2019年高中数学第三章简单的线性规划问题（第2课时）简单线性规划的应用（习题课）巩固提升

2019年高中数学第三章简单的线性规划问题（第2课时）简单线性规划的应用（习题课）巩固提升

第2课时简单线性规划的应用[A　基础达标]1．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是(　　)A．80　　　　　　　　　　　B．85C．90D．95解析：选C.该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影中的整点部分．由于x，y∈N*，计算区域内与最近的点为(5，4)，故当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.2．某人上午7：00乘汽车以v1千米/时(30≤v1≤100)匀速从A地出发到距离300km的B地，在B地不停留，然后骑摩托车以v2千米/时(4≤v2≤20)匀速从B地出发到距离50km的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地，设乘汽车、骑摩托车行驶的时间分别是x，y小时，则在xOy坐标系中，满足上述条件的x，y的范围阴影部分如图表示正确的是(　　)解析：选B.由题可得，v1＝，v2＝.n所以即作图可知选项B正确．3．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工，3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种组数，乙种组数不少于1组，则要使组成的组数最多，甲、乙各能组成的组数为(　　)A．甲4组、乙2组　　　　　B．甲2组、乙4组C．甲、乙各3组D．甲3组、乙2组解析：选D.设甲种x组，乙种y组．则总的组数z＝x＋y，作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影中整点部分，寻找整点分析，x＝3，y＝2时，为最优解．4．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为(　　)A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元解析：选C.设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1600x＋2400y，则约束条件为作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值zmin＝36n800(元)．5．配制A，B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：千克)：　　原料药剂　　甲乙A25B54药剂A，B至少各配一剂，且药剂A，B每剂售价分别为100元、200元．现有原料甲20kg，原料乙25kg，那么可以获得的最大销售额为(　　)A．600元B．700元C．800元D．900元解析：选C.设可配药剂A，B分别为x剂、y剂，获得的销售额为z元，有z＝100x＋200y，两直线2x＋5y＝20与5x＋4y＝25的交点为(，)，取该点附近的整点(2，2)，(2，3)，(3，2)，代入检验可知当直线过点(2，3)时，z取得最大值，为800.6．铁矿石A和B的含铁率为a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．解析：设购买铁矿石A、B分别为x、y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则n目标函数z＝3x＋6y，由得记P(1，2)，画出可行域，如图所示．当目标函数z＝3x＋6y过点P(1，2)时，z取到最小值，且最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15.答案：157．每千克甲、乙、丙三种食物中的维生素A、维生素D的含量及成本如下表：甲乙丙维生素A(单位/千克)0.060.070.04维生素D(单位/千克)0.080.040.05成本(元/千克)1194某食物营养研究所想把甲、乙、丙三种食物配成10千克的混合食物，并使混合食物中至少含有0.56千克维生素A和0.63千克维生素D，则成本最低为________元．解析：设配成10千克的混合食物分别用甲、乙、丙三种食物x千克、y千克、z千克，混合食物的成本为p元，则z＝10－x－y，p＝11x＋9y＋4z＝11x＋9y＋4×(10－x－y)＝7x＋5y＋40，由题意可得即该二元一次不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则由图可知，当直线p＝7x＋5y＋40经过点A时，它在y轴上的截距最小，即p最小，解方程组得故点A的坐标为(5，2)，所以pmin＝7×5＋5×2＋40＝85.答案：85n8．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量．那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．解析：设小明买科普书x本，文具y套，总数为z＝x＋y.由题意可得约束条件为作出可行域如图中阴影部分整点所示，将z＝x＋y化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x并平移，使之经过可行域，易知经过点A时，纵截距最大，但因x，y均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18，19)，此时z最大为37.答案：379．A，B两仓库各有麻袋50万个、30万个，现需调运到甲地40万个，乙地20万个，已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个，180元/万个，从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个，150元/万个，怎样安排调运，能使总运费最少？最少总运费为多少？解：设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，则从B仓库调40－x万个到甲地，20－y万个到乙地，总运费记为z元，则有z＝120x＋180y＋100(40－x)＋150(20－y)，即z＝20x＋30y＋7000，作出可行域及直线l0：20x＋30y＝0，经平移知直线经过可行域上点M(30，0)时与原点距离最小，即x＝30，y＝0时，z有最小值，zmin＝20×30＋30×0＋7000＝7600(元)，即从A仓库调运30万个到甲地，从B仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地总运费最小，其最小值为7600元．10．某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件，制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．现有甲、乙两家工厂可以制作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如表：奖品收费(元/件)工厂一等奖奖品二等奖奖品n甲500400乙800600求组委会定做该工艺品至少需要花费多少元钱．解：设甲工厂制作一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，总费用为z元，那么：目标函数为z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6000.作出可行域如图中阴影部分的整点所示，联立方程组解得即B(3，1)．所以zmin＝－300×3－200×1＋6000＝4900.即组委会定做该工艺品至少需要花费4900元钱．[B　能力提升]11．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表所示．年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为(　　)A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50解析：选B.设黄瓜的种植面积为x亩，韭菜的种植面积为y亩，则由题意知其满足的条件为化简得目标函数z＝0.55×4x＋0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.n由图可知当直线经过点B时，目标函数z＝x＋0.9y取得最大值．由解得故B(30，20)．12．某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的A型卡车和4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A型卡车为320元，B型卡车为504元．每天调配A型卡车________辆，B型卡车________辆，可使公司所花的成本费用最低．解析：设每天调出A型卡车x辆，B型卡车y辆，公司所花的成本为z元，依题意有目标函数z＝320x＋504y(其中x，y∈N)．作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示阴影中的整点部分，即可行域．由图易知，直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(8，0)使z＝320x＋504y取得最小值，zmin＝320×8＋504×0＝2560(元)．答案：8　013．某车间小组共12人，需配给两种型号的机器，一台A型机器需要2人操作，每天耗电30千瓦时，能生产出价值4万元的产品；一台B型机器需要3人操作，每天耗电20千瓦时，能生产出价值3万元的产品．现每天供应车间的电量不多于130千瓦时，问：该车间小组应如何配置两种型号的机器，才能使每天的产值最大？最大值是多少？解：设需分配给车间小组A型，B型两种机器分别为x台，y台，每天产值为z万元，则z＝4x＋3y，即作出可行域如图阴影部分所示：n由得A(3，2)，所以zmax＝4×3＋3×2＝18.因此，当配给车间小组A型机器3台，B型机器2台时，每天能得到最大产值18万元．14.(选做题)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大？最大利润是多少？解：(1)依题意知每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)约束条件为整理得目标函数为w＝2x＋3y＋300.作出可行域如图所示，当目标函数线经过点A时，w有最大值．由得即最优解为A(50，50)，所以wmax＝550.n所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．不等式的性质、一元二次不等式及简单的线性规划问题(强化练)一、选择题1．函数y＝的定义域为(　　)A．[－7，1]　　　　　　　　B．(－7，1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：选B.由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－70，所以所选的点需满足x＋y－1>0，只有B项符合，故选B.3．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是，则a的值为(　　)A．－　　　　B．2　　　　C．－2　　　　D.解析：选C.由题意知a＜0，且得a＝－2.4．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为(　　)A.B.C.D.解析：选B.由题图易知平面区域在直线2x－y＝0的右下方，在直线x＋y＝3的左下方，在直线y＝1的上方，故选B.n5．若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)(x＋)<0的解集为(　　)A.B.C.∪(－1，＋∞)D．(－∞，－1)∪解析：选D.因为a<0，所以原不等式等价于(x＋1)·>0，方程(x＋1)＝0的两根为－1，－，显然－>0>－1，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪.6．有以下结论：①a>b⇒ac2>bc2；②a>b⇒<；③a>b>0，c>d>0⇒>；④a>b>1，c<0⇒ac0>b时，②错误．根据不等式的性质知③正确．根据幂函数的单调性可知④正确．故正确结论的个数为2.故选B.7．在平面直角坐标系内，不等式组表示的平面区域的面积为(　　)A.B.C.D．4解析：选B.不等式组围成的平面区域为一个三角形区域(如图中阴影部分所示)，解相应的方程组，求得A(2，3)，B，C(0，－1)，直线y＝x＋1与y轴的交点为(0，1)，于是△ABC的面积S＝×2×2＋×2×＝2＋＝，故选B.8．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是(　　)A．(－3，0)B．(－3，3)C．(0，3)D．(－3，5)解析：选B.因为－4<β<2，所以－4<－|β|≤0，－3<α－|β|<3.故选B.n9．点P(2，t)在不等式组表示的平面区域内，则点P到直线3x＋4y＋10＝0的距离的最大值为(　　)A．2B．4C．6D．8解析：选B.画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，结合图形可知，当点P位于点A处时，点P到直线3x＋4y＋10＝0的距离最大．由得点A的坐标为(2，1)，故所求的距离的最大值为＝4.故选B.10．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)A.B.C．1D．2解析：选B.因为直线y＝a(x－3)过定点(3，0)，作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图阴影部分所示)．解方程组得即B(1，－2a)，由目标函数z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，可知直线平移经过点B时，z取得最小值，zmin＝2×1－2a，即2×1－2a＝1，解得a＝，故选B.二、填空题11．已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________．解析：由|a|<1，得－10，n1－a>0.即＝，因为0<1－a2≤1，所以≥1，所以≥1－a.答案：≥1－a12．平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的形状是________．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形13．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是____________．解析：(x－a)⊗(x＋a)<1转化为(x－a)(1－x－a)<1，所以x2－x＋(1－a2＋a)>0恒成立，所以Δ＝1－4(1－a2＋a)<0，所以－0.解：将x2－3ax－18a2>0变形得(x－6a)(x＋3a)>0，方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a.所以当a>0时，6a>－3a，原不等式的解集为{x|x<－3a或x>6a}；当a＝0时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，6a<－3a，原不等式的解集为{x|x<6a或x>－3a}．16．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：单位产品所需资金(百元)月资金供应量(百元)空调机洗衣机成本3020300劳动力(工资)510110单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？解：设生产空调机x台，洗衣机y台，则30x＋20y≤300，5x＋10y≤110，x，y∈N，即利润z＝6x＋8y.作出可行域如图阴影部分所示．由图可知当直线6x＋8y＝z经过可行域内点A时，z取最大值，由得此时zmax＝6×4＋8×9＝96(百元)．n故生产空调机4台，洗衣机9台时，可获最大利润9600元．17．关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根．(1)有一正根一负根，求实数m的取值范围；(2)有两个正实根，求实数m的取值范围．解：(1)设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，它的图象是开口向上的抛物线．因为方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根一负根，所以f(0)＜0，即m＜0，所以实数m的取值范围为(－∞，0)．(2)由题意，得，解得0＜m≤1.所以实数m的取值范围为(0，1]．18．已知函数f(x)＝x2－(a＋3)x＋2＋2a(a∈R)．(1)若对于x∈R，f(x)≥0恒成立，求实数a的值；(2)当a∈R时，解关于x的不等式f(x)－1时，2＋a>1，不等式的解集为(1，2＋a)；当a＝－1时，2＋a＝1，不等式的解集为∅；当a<－1时，2＋a<1，不等式的解集为(2＋a，1)．综上可得，当a>－1时，不等式的解集为(1，2＋a)；当a＝－1时，不等式的解集为∅；当a<－1时，不等式的解集为(2＋a，1)．