2020年中考数学真题试题（含解析）（新版）新人教版

2020年中考数学真题试题（含解析）（新版）新人教版

‎2019年中考数学真题试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题四个选项中只有一项是正确的.‎ ‎1．（3.00分）﹣8的倒数是（　　）‎ A．8 B．﹣8 C． D．‎ ‎2．（3.00分）一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（　　）‎ A．2.18×106 B．2.18×105 C．21.8×106 D．21.8×105‎ ‎3．（3.00分）下列运算正确的是（　　）‎ A．2a﹣a=1 B．2a+b=2ab C．（a4）3=a7 D．（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5‎ ‎4．（3.00分）笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3.00分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　）‎ A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1‎ ‎6．（3.00分）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　）‎ A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3‎ ‎7．（3.00分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）‎ A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3‎ ‎8．（3.00分）下列命题中真命题是（　　）‎ A．=（）2一定成立 B．位似图形不可能全等 C．正多边形都是轴对称图形 D．圆锥的主视图一定是等边三角形 ‎9．（3.00分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（　　）‎ 26‎ A．24° B．28° C．33° D．48°‎ ‎10．（3.00分）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　）‎ A．16 B．18 C．20 D．24‎ ‎11．（3.00分）如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　）‎ A．6 B．3 C．2 D．4.5‎ ‎12．（3.00分）如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 26‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分 ‎13．（3.00分）若分式的值不存在，则x的值为　 　．‎ ‎14．（3.00分）因式分解：ax2﹣a=　 　．‎ ‎15．（3.00分）已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是　 　．‎ ‎16．（3.00分）如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若∠B′MD=50°，则∠BEF的度数为　 　．‎ ‎17．（3.00分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留π）．‎ ‎18．（3.00分）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（　 　）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（10.00分）（1）计算：|3﹣5|﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）﹣1+sin30°；‎ 26‎ ‎（2）解分式方程：+1=．‎ ‎20．（5.00分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．‎ ‎21．（6.00分）如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+4的图象交于A和B（6，n）两点．‎ ‎（1）求k和n的值；‎ ‎（2）若点C（x，y）也在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．‎ ‎22．（8.00分）为了增强学生的环保意识，某校组织了一次全校2000名学生都参加的“环保知识”考试，考题共10题．考试结束后，学校团委随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息解答以下问题：‎ ‎（1）本次抽查的样本容量是　 　；在扇形统计图中，m=　 　，n=　 　，“答对8题”所对应扇形的圆心角为　 　度；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ 26‎ ‎（3）请根据以上调查结果，估算出该校答对不少于8题的学生人数．‎ ‎23．（8.00分）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．‎ ‎（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？‎ ‎（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？‎ ‎24．（8.00分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD．‎ ‎（1）求证：BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=10，cos∠BAC=，求BD的长及⊙O的半径．‎ ‎25．（11.00分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式；‎ ‎（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．‎ ‎①求线段PM的最大值；‎ ‎②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．‎ ‎26．（10.00分）已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．‎ 26‎ ‎（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；‎ ‎（2）请利用如图1所示的情形，求证：=；‎ ‎（3）若AO=2，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．‎ ‎　‎ 26‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题四个选项中只有一项是正确的.‎ ‎1．（3.00分）﹣8的倒数是（　　）‎ A．8 B．﹣8 C． D．‎ ‎【分析】根据倒数的定义作答．‎ ‎【解答】解：﹣8的倒数是﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（3.00分）一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（　　）‎ A．2.18×106 B．2.18×105 C．21.8×106 D．21.8×105‎ ‎【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值取决于原数变成a时，小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将数据2180000用科学记数法表示为2.18×106．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（3.00分）下列运算正确的是（　　）‎ A．2a﹣a=1 B．2a+b=2ab C．（a4）3=a7 D．（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5‎ ‎【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法的计算法则解答．‎ ‎【解答】解：A、2a﹣a=a，故本选项错误；‎ B、2a与b不是同类项，不能合并，故本选项错误；‎ C、（a4）3=a12，故本选项错误；‎ D、（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5，故本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（3.00分）笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（　　）‎ 26‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由标有1﹣10的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，利用概率公式计算可得．‎ ‎【解答】解：∵在标有1﹣10的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，‎ ‎∴抽到编号是3的倍数的概率是，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（3.00分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　）‎ A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1‎ ‎【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．‎ ‎【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，‎ ‎∴1+m=3、1﹣n=2，‎ 解得：m=2、n=﹣1，‎ 所以m+n=2﹣1=1，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（3.00分）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　）‎ A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3‎ ‎【分析】据根与系数的关系α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，‎ ‎∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，‎ ‎∴α+β﹣αβ=﹣1﹣2=﹣3，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 26‎ ‎7．（3.00分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）‎ A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3‎ ‎【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：∵不等式组无解，‎ ‎∴a﹣4≥3a+2，‎ 解得：a≤﹣3，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（3.00分）下列命题中真命题是（　　）‎ A．=（）2一定成立 B．位似图形不可能全等 C．正多边形都是轴对称图形 D．圆锥的主视图一定是等边三角形 ‎【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得．‎ ‎【解答】解：A、=（）2当a＜0不成立，假命题；‎ B、位似图形在位似比为1时全等，假命题；‎ C、正多边形都是轴对称图形，真命题；‎ D、圆锥的主视图一定是等腰三角形，假命题；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（3.00分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（　　）‎ A．24° B．28° C．33° D．48°‎ ‎【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠‎ 26‎ OBC，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵∠A=66°，‎ ‎∴∠COB=132°，‎ ‎∵CO=BO，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC=（180°﹣132°）=24°，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（3.00分）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　）‎ A．16 B．18 C．20 D．24‎ ‎【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值．‎ ‎【解答】解：∵EF∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△ABC，‎ ‎∵AB=3AE，‎ ‎∴AE：AB=1：3，‎ ‎∴S△AEF：S△ABC=1：9，‎ 设S△AEF=x，‎ ‎∵S四边形BCFE=16，‎ ‎∴=，‎ 解得：x=2，‎ ‎∴S△ABC=18，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．（3.00分）如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　）‎ 26‎ A．6 B．3 C．2 D．4.5‎ ‎【分析】作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，由PE+PM=PE′+PM=E′M知点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，利用S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M求二级可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，‎ 则点P、M即为使PE+PM取得最小值，‎ 其PE+PM=PE′+PM=E′M，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴点E′在CD上，‎ ‎∵AC=6，BD=6，‎ ‎∴AB==3，‎ 由S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M得×6×6=3•E′M，‎ 解得：E′M=2，‎ 即PE+PM的最小值是2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（3.00分）如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙‎ 26‎ D相切．其中正确结论的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B坐标，由抛物线的对称性即可判定；‎ ‎②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，‎ ‎③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；‎ ‎④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定．‎ ‎【解答】解：∵在y=（x+2）（x﹣8）中，当y=0时，x=﹣2或x=8，‎ ‎∴点A（﹣2，0）、B（8，0），‎ ‎∴抛物线的对称轴为x==3，故①正确；‎ ‎∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）=10，即半径为5，‎ ‎∴⊙D的面积为25π，故②错误；‎ 在y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4中，当x=0时y=﹣4，‎ ‎∴点C（0，﹣4），‎ 当y=﹣4时，x2﹣x﹣4=﹣4，‎ 解得：x1=0、x2=6，‎ 所以点E（6，﹣4），‎ 则CE=6，‎ ‎∵AD=3﹣（﹣2）=5，‎ ‎∴AD≠CE，‎ ‎∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；‎ 26‎ ‎∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，‎ ‎∴点M（3，﹣），‎ 设直线CM解析式为y=kx+b，‎ 将点C（0，﹣4）、M（3，﹣）代入，得：，‎ 解得：，‎ 所以直线CM解析式为y=﹣x﹣4；‎ 设直线CD解析式为y=mx+n，‎ 将点C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得：，‎ 解得：，‎ 所以直线CD解析式为y=x﹣4，‎ 由﹣×=﹣1知CM⊥CD于点C，‎ ‎∴直线CM与⊙D相切，故④正确；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分 ‎13．（3.00分）若分式的值不存在，则x的值为　﹣1　．‎ ‎【分析】直接利用分是有意义的条件得出x的值，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：若分式的值不存在，‎ 则x+1=0，‎ 解得：x=﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．（3.00分）因式分解：ax2﹣a=　a（x+1）（x﹣1）　．‎ ‎【分析】首先提公因式a，再利用平方差进行二次分解即可．‎ 26‎ ‎【解答】解：原式=a（x2﹣1）=a（x+1）（x﹣1）．‎ 故答案为：a（x+1）（x﹣1）．‎ ‎　‎ ‎15．（3.00分）已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是　5.5　．‎ ‎【分析】先判断出x，y中至少有一个是5，再用平均数求出x+y=11，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵一组数据4，x，5，y，7，9的众数为5，‎ ‎∴x，y中至少有一个是5，‎ ‎∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，‎ ‎∴（4+x+5+y+7+9）=6，‎ ‎∴x+y=11，‎ ‎∴x，y中一个是5，另一个是6，‎ ‎∴这组数为4，5，5，6，7，9，‎ ‎∴这组数据的中位数是（5+6）=5.5，‎ 故答案为：5.5．‎ ‎　‎ ‎16．（3.00分）如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若∠B′MD=50°，则∠BEF的度数为　70°　．‎ ‎【分析】设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，依据∠EFC=∠EFC'，即可得到180°﹣α=40°+α，进而得出∠BEF的度数．‎ ‎【解答】解：∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°，‎ ‎∴∠C'FM=40°，‎ 设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，‎ 由折叠可得，∠EFC=∠EFC'，‎ ‎∴180°﹣α=40°+α，‎ ‎∴α=70°，‎ 26‎ ‎∴∠BEF=70°，‎ 故答案为：70°．‎ ‎　‎ ‎17．（3.00分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为　4π　（结果保留π）．‎ ‎【分析】由将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，可得△ABC≌△A′BC′，由题给图可知：S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′可得出阴影部分面积．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，‎ ‎∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，AC=2．‎ ‎∵将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，‎ ‎∴△ABC≌△A′BC′，‎ ‎∴∠ABA′=120°=∠CBC′，‎ ‎∴S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′‎ ‎=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′‎ ‎=﹣‎ ‎=﹣‎ ‎=4π．‎ 故答案为4π．‎ ‎　‎ ‎18．（3.00分）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（　2n﹣1，0　）．‎ 26‎ ‎【分析】依据直线l为y=x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，可得A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，依据规律可得点An的坐标为（2n﹣1，0）．‎ ‎【解答】解：∵直线l为y=x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，‎ ‎∴当x=1时，y=，‎ 即B1（1，），‎ ‎∴tan∠A1OB1=，‎ ‎∴∠A1OB1=60°，∠A1B1O=30°，‎ ‎∴OB1=2OA1=2，‎ ‎∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，‎ ‎∴A2（2，0），‎ 同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，‎ ‎∴点An的坐标为（2n﹣1，0），‎ 故答案为：2n﹣1，0．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（10.00分）（1）计算：|3﹣5|﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）﹣1+sin30°；‎ ‎（2）解分式方程：+1=．‎ ‎【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算加减可得；‎ ‎（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：（1）原式=5﹣3﹣1﹣+=1；‎ ‎（2）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2），得：4+（x+2）（x﹣2）=x+2，‎ 整理，得：x2﹣x﹣2=0，‎ 26‎ 解得：x1=﹣1，x2=2，‎ 检验：当x=﹣1时，（x+2）（x﹣2）=﹣3≠0，‎ 当x=2时，（x+2）（x﹣2）=0，‎ 所以分式方程的解为x=﹣1．‎ ‎　‎ ‎20．（5.00分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．‎ ‎【分析】根据作一个角等于已知角，线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎△ABC为所求作 ‎　‎ ‎21．（6.00分）如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+4的图象交于A和B（6，n）两点．‎ ‎（1）求k和n的值；‎ ‎（2）若点C（x，y）也在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．‎ 26‎ ‎【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；‎ ‎（2）由k=6＞0结合反比例函数的性质，即可求出：当2≤x≤6时，1≤y≤3．‎ ‎【解答】解：（1）当x=6时，n=﹣×6+4=1，‎ ‎∴点B的坐标为（6，1）．‎ ‎∵反比例函数y=过点B（6，1），‎ ‎∴k=6×1=6．‎ ‎（2）∵k=6＞0，‎ ‎∴当x＞0时，y随x值增大而减小，‎ ‎∴当2≤x≤6时，1≤y≤3．‎ ‎　‎ ‎22．（8.00分）为了增强学生的环保意识，某校组织了一次全校2000名学生都参加的“环保知识”考试，考题共10题．考试结束后，学校团委随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息解答以下问题：‎ ‎（1）本次抽查的样本容量是　50　；在扇形统计图中，m=　16　，n=　30　，“答对8题”所对应扇形的圆心角为　86.4　度；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）请根据以上调查结果，估算出该校答对不少于8题的学生人数．‎ ‎【分析】（1）先读图，根据图形中的信息逐个求出即可；‎ 26‎ ‎（2）求出人数，再画出即可；‎ ‎（3）根据题意列出算式，再求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）5÷10%=50（人），‎ 本次抽查的样本容量是50，‎ ‎=0.16=16%，1﹣10%﹣16%﹣24%﹣20%=30%，‎ 即m=16，n=30，‎ ‎360°×=86.4°，‎ 故答案为：50，16，30，86.4；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）2000×（24%+20%+30%）=1480（人），‎ 答：该校答对不少于8题的学生人数是1480人．‎ ‎　‎ ‎23．（8.00分）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．‎ ‎（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？‎ ‎（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？‎ ‎【分析】（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少量，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，‎ 26‎ 根据题意得：，‎ 解得：．‎ 答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．‎ ‎（2）∵要使每位学生都有座位，‎ ‎∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5﹣1=4辆．‎ ‎220×6=1320（元），300×4=1200（元），‎ ‎∵1320＞1200，‎ ‎∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．‎ ‎　‎ ‎24．（8.00分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD．‎ ‎（1）求证：BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=10，cos∠BAC=，求BD的长及⊙O的半径．‎ ‎【分析】（1）如图1，作直径BE，半径OC，证明四边形ABDC是平行四边形，得∠A=∠D，由等腰三角形的性质得：∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，可得∠EBD=90°，所以BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图2，根据三角函数设EC=3x，EB=5x，则BC=4x根据AB=BC=10=4x，得x的值，求得⊙O的半径为，作高线CG，根据等腰三角形三线合一得BG=DG，根据三角函数可得结论．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，作直径BE，交⊙O于E，连接EC、OC，‎ 则∠BCE=90°，‎ ‎∴∠OCE+∠OCB=90°，‎ ‎∵AB∥CD，AB=CD，‎ ‎∴四边形ABDC是平行四边形，‎ ‎∴∠A=∠D，‎ ‎∵OE=OC，‎ 26‎ ‎∴∠E=∠OCE，‎ ‎∵BC=CD，‎ ‎∴∠CBD=∠D，‎ ‎∵∠A=∠E，‎ ‎∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB，‎ ‎∴∠OBC+∠CBD=90°，‎ 即∠EBD=90°，‎ ‎∴BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图2，∵cos∠BAC=cos∠E=，‎ 设EC=3x，EB=5x，则BC=4x，‎ ‎∵AB=BC=10=4x，‎ x=，‎ ‎∴EB=5x=，‎ ‎∴⊙O的半径为，‎ 过C作CG⊥BD于G，‎ ‎∵BC=CD=10，‎ ‎∴BG=DG，‎ Rt△CGD中，cos∠D=cos∠BAC=，‎ ‎∴，‎ ‎∴DG=6，‎ ‎∴BD=12．‎ 26‎ ‎　‎ ‎25．（11.00分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式；‎ ‎（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．‎ ‎①求线段PM的最大值；‎ ‎②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；‎ ‎（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；‎ ‎②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．‎ 26‎ ‎【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得 ‎，‎ 解得，‎ 这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）设BC的解析是为y=kx+b，‎ 将B，C的坐标代入函数解析式，得 ‎，‎ 解得，‎ BC的解析是为y=x﹣3，‎ 设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），‎ PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，‎ 当n=时，PM最大=；‎ ‎②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，‎ 解得n1=0（不符合题意，舍），n2=﹣（不符合题意，舍），n3=，‎ n2﹣2n﹣3=2﹣2﹣3=﹣2﹣1，‎ P（，﹣2﹣1）．‎ 当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，‎ 解得n1=0（不符合题意，舍），n2=﹣7（不符合题意，舍），n3=1，‎ n2﹣2n﹣3=1﹣2﹣3=﹣4，‎ P（1，﹣4）；‎ 综上所述：P（1，﹣4）或（，﹣2﹣1）．‎ ‎　‎ ‎26．（10.00分）已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．‎ 26‎ ‎（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；‎ ‎（2）请利用如图1所示的情形，求证：=；‎ ‎（3）若AO=2，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．‎ ‎【分析】（1）先证明四边形OCBM是平行四边形，由于∠BMO=90°，所以▱OCBM是矩形，最后直角三角形斜边上的中线的性质即可证明四边形OCBM是正方形；‎ ‎（2）连接AP、OB，由于∠ABP=∠AOP=90°，所以A、B、O、P四点共圆，从而利用圆周角定理可证明∠APB=∠OBM，所以△APB∽△OBM，利用相似三角形的性质即可求出答案．‎ ‎（3）由于点P的位置不确定，故需要分情况进行讨论，共两种情况，第一种情况是点P在O的左侧时，第二种情况是点P在O的右侧时，然后利用四点共圆、相似三角形的判定与性质，勾股定理即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵2BM=AO，2CO=AO ‎∴BM=CO，‎ ‎∵AO∥BM，‎ ‎∴四边形OCBM是平行四边形，‎ ‎∵∠BMO=90°，‎ ‎∴▱OCBM是矩形，‎ ‎∵∠ABP=90°，C是AO的中点，‎ ‎∴OC=BC，‎ ‎∴矩形OCBM是正方形．‎ ‎（2）连接AP、OB，‎ ‎∵∠ABP=∠AOP=90°，‎ ‎∴A、B、O、P四点共圆，‎ 由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，‎ ‎∵AO∥BM，‎ ‎∴∠AOB=∠OBM，‎ 26‎ ‎∴∠APB=∠OBM，‎ ‎∴△APB∽△OBM，‎ ‎∴‎ ‎（3）当点P在O的左侧时，如图所示，‎ 过点B作BD⊥AO于点D，‎ 易证△PEO∽△BED，‎ ‎∴‎ 易证：四边形DBMO是矩形，‎ ‎∴BD=MO，OD=BM ‎∴MO=2PO=BD，‎ ‎∴，‎ ‎∵AO=2BM=2，‎ ‎∴BM=，‎ ‎∴OE=，DE=，‎ 易证△ADB∽△ABE，‎ ‎∴AB2=AD•AE，‎ ‎∵AD=DO=DM=，‎ ‎∴AE=AD+DE=‎ ‎∴AB=，‎ 由勾股定理可知：BE=，‎ 易证：△PEO∽△PBM，‎ ‎∴=，‎ ‎∴PB=‎ 当点P在O的右侧时，如图所示，‎ 过点B作BD⊥OA于点D，‎ ‎∵MO=2PO，‎ ‎∴点P是OM的中点，‎ 26‎ 设PM=x，BD=2x，‎ ‎∵∠AOM=∠ABP=90°，‎ ‎∴A、O、P、B四点共圆，‎ ‎∴四边形AOPB是圆内接四边形，‎ ‎∴∠BPM=∠A，‎ ‎∴△ABD∽△PBM，‎ ‎∴，‎ 又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM，‎ ‎∴AD=BM=，‎ ‎∴=，‎ 解得：x=，‎ ‎∴BD=2x=2‎ 由勾股定理可知：AB=3，BM=3‎ ‎　‎ 26‎