数学选修2-2习题,复数占大部分,历届高考题,答案解析

数学选修2-2习题,复数占大部分,历届高考题,答案解析

（数学选修2-2）第一章导数及其应用[基础训练A组]一、选择题1．若函数在区间内可导，且则的值为（）A．B．C．D．2．一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．米/秒3．函数的递增区间是（）A．B．C．D．4．,若,则的值等于（）A．B．C．D．5．函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．必要非充分条件6．函数在区间上的最小值为（）A．B．C．D．1．B2．C3．C对于任何实数都恒成立4．D5．D对于不能推出在取极值，反之成立6．D得而端点的函数值，得二、填空题1．若，则的值为_________________；2．曲线在点处的切线倾斜角为__________；n3．函数的导数为_________________；4．曲线在点处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；1．2．3．4．5．5．函数的单调递增区间是___________________________。三、解答题1．求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。解：设切点为，函数的导数为切线的斜率，得，代入到得，即，。2．求函数的导数。解：3．求函数在区间上的最大值与最小值。解：,当得，或，或，∵，，列表:++↗↗[综合训练B组]一、选择题1．函数有（）A．极大值，极小值B．极大值，极小值C．极大值，无极小值D．极小值，无极大值n2．若，则（）A．B．C．D．3．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A．B．C．和D．和4．与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则与满足（）A．B．为常数函数C．D．为常数函数5．函数单调递增区间是（）A．B．C．D．6．函数的最大值为（）1．C，当时，；当时，当时，；取不到，无极小值2．D3．C设切点为，，把，代入到得；把，代入到得，所以和4．B,的常数项可以任意5．C令6．A令，当时，；当时，，，在定义域内只有一个极值，所以A．B．C．D．二、填空题1．函数在区间上的最大值是。2．函数的图像在处的切线在x轴上的截距为________________。3．函数的单调增区间为，单调减区间为___________________。4．若在增函数，则的关系式为是。5．函数在时有极值，那么的值分别为________。n1．，比较处的函数值，得2．3．4．恒成立，则5．，当时，不是极值点三、解答题1．已知曲线与在处的切线互相垂直，求的值。解：。2．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？解：设小正方形的边长为厘米，则盒子底面长为，宽为，（舍去），在定义域内仅有一个极大值，3．已知的图象经过点，且在处的切线方程是（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间。解：（1）的图象经过点，则，切点为，则的图象经过点得（2）单调递增区间为n4．平面向量，若存在不同时为的实数和，使且，试确定函数的单调区间。解：由得[提高训练C组]一、选择题1．若,则等于（）A．B．C．D．2．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（）3．已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）A．B.C.D.5．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A．B．C．D．6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）A．个B．个C．个D．个1．A2．A对称轴，直线过第一、三、四象限3．B在恒成立，4．C当时，，函数在上是增函数；当时，，在上是减函数，故当时取得最小值，即有得n5．A与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为，而，所以在处导数为，此点的切线为6．A极小值点应有先减后增的特点，即二、填空题1．若函数在处有极大值，则常数的值为_________；2．函数的单调增区间为。3．设函数，若为奇函数，则=__________4．设，当时，恒成立，则实数的取值范围为。5．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是　　1．，时取极小值2．对于任何实数都成立3．要使为奇函数，需且仅需，即：。又，所以只能取，从而。4．时，5．，令，求出切线与轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前项和三、解答题1．求函数的导数。解：。2．求函数的值域。解：函数的定义域为，当时，，即是函数的递增区间，当时，所以值域为。n3．已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。解：（1）由，得，函数的单调区间如下表：极大值¯极小值所以函数的递增区间是与,递减区间是；（2），当时，为极大值，而，则为最大值，要使恒成立，则只需要，得。4．已知,，是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是，若存在，求出，若不存在，说明理由.解：设∵在上是减函数，在上是增函数∴在上是减函数，在上是增函数.∴∴解得经检验，时，满足题设的两个条件.（数学选修2-2）第二章推理与证明[基础训练A组]一、选择题1．数列…中的等于（）A．B．C．D．2．设则（）A．都不大于B．都不小于C．至少有一个不大于D．至少有一个不小于3．已知正六边形，在下列表达式①；②；③；④中，与等价的有（）A．个B．个C．个D．个4．函数内（）A．只有最大值B．只有最小值C．只有最大值或只有最小值D．既有最大值又有最小值n5．如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（）A．B．C．D．6．若，则（）A．B．C．D．7．函数在点处的导数是()A．B．C．D．1．B推出2．D，三者不能都小于3．D①；②③；④，都是对的4．D，已经历一个完整的周期，所以有最大、小值5．B由知道C不对，举例6．C7．D二、填空题1．从中得出的一般性结论是_____________。2．已知实数，且函数有最小值，则=__________。3．已知是不相等的正数，，则的大小关系是_________。1．注意左边共有项2．有最小值，则，对称轴，即3．三、解答题1．观察（1）（2）由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。若都不是，且，则n2．设函数中，均为整数，且均为奇数。求证：无整数根。证明：假设有整数根，则而均为奇数，即为奇数，为偶数，则同时为奇数‘或同时为偶数，为奇数，当为奇数时，为偶数；当为偶数时，也为偶数，即为奇数，与矛盾。无整数根。3．的三个内角成等差数列，求证：证明：要证原式，只要证即只要证而4．设图像的一条对称轴是.（1）求的值；（2）求的增区间；（3）证明直线与函数的图象不相切。解：（1）由对称轴是，得，而，所以（2），增区间为（3），即曲线的切线的斜率不大于，而直线的斜率，即直线不是函数的切线。[综合训练B组]一、选择题1．函数，若则的所有可能值为（）A．B．C．D．2．函数在下列哪个区间内是增函数（）A．B．C．D．3．设的最小值是（）nA．B．C．－3D．4．下列函数中,在上为增函数的是（）A．B．C．D．5．设三数成等比数列，而分别为和的等差中项，则（）A．B．C．D．不确定6．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：十六进制01234567十进制01234567十六进制89ABCDEF十进制89101112131415例如，用十六进制表示,则（）A．B．C．D．1．C，当时，；当时，2．B令，由选项知3．C令4．B，B中的恒成立5．B，6．A二、填空题1．若等差数列的前项和公式为，则=_______，首项=_______；公差=_______。2．若，则。3．设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值是________________。4．设函数是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称，则5．设(是两两不等的常数),则的值是______________.1．，其常数项为，即，2．而3．4．，都是5．，，n三、解答题1．已知：通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明。解：一般性的命题为证明：左边2．计算：解：3．直角三角形的三边满足，分别以三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为n，请比较的大小。解：因为，则4．已知均为实数，且，求证：中至少有一个大于。证明：假设都不大于，即，得，而，即，与矛盾，中至少有一个大于。[提高训练C组]一、选择题1．若则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．如图是函数的大致图象，则等于（）xX2A．B．C．D．O2X113．设，则（）A．B．C．D．4．将函数的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭的平面图形的面积是（）A．B．C．D．5．若是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过△的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心6．设函数，则的值为（）A.B.C.中较小的数D.中较大的数7．关于的方程有实根的充要条件是（）A．B．C．D．1．B令，不能推出；反之2．C函数图象过点，得，则，，且是函数的两个极值点，即是方程的实根3．B，，即4．D画出图象，把轴下方的部分补足给上方就构成一个完整的矩形5．B是的内角平分线6．D7．D令，则原方程变为，方程有实根的充要条件是方程在上有实根再令，其对称轴，则方程在上有一实根，另一根在以外，因而舍去，即n二、填空题1．在数列中，，则2．过原点作曲线的切线，则切点坐标是______________,切线斜率是_________。3．若关于的不等式的解集为，则的范围是____4．，经计算的，推测当时，有__________________________.5．若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出1．2．设切点，函数的导数，切线的斜率切点3．，即，4．5．n三、解答题1．已知求证：证明：，2．求证：质数序列……是无限的证明：假设质数序列是有限的，序列的最后一个也就是最大质数为，全部序列为再构造一个整数，显然不能被整除，不能被整除，……不能被整除，即不能被中的任何一个整除，所以是个质数，而且是个大于的质数，与最大质数为矛盾，即质数序列……是无限的3．在中，猜想的最大值，并证明之。证明：n当且仅当时等号成立，即所以当且仅当时，的最大值为所以4．用数学归纳法证明，证明：当时，左边，右边，即原式成立假设当时，原式成立，即当时，即原式成立，（数学选修2-2）第三章复数[基础训练A组]一、选择题1．下面四个命题(1)比大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3)的充要条件为(4)如果让实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是（）A．B．C．D．2．的虚部为()A．B．C．D．3．使复数为实数的充分而不必要条件是由()A．B．C．为实数D．为实数4．设则的关系是()A．B．C．D．无法确定5．的值是()A．B．C．D．6．已知集合的元素个数是()A.B.C.D.无数个n1．A(1)比大，实数与虚数不能比较大小；（2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；（3）的充要条件为是错误的，因为没有表明是否是实数；（4）当时，没有纯虚数和它对应2．D，虚部为3．B；，反之不行，例如；为实数不能推出，例如；对于任何，都是实数4．A5．C6．B二、填空题1.如果是虚数，则中是虚数的有_______个，是实数的有个，相等的有组.2.如果,复数在复平面上的对应点在象限.3.若复数是纯虚数,则=.4.设若对应的点在直线上,则的值是.5.已知则=.6.若,那么的值是.7.计算.1．四个为虚数；五个为实数；三组相等2．三，3．4．5．6．7．记n三、解答题1．设复数满足,且是纯虚数,求.解：设，由得；是纯虚数，则，2．已知复数满足:求的值.解：设，而即则[综合训练B组]一、选择题1．若是().A．纯虚数B．实数C．虚数D．不能确定2．若有分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合=().A．B．C．D．3．的值是().A．B．C．D．4．若复数满足,则的值等于()A．B．C．D．5．已知,那么复数在平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知,则等于()A．B．C．D．7．若,则等于()A．B．C．D．8．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数;(2)满足的复数的轨迹是椭圆;(3)若,则其中正确命题的序号是()A.B.C.D.n1．B2．B3．D4．C，5．A6．C7．B8．C二、填空题1．若，其中、，使虚数单位，则_________。2．若,，且为纯虚数，则实数的值为．3．复数的共轭复数是_________。4．计算__________。5．复数的值是___________。6．复数在复平面内，所对应的点在第________象限。7．已知复数复数则复数__________.8．计算______________。9．若复数（，为虚数单位位）是纯虚数，则实数的值为___________。10．设复数若为实数，则_____________1．2．3．4．5．6．二7．8．9．10．n卷一：一、选择题1．(2009·山东)复数等于(　　)A．1＋2i　　　B．1－2i　　　C．2＋i　　　D．2－i答案：C解析：＝＝＝2＋i.故选C.2．(2009·宁夏、海南)复数－＝(　　)A．0B．2C．－2iD．2i答案：D解析：－＝－＝－＝i＋i＝2i.3．(2009·陕西)已知z是纯虚数，是实数，那么z等于(　　)A．2iB．iC．－iD．－2i答案：D解析：由题意得z＝ai.(a∈R且a≠0)．∴＝＝，则a＋2＝0，∴a＝－2.有z＝－2i，故选D.4．(2009·武汉市高三年级2月调研考试)若f(x)＝x3－x2＋x－1，则f(i)＝(　　)A．2i　　　　B．0　　　　C．－2i　　　D．－2答案：B解析：依题意，f(i)＝i3－i2＋i－1＝－i＋1＋i－1＝0，选择B.5．(2009·北京朝阳4月)复数z＝(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：z＝＝－i，它对应的点在第四象限，故选D.6．(2009·北京东城3月)若将复数表示为a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式，则的值为(　　)A．－2B．－C．2D.答案：A解析：＝1－2i，把它表示为a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式，则的值为－2，故选A.7．(2009·北京西城4月)设i是虚数单位，复数z＝tan45°－i·sin60°，则z2等于(　　)A.－iB.－iC.＋iD.＋i答案：B解析：z＝tan45°－i·sin60°＝1－i，z2＝－i，故选B.n8．(2009·黄冈中学一模)过原点和－i在复平面内对应的直线的倾斜角为(　　)A.B．－C.πD.π答案：D解析：－i对应的点为(，－1)，所求直线的斜率为－，则倾斜角为π，故选D.9．设a、b、c、d∈R，若为实数，则(　　)A．bc＋ad≠0B．bc－ad≠0C．bc－ad＝0D．bc＋ad＝0答案：C解析：因为＝＝＋i，所以由题意有＝0⇒bc－ad＝0.10．已知复数z＝1－2i，那么＝(　　)A.＋iB.－iC.＋iD.－i答案：D解析：由z＝1－2i知＝1＋2i，于是＝＝＝－i.故选D.11．已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是实数，则实数b的值为(　　)A．6B．－6C．0D.答案：A解析：＝＝＝是实数，则实数b的值为6，故选A.12．(2009·广东)设z是复数，α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，α(i)＝(　　)A．2B．4C．6D．8答案：B解析：α(i)表示in＝1的最小正整数n，因i4k＝1(k∈N*)，显然n＝4，即α(i)＝4.故选B.13．若z＝＋i，且(x－z)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a2等于(　　)A．－＋iB．－3＋3iC．6＋3iD．－3－3i答案：B解析：∵Tr＋1＝Cx4－r(－z)r，由4－r＝2得r＝2，∴a2＝C(－z)2＝6×(－－i)2＝－3＋3i.故选B.14．若△ABC是锐角三角形，则复数z＝(cosB－sinA)＋i(sinB－cosA)对应的点位于(　　)nA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B解析：∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＞90°，B＞90°－A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，∴cosB－sinA＜0，sinB－cosA＞0，∴z对应的点在第二象限．15．如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于(　　)A.B.C．－D．2答案：C解析：＝＝＋i由＝－得b＝－.16．设函数f(x)＝－x5＋5x4－10x3＋10x2－5x＋1，则f(＋i)的值为(　　)A．－＋iB.－iC.＋iD．－＋i答案：C解析：∵f(x)＝－(x－1)5∴f(＋i)＝－(＋i－1)5＝－ω5(其中ω＝－＋i)＝－＝－(－－i)＝＋i.17．若i是虚数单位，则满足(p＋qi)2＝q＋pi的实数p，q一共有(　　)A．1对B．2对C．3对D．4对答案：D解析：由(p＋qi)2＝q＋pi得(p2－q2)＋2pqi＝q＋pi，所以解得或或或因此满足条件的实数p，q一共有4对．总结评述：本题主要考查复数的基本运算，解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决，解答中要特别注意不要出现漏解现象，如由2pq＝p应得到p＝0或q＝.18．已知(－)6的展开式中，不含x的项是，那么正数p的值是(　　)A．1　　B．2　　C．3　　D．4答案：C解析：由题意得：C··22＝，求得p＝3.故选C.总结评述：本题考查二项式定理的展开式，注意搭配展开式中不含x的项，即找常数项．19．复数z＝－lg(x2＋2)－(2x＋2－x－1)i(x∈R)在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限nC．第三象限D．第四象限答案：C解析：本题考查复数与复平面上的点之间的关系，复数与复平面上的点是一一对应的关系，即z＝a＋bi，与复平面上的点Z(a，b)对应，由z＝－lg(x2＋2)－(2x＋2－x－1)i(x∈R)知：a＝－lg(x2＋2)＜0，又2x＋2－x－1≥2－1＝1＞0；∴－(2x＋2－x－1)＜0，即b＜0.∴(a，b)应为第三象限的点，故选C.20．设复数z＋i(z∈C)在映射f下的象为复数z的共轭复数与i的积，若复数ω在映射f下的象为－1＋2i，则相应的ω为(　　)A．2B．2－2iC．－2＋iD．2＋i答案：A解析：令ω＝a＋bi，a，b∈R，则ω＝[a＋(b－1)i]＋i，∴映射f下ω的象为[a－(b－1)i]·i＝(b－1)＋ai＝－1＋2i.∴解得∴ω＝2.二、填空题21．(2009·崇文3月)已知z是复数，i是虚数单位，若(1－i)z＝2i，则z＝________.答案：－1＋i解析：(1－i)z＝2i，z＝＝－1＋i.22．(2009·上海)若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数＝________.答案：i解析：z＝＝＝－i，∴＝i.23．(2009·江苏)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．答案：－20解析：(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，故(z1－z2)i的实部为－20.24．(2009·海淀4月)在复平面内，复数(a∈R)对应的点位于虚轴上，则a＝________.答案：0解析：＝a－i，由于它对应的点在虚轴上，则a＝0.25．(2009·安徽宿州二中模拟考三)i是虚数单位，则1＋Ci＋Ci2＋Ci3＋Ci4＋Ci5＋Ci6＝________.答案：－8i解析：1＋Ci＋Ci2＋Ci3＋Ci4＋Ci5＋Ci6＝(1＋i)6＝[(1＋i)2]3＝(2i)3＝－8i.三、解答题26．(本小题满分10分)计算下列问题：(1)＋－；(2)(－－i)12＋()8.分析：对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式是知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅速简捷、少出错的效果．比如(1±i)2＝±2i，＝－i，＝i，＝－i，＝b－ai，(－±i)3＝1，(±i)3＝－1等等．解析：(1)原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＝8＋8－16－16i＝－16i.n(2)(－－i)12＋()8＝i12·(－＋i)12＋8＝[(－＋i)3]4＋＝1－(2i)4(－i)＝1－8＋8i＝－7＋8i.27．(本小题满分10分)求同时满足下列两个条件的所有复数z；(1)1＜z＋≤6；(2)z的实部和虚部都是整数．解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋＝＋i.∵1＜z＋≤6，∴由①得y＝0或x2＋y2＝10，将y＝0代入②得1＜＋x≤6，与＋x≥2＞6(x＞0)矛盾，∴y≠0.将x2＋y2＝10代入②得＜x≤3.又x，y为整数，∴或故z＝1±3i或z＝3±i.28．(本小题满分10分)已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a＞0、b＞0)且3z＋z＝0，求z1和z2.解析：∵3z＋z＝0，∴()2＝－3，即＝±i.∴z2＝±iz1.当z2＝iz1时，得－3b＋(b＋2)i＝i[a＋(a＋1)i]＝－(a＋1)＋ai.由复数相等的条件，知∴∴z1＝＋3i，z2＝－3＋3i.当z2＝－iz1时，得－3b＋(b＋2)i＝(a＋1)－ai，由复数相等的条件，知∴∵已知a，b∈(0，＋∞)，∴此时适合条件的a，b不存在．∴z1＝＋3i，z2＝－3＋3i.卷二：§11.1数系的扩充与复数的概念一、知识导学1.复数：形如的数（），复数通常有小写字母表示，即,其中叫做复数的实部、n叫做复数的虚部，称做虚数单位.1.分类：复数()中，当时，就是实数；除了实数以外的数，即当b时，叫做虚数；当,b时，叫做纯虚数.2.复数集：全体复数所构成的集合.3.复数相等：如果两个复数与的实部与虚部分别相等，记作：=.4.复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.5.复数的模：设=,则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作.(1)；(2)=；(3)；7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2．则，而，则不一定成立，如时；3．，而则不一定成立；4．若不一定能推出；5．若，则=，但若则上式不一定成立.三、经典例题[例1]两个共扼复数的差是（）.实数.纯虚数.零.零或纯虚数解：设互为共扼的两复数分别为及则或当时，，为纯虚数当时，，，因此应选D.注：要认真审题，看清题设条件，结论.学会全面辩证的思考问题，准确记忆有关概念性质.[例2]判断下列命题是否正确(1)若,则(2)若且，则(3)若，则解：(1)错，反例设则(2)错，反例设，，满足，但不能比较大小.n(3)错，，，故，都是虚数，不能比较大小.[例3]实数分别取什么值时，复数是(1)实数；(2)虚数;(3)纯虚数.解：实部，虚部.（1）当时，是实数；（2）当，且时，是虚数；（3）当或时是纯虚数．[例4]设，当取何值时，(1);(2).分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数的方程，求出的值．解：(1)由可得：解之得，　　即：当时　　(2)当可得：　　或，即时.[例5]是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且，证明△OPQ为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数．分析 本题起步的关键在于对条件的处理．等式左边是关于的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方．解：由（，不为零），得　　　　　　　　　　　即向量与向量的夹角为，n　　　　在图中，，又，设，　　　　在△OPQ中，由余弦定理△OPQ为直角三角形，．四、典型习题1.设复数z满足关系，那么z等于（  ）．　　A． B． C． D．2.复数系方程有实数根，则这个实数是.3. 实数m取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限．4.已知且求复数5.设复数满足且在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，求的值　　§11.2复数的运算一、知识导学（1）对复数z、、和自然数m、n，有，，(2)，，，；，，，.(3)，，.(4)设，，，，，二、疑难知识1.对于，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.当时，不总是成立的.(1)；(2)；n(3)；(4)；(5)三、经典例题[例1]满足条件的点的轨迹是（）A.椭圆B.直线C.线段D.圆正解：点（0，2）与（-1，0）间的距离为，动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C[例2]求值：正解：原式===[例3]已知，求的值.分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简.原式=[例4]已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.解法一：，.若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.，所求的一个一元二次方程可以是.解法二：设，n得，以下解法同解法一.[例5]解析四、典型习题1．非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：①②③④⑤其中关于运算为“融洽集”__________;（写出所有“融洽集”的序号）2.3．计算4.计算5．解下列方程：　　(1)　(2).卷三：n一、选择题1、若是纯虚数，则实数的值是（）A1BCD以上都不对2、则是的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分又不必要3、若，则是（）A纯虚数B实数C虚数D无法确定4、的值域中，元素的个数是（）A2B3C4D无数个5、，则实数的值为（）ABCD6、若，则方程的解是（）ABCD7、，则的最大值为（）A3B7C9D58、已知则的值为（）AB1CD39、已知，则的值为（）AB1CD10、已知方程表示等轴双曲线，则实数的值为（）ABCD11、复数集内方程的解的个数是（）A2B4C6D812、复数的模是（）nABCDA、A、B、B、B、C、B、A、A、A、A、B一、填空题13、的平方根是、。14、在复平面内，若复数满足，则所对应的点的集合构成的图形是。15、设，则集合A={}中元素的个数是。16、已知复数，则复数=。131415216三、解答题17（10分）在复平面上，设点A、B、C，对应的复数分别为。过A、B、C做平行四边形ABCD，求此平行四边形的对角线BD的长。由题知平行四边形三顶点坐标为，设D点的坐标为。因为，得，得得，即所以，则。18、（10分）设为共轭复数，且，求的值。设。带入原方程得，由复数相等的条件得解得或……….对应四组解略。19、（12分）已知复数满足且为实数，求。n，因为带入得，所以又因为为实数，所以，化简得，所以有或由得；由得。所以（也可以直接用代数形式带入运算）20、（12分）已知为复数，为纯虚数，，且。求复数。设，则=为纯虚数，所以，因为，所以；又。解得所以。21、（附加题10分）求同时满足下列两个条件的所有复数；（1），且；（2）的实部与虚部都是整数。设则因为，所以。所以。当时，，又，所以，而，所以在实数范围内无解。当时，则。由因为为正整数，所以的值为1，或2，或3。当当；当。则。22、=x＋yi(x，y∈R)，且，求z．n∵，∴，∴，解得或,∴z＝2＋i或z＝1＋2i．23、于的的方程是；若方程有实数根，求锐角和实数根；（1）设实数根是，则，即，∵、，∴且，又，∴；卷三：一、选择题1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为6、(北京市东城区2008年高三综合练习一）若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．答案：A7、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)的值等于（）（A）1（B）i（C）（D）答案：C8、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)计算复数等于（）A．0B．2C．D．答案：D9、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)在复平面内，复数对应的点与原点的距离是（）A.B.C.D.答案：B10、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)设i是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案：B11、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)设i为虚数单位，则nA．21004　　　B．－21004　　　　　　C．22008D．－22008答案：A12、(东北三校2008年高三第一次联考)复数=（）A．2B．－2C．－2iD．2i答案：C13、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)复数的值是（）A．－B．C．D．答案：B14、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)设复数z满足=i，则z=（）A．2-iB．-2-iC．-2+iD．2+i答案：A15、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)如果复数是纯虚数，那么实数等于()A.-1B.0C.0或1D.0或-1答案：D16、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)定义：.若复数满足，则等于A.B.C.D.答案：A17、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)若是虚数单位，则a+b=（）A．－1B．1C．－3D．3答案：A18、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）（）．A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．答案：C19、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)如果复数为纯虚数，那么实数的值为（）.A．－2B．1C．2D．1或－2解析：即，故选择答案A20、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)若（i为虚数单位），则使的值可能是A．0B．C．D．答案：将各选项代入检验易得答案选B.21、(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)设i为虚数单位，则展开式中的第三项为A　　B　C30Dn解析：在展开式中，，故选D.22、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟)复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B23、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)已知复数，则A．B．C．D．答案：C24、(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)复数，，则复数在复平面内对应的点位于（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A25、(广东省五校2008年高三上期末联考)在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B．解析：本题考查了复数的概念及运算原式=26、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)若（为虚数单位），则的值可能是（）A．B．C．D．答案：D27、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)复数A．B．C．D．答案：A28、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C29、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)设复数z1＝1＋i，z2＝z＋2i(z∈R)，若z1z2为纯虚数，则x＝()A．－2B．－1C．1D．2答案：Dn30、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)复数()2化简得到的结果是A．iB．－iC．1D．－l答案：D31、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)若为实数，，则等于（）A．B．－C．2D．－2答案：C32、(湖北省八校高2008第二次联考)届，若则的值是（）A．2i　　B．　　　C．　　D．答案：A33、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)已知，则等于（）A．B．C．D．答案：B34、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)虚数（x－2）+y其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（）A．[－，]B．∪（C．[－，]D．[－，0∪（0，答案：B∵,设k=,则k为过圆（x－2）2+y2=1上点及原点的直线斜率，作图如下,k≤,又∵y≠0,∴k≠0.由对称性选B．【帮你归纳】本题考查复数的概念,以及转化与化归的数学思维能力，利用复数与解析几何、平面几何之间的关系求解.虚数一词又强调y≠0，这一易错点.【误区警示】本题属于基础题，每步细心计算是求解本题的关键，否则将会遭遇“千里之堤，溃于蚁穴”之尴尬.35、(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)设复数，则展开式的第五项是（）A．-2iB．-21iC．35D．-35i答案：C36、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)定义运算，则符合条件的复数的所对应的点在：A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案：Dn37、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)定义运算，则符合条件的复数对应的点在第一象限第二象限第三象限第四象限答案：A38、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)已知，其中是实数，是虚数单位，则等于A.B.C.D.答案：C39、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)的值为（）.A．B．C．1D．答案：A40、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)复数z＝(1－i)2i等于()A.－2B.2C.2iD.－2i答案：B41、(黄家中学高08级十二月月考)求复数（A）（B）（C）（D）【解】：故选C；42、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)计算：（）A．B．C．1D．－1答案：C43、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)设f(n)=+(nÎZ)，则f(2008)=()A．2B.-2C.2iD.-2i答案：A44、(山东省济南市2008年2月高三统考)的共轭复数是A．B．C．D．答案：B45、(山西大学附中2008届二月月考)复数在复平面中所对应的点到原点的距离为A．B．C．1D．答案：B二、填空题n7、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)复数的实部与虚部之和为答案：－18、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)计算：（表示虚数单位）答案：95＋2i9、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)复数在复平面上对应的点位于第象限.答案：三10、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)已知复数z=(1–i)(2–i)，则|z|的值是▲．答案：11、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝▲．答案：212、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)已知实数x，y满足条件，（为虚数单位），则的最小值是．答案：13、(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)复数的值是　　▲　　．答案：214、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)复数z=,则|z|=．答案：15、(江苏省盐城市2008届高三六校联考)计算：的值为答案：－116、(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)若，其中是虚数单位，则a＋b＝__________答案：3n卷四：【考点小测】1．2．.若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则=（）A．0B．2C．D．53.设复数ω＝－＋i，则1＋ω＝（A）–ω　　（B）ω2　（C）　（D）4.复数的共轭复数是（）A．B．C．D．5.（广东卷）若复数满足方程，则A.B.C.D.6.设、、、，若为实数，则()(A)(B)(C)(D)7.如果复数是实数，则实数A．B．C．D．8.（）A．B．－C．D．－9.满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆10.若,，且为纯虚数，则实数a的值为．11.（浙江卷）已知(A)1+2i(B)1-2i(C)2+i(D)2-i12．（福建卷）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.ad－bc=0B.ac－bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=0题号123456789101112答案DCBDCBACCD【典型考例】例1．（上海春）已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.n解：[解法一]，.若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.，所求的一个一元二次方程可以是.[解法二]设，得，以下解法同[解法一].例2．（上海）在复数范围内解方程(i为虚数单位)[解]原方程化简为,设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,∴原方程的解是z=-±i.课后训练1．（湖北卷）设为实数，且，则。2．(上海卷)若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝．3．(上海卷)若复数满足（为虚数单位）为纯虚数，其中则。4．(重庆卷)复数的值是_________.5．复数,,则在复平面内的对应点位于第象限.6．在复数集C内,方程的解为.答案：1．42。3。34。=5．,它对应的点位于第一象限.6．设,,代入原方程整理得n有,解得或,所以或.卷五：（2010湖南文数）1.复数等于A.1+IB.1-iC.-1+iD.-1-i（2010浙江理数）（5）对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（A）（B）（C）（D）解析：可对选项逐个检查，A项，，故A错，B项，，故B错，C项，，故C错，D项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题（2010全国卷2理数）（1）复数（A）（B）（C）（D）【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】.（2010陕西文数）2.复数z=在复平面上对应的点位于[A](A)第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解析：本题考查复数的运算及几何意义，所以点（位于第一象限（2010辽宁理数）(2)设a,b为实数，若复数，则（A）(B)(C)(D)【答案】A【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。n【解析】由可得，所以，解得，，故选A。（2010江西理数）1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（）A.x=-1，y=1B.x=-1，y=2C.x=1，y=1D.x=1，y=2【答案】D【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得，没有虚部，x=1,y=2.（2010安徽文数）(2)已知，则i()=(A)(B)(C)(D)【解析】，选B.【方法总结】直接乘开，用代换即可.（2010浙江文数）3.设i为虚数单位，则(A)-2-3i(B)-2+3i(C)2-3i(D)2+3i解析：选C，本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题（2010山东文数）（2）已知，其中为虚数单位，则A.B.1C.2D.3答案：B（2010北京文数）⑵在复平面内，复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（A）4+8i(B)8+2i（C）2+4i(D)4+i答案：C（2010四川理数）（1）i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（A）－1（B）1（C）（D）解析：由复数性质知：i2＝－1故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1答案：A（2010天津文数）(1)i是虚数单位，复数=(A)1+2i(B)2+4i(C)-1-2i(D)2-i【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。n进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.（2010天津理数）（1）i是虚数单位，复数(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.（2010广东理数）2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=（）A．4+2iB.2+iC.2+2iD.3（2010福建文数）4．是虚数单位,等于()A．iB．-iC．1D．-1【答案】C【解析】=,故选C．（2010全国卷1理数）(1)复数(A)i(B)(C)12-13(D)12+13（2010山东理数）(2)已知（a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=(A)-1(B)1(C)2(D)3【答案】B【解析】由得,所以由复数相等的意义知,所以1,故选B.（2010安徽理数）是虚数单位，A、B、C、D、n【解析】，选B.【规律总结】为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数的代数运算，结合得结论.2.（2010福建理数）（2010湖北理数）1．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是A．EB.FC.GD.H【答案】D【解析】观察图形可知,则，即对应点H（2，－1），故D正确.（2010上海文数）4.若复数（为虚数单位），则。解析：考查复数基本运算（2010重庆理数）（11）已知复数z=1+I，则=____________.解析：（2010北京理数）（9）在复平面内，复数对应的点的坐标为。答案：（-1,1）（2010江苏卷）2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.[解析]考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2i),2-3i与3+2i的模相等，z的模为2。