- 2022-02-12 发布 |
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文档介绍
2020小升初数学专项复习:图形求面积+图形重点题型解答
2020小升初数学复习:图形求面积的指导方法 I CB A II BCAB 8cm 25cm2IIIABC 2144.5 2 1 1 1 4 3 cm 360 2 4.5(cm )π3π60 32260 60 60 A B 'B 3 cmB'B60 A3cm 1 30 道典型几何题解析 1.【加减法求面积】如图是一个直径为 的半圆,让这个半圆以 点为轴沿逆时针方 向旋转 ,此时 点移动到 点,求阴影部分的面积.(图中长度单位为 ,圆周率按 计算). 【解析】面积 圆心角为 的扇形面积 半圆 空白部分面积(也是半圆) 圆心角为 的扇形面积 . 2.【割补法求面积】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为 ,圆周率按 3 计 算): ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 【解析】⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 3.【差不变】三角形 是直角三角形,阴影 的面积比阴影 的面积小 , ,求 的长度. A B C D E )1( )2( E D C BA πACD ECA120ABCBBC ABC 60ABABC 2 20 12 1201 A B CD EF ABCD ABCDFDCEAFEB () 20 5 20 8 2 140 20 8 5-20 5 8 20 cm 6.25 12.53π25 2 8 2π8 BC cm2 22 25π25 8π182 ABC25cm2ABC 25cm2III 2 【解析】由于阴影 的面积比阴影 的面积小 ,根据差不变原理,直角三角形 面积减去半圆面积为 ,则直角三角形 面积为 ( ), 的长度为 ( ). 4.【等量代换】下图(单位:厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面 积. 【解析】所求面积等于图中阴影部分的面积,为 (平方厘米). 5.【等面积变形】如下图,长方形 和长方形 拼成了长方形 ,长方形 的长是 20,宽是 12,则它内部阴影部分的面积是多少? 【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半,为 . 6.【面积与旋转】如图所示,直角三角形 的斜边 长为 10 厘米, , 此时 长 5 厘米.以点 为中心,将 顺时针旋转 ,点 、 分别到达点 、 的位置.求 边扫过的图形即图中阴影部分的面积.( 取 3) 【解析】注意分割、平移、补齐. 如图所示,将图形⑴移补到图形⑵的位置, 12 12 13 13 12 12 1313 A B C D O N M F E D CB AA B C D E F M N 50 50 2500 51 1 50 (101 1) 2 51 3 1 ABE 120 EBD 60 3 因为 ,那么 , 则阴影部分为一圆环的 . 7.【图形与平移】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面,两条对角线上铺黑色的,其它 地方铺白色的,如图所示.如果铺满这块地面共用 101 块黑色瓷砖,那么白色瓷砖用了多 少块? 图1 图 2 【解析】我们可以让静止的瓷砖动起来,把对角线上的黑瓷砖,通过平移这种动态的 处理,移到两条边上(如图 2).在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化,但数量没 有变,此时白色瓷砖组成一个正方形.大正方形的边长上能放 (块),白 色 瓷 砖 组 成的 正 方 形 的 边 长 上 能 放 : (块 ), 所 以 白 色 瓷 砖 共 用 了: (块). 8. 【化整为零】正方形 ABCD 与等腰直角三角形 BEF 放在一起(如图),M、N 点为正方 形的边的中点,阴影部分的面积是 14cm2,三角形 BEF 的面积是多少平方厘米? 【解析】因为 M、N 是中点,故我们可以将该图形进行分割,所得图形如下 图形中的三角形面积都相等,阴影部分由 7 个三角形组成,且其面积为 14 平方厘米, 故一个三角形的面积为 2 平方厘米,那么三角形 BEF 的面积是 18 平方厘米。 9. 【割补法】如图所示的四边形的面积等于多少? 【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形,难以运用公式直接求面积. 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换: ABH ADFABFADF ABFFG FEAB ADADFABFAF H G F E D C BA H G F E D C BA ABHAEFGABCD (2.5 4 2 2.5) 2 292.5 2 51.2545 9 5 5 4 1.2554 45 99 (18 24) 2 84ADHEADHE BCGFADHEFH AC ADHEBCGF BCGFADHE A B C D E F G H ADHE24 AC18FHBCGF 12 12 144 12 OCDOAB 13OOAB 4 把三角形 绕顶点 逆时针旋转,使长为 的两条边重合,此时三角形 将旋转到三角形 的位置.这样,通过旋转后所得到的新图形是一个 边长为 的正方形,且这个正方形的面积就是原来四边形的面积. 因此,原来四边形的面积为 .(也可以用勾股定理) 10.【巧求周长】下图中的阴影部分 是正方形,线段 长 厘米,线段 长 厘米,则长方形 的周长是 厘米. 【解析】本题需要注意,长方形 的宽应等于正方形 的边长. 由于图中阴影部分 是个正方形,其四条边的边长都相等,且等于长方形 的 宽. 的和应为长方形 的长加上正方形 的边长,所以等于长方形 的长与宽之和.所以长方形 的周长为: 厘米. 11.【周长与面积】有 个小长方形,它们的长和宽分别相等,用这 个小长方形拼成的 大长方形的面积是 平方厘米,求这个大长方形的周长. 【解析】从图上可以知道,小长方形的长的 倍等于宽的 倍,所以长是宽的 倍.每个小长方形的面积为 平方厘米,所以 宽 宽 ,所以宽为 厘米, 长为 厘米.大长方形的周长为 厘米. 12.【梯形蝴蝶】如图, 与 均为正方形,三角形 的面积为 6 平方厘 米,图中阴影部分的面积为 . 【解析】如图,连接 ,比较 与 ,由于 , ,即 与 的底与高分别相等,所以 与 的面积相等,那么阴影部分面积与 的面积相等,为 6 平方厘米. 13.【曲线开型面积】如右图,有 8 个半径为 1 厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成 a2 1 2 aaa 2 2 2 24 112 形角三圆半影阴 S S S4 a A B C D a A B C D π 1 19π422 4 1 π 5 一个花瓣图形,图中的黑点是这些圆的圆心.则花瓣图形的面积是多少平方厘米? ( 取 3) 【解析】本题直接计算不方便,可以利用分割移动凑成规则图形来求解. 如右上图,连接顶角上的 4 个圆心,可得到一个边长为 4 的正方形.可以看 出,与原图相比,正方形的每一条边上都多了一个半圆,所以可以把原花瓣 图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方,这样得到一个正方形,还 剩下 4 个 圆,合起来恰好是一个圆,所以花瓣图形的面积为 (平方厘米). 14.【曲线型面积】如图,ABCD 是边长为 a 的正方形,以 AB、BC、CD、DA 分别为直 径画半圆,求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积.( 取 3) 【解析】这道题目是很常见的面积计算问题.阴影部分是一个花瓣状的不规则图形, 不能直接通过面积公式求解,观察发现阴影部分是一个对称图形,我们只需要在阴影 部分的对称轴上作两条辅助线就明了了. 如图,这样阴影部分就划分成了 4 个半圆减去三角形,我们可以求得, 15.【表面积计算】中是一个边长为 4 厘米的正方体,分别在前后、左右、上下各面的中 心位置挖去一个边长 1 厘米的正方体,做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米? S S S S SEFB DHG ABC ACD ABCD66 SSDHG ACD6SSEFB ABC6 S S S S SEAH FCG ABD BCD ABCD66 SSFCG BCD6 ADS S S SAH EAH EAD EAD ABD36 ABS S SEA EAD ABD ABD2 4 4 6 1 1 4 6 120 6 【解析】根据题意可知,挖去的 6 个边长 1 厘米的正方体相互之间是独立的,所以挖 去之后,原正方体的表面积相当于增加了六个小正方体的侧面积,所以现在它的表面 积为: 平方厘米. 16.【共高模型】如图,把四边形 ABCD 的各边都延长 2 倍,得到一个新四边形 EFGH 如果 ABCD 的面积是 5 平方厘米,则 EFGH 的面积是多少平方厘米? 【解析】如下图,连接 BD,ED,BG, 有 EAD、 ADB 同高,所以面积比为底的比,有 . 同理 . 类似的,还可得 ,有 =30 平方厘米. 连接 AC,AF,HC,还可得 , , 有 =30 平方厘米. 有四边形 EFGH 的面积为 EAH, FCG, EFB, DHG,ABCD 的面积和,即为 30+30+5=65(平方厘米.) 17.【等积变形】图中 ABCD 是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°),以 AD 为一边向外作 长方形 ADEF,其面积为 6.36 平方厘米。连接 BE 交 AD 于 P,再连接 PC。则图中阴影部 分的面积是( )平方厘米。 234 40 194 1 3 (2 2 1 ) (3 2 1 ) (3 2 1 ) 3 9 14 14 402 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 3 5 ) 6 39 6 2342 2 2 2 5321 cm221 35% 60cm21 2 50% 15% 35%15% 50% 红 黄 绿 红 cm21 215% 影阴 △△△△△△ S S S S S S SEPD PDC EPD PDB EDA ADEF226.36 3.1811 △△ SSEAD EBD △△ SSPDC PDB F E D CB A P F E D CB A P 7 【解析】如图,连接 AE,BD。因为 AD∥BC,则: ,又 AB∥ED,则: ,所以, (平方厘米) 18.【一半模型】一个长方形分成 4 个不同的三角形,绿色三角形面积占长方形面积的 ,黄色三角形面积是 .问:长方形的面积是多少平方厘米? 【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长,高相加为长方形的 宽,所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的 ,而绿色三角形面积 占长方形面积的 ,所以黄色三角形面积占长方形面积的 . 已知黄色三角形面积是 ,所以长方形面积等于 ( ). 19.【表面积计算】如图,棱长分别为 厘米、 厘米、 厘米、 厘米的四个正方体紧贴 在一起,则所得到的多面体的表面积是多少平方厘米? 【解析】(法 1)四个正方体的表面积之和为: (平方厘米), 重叠部分的面积为: (平方厘米), 所以,所得到的多面体的表面积为: (平方厘米). FGCxBFGDBFFC A B C D EF G x y yx A B C D EF G DGFEC DE2ABCD 836 13.538 4 8 1 1 3 ABCD4 1 8 1ABCD ADGAEF AHHADH A B C D E F G )H( A B C D E F G H ADHGFEABCD (9 7 7) 2 46 38 34 25 2 194 5 252 5 3 3422 5 3 2 382 2 2 8 (法 2)三视图法.从前后面观察到的面积为 平方厘米,从左右 两个面观察到的面积为 平方厘米,从上下能观察到的面积为 平方厘米. 表面积为 (平方厘米). 20.【表面积计算】用棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形,问该图形的表 面积是多少平方厘米? 【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9、7、7 块正方形组成. 该图形的表面积等于 个小正方形的面积,所以该图形表面积 为 46 平方厘米. 21.【取特殊点】长方形 的面积为 36, 、 、 为各边中点, 为 边上任 意一点,问阴影部分面积是多少? 【解析】特殊点法.由于 为 边上任意一点,找 的特殊点,把 点与 点重合 (如左上图),那么阴影部分的面积就是 与 的面积之和,而这两个三角形 的面积分别为长方形 面积的 和 ,所以阴影部分面积为长方形 面积的 ,为 . 22.【共高模型】如图,长方形 的面积是 2 平方厘米, , 是 的中 点.阴影部分的面积是多少平方厘米? 【解析】如下图,连接 , 、 的面积相等,设为 平方厘米; 、 60 5 10 20 25 ABEF 20 10 2 60 10 10 5 20BCE DECBEFBF 5 10E D CB A F 5 10E D CB A F ABEFCED DEFABCDCFBD 192 81 19 9 53影阴9 )12( 2 4S = = S = - - - =1 C49 )16( 216S = =7 B )16( 216S = =819 A 4 3 10 9 4 3 9 16 yy3 3 120.252 5 5y 0.25x 0.25 x2 0.5x2 ② ① xy xy 31 0.53 3 3S =x+ y=l1 1 1 BDE S x yBCD 2 2 1 y3 1DEFyDFC 9 的面积相等,设为 平方厘米,那么 的面积为 平方厘米. , .所以有 .比较②、①式,② 式左边比①式左边多 ,②式右边比①式右边大 0.5,有 ,即 , .而阴影部分面积为 平方厘米. 23.【周长与面积】如图,大长方形的面积是小于 200 的整数,内部有三个边长为整数的 正方形 A、B、C,正方形 B 的边长是长方形长的 7/16,正方形 C 的边长是长方形宽的 1/4,那么剩余黑色区域的面积是多少? 【解析】如图,长方形长的 =宽的 ,可求出长与宽的比,再根据面积小于 200 确定面 积大小,从长方形面积中减去 A、B、C 就是阴影部分面积。长× =宽× ,长:宽=4:3 面积<200 的整数,所以长=16,宽=12,面积=192 , 。 24.【梯形蝴蝶】如图所示, 、 将长方形 分成 4 块, 的面积是 5 平 方厘米, 的面积是 10 平方厘米.问:四边形 的面积是多少平方厘米? 【解析】连接 ,根据梯形模型,可知三角形 的面积和三角形 的面积相等, 即其面积也是 10 平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形 的面积为 (平 方厘米),所以长方形的面积为 (平方厘米).四边形 的面积为 (平方厘米). 2.5 32.8 8 4.1 109.9 77.1 32.8 21.98 5 109.9 21.98π37π4π 22 3.14π77.1 10 25.【面积与重叠】奥运会的会徽是五环图,一个五环图是由内圆直径为 6 厘米,外圆直 径为 8 厘米的五个环组成,其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等,已知 五个圆环盖住的面积是 平方厘米,求每个小曲边四边形的面积.( ) 【解析】⑴每个圆环的面积为: (平方厘米); ⑵五个圆环的面积和为: (平方厘米); ⑶八个阴影的面积为: (平方厘米); ⑷每个阴影的面积为: (平方厘米). 26.【圆柱体表面积】如图是一个半径为 4 厘米,高为 4 厘米的圆柱体,在它的中间依次 向下挖半径分别为 3 厘米、2 厘米、1 厘米,高分别为 2 厘米、1 厘米、0.5 厘米 的圆柱体,则最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米? 【解析】圆柱挖掉 3 个小圆柱,表面积会增 3 个圆柱的侧面积,底面积总和不变。 总表面积为:2×3π×2+2×2π×1+2×1π×0.5=12π+4π+1π=17π 27.【等积变形】输液 100 毫升,每分钟输 毫升.如图,请你观察第 12 分钟时图中的 数据,问:整个吊瓶的容积是多少毫升? 30 30 60 30 10 30 20, , ,1 2 4.5 13 9 3 13.5 9 △ABC△ S ABC 1 2 9 18 30 △ S AEO 1CO A B CD E O 3 1 2 1 1 29 5.45.13 A B CD E O △ABC4 △ABCOADBEEC AE2BD DC3 100 50 150 2.5 12 302.5 11 【解析】100 毫升的吊瓶在正放时,液体在 100 毫升线下方,上方是空的,容积是多 少不好算.但倒过来后,变成圆柱体,根据标示的格子就可以算出来. 由于每分钟输 毫升,12 分钟已输液 (毫升),因此开始输液时 液面应与 50 毫升的格线平齐,上面空的部分是 50 毫升的容积.所以整个吊瓶的容积 是 (毫升). 28.【表面积变化】如图,有一个边长为 20 厘米的大正方体,分别在它的角上、棱上、 面上各挖掉一个大小相同的小立方体后,表面积变为 2454 平方厘米,那么挖掉的小立方 体的边长是多少厘米? 【解析】大立方体的表面积是 20 20 6 2400 平方厘米.在角上挖掉一个小正方体后, 外面少了 3 个面,但里面又多出 3 个面;在棱上挖掉一个小正方体后,外面少了 2 个面, 但里面多出 4 个面;在面上挖掉一个小正方体后,外面少了 1 个面,但里面多出 5 个 面.所以,最后的情况是挖掉了三个小正方体,反而多出了 6 个面,可以计算出每个面的 面积:(2454 2400) 6 9 平方厘米,说明小正方体的棱长是 3 厘米. 29.【燕尾模型】如图,已知 , , 与 相交于点 ,则 被分成的 部分面积各占 面积的几分之几? 【解析】连接 ,设 份,则其他部分的面积如图所示,所以 份,所以四部分按从小到大各占 面积的 30.【格点与面积】如图(a),有 21 个点,每相邻三个点成“∵”或“∴”,所形成的三 角形都是等边三角形.计算三角形 ABC 的面积. S 1 2 3 4 10S FBC 4 S ACD 2 S AEB 3 S 1 2 3 4 10S FBC 4S AEB 3S ACD 2 A B CDF E C B A )d()c( Ⅰ Ⅱ Ⅲ R G H Ⅲ Ⅱ Ⅰ ' ' ' )a( )b( A B C E F D C B A 12 【解析】方法一:如图(b)所示,在 ABC 内连接相邻的三个点成 DEF,再连接 DC、 EA、FB 后是 ABC 可看成是由 DEF 分别延长 FD、DE、EF 边一倍、一倍、二倍而成的,由等积变 换不难得到 , , ,所以 (面积单位). 方法二:如图(c)所示,作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位 置,这样可以通过数小正三角形的方法,求出 ABC 的面积为 10. 方法三:如图(d)所示:作辅助线可知:平行四边形 ARBE 中有 6 个小正三角形, 而 ABE 的面积是平行四边形 ARBE 面积的一半,即 ,平行四边形 ADCH 中有 4 个小正三角形,而 ADC 的面积是平行四边形 ADCH 面积的一半, 即 .平行四边形 FBGC 中有 8 个小正三角形,而 FBC 的面积是平行四 边形 FBGC 的一半,即: .所以 (面积单位). 小升初数学复习:几何图形的十大解法(30 例) 一、分割法 例 1: 将两个相等的长方形重合在一起,求组合图形的 面积。(单位:厘米) 2 例 2: 下列两个正方形边长分别为 8 厘米和 5 厘米, 求阴影部分面积。 例 3: 左图中两个正方形的边长分别为 8 厘米和 6 厘米。 求阴影部分面积。 二、添辅助线 例 1:已知正方形边长 4 厘米,A、B、C、D 是正方形边上的中点,P 是任意 一点。求阴影部分面积。 C P D B A 例 2:将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分,它们面积相差 40 平方 厘米,平行四边形底 20.4 厘米,高 8 厘米。梯形下底是多少厘米? 例 3: 平行四边形的面积是 48 平方厘米,BC 分别是 A 这个平行四边形相邻两条边的中点,连接 A、 B B、C 得到 4 个三角形。求阴影部分的面积。 C 三、倍比法 例 1: A B 已知:OC=2AO,SABO=2 ㎡,求梯形 ABCD O 的面积。 D C 例 2: 7.5 已知:S 阴=8.75 ㎡ ,求下图梯形的面积。 2.5 例 3: A 下图 AB 是 AD 的 3 倍,AC 是 AE 的 5 倍, D E 那么三角形 ABC 的面积是三角形 ADE 的多少 倍? B C 四、割补平移 例 1: A B 已知:S 阴=20 ㎡, EF 为中位线 E F 求梯形 ABCD 的面积。 D C 例 2: 10 求左图面积(单位:厘米) 5 5 10 例 3: 把一个长方形的长和宽分别增加 2 a 2 厘米,面积增加 24 平方厘米。 b 求原长方形的周长。 2 2 五、等量代换 例 1: B 已知:AB 平行于 EC,求阴影部分面积。 A O C 8 E 10 D (单位:m) 例 2:下图两个正方形边长分别是 6 分米、4 分米。求阴影部分面积。 4 1 3 2 例 3:已知三角形 ABC 的面积等于三角形 AED 的面积(形状大小都相同), 它们重叠在一起,比较三角形 BDF 和三角形 CEF 的面积大小。( ) A A 三角形 DBF 大 B 三角形 CEF 大 D C C 两个三角形一样大 D 无法比较 B F E 六、等腰直角三角形 例 1: 已知长方形周长为 22 厘米,长 7 厘米,求 阴影部分面积。 45° 例 2: 已知下列两个等腰直角三角形,直角边分别 是 10 厘米和 6 厘米。求阴影部分的面积。 2 例 3: 下图长方形长 9 厘米,宽 6 厘米,求阴影部分 A B 面积。 45° F E D C 七、扩倍、缩倍法 例 1: 如图:正方形面积是 32 平方厘米,直角三角形 中的短直角边是长直角边的四分之一,三角形 a 面积是多少平方厘米? b 例 2: 求左下图的面积(单位:米)。 30 30 40 例 3: 左图中每个小方格都是面积为 3 平方厘米的 正方形。求阴影部分面积。 八、代数法 例 1:图中三角形甲的面积比乙的面积少 8 平方厘 米,AB=8cm,CE=6cm。求三角形甲和三角形乙的面积各是多少? A 甲 D 8 乙 F B C 6 E 例 2:B 左图所示,AF=12,ED=10,BE=8,CF=6(单位:厘米) C 求四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米? A E F D 例 3: 左图是一个等腰三角形,它的腰长是 20 厘米, 面积是 144 平方厘米。在底边上任取一点向两腰 20 20 作垂线,得 a 和 b,求 a+b 的和。 a b 九、看外高 例 1: 下图两个正方形的边长分别是 6 厘米和 3 厘米, 求阴影部分的面积。 例 2: 下图长方形长 10 厘米,宽 7 厘米,求阴影部分面积。 2 例 3:A D F 正方形 ABCD 的边长是 18 厘米,CE=2DE E (1)求三角形 CEF 的面积。 B C (2)求 DF 的长度。 十、概念法 例 1:一个直角三角形,三条边分别为 4 厘米、6 厘米和 7 厘米。求它的面 积。 例 2:用 4 个直角边分别是 3 厘米、4 厘米和 5 厘米的直角三角形拼成一个 菱形。这个菱形的周长和面积各是多少? 例 3:一个平行四边形两条边分别是 5 厘米和 3 厘米,其中一条高为 4.2,求这个平行四边形的面积。查看更多