中考专题复习之实际问题与一元一次不等式能力提升解析与训练

中考专题复习之实际问题与一元一次不等式能力提升解析与训练

中考专题复习精品之 ‎【实际问题与一元一次不等式】能力提升解析与训练 ‎【学习目标】‎ ‎1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题；‎ ‎2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系．‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、常见的一些等量关系 ‎1.行程问题：路程＝速度×时间 ‎ ‎2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 ‎3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， ‎ ‎4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 ‎ ‎5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 ‎ ‎6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.‎ 要点二、列不等式解决实际问题 ‎ 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：‎ ‎ (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；‎ ‎ (2)设：设出适当的未知数；‎ ‎ (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；‎ ‎ (4)解：解所列的不等式；‎ ‎ (5)答：写出答案，并检验是否符合题意．‎ ‎ 要点诠释：‎ ‎(1)列不等式的关键在于确定不等关系；‎ ‎(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；‎ ‎(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．‎ ‎（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如下面例1中 “设还需要B型车x辆 ”，而在答中 “至少需要11台B型车 ”．这一点要应十分注意．‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、简单应用题 例1.蓝天运输公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的汽车可供调用．已知A型汽车每辆最多可装该物资20吨，B型汽车每辆最多可装该物资15吨．在每辆车不超载的条件下，要把这300吨物资一次性装运完．问：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？‎ ‎【思路点拨】本题的数量关系是：7辆A型汽车装载货物的吨数+B型汽车装货物的吨数≥300吨，由此可得出不等式，求出自变量的取值范围，找出符合条件的值．‎ ‎【答案与解析】‎ 解：设需调用B型车x辆，由题意得： ，解得： ，‎ 又因为x取整数，所以x最小取11．‎ 答：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车11辆．‎ ‎【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多6辆，那么15天的产量就超过了原来20天的产量，求原来每天最多能生产多少辆汽车？‎ ‎【答案】‎ 解：设原来每天能生产x辆汽车，则 ‎15(x+6)＞20x ‎ 解得：x＜18‎ ‎ 依题意：x=17‎ ‎ 答：原来每天最多能生产17辆汽车．‎ 类型二、阅读理解型 例2. 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：‎ 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位•千克）‎ ‎600‎ ‎100‎ 原料价格（元•千克）‎ ‎8‎ ‎4‎ 现配制这种饮料‎10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为xkg，则x应满足的不等式为（　　）‎ A．600x+100（10-x）≥4200 B．8x+4（100-x）≤4200‎ C．600x+100（10-x）≤4200 D．8x+4（100-x）≥4200‎ ‎【思路点拨】首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有4200单位的维生素C”这一不等关系列不等式．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：若所需甲种原料的质量为xkg，则需乙种原料（10-x）kg． 根据题意，得600x+100（10-x）≥4200．‎ ‎【总结升华】能够读懂表格，会把文字语言转换为数学语言．‎ ‎【高清课堂：实际问题与一元一次不等式409415 例2】‎ ‎【变式2】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞的数量如下表所示，经过预算，本次购买机器耗资不能超过34万元.‎ ‎（1）按该公司要求可以有几种购买方案？‎ ‎（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？‎ ‎【答案】‎ 解：设购买x台甲种机器，则依据题意得：‎ ‎ （1）7x+5(6-x)≤34‎ ‎ 解得x≤2‎ ‎∵x取非负整数，∴x取0,1或2；‎ ‎∴有三种购买方案，即购买甲、乙两种机器分别0台、6台或1台、5台或2台、4台．‎ ‎（2）100x＋60（6-x）≥380，‎ 解得：x≥0.5．‎ 由（1）知，1≤x≤2且x为整数，‎ 所以x＝1或2，‎ 当x＝1时，所需资金为：7×1＋5×5＝32（万元）；‎ 当x＝2时，所需资金为：7×2＋5×4＝34（万元）．‎ ‎∵ 32＜34，‎ ‎∴应选择（1）中的第二种方案．‎ 类型三、方案选择型 例3. 某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配x(x≥3)个乒乓球，已知A，B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元，现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折(按原价的90％付费)销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：‎ ‎ (1)如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市买更合算?‎ ‎ (2)当x＝12时，请设计最省钱的购买方案．‎ ‎【思路点拨】先列式表示出在A超市购买所需球拍和乒乓球的费用y1元，在B超市购买相同物品所需的费用y2元，再比较y1与y2的大小?‎ ‎【答案与解析】‎ 解：(1)设在A超市购买需花费y1元，在B超市购买需花费y2元，‎ 根据题意，得，即y1＝180+9x；‎ ‎ y2＝10×20+(10x-30)×1，即y2＝170+10x．‎ ‎ 令y1＞y2，得180+9x＞170+10x，解得x＜10；‎ ‎ 令y1＝y2，得180+9x＝170+10x，解得x＝10；‎ ‎ 令y1＜y2，得180+9x＜170+10x，解得x＞10．‎ ‎ 即当每副球拍配10个以上球时，A超市优惠，少于10个球时B超市优惠，每副球拍配10个球时，两超市价格相等．‎ ‎ (2)购买方案：在B超市购买10副乒乓球拍，获赠30个乒乓球，再在A超市购买(10x-30)＝90(个)乒乓球，最省钱．‎ ‎【总结升华】在表示y1与y2时，x表示每幅球拍所配的球数，通过比较y1与y2之间的关系，得出结论，注意本例中分类讨论思想的应用．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元．公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过5000元，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆?‎ ‎【答案】‎ 解析：根据“总费用不超过5000元”可以建立不等关系求解．‎ 解：设四座车租x辆，则十一座车租型辆．‎ 依题意 70×60+60x+(70-4x)×10≤5000，‎ 将不等式左边化简后得：20x+4900≤5000，‎ 不等式两边减去3500得 20x≤100，‎ 不等式两边除以20得 x≤5，‎ 又∵是整数，∴，．‎ 答：公司租用四座车l辆，十一座车6辆．‎ 例4.响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132 000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000元/台． （1）至少购进乙种电冰箱多少台？ （2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？‎ ‎【思路点拨】（1）关系式为：甲种电冰箱用款+乙种电冰箱用款+丙种电冰箱用款≤132000，根据此不等关系列不等式即可求解；（2）关系式为：甲种电冰箱的台数≤丙种电冰箱的台数，以及（1）中得到的关系式联合求解．‎ ‎【答案与解析】‎ 解：（1）设购买乙种电冰箱x台，则购买甲种电冰箱2x台，丙种电冰箱（80-3x）台， 根据题意得1200×2x+1600x+（80-3x）×2000≤132000 解这个不等式得x≥14 ‎ ‎∴至少购进乙种电冰箱14台； （2）根据题意得2x≤80-3x 解这个不等式得 x≤16 由（1）知 x≥14 ∴14≤x≤16 又∵x为正整数 ∴x=14，15，16． 所以，有三种购买方案 方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台. 方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台. 方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台．‎ ‎【总结升华】探求不等关系时，要注意捕捉“大于”、“超过”、“不少于”、“不足”、“至多”等表示不等关系的关键词，通过这些词语，可以直接找到不等关系．‎ ‎【巩固练习】‎ 一、选择题 ‎1．毛笔每支2元，钢笔每支5元，现有的购买费用不足20元，则购买毛笔和钢笔允许的情况是 ( ) A．5支毛笔，2支钢笔 B．4支毛笔，3支钢笔 C．0支毛笔，5支钢笔 D．7支毛笔，1支钢笔 2．小明用100元钱去购买三角板和圆规共30件，已知三角板每副2元，每个圆规5元，那么小明最多能买圆规 ( ) A．12个 B．13个 C．14个 D．15个 3．某风景区招待所有一两层客房，底层比二层少5间，一旅行团共有48人，若全部安排住 底层，每间住4人，房间不够；而每间住5人，有的房间未住满；若全部安排住二层，每 间住3人，房间也不够；每间住4人，有的房间未住满．这家招待所的底层共有房间 ( ) A．9间 B．10间 C．11间 D．12间 4．一个两位数，某个位数字比十位数字大2，已知这个两位数不小于20，不大于40，那么这个两位数是多少？为了解决这个问题，我们可设个位数字为x，那么可列不等式（ ）．‎ A．20≤10（x-2）+x≤40 B．20＜10（x-2）+x＜40 ‎ C．20≤x-2+x≤40 D．20≤10x+x-2≤40‎ ‎5．张红家离学校‎1600米，一天早晨由于有事耽误，结果吃完饭时只差15分钟就上课，忙中出错，出门时又忘了带书包，结果回到家又取书包共用3分钟，只好坐小汽车去上学，小汽车的速度是‎36千米／时，小汽车行驶了1分30秒时又发生堵车，她等了半分钟后，路还没有畅通，于是下车又开始步行，问：张红步行速度至少是( )时，才不至于迟到．‎ ‎ A．‎60米/分 B．‎70米/分 C．‎80米/分 D．‎90米/分 ‎6．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是( )‎ ‎ A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．与a和b的大小无关 二、填空题 ‎7．若，试用表示出不等式的解集 .‎ ‎8．有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则至多只能安排_______人种甲种蔬菜． 9．某种肥皂零售价每块2元，对于购买两块以上(含两块)，商场推出两种优惠销售办法：第一种为一块按原价，其余按原价的七折优惠；第二种为全部按原价的八折优惠．在购买相同数量的情况下，要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少需要购买肥皂______块． 10．韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油．现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排A队的车，每车坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满．若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够；每辆车坐5人，有的车未坐满．A队有出租车__________辆． 11．发电厂派汽车去拉煤，已知大货车每辆装10吨，小货车每辆装5吨，煤场共有煤152吨，现派20辆汽车去拉，其中大货车x辆，要一次将煤拉回电厂，至少需派多少辆大货车?列式为_______________________________________________________． 12．有人问老师：他所教的七年级(2)班有多少学生，老师说：“的学生在学数学，的学生在学音乐，的学生在学外语，还剩不足6位同学在操场玩篮球”．你知道这个班一共有_______名学生．‎ ‎ 三、解答题 ‎13．在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了10场球(每场得分均为整数)．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高．如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分．‎ ‎ (1)用含x的代数式表示y；‎ ‎ (2)小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少?‎ ‎(3)小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？‎ ‎14．某公司为了扩大经营 ‎，决定购进6台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示，经过预算，本次购买机器耗资不能超过34万元．‎ 甲 乙 价格(万元/台)‎ ‎7‎ ‎5‎ 每台日产量(个)‎ ‎100‎ ‎60‎ ‎ (1)按该公司要求可以有几种购买方案？‎ ‎ (2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？‎ ‎15．某单位计划10月份组织员工到杭州旅游，人数估计在10～25人之间，甲、乙两旅行社的服务质量都较好，且组织到杭州旅游的价格都是每人200元，该单位联系时，甲旅行社表示可以给予每位旅客7.5折优惠；乙旅行社表示可免去一带队领导的旅游费用，其他游客8折优惠，问该单位怎样选择，可使其支付的旅游总费用较少？‎ ‎16．小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a＞8），就站到A窗口队伍的后面排队，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人，如图所示．‎ ‎ (1)此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达A窗口所花的时间是多少（用含a的代数式表示）?‎ ‎ (2)此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围．（不考虑其他因素）‎ ‎【答案与解析】‎ 一、选择题 ‎ ‎1． 【答案】D；‎ ‎【解析】代入验证．‎ ‎2． 【答案】B；‎ ‎【解析】设买圆规件，由题意得：≤100，得≤，且为正整数，所以最大取13．‎ ‎3． 【答案】B；‎ ‎ 【解析】设底层有房间间，由题意得：得：，又为正整数，所以．‎ ‎4． 【答案】A；‎ ‎5． 【答案】B； ‎ ‎ 【解析】设张红步行速度x米／分才不至于迟到，由题意可列不等式引≥，化简得10x≥700，x≥70，故选B．‎ ‎6． 【答案】A； ‎ ‎ 【解析】‎3a+2b＞5×，即‎3a+2b＞ ∴ ，∴ a＞b．‎ 二、填空题 ‎7． 【答案】； ‎ ‎【解析】因为，所以，原不等式可化为：，两边同除以（），得 ‎ ‎8．【答案】4；‎ ‎【解析】设安排人种甲种蔬菜，可得≥15.6，得≤4．‎ ‎9．【答案】4； ‎ ‎ 【解析】解：设要使第一种办法比第二种办法得到的优惠，最少需要购买肥皂x块，则： 2+0.7•2（x-1）＜0.8•2x， 得：x＞3．最少需要购买肥皂4块时，第一种办法比第二种办法得到的优惠．‎ ‎10．【答案】10；‎ ‎11．【答案】10x ＋ 5 (20 –x ) ≥152；‎ ‎12．【答案】28；‎ ‎ 【解析】解：设该班共有x名学生，根据题意，得 ‎．‎ ‎ ，‎ x＜56．‎ 又∵x为大于0小于56的整数且 ，，都是正整数，‎ ‎∴ x＝28． ‎ 答：这个班有28个学生．‎ 三、解答题 ‎13．【解析】‎ 解：(1)因为前5场比赛的平均得分为x，则前5场比赛的得分之和为5x，故有 ‎．‎ ‎ (2)依题意： y-x＞0，‎ 则有：，解得：x＜17．‎ 所以小方前5场比赛中总分的最大值应为：17×5-1＝84(分)．‎ ‎(3)由题意，小方在这10场比赛中得分至少为18×10+1＝181(分)．‎ 设他在第10场比赛中的得分为S．则有 ‎84+(22+15+12+19)+S≥181，解得S≥29．‎ 答：小方在第10场比赛中的得分的最小值为29分．‎ ‎14．【解析】‎ 解：(1)设购买甲种机器x台，乙种机器（6-x）台．‎ ‎ 由题意，得7x+5(6-x)≤34．‎ 解不等式，得x≤2，故x可以取0，l，2三个值，‎ 所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：‎ 方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；‎ 方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；‎ 方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；‎ ‎(2)按方案一购买机器，所耗资金为30万元，日生产量6×60＝360(个)；按方案二购买，所耗资金为1×7+5×5＝32（万元），日生产量为1×100+5×60＝400（个），按方案三购买，所耗资金为2×7+4×5＝34(万元)；日生产量为2×100+4×60＝440（个）．因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380（个），又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二．‎ ‎15．【解析】‎ 解：设该单位到杭州旅游的人数为x人，选择甲旅行社所需费用为元；选择乙旅行社所需费用为元，则 ‎，‎ ‎200(x-l)×0.8-160x-160，‎ ‎ ＝150x-160x+160＝160-10x．‎ ‎(1)若160-10x＞0，即x＜16时，；‎ ‎(2)若160-10x＝0，即x＝16时，；‎ ‎ (3)若l60-10x＜0，即x＞16时，．‎ ‎ ∴当旅游人数为16人时，选择甲、乙两旅行社中任何一家都行．‎ ‎ 当旅游人数在10～15人之间时，选择乙旅行社，‎ ‎ 当旅游人数在17～25人之间时，选择甲旅行社．‎ ‎ 16．【解析】‎ 解：(1)小杰继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间为(分钟)．‎ ‎(2)由题意，得，解得a＞20．所以a的取值范围为a＞‎ ‎20．‎