题库数学中考综合与实践探究

题库数学中考综合与实践探究

综合与实践探究 ‎1. 阅读材料：如图①，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用） （1）【理解与应用】 如图②，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为 .‎ ‎（2）【类比与推理】 如图③，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值； （3）【拓展与延伸】 如图④，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD交BD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ 第1题图 解：（1）;‎ ‎【解法提示】∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°． ∵AB=BC=2， ∴AC=2， ∴OA=． ‎ ‎∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE+PF=OA=;‎ （2） ‎∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°． ∵AB=4，AD=3， ∴BD=5， ∴OA=OB=OC=OD=． ∵PE∥OB，PF∥AO， ∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA, ∴，， ∴=1， ∴=1， ∴EP+FP=， 即PE+PF的值为； （3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值． 理由：连接OA、OB、OC、OD，如解图，‎ ‎ ‎ ‎ 第1题解图 ∵DG与⊙O相切， ∴∠GDA=∠ABD=30°． ‎ ‎∴∠AOD=2∠ABD=60°， ∵OA=OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OA=4， 同理可得：BC=4， ∵PE∥BC，PF∥AD， ∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA，‎ ‎∴,，‎ ‎∴=1， ∴=1，∴PE+PF=4，‎ ‎∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．‎ 2. 已知，在矩形ABCD中，AB=10 cm，AD=4 cm，作如下折叠操作．如图①和图②所示，在边AB上取点M，在边AD或边DC上取点P．连接MP．将△AMP或四边形AMPD沿着直线MP折叠得到△A′MP或四边形A′MPD′，点A的落点为点A′，点D的落点为点D′． 探究： （1）如图①，若AM=8 cm，点P在AD上，点A′落在DC上，则∠MA′C的度数为 ； （2）如图②，若AM=5 cm，点P在DC上，点A′落在DC上， ①求证：△MA′P是等腰三角形； ②直接写出线段DP的长； （3）若点M固定为AB中点，点P由A开始，沿A-D-C方向在AD，DC边上运动．设点P的运动速度为1 cm/s，运动时间为t s，按操作要求折叠． ①求：当MA′与线段DC有交点时，t的取值范围； ②直接写出当点A′到边AB的距离最大时，t的值； 发现： 若点 M在线段AB上移动，点P仍为线段AD或DC上的任意点．随着点M位置的不同，按操作要求折叠后，点A的落点A′的位置会出现以下三种不同的情况：不会落在线段DC上，只有一次落在线段DC上，会有两次落在线段DC上．请直接写出点A′有两次落在线段DC上时，AM的取值范围是 .‎ ‎ ‎ ‎ 第2题图 解：（1）如解图①，过点M作MN⊥DC交DC于点N， 第2题解图①‎ ‎∵四边形ABCD是矩形， ∴MN=BC=4， ∵将△AMP沿着直线MP折叠得到△A′MP， ∴AM=A′M=8=2MN， ∴在Rt△A′MN中，∠MA′C=30°； （2）①∵A′P与AM是矩形ABCD的对边CD，AB的一部分， ∴A′P∥AM， ∴∠A′PM =∠AMP， 由翻折的性质得：∠AMP =∠A′MP， ∴∠A′PM =∠A′MP， ∴A′P =A′M ‎， ∴△MA′P是等腰三角形； ②DP =3 cm.‎ ‎【解法提示】∵△MA′P是等腰三角形， ∴PM=AM=A′M=5 cm， ∵DA=4 cm， ∴DP=5-2=3cm， ∴线段DP的长是3 cm； （3）①当点P在AD上，点A′落在DC上时，如解图①所示， 过点M作MN⊥DC交DC于点N， 则四边形AMND为矩形，DN =AM =5 cm，MN =4 cm， 设AP为x cm，则由翻折的性质得： AM =A′M =5 cm，AP =A′P =x cm， 在Rt△A′MN中，A′N =＝3 cm， ∴DA′ =DN-A′N =5-3 =2 cm， 在Rt△A′PD中， A′P2=A′D2+PD2， 即：x2=22+（4-x）2， 解得：x=2.5，此时t=2.5 s； 当点P在DC上，点A′落在DC上时，如题图②， 可知DP=3 cm，此时，t=7 s， 当MA′与DC有交点时，t的取值范围是：2.5≤t≤7； ②当点A′到边AB的距离最大时， 即A′M⊥AB时，t的值为5 s； 发现：当点A的落点A′，在以M为圆心，MA为半径的圆上，当圆M与线段CD有唯一交点时，如解图②所示， ‎ ‎ 第2题解图②‎ 此时AM =4 cm； 当圆M交线段CD于点C时，如解图③所示， 第2题解图③‎ 此时AM =5.8 cm， 所以4＜AM≤5.8．‎ 下载路径：万唯教育官网→下载专区→万唯书外书→试题研究→河北