小学数学精讲教案5_4_3 约数与倍数(三) 学生版

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文档介绍

小学数学精讲教案5_4_3 约数与倍数(三) 学生版

‎5-4-3‎‎.约数与倍数(三)‎ 教学目标 1. 本讲主要对课本中的:约数、公约数、最大公约数;倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。‎ 2. 本讲核心目标:让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识,‎ 例如:(1)约数、公约数、最大公约数;倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系;‎ ‎(2)整数唯一分解定理:让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为的结构,而且表达形式唯一”‎ 知识点拨 一、 约数、公约数与最大公约数概念 ‎(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数;‎ ‎(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”;‎ ‎(3)最大公约数:公约数中最大的一个就是最大公约数;‎ ‎(4)0被排除在约数与倍数之外 ‎1. 求最大公约数的方法 ‎①分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来.‎ 例如:,,所以;‎ ‎②短除法:先找出所有共有的约数,然后相乘.例如:,所以;‎ ‎③辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数.用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下:先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数;又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止.那么,最后一个除数就是所求的最大公约数.(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的).‎ 例如,求600和1515的最大公约数:;;;;;所以1515和600的最大公约数是15.‎ ‎2. 最大公约数的性质 ‎①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数;‎ ‎②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数;‎ ‎③几个数都乘以一个自然数,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以.‎ ‎3. 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数,其他分数不变;求出各个分数的分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子的最大公约数b;即为所求.‎ ‎4. 约数、公约数最大公约数的关系 ‎(1)约数是对一个数说的;‎ ‎(2)公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数 二、倍数的概念与最小公倍数 ‎(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数 ‎(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数 ‎(3)最小公倍数:公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。‎ ‎1. 求最小公倍数的方法 ‎①分解质因数的方法;‎ 例如:,,所以;‎ ‎②短除法求最小公倍数;‎ 例如: ,所以;‎ ‎③.‎ ‎2. 最小公倍数的性质 ‎①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.‎ ‎②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.‎ ‎③两个数具有倍数关系,则它们的最大公约数是其中较小的数,最小公倍数是较大的数.‎ ‎3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数;求出各个分数分子的最小公倍数;求出各个分数分母的最大公约数;即为所求.例如: ‎ 注意:两个最简分数的最大公约数不能是整数,最小公倍数可以是整数.例如:‎ ‎4. 倍数、公倍数、最小公倍数的关系 ‎(1)倍数是对一个数说的;‎ ‎(2)最小公倍数是公倍数的约数,公倍数是最小公倍数的倍数 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 ‎1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。‎ 如果为、的最大公约数,且,,那么互质,所以、的最小公倍数为,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系:‎ ‎①,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积;‎ ‎②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数.‎ ‎2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。‎ 即,此性质比较简单,学生比较容易掌握。‎ ‎3. 对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如:,210就是567的最小公倍数 b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如:,而6,7,8的最小公倍数为 性质(3)不是一个常见考点,但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系,即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。‎ 四、求约数个数与所有约数的和 ‎1. 求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。‎ 如:1400严格分解质因数之后为,所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)‎ 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点,授课时应重点讲解,公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上,结合乘法原理推导出来的,不是很复杂,建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推,有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用,即先告诉一个数有多少个约数,然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来,或者是“构造出可能的最值”。‎ ‎2. 求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。‎ 如:,所以21000所有约数的和为 此公式没有第一个公式常用,推导过程相对复杂,需要许多步提取公因式,建议帮助学生找规律性的记忆即可。‎ 例题精讲 模块一、运用大公约和小公倍的模型解题 如果为、的最大公约数,根据模型知道:‎ ‎(1)且,‎ ‎(2)那么互质 ‎(3)所以、的最大公约数为,最小公倍数为 ‎(4)最大公约数与最小公倍数的成绩为与的成绩 【例 1】 甲数是36,甲、乙两数最大公约数是4,最小公倍数是288,那么乙数是多少? ‎ 【巩固】 已知A、B两数的最小公倍数是180,最大公约数是30,若A=90,则B= 。‎ 【例 1】 已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数. ‎ 【例 2】 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,试求这两个数的差.‎ 【巩固】 两个自然数的和是125,它们的最大公约数是25,试求这两个数. ‎ 【例 3】 已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少? ‎ 【巩固】 已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数. ‎ 【例 4】 甲、乙两个自然数的最大公约数是7,并且甲数除以乙数所得的商是.乙数是_____.‎ 【例 5】 已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a、b中较大的数是多少? ‎ 【例 1】 已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为114,求这两个自然数.‎ 【例 2】 有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693,这两个自然数的差是 . ‎ 【例 3】 已知自然数A、B满足以下2个性质:(1)A、B不互质;(2)A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。那么A+B的最小值是多少?‎ 【例 4】 两个整数A、B的最大公约数是C,最小公倍数是D,并且已知C不等于1,也不等于A或B,C+D=187,那么A+B等于多少? ‎ 【例 5】 若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数,且a + b + c = 1155 ,则它们的最大公约数的最大值为 ,最小公倍数的最小值为 ,最小公倍数的最大值为 .‎ 模块二、约数的个数与约数的和 【例 6】 ‎2008的约数有( )个。‎ 【巩固】 ‎2008006共有( )个质因数。 (A)4  (B)5  (C)6  (D)7‎ 【巩固】 ‎105的约数共有几个?‎ 【巩固】 已知300=2×2×3×5×5,则300一共有 个不同的约数。‎ 【例 1】 筐中有60个苹果,将它们全部都取出来,分成偶数堆,使得每堆的个数相同。问:有多少种分法?‎ 【例 2】 数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? ‎ 【例 3】 ‎,均为自然数.有____________种不同的取值.‎ 【巩固】 ‎2010除以正整数N,余数是15,那么N的所有可能值的个数是 。‎ 【例 4】 自然数N有45个正约数。N的最小值为 。‎ 【巩固】 自然数有个正约数,的最小值为 。‎ 【巩固】 恰有20 个因数的最小自然数是( )。 (A)120 (B)240 (C)360 (D)432‎ 【例 1】 设A共有9个不同的约数,B共有6个不同的约数,C共有8个不同的约数,这三个数中的任何两个都不整除,则这三个数之积的最小值是多少? ‎ 【例 2】 在1到100中,恰好有6个约数的数有多少个? ‎ 【巩固】 恰有8个约数的两位数有________个. ‎ 【巩固】 在三位数中,恰好有9个约数的数有多少个? ‎ 【例 3】 能被2145整除且恰有2145个约数的数有 个. ‎ 【巩固】 能被210整除且恰有210个约数的数有 个. ‎ 【巩固】 ‎1001的倍数中,共有 个数恰有1001个约数. ‎ 【巩固】 如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数,这个自然数自己最少有多少个约数? ‎ 【例 1】 已知偶数A不是4的整数倍,它的约数的个数为12,求‎4A的约数的个数. ‎ 【例 2】 已知两个数都是只含质因数3和5,它们的最大公约数是75,已知有12个约数,有10个约数,求与的和. ‎ 【例 3】 已知A数有7个约数,B数有12个约数,且A、B的最小公倍数,则 . ‎ 【例 1】 一个自然数恰好有18个约数,那么它最多有 个约数的个位是3.‎ 【例 2】 一个分子是1的分数,化成小数后是一个混循环小数,且循环节为两位,不循环也有两位,那么这种分数共有多少个?‎ 【例 3】 中,共有_ __个最简分数。‎ 【例 4】 设,b,c是的数字(允许相同),将循环小数化成最简分数后,分子有 种不同情况. ‎ 【例 5】 在循环小数中类似于,等,循环节是从小数点右边的第一位(即十分位)就开始的小数,叫做纯循环小数,包括和在内,共有 个正整数,其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数。‎
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