ‎(3)将图2中的拉长为的倍得到如图3,求的值.‎ ‎39. 已知抛物线与轴交于两点,与轴交于点,连结,是线段上一动点,以为一边向右侧作正方形,连结.若,.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)求的度数;‎ ‎(4)当点沿轴正方向移动到点时,点也随着运动,则点所走过的路线长 是 .‎ 参考答案 ‎1.解:(1) AO的长为,△BOD的面积为 1; ………………………… 2分 ‎(2) ∵A,B两点在函数的图象上,‎ ‎ ∴点A,B的坐标分别为,. ………………… 3分 ‎∵AO=AB,‎ 由勾股定理得,,‎ ‎ ∴.‎ ‎ 解得或. …………………………………………… 4分 ‎∵,‎ ‎∴. ………………… 5分 ‎(3) ∵OC=4,‎ ‎ ∴点A的坐标为.‎ ‎ ∴. ‎ ‎ 设点B的坐标为,‎ ‎ ∵BE⊥轴于点E,BD⊥轴于点D,‎ ‎ ∴四边形ODBE为矩形,且,‎ 点M的纵坐标为,点N的横坐标为.‎ ‎∵点M,N在函数的图象上,‎ ‎∴点M的坐标为,点N的坐标为. ‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴, ………………………… 6分 其中.‎ ‎∵,而,‎ ‎∴当时,的最大值为1. …………………………………… 7分 图1‎ ‎2.解:(1)补全图形见图1, ………1分 ‎ EF与HM的数量关系是EF=HM ; ………2分 ‎ (2)连接MF(如图2).‎ ‎ ∵AD,CE分别平分∠BAC和∠ACB,‎ 且∠BAC=120°,‎ ‎ ∴∠1=∠2=60°,∠3=∠4.‎ ‎ ∵AB=AC,‎ 图2‎ ‎ ∴AD⊥BC.‎ ‎ ∵NG⊥EC,‎ ‎ ∴∠MDC =∠NGM =90°.‎ ‎ ∴∠4+∠6=90°,∠5+∠6=90°.‎ ‎∴∠4=∠5.‎ ‎∴∠3=∠5.‎ ‎ ∵NA=NC,∠2=60°,‎ ‎∴△ANC是等边三角形.‎ ‎∴AN=AC.‎ ‎ 在△AFN和△AMC中,‎ ‎ ‎ ‎∴△AFN≌△AMC. …………………………………………… 3分 ‎∴AF=AM.‎ ‎∴△AMF是等边三角形.‎ ‎∴AF=FM,∠7=60°.‎ ‎∴∠7=∠1.‎ ‎∴FM∥AE.‎ ‎∵FH∥CE,‎ ‎∴四边形FHEM是平行四边形. ……………………………………… 4分 ‎∴EH=FM.‎ ‎∴AF=EH. …………………………………………… 5分 ‎ (3) GM的长为. …………………………………………… 7分 ‎3.解:(1) ∵点A在直线上,且点A的横坐标为0,‎ ‎∴点A的坐标为.‎ ‎∴抛物线的解析式为. …………………………… 1分 ‎∵点B在直线上,‎ ‎∴设点B的坐标为.‎ ‎∵点B在抛物线:上,‎ ‎∴.‎ 解得或.‎ ‎∵点A与点B不重合,‎ ‎∴点B的坐标为. …………………………… 2分 ‎∴由勾股定理得AB=. …………………… 3分 ‎ (2) 点A的坐标为. …………………………… 4分 ‎ (3) ①方法一:设AC,BD交于点E,直线分别与轴、轴交于点P和Q(如图1).则点P和点Q的坐标分别为, .‎ 图1‎ ‎∴OP=OQ=2.‎ ‎∴∠OPQ =45°.‎ ‎∵AC⊥轴,‎ ‎∴AC∥轴.‎ ‎∴∠EAB =∠OPQ =45°.‎ ‎∵∠DEA =∠AEB=90°,AB =,‎ ‎∴EA=EB =1.‎ ‎∵点A在直线上,且点A的横坐标为,‎ ‎∴点A的坐标为.‎ ‎∴点B的坐标为. ‎ ‎∵AC∥轴,‎ ‎∴点C的纵坐标为. ‎ ‎∵点C在直线上,‎ ‎∴点C的坐标为. ‎ ‎∴抛物线的解析式为. ‎ ‎∵BD⊥AC,‎ ‎∴点D的横坐标为.‎ ‎∵点D在直线上,‎ ‎∴点D的坐标为. …………………………………………… 5分 ‎∵点D在抛物线:上,‎ ‎∴.‎ 解得或. ‎ ‎∵当时,点C与点D重合,‎ ‎∴. …………………………………………… 6分 图2‎ ‎ 方法二:设直线与轴交于点P,过点A作轴的平行线,过点B作轴的平行线,交于点N.(如图2)‎ 则∠ANB=90°,∠ABN=∠OPB.‎ 在△ABN中,BN=ABcos∠ABN,AN=ABsin∠ABN.‎ ‎∵在抛物线随顶点A平移的过程中,‎ AB的长度不变,∠ABN的大小不变,‎ ‎∴BN和AN的长度也不变,即点A与点B的横坐标 的差以及纵坐标的差都保持不变.‎ 同理,点C与点D的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变.‎ 由(1)知当点A的坐标为时,点B的坐标为,‎ ‎∴当点A的坐标为时,点B的坐标为. ‎ ‎∵AC∥轴,‎ ‎∴点C的纵坐标为. ‎ ‎∵点C在直线上,‎ ‎∴点C的坐标为. ‎ 令,则点C的坐标为. ‎ ‎∴抛物线的解析式为. ‎ ‎∵点D在直线上,‎ ‎∴设点D的坐标为. ‎ ‎∵点D在抛物线:上,‎ ‎∴.‎ 解得或.‎ ‎∵点C与点D不重合,‎ ‎∴点D的坐标为.‎ ‎∴当点C的坐标为时,点D的坐标为.‎ ‎∴当点C的坐标为时,点D的坐标为. …… 5分 ‎∵BD⊥AC,‎ ‎∴.‎ ‎∴. …………………………………………… 6分 ‎②的取值范围是或. ………………………………… 8分 说明:设直线与交于点M.随着点A从左向右运动,从点D与点M重合,到点B与点M重合的过程中,以A,B,C,D为顶点构成的图形不是凸四边形.‎ ‎4解:(1)∵抛物线过点,‎ ‎∴. ‎ 解得 .‎ ‎∴抛物线的解析式为. --------------2分 ‎(2)①当时,.‎ ‎∴或.‎ ‎∴抛物线与轴交于点, .-----3分 当时,.‎ ‎∴或.‎ ‎∴抛物线与直线交于点, .‎ ‎∴,关于直线的对称点,.----4分 ‎∴根据图象可得≤≤0或≤≤.----------------5分 ‎②的取值范围为≥4或≤.----------------7分 ‎5.解:(1) ∵平分,‎ ‎∴.‎ ‎∵∥,‎ ‎∴.‎ ‎∴.---------------1分 ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.---------------2分 ‎ (2)①证明:过作于点.‎ ‎∴.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 由(1)得.‎ ‎∴点、、在以为圆心,为半径的圆上.‎ ‎∴.‎ ‎∴.----------3分 ‎∵==,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴△∽△.------------------4分 ‎∵,,‎ ‎∴=4.‎ ‎∵∥,‎ ‎∴.‎ 图1‎ ‎∴.----------------------5分 ‎②. -------------------------7分 ‎6.解:(1)△为等腰三角形.---------1分 证明:如图1,∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ 图2‎ ‎∴.‎ ‎∴ △为等腰三角形.---------------2分 ‎(2)与的函数关系式为.----4分 ‎(3)过作于,于交直线于.‎ ‎ ∵为抛物线上异于顶点的任意一点,且,‎ ‎ ∴.-------------------------5分 设,,‎ 图3‎ 则,.‎ ‎①当点在轴下方时,如图2,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵∥,‎ ‎∴△∽△. ‎ ‎∴.‎ 图 4‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.------------------------7分 ‎②当点在轴上方时,如图3,,.同理可证. ‎ ‎③当点在轴上时,如图4,.‎ ‎∴.‎ 综上所述,.------------------8分 ‎7.解:(1). ‎ ‎∵方程有两个不相等的实数根,‎ ‎∴.……………………………………………………………………………1分 ‎∵,‎ ‎∴m的取值范围是.………………………………………………………2分 ‎(2)证明:令得,.‎ ‎∴. ‎ ‎∴,. …………………………………4分 ‎∴抛物线与x轴的交点坐标为(),().‎ ‎∴无论m取何值,抛物线总过定点().……5分 ‎(3)∵是整数 ∴只需是整数.‎ ‎∵是整数,且,‎ ‎∴.…………………………………………………………………………6分 当时,抛物线为.‎ 把它的图象向右平移3个单位长度,得到的抛物线解析式为 ‎.…………………………………………………7分 ‎8.解:(1)∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,∴.…………………2分 ‎(2)过点作,垂足为点.‎ ‎∴.∵∥,∴,.‎ ‎∵,∴.∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵,,,‎ ‎∴.…………………4分 ‎(3)∵矩形ABCD,‎ ‎∴.∴.‎ ‎∵ ,∴.‎ ‎∴.∴.‎ 当以点E,F,H为顶点的三角形与相似时,‎ ⅰ)若,‎ ‎∵,,∴‎ ‎.∴. ‎ ‎∴,∴.∴.∴.‎ ⅱ)若,如图所示,记与交于点.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵,, ∴.‎ ‎∵∥,∴.∴.‎ ‎∴. ∴.‎ 设,则,‎ ‎∴. ∴.‎ ‎∴,. ∴.‎ 综上所述,线段的长为或1. ………………7分 ‎9.解:(1)2,; ………………4分 ‎(2)当时,;‎ 当时,. ………………6分 ‎(3). ………………8分 ‎10. (1)证明:∵△=.……………………………………………… 1分 ‎ ‎ =‎ ‎ =…………………………………………………………2分 ‎ ∴△>0. …………………………………………………………………3分 ‎∴无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根.‎ ‎(2)把x=-3代入原方程,解得m=1. …………………………………………………4分 ‎ ∴.‎ ‎ 即.‎ ‎ 依题意,可知新的抛物线的解析式为. ………………………5分 即 ‎∵抛物线与直线只有一个公共点,‎ ‎∴..…………………………………………………………………6分 即.‎ ‎∵△=0.‎ ‎∴.‎ 解得b= -4. ……………………………………………………………………7分 ‎11. 解:(1)根据题意得 ‎ …………………………………………………………1分 ‎ 解得 ‎ ‎ 所以抛物线的解析式为.………………………………2分 ‎(2)如图1,过点Q的对应点作EF⊥CD于点E,交x轴于点F.‎ ‎ 设P(x,y),则CQ= x,PQ=4- y.‎ ‎ 由题意可知= CQ= x,=PQ=4- y,∠CQP =∠C=90°.‎ ‎ ∴=90°.‎ ‎ ∴.……………………………………………………3分 又∵cosα=,‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ 整理可得.‎ ‎∴,(舍去).‎ ‎∴.………………………………………………………………5分 如图2,过点Q的对应点作EF⊥CD于点E,交x轴于点F.‎ ‎ 设P(x,y),则CQ=- x,PQ=4- y.‎ 可得.……………………………………………………6分 又∵cosα=,‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ 整理可得.‎ ‎∴(舍去),.‎ ‎∴.……………………………………………………………7分 ‎∴或.‎ ‎12. 解:(1)证明:如图,作∠GAH=∠EAB交GE于点H.‎ ‎∴∠GAB=∠HAE. ………………………………………………………………1分 ‎ ∵∠EAB=∠EGB,∠APE=∠BPG,‎ ‎ ∴∠ABG=∠AEH.‎ ‎ ∵又AB=AE,‎ ‎ ∴△ABG≌△AEH. ………………2分 ‎∴BG=EH,AG=AH.‎ ‎∵∠GAH=∠EAB=60°,‎ ‎∴△AGH是等边三角形.‎ ‎∴AG=HG.‎ ‎∴EG =AG+BG. …………………………………………………………………3分 ‎(2) …………………………………………………………5分 ‎(3)……………………………………………………………6分 ‎ 如图,作∠GAH=∠EAB交GE于点H.‎ ‎ ∴∠GAB=∠HAE.‎ ‎ ∵∠EGB=∠EAB=90°,‎ ‎ ∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH =180°.‎ ‎ ∴∠ABG=∠AEH.‎ ‎∵又AB=AE,‎ ‎ ∴△ABG≌△AEH. ………………7分 ‎ ∴BG=EH,AG=AH.‎ ‎∵∠GAH=∠EAB=90°,‎ ‎∴△AGH是等腰直角三角形.‎ ‎∴AG=HG.‎ ‎∴…………………………………………………………8分 ‎ ‎ ‎13.(1)证明:△1=‎ ‎>0‎ ‎∴不论k为任何实数,该函数的图象与x轴必有两个交点 -------------1分 ‎(2)∵二次函数的图象与x轴的两个交点在点(1,0)的两侧,‎ 且二次函数开口向上 ‎∴当x=1时,函数值y<0,‎ 即<0,解得k< -----------------------------2分 ‎∵关于x的一元二次方程k2x2+(2k+3)x+1=0有两个不相等的实数根 ‎∴k≠0且△2=>0‎ ‎∴k>且k≠0 ------------------------------------4分 ‎∴<k<且k≠0‎ ‎∴k=1 --------------------------------5分 ‎(3)由(2)可知,k=1‎ ‎ ∴x2+2(a+1)x+2a+1=0‎ ‎ 解得x1=-1,x2=-2a-1 ---------------------------------6分 根据题意,0<-2a-1<3‎ ‎∴‎ ‎∴a的整数值为-1. -------------------------------7分 ‎14(1)AE=BF且AE⊥BF. -----------------------------------------------1分 ‎(2)判断:BF=GE. -------------------------------------------------2分 证明:过点A作AM∥GE交BC于M ‎ ‎∵EG⊥BF ‎∴AM⊥BF ‎∴∠BAM+∠ABF=90°‎ ‎∵正方形ABCD ‎∴AB=BC,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=90°‎ ‎∴∠CBF+∠ABF=90°‎ ‎∴∠BAM=∠CBF ‎∴△ABM≌△BCF ‎ ‎∴AM=BF -------------------------------------------------3分 ‎∵AM∥GE且AD∥BC ‎∴AM=GE ‎∴BF=GE -------------------------------------------------4分 ‎(3)①:过点B作BN∥FG,且使BN=FG 联结NG、NE ‎∴四边形NBFG是平行四边形 ‎∴BF=NG,BF∥NG 由(2)可知,BF⊥GE,且BF=GE ‎∴NG⊥EG且NG=EG ‎∴△NGE为等腰直角三角形 由勾股定理得NE=NG ‎∴NE=BF.‎ 当点F与点D不重合,点E与点C不重合时,N、B、E三点不共线 此时,在△BEN中,NB+BE>NE,即FG+BE>BF. -------------------------------5分 当点F与点D重合,点E与点C重合时,N、B、E三点共线 此时, NB+BE=NE,即FG+BE=BF. ----------------------------------------------6分 ‎②:∵正方形ABCD ‎∴∠ADC=90°‎ 以GF为直径作⊙P,则点D在⊙P上 ‎∵∠GHF=90°‎ ‎∴点H也在⊙P上 ‎∴∠HGF=∠HDF. ---------------------------------------------7分 ‎15. 解:(1)∵抛物线的对称轴x==1 ‎ 且抛物线的最低点A的纵坐标是3‎ ‎∴抛物线的顶点为A(1,3)‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴m=3或m=2,‎ ‎∵3-m﹥0, ∴ m=2, -----------------------------1分 ‎ ∴直线为 ‎ ∴抛物线的解析式为: --------------------------------2分 ‎ 直线AB为:y=2x+1; ----------------------------3分 ‎(2)令x=0,则y=1, )令y=0,则x=,‎ ‎∴B(0,1),C(-,0) ‎ 将直线AB绕O点顺时针旋转900,设DE与BC交于点F ‎∴D(1,0),E(0, ) -------------------------4分 ‎∴OB=OD=1 OC=, ∴ CD= ‎ ‎∵‎ ‎∴ ------------------------5分 ‎∴ ‎ ‎ ∴ Sin∠BDE== -----------6分 ‎ (3) --------8分 ‎16.解:(1)∵拋物线经过原点,‎ ‎∴m2-6m+8=0.解得m1=2,m2=4.‎ ‎ 由题意知m¹4,‎ ‎∴m=2.………………………………………………………………………1分 ‎∴拋物线的解析式为. ………………………………………2分 ‎(2)∵点B(-2,n)在拋物线上,‎ ‎ ∴n=3.………………………………………………………………………3分 ‎∴B点的坐标为(–2,3) . ‎ ‎∵直线l的解析式为,直线l经过B点,‎ ‎∴.‎ ‎∴.………………………………………………………………………4分 ‎(3)∵拋物线的对称轴为直线x=2,直线l的解析式为y=-2x-1,‎ ‎∴拋物线的对称轴与x轴的交点C的坐标为(2,0),‎ A B C O E x y x=2‎ G F H 直线l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为 D(0,-1)、E(2,-5).‎ ‎ 过点B作BG⊥直线x=2于G,与y轴交于F.‎ ‎ 则BG=4. ‎ 在Rt△BGC中,.‎ ‎∵CE=5,∴ CB=CE. ‎ 过点E作EH⊥y轴于H.‎ 则点H的坐标为 (0,-5).‎ ‎∵点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1),‎ ‎∴FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90°.‎ ‎∴△DFB≌△DHE . ‎ ‎∴DB=DE. ‎ ‎ ∵PB=PE,‎ ‎∴点P在直线CD上.‎ ‎∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.‎ 设直线CD的解析式为y=kx+a. ‎ 将D(0,-1)、C(2,0)代入,得 解得 ‎ ‎∴ 直线CD的解析式为. …………………………………………5分 设点P的坐标为(x,),‎ ‎∴=. ‎ 解得 ,. ‎ ‎ ∴,.‎ ‎∴点P的坐标为(,)或(,).…………………7分 ‎17.解:(1)线段AD与OM之间的数量关系是AD =2OM,位置关系是.…2分 ‎(2)(1)的两个结论仍然成立. ‎ 证明:如图2,延长BO到F,使FO=BO,连结CF.‎ ‎∵M为BC中点,O为BF中点,∴MO为的中位线. ‎ ‎∴FC =2OM. ………………………………3分 ‎∵∠AOB =∠AOF=∠COD=90°,‎ ‎∴∠AOD =∠FOC .‎ ‎∵AO =FO,CO=DO, ‎ ‎∴△AOD≌△FOC. ‎ ‎∴FC=AD. ‎ ‎∴AD =2OM. ………………………………………4分 ‎∵MO为的中位线,∴MO∥CF .‎ ‎∴∠MOB =∠F.‎ 又∵≌,∴=.‎ ‎∵+=90°,‎ ‎∴+=90°.‎ 即. ……………………………………………………………5分 ‎(3)(1)中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化. ‎ ‎ 证明:如图3,延长DC交AB于E,连结ME,‎ 过点E作于N.‎ ‎ ∵OA=OB,OC=OD,,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴AE=DE,BE=CE,∠AED=90°. ‎ ‎ ∴DN=AN. ∴AD=2NE.‎ ‎∵M为BC的中点,∴.‎ ‎ ∴四边形ONEM是矩形.‎ ‎ ∴NE=OM.‎ ‎ ∴AD=2OM. ………………………………………………………………7分 ‎18. 解:(1) 设直线AC的解析式为 ‎∵直线AC经过G(0,6)、C(3,0)两点,‎ ‎∴ 解这个方程组,得 …………………………1分 ‎∴直线AC的解析式为. ……………………………………2分 ‎(2) 当x=1时,y=4. ∴A(1,4). ‎ ‎∵AP=CQ= t,‎ ‎∴点P(1,4-t).……………………………………………………………3分 将y=4–t代入中,得点E的横坐标为x=. ‎ ‎∴点E到CD的距离为.‎ ‎∴S△CQE=== ……………………4分 ‎∴当t=2时,S△CQE最大,最大值为1.……………………………………5分 ‎(3) 过点E作FM∥DC,交AD于F,交BC于M.‎ ‎ 当点H在点E的下方时,连结CH.‎ ‎ ∵,∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵四边形CQEH为菱形,∴.‎ 在Rt△HMC中,由勾股定理得.‎ ‎∴.‎ 整理得 .‎ 解得 ,(舍).‎ ‎∴当时,以C,Q,E,H为顶点的四边形是菱形. ………………7分 当点H在点E的上方时,同理可得当时. 以C,Q,E,H为顶点的四边形是菱形. ………………………………………………………8分 ‎∴的值是或.‎ ‎19. 解:(1)……1分 轴有且只有一个公共点,∴顶点的纵坐标为0.‎ ‎∴C1的顶点坐标为(—1,0) ……………2分 ‎ (2)设C2的函数关系式为……………3分 把A(—3,0)代入上式得 ‎∴C2的函数关系式为 ……………4分 ‎∵抛物线的对称轴为轴的一个交点为A(—3,0),由对称性可知,它与x轴的另一个交点坐标为(1,0). ……………5分 ‎ (3)n>2或n<-4……………7分 ‎20. 解:(1)当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小. ……………………………1分 ‎(2)如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小. ‎ 理由如下:‎ ‎∵M是正方形ABCD对角线上一点 ‎∴AM=CM 又AB=BC,BM=BM ‎∴△ABM≌△CBM ‎∴∠BAM=∠BCM ……………………………3分 又BE=BA=BC ‎∴∠BEC=∠BCM ‎∴∠BEC=∠BAM 在EC上取一点N使得EN=AM,连结BN 又∵EB=AB ‎∴△BNE≌△ABM……………………3分 ‎∴∠EBN=∠ABM,BN=BM 又∵∠EBN+∠NBA=60°‎ ‎∴∠ABM+∠NBA=60°‎ 即∠NBM=60°‎ ‎∴△BMN是等边三角形.‎ ‎∴BM=MN. ……………………………4分 ‎∴AM+BM+CM=EN+MN+CM. ‎ 根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短 ‎∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长. ‎ ‎……………………………5分 ‎(3)过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F ‎∴∠EBF=90°-60°=30°‎ 设正方形的边长为x,则BF=x,EF=……………………………6分 在Rt△EFC中,‎ ‎∵EF2+FC2=EC2,‎ ‎∴()2+(x+x)2=. ‎ 解得,x=(舍去负值).‎ ‎∴正方形的边长为.……………………………7分 ‎21.解:(1)b=-2 c=-3           ……………………2分 ‎(2∵直线AB经过点A(-1,0) B(4,5)‎ ‎∴直线AB的解析式为:y=x+1‎ ‎∵二次函数 ‎∴设点E(t, t+1) ……………………3分 ‎ 则F(t,) ‎ ‎∴EF= ‎ ‎   =‎ ‎∴当时,EF的最大值= ……………………4分 ‎∴点E的坐标为(,) ……………………5分 ‎(3 )ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)‎ 则有: 解得:, ‎ ‎∴, ‎ ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于,设(n,)‎ 则有:   解得: ,(与点F重合,舍去)∴‎ 综上所述:所有点P的坐标:,(. 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形.……………………8分 ‎22 .解:‎ ‎(1)A(1,0),B(3,0),C(0,3),顶点坐标(2,﹣1).…………2分 ‎(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质:‎ ‎(i)对称轴为x=2或顶点的横坐标为2,‎ ‎(ii)都经过A(1,0),B(3,0)两点; …………………4分 ‎②线段EF的长度不会发生变化. …………………………………5分 ‎ ∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,‎ ‎ ∴kx2﹣4kx+3k=8k,‎ ‎ ∵k≠0,∴x2﹣4x+3=8,‎ ‎ 解得:x1=﹣1,x2=5,‎ ‎ ∴EF=x2﹣x1=6, …………………………………………………7分 ‎ ∴线段EF的长度不会发生变化.‎ ‎24解:‎ ‎ (1)∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=AD=CD=BC=5,sinB=sinÐADC=;‎ ‎ 在Rt△OCD中,‎ ‎ OC=CD•sinD=4.‎ ‎∴ OD=3;‎ ‎∴OA=AD﹣OD=2,‎ ‎∴ A(﹣2,0)、B(﹣5,4)、C(0,4)、D(3,0);‎ ‎ 设抛物线的解析式为:y=a(x+2)(x﹣3),‎ ‎ 得:2×(﹣3)a=4,‎ ‎∴a=﹣; ‎ ‎∴抛物线:y=﹣x2+x+4.…………………………………………………2分 ‎(2)由A(﹣2,0)、B(﹣5,4)得直线AB:y1=﹣x﹣;‎ 由(1)得:y2=﹣x2+x+4,则:‎ ‎,‎ 解得:,;‎ 由图可知:当y1<y2时,﹣2<x<5.…………………………………………5分 ‎(3)∵S△APE=AE•h,‎ ‎∴当P到直线AB的距离最远时,S△ABC最大;‎ 若设直线L∥AB,则直线L与抛物线有且只有一个交点时,该交点为点P;‎ 设直线L:y=﹣x+b,当直线L与抛物线有且只有一个交点时,‎ ‎﹣x+b=﹣x2+x+4,且△=0;‎ 求得:b=,即直线L:y=﹣x+;‎ 可得点P(,).‎ 由(2)得:E(5,﹣),则直线PE:y=﹣x+9;‎ 则点F(,0),AF=OA+OF=;‎ ‎∴△PAE的最大值:S△PAE=S△PAF+S△AEF=××(+)=.‎ 综上所述,当P(,)时,△PAE的面积最大,为.……………………8分 ‎25、(1)证明: ,----------- 1分 ‎∴此方程总有两个实数根. ------------------------- 2分 ‎(2)解:抛物线与y轴交点为M(0,).---------------------3分 抛物线与x轴的交点为(1,0)和(,0),它们关于直线的对称点分别为(0,)和 ‎(0, ).-----------------5分 由题意,可得:‎ ‎,即m=2或m=3. -------------------------7分 C B A O E F ‎26解:(1)‎ ① 猜想:.-------------------------1分 ② 成立. ------------------------2分 证明:连结OB.‎ ‎∵AB=BC , ∠ABC=90°,O点为AC的中点,‎ ‎∴,∠BOC=90°,∠ABO=∠BCO=45°.‎ ‎∵∠EOF=90°,∴∠EOB=∠FOC. 又∵∠EBO=∠FCO,‎ ‎∴△OEB≌△OFC(ASA).∴BE=CF. -------------------------3分 又∵BA=BC, ∴AE=BF.‎ 在RtΔEBF中,∵∠EBF=90°, .. -------------------------4分 ‎(2)解:如图,过点O作OM⊥AB于M,ON⊥BC于N.‎ ‎∵∠B=90°, ∴∠MON=90°. ‎ ‎∵∠EOF=90°,‎ ‎∴∠EOM=∠FON. ‎ A O ‎ ‎ B C E F M N ‎∵∠EMO=∠FNO=90°,∴△OME∽△ONF. -------------------------5分 ‎∴‎ ‎∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形,‎ ‎∴△AOM∽△OCN ∴.‎ ‎∵, ∴. -------------------------7分 ‎27.解:(1)依题意得:.‎ ‎∵OC=2,CE=,∴.‎ ‎ ∵抛物线经过原点和点B、E,∴设抛物线的解析式为.‎ ‎∵抛物线经过点,∴ .解得:a=.‎ ‎∴抛物线的解析式为.-------------------------2分 ‎(2) 或 .-------------------------4分 ‎(3)存在.‎ ‎ 因为线段和CD的长是定值,所以要使四边形的周长最短,只要使最短.如果将抛物线向右平移,显然有M′D+CB′>MD+CB ‎,因此不存在某个位置,使四边形M′B′CD的周长最短, 显然应该将抛物线向左平移.‎ M′‎ y ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ M′‎ ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ ‎6‎ B′‎ C D ‎-4‎ ‎4‎ B′′‎ 由题知. -------------------------5分 设抛物线向左平移了n个单位,则点和B′的坐标分别为M′(-4-n,6)和B′(2-n,).‎ 因为CD=2,因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-n,). ‎ 要使最短,只要使+DB′′最短. ‎ 点M′关于x轴对称点的坐标为M′′(-4-n,-6). 设直线M′′B′′的解析式,‎ 点D应在直线M′′B′′上, ∴直线M′′B′′的解析式为.----------------6分 将B′′(-n,)代入,求得.--------------7分 故将抛物线向左平移个单位时,四边形M′B′CD的周长最短,此时抛物线的解析式为 . -------------------------8分 ‎28.解:‎ ‎(1)抛物线过点A(-1,0),B(3,0)‎ ‎ ‎ ‎ 解得:‎ ‎ ∴抛物线的解析式为 ‎ ‎ 顶点 函数,是常数)图象经过,‎ ‎ .………………………………………………………………… 2分 ‎(2)①设G点的坐标为,‎ 据题意,可得E点的坐标为,F点的坐标为, ‎ ‎ ,,.‎ ‎ 由的面积为4,即,得,点G的坐标为.‎ ‎………………………………………… 3分 ‎ ②直线FC和DG平行.理由如下: ‎ ‎ 方法1:利用相似三角形的性质.‎ ‎ 据题意,点的坐标为,,‎ ‎ ,易得,,‎ ‎ ,.‎ ‎ .‎ ‎ ‎ ‎ ∴△∽△‎ ‎ ‎ ‎ ……………………………………… 5分 ‎ 方法2:利用正切值.‎ ‎ 据题意,点的坐标为,,‎ ‎ ,易得,,‎ ‎ ,. ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎ ③解:方法1:‎ ‎ ,当时,有两种情况:‎ ‎ 当时,四边形是平行四边形,‎ ‎ 由上题得,,,得.‎ ‎ 点G的坐标是(2,2).‎ ‎ 设直线的函数解析式为,把点的坐标代入,‎ ‎ 得解得 ‎ 直线的函数解析式是.……………………………… 6分 ‎ 当FD与CG所在直线不平行时,四边形是等腰梯形,‎ ‎ 则,,点G的坐标是(4,1).‎ ‎ 设直线的函数解析式为,把点的坐标代入,‎ ‎ 得解得 ‎ 直线的函数解析式是.……………………………… 7分 ‎ 综上所述,所求直线的函数解析式是或.‎ 方法2.‎ 在Rt⊿DFE中,,‎ 在Rt⊿GEC中,,, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解方程得:或 当时,点G的坐标是(2,2).‎ 设直线的函数解析式为,把点的坐标代入,‎ 得解得 直线的函数解析式是.‎ 当时,点G的坐标是(4,1).‎ 设直线的函数解析式为,把点的坐标代入,‎ 得解得 直线的函数解析式是.‎ 综上所述,所求直线的函数解析式是或. ‎ 注:不同解法酌情给分 ‎29. 解:(1)==6;…………………………1分 ‎ (2)=; ……………………2分 ‎ (3). ……………………3分 ‎ 证明:连接,延长 ‎ 交于点.如图所示:……4分 ‎ 由正方形的性质可知: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ 即:‎ ‎ △≌△ ………………………………………5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即:. ………………………………………7分 ‎30.解:(1)抛物线的解析式为;‎ 图中阴影部分的面积与△的面积相同,.‎ ‎∴阴影部分的面积为8. …………………………………… 2分 ‎(2)由题意可知,抛物线只存在两个内接直角三角形.‎ 当点在抛物线上运动时线段的长度不会发生变化.‎ 证明: ∵为⊙的直径,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴△∽△ ‎ ‎∴,‎ 连接,,在△和△中,‎ ‎,‎ ‎∴△∽△ …………………………………… 6分 ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∴. …………………………………… 8分 ‎31.解:(1)由=0,得,.‎ ‎∴抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)、(,0). 2分 ‎(2)当a=1时,得A(1,0)、B(2,1)、C(3,3), 3分 分别过点B、C作x轴的垂线,垂足分别为E、F,则有 ‎= - - ‎ ‎ =(个单位面积)…………………………………4分 ‎(3)如: . ‎ ‎∵,,‎ ‎, ‎ ‎ 又∵3()=‎ ‎ =. 5分 ‎∴. 6分 ‎32.(1)解:如图1,当x=时,设AC与HE交与点P.‎ ‎ 由已知易得∠ABC=∠HEC=90°.‎ ‎ ∴tan∠PCE = tan∠ACB.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴PE= . …………………………………… 1分 ‎ ∴ . …………… 2分 ‎(2)如图2,作DK⊥AG于点K.‎ ‎∵CD=CE=DE=2,‎ ‎∴△CDE是等边三角形. ………………………… 3分 ‎∴∠CDE=60°.‎ ‎∴∠ADG=360°- 290°- 60°=120°. ‎ ‎∵AD=DG=1,‎ ‎∴∠DAG=∠DGA=30°. ………………… 4分 ‎∴DK=DG=.‎ ‎∴点D到AG的距离为. ……………………………………………………5分 ‎(3)如图3,‎ ‎∵α=45°,‎ ‎∴∠NCE=∠NEC=45°.‎ ‎∴∠CNE=90°.‎ ‎∴∠DNH=90°. ‎ ‎∵∠D=∠H=90°,‎ ‎∴四边形MHND是矩形. ………………6分 ‎∵CN=NE,CD=HE.‎ ‎∴DN=NH.‎ ‎∴矩形MHND是正方形. ……………………………………………… 7分 ‎33.解:(1)圆心的坐标为,半径为1,‎ ‎, . ………………………………………………1分 二次函数的图象经过点,‎ 可得方程组 解得: .‎ 二次函数解析式为 2分 ‎(2)如图,过点作轴,垂足为.‎ 是的切线,为切点,‎ ‎.‎ 在中,,‎ 为锐角,‎ ‎ 4分 ‎,‎ 在中,,‎ ‎.‎ 点坐标为 5分 设切线的函数解析式为,由题意可知,‎ ‎.‎ 切线的函数解析式为 6分 ‎(3)存在.‎ ‎①如图,过点作轴于A,与交于点.‎ 可得.‎ ‎,‎ ‎. 7分 ‎②过点作,垂足为,过点作,垂足为.‎ 可得. ‎ 在中,,‎ ‎.‎ 在中,,‎ ‎,‎ ‎. 9分 综上所述,符合条件的点坐标有,.‎ ‎34.(1)△=‎ ‎ ∵方程有两个不相等的实数根,‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴m的取值范围是.………………2分 ‎ (2)证明:令得,.‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ∴,. ……………4分 ‎ ∴抛物线与x轴的交点坐标为(),(),‎ ‎ ∴无论m取何值,抛物线总过定点(). ………5 分 ‎ (3)∵是整数 ∴只需是整数.‎ ‎ ∵是整数,且,‎ ‎ ∴. ………………………………………………………6分 ‎ 当时,抛物线为.‎ ‎ 把它的图象向右平移3个单位长度,得到的抛物线解析式为 ‎ . …………………7分 ‎35.‎ ‎ ‎ ‎(1)BD=CF成立.‎ ‎ 理由:∵△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形, ‎ ‎∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,‎ ‎∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC,∠CAF=∠DAF﹣∠DAC,‎ ‎∴∠BAD=∠CAF,‎ 在△BAD和△CAF中,‎ ‎∴△BAD≌△CAF(SAS).‎ ‎∴BD=CF.…………………………………2分 ‎(2)①证明:设BG交AC于点M.‎ ‎ ∵△BAD≌△CAF(已证),‎ ‎ ∴∠ABM=∠GCM.‎ ‎ ∵∠BMA=∠CMG,‎ ‎ ∴△BMA∽△CMG.‎ ‎ ∴∠BGC=∠BAC=90°.‎ ‎ ∴BD⊥CF………………………………4分 ‎②过点F作FN⊥AC于点N.‎ ‎ ∵在正方形ADEF中,AD=DE=,‎ ‎ ∴AE==2,‎ ‎ ∴AN=FN=AE=1. ‎ ‎∵在等腰直角△ABC 中,AB=4,‎ ‎∴CN=AC﹣AN=3,BC==4.‎ ‎∴在Rt△FCN中,tan∠FCN==.‎ ‎∴在Rt△ABM中,tan∠ABM==tan∠FCN=.‎ ‎∴AM=AB=.‎ ‎∴CM=AC﹣AM=4﹣=,BM==.…………………………5分 ‎∵△BMA∽△CMG,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴CG=.………………………………………………………6分 ‎∴在Rt△BGC中,BG==.………………………………7分 ‎36.(1)当m=2,n=2时, 如题图1,线段BC与线段OA的距离等于平行线之间的距离,即为2; 当m=5,n=2时, B点坐标为(5,2),线段BC与线段OA的距离,即为线段AB的长,‎ ‎ 如答图1,过点B作BN⊥x轴于点N,则AN=1,BN=2, 在Rt△ABN中,由勾股定理得:AB==…2分 (2)如答图2所示,当点B落在⊙A上时,m的取值范围为2≤m≤6: 当4≤m≤6,显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径,即d=2; 当2≤m<4时,作BN⊥x轴于点N,线段BC与线段OA的距离等于BN ‎ 长, ON=m,AN=OA-ON=4-m,在Rt△ABN中,由勾股定理得:‎ ‎ ∴d===.………4分 ‎(3)①依题意画出图形,点M的运动轨迹如答图3中粗体实线 ‎ 所示:由图可见,封闭图形由上下两段长度为8的线段,‎ ‎ 以及左右两侧半 径为2的半圆所组成,其周长为:‎ ‎ 2×8+2×π×2=16+4π, ∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为:16+4π. …5分 ‎ ②结论:存在. ∵m≥0,n≥0,∴点M位于第一象限. ∵A(4,0),D(0,2),∴OA=2OD. 如图4所示,相似三角形有三种情形:‎ ‎ (I)△AM1H1,此时点M纵坐标为2,点H在A点左侧. 如图,OH1=m+2,M1H1=2,AH1=OA-OH1=2-m, 由相似关系可知,M1H1=2AH1,即2=2(2-m), ∴m=1;………………………………………………6分 ‎(II)△AM2H2,此时点M纵坐标为2,点H在A点右侧. 如图,OH2=m+2,M2H2=2,AH2=OH2-OA=m-2, 由相似关系可知,M2H2=2AH2,即2=2(m-2), ∴m=3;………………………………………………………7分 (III)△AM3H3,此时点B落在⊙A上. 如图,OH3=m+2,AH3=OH3-OA=m-2, 过点B作BN⊥x轴于点N,则BN=M3H3=n,AN=m-4,‎ ‎ 由相似关系可知,AH3=2M3H3,即m-2=2n  (1) 在Rt△ABN中,由勾股定理得:22=(m-4)2+n2  (2) 由(1)、(2)式解得:m1=,m2=2, 当m=2时,点M与点A横坐标相同,点H与点A重合,故舍去, ∴m=.……………………………………………………………………8分 综上所述,存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似,m的取值为:1、3或.‎ ‎37.解:(1)∵△=,‎ ‎ ∴无论为任何实数,都有………………………… 1分 ‎ ∴抛物线与x轴总有两个交点. …………………………………… 2分 ‎ (2)由题意可知:抛物线的开口向上,与y轴交于(0,-2)点,‎ ‎∵方程的两根在-1与之间,‎ ‎∴当x=-1和时,.‎ 即 ………………………………………… 4分 解得 . ………………………………………… 5分 因为 m为整数,所以 m=-2,-1,0 .‎ 当 m=-2时, 方程的判别式△=28,根为无理数,不合题意. ‎ 当 m=-1时, 方程的判别式△=25,根为,符合题意.‎ 当 m=0时, 方程的判别式△=24,根为无理数,不合题意. ‎ 综上所述 m=-1 . ………………………………………… 6分 ‎ (3)n的取值范围是.………………………………… 7分 ‎38.‎ ‎ (1) ; ………………………………………… 2分 ‎ (2) 仍然成立.‎ ‎ 证明: 过点作于,过点作于 ‎ ∴‎ ‎∵,‎ ‎ ∴≌‎ ‎∴ ………………………………………… 3分 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ ………………………………………… 4分 延长与的延长线相交点 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴ ………………………………………… 5分 ‎(3) 过点作于,过点作于 ‎ 易证 ∽‎ ‎ ∴ . ………………………………………… 6分 ‎ ∵ ,‎ ‎∴ .‎ 由(2)知 .‎ ‎ .………………………………………7分 ‎39. 解:(1)由,可知此抛物线的对称轴是轴,即 ‎ 所以 ‎ 由,得 ‎ 抛物线解析式为 …………………………………………2分 ‎(2)由(1)得 ‎ 所以 ………………………………3分 ‎ 在和中 ‎ ,‎ ‎ 所以≌ ………………………………………… 4分 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 …………………………………………5分 ‎ (3)作轴,交于点 ‎ 易证≌‎ ‎ 所以,‎ ‎ 又因为 ‎ 所以 ‎ ‎ 因为 ‎ 所以 …………………………………………7分 ‎ (4)由(3)知,点在定直线上 ‎ 当点沿轴正方向移动到点时,‎ ‎ 点所走过的路线长等于 ………………………………8分
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