2020年中考数学试题分项版解析汇编（第01期）专题4

2020年中考数学试题分项版解析汇编（第01期）专题4

专题4.3 四边形 一、单选题 ‎1．用尺规在一个平行四边形内作菱形，下列作法中错误的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【来源】2018年浙江省舟山市中考数学试题 ‎【答案】C ‎【点评】考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键.‎ ‎2．如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为（ ）‎ A. 52 B. 48 C. 40 D. 20‎ ‎【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题 ‎【答案】A ‎【解析】分析：由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长．‎ 详解：∵菱形ABCD中，BD=24，AC=10，‎ ‎∴OB=12，OA=5，‎ 在Rt△ABO中，AB==13，‎ 51‎ ‎∴菱形ABCD的周长=4AB=52，‎ 故选：A．‎ 点睛：此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质 ‎3．如图，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于，则下列结论不一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【来源】四川省凉山州2018年中考数学试题 ‎【答案】C ‎【解析】分析：主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．‎ 详解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．‎ B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．‎ D、∵sin∠ABE=，‎ ‎∴∠EBD=∠EDB ‎∴BE=DE ‎∴sin∠ABE=．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．‎ ‎4．如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 51‎ ‎【来源】天津市2018年中考数学试题 ‎【答案】D ‎【解析】分析：点E关于BD的对称点E′在线段CD上，得E′为CD中点，连接AE′，它与BD的交点即为点P，PA+PE的最小值就是线段AE′的长度；通过证明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解．‎ 详解：过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．‎ ‎∴PA+PE的最小值AE′；‎ ‎∵E为AD的中点，‎ ‎∴E′为CD的中点，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,‎ ‎∴DE′=BF，‎ ‎∴ΔABF≌ΔAD E′，‎ ‎∴AE′=AF.‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”．因此只要作出点A（或点E）关于直线BD的对称点A′（或E′），再连接EA′（或AE′）即可． ‎ ‎5．在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（　　）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 ‎【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题 ‎【答案】B ‎【解析】分析：充分利用角平分线的性质证明∠E=90°即可判断．‎ 详解：如图，‎ 51‎ 点睛：本题考查的是直角三角形的判定，熟记有一个角是90°的三角形是直角三角形是解题的关键.‎ ‎6．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为25，，则的长为（ ）‎ A. 5 B. C. 7 D. ‎ ‎【来源】2018年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题 ‎【答案】D ‎【解析】【分析】利用旋转的性质得出正方形边长，再利用勾股定理得出答案．‎ ‎【解答】∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，‎ ‎∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，‎ ‎∴AD=DC=5，‎ ‎∵DE=2，‎ ‎∴Rt△ADE中, ‎ 故选D.‎ 51‎ ‎【点评】考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.‎ ‎7．用尺规在一个平行四边形内作菱形,下列作法中错误的是（ ）‎ A. （A） B. （B） C. （C） D. （D）‎ ‎【来源】浙江省嘉兴市2018年中考数学试题 ‎【答案】C ‎【解析】分析：由作图，可以证明A、B、D中四边形ABCD是菱形，C中ABCD是平行四边形，即可得到结论．‎ 详解：A．∵AC是线段BD的垂直平分线，∴BO=OD，∴∠AOD=∠COB=90°．‎ ‎∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△AOD≌△COB，∴AO=OC，∴四边形ABCD是菱形．故A正确；‎ B．由作图可知：AD=AB=BC．‎ ‎∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．故B正确；‎ C．由作图可知AB、CD是角平分线，可以得到ABCD是平行四边形，不能得到ABCD是菱形．故C错误；‎ D．如图，∵AE=AF，AG=AG，EG=FG，∴△AEG≌△AFG，∴∠EAG=∠FAG．‎ ‎∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠FAG=∠ACB，∴AB=BC，同理∠DCA=∠BCA，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥DC．‎ ‎∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．故D正确．‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查了菱形的判定与平行四边形的性质．解题的关键是弄懂每个图形是如何作图的．‎ ‎8．□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）‎ 51‎ A. BE=DF B. AE=CF C. AF//CE D. ∠BAE=∠DCF ‎【来源】安徽省2018年中考数学试题 ‎【答案】B ‎【解析】【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.‎ ‎【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，‎ ‎∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意； ‎ B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；‎ C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，‎ ‎∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，‎ 又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，‎ ‎∴AF CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意； ‎ D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，‎ ‎∴∠ABE=∠CDF，‎ 又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，‎ ‎∴AE//CF，‎ ‎∴AE CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.‎ 51‎ ‎9．下列命题正确的是 A. 平行四边形的对角线互相垂直平分 B. 矩形的对角线互相垂直平分 C. 菱形的对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分 ‎【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷（A卷）‎ ‎【答案】D ‎【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关对角线的性质，熟练掌握是解题的关键.‎ ‎10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（   ）‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷 ‎【答案】A ‎【解析】【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形；在Rt△AOD中，根据勾股定理得AO=2，AC=2AO=4，根据三角形面积公式得S△ACD=OD·AC=4，根据中位线定理得OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE的面积.‎ ‎【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，‎ ‎∵∠BAD＝60°，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ 又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ 51‎ 在Rt△AOD中，‎ ‎∴AO=，‎ ‎∴AC=2AO=4，‎ ‎∴S△ACD=OD·AC= ×2×4=4，‎ 又∵O、E分别是中点，‎ ‎∴OE∥AD，‎ ‎∴△COE∽△CAD，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴S△COE=S△CAD=×4=，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键. ‎ 二、填空题 ‎11．若正多边形的内角和是，则该正多边形的边数是__________．‎ ‎【来源】2018年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题 ‎【答案】8‎ ‎【解析】【分析】根据多边形内角和公式进行计算即可.‎ ‎【解答】设正多边形的边数是 ‎ 根据题意得： ‎ 解得： ‎ 故答案为：8.‎ ‎【点评】考查多边形的内角和公式，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键.‎ ‎12．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________.‎ ‎【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷 ‎【答案】8‎ ‎【解析】【分析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为360°，根据题意列出方程，解之即可.‎ 51‎ ‎【详解】设这个多边形边数为n，‎ ‎∴（n-2）×180°=360°×3，‎ ‎∴n=8，‎ 故答案为：8.‎ ‎【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和公式、外角和为360度是解题的关键.‎ ‎13．在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．‎ ‎【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题 ‎【答案】10‎ ‎【解析】分析：要计算周长首先需要证明E、C、D共线，DE可求，问题得解．‎ 详解：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴AD∥BC，CD=AB=2‎ 由折叠，∠DAC=∠EAC ‎∵∠DAC=∠ACB ‎∴∠ACB=∠EAC ‎∴OA=OC ‎∵AE过BC的中点O ‎∴AO=BC ‎∴∠BAC=90°‎ ‎∴∠ACE=90°‎ 由折叠，∠ACD=90°‎ ‎∴E、C、D共线，则DE=4‎ ‎∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10‎ 故答案为：10‎ 51‎ 点睛：本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明．解题时注意不能忽略E、C、D三点共线．‎ ‎14．如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值为__________.‎ ‎【来源】四川省成都市2018年中考数学试题 ‎【答案】‎ 详解：延长NF与DC交于点H，‎ ‎∵∠ADF=90°，‎ ‎∴∠A+∠FDH=90°，‎ ‎∵∠DFN+∠DFH=180°，∠A+∠B=180°，∠B=∠DFN，‎ ‎∴∠A=∠DFH，‎ ‎∴∠FDH+∠DFH=90°，‎ ‎∴NH⊥DC，‎ 设DM=4k，DE=3k，EM=5k，‎ ‎∴AD=9k=DC，DF=6k，‎ ‎∵tanA=tan∠DFH=，‎ 51‎ 则sin∠DFH=，‎ ‎∴DH=DF=k，‎ ‎∴CH=9k-k=k，‎ ‎∵cosC=cosA=，‎ ‎∴CN=CH=7k，‎ ‎∴BN=2k，‎ ‎∴．‎ 故答案为：.‎ 点睛：此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出CN的长是解题关键．‎ ‎15．如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是_____．‎ ‎【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题 ‎【答案】．‎ ‎【解析】分析：设七巧板的边长为x，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出AB，BC，进一步求出的值．‎ 详解：设七巧板的边长为x，则 AB=x+x，‎ BC=x+x+x=2x，‎ ‎=.‎ 51‎ 故答案为：．‎ 点睛：考查了矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出AB，BC的长．‎ ‎16．如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为__________．‎ ‎【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题 ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=OE，利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等，由全等三角形对应边相等得到DE=AE，过D作DF垂直于OE，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标．‎ 详解：由折叠得：∠CBO=∠DBO，‎ ‎∵矩形ABCO，‎ ‎∴BC∥OA，‎ ‎∴∠CBO=∠BOA，‎ ‎∴∠DBO=∠BOA，‎ ‎∴BE=OE，‎ 在△ODE和△BAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ODE≌△BAE（AAS），‎ ‎∴AE=DE，‎ 设DE=AE=x，则有OE=BE=8-x，‎ 在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8-x）2=x2，‎ 解得：x=5，即OE=5，DE=3，‎ 过D作DF⊥OA，‎ 51‎ 点睛：此题考查了翻折变化（折叠问题），坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．‎ ‎17．如图，在矩形中，，，以为直径作.将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为__________．‎ ‎【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷 ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：连结EO并延长交CF于点H，由旋转和相切知四边形EB′CH是矩形，再根据勾股定理即可求出CH的长,从而求出CF的值.‎ 详解：连结EO并延长交CF于点H.‎ 51‎ ‎∵矩形绕点旋转得到矩形，‎ ‎∴∠B′=∠B′CD′=90°,A′B′∥CD′,BC=B′C=4,‎ ‎∵A′B′切⊙O与点E,‎ ‎∴OE⊥A′B′,‎ ‎∴四边形EB′CH是矩形，‎ ‎∴EH=B′C=4,OH⊥CF,‎ ‎∵AB=5,‎ ‎∴OE=OC=AB=,‎ ‎∴OH=,‎ 在Rt△OCH中，根据勾股定理得CH===2,‎ ‎∴CF=2CH=4.‎ 故答案为：4.‎ 点睛：此题主要考查切线的性质,垂径定理及矩形的性质等知识点的综合运用.‎ ‎18．如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是_____（写出所有正确结论的序号）‎ ‎①当E为线段AB中点时，AF∥CE；‎ ‎②当E为线段AB中点时，AF=；‎ ‎③当A、F、C三点共线时，AE=；‎ ‎④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．‎ 51‎ ‎【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题 ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】分析：分两种情形分别求解即可解决问题；‎ 详解：如图1中，当AE=EB时，‎ ‎∵AE=EB=EF，‎ ‎∴∠EAF=∠EFA，‎ ‎∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，‎ ‎∴∠BEC=∠EAF，‎ ‎∴AF∥EC，故①正确，‎ 作EM⊥AF，则AM=FM，‎ 在Rt△ECB中，EC=，‎ ‎∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，‎ ‎∴△CEB∽△EAM，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴AM=，‎ 51‎ ‎∴AF=2AM=，故②正确，‎ 如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．‎ 点睛：本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题． ‎ ‎19．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为_____．‎ ‎【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题 ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．‎ 详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，‎ 51‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，‎ ‎∴NF=x，AN=4﹣x，‎ ‎∵AB=2，‎ ‎∴AM=BM=1，‎ ‎∵AE=，AB=2，‎ ‎∴BE=1，‎ ‎∴ME=，‎ ‎∵∠EAF=45°，‎ ‎∴∠MAE+∠NAF=45°，‎ ‎∵∠MAE+∠AEM=45°，‎ ‎∴∠MEA=∠NAF，‎ ‎∴△AME∽△FNA，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得：x=‎ ‎∴AF=‎ 故答案为：．‎ 点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，‎ ‎20．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的值为__________．‎ 51‎ ‎【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题 ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先利用勾股定理求出A'C，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数即可得出结论．‎ 详解：由折叠知，A'E=AE，A'B=AB=6，∠BA'E=90°，∴∠BA'C=90°．在Rt△A'CB中，A'C==8，设AE=x，则A'E=x，∴DE=10﹣x，CE=A'C+A'E=8+x．在Rt△CDE中，根据勾股定理得：（10﹣x）2+36=（8+x）2，∴x=2，∴AE=2．在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE==2，∴sin∠ABE==．‎ ‎ 故答案为：．‎ 点睛：本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段AE是解答本题的关键．‎ 三、解答题 ‎21．如图，，，，在一条直线上，已知，，，连接.求证：四边形是平行四边形.‎ ‎【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题 ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】分析：由AB∥DE、AC∥DF利用平行线的性质可得出∠B=∠DEF、∠ACB=∠F，由BE=CF可得出BC=EF，进而可证出△ABC≌△DEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出AB=DE，再结合AB∥DE，即可证出四边形ABED是平行四边形．‎ 详证明：∵AB∥DE，AC∥DF，‎ ‎∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．‎ ‎∵BE=CF，‎ 51‎ 点睛：本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质找出AB=DE是解题的关键．‎ ‎22．小敏思考解决如下问题：‎ 原题：如图1，点，分别在菱形的边，上，，求证：.‎ ‎（1）小敏进行探索，若将点，的位置特殊化：把绕点旋转得到，使，点，分别在边，上，如图2，此时她证明了.请你证明.‎ ‎（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作，，垂足分别为，.请你继续完成原题的证明.‎ ‎（3）如果在原题中添加条件：，，如图1.请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）.‎ ‎【来源】2018年浙江省绍兴市中考数学试卷解析 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）见解析 ‎【解析】【分析】（1）证明，即可求证.‎ ‎（2）如图2，，即可求证.‎ 51‎ ‎（3）不唯一.‎ ‎【解答】（1）如图1，‎ 在菱形中，‎ ‎，，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）如图2，由（1），∵，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 51‎ ‎（3）不唯一，举例如下：‎ 层次1：①求的度数.答案：.‎ ‎②分别求，的度数.答案：.‎ ‎③求菱形的周长.答案：16.‎ ‎④分别求，，的长.答案：4，4，4.‎ 层次2：①求的值.答案：4.‎ ‎②求的值.答案：4.‎ ‎③求的值.答案：.‎ 层次3：①求四边形的面积.答案：.‎ ‎②求与的面积和.答案：.‎ ‎③求四边形周长的最小值.答案：.‎ ‎④求中点运动的路径长.答案：.‎ ‎【点评】考查菱形的性质，三角形全等的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.‎ ‎23．如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．‎ ‎【来源】浙江省衢州市2018年中考数学试卷 ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】分析：由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE=CF．‎ 详证明：如图，‎ 51‎ 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．‎ ‎24．如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．‎ ‎（1）求证：PA•BD=PB•AE；‎ ‎（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．‎ ‎【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在，‎ ‎【解析】分析：（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案．‎ 51‎ ‎（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积．‎ 详解：（1）∵DP平分∠APB，‎ ‎∴∠APE=∠BPD，‎ ‎∵AP与⊙O相切，‎ ‎∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，‎ ‎∴∠EAP=∠B，‎ ‎∴△PAE∽△PBD，‎ ‎∴，‎ ‎∴PA•BD=PB•AE；‎ ‎（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，‎ ‎∵DP平分∠APB，AD⊥AP，DF⊥PB，‎ ‎∴AD=DF，‎ ‎∵∠EAP=∠B，‎ ‎∴∠APC=∠BAC，‎ 易证：DF∥AC，‎ ‎∴∠BDF=∠BAC，‎ 由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0，‎ 解得：AE=2，BD=3，‎ ‎∴由（1）可知：，‎ 51‎ ‎∴cos∠APC=，‎ ‎∴cos∠BDF=cos∠APC=，‎ ‎∴，‎ ‎∴DF=2，‎ ‎∴DF=AE，‎ ‎∴四边形ADFE是平行四边形，‎ ‎∵AD=AE，‎ ‎∴四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点，‎ ‎∵cos∠BAC=cos∠APC=，‎ ‎∴sin∠BAC=，‎ ‎∴，‎ ‎∴DG=，‎ ‎∴菱形ADME的面积为：DG•AE=2×=.‎ 点睛：本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力． ‎ ‎25．如图,点是正方形边上一点,连接,作于点,手点,连接．‎ ‎(1)求证:；‎ ‎(2已知,四边形的面积为24,求的正弦值．‎ ‎【来源】山东省潍坊市2018年中考数学试题 ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ．‎ ‎【解析】分析：（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；‎ ‎（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+‎ 51‎ ‎•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x-2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．‎ ‎（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，‎ ‎∵四边形ABED的面积为24，‎ ‎∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=-8（舍去），‎ ‎∴EF=x-2=4，‎ 在Rt△BEF中，BE=，‎ ‎∴sin∠EBF=．‎ 点睛：本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．‎ ‎26．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示.‎ 51‎ ‎（1）求证：△ABE≌△ADF；‎ ‎（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由.‎ ‎【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AECF是菱形，理由见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可； （2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；‎ 详证明：（1）∵正方形ABCD， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠ABE=∠ADF， 在△ABE与△ADF中 ， ∴△ABE≌△ADF. （2）连接AC，‎ ‎ 四边形AECF是菱形． 理由：∵正方形ABCD， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF， ∴OB+BE=OD+DF， 即OE=OF， ‎ 51‎ ‎∵OA=OC，OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形．‎ 点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．‎ ‎27．已知矩形中，是边上的一个动点，点，，分别是，，的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设，当四边形是正方形时，求矩形的面积.‎ ‎【来源】2018年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】【分析】（1）根据点F,H分别是BC,CE的中点，根据中位线的性质有、FH∥BE，．．点G是BE的中点，．即可证明△BGF ≌ △FHC．‎ ‎（2）当四边形EGFH是正方形时，可知EF⊥GH且证明，即可求出矩形的面积.‎ ‎【解答】（1）∵点F,H分别是BC,CE的中点，‎ ‎∴FH∥BE，．‎ ‎∴．‎ 又∵点G是BE的中点，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴△BGF ≌ △FHC．‎ 51‎ ‎【点评】考查中位线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.‎ ‎28．如图，在□ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG＝CH.‎ ‎【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷 ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，根据平行线的性质得∠E=∠F，再结合已知条件可得AF=CE，根据ASA得△CEH≌△AFG，根据全等三角形对应边相等得证.‎ ‎【详解】∵在四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，‎ ‎∴∠E=∠F，‎ 又∵BE＝DF，‎ ‎∴AD+DF=CB+BE，‎ 51‎ 即AF=CE，‎ 在△CEH和△AFG中，‎ ‎，‎ ‎∴△CEH≌△AFG，‎ ‎∴CH=AG.‎ ‎【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.‎ ‎29．如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接.‎ ‎（1）求证：四边形是菱形；‎ ‎（2）若，，求菱形的面积.‎ ‎【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；‎ ‎（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；‎ 详解：（1）∵四边形是平行四边形 ‎∴，∴‎ ‎∵是的中点，∴‎ ‎∴在与中，‎ ‎∵，∴四边形是平行四边形 ‎∵，∴四边形是菱形 ‎（2）∵四边形是菱形，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ 51‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 点睛：本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． ‎ ‎30．如图，在正方形中，是上一点，连接.过点作，垂足为.经过点、、，与相交于点.‎ ‎（1）求证；‎ ‎（2）若正方形的边长为，，求的半径.‎ ‎【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷 ‎【答案】（1）证明见解析；（2） ‎ ‎【解析】分析：（1）先,证出,再根据四边形是的内接四边形,得到,从而证出结论;‎ ‎(2) 连接根据得到,根据得到,从而 ‎,得,DG=3,利用勾股定理得CG=5,即可求出的半径.‎ 详解：‎ ‎（1）证明：在正方形中，.‎ 51‎ ‎（2）解：如图，连接.‎ ‎∵，，‎ ‎∴.‎ ‎∴，即.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 在正方形中，，‎ ‎∴，.‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴是的直径.‎ 51‎ ‎∴的半径为.‎ 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，正方形的性质．关键是利用正方形的性质证明相似三角形，利用线段，角的关系解题.‎ ‎31．如图，在四边形中，，.是四边形内一点，且.求证：（1）；（2）四边形是菱形.‎ ‎【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】分析：(1)先证点、、共圆,从而得到,又,即可得出结论;‎ ‎(2) 连接,证得到又由于，,结合可得BO=BC, 从而四边形是菱形.‎ 详解：‎ ‎（1）∵.‎ ‎∴点、、在以点为圆心，为半径的圆上.‎ ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎（2）证明：如图②，连接.‎ ‎∵，，，‎ 51‎ ‎∴.‎ ‎∴，.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，.‎ 又.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 又，，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形是菱形.‎ 点睛：本题考查圆周角定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活应用圆周角定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 ‎32．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．‎ ‎（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；‎ ‎（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．‎ ‎【来源】江苏省连云港市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；‎ ‎（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．‎ 详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠FAE=∠CDE，‎ ‎∵E是AD的中点，‎ 51‎ ‎∴AE=DE，‎ 又∵∠FEA=∠CED，‎ ‎∴△FAE≌△CDE，‎ ‎∴CD=FA，‎ 又∵CD∥AF，‎ ‎∴四边形ACDF是平行四边形；‎ 点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．‎ ‎33．如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，，过点作，分别交于点.‎ ‎(1)求证: ；‎ ‎(2)判断四边形的形状，并说明理由.‎ ‎【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题 51‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BED是菱形，理由见解析.‎ ‎【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由已知可得四边形ABCD是平行四边形，继而可根据ASA证明ΔAOE≌ΔCOF；‎ ‎（2）由ΔAOE≌ΔCOF可得OE=OF，再根据OB=OD可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证得四边形BEDF是菱形.‎ ‎【详解】（1）∵OA=OC，OB=OD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠DAC＝∠BCA，‎ 又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，‎ ‎∴△AOE≌△COF（ASA）；‎ ‎（2）四边形BEDF是菱形，理由如下：‎ ‎∵△AOE≌△COF，‎ ‎∴OE=OF，‎ 又∵OB=OD，‎ ‎∴四边形DEBF是平行四边形，‎ 又∵EF⊥BD，‎ ‎∴平行四边形DEBF是菱形.‎ ‎【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，熟记平行四边形的判定与性质定理、菱形的判定定理是解本题的关键.‎ ‎34．如图，等边的顶点，在矩形的边，上，且.‎ 求证：矩形是正方形.‎ ‎【来源】2018年浙江省舟山市中考数学试题 ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】【分析】证明≌ ，得到，即可证明矩形是正方形.‎ 51‎ ‎【解答】∵四边形是矩形，‎ ‎∴，‎ ‎∵是等边三角形，‎ ‎∴，，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴≌ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴矩形是正方形.‎ ‎【点评】考查正方形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键. ‎ ‎35．如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．‎ ‎【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题 ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】分析：利用数形结合的思想解决问题即可.‎ 详解：符合条件的图形如图所示；‎ 51‎ 点睛：本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎36．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．‎ ‎（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．‎ ‎①若点G为DE中点，求FG的长．‎ ‎②若DG=GF，求BC的长．‎ ‎（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．‎ ‎【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）①FG =2；②BC=12；（2）等腰三角形△DFG的腰长为4或20或或．‎ 详解：（1）①在正方形ACDE中，DG=GE=6，‎ 中Rt△AEG中，AG=，‎ ‎∵EG∥AC，‎ ‎∴△ACF∽△GEF，‎ ‎∴，‎ 51‎ ‎∴，‎ ‎∴FG=AG=2．‎ ‎②如图1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，‎ ‎∵EF=EF，‎ ‎∴△AEF≌△DEF，‎ ‎∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，‎ ‎∵AE∥BC，‎ ‎∴∠B=∠1=x，‎ ‎∵GF=GD，‎ ‎∴∠3=∠2=x，‎ 在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°，‎ ‎∴x+（x+90°）+x=180°，‎ 解得x=30°，‎ ‎∴∠B=30°，‎ ‎∴在Rt△ABC中，BC=．‎ ‎（2）在Rt△ABC中，AB==15，‎ 如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，‎ ‎∵DG∥AC，‎ 51‎ ‎∴△BDG∽△BCA，‎ 设BD=3x，则DG=4x，BG=5x，‎ ‎∴GF=GD=4x，则AF=15-9x，‎ ‎∵AE∥CB，‎ ‎∴△AEF∽△BCF，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 整理得：x2-6x+5=0，‎ 解得x=1或5（舍弃）‎ ‎∴腰长GD为=4x=4．‎ 如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，‎ 设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，‎ ‎∴FG=DG=12+4x，‎ ‎∵AE∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△BCF，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得x=2或-2（舍弃），‎ ‎∴腰长DG=4x+12=20．‎ 如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，过点D作DH⊥FG．‎ 51‎ 如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，作DH⊥AG于H．‎ 设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x-12，‎ 51‎ ‎∴FH=GH=DG•cos∠DGB=，‎ ‎∴FG=2FH=，‎ ‎∴AF=AG-FG=，‎ ‎∵AC∥EG，‎ ‎∴△ACF∽△GEF，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得x=或-（舍弃），‎ ‎∴腰长DG=4x-12=，‎ 综上所述，等腰三角形△DFG的腰长为4或20或或．‎ 点睛：本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．‎ ‎37．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.‎ ‎（Ⅰ）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）如图②，当点落在线段上时，与交于点.‎ ‎①求证；‎ ‎②求点的坐标.‎ ‎（Ⅲ）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）.‎ ‎【来源】天津市2018年中考数学试题 51‎ ‎【答案】（Ⅰ）点的坐标为.（Ⅱ）①证明见解析；②点的坐标为.（Ⅲ）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x，在直角三角形ACD中运用勾股定理可CD的值，从而可确定D点坐标；‎ ‎（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；‎ ‎②由①知，再根据矩形的性质得.从而，故BH=AH，在Rt△ACH中，运用勾股定理可求得AH的值，进而求得答案；‎ ‎（Ⅲ）.‎ 详解：（Ⅰ）∵点，点，‎ ‎∴，.‎ ‎∵四边形是矩形，‎ ‎∴，，.‎ ‎∵矩形是由矩形旋转得到的，‎ ‎∴.‎ 在中，有，‎ ‎∴ .‎ ‎∴.‎ ‎∴点的坐标为.‎ 51‎ ‎（Ⅲ）.‎ 点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键. ‎ ‎38．如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是上一点，且，连接并延长交于点，过点作的垂线，垂足为，交于点.‎ ‎（1）若，，求的面积；‎ ‎（2）若，求证：.‎ 51‎ ‎【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷（A卷）‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】【分析】（1）由AH=3，HE=1可求得AB的长，根据勾股定理可求得BH的长，然后根据三角形的面积公式进行求解即可；‎ ‎（2）过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N，结合图形根据已知条件可以得到，继而可得到，通过证明，可得，根据等腰三角形的性质可求得，再根据平行四边形的性质可以证明，从而得，继而可得 ‎.‎ ‎【详解】（1） ，‎ ‎ ，‎ 又在中，，‎ ‎；‎ ‎（2）过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N，‎ ‎ =90°，‎ ‎=45°，‎ ‎ =45°‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎=90°，‎ ‎，‎ ‎=180°，‎ ‎=180°，‎ ‎，‎ 51‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等，综合性较强，正确添加辅助线、应用数形结合思想进行解题是关键.‎ ‎39．如图，中，是上一点，于点，是的中点，于点，与交于点，若，平分，连接，.‎ 51‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）小亮同学经过探究发现：.请你帮助小亮同学证明这一结论.‎ ‎（3）若，判定四边形是否为菱形，并说明理由.‎ ‎【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）四边形是菱形，理由见解析.‎ 详解：（1）∵AF=FG，∴∠FAG=∠FGA．‎ ‎ ∵AG平分∠CAB，∴∠CAG=∠FGA，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG．‎ ‎ ∵DE⊥AC，∴FG⊥DE．‎ ‎ ∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED．‎ ‎ ∵F是AD的中点，FG∥AE，∴H是ED的中点，∴FG是线段ED的垂直平分线，∴GE=GD，∠GDE=∠GED，∴∠CGE=∠GDE，∴△ECG≌△GHD；‎ ‎ （2）过点G作GP⊥AB于P，∴GC=GP，而AG=AG，∴△CAG≌△PAG，∴AC=AP，由（1）可得EG=DG，∴Rt△ECG≌Rt△GPD，∴EC=PD，∴AD=AP+PD=AC+EC；‎ ‎ （3）四边形AEGF是菱形．证明如下：‎ ‎∵∠B=30°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD，∴AE=AF=FG，由（1）得AE∥FG，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．‎ 51‎ ‎ ‎ 点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键． ‎ ‎40．阅读短文，解决问题 如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图1，菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”.‎ 如图2，在△ABC中，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点F，过点F作FD//AC，FE//AB.‎ ‎(1)求证：四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”；‎ ‎(2)当AB=6，AC=12，∠BAC=45°时，求菱形AEFD的面积.‎ ‎【来源】广东省深圳市2018年中考数学试题 ‎【答案】(1)证明见解析；(2) 四边形的面积为.‎ ‎【解析】【分析】（1）根据尺规作图可知AF平分∠BAC，再根据DF//AC，可得AD=DF，再由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEFD是平行四边形，继而可得平行四边形AEFD是菱形，根据“亲密菱形”的定义即可得证；‎ ‎（2）设菱形的边长为a，即DF=AD=a，则BD=6-a，可证得△BDF∽△BAC，根据相似三角形的性质可求得a=4，过D作DG⊥AC，垂足为G，在Rt△ADG中， DG=2，继而可求得面积.‎ ‎【详解】（1）由尺规作图可知AF平分∠BAC，‎ 51‎ ‎∴∠DAF=∠EAF，‎ ‎∵DF//AC，∴∠DFA=∠EAF，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=DF，‎ ‎∵FD//AC，FE//AB，∴四边形AEFD是平行四边形，‎ ‎∴平行四边形AEFD是菱形，‎ ‎∵∠BAC与∠DAE重合，点F点BC上，‎ ‎∴菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”；‎ ‎（2）设菱形的边长为a，即DF=AD=a，则BD=6-a，‎ ‎∵DF//AC，∴△BDF∽△BAC，‎ ‎∴BD：BA=BF：AC，‎ 即（6-a）:6=a：12，‎ ‎∴a=4，‎ 过D作DG⊥AC，垂足为G，‎ 在Rt△ADG中，∠DAG=45°，∴DG=AD=2，‎ ‎∴S菱形AEFD=AE•DG=8，‎ 即四边形AEFD的面积为8.‎ ‎【点睛】本题考查了尺规作图，新概念题，菱形的判定与性质等，正确理解新概念是解题的关键.‎ ‎41．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．‎ ‎（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．‎ 51‎ ‎（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE的长．‎ ‎（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由．‎ ‎（4）如图2，当△ECD的面积S1= 时，求AE的长．‎ ‎【来源】江苏省连云港市2018年中考数学试题 ‎【答案】（1）△ABE≌△CBF，证明见解析；（2）；（3）S2﹣S1=，证明见解析；（4）3‎ 详解：（1）结论：△ABE≌△CBF．‎ 理由：如图1中，‎ ‎∵△ABC，△BEF都是等边三角形，‎ ‎∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，‎ ‎∴∠ABE=∠CBF，‎ ‎∴△ABE≌△CBF．‎ ‎（2）如图1中，∵△ABE≌△CBF，‎ ‎∴S△ABE=S△BCF，‎ ‎∴S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，‎ ‎∵S四边形ABCF=，‎ 51‎ ‎∴S△ABE=，‎ ‎∴•AE•AB•siin60°=，‎ ‎∴AE=．‎ ‎（3）结论：S2-S1=．‎ 理由：如图2中，‎ ‎∵△ABC，△BEF都是等边三角形，‎ ‎∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，‎ ‎∴∠ABE=∠CBF，‎ ‎∴△ABE≌△CBF，‎ ‎∴S△ABE=S△BCF，‎ ‎∵S△BCF-S△BCE=S2-S1，‎ ‎∴S2-S1=S△ABE-S△BCE=S△ABC=．‎ ‎（4）由（3）可知：S△BDF-S△ECD=，‎ ‎∵S△ECD=，‎ ‎∴S△BDF=，‎ ‎∵△ABE≌△CBF，‎ ‎∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，‎ ‎∴∠ABC=∠DCB，‎ ‎∴CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，‎ 51‎ 点睛：本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．‎ 51‎