小学数学精讲教案7_5_1 组合的基本应用(一) 教师版

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小学数学精讲教案7_5_1 组合的基本应用(一) 教师版

‎7-5-1.组合的基本应用(一)‎ 教学目标 ‎1.使学生正确理解组合的意义;正确区分排列、组合问题;‎ ‎2.了解组合数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的组合;‎ ‎3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系;‎ ‎4.会分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;‎ 通过本讲的学习,对组合的一些计数问题进行归纳总结,重点掌握组合的联系和区别,并掌握一些组合技巧,如排除法、插板法等.‎ 知识要点 一、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题,就是我们将要讨论的组合问题,这里,我们将着重研究有多少种分组方法的问题.‎ 一般地,从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.‎ ‎ 从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.‎ 从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数.记作.‎ 一般地,求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步:‎ 第一步:从个不同元素中取出个元素组成一组,共有种方法;‎ ‎  第二步:将每一个组合中的个元素进行全排列,共有种排法.‎ 根据乘法原理,得到.‎ 因此,组合数.‎ 这个公式就是组合数公式.‎ 二、组合数的重要性质 一般地,组合数有下面的重要性质:()‎ 这个公式的直观意义是:表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法.表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法.显然,从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法.‎ 例如,从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的,即.‎ 规定,.‎ 例题精讲 模块一、组合之计算问题 【例 1】 计算:⑴ ,;⑵ ,. ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴ ,‎ ‎⑵ ,‎ ‎【小结】注意到上面的结果中,有,.‎ ‎【答案】⑴ ,‎ ‎⑵ ,‎ 【例 2】 计算:⑴ ;⑵ ;⑶ . ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴ ;‎ ‎⑵ ; ⑶ .‎ ‎【答案】⑴ ⑵ ⑶ .‎ 【巩固】 计算:⑴ ;⑵ ;⑶ . ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴ ‎ ‎⑵ ‎ ‎⑶ .‎ ‎【答案】⑴ ‎ ‎⑵ ‎ ‎⑶ .‎ 模块二、组合之体育比赛中的数学 【例 3】 某校举行排球单循环赛,有个队参加.问:共需要进行多少场比赛? ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 ‎ 【解析】 因为比赛是单循环制的,所以,个队中的每两个队都要进行一场比赛,并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关.所以,这是一个在个队中取个队的组合问题.‎ 由组合数公式知,共需进行(场)比赛.‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 芳草地小学举行足球单循环赛,有个队参加.问:共需要进行多少场比赛? ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 ‎ 【解析】 由组合数公式知,共需进行(场)比赛.‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 六个人传球,每两人之间至多传一次,那么最多共进行  次传球.‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯,三年级,初赛,7题 【解析】 本题是一道比赛场数计数问题,“每两个人之间至多传一次”,让6个人最多次地传球,则是5+4+3+2+1=15(次).但要看是否可以传回去,在传递过程中两人是否重复.15条线,代表传球15次,根据一笔画问题,行不通,应减少奇数点的个数,共有6个奇数点,应该去掉两条直线,也就是去掉4个奇数点,还剩下2个奇数点,就可以传递回来了.所以答案为5+4+3+2+1-2=13(次).‎ ‎【答案】次 【例 3】 一批象棋棋手进行循环赛,每人都与其他所有的人赛一场,根据积分决出冠军,循环赛共要进行78场,那么共有多少人参加循环赛?‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 从若干人中选出人比赛,与选出的先后顺序无关,这是一个组合问题.依题意,假设有个人参加循环赛,应该有,所以,所以,即一共有人参加循环赛.‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 某校举行男生乒乓球比赛,比赛分成3个阶段进行,第一阶段:将参加比赛的48名选手分成8个小组,每组6人,分别进行单循环赛;第二阶段:将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组,每组人,分别进行单循环赛;第三阶段:由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛,确定至名的名次.问:整个赛程一共需要进行多少场比赛? ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 第一阶段中,每个小组内部的个人每人要赛一场,组内赛场,共个小组,有场;‎ 第二阶段中,每个小组内部人中每人赛一场,组内赛场,共个小组,有场;‎ 第三阶段赛场.‎ 根据加法原理,整个赛程一共有场比赛.‎ ‎【答案】‎ 【例 5】 有8个队参加比赛,采用如下图所示的淘汰制方式.问在比赛前抽签时,可以得到多少种实质不同的比赛安排表? ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎ (法1)先选4人,再考虑组合的方法.‎ ‎8选4有种组合,其中实质不同的有一半,即种;‎ 对每一边的4个人,共有实质性不同的种,‎ 所以,可以得到种实质不同的比赛安排表.‎ ‎(法2)先考虑所有情况,再考虑重复情况 首先是 考虑到实质相同:1、2;3、4;5、6;7、8;一、二;三、四;、,‎ 以上7组均可交换,即每一种实际上重复计算了次,答案为:.‎ ‎【答案】‎ 模块三、组合之数字问题 【例 1】 从分别写有、、、、的五张卡片中任取两张,做成一道两个一位数的乘法题,问:‎ ‎ ⑴ 有多少个不同的乘积?‎ ‎⑵ 有多少个不同的乘法算式? ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴ 要考虑有多少个不同乘积.由于只要从张卡片中取两张,就可以得到一个乘积,所以,有多少个乘积只与所取的卡片有关,而与卡片取出的顺序无关,所以这是一个组合问题.‎ 由组合数公式,共有(个)不同的乘积.‎ ‎⑵ 要考虑有多少个不同的乘法算式,它不仅与两张卡片上的数字有关,而且与取到两张卡片的顺序有关,所以这是一个排列问题.‎ 由排列数公式,共有(种)不同的乘法算式.‎ ‎【答案】⑴ ⑵‎ 【巩固】 ‎9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字,一共有多少种方法? ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 相当于在10个数字选出7个划去,一共有10×9×8×7×6×5×4÷(7×6×5×4×3×2×1)=10×9×8÷(3×2×1)=120种.‎ ‎【答案】120‎ 【巩固】 从分别写有、、、、、、、的八张卡片中任取两张,做成一道两个一位数的加法题,有多少种不同的和? ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎(种).‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张,且每种颜色的卡片上分别标有1,2,3,4,5,从这些卡片中取出5张,要求1、2、3、4、5各一张,但四种颜色都要有,求共有________种取法?‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯,4年级,第14题 【解析】 四种颜色都有,则有两个数是同一种颜色即可,其它三个数字和三种颜色一一对应。种 ‎【答案】240种 【例 2】 在中任意取出两个不同的数相加,其和是偶数的共有多少种不同的取法? ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 两个数的和是偶数,通过前面刚刚学过的奇偶分析法,这两个数必然同是奇数或同是偶数,而取出的两个数与顺序无关,所以是组合问题.‎ 从个偶数中取出个,有(种)取法;‎ 从个奇数中取出个,也有(种)取法.‎ 根据加法原理,一共有(种)不同的取法.‎ ‎【小结】在本题中,对两个数的和限定了条件.不妨对这个条件进行分类,如把和为偶数分成两奇数相加或两偶数相加.这样可以把问题简化.‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 从、、……、、这个数中,选取两个不同的数,使其和为偶数的选法总数是多少? ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎、、……、、中有个奇数,个偶数,从个数中任取个数的方法有:(种),所以选法总数有:(种).‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 一个盒子装有个编号依次为,,,,的球,从中摸出个球,使它们的编号之和为奇数,则不同的摸法种数是多少? ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 个编号中奇偶,要使个球的编号之和为奇数,有以下三种情形:‎ ‎⑴ 奇偶,这时对奇数只有种选择,对偶数有种选择.由乘法原理,有(种)选择;‎ ‎⑵ 奇偶,这时对奇数有(种)选择,对偶数也有(种)选择.由乘法原理,有(种)选择;‎ ‎⑶ 奇偶,这时对奇数有种选择,对偶数只有种选择.由乘法原理,‎ ‎  有(种)选择.‎ 由加法原理,不同的摸法有(种).‎ ‎【答案】⑴ ⑵ ⑶‎ ‎ ‎ 【例 4】 用2个1,2个2,2个3可以组成多少个互不相同的六位数?‎ 用个,个,个可以组成多少个互不相同的六位数? ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 先考虑在个数位上选个数位放,这两个的顺序无所谓,故是组合问题,有(种)选法;再从剩下的个数位上选个放,有(种)选法;剩下的个数位放,只有种选法.‎ 由乘法原理,这样的六位数有(个).‎ 在前一问的情况下组成的个六位数中,首位是、、的各个.如果将全部换成,这个首位是的数将不是六位数,所以可以组成互不相同的六位数(个).‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 从,,,,中任取三个数字,从,,,中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数,一共可以组成多少个数? ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 整个过程可以分三步完成:第一步,从,,,,中任取三个数字,这是一个组合问题,有种方法;第二步,从,,,中任取两个数字,也是一个组合问题,有种方法;第三步,用取出的个数字组成没有重复数字的五位数,有种方法.所以总的个数为:(个).‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 从、、、、、、这七个数字中,任取3个组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?(这里每个数字只允许用次,比如100、210就是可以组成的,而211就是不可以组成的).‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】陈省身杯,五年级 【解析】 若三位数不含有,有(个),若含有一个,有(个),若含有两个,有(个),所以共有(个).‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 用2个1,2个2,2个3可以组成多少个互不相同的六位数?用2个0,2个1,2个2可以组成多少个互不相同的六位数? ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 先考虑在6个数位上选2个数位放1,这两个1的顺序无所谓,故是组合问题有种选法;再从剩下的4个数位上选2个放2,有种选法;剩下的2个数位放3,只有1种选法.由乘法原理,这样的六位数有个.‎ 在前一问的情况下组成的90个六位数中,首位是1、2、3的各30个.如果将3全部换成0,这30个首位是0的数将不是六位数,所以可以组成互不相同的六位数个.‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 用两个3,一个2,一个1,可以组成多少个不重复的4位数? ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 这道题由于3有2个,是其中最特殊的,所以从它入手.‎ 先从四位数的4个数位中选择2个来放3,有种选法;然后剩下的两个数位放1和2,有2种放法;根据乘法原理,共有种不同的方法,所以可以组成12个不重复的四位数.‎ ‎【答案】‎
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