2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6曲线与方程2.6.3曲线的交点讲义（含解析）苏教版
2．6.3 曲线的交点给出下列两组直线，回答问题．(1)l1：x＋2y＝0，l2：2x＋4y－3＝0；(2)l1：2x－y＝0，l2：3x＋y－7＝0.问题1：两组直线的位置关系．提示：(1)平行；(2)相交．问题2：如何判断它们的位置关系？能否用这种方法来判定两条曲线的位置关系？提示：两直线位置关系的判断可有两种方法：一是利用斜率；二是两方程联立，利用方程的解来判定．第二种方法可以用来判定两曲线的位置关系．问题3：如何求两曲线的交点坐标．提示：把表示曲线的方程联立，解方程组，其解即为曲线交点的坐标．已知曲线C1：f1(x，y)＝0和C2：f2(x，y)＝0.(1)P0(x0，y0)是C1和C2的公共点⇔(2)求两曲线的交点，就是求方程组的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行，两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离n直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴平行，两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离直线与圆锥曲线的位置关系 [例1] 已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：(1)l与C无公共点；(2)l与C有惟一公共点；(3)l与C有两个不同的公共点．[思路点拨] 直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值．[精解详析] 将直线与双曲线方程联立消去y，得(1－4k2)x2－16kx－20＝0.①当1－4k2≠0时，有Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2)．(1)当1－4k2≠0且Δ＜0，即k＜－或k＞时，l与C无公共点．(2)当1－4k2＝0，即k＝±时，显然方程①只有一解．当1－4k2≠0，Δ＝0，即k＝±时，方程①只有一解．故当k＝±或k＝±时，l与C有惟一公共点．(3)当1－4k2≠0，且Δ＞0时，即－＜k＜，且k≠±时，方程有两解，l与C有两个公共点．[一点通] n直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两个点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相交于一个点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．1．对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．解：由消去y得＋(x＋m)2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当－
0，直线与椭圆相交；当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m<－或m>时，Δ<0，直线与椭圆相离．2．已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：(1)当k＝0时，直线l与x轴平行，易知与抛物线只有一个交点．(2)当k≠0时，联立消去x，得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0，Δ＝16－4k×4(2k＋1)．①当Δ＝0，即k＝－1或时，直线l与抛物线相切，只有一个公共点；②当Δ>0，即－1时，直线l与抛物线相离，没有公共点．n综上：当k＝－1或或0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当－1时，直线l与抛物线没有公共点．直线被圆锥曲线截得的弦长问题[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，求弦AB的长．[思路点拨] 先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A、B坐标间的联系，进行整体运算．[精解详析] 法一：∵直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)，又直线的斜率为2.∴直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.由方程组得交点A(0，－2)，B.则AB＝＝＝＝.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B的坐标为方程组的公共解．对方程组消去y，得3x2－5x＝0.则x1＋x2＝，x1·x2＝0.∴AB＝＝＝＝＝.法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得3x2－5x＝0，则x1，x2是方程3x2－5x＝0的两根．n∴x1＋x2＝.由圆锥曲线的统一定义，得AF1＝×(5－x1)，F1B＝×(5－x2)，则AB＝AF1＋F1B＝×[10－(x1＋x2)]＝×＝.[一点通] 弦长的求法：(1)求出端点坐标，利用两点间的距离公式求解．(2)结合根与系数的关系，利用变形公式l＝或l＝求解．(3)利用圆锥曲线的统一定义求解．3．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________．解析：由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.答案：164．直线y＝2x－3与双曲线－y2＝1相交于两点A、B，则AB＝________.解析：设直线y＝2x－3与双曲线－y2＝1两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得7x2－24x＋20＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.答案：5．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线ln经过F1与椭圆交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．解：由椭圆的方程＋＝1知，a＝4，b＝3，∴c＝＝.由c＝知F1(－，0)，F2(，0)，又直线l的斜率k＝tan45°＝1，∴直线l的方程为x－y＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去x，整理得25y2－18y－81＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－.∴|y1－y2|＝＝＝，∴S△ABF2＝|F1F2|·|y1－y2|＝×2×＝.两曲线相交的综合问题[例3] 已知椭圆＋＝1，过点P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线方程．[思路点拨] 设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去y，得关于x的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解．[精解详析] 法一：设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1，x2是上面的方程的两个根，所以x1＋x2＝，因为P为弦AB的中点，所以2＝＝，解得k＝－，所以所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为P为弦AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，n又因为A，B在椭圆上，所以x＋4y＝16，x＋4y＝16，两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以＝＝－，即kAB＝－.所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.[一点通] 解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般采用“设而不求”的思想，将直线方程与圆锥曲线方程联成方程组，转化为一元二次方程，利用根与系数的关系，把已知条件转化为弦的端点坐标之间的关系求解，在涉及“中点弦”问题时，“点差法”是最常用的方法．6．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．求证：(1)x1x2为定值；(2)＋为定值．证明：(1)抛物线y2＝2px的焦点为F，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－)(k≠0)．由消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0.由根与系数的关系，得x1x2＝(定值)．当AB⊥x轴时，x1＝x2＝，x1x2＝也成立．(2)由抛物线的定义知，FA＝x1＋，FB＝x2＋.＋＝＋n＝＝＝＝(定值)．7．设双曲线C：－y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同点A，B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，若＝，求a的值．解：(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1(a＞0)中得(1－a2)．x2＋2a2x－2a2＝0.所以解得0＜a＜，且a≠1.又双曲线的离心率e＝＝，所以e＞，且e≠.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因为＝，所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．由此得x1＝x2.由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，所以x2＝－，x＝－.消去x2，得－＝.由a＞0，解得a＝.8．(陕西高考)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．n解：(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意得，O1A＝O1M.当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴O1M＝，又O1A＝，∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)证明：如图，由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)·x＋b2＝0，其中Δ＝－32kb＋64>0.由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①x1x2＝，②因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以＝－，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③将①②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，∴直线l过定点(1,0)．讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，先联立方程，消去x或y，得出一个一元二次方程，通过研究判别式Δ的情况，研究位置关系，值得注意的是，若是直线与圆或椭圆时，无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零)，直接考察Δ的情况即可．若是直线与双曲线或抛物线时，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况．这是特别要注意的问题．同时还要注意直线斜率不存在时的情形．[对应课时跟踪训练(十七)] n1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是________．解析：当y＝0时，得x2－3x－4＝0，解得x1＝4或x2＝－1.所以交点坐标为(4,0)和(－1,0)．答案：(4,0)，(－1,0)2．曲线x2＋y2＝4与曲线x2＋＝1的交点个数为________．解析：由数形结合可知两曲线有4个交点．答案：43．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．解析：由y2＝8x，得准线方程为x＝－2.则Q点坐标为(－2,0)．设直线y＝k(x＋2)．由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.若直线l与y2＝8x有公共点，则Δ＝(4k2－8)2－16k4≥0.解得－1≤k≤1.答案：[－1,1]4．曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个不同的公共点，则实数m的范围是________．解析：由消去y，得x2－2x＋2－m＝0.若有两个不同的公共点，则Δ＝4－4(2－m)>0，∴m>1.答案：(1，＋∞)5．如果椭圆＋＝1的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是________．解析：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P(4,2)为AB中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.又∵A，B在椭圆上，∴x＋4y＝36，x＋4y＝36.两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴＝＝－.n即直线l的斜率为－.∴所求直线方程为x＋2y－8＝0.答案：x＋2y－8＝06．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l与该椭圆交于M、N两点，MN的中点为A(2，－1)，求直线l的方程．解：(1)由题意2a＝4，∴a＝2，又e＝＝＝，∴c＝.∴b2＝a2－c2＝8－3＝5.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)∵点A在椭圆内部，∴过A点的直线必与椭圆有两交点．当直线斜率不存在时，A点不可能为弦的中点，故可设直线方程为y＋1＝k(x－2)，它与椭圆的交点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则消去y得(8k2＋5)x2－16k(2k＋1)x＋8[(2k＋1)2－5]＝0，∴x1＋x2＝，又∵A(2，－1)为弦MN的中点，∴x1＋x2＝4，即＝4，∴k＝，从而直线方程为5x－4y－14＝0.7．已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x3－24y－20－4(1)求C1，C2的标准方程；(2)请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同两点M，N且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．n解：(1)设抛物线C2：y2＝2px(p≠0)，则有＝2p(x≠0)，据此验证4个点知(3，－2)，(4，－4)在抛物线上，易求C2：y2＝4x.设C1：＋＝1(a>b>0)，把点(－2,0)，代入得解得∴C1的方程为＋y2＝1.(2)容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l的斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F(1,0)，设其方程为y＝k(x－1)，与C1的交点坐标为M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y得，(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，于是x1＋x2＝，x1x2＝. ①所以y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝k2＝－.②由⊥，即·＝0，得x1x2＋y1y2＝0.③将①②代入③式得，－＝＝0，解得k＝±2.所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y＝2x－2或y＝－2x＋2.8．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由题意得a＋c＝3，a－c＝1，∴a＝2，c＝1，b2＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，∴Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，n即3＋4k2－m2>0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝.y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，kAD·kBD＝－1，∴·＝－1，化简得y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，即＋＋＋4＝0，化简得7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－，且满足3＋4k2－m2>0.当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m＝－时，l：y＝k，直线过定点.综上可知，直线l过定点，定点坐标为.
