2019年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和（第1课时）等比数列的前n项和巩固提升

2019年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和（第1课时）等比数列的前n项和巩固提升

第1课时等比数列的前n项和[学生用书P109(单独成册)][A　基础达标]1．在等比数列{an}中，a1＝8，q＝，an＝，则Sn等于(　　)A．15　　　　　　　　　B.8C.D．31解析：选C.Sn＝＝＝.2．若等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，则a3a5＝(　　)A．4B.8C．16D．32解析：选C.等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋a－(2n－2＋a)，化简得an＝2n－2.则a3a5＝2×23＝16.3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若27a4＋a7＝0，则＝(　　)A．10B.9C．－8D．－5解析：选A.设数列{an}的公比为q，由27a4＋a7＝0，得a4(27＋q3)＝0，因为a4≠0，所以27＋q3＝0，则q＝－3，故＝＝10.4．已知等比数列{an}的公比为2，前4项和是1，则该数列的前8项和为(　　)A．15B.17C．19D．21解析：选B.由题意得＝1，解得a1＝，所以该数列的前8项和为＝17.5．已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　)nA.或5B.或5C.D．解析：选C.设数列{an}的公比为q，由9S3＝S6，得q≠1，则＝，即1＋q3＝9，解得q＝2，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前5项和为T5＝＝，故选C.6．(2019·山东枣庄三中高二(上)质量检测)已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝________．解析：由等比数列前n项和公式，知＝2n＋1－2＝126，解得n＝6.答案：67．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．解析：因为S2＝2a1－1，S4＝4a1＋×(－1)＝4a1－6.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－.答案：－8．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．解析：由题意可知q＝2.设该数列为a1，a2，…，a2n，则an＋an＋1＝24.又a1＝1，所以qn－1＋qn＝24，即2n－1＋2n＝24，解得n＝4，故项数为8.答案：89．在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.(1)a1＝8，an＝，Sn＝，求n的值．(2)S3＝，S6＝，求an及Sn.n解：(1)显然q≠1，Sn＝，即＝.所以q＝.又因为an＝a1qn－1，即8×＝，所以n＝6.(2)由S6≠2S3知q≠1，由题意，得②÷①，得1＋q3＝9，所以q3＝8，即q＝2.将q＝2代入①，得a1＝，所以an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，Sn＝＝2n－1－.10．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.(1)Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．解：(1)证明：因为an＝×＝，Sn＝＝，所以Sn＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以{bn}的通项公式为bn＝－.[B　能力提升]11．已知等比数列{an}的前n项积为Πn，若a3a4a8＝8，则Π9＝(　　)A．512B.256C．81D．16n解析：选A.法一：在等比数列{an}中，因为a3a4a8＝8，所以a1a5a9＝a2a6a7＝a＝8，所以Π9＝a＝83＝512.故选A.法二：设等比数列{an}的公比为q，因为a3a4a8＝8，所以a1q2a1q3a1q7＝8，所以aq12＝8，所以a＝8，所以a5＝2，所以Π9＝a1a2·…·a9＝a＝29＝512.故选A.12．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥2)，则Tn的最大值为(　　)A.B.C．1D．2解析：选D.设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，因为项数为奇数时，＝q，即2＋q＝，所以q＝.所以Tn＝a1·a2·…·an＝aq1＋2＋…＋n－1＝2n－，故当n＝1或2时，Tn取最大值，为2.13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，＝.(1)求等比数列{an}的公比q；(2)求a＋a＋…＋a.解：(1)由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，所以q＝－.(2)由(1)得an＝(－1)×，所以a＝，所以数列{a}是首项为1，公比为的等比数列．故a＋a＋…＋a＝＝.14．张先生2017年年底购买了一辆1.6L排量的小轿车n，为积极响应政府发展森林碳汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金购买了2亩荒山用于植树造林．科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳．(1)张先生估计第一年(即2018年)会用车1.2万公里，以后逐年会增加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？(2)若种植的林木第一年(即2018年)生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量？(参考数据：1.114≈3.7975，1.115≈4.1772，1.116≈4.5950)解：(1)设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为an(n∈N*)，则a1＝＝4，a2＝＝，a3＝＝，…，显然其构成首项为a1＝4，公差为d＝a2－a1＝的等差数列，所以S10＝10×4＋×＝55，即该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨．(2)记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为bn(n∈N*)，则b1＝1×1.8，b2＝1×(1＋10%)×1.8，b3＝1×(1＋10%)2×1.8，…，其构成首项b1＝1.8，公比q＝1.1的等比数列，记其前n项和为Tn，由题意，有Tn＝＝18×(1.1n－1)＞55，解得n≥15.所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量．