2006年考研数学一真题及参考答案

2006年考研数学一真题及参考答案

2006年全国硕士研究生入学考试数学（一）一、填空题（1）.（2）微分方程的通解是.（3）设是锥面（）的下侧，则.（4）点到平面的距离=.（5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则=16.（6）设随机变量与相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则=.二、选择题（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则（A）（B）（C）（D）【】（8）设为连续函数，则等于（A）（B）（C）（C）【】（9）若级数收敛，则级数13n（A）收敛.（B）收敛.（C）收敛.（D）收敛.【】（10）设与均为可微函数，且.已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若，则.（B）若，则.（C）若，则.（D）若，则.【】（11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是（A）若线性相关，则线性相关.（B）若线性相关，则线性无关.（C）若线性无关，则线性相关.（D）若线性无关，则线性无关.【A】（12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则（A）（B）（C）（D）【B】（13）设为随机事件，且，则必有（A）（B）（C）（D）【】（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且13n（A）（B）（C）（D）【】三解答题15设区域D=,计算二重积分。16设数列满足。求:(Ⅰ)证明存在,并求之。(Ⅱ)计算。17将函数展开成x的幂级数。18设函数满足等式(Ⅰ)验证.(Ⅱ)若.19设在上半平面D=内,数是有连续偏导数,且对任意的t>0都有.证明:对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有20已知非齐次线性方程组Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩Ⅱ求的值及方程组的通解13n21设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解,(Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.22随机变量x的概率密度为为二维随机变量(X,Y)的分布函数.(Ⅰ)求Y的概率密度(Ⅱ)23设总体X的概率密度为,为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值,求的最大似然估计.13n题解高数一、填空题（1）=2（）（2）微分方程的通解是，这是变量可分离方程。（3）设是锥面的下侧，则补一个曲面上侧∴（为锥面和平面所围区域）（为上述圆锥体体积）而（∵在上：）（4）二、选择题（7）设函数具有二阶导数，且，，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分。若，则13n一、解答题13n（18）设函数内具有二阶导数，且满足等式13n（I）验证（II）若求函数证：（I）（II）令13n（19）设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意都有证明：对D内任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有证：把得：令，则再令所给曲线积分等于0的充分必要条件为今要求成立，只要我们已经证明，，于是结论成立。13n线代(5)设A=21,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=.-12解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得|B||A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.(11)设a1,a2,…,as都是n维向量，A是m´n矩阵，则（）成立.(A)若a1,a2,…,as线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性相关.(B)若a1,a2,…,as线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关.(C)若a1,a2,…,as线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性相关.(D)若a1,a2,…,as线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关.解:(A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若a1,a2,…,as线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得c1a1+c2a2+…+csas=0,用A左乘等式两边,得c1Aa1+c2Aa2+…+csAas=0,于是Aa1,Aa2,…,Aas线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.a1,a2,…,as线性无关Ûr(a1,a2,…,as)=s.2.r(AB)£r(B).矩阵(Aa1,Aa2,…,Aas)=A(a1,a2,…,as),因此r(Aa1,Aa2,…,Aas)£r(a1,a2,…,as).由此马上可判断答案应该为(A).(12)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记110P=010,则001(A)C=P-1AP.(B)C=PAP-1.(C)C=PTAP.(D)C=PAPT.解:(B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA,1-10C=B010=BP-1=PAP-1.001(20)已知非齐次线性方程组x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1，ax1+x2+3x3+bx4=1有3个线性无关的解.13n①证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.②求a,b的值和方程组的通解.解:①设a1,a2,a3是方程组的3个线性无关的解,则a2-a1,a3-a1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)³2,从而r(A)£2.又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)³2.两个不等式说明r(A)=2.②对方程组的增广矩阵作初等行变换:1111-11111-1(A|b)=435-1-1®0–11–53,a13b1004-2a4a+b-54-2a由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:102-42®01-15-3.00000得同解方程组x1=2-2x3+4x4，x2=-3+x3-5x4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,c1,c2任意.(21)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量a1=(-1,2,-1)T,a2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.①求A的特征值和特征向量.②求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得QTAQ=L.解:①条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即a0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又a1,a2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于a1,a2线性无关,特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:ca0,c¹0.属于0的特征向量:c1a1+c2a2,c1,c2不都为0.②将a0单位化,得h0=(,,)T.对a1,a2作施密特正交化,的h1=(0,-,)T,h2=(-,,)T.作Q=(h0,h1,h2),则Q是正交矩阵,并且300QTAQ=Q-1AQ=000.00013n概率（6）（13）C（14）A（22）随机变量的概率密度为，令，为二维随机变量的分布函数。（Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ）解：（Ⅰ）；。所以：这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型。（Ⅱ）13n。（23）设总体的概率密度为，其中是未知参数（0<<1）。为来自总体的简单随机样本，记N为样本值中小于1的个数。求的最大似然估计。解：对样本按照<1或者≥1进行分类：<1，≥1。似然函数，在<1，≥1时，，，所以。13