2020版高考数学复习第八单元第45讲直线与圆锥曲线的位置关系练习文（含解析）新人教a版

2020版高考数学复习第八单元第45讲直线与圆锥曲线的位置关系练习文（含解析）新人教a版

第45讲　直线与圆锥曲线的位置关系1.过点(0,1)作直线l,使l与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点,则这样的直线l有(　　)A.1条B.2条C.3条D.4条2.已知对任意k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆x25+y2m=1恒有公共点,则实数m的取值范围是(　　)A.(0,1)B.(0,5)C.[1,5)∪(5,+∞)D.[1,5)3.已知F1,F2是椭圆x216+y29=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点.在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为(　　)A.6B.5C.4D.34.[2018·辽宁朝阳一模]抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与x轴的交点为M,过点M作C的两条切线,切点分别为P,Q,则∠PMQ=　　　　. 5.过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线l,直线l与双曲线C交于点P,若点P的横坐标为2a,则双曲线C的离心率为　　　　. 6.设抛物线C:x2=4y的焦点为F,A,B为抛物线C上纵坐标不相等的两点,若|AF|+|BF|=4,则线段AB的垂直平分线在y轴上的截距为(　　)A.2B.3C.4D.57.[2018·四川双流中学月考]过抛物线y2=mx(m>0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ的中点的横坐标为3,|PQ|=54m,则m=(　　)A.4B.6C.8D.108.过抛物线y2=43x的焦点的直线l与双曲线C:x22-y2=1的两个交点分别为(x1,y1),(x2,y2),若x1x2>0,则直线l的斜率k的取值范围是(　　)A.-12,12B.-∞,-12∪12,+∞C.-22,22D.-∞,-22∪22,+∞n9.[2018·石家庄质检]若倾斜角为π4的直线经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F,与椭圆交于A,B两点,且AF=2FB,则该椭圆的离心率为(　　)A.23B.22C.33D.3210.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分別为A,B,点M,N是椭圆C上关于长轴对称的两点,若直线AM与BN相交于点P,则点P的轨迹方程是(　　)A.x=±a(y≠0)B.y2=2b(|x|-a)(y≠0)C.x2+y2=a2+b2(y≠0)D.x2a2-y2b2=1(y≠0)11.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(　　)A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)12.[2018·云南红河州模拟]已知经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与该抛物线相交于A,B两点,且|FA|=2|FB|,若直线AB被圆x2+y2=2p所截得的弦长为4,则p=　　　　. 13.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线y=43x与双曲线相交于A,B两点,若AF⊥BF,则双曲线的渐近线方程为　　　　. 14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F.(1)点A,P满足AP=-2FA,当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程.(2)在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上?如果存在,求出所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.15.[2018·南昌质检]已知点P23,263是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与抛物线E:y2=2px(p>0)的一个公共点,且椭圆C的一个焦点F与抛物线E的焦点相同.(1)求椭圆C及抛物线E的方程;(2)设l1,l2为过F且互相垂直的两条动直线,l1与椭圆C交于A,B两点,l2与抛物线E交于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.n16.[2018·辽宁凌源二中月考]已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,短轴长为2.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线l:y=kx+m(k≠0)与y轴的交点为A(点A不在椭圆外),且与椭圆交于两个不同的点P,Q,若线段PQ的中垂线恰好经过椭圆的下顶点B,且与线段PQ交于点C,求△ABC面积的最大值.n课时作业(四十五)1.C　[解析]由题意可知,满足题意的直线l共有3条:直线x=0,直线y=1以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).2.C　[解析]若x25+y2m=1表示椭圆,则m>0且m≠5.直线y=kx+1过定点(0,1),由题意,只需点(0,1)在椭圆x25+y2m=1上或椭圆内部即可,则1m≤1,解得m≥1,所以实数m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞).3.A　[解析]根据椭圆的定义知△AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边的长度为16-10=6.4.π2　[解析]由题意得M-p2,0,设过点M的切线方程为x=my-p2(m≠0),代入y2=2px中,得y2-2pmy+p2=0,∴Δ=4p2m2-4p2=0,∴m=±1,即切线的斜率k=1m=±1,∴MQ⊥MP,因此∠PMQ=π2.5.2+3　[解析]不妨设直线l的方程为y=ba(x-c).∵直线l与双曲线C的交点P的横坐标为2a,∴(2a)2a2-y2b2=1,解得y=-3b或y=3b(舍去),∴-3b=ba(2a-c),整理得c=(2+3)a,∴双曲线C的离心率e=ca=2+3.6.B　[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2+2=4,即y1+y2=2,由线段AB的中点M的坐标为x1+x22,y1+y22,可得Mx1+x22,1,又kAB=y2-y1x2-x1=x22-x124(x2-x1)=x2+x14,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-1=-4x1+x2x-x1+x22,令x=0,得y=3,故线段AB的垂直平分线在y轴上的截距为3,故选B.7.C　[解析]设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),若线段PQ的中点的横坐标为3,则x1+x22=3,由|PQ|=x1+x2+m2=6+m2=54m,得m=8.8.D　[解析]易知直线l过点(3,0),双曲线的渐近线方程为y=±22x,当k>22或k<-22时,直线l与双曲线的右支有两个交点,满足x1x2>0,故选D.9.A　[解析]设直线的参数方程为x=c+22t,y=22t,代入椭圆方程并整理得12a2+12b2t2+2b2ct-b4=0,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-22b2ca2+b2①,t1·t2=-2b4a2+b2②,由AF=2FB得t1=-2t2,代入①②,化简得8c2=a2+b2,即c2a2=29,所以ca=23.故选A.10.D　[解析]由题意可知A(-a,0),B(a,0),设M(x0,y0),N(x0,-y0)(y0≠0),P(x,y)(y≠0).可得直线PA的斜率k1=y0x0+a,则直线PA的方程为y=y0x0+a(x+a),①同理,直线PB的斜率k2=y0a-x0,直线PB的方程为y=y0a-x0(x-a).②①②两式相乘得y2=y02a2-x02(x2-a2),③n由x02a2+y02b2=1,得y02=b2a2(a2-x02),代入③式得y2=b2a2(x2-a2),整理得x2a2-y2b2=1(a>b>0)(y≠0),则点P的轨迹方程为x2a2-y2b2=1(a>b>0)(y≠0).11.D　[解析]当直线l与x轴垂直,且02.因为M(5+rcosθ,rsinθ)在抛物线内,所以r2sin2θ<4(5+rcosθ),又rcosθ=-2,所以化简得r<4,故20)的焦点为Fp2,0,不妨设直线AB的方程为x=my+p2(m>0),代入y2=2px得y2-2pmy-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm①,y1y2=-p2②,由|FA|=2|FB|可得y1=-2y2③,由①②③可得m=24,于是直线AB的方程为x=24y+p2,即4x-2y-2p=0,从而圆心(0,0)到直线AB的距离d=2p18,又圆的半径r=2p,弦长为4,所以2p-4p218=4,解得p=3或p=6.13.y=±2x　[解析]双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,右焦点为F(c,0).由ny=43x,x2a2-y2b2=1,消去y并整理得(9b2-16a2)x2=9a2b2,即x2=9a2b29b2-16a2.由A与B关于原点对称,可设Ax0,43x0,B-x0,-43x0,则FA=x0-c,43x0,FB=-x0-c,-43x0,x02=9a2b29b2-16a2.∵AF⊥BF,∴FA·FB=0,即(x0-c)(-x0-c)+43x0-43x0=0,整理得c2=259x02,∴a2+b2=259×9a2b29b2-16a2,即9b4-32a2b2-16a4=0,∴(b2-4a2)(9b2+4a2)=0.∵a>0,b>0,∴9b2+4a2≠0,∴b2-4a2=0,即b=2a,故双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2x.14.解:(1)设动点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(xA,yA),则AP=(x-xA,y-yA).因为点F的坐标为(1,0),所以FA=(xA-1,yA),由AP=-2FA得(x-xA,y-yA)=-2(xA-1,yA).即x-xA=-2(xA-1),y-yA=-2yA,解得xA=2-x,yA=-y.因为点A在抛物线C上,所以(-y)2=4(2-x),整理得动点P的轨迹方程为y2=8-4x.(2)设点Q的坐标为(t,0),点Q关于直线y=2x的对称点为Q'(x0,y0),则y0x0-t=-12,y02=x0+t,解得x0=-35t,y0=45t.因为点Q'在抛物线C上,所以点Q'的坐标满足y02=4x0,可得4t2+15t=0,解得t=0或t=-154.所以存在满足题意的点Q,其坐标为(0,0)或-154,0.15.解:(1)∵点P23,263是抛物线E:y2=2px(p>0)上一点,∴2632=2p·23,解得p=2,∴抛物线E的方程为y2=4x.由题意可得F(1,0),∴a2-b2=1,又∵点P23,263在椭圆C:x2a2+y2b2=1上,∴49a2+83b2=1,结合a2-b2=1得b2=3,a2=4,∴椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由题可知直线l2的斜率不为0,故直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).①当k=0时,|AB|=4,直线l2的方程为x=1,|CD|=4,故S四边形ACBD=12·|AB|·|CD|=8.n②当k≠0时,直线l2的方程为y=-1k(x-1),由y=k(x-1),x24+y23=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,∴x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2.由弦长公式得|AB|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=12(k2+1)4k2+3.同理可得|CD|=4(k2+1).∴S四边形ACBD=12·|AB|·|CD|=12·12(k2+1)4k2+3·4(k2+1)=24(k2+1)24k2+3.令t=k2+1,t∈(1,+∞),则S四边形ACBD=24t24t-1=244t-1t2=24-(1t-2) 2+4,当t∈(1,+∞)时,1t∈(0,1),-1t-22+4<3,S四边形ACBD>243=8.综上所述,四边形ACBD面积的最小值为8.16.解:(1)由ca=63,2b=2,a2=b2+c2得a=3,b=1,c=2,因此椭圆的标准方程为x23+y2=1.(2)易得点A的坐标为(0,m),点B的坐标为(0,-1).设P,Q的坐标分别为(x1,kx1+m),(x2,kx2+m).由y=kx+m,x23+y2=1,得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0,则x1+x2=-6km1+3k2,x1x2=3(m2-1)1+3k2.易知线段PQ的中点C的横坐标为x1+x22=-3km1+3k2.纵坐标为kx1+x22+m=-3k2m1+3k2+m=m1+3k2,因此点C的坐标为-3km1+3k2,m1+3k2.由题意知BC⊥PQ,即m1+3k2-(-1)-3km1+3k2-0=-1k,从而1+3k2=2m.因为直线l与椭圆有两个不同的交点,所以Δ=12(1-m2+3k2)>0,即m2<1+3k2,从而有m2<2m,即012,因此120,所以f(m)在12,1上单调递增,所以S△ABC≤34×f(1)=34×4=32,所以△ABC面积的最大值为32.