2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷(含解析）

2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷(含解析）

‎2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）（2020•辽阳）﹣2的倒数是（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎2‎ B．﹣2 C．‎1‎‎2‎ D．2‎ ‎2．（3分）（2020•辽阳）如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．（3分）（2020•辽阳）下列运算正确的是（　　）‎ A．m2+2m＝3m3 B．m4÷m2＝m2 C．m2•m3＝m6 D．（ m2）3＝m5‎ ‎4．（3分）（2020•辽阳）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 第30页（共30页）‎ ‎5．（3分）（2020•辽阳）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎6．（3分）（2020•辽阳）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）‎ A．15° B．20° C．25° D．40°‎ ‎7．（3分）（2020•辽阳）一组数据1，8，8，4，6，4的中位数是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．8‎ ‎8．（3分）（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）‎ A．‎3000‎x‎=‎‎4200‎x-80‎ B．‎3000‎x‎+‎80‎=‎‎4200‎x ‎ C．‎4200‎x‎=‎3000‎x-‎80 D．‎‎3000‎x‎=‎‎4200‎x+80‎ ‎9．（3分）（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（　　）‎ A．2 B．‎5‎‎2‎ C．3 D．4‎ ‎10．（3分）（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2‎2‎，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能 第30页（共30页）‎ 反映y与x之间函数关系的图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11．（3分）（2020•辽阳）截至2020年3月底，我国已建成5G基站198000个，将数据198000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎12．（3分）（2020•辽阳）若一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），则m＝　 　．‎ ‎13．（3分）（2020•辽阳）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是　 　．‎ ‎14．（3分）（2020•辽阳）如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是　 　．‎ ‎15．（3分）（2020•辽阳）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为　 　．‎ 第30页（共30页）‎ ‎16．（3分）（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于‎1‎‎2‎AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为　 　．‎ ‎17．（3分）（2020•辽阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y‎=‎kx（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC‎=‎‎1‎‎5‎OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为　 　．‎ ‎18．（3分）（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为　 　．（用含正整数n的式子表示）‎ 第30页（共30页）‎ 三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）‎ ‎19．（10分）（2020•辽阳）先化简，再求值：（xx-3‎‎-‎‎1‎‎3-x）‎÷‎x+1‎x‎2‎‎-9‎，其中x‎=‎2‎-‎3．‎ ‎20．（12分）（2020•辽阳）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C （4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：‎ 请你根据统计图的信息，解决下列问题：‎ ‎（1）本次共调查了　 　名学生；‎ ‎（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为　 　°；‎ ‎（3）请补全条形统计图；‎ ‎（4）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．‎ 第30页（共30页）‎ 四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）‎ ‎21．（12分）（2020•辽阳）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．‎ ‎（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？‎ ‎（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？‎ ‎22．（12分）（2020•辽阳）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）‎ 五、解答题（满分12分）‎ ‎23．（12分）（2020•辽阳）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤15，且x为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？‎ 六、解答题（满分12分）‎ ‎24．（12分）（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．‎ ‎（1）求证：DE与⊙A相切；‎ ‎（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．‎ 第30页（共30页）‎ 七、解答题（满分12分）‎ ‎25．（12分）（2020•辽阳）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．‎ ‎（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；‎ ‎（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）当α＝120°，tan∠DAB‎=‎‎1‎‎3‎时，请直接写出CEBE的值．‎ 八、解答题（满分14分）‎ ‎26．（14分）（2020•辽阳）如图，抛物线y＝ax2﹣2‎3‎x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；‎ ‎（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，‎ 第30页（共30页）‎ 若不存在，请说明理由．‎ 第30页（共30页）‎ ‎2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）（2020•辽阳）﹣2的倒数是（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎2‎ B．﹣2 C．‎1‎‎2‎ D．2‎ ‎【解答】解：有理数﹣2的倒数是‎-‎‎1‎‎2‎．‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）（2020•辽阳）如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，因此选项C的图形符合题意，‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）（2020•辽阳）下列运算正确的是（　　）‎ A．m2+2m＝3m3 B．m4÷m2＝m2 C．m2•m3＝m6 D．（ m2）3＝m5‎ ‎【解答】解：A．m2与2m不是同类项，不能合并，所以A错误；‎ 第30页（共30页）‎ B．m4÷m2＝m4﹣2＝m2，所以B正确；‎ C．m2•m3＝m2+3＝m5，所以C错误；‎ D．（ m2）3＝m6，所以D错误；‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）（2020•辽阳）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）（2020•辽阳）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【解答】解：∵s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，且平均数相等，‎ ‎∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2，‎ ‎∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，‎ 故选：A．‎ ‎6．（3分）（2020•辽阳）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）‎ 第30页（共30页）‎ A．15° B．20° C．25° D．40°‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠3＝∠1＝20°，‎ ‎∵三角形是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠2＝45°﹣∠3＝25°，‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）（2020•辽阳）一组数据1，8，8，4，6，4的中位数是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．8‎ ‎【解答】解：一组数据1，4，4，6，8，8的中位数是‎4+6‎‎2‎‎=‎5，‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）‎ A．‎3000‎x‎=‎‎4200‎x-80‎ B．‎3000‎x‎+‎80‎=‎‎4200‎x ‎ C．‎4200‎x‎=‎3000‎x-‎80 D．‎‎3000‎x‎=‎‎4200‎x+80‎ ‎【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，‎ 依题意，得：‎3000‎x‎=‎‎4200‎x+80‎．‎ 故选：D．‎ ‎9．（3分）（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（　　）‎ 第30页（共30页）‎ A．2 B．‎5‎‎2‎ C．3 D．4‎ ‎【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，‎ ‎∴OB‎=‎‎1‎‎2‎BD‎=‎1‎‎2‎×‎6＝3，OA＝OC‎=‎‎1‎‎2‎AC‎=‎1‎‎2‎×‎8＝4，AC⊥BD，‎ 由勾股定理得，BC‎=OB‎2‎+OC‎2‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎5，‎ ‎∴AD＝5，‎ ‎∵OE＝CE，‎ ‎∴∠DCA＝∠EOC，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠DCA＝∠DAC，‎ ‎∴∠DAC＝∠EOC，‎ ‎∴OE∥AD，‎ ‎∵AO＝OC，‎ ‎∴OE是△ADC的中位线，‎ ‎∴OE‎=‎‎1‎‎2‎AD＝2.5，‎ 故选：B．‎ ‎10．（3分）（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2‎2‎，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）‎ 第30页（共30页）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2‎2‎，‎ ‎∴AB＝4，∠A＝45°，‎ ‎∵CD⊥AB于点D，‎ ‎∴AD＝BD＝2，‎ ‎∵PE⊥AC，PF⊥BC，‎ ‎∴四边形CEPF是矩形，‎ ‎∴CE＝PF，PE＝CF，‎ ‎∵点P运动的路程为x，‎ ‎∴AP＝x，‎ 则AE＝PE＝x•sin45°‎=‎‎2‎‎2‎x，‎ ‎∴CE＝AC﹣AE＝2‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎x，‎ ‎∵四边形CEPF的面积为y，‎ ‎∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，‎ 即0＜x＜2时，‎ y＝PE•CE ‎=‎‎2‎‎2‎x（2‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎x）‎ ‎=-‎‎1‎‎2‎x2+2x ‎=-‎‎1‎‎2‎‎（x﹣2）2+2，‎ ‎∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；‎ 当点P沿D→C路径运动时，‎ 即2≤x＜4时，‎ 第30页（共30页）‎ ‎∵CD是∠ACB的平分线，‎ ‎∴PE＝PF，‎ ‎∴四边形CEPF是正方形，‎ ‎∵AD＝2，PD＝x﹣2，‎ ‎∴CP＝4﹣x，‎ y‎=‎‎1‎‎2‎（4﹣x）2‎=‎‎1‎‎2‎（x﹣4）2．‎ ‎∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，‎ 综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11．（3分）（2020•辽阳）截至2020年3月底，我国已建成5G基站198000个，将数据198000用科学记数法表示为　1.98×105　．‎ ‎【解答】解：198000＝1.98×105，‎ 故答案为：1.98×105．‎ ‎12．（3分）（2020•辽阳）若一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），则m＝　8　．‎ ‎【解答】解：∵一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），‎ ‎∴m＝2×3+2＝8．‎ 故答案为：8．‎ ‎13．（3分）（2020•辽阳）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是　k＜﹣1　．‎ ‎【解答】解：由题意可知：△＝4+4k＜0，‎ ‎∴k＜﹣1，‎ 故答案为：k＜﹣1‎ ‎14．（3分）（2020•辽阳）如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是　‎5‎‎9‎　．‎ 第30页（共30页）‎ ‎【解答】解：设阴影部分的面积是5x，则整个图形的面积是9x，‎ 则这个点取在阴影部分的概率是‎5x‎9x‎=‎‎5‎‎9‎．‎ 故答案为：‎5‎‎9‎．‎ ‎15．（3分）（2020•辽阳）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为　2　．‎ ‎【解答】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，‎ ‎∴MN是△ABC的中位线，‎ ‎∴MN‎=‎‎1‎‎2‎BC＝2，MN∥BC，‎ ‎∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，‎ ‎∵点E是CN的中点，‎ ‎∴NE＝CE，‎ ‎∴△MNE≌△DCE（AAS），‎ ‎∴CD＝MN＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎16．（3分）（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于‎1‎‎2‎AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为　5　．‎ 第30页（共30页）‎ ‎【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AB，‎ ‎∴AE＝EB，‎ 设AE＝EB＝x，‎ ‎∵EC＝3，AC＝2BC，‎ ‎∴BC‎=‎‎1‎‎2‎（x+3），‎ 在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2+EC2，‎ ‎∴x2＝32+[‎1‎‎2‎（x+3）]2，‎ 解得，x＝5或﹣3（舍弃），‎ ‎∴BE＝5，‎ 故答案为5．‎ ‎17．（3分）（2020•辽阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y‎=‎kx（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC‎=‎‎1‎‎5‎OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为　3　．‎ ‎【解答】解：作AE⊥BC于E，连接OA，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴CE＝BE，‎ 第30页（共30页）‎ ‎∵OC‎=‎‎1‎‎5‎OB，‎ ‎∴OC‎=‎‎1‎‎2‎CE，‎ ‎∵AE∥OD，‎ ‎∴△COD∽△CEA，‎ ‎∴S‎△CEAS‎△COD‎=‎（CEOC）2＝4，‎ ‎∵△BCD的面积等于1，OC‎=‎‎1‎‎5‎OB，‎ ‎∴S△COD‎=‎‎1‎‎4‎S△BCD‎=‎‎1‎‎4‎，‎ ‎∴S△CEA＝4‎×‎1‎‎4‎=‎1，‎ ‎∵OC‎=‎‎1‎‎2‎CE，‎ ‎∴S△AOC‎=‎‎1‎‎2‎S△CEA‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴S△AOE‎=‎1‎‎2‎+‎1‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∵S△AOE‎=‎‎1‎‎2‎k（k＞0），‎ ‎∴k＝3，‎ 故答案为3．‎ ‎18．（3分）（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为　‎2‎n‎+1‎‎2‎n　．（用含正整数n的式子表示）‎ 第30页（共30页）‎ ‎【解答】解：∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，‎ ‎∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，‎ ‎∵点F2是CF1的中点，‎ ‎∴△EF1F2的面积等于‎1‎‎2‎，‎ 同理可得△EFn﹣1Fn的面积为‎1‎‎2‎n-1‎，‎ ‎∵△BCFn的面积为2‎×‎1‎‎2‎n÷‎2‎=‎‎1‎‎2‎n，‎ ‎∴△EFnB的面积为2+1﹣1‎-‎1‎‎2‎-⋯-‎1‎‎2‎n-1‎-‎1‎‎2‎n=‎2﹣（1‎-‎‎1‎‎2‎n）‎=‎‎2‎n‎+1‎‎2‎n．‎ 故答案为：‎2‎n‎+1‎‎2‎n．‎ 三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）‎ ‎19．（10分）（2020•辽阳）先化简，再求值：（xx-3‎‎-‎‎1‎‎3-x）‎÷‎x+1‎x‎2‎‎-9‎，其中x‎=‎2‎-‎3．‎ ‎【解答】解：原式＝（xx-3‎‎+‎‎1‎x-3‎）•‎‎(x+3)(x-3)‎x+1‎ ‎=‎x+1‎x-3‎‎•‎(x+3)(x-3)‎x+1‎ ‎ ‎＝x+3，‎ 当x‎=‎2‎-‎3时，原式‎=‎2‎-‎3+3‎=‎‎2‎．‎ ‎20．（12分）（2020•辽阳）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C （4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：‎ 第30页（共30页）‎ 请你根据统计图的信息，解决下列问题：‎ ‎（1）本次共调查了　50　名学生；‎ ‎（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为　108　°；‎ ‎（3）请补全条形统计图；‎ ‎（4）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．‎ ‎【解答】解：（1）本次共调查学生‎13‎‎26%‎‎=‎50（名），‎ 故答案为：50；‎ ‎（2）扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为360°‎×‎15‎‎50‎=‎108°，‎ 故答案为：108；‎ ‎（3）C等级人数为50﹣（4+13+15）＝18（名），‎ 补全图形如下：‎ 第30页（共30页）‎ ‎（4）画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为2，‎ 所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率‎2‎‎12‎‎=‎‎1‎‎6‎．‎ 四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）‎ ‎21．（12分）（2020•辽阳）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．‎ ‎（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？‎ ‎（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？‎ ‎【解答】解：（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，‎ 依题意，得：x+2y=170‎‎2x+3y=290‎，‎ 解得：x=70‎y=50‎．‎ 答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．‎ ‎（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，‎ 依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，‎ 解得：m≤5．‎ 第30页（共30页）‎ 答：学校最多可购买甲种词典5本．‎ ‎22．（12分）（2020•辽阳）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）‎ ‎【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：‎ 由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，‎ ‎∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADB＝∠ADC＝90°，‎ 在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝80‎×‎3‎‎2‎=‎40‎3‎，‎ ‎∵∠CAB＝30°+45°＝75°，‎ ‎∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，‎ ‎∴△ADC是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC‎=‎‎2‎AD‎=‎2‎×‎40‎3‎‎=‎40‎6‎（海里）．‎ 答：货船与港口A之间的距离是40‎6‎海里．‎ 第30页（共30页）‎ 五、解答题（满分12分）‎ ‎23．（12分）（2020•辽阳）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤15，且x为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？‎ ‎【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得：‎ ‎12k+b=90‎‎14k+b=80‎‎，‎ 解得：k=-5‎b=150‎，‎ ‎∴y与x之间的函数关系为y＝﹣5x+150；‎ ‎（2）根据题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5（x﹣20）2+500，‎ ‎∵a＝﹣5＜0，‎ ‎∴抛物线开口向下，w有最大值，‎ ‎∴当x＜20时，w随着x的增大而增大，‎ ‎∵10≤x≤15且x为整数，‎ ‎∴当x＝15时，w有最大值，‎ 即：w＝﹣5×（15﹣20）2+500＝375，‎ 答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大 第30页（共30页）‎ 利润为375元．‎ 六、解答题（满分12分）‎ ‎24．（12分）（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．‎ ‎（1）求证：DE与⊙A相切；‎ ‎（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AE，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝BC，AD∥BC，‎ ‎∴∠DAE＝∠AEB，‎ ‎∵AE＝AB，‎ ‎∴∠AEB＝∠ABC，‎ ‎∴∠DAE＝∠ABC，‎ ‎∴△AED≌△BAC（AAS），‎ ‎∴∠DEA＝∠CAB，‎ ‎∵∠CAB＝90°，‎ ‎∴∠DEA＝90°，‎ ‎∴DE⊥AE，‎ ‎∵AE是⊙A的半径，‎ ‎∴DE与⊙A相切；‎ ‎（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，‎ ‎∴△ABE是等边三角形，‎ ‎∴AE＝BE，∠EAB＝60°，‎ ‎∵∠CAB＝90°，‎ 第30页（共30页）‎ ‎∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，‎ ‎∴∠CAE＝∠ACB，‎ ‎∴AE＝CE，‎ ‎∴CE＝BE，‎ ‎∴S△ABC‎=‎‎1‎‎2‎AB•AC‎=‎1‎‎2‎×4×4‎3‎=‎8‎3‎，‎ ‎∴S△ACE‎=‎‎1‎‎2‎S△ABC‎=‎1‎‎2‎×8‎3‎=‎4‎3‎，‎ ‎∵∠CAE＝30°，AE＝4，‎ ‎∴S扇形AEF‎=‎30π×AE‎2‎‎360‎=‎30π×‎‎4‎‎2‎‎360‎=‎‎4π‎3‎，‎ ‎∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4‎3‎‎-‎‎4π‎3‎．‎ 七、解答题（满分12分）‎ ‎25．（12分）（2020•辽阳）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．‎ ‎（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；‎ ‎（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）当α＝120°，tan∠DAB‎=‎‎1‎‎3‎时，请直接写出CEBE的值．‎ 第30页（共30页）‎ ‎【解答】解：（1）连接AC，如图①所示：‎ ‎∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，‎ ‎∴∠ABC＝∠AEC＝90°，‎ ‎∴A、B、E、C四点共圆，‎ ‎∴∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，‎ ‎∵∠CAB＝∠CAE+∠BAE，‎ ‎∴∠BCE+∠CBE＝∠CAB，‎ ‎∵∠ABC＝90°，AB＝CB，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠CAB＝45°，‎ ‎∴∠BCE+∠CBE＝45°，‎ ‎∴∠BEC＝180°﹣（∠BCE+∠CBE）＝180°﹣45°＝135°，‎ ‎∴∠AEB＝∠BEC﹣∠AEC＝135°﹣90°＝45°；‎ ‎（2）AE‎=‎‎3‎BE+CE，理由如下：‎ 在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：‎ ‎∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，‎ ‎∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，‎ ‎∴∠A＝∠C，‎ 在△ABF和△CBE中，AF=CE‎∠A=∠CAB=CB，‎ ‎∴△ABF≌△CBE（SAS），‎ ‎∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，‎ ‎∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，‎ ‎∴∠ABD＝∠FBE，‎ 第30页（共30页）‎ ‎∵∠ABC＝120°，‎ ‎∴∠FBE＝120°，‎ ‎∵BF＝BE，‎ ‎∴∠BFE＝∠BEF‎=‎1‎‎2‎×‎（180°﹣∠FBE）‎=‎1‎‎2‎×‎（180°﹣120°）＝30°，‎ ‎∵BH⊥EF，‎ ‎∴∠BHE＝90°，FH＝EH，‎ 在Rt△BHE中，BH‎=‎‎1‎‎2‎BE，FH＝EH‎=‎‎3‎BH‎=‎‎3‎‎2‎BE，‎ ‎∴EF＝2EH＝2‎×‎‎3‎‎2‎BE‎=‎‎3‎BE，‎ ‎∵AE＝EF+AF，AF＝CE，‎ ‎∴AE‎=‎‎3‎BE+CE；‎ ‎（3）分两种情况：‎ ‎①当点D在线段CB上时，‎ 在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：‎ 由（2）得：FH＝EH‎=‎‎3‎‎2‎BE，‎ ‎∵tan∠DAB‎=BHAH=‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∴AH＝3BH‎=‎‎3‎‎2‎BE，‎ ‎∴CE＝AF＝AH﹣FH‎=‎‎3‎‎2‎BE‎-‎‎3‎‎2‎BE‎=‎‎3-‎‎3‎‎2‎BE，‎ ‎∴CEBE‎=‎‎3-‎‎3‎‎2‎；‎ ‎②当点D在线段CB的延长线上时，‎ 在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示：‎ 同①得：FH＝EH‎=‎‎3‎‎2‎BE，AH＝3BH‎=‎‎3‎‎2‎BE，‎ ‎∴CE＝AF＝AH+FH‎=‎‎3‎‎2‎BE‎+‎‎3‎‎2‎BE‎=‎‎3+‎‎3‎‎2‎BE，‎ ‎∴CEBE‎=‎‎3+‎‎3‎‎2‎；‎ 综上所述，当α＝120°，tan∠DAB‎=‎‎1‎‎3‎时，CEBE的值为‎3-‎‎3‎‎2‎或‎3+‎‎3‎‎2‎．‎ 第30页（共30页）‎ 八、解答题（满分14分）‎ ‎26．（14分）（2020•辽阳）如图，抛物线y＝ax2﹣2‎3‎x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；‎ ‎（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．‎ 第30页（共30页）‎ ‎【解答】解：（1）把点O（0，0）和A（6，0）代入y＝ax2﹣2‎3‎x+c中，‎ 得到c=0‎‎36a-12‎3‎+c=0‎，‎ 解得a=‎‎3‎‎3‎c=0‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为y‎=‎‎3‎‎3‎x2﹣2‎3‎x．‎ ‎（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．‎ ‎∵y‎=‎‎3‎‎3‎x2﹣2‎3‎x‎=‎‎3‎‎3‎（x﹣3）2﹣3‎3‎，‎ ‎∴顶点B（3，﹣3‎3‎），M（3，0），‎ ‎∴OM＝3．BM＝3‎3‎，‎ ‎∴tan∠MOB‎=BMOM=‎‎3‎，‎ ‎∴∠MOB＝60°，‎ ‎∵∠BOD＝30°，‎ 第30页（共30页）‎ ‎∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，‎ ‎∴MN＝OM•tam30°‎=‎‎3‎，‎ ‎∴N（3，‎-‎‎3‎），‎ ‎∴直线ON的解析式为y‎=-‎‎3‎‎3‎x，‎ 由y=-‎3‎‎3‎xy=‎3‎‎3‎x‎2‎-2‎3‎x，解得x=0‎y=0‎或x=5‎y=-‎‎5‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴D（5，‎-‎‎5‎‎3‎‎3‎）．‎ ‎（3）如图②﹣1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，由题意OF＝BF，可得F（‎3‎‎2‎，‎-‎‎3‎‎3‎‎2‎），E（3，‎-‎‎3‎），利用平移的性质可得H（‎3‎‎2‎，‎3‎‎2‎）．‎ 如图②﹣2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧，由题意EF＝BF，可得F（2，﹣2‎3‎），利用平移的性质可得H（‎7‎‎2‎，‎-‎‎3‎‎3‎‎2‎）．‎ 第30页（共30页）‎ 如图②﹣3中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，由题意EF⊥BE，可得F（1，‎-‎‎3‎），G（‎3‎‎2‎，‎-‎‎3‎‎2‎），利用平移的性质，可得H（‎5‎‎2‎，‎-‎‎3‎‎3‎‎2‎）．‎ 综上所述，满足条件的点H的坐标为（‎3‎‎2‎，‎3‎‎2‎）或（‎5‎‎2‎，‎-‎‎3‎‎3‎‎3‎）或（‎7‎‎2‎，‎-‎‎3‎‎3‎‎2‎）．‎ 第30页（共30页）‎