2019年高中数学第一章解三角形章末综合检测（一）（含解析）新人教a版必修5
章末综合检测(一)[学生用书P89(单独成册)](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于( )A．135° B.90°C．45°D．30°解析：选C.由正弦定理＝⇒＝，则sinA＝sinB＝.因为a
c，cosB＝，则＝( )A．2B.C．3D．解析：选A.因为sin2B＝2sinAsinC，所以由正弦定理，得b2＝2ac.又a>c，cosB＝，所以由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac×＝2ac，即2×－5×＋2＝0，解得＝2或(舍去)，故选A.8．(2019·山东菏泽3月联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－c－＝0，a2＝bc，b>c，则＝( )A.B.2nC．3D．解析：选B.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB可得acosB＝，又acosB－c－＝0，a2＝bc，所以c＋＝，即2b2－5bc＋2c2＝0.所以有(b－2c)·(2b－c)＝0.所以b＝2c或c＝2b，又b>c，所以＝2.故选B.9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC＝4csinA，已知△ABC的面积S＝bcsinA＝10，b＝4，则a的值为( )A.B.C.D．解析：选B.由3acosC＝4csinA得＝，又由正弦定理＝，得＝⇒tanC＝，由S＝bcsinA＝10，b＝4⇒csinA＝5，由tanC＝⇒sinC＝，又根据正弦定理，得a＝＝＝.故选B.10．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积等于( )A．16B.C．18D．32解析：选A.设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，则，解得或所以cos∠BAD＝＝，所以sin∠BAD＝，S＝4×5×＝16.11．甲船在B岛正南方向的A处，AB＝10km，若甲船以4km/h的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.hB.hC.hD．hn解析：选B.设航行xh时，甲船在P处，乙船在Q处，甲、乙两船相距skm，如图所示，在△BPQ中，由余弦定理，知PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6x·＝28x2－20x＋100，所以当x＝时，s2最小，即s最小，故选B.12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)0，则cosA＝>0.因为0.因此得角A的取值范围是.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________．解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．答案：114．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________．解析：由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝，c＝2a－b＝，cosC＝＝－，又00)．因为CD＝100米，∠BCD＝80°＋40°＝120°，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，所以3x2＝x2＋1002－2×100×x×，所以2x2－100x－10000＝0.所以x2－50x－5000＝0.所以x＝100或x＝－50(舍去)．答案：100三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝2，若cosB＝，且△ABC的周长为5，求边b的长．解：因为＝2，所以＝2，即c＝2a.又因为△ABC的周长为5，所以b＝5－3a.由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accosB，即(5－3a)2＝(2a)2＋a2－4a2×，解得a＝1，所以b＝2.18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝.n(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若△ABC的面积为4，求b，c的值．解：(1)因为cosB＝，所以sinB＝.因为a＝2，b＝4，所以sinA＝＝＝.(2)因为S△ABC＝4＝×2c×，所以c＝5，所以b＝＝.19．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.(1)求的值；(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．解：(1)因为c＝2，C＝60°，由正弦定理＝＝，得＝＝＝＝＝，所以＝.(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.因为a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．所以S△ABC＝absinC＝×4×＝.20．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2，故sinB＝4(1－cosB)．上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，n解得cosB＝1(舍去)，cosB＝.(2)由cosB＝得sinB＝，故S△ABC＝acsinB＝ac.又S△ABC＝2，则ac＝.由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2××＝4.所以b＝2.21．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，sinA－cosA＝0，a＝，且b＞c.(1)求边b；(2)如图，延长BC至点D，使DC＝2，连接AD，点E为线段AD的中点，求.解：(1)因为sinA－cosA＝0，所以A＝60°，所以由S△ABC＝bcsinA＝3⇒bc＝12.①由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA⇒b2＋c2＝25.②联立①②可得或又因为b＞c，所以b＝4.(2)因为E为AD的中点，所以S△DCE＝S△ACE，故EC×DCsin∠DCE＝EC×ACsin∠ACE，即＝＝.22．(本小题满分12分)某单位有A，B，C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB＝80m，BC＝70m，CA＝50m．假定A，B，C，O四点在同一平面内．(1)求∠BAC的大小；n(2)求点O到直线BC的距离．解：(1)在△ABC中，因为AB＝80m，BC＝70m，CA＝50m，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝.因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.(2)法一：因为发射点O到A，B，C三个工作点的距离相等，所以点O为△ABC外接圆的圆心．设外接圆的半径为R，则在△ABC中，＝2R.由(1)知A＝，所以sinA＝.所以2R＝＝.即R＝.如图，连接OB，OC，过点O作边BC的垂线，垂足为D.在△OBD中，OB＝R＝，BD＝＝＝35，所以OD＝＝＝.即点O到直线BC的距离为m.法二：因为发射点O到A，B，C三个工作点的距离相等，所以点O为△ABC外接圆的圆心．如图，连接OB，OC，过点O作边BC的垂线，垂足为D.由(1)知∠BAC＝，所以∠BOC＝，所以∠BOD＝.在Rt△BOD中，BD＝＝＝35，所以OD＝＝＝.即点O到直线BC的距离为m.n
