六年级奥数教案:第21周 抓不变量解题

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六年级奥数教案:第21周 抓不变量解题

第二十一周 抓“不变量”解题 专题简析:‎ 一些分数的分子与分母被施行了加减变化,解答时关键要分析哪些量变了,哪些量没有变。抓住分子或分母,或分子、分母的差,或分子、分母的和等等不变量进行分析后,再转化并解答。‎ 例1.‎ 将的分子与分母同时加上某数后得,求所加的这个数。‎ 解法一:因为分数的分子与分母加上了一个数,所以分数的分子与分母的差不变,仍是18,所以,原题转化成了一各简单的分数问题:“一个分数的分子比分母少18,切分子是分母的,由此可求出新分数的分子和分母。”‎ 分母:(61-43)÷(1-)=81‎ 分子:81×=63‎ ‎81-61=20或63-43=20‎ 解法二:的分母比分子多18,的分母比分子多2,因为分数的 与分母的差不变,所以将的分子、分母同时扩大(18÷2=)9倍。‎ ① ‎ 的分子、分母应扩大:(61-43)÷(9-7)=9(倍)‎ ② 约分后所得的在约分前是:== ③ 所加的数是81-61=20‎ ‎ 答:所加的数是20。‎ 练习1:‎ ‎1、 分数的分子和分母都减去同一个数,新的分数约分后是,那么减去的数是多少?‎ ‎2、 分数的分子、分母同加上一个数后得,那么同加的这个数是多少?‎ ‎3、 的分子、分母加上同一个数并约分后得,那么加上的数是多少?‎ ‎4、 将这个分数的分子、分母都减去同一个数,新的分数约分后是,那么减去的数是多少?‎ 例2:‎ 将一个分数的分母减去2得,如果将它的分母加上1,则得,求这个分数。‎ 解法一:因为两次都是改变分数的分母,所以分数的分子没有变化,由“它的分母减去2得”可知,分母比分子的倍还多2。由“分母加1得”可知,分母比分子的倍少1,从而将原题转化成一个盈亏问题。‎ 分子:(2+1)÷(-)=12‎ 分母:12×-1=17‎ 解法二:两个新分数在未约分时,分子相同。‎ ① 将两个分数化成分子相同的分数,且使分母相差3。==,= ② 原分数的分母是:‎ ‎18-1=17或15+2=17‎ ‎ 答:这个分数为。‎ 练习2:‎ 1、 将一个分数的分母加上2得,分母加上3得。原来的分数是多少?‎ 2、 将一个分数的分母加上2得,分母加上2得。原来的分数是多少?‎ 3、 将一个分数的分母加上5得,分母加上4得。原来的分数是多少?‎ 4、 将一个分数的分母减去9得,分母减去6得。原来的分数是多少?‎ 例3:‎ 在一个最简分数的分子上加一个数,这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数,这个分数就等于,求原来的最简分数是多少。‎ 解法一:两个新分数在未约分时,分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数,即=,=。根据题意,两个新分数分子的差应为2的倍数,所以分别想和的分子和分母再乘以2。所以 ==,== 故原来的最简分数是。‎ 解法二:根据题意,两个新分数的和等于原分数的2倍。所以 ‎ (+)÷2= ‎ 答:原来的最简分数是。‎ 练习3:‎ ‎1、 一个最简分数,在它的分子上加一个数,这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数,这个分数就等于,求这个分数。‎ ‎2、 一个最简分数,在它的分子上加一个数,这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数,这个分数就等于,求这个分数。‎ ‎3、 一个分数,在它的分子上加一个数,这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数,这个分数就等于,求这个分数。‎ 例4:‎ 将一个分数的分母加3得,分母加5得。原分数是多少?‎ 解法一:两个新分数在未约分时,分子相同。将两个分数化成分子相同的分数,即=,=。根据题意,两个新分数的分母应相差2,而现在只相差1,所以分别将和的分子和分母再同乘以2。则==,==。所以,原分数的分母是(54-3=)51。原分数是。‎ 解法二:因为分子没有变,所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的,分母加5后是分子的,因此,原分数的分子是(5-3)÷(-)=42。原分数的分母是42÷7×9-3=51,原分数是。‎ 练习4:‎ ‎1、 一个分数,将它的分母加5得,加8得,原来的分数是多少?(用两种方法)‎ ‎2、 将一个分数的分母减去3,约分后得;若将它的分母减去5,则得。原来的分数是多少?(用两种方法做)‎ ‎3、 把一个分数的分母减去2,约分后等于。如果给原分数的分母加上9,约分后等于。求原分数。‎ 例5:‎ 有一个分数,如果分子加1,这个分数等于;如果分母加1,这个分数就等于,这个分数是多少?‎ 根据“分子加1,这个分数等于”可知,分母比分子的2倍多2;根据“分母加1这个分数就等于”可知,分母比分子的3倍少1。所以,这个分数的分子是(1+2)÷(3-2)=3,分母是3×2+2=8。所以,这个分数是。‎ 练习5:‎ 1、 ‎ 一个分数,如果分子加3,这个分数等于,如果分母加上1,这个分数等于,这个分数是多少?‎ 2、 ‎ 一个分数,如果分子加5,这个分数等于,如果分母减3,这个分数等于,这个 分数是多少?‎ ‎3、 一个分数,如果分子减1,这个分数等于;如果分母加11,这个分数等于,这个分数是多少?‎ 答案:‎ 练1‎ ‎1、 41 2、17 3、 37 4、 16‎ 练2‎ ‎1、 2、 3、 4、 练3‎ ‎1、 2、 3、 ‎ 练4‎ ‎1、 2、 3、 练5‎ ‎1、 2、 3、
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