2017北京中考复习数学热点专题突破专题一动态几何与函数图象专题二图形变换

2017北京中考复习数学热点专题突破专题一动态几何与函数图象专题二图形变换

热点专题突破专题一 动态几何与函数图象专题二 图形变换 动态几何与函数图象问题是近年来中考的一个热点问题，解这类题目要“以静制 动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况.其考点 类型主要有两类，一是根据条件研究动元素的变化趋势(特殊位置)来判断函数图象；二 是根据条件求出函数关系式，由函数关系式判断函数图象或求相应变量的值.动态几何与 函数图象问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类. 典例诠释 1.动态几何与函数图象——根据条件研究动元素的变化趋势(特殊位置)来判断与函数图 象的对应关系 例 1 (2016·石景山一模)为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内 举行定向越野挑战赛.路线图如图 2-1-1①所示，点 E 为矩形 ABCD 边 AD 的中点，在矩 形 ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员 P 从点 B 出发，沿着 B－E－D 的路线匀速行进，到达点 D.设运动员 P 的运动时间为 t，到监测 点的距离为 y.现有 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2-1-1②所示，则这一信息的来源是 ( ) ① ② 图 2-1-1 A.监测点 A B.监测点 B C.监测点 C D.监测点 D 【答案】 C 【名师点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象，解答本题要注意依次判断各点位 置的可能性，分别假设这个监测点在点 A,B,C,D，然后结合函数图象的变化趋势进行判 断.利用排除法即可得出答案. 例 2 (2016·朝阳一模)如图 2-1-2①，在等边三角形 ABC 中，AB=2，G 是 BC 边上一个 动点且不与点 B,C 重合，H 是 AC 边上一点，且∠AGH=30°.设 BG=x，图中某条线段长 为 y，y 与 x 满足的函数关系的图象大致如图 2-1-2②所示，则这条线段可能是图中的 ( ) ① ② 图 2-1-2 A.线段 CG B.线段 AG C.线段 AH D.线段 CH 【答案】 D 【名师点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象，解答本题要注意依次判断各条线 段的可能性，分别假设线段 CG、线段 AG、线段 AH、线段 CH 长为 y，然后结合函数 图象的变化趋势进行判断.也可先根据函数图象上的特殊点的取值排除选项，然后再根据 图形变化趋势进行求解. 例 3 (2015·通州一模)如图 2-1-3，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为斜边 AB 的中点， 动点 P 从 B 点出发，沿 B→C→A 运动.如图 2-1-3①所示，设 =y，点 P 运动的路程 为 x，若 y 与 x 之间的函数图象如图 2-1-3②所示，则△ABC 的面积为( ) ① ② 图 2-1-3 A.4 B.6 C.12 D.14 【答案】 B 【名师点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象.由已知易得，动点 P 沿 B→C→A 运动过程中，△DBP 的面积底 BD 不变，BD 边上的高是先增大再减小，再结合图 2-1-3 ②易得 BC 值，AC 值，可计算△ABC 的面积. 例 4 (2015·顺义二模)如图 2-1-4，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的 位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动.如果设运动时间为 x，大小正方形重 叠部分的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( ) 图 2-1-4 A B C D 【答案】 C 【名师点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象.关键是理解图形运动过程中的几个 分界点.小正方形运动过程中，y 与 x 的函数关系为分段函数，即按照自变量 x 分为三段. 通过分析 y 随 x 的变化而变化的趋势及相应的自变量的取值范围解决问题. 例 5 (2015·海淀二模)如图 2-1-5 所示，点 Q 表示蜜蜂，它从点 P 出发，按照着箭头所 示的方向沿 P→A→B→P→C→D→P 的路径匀速飞行，此飞行路径是一个以直线 l 为对 称轴的轴对称图形，在直线 l 上的点 O 处(点 O 与点 P 不重合)利用仪器测量了∠POQ 的大小.设蜜蜂飞行时间为 x，∠POQ 的大小为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数 关系的图象大致是( ) 图 2-1-5 A B C D 【答案】 D 【名师点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象.本题关键先分析∠POQ 的增减情 况，再确定∠POQ 增大的过程用的时间要大于∠POQ 减小的过程用的时间.也可由轴对 称图形的定义看出图象为 C,D 中的一个，然后再根据∠POQ 大小与时间的变化得出答 案. 2.动态几何与函数图象——根据条件求出函数关系式，由函数关系式判断函数图象或求 相应变量的值 例 1 (2016·东城一模)如图 2-1-6，点 A 的坐标为(0,1)，点 B 是 x 轴正半轴上的一动点， 以 AB 为边作等腰 Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点 B 的横坐标为 x，设点 C 的纵坐标为 y，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( ) 图 2-1-6 A B C D 【答案】 A 【名师点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象.过点 C 作 CD⊥y 轴于点 D，可证 △CDA≌△BOA，从而可得 C 点的坐标 y 与 x 的函数关系，此题得解. 例 2 (2016·大兴一模)在五边形 ABCDE 中，∠B=90°，AB=BC=CD=1，AB∥CD，M 是 CD 边的中点，点 P 由点 A 出发，按 A→B→C→M 的顺序运动.设点 P 经过的路程 x 为 自变量，△APM 的面积为 y，则函数 y 的大致图象是( ) 图 2-1-7 A B C D 【答案】 A 【名师点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象.从点 P 的运动路径分析，分三段 考虑，①点 P 在 AB 上运动，②点 P 在 BC 上运动，③点 P 在 CM 上运动，分别求出 y 与 x 的函数表达式，继而可得出函数图象. 真题演练 1.(2015·北京)一个寻宝游戏的寻宝通道如图 2-1-8①所示，通道由在同一平面内的 AB， BC，CA，OA，OB，OC 组成.为记录寻宝者的进行路线，在 BC 的中点 M 处放置了一台 定位仪器，设寻宝者行进的时间为 x，寻宝者与定位仪器之间的距离为 y，若寻宝者匀 速行进，且表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2-1-8②所示，则寻宝者的行进路线 可能为( ) ① ② 图 2-1-8 A.A→O→B B.B→A→C C.B→O→C D.C→B→O 【答案】 C 2.(2014·北京)已知点 A 为某封闭图形边界上一定点，动点 P 从点 A 出发，沿其边界顺时 针匀速运动一周.设点 P 运动的时间为 x，线段 AP 的长为 y.表示 y 与 x 的函数关系的图 象大致如图 2-1-9，则该封闭图形可能是( ) 图 2-1-9 A B C D 【答案】 A 3.(2013·北京)如图 2-1-10，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设 弦 AP 的长为 x，△APO 的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大 致是( ) 图 2-1-10 A B C D 【答案】 A 4.(2012·北京)小翔在如图 2-1-11①所示的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示 方向经过点 B 跑到点 C，共用时 30 秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步 过程.设小翔跑步的时间为 t(单位：秒)，他与教练的距离为 y(单位：米)，表示 y 与 t 的 函数关系的图象大致如图 2-1-11②所示，则这个固定位置可能是图①中的( ) ① ② 图 2-1-11 A.点 M B.点 N C.点 P D.点 Q 【答案】 D 5.(2016·石景山二模)如图 2-1-12①，在等边△ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，点 P 为 AB 边上的一个动点，设 AP=x，图①中线段 DP 的长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的 图象如图 2-1-12②所示，则等边△ABC 的面积为( ) ① ② 图 2-1-12 A.4 B.2 C.12 D.4 【答案】 D 6.(2016·门头沟一模)如图 2-1-13，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是矩形，点 A(4，0)，C(0，3).直线 y=－ x 由原点开始向上平移，所得的直线 y=－ x+b 与矩形两边 分别交于 M,N 两点，设△OMN 面积为 S，那么能表示 S 与 b 函数关系的图象大致是 ( ) 图 2-1-13 A B C D 【答案】 B 专题二 图形变换 图形的平移、轴对称、旋转是近年中考的热点题型，它主要考查学生的观察与实验 能力、探索与实践能力，因此在解题时应注意：熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、 图形的旋转的基本性质和基本方法；结合具体问题大胆尝试，动手操作，探究发现其内 在规律是解答操作题的基本方法. 典例诠释 1.图形变换——平移 例 (2014·海淀二模)在△ABC 中，∠ABC=90°，D 为平面内一动点，AD=a，AC=b，其 中 a，b 为常数，且 a

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