六年级奥数教案:第28周 表面积与体积

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六年级奥数教案:第28周 表面积与体积

第28周 表面积与体积(二)‎ 专题简析:‎ 解答立体图形的体积问题时,要注意以下几点:‎ ‎(1)物体沉入水中,水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出,水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中,那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。‎ ‎(2)把一种形状的物体变为另一种形状的物体后,形状变了,但它的体积保持不变。‎ ‎(3)求一些不规则形体体积时,可以通过变形的方法求体积。‎ ‎(4)求与体积相关的最大、最小值时,要大胆想象,多思考、多尝试,防止思维定。‎ 例题1:‎ 有大、中、小三个正方体水池,它们的内边长分别为‎6米、‎3米、‎2米。把两堆碎石分别沉在中、小水池里,两个水池水面分别升高了‎6厘米和‎4厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水池里,大水池的水面升高多少厘米?‎ 中、小水池升高部分是一个长方体,它的体积就等同于碎石的体积。两个水池水面分别升高了‎6厘米和‎4厘米,两堆碎石的体积就是3×3×0.06+2×2×0.04=0.7(立方米)。把它沉到大水池里,水面升高部分的体积也就是‎0.7立方米,再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。‎ ‎3×3×0.06+2×2×0.04=0.7(立方米)‎ ‎0.7÷6的平方=7/360(米)=1又17/18(厘米)‎ ‎ 答:大水池的水面升高了1又17/18厘米。‎ 练习1:‎ ‎1、有大、中、小三个正方体水池,它们的内边长分别为‎4米、‎3米、‎2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中,两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米,如果将这两堆碎石都沉没在大水池中,那么大水池水面将升高多少厘米?‎ ‎2、用直径为20厘米的圆钢,锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢板,应截取圆钢多长(精确到0.1厘米)?‎ ‎3、将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积。‎ 例题2:‎ 一个底面半径是‎10厘米的圆柱形瓶中,水深‎8厘米,要在瓶中放入长和宽都是‎8厘米、高是‎15厘米的一块铁块,把铁块竖放在水中,水面上升几厘米?‎ 在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中,还是部分沉入水中。如果铁块是全部沉入水中,排开水的体积是8×8×15=960(立方厘米)。而现在瓶中水深是‎8厘米,要淹没‎15厘米高的铁块,水面就要上升15—8=7(厘米),需要排开水的体积是(3.14×10×10—8×8)×7=1750(立方厘米),可知铁块是部分在水中。‎ 当铁块放入瓶中后,瓶中水所接触的底面积就是3.14×10×10—8×8=250(平方厘米)。水的形状变了,但体积还是3.14×10×10×8=2512(立方厘米)。水的高度是2512÷250=10.048(厘米),上升10.048—8=2.048(厘米)‎ ‎3.14×10×10×8÷(3.14×10×10—8×8)—8‎ ‎=2512÷250—8‎ ‎=10.048—8‎ ‎=2.048(厘米)‎ ‎ 答:水面上升了2.048厘米。‎ 练习2:‎ ‎1、一个底面积是15平方厘米的玻璃杯中装有高3厘米的水。现把一个底面半径是1厘米、高5厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中,问水面升高了多少厘米(∏取3)?‎ ‎2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水,水面高2.5厘米,玻璃杯内侧的底面积市2平方里。在这个杯中放进棱长6厘米的正方形铁块后,水面没有淹没铁块,这时水面高多少厘米?‎ ‎3、在底面是边长为60厘米的正方形的一个长方形容器里,直立放着一个长100厘米、底面边长为15厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水50厘米深。现在把铁棍轻轻地向上方提起24厘米,露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米?‎ 例题3:‎ 某面粉厂有一容积是‎24立方米 的长方体储粮池,它的长是宽或高的2倍。当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时,求这堆面粉的体积(如图28-1所示)。‎ 设圆锥体的底面半径是r,则长方体的高和宽也都是r,长是2r。长方体的容积是2r×r×r=24,即r的立方=12。这个半圆锥体的体积是1/3×∏r的平方×r÷2=1/6∏r的立方,将r的立方=12代入,就可以求得面粉的体积。‎ 设圆锥体的底面半径是r,则长方体的容积是2r×r×r=24,r的立方=12。‎ ‎1/3×3.14×r的平方×r÷2‎ ‎=1/6×3.14×r的立方 ‎=1/6×3.14×12‎ ‎=6.28(立方米)‎ 答:这堆面粉的体积是‎6.28立方米。‎ 练习3:‎ ‎1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长,这个正方体的体积是216立方分米。求这个圆锥体的体积。‎ ‎2、一个正方体的纸盒中如图28-2所示,恰好能装入一个体积6.28立方厘米的圆柱体。纸盒的容积有多大(∏取3.14)?‎ ‎3、如图28-3所掷,圆锥形容器中装有‎3升水,水面告诉正好是圆锥高读的一半。这个容器还能装多少水?‎ 例题4:‎ 如果把12件同样的长方体物品打包,形成一件大的包装物,有几种包装方法?怎样打包物体的表面积最小呢?‎ ‎ ‎ 设长方体物品的长、宽、高分别是a、b、c,并且a>b>c(入土28-4)。比较“3×4”和“2×6”两种包法。图28-5中大长方体表面积为6ab+‎8ac+24bc①‎ ‎,图28-6中大长方体的表面积为4ab+‎12ac+24bc②,两个式子中都曲调相同的部分4ab+‎8ac+24bc后,①式与②式的大小要看2ab与‎4ac的大小。(1)当b=‎2c时,2ab=¥ac,两种包法相同。(2)当b<‎2c时,“3×4”的包法表面积最小。(3)当b>‎2c时,“2×6”的包法表面积最小。‎ 练习4:‎ ‎1、如果把长8厘米,宽7厘米,高3厘米的2件同样的长方体物品打包,形成一件大的包装物,有几种包装方法?怎样打包,物体的表面积最小?‎ ‎2、一个精美小礼品盒的形状是长9厘米,宽6厘米,高4厘米的长方体。请你帮厂家设计一个能装10个小礼品盒的大纸箱,你觉得怎样设计比较合理?为什么?‎ ‎3、一包香烟的形状是长方体,它的长是9厘米,宽是5厘米,高是2厘米。把10 包香烟包装在一起形成一个大长方体,称为一条。可以怎样包装?算一算需要多少包装纸(包转念能够纸的重叠部分忽略不计)。你认为哪一种包装比较合理?‎ 例题5:‎ 一只集装箱,它的内尺寸是18×18×18。现在有批货箱,它的外尺寸是1×4×9。问这只集装箱能装多少只货箱?‎ 因为集装箱内尺寸18不是货箱尺寸4的倍数,所以,只能先在18×16×18的空间放货箱,可放18×16×18÷(1×4×9)=144(只)。这时还有18×2×18的空间,但只能在18×2×16的空间放货箱,可放18×2×16÷(1×4×9)=16(只)。最后剩下18×2×2的空间无法再放货箱,所以最多能装144+16=160(只)。‎ ‎18×16×18÷(1×4×9)+18×2×16÷(1×4×9)‎ ‎=144+16‎ ‎=160(只)‎ ‎ 答:这只集装箱能装160只货箱。‎ 练习5:‎ ‎1、有一个长方体的盒子,从里面量长为40厘米、宽为12厘米、高为7厘米。在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块,最多可放几块?‎ ‎2、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的厂房体上面,尽可能大地切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体,最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体,剩下的体积是多少立方厘米?‎ ‎3、现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮,请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计,容积越大越好),你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?‎ 答案:‎ 练1‎ 1、 ‎(32×0.04+22×0.11)÷42=‎0.05米=5厘米 2、 ‎30×20×5÷【3.14×()2】≈9.6厘米 3、 大正方体的体积等于三个小正方体的体积之和。‎ ‎54÷6=9平方厘米 9=3×3‎ 它的体积是3×3×3=27平方厘米 96÷6=16平方厘米 ‎16=4×4 它的体积是4×4×4=64立方厘米 ‎150÷6=25平方厘米 25=5×5‎ 它的体积是5×5×5=125立方厘米 ‎27+64+125=216立方厘米 练2‎ 1、 铁块全部放入水中,排水的体积是3×12×5=15立方厘米,要使水面升高2厘米,铁块要排水(15-3×12)×2=24立方厘米。可见,铁块不能全部放入水中。15×3÷(15-3×12)-3=厘米 2、 杯中水的体积是:72×2.5=180立方厘米 放入铁块后的底面积是72-62=36平方厘米;水面的高:180÷36=5厘米 3、 容器中水的体积:(602-152)×50=168750立方厘米;当铁棍提起后,仍浸在水中的部分长:(168750-602×24)÷(602-152)=24.4厘米。露出水面的浸湿部分长:50-24.4=25.6厘米 练3‎ 1、 设这个圆锥的底面半径为r,则正方体的体积为r3=216,圆锥体的体积为:×∏×r2×r=226.08立方分米 2、 设圆柱体的底面半径为x,则正方体的棱长为2r。圆柱的体积是∏r2×2r=6.28,即(2r)3=8 r3=8立方厘米 3、 设容器的底面半径为r,则水面半径为。水的体积是:×∏()2×=3,即∏r2h=72。容器的体积是×72=24升,还能装24-3=21升。‎ 练4‎ ‎1、 20.56÷(1+1+3.14)=4分米 3.14×()2×4=50.24立方分米 ‎2、 长方体中:‎ ‎(1)高+宽=(365-5)÷2=180厘米 ‎(2)高+长=(405-5)÷2=200厘米 ‎(3)长+宽=(485-5)÷2=240厘米 ‎(4) (2)-(1)得:200-180=20厘米 长:(240+30)÷2=130厘米 高:200-130=70厘米 宽:240-130=110厘米 ‎130×110×70=1001000立方厘米=1.001立方米 ‎3、瓶的容积相当于底面积相同、高为20+5=25厘米的圆柱体的容积。饮料的体积相当于与瓶同底,高为20厘米的圆柱体的体积,所以饮料的体积占瓶容积的:=。30×=24立方分米 练5‎ 1、 长方体的盒子高是7厘米,正好是木块宽与高的和,长方体的宽12厘米,正好是木块宽与高的公倍数,采用如图答27-4所示的拼放法可以填满盒子。最多可放:40×12×7÷(5×4×3)=56个 2、 第一次切下的正方体棱长应是12厘米,留下的部分如图答27-5,其中较大的一块是长为21-12=9厘米,宽为15厘米,高为12厘米的长方体。第二次切下的正方体棱长应是9厘米,留下的部分如图答27-6所示,较大的一块是长为9厘米,宽为15-9=6厘米,高为12厘米的长方体。第三次切下的正方体棱长应是6厘米。上下的体积是:21×15×12-(123+ 93+ 63)=1107立方厘米 3、 制作这个铁盒的方法比较多,但容积不一样。‎ 第一种是把铁皮的四角截去边长5厘米的正方形。它的体积是(40-5×2)×(20-5×2)×5=1500立方厘米。‎ ‎ 第二种是在铁皮的一侧角上截下两个边长5厘米的正方形,焊接到铁皮的另一侧的中间位置,这样做成的无盖铁皮盒长是40-4=35厘米,体积是(40-5)×(20-5×2)×5=1750立方厘米。如图27-7所示 ‎ 第三种是在铁皮的两侧各截下一条宽为5厘米、长为20厘米的长方形铁皮分别焊接到上、下边上的中间部位,这样做成的无盖铁皮盒的长是40-5×4=20厘米,宽是20厘米。体积是(40-5×4)×20×5=2000立方厘米。如图答27-8所示。‎
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