举一反三奥数解题技巧大全100讲

举一反三奥数解题技巧大全100讲

第一讲 观察法 在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。‎ 观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。‎ 观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。‎ ‎*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学 第二册，第11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。‎ 解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18会想到，‎18-10-6‎=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。‎ 从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，‎18-7-2‎=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。‎ ‎             ‎ 从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，‎18-9-6‎=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。‎ 从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，‎18-7-6‎=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。‎ 627‎ ‎                ‎ 从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，‎18-3-7‎=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。‎ 又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，‎18-5-9‎=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。‎ 图1-5是填完数字后的幻方。‎ 例2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度）‎ ‎6、16、26、____、____、____、____。‎ ‎9、18、27、____、____、____、____。‎ ‎80、73、66、____、____、____、____。‎ 解：观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大10。‎ 观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。‎ 观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小7。‎ 这样可得到本题的答案是：‎ ‎6、16、26、36、46、56、66。‎ ‎9、18、27、36、45、54、63。‎ ‎80、73、66、59、52、45、38。‎ 例3 将1～9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。（适于三年级程度）‎ 解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数1。再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。‎ 627‎ 所以，在左下角的那个方框中应填9，在它右邻的方框中应填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。‎ 图1-7是填完数字的图形。‎ ‎          ‎ 例4 从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？（适于三年级程度）‎ 解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。”‎ 我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？都是什么情况？‎ ‎（1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图1-8）。‎ ‎（2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图1-9）。‎ ‎（3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，‎ ‎               ‎ 剩下五个角（图1-10）。‎ 例5 甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每个数字都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半，这个数是多少？（适于三年级程度）‎ 解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。‎ 甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。在阿拉伯数字中，只有0、1、6、8、9这五个数字正看、倒看都表示数。‎ 这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。‎ 627‎ 如果这个数是666，当其中一个人看到的是666时，另一个人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以这个数是666，也可以是999。‎ ‎*例6 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少？（适于三年级程度）‎ 解：这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出正确答案，但因数字大，计算起来容易出错。‎ 如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是1966，第二个数比它大10，第三个数比它大20，第四个数比它大30，第五个数比它大40。因此，这道题可以用下面的方法计算：‎ ‎1966+1976+1986+1996+2006‎ ‎=1966×5+10×（1+2+3+4）‎ ‎=9830+100‎ ‎=9930‎ 这五个数还有另一个特点：中间的数是1986，第一个数1966比中间的数1986小20，最后一个数2006比中间的数1986大20，1966和2006这两个数的平均数是1986。1976和1996的平均数也是1986。这样，中间的数1986是这五个数的平均数。所以，这道题还可以用下面的方法计算：‎ ‎1966+1976+1986+1996+2006‎ ‎=1986×5‎ ‎=9930‎ 例7 你能从400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到启发，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得数吗？（适于四年级程度）‎ 解：我们仔细观察一下算式：‎ ‎400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16‎ 不难看出，原来的被除数和除数都乘以4，目的是将除数变成1后面带有0的整百数。这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数（零除外），商不变”。‎ 进行这种变化的好处就是当除数变成了1后面带有0的整百数以后，就可以很快求出商。按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。‎ ‎（1）600÷25                  （2）900÷25‎ ‎=（600×4）÷（25×4）       =（900×4）÷（25×4）‎ 627‎ ‎=600×4÷100                   =900×4÷100‎ ‎=24                              =36‎ ‎（3）1400÷25                  （4）1800÷25‎ ‎=（1400×4）÷（25×4）      =（1800×4）÷（25×4）‎ ‎=1400×4÷100                  =1800×4÷100‎ ‎=56                              =72‎ ‎（5）7250÷25‎ ‎=（7250×4）÷（25×4）‎ ‎=29000÷100‎ ‎=290‎ ‎*例8 把1～1000的数字如图1-11那样排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是87。如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是837，这六个数都是多少？（适于五年级程度）‎ 解：（1）观察框内的六个数可知：第二个数比第一个数大1，第三个数比第一个数大2，第四个数比第一个数大7，第五个数比第一个数大8，第六个数比第一个数大9。‎ 假定不知道这几个数，而知道上面观察的结果，以及框内六个数的和是87，要求出这几个数，就要先求出六个数中的第一个数：‎ ‎（‎87-1-2‎-7-8-9）÷6‎ ‎＝60÷6‎ ‎=10‎ 求出第一个数是10，往下的各数也就不难求了。‎ 因为用同样的方法框出的六个数之和是837，这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一个数大1、2、7、8、9，所以，这六个数中的第一个数是：‎ 627‎ ‎（‎837-1-2‎-7-8-9）÷6‎ ‎＝810÷6‎ ‎=135‎ 第二个数是：135+1=136‎ 第三个数是：135+2=137‎ 第四个数是：135+7=142‎ 第五个数是：135+8=143‎ 第六个数是：135+9=144‎ 答略。‎ ‎（2）观察框内的六个数可知：①上、下两数之差都是7；②方框中间坚行的11和18，分别是上横行与下横行三个数的中间数。‎ ‎11=（10+11+12）÷3‎ ‎18=（17+18+19）÷3‎ 所以上横行与下横行两个中间数的和是：‎ ‎87÷3＝29‎ 由此可得，和是837的六个数中，横向排列的上、下两行两个中间数的和是：‎ ‎837÷3＝279‎ 因为上、下两个数之差是7，所以假定上面的数是x，则下面的数是x+7。‎ x+（x+7）=279‎ ‎2x+7=279‎ ‎2x=279-7‎ ‎=272‎ x=272÷2‎ ‎=136‎ x+7=136+7‎ 627‎ ‎=143‎ 因为上一横行中间的数是136，所以，第一个数是：136-1=135‎ 第三个数是：135+2=137‎ 因为下一横行中间的数是143，所以，‎ 第四个数是：143-1=142‎ 第六个数是：142+2=144‎ 答略。‎ ‎*例9 有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？（适于五年级程度）‎ 解：（1）锯去一个顶点（图1-12），因为正方体原来有8个顶点，锯去一个顶点后，增加了三个顶点，所以，‎ ‎8-1+3=10‎ 即锯去一个顶点后还有10个顶点。‎ ‎              ‎ ‎（2）如果锯开的截面通过长方体的一个顶点，则剩下的顶点是8-1+2=9（个）（图1-13）。‎ ‎（3）如果锯开的截面通过长方体的两个顶点，则剩下的顶点是8-1+1=8（个）（图1-14）。‎ ‎              ‎ ‎（4）如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是8-1=7（个）（图1-15）。‎ 例10 将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体（图1-16），求这个物体的表面积S。（适于六年级程度）‎ 解：我们知道，底面半径为γ，高为h的圆柱体的表面积是2πγ2+2πγh。‎ 627‎ ‎                   ‎ 本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积，再把三个圆柱的表面积加在一起，然后减去重叠部分的面积，才能得到这个物体的表面积，这种计算方法很麻烦。这是以一般的观察方法去解题。‎ 如果我们改变观察的方法，从这个物体的正上方向下俯视这个物体，会看到这个物体上面的面积就像图1-17那样。这三个圆的面积，就是底面半径是1.5米的那个圆柱的底面积。所以，这个物体的表面积，就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。‎ ‎（2π×1.52+2π×1.5×1）+（2π×1×1）+（2π×0.5×1）‎ ‎=（4.5π+3π）+2π+π ‎=7.5π+3π ‎=10.5π ‎=10.5×3.14‎ ‎=32.97（平方米）‎ 答略。‎ ‎*例11 如图1-18所示，某铸件的横截面是扇形，半径是15厘米，圆心角是72°，铸件长20厘米。求它的表面积和体积。（适于六年级程度）‎ 解：遇到这样的题目，不但要注意计算的技巧，还要注意观察的全面性，不可漏掉某一侧面。图1-18表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉，因而在解题时要仔细。‎ 求表面积的方法1：‎ 627‎ ‎＝3.14×45×2+600+120×3.14‎ ‎=3.14×90+3.14×120+600‎ ‎=3.14×（90+120）+600‎ ‎=659.4+600‎ ‎=1259.4（平方厘米）‎ 求表面积的方法2：‎ ‎=3.14×210+600‎ ‎=659.4+600‎ ‎=1259.4（平方厘米）‎ 铸件的体积：‎ ‎=3.14×225×4‎ ‎=3.14×900‎ 627‎ ‎=2826（立方厘米）‎ 答略。‎ 第二讲 尝试法 解应用题时，按照自己认为可能的想法，通过尝试，探索规律，从而获得解题方法，叫做尝试法。尝试法也叫“尝试探索法”。‎ 一般来说，在尝试时可以提出假设、猜想，无论是假设或猜想，都要目的明确，尽可能恰当、合理，都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么，从而减少尝试的次数，提高解题的效率。‎ 例1 把数字3、4、6、7填在图2-1的空格里，使图中横行、坚列三个数相加都等于14。（适于一年级程度）‎ 解：七八岁的儿童，观察、总结、发现规律的能力薄弱，做这种填空练习，一般都感到困难。可先启发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。中间一格的数确定后，下面一格的数便可由竖列三个数之和等于14来确定，剩下的两个数自然应填入左右两格了。‎ 中间一格应填什么数呢？‎ 先看一个日常生活中的例子。如果我们要从一种月刊全年的合订本中找到第六期的第23页，我们一定要从合订本大约一半的地方打开。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23页的地方翻，……‎ 这样反复试探几次，步步逼近，最后就能找到这一页。‎ 这就是在用“尝试法”解决问题。‎ 本题的试数范围是3、4、6、7四个数，可由小至大，或由大至小依次填在中间的格中，按“横行、竖列三个数相加都得14”的要求来逐个尝试。‎ ‎                          ‎ 如果中间的格中填3，则竖列下面的一格应填多少呢？因为‎14-5-3‎=6，所以竖列下面的一格中应填6（图2-2）。‎ 627‎ 下面就要把剩下的4、7，分别填入横行左右的两个格中（图2-3）。把横行格中的4、3、7三个数加起来，得14，合乎题目要求。‎ 如果中间一格填4、或填6、7都不合乎题目的要求。‎ 所以本题的答案是图2-3或图2-4。‎ 例2 把1、2、3……11各数填在图2-5的方格里，使每一横行、每一竖行的数相加都等于18。（教科书第四册第57页的思考题，适于二年级程度）‎ 解：图2-5中有11个格，正好每一格填写一个数。‎ 图2-6中写有A、B、C的三个格中的三个数，既要参加横向的运算，又要参加纵向的运算，就是说这三个数都要被用两次。因此，确定A、B、C这三个数是解此题的关键。‎ ‎                     ‎ 因为1～11之中中间的三个数是5、6、7，所以，我们以A、B、C分别为5、‎ ‎6、7开始尝试（图2-7）。‎ 以6为中心尝试，看6上、下两个格中应填什么数。‎ 因为18-6=12，所以6上、下两格中数字的和应是12。‎ 考虑6已是1～11之中中间的数，那么6上、下两格中的数应是1～11之中两头的数。再考虑6上面的数还要与5相加，6下面的数还要与7相加，5比7小，题中要求是三个数相加都等于18，所以在6上面的格中填11，在6下面的格中填1（图2-8）。‎ 627‎ ‎6+11+1=18‎ 看图2-8。6上面的数是11，11左邻的数是5，‎18-11-5‎=2，所以5左邻的数是2（图2-9）。‎ 再看图2-8。6下面的数是1，1右邻的数是7，‎18-1-7‎=10，所以7右邻的数是10（图2-9）。‎ 现在1～11之中只剩下3、4、8、9这四个数，图2-9中也只剩下四个空格。在5的上、下，在7的上、下都应填什么数呢？‎ ‎                     ‎ 因为18-5=13，所以5上、下两格中数字的和应是13，3、4、8、9这四个数中，只有4+9=13，所以在5的上、下两格中应填9与4（图2-10）。‎ 看图2-10。因为6左邻的数是4，‎18-4-6‎=8，所以6右邻的数是8。‎ 因为‎18-7-8‎=3，并且1-11的数中，只剩下3没有填上，所以在7下面的格中应填上3。‎ 图2-10是填完数字的图形。‎ ‎*例3 在9只规格相同的手镯中混有1只较重的假手镯。在一架没有砝码的天平上，最多只能称两次，你能把假手镯找出来吗？（适于三年级程度）‎ 解：先把9只手镯分成A、B、C三组，每组3只。‎ ‎①把A、B两组放在天平左右两边的秤盘上，如果平衡，则假的1只在C组里；若不平衡，则哪组较重，假的就在哪组里。‎ ‎②再把有假手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上。如果平衡，余下的1只是假的；若不平衡，较重的那只是假的。‎ ‎*例4 在下面的15个8之间的任何位置上，添上+、-、×、÷符号，使得下面的算式成立。（适于三年级程度）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986‎ 解：先找一个接近1986的数，如：8888÷8+888=1999。‎ ‎1999比1986大13。往下要用剩下的7个8经过怎样的运算得出一个等于13的算式呢？88÷8=11，11与13接近，只差2。‎ 往下就要看用剩下的4个8经过怎样的运算等于2。8÷8+8÷8=2。‎ 627‎ 把上面的思路组合在一起，得到下面的算式：‎ ‎8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986‎ 例5 三个连续自然数的积是120，求这三个数。（适于四年级程度）‎ 解：假设这三个数是2、3、4，则：‎ ‎2×3×4=24‎ ‎24＜120，这三个数不是2、3、4；‎ 假设这三个数是3、4、5，则：‎ ‎3×4×5＝60‎ ‎60＜120，这三个数不是3、4、5；‎ 假设这三个数是4、5、6，则：‎ ‎4×5×6=120‎ ‎4、5、6的积正好是120，这三个数是4、5、6。例6 在下面式子里的适当位置上加上括号，使它们的得数分别是47、75、23、35。（适于四年级程度）‎ ‎（1）7×9+12÷3-2＝47‎ ‎（2）7×9+12÷3-2=75‎ ‎（3）7×9+12÷3-2=23‎ ‎（4）7×9+12÷3-2=35‎ 解：本题按原式的计算顺序是先做第二级运算，再做第一级运算，即先做乘除法而后做加减法，结果是：‎ ‎7×9+12÷3-2‎ ‎=63+4-2‎ ‎=65‎ ‎“加上括号”的目的在于改变原来的计算顺序。由于此题加中括号还是加小括号均未限制，因此解本题的关键在于加写括号的位置。可以从加写一个小括号想起，然后再考虑加写中括号。如：‎ 627‎ ‎（1）7×7=49，再减2就是47。这里的第一个数7是原算式中的7，要减去的2是原算式等号前的数，所以下面应考虑能否把9+12÷3通过加括号后改成得7的算式。经过加括号，（9+12）÷3=7，因此：‎ ‎7×[（9+12）÷3]-2=47‎ 因为一个数乘以两个数的商，可以用这个数乘以被除数再除以除数，所以本题也可以写成：‎ ‎7×（9+12）÷3-2=47‎ ‎（2）7×11=77，再减2就得75。这里的7是原算式中的第一个数，要减去的2是等号前面的数。下面要看9+12÷3能不能改写成得11的算式。经尝试9+12÷3不能改写成得11的算式，所以不能沿用上一道题的解法。7×9+12得75，这里的7、9、12就是原式中的前三个数，所以只要把3-2用小括号括起来，使7×9+12之和除以1，问题就可解决。由此得到：‎ ‎（7×9+12）÷（3-2）=75‎ 因为（3-2）的差是1，所以根据“两个数的和除以一个数，可以先把两个加数分别除以这个数，然后把两个商相加”这一运算规则，上面的算式又可以写成：‎ ‎7×9+12÷（3-2）=75‎ 在上面的这个算式中，本应在7×9的后面写上“÷（3-2）”，因为任何数除以1等于这个数本身，为了适应题目的要求，不在7×9的后写出“÷（3-2）”。‎ ‎（3）25-2=23，这个算式中，只有2是原算式等号前的数，只要把7×9+12÷3改写成得25的算式，问题就可解决。又因为7×9+12=75，75÷3=25，所以只要把7×9+12用小括号括起来，就得到题中所求了。‎ ‎（7×9+12）÷3-2=23‎ ‎（4）7×5=35， 7是原算式中的第一个数，原算式中的 9+12÷3-2能否改写成得5的算式呢？因为 7-2=5，要是9+12÷3能改写成得7的算式就好了。经改写为（9+12）÷3=7，因此问题得到解决。题中要求的算式是：‎ ‎7×[（9+12）÷3-2]=35‎ ‎*例7 王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天数比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。他俩共剪了112只羊的羊毛，两人平均每天剪14只羊的羊毛。李平剪了几天羊毛？（适于四年级程度）‎ 解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛计算，一共剪的天数是：‎ ‎112÷14=8（天）‎ 因为王明每天剪20只，李平每天剪12只，一共剪了112只，两人合起来共剪了8天，并且李平剪的天数多，所以假定李平剪了5天。则：‎ 627‎ ‎12×5+20×（8-5）=120（只）‎ ‎120＞112，李平不是剪了5天，而是剪的天数多于5天。‎ 假定李平剪了6天，则：‎ ‎12×6+20×（8-6）=112（只）‎ 所以按李平剪6天计算，正满足题中条件。‎ 答：李平剪了6天。‎ ‎*例8 一名学生读一本书，用一天读80页的速度，需要5天读完，用一天读90页的速度，需要4天读完。现在要使每天读的页数跟能读完这本书的天数相等，每天应该读多少页？（适于五年级程度）‎ 解：解这道题的关键是要求出一本书的总页数。因为每天读的页数乘以读的天数等于一本书的总页数，又因为每天读的页数与读完此书的天数相等，所以知道了总页数就可以解题了。‎ 根据“用一天读80页的速度，需要5天读完”，是否能够认为总页数就是 80×5=400（页）呢？不能。‎ 因为5天不一定每天都读80页，所以只能理解为：每天读80页，读了4天还有余下的，留到第五天才读完。这也就是说，这本书超过了80×4=320（页），最多不会超过：‎ ‎90×4=360（页）‎ 根据以上分析，可知这本书的页数在321～360页之间。知道总页数在这个范围之内，往下就不难想到什么数自身相乘，积在321～360之间。‎ 因为17×17=289，18×18=324，19×19=361，324在321～360之间，所以只有每天读18页才符合题意，18天看完，全书324页。‎ 答：每天应该读18页。‎ ‎*例9 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数有许多约数是两位数。这些两位数的约数中，最大的是几？（适于六年级程度）‎ 解：两位数按从大到小的顺序排列为：‎ ‎99、98、97、96……11、10‎ 以上两位数分解后，它的质因数只能是2、3、5、7，并且在它的质因数分解中2的个数不超过5，3的个数不超过3，5的个数不超过2，7的个数不超过1。‎ 经尝试，99不符合要求，因为它有质因数11；98的分解式中有两个7，也不符合要求；质数97当然更不会符合要求。而，‎ 627‎ ‎96=2×2×2×2×2×3‎ 所以在这些两位数的约数中，最大的是96。‎ 答略。‎ ‎*例10 从一个油罐里要称出6千克油来，但现在只有两个桶，一个能容4千克，另一个能容9千克。求怎样才能称出这6千克油？（适于六年级程度）‎ 解：这道题单靠计算不行，我们尝试一些做法，看能不能把问题解决。‎ 已知大桶可装9千克油，要称出6千克油，先把能容9千克油的桶倒满，再设法倒出9千克油中的3千克，为达到这一目的，我们应使小桶中正好有1千克油。‎ 怎样才能使小桶里装1千克油呢？‎ ‎（1）把能容9千克油的大桶倒满油。‎ ‎（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。‎ ‎（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。‎ ‎（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩下1千克油。‎ ‎（5）把小桶中现存的4千克油倒回油罐。此时油罐外，只有大桶里有1千克油。‎ ‎（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。‎ ‎（7）往大桶倒满油。‎ ‎（8）从大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒满。‎ ‎（9）大桶里剩下6千克油。‎ 第三讲 列举法 解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。 ‎ 用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。‎ 例1 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度）‎ 解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。‎ 个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。‎ 627‎ 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。‎ ‎10+10=20（个）‎ 答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。‎ ‎*例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度）‎ 解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。‎ 第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C 答：从A市经过B市到C市共有6种走法。*例3 9○13○7=100‎ ‎14○2○5=□‎ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级程度）‎ 解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。‎ 先看第一个式子：9○13○7=100‎ 如果在两个圆圈内填上“÷”号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填“+”、“-”号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填“÷”号，也不能同时填“+”、“-”号。‎ 要是在等式的一个圆圈中填入“×”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入“+”和“×”号，就会凑出100了。‎ 627‎ ‎9+13×7=100‎ 再看第二个式子：14○2○5=□‎ 上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“÷”号和“-”号了。如果在第一个圆圈内填上“÷”号， 14÷2得到整数，所以：‎ ‎14÷2-5=2‎ 即长方形中的数是2。‎ ‎*例4   印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度）‎ 解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。‎ ‎（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码：‎ ‎2×90=180（个）‎ ‎（3）还剩下的数码：‎ ‎1890-9-180=1701（个）‎ ‎（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，999-99=900，而剩下的1701个数码除以3时，商不足600，即商小于900。所以页码最高是3位数，不必考虑是4位数了。往下要看1701个数码可以排多少页。‎ ‎1701÷3=567（页）‎ ‎（5）这本书的页数：‎ ‎9+90+567=666（页）‎ 答略。‎ ‎*例5 用一根80厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是5的倍数。哪一种方法围成的长方形面积最大？（适于四年级程度）‎ 解：要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加以比较。因为长方形的周长是80厘米，所以长与宽的和是40厘米。列表3-1：‎ 表3-1‎ 627‎ 表3-1中，长、宽的数字都是5的倍数。因为题目要求的是哪一种围法的长方形面积最大，第四种围法围出的是正方形，所以第四种围法应舍去。‎ 前三种围法的长方形面积 分别是：‎ ‎35×5=175（平方厘米）‎ ‎30×10=300（平方厘米）‎ ‎25×15=375（平方厘米）‎ 答：当长方形的长是25厘米，宽是15厘米时，长方形的面积最大。‎ 例6 如图3-2，有三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3，从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都写出来。（适于五年级程度）‎ 解：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3，其中2和3是质数；‎ 任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是质数；‎ 三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的和都是1+2+3=6，即它们都是3的倍数，所以都不是质数。‎ 综上所说，所能得到的质数是2、3、13、23、31，共五个。‎ ‎*例7 在一条笔直的公路上，每隔10千米建有一个粮站。一号粮站存有10吨粮食，2号粮站存有20吨粮食，3号粮站存有30吨粮食，4号粮站是空的，5号粮站存有40吨粮食。现在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果每吨1千米的运费是0.5元，那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少（图3-3）？（适于五年级程度）‎ 627‎ 解：看图3-3，可以断定粮食不能集中在1号和2号粮站。‎ 下面将运到3号、4号、5号粮站时所用的运费一一列举，并比较。‎ ‎（1）如果运到3号粮站，所用运费是：‎ ‎0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）‎ ‎=100+100+400‎ ‎=600（元）‎ ‎（2）如果运到4号粮站，所用运费是：‎ ‎0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10‎ ‎=150+200+150+200‎ ‎=700（元）‎ ‎（3）如果运到5号粮站，所用费用是：‎ ‎0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）‎ ‎=200+300+300‎ ‎=800（元）‎ ‎800＞700＞600‎ 答：集中到第三号粮站所用运费最少。‎ ‎*例8 小明有10个1分硬币，5个2分硬币，2个5分硬币。要拿出1角钱买1支铅笔，问可以有几种拿法？用算式表达出来。（适于五年级程度）‎ 解：（1）只拿出一种硬币的方法：‎ ‎①全拿1分的：‎ ‎1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）‎ ‎②全拿2分的：‎ ‎2+2+2+2+2=1（角）‎ ‎③全拿5分的：‎ ‎5+5=1（角）‎ 627‎ 只拿出一种硬币，有3种方法。‎ ‎（2）只拿两种硬币的方法：‎ ‎①拿8枚1分的，1枚2分的：‎ ‎1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）‎ ‎②拿6枚1分的，2枚2分的：‎ ‎1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）‎ ‎③拿4枚1分的，3枚2分的：‎ ‎1+1+1+1+2+2+2=1（角）‎ ‎④拿2枚1分的，4枚2分的：‎ ‎1+1+2+2+2+2=1（角）‎ ‎⑤拿5枚1分的，1枚5分的：‎ ‎1+1+1+1+1+5=1（角）‎ 只拿出两种硬币，有5种方法。‎ ‎（3）拿三种硬币的方法：‎ ‎①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：‎ ‎1+1+1+2+5=1（角）‎ ‎②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：‎ ‎1+2+2+5=1（角）‎ 拿出三种硬币，有2种方法。‎ 共有：‎ ‎3+5+2=10（种）‎ 答：共有10种拿法。‎ ‎*例9 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问小强赛了几盘？（适于五年级程度）‎ 解：作表3-2。‎ 627‎ 表3-2 ‎ 甲已经赛了4盘，就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强相交的那些格里都打上√；乙赛的盘数，就是除了与甲赛的那一盘，又与丙和小强各赛一盘，在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上√；丙赛了两盘，就是丙与甲、乙各赛一盘，打上√；丁与甲赛的那一盘也打上√。‎ 丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。‎ 根据条件分析，填完表格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁赛，共赛2盘。‎ 答：小强赛了2盘。‎ ‎*例10 商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顾客要买9千克饼干，为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种发货方式？（适于五年级程度）‎ 解：作表3-3列举发货方式。‎ 表3-3‎ 答：不开箱有7种发货方式。‎ ‎*例11 运输队有30辆汽车，按1～30的编号顺序横排停在院子里。第一次陆续开走的全部是单号车，以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。到第几次时汽车全部开走？最后开走的是第几号车？（适于五年级程度）‎ 627‎ 解：按题意画出表3-4列举各次哪些车开走。‎ 表3-4‎ 从表3-4中看得出，第三次开走后剩下的是第8号、16号、24号车。按题意，第四次8号、24号车开走。到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。‎ 答：到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。‎ ‎*例12 在甲、乙两个仓库存放大米，甲仓存90袋，乙仓存50袋，甲仓每次运出12袋，乙仓每次运出4袋。运出几次后，两仓库剩下大米的袋数相等？（适于五年级程度）‎ 解：根据题意列表3-5。‎ 表3-5‎ 从表3-5可以看出，原来甲乙两仓库所存大米相差40袋；第一次运走后，两仓剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次运走后，两仓剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次运走后，两仓剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次运走后，两仓剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次运走后，两仓剩下的大米袋数相等。‎ ‎40-32=8‎ ‎32-24=8‎ 627‎ ‎24-16=8‎ ‎……‎ 从这里可以看出，每运走一次，两仓库剩下大米袋数的相差数就减少8袋。由此可以看出，两仓库原存大米袋数的差，除以每次运出的袋数差就得出运几次后两个仓库剩下大米的袋数相等。‎ ‎（90-50）÷（12-4）=5（次）‎ 答：运出5次后两个仓库剩下大米的袋数相等。‎ ‎*例13 有三组小朋友共72人，第一次从第一组里把与第二组同样多的人数并入第二组；第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；第三次从第三组里把与第一组同样多的人数并入第一组。这时，三组的人数一样多。问原来各组有多少个小朋友？（适于五年级程度）‎ 解：三个小组共72人，第三次并入后三个小组人数相等，都是72÷3=24（人）。在这以前，即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时，第一组应是24÷2=12（人），第三组应是（24+12）=36（人），第二组人数仍为24人；在第二次第二组未把与第三组同样多的人数并入第三组之前，第三组应为36÷2=18（人），第二组应为（24+18）=42（人），第一组人数仍是12人；在第一次第一组未把与第二组同样多的人数并入第二组之前，第二组的人数应为42÷2=21（人），第一组人数应为12+21=33（人），第三组应为18人。‎ 这33人、21人、18人分别为第一、二、三组原有的人数，列表3-6。‎ 表3-6‎ 答：第一、二、三组原有小朋友分别是33人、21人、 18人 第四讲 综合法 从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法叫做综合法。 ‎ 627‎ 以综合法解应用题时，先选择两个已知数量，并通过这两个已知数量解出一个问题，然后将这个解出的问题作为一个新的已知条件，与其它已知条件配合，再解出一个问题……一直到解出应用题所求解的未知数量。‎ 运用综合法解应用题时，应明确通过两个已知条件可以解决什么问题，然后才能从已知逐步推到未知，使问题得到解决。这种思考方法适用于已知条件比较少，数量关系比较简单的应用题。‎ 例1 甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠，4天完成任务。甲队每天挖40米，乙队每天挖多少米？（适于三年级程度）‎ 解：根据“甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠”和“4天完成任务”这两个已知条件，可以求出甲乙两队每天共挖水渠多少米（图4-1）。‎ ‎300÷4=75（米）‎ 根据“甲、乙两队每天共挖水渠75米”和“甲队每天挖40米”这两个条件，可以求出乙队每天挖多少米（图4-1）。‎ ‎75-40=35（米）‎ 综合算式：‎ ‎300÷4-40‎ ‎=75-40‎ ‎=35（米）‎ 答：乙队每天挖35米。‎ 例2 两个工人排一本39500字的书稿。甲每小时排3500字，乙每小时排3000字，两人合排5小时后，还有多少字没有排？（适于四年级程度）‎ 解：根据甲每小时排3500字，乙每小时排3000字，可求出两人每小时排多少字（图4-2）。‎ 627‎ ‎3500+3000=6500（字）‎ 根据两个人每小时排6500字，两人合排5小时，可求出两人5小时已排多少字（图4-2）。‎ ‎6500×5=32500（字）‎ 根据书稿是39500字，两人已排32500字，可求出还有多少字没有排（图4-2）。‎ ‎39500-32500=7000（字）‎ 综合算式：‎ ‎39500-（3500+3000）×5‎ ‎=39500-6500×5‎ ‎=39500-32500‎ ‎=7000（字）‎ 答略。‎ 例3 客车、货车同时由甲、乙两地出发，相向而行。客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，5小时后客车和货车相遇。求甲、乙两地之间的路程。（适于四年级程度）‎ 解：根据“客车每小时行60千米”和“货车每小时行40千米”这两个条件，可求出两车一小时共行多少千米（图4-3）。‎ 627‎ ‎60+40=100（千米）‎ 根据“两车一小时共行100千米”和两车5小时后相遇，便可求出甲、乙两地间的路程是多少千米（图4-3）。‎ ‎100×5=500（千米）‎ 综合算式：‎ ‎（60+40）×5‎ ‎=100×5‎ ‎=500（千米）‎ 答：甲、乙两地间的路程是500千米。‎ 例4 一个服装厂计划做660套衣服，已经做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，问平均每天要做多少套？（适于四年级程度）‎ 解：根据“已经做了5天，平均每天做75套”这两个条件可求出已做了多少套（图4-4）。‎ ‎75×5=375（套）‎ 根据“计划做660套”和“已经做了375套”这两个条件，可以求出还剩下多少套（图4-4）。‎ ‎660-375=285（套）‎ 再根据“剩下285套”和“剩下的要3天做完”，便可求出平均每天要做多少套（图4-4）。‎ ‎285÷3=95（套）‎ 综合算式：‎ ‎（660-75×5）÷3‎ 627‎ ‎=285÷3‎ ‎=95（套）‎ 答略。‎ 例5 某装配车间，甲班有20人，平均每人每天可做72个零件；乙班有24人，平均每人每天可做68个零件。如果装一台机器需要12个零件，那么甲、乙两班每天生产的零件可以装多少台机器？（适于四年级程度）‎ 解：根据“甲班有20人，平均每人每天可做72个零件”这两个条件可求出甲班一天生产多少个零件（图4-5）。‎ ‎72×20=1440（个）‎ 根据“乙班有24人，平均每天每人可做68个零件”这两个条件可求出乙班一天生产多少个零件（图4-5）。‎ ‎68×24=1632（个）‎ 根据甲、乙两个班每天分别生产1440个、1632个零件，可以求出甲、乙两个班一天共生产多少个零件（图4-5）。‎ ‎1440+1632=3072（个）‎ 再根据两个班一天共做零件3072个和装一台机器需要12个零件这两条件，可求出两个班一天生产的零件可以装多少台机器。‎ ‎3072÷12=256（台）‎ 综合算式：‎ ‎（72×20+68×24）÷12‎ ‎=（1440+1632）÷12‎ ‎=3072÷12‎ 627‎ ‎=256（台）‎ 答略。‎ 例6 一个服装厂计划加工2480套服装，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套。提高工作效率后，还要加工多少天才能完成任务？（适于四年级程度）‎ 解：根据每天加工100套，加工20天，可求出已经加工多少套（图4-6）。‎ ‎100×20=2000（套）‎ 根据计划加工2480套和加工了2000套，可求出还要加工多少套（图4-6）。‎ ‎2480-2000=480（套）‎ 根据原来每天加工100套，现在每天多加工20套，可求出现在每天加工多少套（图4-6）。‎ ‎100+20=120（套）‎ 根据还要加工480套，现在每天加工120套，可求出还要加工多少天（图4-6）。‎ ‎48O÷120=4（天）‎ 综合算式：‎ ‎（2480-100×20）÷（100+20）‎ ‎=480÷120‎ ‎=4（天）‎ 答略。‎ 刚开始学习以综合法解应用题时，一定要画思路图，当对综合法的解题方法已经很熟悉时，就可以不再画思路图，而直接解答应用题了。‎ 627‎ 解：此题先后出现了两个标准量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。‎ ‎=49.5（千克）‎ 答略。‎ 解：此题先后出现两个标准量：“甲块地产高粱的重量”和“乙块地产高粱的重量”。‎ 将题中已知条件的顺序变更一下：丙块地产高粱450千克，丙块地比乙 条件，可求出乙块地产高粱是：‎ 627‎ ‎（这里乙块地的产量是标准量1）‎ ‎（这里甲块地的产量是标准量1）‎ 综合算式：‎ ‎=546（千克）‎ 答略。‎ 第五讲 分析法 从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件，依次推导，一直到问题得到解决的解题方法叫分析法。‎ 用分析法解应用题时，如果解题所需要的两个条件，（或其中的一个条件）是未知的，就要分别求解找出这两个（或一个）条件，一直到所需要的条件都是已知的为止。‎ 分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。‎ 例1 玩具厂计划每天生产200件玩具，已经生产了6天，共生产1260件。问平均每天超过计划多少件？（适于三年级程度）‎ 解：这道题是求平均每天超过计划多少件。要求平均每天超过计划多少件，必须具备两个条件（图5-1）：①实际每天生产多少件；②计划每天生产多少件。‎ 627‎ 计划每天生产200件是已知条件。实际每天生产多少件，题中没有直接告诉，需要求出来。‎ 要求实际每天生产多少件，必须具备两个条件（图5-1）：①一共生产了多少件；②已经生产了多少天。这两个条件都是已知的：①一共生产了1260件；②已经生产了6天。‎ 分析到这里，问题就得到解决了。‎ 此题分步列式计算就是：‎ ‎（1）实际每天生产多少件？‎ ‎1260÷6=210（件）‎ ‎（2）平均每天超过计划多少件？‎ ‎210-200=10（件）‎ 综合算式：‎ ‎1260÷6-200‎ ‎=210-200‎ ‎=10（件）例2 四月上旬，甲车间制造了257个机器零件，乙车间制造的机器零件是甲车间的2倍。四月上旬两个车间共制造多少个机器零件？（适于三年级程度）‎ 解：要求两个车间共制造多少个机器零件，必须具备两个条件（图5-2）：①甲车间制造多少个零件；②乙车间制造多少个零件。已知甲车间制造257个零件，乙车间制造多少个零件未知。‎ 下面需要把“乙车间制造多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。‎ 这两个条件（图5-2）是：①甲车间制造多少个零件；②乙车间制造的零件是甲车间的几倍。这两个条件都是已知的：①甲车间制造257个，乙车间制造的零件数是甲车间的2倍。‎ 分析到此，问题就得到解决了。‎ 此题分步列式计算就是：‎ 627‎ ‎（1）乙车间制造零件多少个？‎ ‎257×2=514（个）‎ ‎（2）两个车间共制造零件多少个？‎ ‎257+514=771（个）‎ 综合算式：‎ ‎257+257×2‎ ‎=257+514‎ ‎=771（个）‎ 答略。‎ 例3 某车间要生产180个机器零件，已经工作了3天，平均每天生产20个。剩下的如果每天生产30个，还需要几天才能完成？（适于四年级程度）‎ 解：要求还需要几天才能完成，必须具备两个条件（图5-3）：①还剩下多少个零件；②每天生产多少个零件。在这两个条件中，每天生产30个零件是已知条件，还剩多少个零件未知。‎ 先把“还剩多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。‎ 要算出还剩下多少个零件，必须具备的两个条件（图5-3）是：①要生产多少个零件；②已经生产了多少个零件。要生产180个零件是已知条件，已经生产多少个零件未知。‎ 然后把“已经生产多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。‎ 要算出已生产多少个零件，必须知道的两个条件（图5-3）是：①每天生产多少个零件；②生产了几天。这两个条件题中都已经给出：每天生产20个零件，生产了3天。‎ 分析到此，问题就得到解决。   ‎ 上面的思考过程，分步列式计算就是：‎ 627‎ ‎（1）已经生产了多少个零件？‎ ‎20×3=60（个）‎ ‎（2）剩下多少个零件？‎ ‎180-60=120（个）‎ ‎（3）还要几天才能完成？‎ ‎120÷30=4（天）‎ 综合算式：‎ ‎（180-20×3）÷30‎ ‎=（180-60）÷30‎ ‎=120÷30‎ ‎=4（天）‎ 答略。‎ 例4 王明买了24本笔记本和6支铅笔，共花了9.60元钱。已知每支铅笔0.08元，每本笔记本多少钱？（适于五年级程度）‎ 解：要算出每本笔记本多少钱，必须具备两个条件（图5-4）：①买笔记本用了多少钱；②买了多少本笔记本。从题中已知买了24本笔记本，买笔记本用的钱数未知。‎ 先把买笔记本用的钱数作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。‎ 要算出买笔记本用多少钱，必须知道的两个条件（图5-4）是：①买笔记本、铅笔共用多少钱；②买铅笔用多少钱。已知买笔记本、铅笔共用9.60元，买铅笔用去多少钱未知。‎ 然后找出“买铅笔用多少钱”所需要的两个条件。‎ 要算出买铅笔用多少钱，必须知道的两个条件（图5-4）是：①买多少支铅笔；②每支铅笔多少钱。这两个条件在题中都是已知的：买6支铅笔，每支0.08元。‎ 627‎ 分析到此，问题就得到解决。‎ 此题分步列式计算就是：‎ ‎（1）买铅笔用去多少元？‎ ‎0.08×6=0.48（元）‎ ‎（2）买笔记本用去多少元？‎ ‎9.60-0.48=9.12（元）‎ ‎（3）每本笔记本多少元？‎ ‎9.12÷24=0.38（元）‎ 列综合算式计算：‎ ‎（9.60-0.08×6）÷24‎ ‎＝（9.60-0.48）÷24‎ ‎=9.12÷24‎ ‎=0.38（元）‎ 答：每本笔记本0.38元。‎ 例5 仓库里共有化肥2520袋，两辆车同时往外运，共运30次，每次甲车运51袋。每次甲车比乙车多运多少袋？（适于五年级程度）‎ 解：求每次甲车比乙车多运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①甲车每次运多少袋；②乙车每次运多少袋。甲车每次运51袋已知，乙车每次运多少袋未知。‎ 627‎ 先找出解答“乙车每次运多少袋”所需要的两个条件。‎ 要算出乙车每次运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①两车一次共运多少袋；②甲车一次运多少袋。甲车一次运51袋已知；两车一次共运多少袋是未知条件。‎ 然后把“两车一次共运多少袋”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。‎ 要算出两车一次共运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①一共有多少袋化肥；②两车共运多少次。这两个条件都是已知的：共有2520袋化肥，两车共运30次。‎ 分析到此，问题就得到解决。‎ 此题分步列式计算就是：‎ ‎①两车一次共运多少袋？‎ ‎2520÷30=84（袋）‎ ‎②乙车每次运多少袋？‎ ‎84-51=33（袋）‎ ‎③每次甲车比乙车多运多少袋？‎ ‎51-33=18（袋）‎ 综合算式：‎ ‎51-（2520÷30-51）‎ ‎=51-33‎ ‎=18（袋）‎ 答略。‎ ‎*例6 把627.5千克梨装在纸箱中，先装7箱，每箱装梨20千克，其余的梨每箱装37.5千克。这些梨共装多少箱？（适于五年级程度）‎ 627‎ 解：要算出共装多少箱，必须具备两个条件（图5-6）：①先装多少箱。②后装多少箱。先装7箱已知，后装多少箱未知。‎ 先把“后装多少箱”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。‎ 要算出后装多少箱，必须具备两个条件（图5-6）：①后来一共要装多少千克；②后来每箱装多少千克。后来每箱装37.5千克已知，后来一共装多少千克未知。‎ 要把“后来一共要装多少千克”作为一个问题提出，并找出回答这一问题所需要的两个条件。要求后来一共要装多少千克，必须具备两个条件（图5-6）：①梨的总重量；②先装了多少千克。梨的总重量是627.5千克已知的；先装了多少千克是未知的，要把它作为一个问题提出来，并找出回答这个问题所需要的两个条件。‎ 这两个条件（图5-6）是：①先装的每箱装梨多少千克；②装了多少箱。这两个条件都是已知的：先装的每箱装梨20千克，装了7箱。‎ 分析到此，问题就得到解决了。‎ 此题分步列式计算就是：‎ ‎①先装多少千克？‎ ‎20×7=140（千克）‎ ‎②后来共装多少千克？‎ ‎627.5-140=487.5（千克）‎ ‎③后来装了多少箱？‎ ‎487.5÷37.5=13（箱）‎ ‎④共装多少箱？‎ ‎7+13=20（箱）‎ 627‎ 综合算式：‎ ‎7+（627.5-20×7）÷37.5‎ ‎=7+（627.5-140）÷37.5‎ ‎=7+487.5÷37.5‎ ‎=7+13‎ ‎=20（箱）‎ 答略。‎ 注意：开始学习用分析法解应用题时，一定要画思路图，当对分析法的解题方法已经很熟悉时，可不再画思路图，而直接分析解答应用题了。‎ 节约了15％。问六月份比四月份少用煤多少吨？（适于六年级程度）‎ 解：此题中出现两个标准量：“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。四月份的用煤量和六月份的用煤量都与五月份的用煤量有直接联系。‎ 要算出六月份比四月份少用煤多少吨，必须知道六月份、四月份各用煤多少吨。‎ 要算出六月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②六月份比五月份节约多少。这两个条件都是已知的。六月份用煤的吨数是：‎ ‎3200×（1-15％）=2720（吨）‎ 要算出四月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②五月份比四月份节约多少。这两个条件都是已知的。四月份用煤的吨数是：‎ 知道了六月份、四月份用煤的吨数，就可以求出六月份比四月份少用煤多少吨。‎ ‎3600-2720=880（吨）‎ 综合算式：‎ 627‎ ‎=3600-2720‎ ‎=880（吨）‎ 答略。‎ 答略。‎ 第六讲 分析-综合法 综合法和分析法是解应用题时常用的两种基本方法。在解比较复杂的应用题时，由于单纯用综合法或分析法时，思维会出现障碍，所以要把综合法和分析法结合起来使用。我们把分析法和综合法结合起来解应用题的方法叫做分析-综合法。 ‎ ‎*例1 运输队要把600吨化肥运到外地，计划每天运22吨。运了15天以后，剩下的化肥要在10天内运完。这样每天要比原计划多运多少吨？（适于五年级程度）‎ 解：解此题要运用分析法和综合法去思考。‎ 先用综合法思考。根据“原计划每天运22吨”和“运了15天”这两个条件，可以求出已经运出的吨数（图6-1）。‎ 根据要“运600吨”和已经运出的吨数，可以求出剩下化肥的吨数（图6-1）。‎ 接下去要用哪两个数量求出什么数量呢？不好思考了。所以用综合法分析到这儿，接着要用分析法思考了。‎ 要求“每天比原计划多运多少吨”，必须知道“后来每天运多少吨”和“原计划每天运多少吨”。“原计划每天运22吨”是已知条件，“后来每天运多少吨”不知道，这是此题的中间问题（图6-2）。‎ 627‎ 要知道“后来每天运多少吨”，必须知道“剩下多少吨”和“要在多少天内运完”。这两个条件中，第二个条件是已知的，“要在10天内运完”，“剩下多少吨”是未知的中间问题。‎ 我们在前面用综合法分析这道题时，已经得到求剩下吨数的方法了。‎ 所以本题分析到这里就可以解答了。‎ 此题分步列式解答时，要从图6-1的上面往下看，接着从图6-2的下面往上看。‎ ‎（1）已经运多少吨？‎ ‎22×15=330（吨）‎ ‎（2）剩下多少吨？‎ ‎600-330=270（吨）‎ ‎（3）后来每天运多少吨？‎ ‎270÷10=27吨）‎ ‎（4）每天比原计划多运多少吨？‎ ‎27-22=5（吨）‎ 综合算式：‎ ‎（600-22×15）÷10-22‎ ‎=（600-330）÷10-22‎ ‎=270÷10-22‎ ‎=27-22‎ ‎=5（吨）‎ 答略。‎ 627‎ ‎*例2 某鞋厂原计划30天做皮鞋13500双，实际上每天比原计划多做50双。问这个鞋厂提前几天完成原计划的任务？（适于五年级程度）‎ 解：解答此题一般要运用分析法和综合法去思考。‎ 先用分析法思考。要算出提前几天完成计划，必须知道“原计划天数”和“实际做鞋数”（图6-3）。“原计划天数”是30‎ 天，已经知道；“实际做鞋天数”不知道，是中间问题。‎ 要知道“实际做鞋天数”必须知道“皮鞋总数”和“实际每天做的皮鞋数”（图6-3）。‎ 到此可以往下思考，要算出实际每天做的皮鞋数，必须具备哪两个条件？但有的人觉得这样思考时不顺当，思路会“卡壳”，这时就要换用综合法进行思考。‎ 由“原计划30天做皮鞋13500双”，可求出“原计划每天做的皮鞋数”（图6-4）。‎ 由“原计划每天做的皮鞋数”和“实际每天比原计划多做50双”，可用加法算出“实际每天做的皮鞋数”（图6-4）。‎ 分析到此，这道题的问题就得到解决了。此题用分步列式的方法计算时，得从图6-4的上面往下面推想，然后从图6-3的后面（下面）往前推想。‎ ‎（1）看图6-4的思路图。通过把原计划做的13500双除以计划做的30天，可以得到原计划每天做多少双皮鞋。‎ ‎13500÷30=450（双）‎ ‎（2）在计划每天做的450双皮鞋上，加上实际每天多做的50双，得到实际每天做的皮鞋数。‎ 627‎ ‎450+50=500（双）‎ ‎（3）接着看图6-3的思路图。从思路图的下面往上推想，皮鞋总数除以实际每天做的皮鞋数500双，得到实际制做的天数。‎ ‎13500÷500=27（天）‎ ‎（4）接着往上看，从原计划做的30天，减去实际做的天数27天，就得到提前完成计划的天数。‎ ‎30-27=3（天）‎ 把上面分步计算的算式综合为一个算式是：‎ ‎30-13500÷（13500÷30+50）‎ ‎=30-13500÷500‎ ‎=30-27‎ ‎=3（天）‎ 答略。‎ ‎*例3甲、乙两队同时开凿一条2160米长的隧道，甲队从一端起，每天开凿20米，乙队从另一端起，每天比甲队多开凿5米。两队在离中点多远的地方会合？（适于五年级程度）‎ 解：看图6-5。要求两队在离中点多远的地方会合，需要知道隧道的中点及会合点离一端的距离（分析法）。‎ 每天20米每天比甲队多5米 隧道全长2160米，中点到一端的距离可以通过2160÷2求得（综合法）。‎ 要求出会合点（在甲队的一侧）距离甲队开凿点的距离，实际就是求甲队开凿的米数。要求甲队开凿的米数，就要知道甲队（或乙队）每天开凿的米数（已知）和开凿的天数（分析法）。甲队每天开凿20米已知，开凿的天数不知道。‎ 要求出开凿的天数，需要知道隧道的全长（已知）和两队每天共开凿多少米（分析法）。‎ 已知甲队每天开凿20米，乙队每天比甲队多开凿5米，这样可以求出乙队每天开凿多少米，从而求出甲、乙两队一天共开凿多少米（综合法）。‎ 627‎ 分析到此，这道题的问题就得到解决了。‎ 此题用分步列式的方法计算时，还得从上面分析过程的后面往前推理。‎ ‎（1）乙队每天开凿多少米？‎ ‎20+5=25（米）‎ ‎（2）甲乙两队一天共开凿多少米？‎ ‎20+25=45（米）‎ ‎（3）甲乙两队共同开凿这个隧道用多少天？‎ ‎2160÷45=48（天）‎ ‎（4）甲队开凿了多少米？（会合点与甲队开凿点的距离）‎ ‎20×48=960（米）‎ ‎（5）甲队到中点的距离是多少米？‎ ‎2160÷2=1080（米）‎ ‎（6）会合点与中点间的距离是多少米？‎ ‎1080-960=120（米）‎ 综合算式：‎ ‎2160÷2-20×[2160÷（20+20+5）]‎ ‎=1080-20×48‎ ‎=1080-960‎ ‎=120（米）‎ 答略。‎ ‎*例4某中队三个小队的少先队员采集树种。第一小队8名队员共采集11.6千克，第二小队6名队员比第一小队少采集2.8千克，第三小队10名 克？（适于五年级程度）‎ 627‎ 解：如果先用综合法分析，虽然已知数量间存在着一定的关系，但不容易选择出与所求数量有直接联系的数量关系。而用分析法分析，能立即找到与所求数量有直接联系的数量关系，找到解题所需要的数量后，再用综合法分析。‎ 要求出三个小队平均每名队员采集多少千克，必需知道“三个小队共采集树种多少千克”和“全体队员的人数”（图6-6）。‎ 要求“三个小队共采集多少千克”，必须知道一、二、三这三个小队各采集多少千克；要求“全体队员人数”必须知道各小队的人数（图6-6）。‎ 三个小队的人数都已经知道，第一小队采集11.6千克也已知，只是第二、三小队各采集多少还不知道。‎ 往下可用综合法得出二、三小队各采集多少千克（图6-6）。‎ 由“第一小队共采集11.6千克”和“第二小队比第一小队少采集2.8千克”，可求出第二小队采集多少千克；由“第二小队采集的重量”和“第 往下可由三个小队各采集多少千克之和，求出三个小队共采集多少千克；也可以由各小队的人数之和求出“全体队员的人数”。‎ 到此本题就可以解出来了。‎ 本题分步列式解答的方法是：‎ ‎（1）第二小队采集多少千克？‎ 627‎ ‎11.6-2.8=8.8（千克）‎ ‎（2）第三小队采集多少千克？‎ ‎（3）三个小队共采集多少千克？‎ ‎11.6+8.8+13.2=33.6（千克）‎ ‎（4）三个小队有多少队员？‎ ‎8+6+10=24（人）‎ ‎（5）平均每人采集多少千克？‎ ‎33.6÷24=1.4（千克）‎ 综合算式：‎ ‎=33.6÷24‎ ‎=1.4（千克）‎ 答略。‎ ‎*例5甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，行车15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇。这时快车开到甲城还需要多少小时？（适于六年级程度）‎ 解：运用分析法和综合法，分析此题的思路是：‎ 先用分析法来思考。要求出“快车开到甲城还需要多少小时”，必须知道两个条件（图6-7）：①相遇地点到甲城的距离；②快车每小时行多少千米。这两个条件题目中都没给出，应把它们分别作为中间问题。‎ 627‎ 接着思考，要求相遇地点到甲城的路程必须具备哪两个条件？要求快车每小时行多少千米必须具备哪两个条件？……如果思路不“卡壳”，就一直思考下去，直到解答出所求问题。如果思路“卡壳”了，就改用综合法思考。另画一个思路图（图6-8）。‎ 图6-8中慢车已行的路程，就是快车从相遇点到甲城的路程。这段路程是：‎ 快车已行的路程是：‎ ‎210-90=120（千米）‎ 快车每小时所行的路程是：‎ ‎120÷2=60（千米）‎ 到此，我们可以把慢车走过的路程除以快车的速度，得到快车开到甲城还需要的时间是：‎ ‎90÷60=1.5（小时）‎ 综合算式：‎ 答略。‎ 第七讲 归一法 先求出单位数量（如单价、工效、单位面积的产量等），再以单位数量为标准，计算出所求数量的解题方法叫做归一法。 ‎ 归一法分为一次直进归一法、一次逆反归一法、二次直进归一法、二次逆反归一法。‎ 627‎ 用归一法一般是解答整数、小数应用题，但也可以解答分数应用题。有些应用题用其它方法解答比较麻烦，不易懂，用归一法解则简单，容易懂。‎ ‎（一）一次直进归一法 通过一步运算求出单位数量之后，再求出若干个单位数量和的解题方法叫做一次直进归一法。‎ ‎1.解整数、小数应用题 例1某零件加工小组，5天加工零件1500个。照这样计算，14天加工零件多少个？（适于三年级程度）‎ 解：（1）一天加工零件多少个？‎ ‎1500÷5=300（个）‎ ‎（2）14天加工零件多少个？‎ ‎300×14=4200（个）‎ 综合算式：‎ ‎1500÷5×14=4200（个）‎ 答略。‎ 此类型题是适宜用一次直进归一法解的基本题型，下面的题都在此类型题的基础上有所扩展。‎ 例2 用一台大型抽水机浇地，5小时浇了15公顷。照这样计算，再浇3小时，这台抽水机比原来多浇多少公顷地？（适于三年级程度）‎ 解：（1）一小时浇地多少公顷？‎ ‎15÷5=3（公顷）‎ ‎（2）3小时浇地多少公顷？‎ ‎3×3=9（公顷）‎ 综合算式：‎ ‎15÷5×3=9（公顷）‎ 答略。例3一辆汽车3小时行驶了123.6千米。照这样的速度，再行驶4小时，这辆汽车一共行驶了多少千米？（适于五年级程度）‎ 627‎ 解：（1）一小时行驶多少千米？‎ ‎123.6÷3=41.2（千米）‎ ‎（2）前后共行驶多少小时？‎ ‎3+4=7（小时）‎ ‎（3）一共行驶多少千米？‎ ‎41.2×7=288.4（千米）‎ 综合算式：‎ ‎123.6÷3×（3+4）‎ ‎=41.2×7‎ ‎=288.4（千米）‎ 答略。‎ ‎2.解分数应用题 经行驶了4份，还剩下全路程的7-4=3（份）。还可知，行驶4份用的时间是8小时。‎ ‎（1）行驶1份用的时间是：‎ ‎8÷4=2（小时）‎ ‎（2）行驶剩下的3份用的时间是：‎ ‎2×3=6（小时）‎ 答略。‎ 627‎ 数量是单位“1”。把六月份的伐木数量平均分成6份，五月份的伐木数量就相当于六月份伐木数量的5份。‎ ‎（1）一份木材是多少立方米？‎ ‎240÷5=48（立方米）‎ ‎（2）因为六月份比五月份多伐一份，所以六月份的伐木数量是：‎ ‎240+48=288（立方米）‎ 答略。‎ 兔，其余的是灰兔。已知黑兔比白兔多21只。求灰免有多少只？（适于六年级程度）‎ ‎12份，白兔占5份，则灰兔占‎20-12-5‎=3（份）。‎ ‎（1）黑兔比白兔多21只，这21只所对应的份数是：‎ ‎12-5=7（份）‎ ‎（2）每一份的只数是：‎ ‎21÷7=3（只）‎ ‎（3）灰兔的只数是：‎ ‎3×3=9（只）‎ 答略。‎ 程度）‎ 627‎ 运进一些红糖后，把两种糖的总重量平均分成10份，红糖占3份，白糖占7份。把上面的数量用表7-1表示。‎ 表7-1‎ ‎（1）白糖的重量是：‎ ‎63O÷5×4=504（千克）‎ ‎（2）运来红糖后两种糖的总重量是：‎ ‎504÷7×10=720（千克）‎ ‎（3）运来的红糖是：‎ ‎720-630=90（千克）‎ 答略。‎ ‎（二）一次逆转归一法 通过一步计算求出单位数量，再求总数量里包含多少个单位数量的解题方法，叫做一次逆转归一法。‎ 例1 一列火车6小时行驶390千米。照这样的速度，要行驶1300千米的路程，需要多少小时？（适于三年级程度）‎ 解：（1）一小时行驶多少千米？‎ ‎390÷6=65（千米）‎ ‎（2）行驶1300千米需要多少小时？‎ ‎1300÷65=20（小时）‎ 综合算式：‎ 627‎ ‎1300÷（390÷6）‎ ‎=1300÷65‎ ‎=20（小时）‎ 答略。‎ 此题是一次逆转归一的基本题，下面的题都在此题的基础上有所扩展。‎ 例2某人骑自行车从甲地到乙地，2小时行了26千米，剩下的路程是52千米。按照这样的速度，此人从甲地到乙地要行几小时？（适于四年级程度）‎ 解：（1）一小时行多少千米？‎ ‎26÷2=13（千米）‎ ‎（2）行驶52千米用几小时？‎ ‎52÷13=4（小时）‎ ‎（3）从甲地到乙地要行几小时？‎ ‎2+4=6（小时）‎ 综合算式：‎ ‎2+52÷（26÷2）‎ ‎=2+52÷13‎ ‎=2+4‎ ‎=6（小时）‎ 答略。‎ 例3 学校买来135米塑料绳，先剪下9米做了5根跳绳。照这样计算，剩下的塑料绳可以做多少根跳绳？（适于五年级程度）‎ 解：（1）一根跳绳有多少米？‎ ‎9÷5=1.8（米）‎ ‎（2）剩下的塑料绳有多少米？‎ ‎135-9=126（米）‎ 627‎ ‎（3）剩下的绳子可以做多少根跳绳？‎ ‎126÷1.8=70（根）‎ 综合算式：‎ ‎（135-9）÷（9÷5）‎ ‎=126÷1.8‎ ‎=70（根）‎ 答略。‎ ‎（三）二次直进归一法 通过两步计算求出单位数量，再求若干个单位数量和的解题方法叫做二次直进归一法。‎ ‎*例1 4辆同样的卡车7次运货物224吨。照这样计算，9辆同样的卡车10次可以运货物多少吨？（适于五年级程度）‎ 解：摘录整理题中的条件，排列成表7-2。‎ ‎（1）4辆卡车一次运货多少吨？‎ ‎224÷7=32（吨）‎ ‎（2）一辆卡车一次运货多少吨？‎ ‎32÷4=8（吨）‎ ‎（3）9辆卡车一次运货多少吨？‎ ‎8×9=72（吨）‎ 表7-2‎ ‎（4）9辆卡车10次运货多少吨？‎ ‎72×10=720（吨）‎ 综合算式：‎ 627‎ ‎224÷7÷4×9×10‎ ‎=8×9×10‎ ‎=720（吨）‎ 答略。‎ 此题是二次直进归一的基本题，下面的题在此基础上都有所变化。‎ ‎*例2 某水库上游有农田需抽水浇地，抽水站七月上旬用一台柴油机从 农田用水量要增加，这个抽水站准备同时用4台柴油机抽水。这个抽水站最少还应准备多少千克柴油？（适于五年级程度）‎ 解：摘录整理题中条件，排列成表7-3。‎ 分成5份中的4份，所以5份中的1份是：‎ ‎200÷4=50（千克）‎ 表7-3‎ ‎（2）一台柴油机一天用油多少千克？‎ ‎50÷10=5（千克）‎ ‎（3）4台柴油机21天用油多少千克？‎ ‎5×4×21=420（千克）‎ ‎（4）还应准备柴油多少千克？‎ ‎420-200=220（千克）‎ 综合算式：‎ 627‎ ‎200÷4÷10×4×21-200‎ ‎=5×4×21-200‎ ‎=420-200‎ ‎=220（千克）‎ 答略。‎ ‎*例3 冬天，有12头牛3天吃干草720千克。牵走3头牛后，有720千克干草要给剩下的牛吃4天，干草是不是够用？（适于五年级程度）‎ 解：摘录整理题中条件，排列成表7-4。‎ ‎（1）1头牛1天吃干草多少千克？‎ ‎720÷12÷3=20（千克）‎ ‎（2）牵走3头牛后，剩下几头牛？‎ ‎12-3=9（头）‎ 表7-4‎ ‎（3）9头牛4天吃干草多少千克？‎ ‎20×9×4=720（千克）‎ 综合算式：‎ ‎720÷12÷3×（12-3）×4‎ ‎=20×9×4‎ ‎=720（千克）‎ 答：720千克干草正好够用。‎ ‎*例4 用手工剪羊毛，第一天4人6小时剪羊毛120千克。第二天增加了同样能干的3个人，还是工作6小时。问两天一共剪羊毛多少千克？（适于五年级程度）‎ 627‎ 解：摘录整理题中条件，排列成表7-5。‎ ‎（1）1人1小时剪羊毛多少千克？‎ ‎120÷4÷6=5（千克）‎ ‎（2）增加3个人后共有多少个人？‎ ‎4+3=7（人）‎ 表7-5‎ ‎（3）7个人6小时剪多少千克羊毛？‎ ‎5×7×6=210（千克）‎ ‎（4）两天一共剪多少千克羊毛？‎ ‎120+210=330（千克）‎ 综合算式：‎ ‎120+120÷4÷6×（4+3）×6‎ ‎=120+5×7×6‎ ‎=120+210‎ ‎=330（千克）‎ 答略。‎ ‎（四）二次逆转归一法 通过两步计算，求出单位数量之后，再求出总数量里包含多少个单位数量的解题方法，叫做二次逆转归一法。‎ ‎*例1 3台拖拉机8小时耕地4.8公顷。照这样计算，9公顷地，用5台拖拉机耕，需要多少小时？（适于五年级程度）‎ 解：摘录整理题中条件，排列成表7-6。‎ 627‎ ‎（1）1台拖拉机1小时耕地多少公顷？‎ ‎4.8÷3÷8=0.2（公顷）‎ ‎（2）5台拖拉机耕9公顷土地用多少小时？‎ 表7-6‎ ‎9÷5÷0.2=9（小时）‎ 综合算式：‎ ‎9÷5÷（4.8÷3÷8）‎ ‎=9÷5÷0.2‎ ‎=9（小时）‎ 答略。‎ 此题是适于用二次逆转归一法解的基本题，下面的题在此基础上都有所扩展。‎ ‎*例2 7名工人10小时生产机器零件420个。在缺席2名工人的情况下，要生产330个机器零件，要用多少小时？（适于五年级程度）‎ 解：摘录整理题中条件，排列出表7-7。‎ ‎（1）1名工人1小时生产多少个机器零件？‎ 表7-7‎ ‎420÷7÷10=6（个）‎ ‎（2）缺席2名工人，剩下多少名工人？‎ ‎7-2=5（名）‎ 627‎ ‎（3）5名工人生产330个机器零件要用多少小时？‎ ‎330÷5÷6=11（小时）‎ 综合算式：‎ ‎330÷（7-2）÷（420÷7÷10）‎ ‎=330÷5÷6‎ ‎=11（小时）‎ 答略。‎ ‎*例3 有900立方米的土，需要25人12天挖完。如果增加5人，可以提前几天挖完？（适于五年级程度）‎ 解：摘录整理题中条件，排列成表7-8。‎ 设提前x天挖完，则实际完成的天数是（12-x）天。‎ 表7-8‎ ‎（1）原来1人1天挖土多少立方米？‎ ‎900÷12÷25=3（立方米）‎ ‎（2）增加5人后共有多少人？‎ ‎25+5=30（人）‎ ‎（3）30人多少天挖完？‎ ‎900÷30÷3=10（天）‎ ‎（4）可以提前几天挖完？‎ ‎12-10=2（天）‎ 综合算式：‎ ‎12-9000÷（25+5）÷（900÷25÷12）‎ 627‎ ‎=12-900÷30÷3‎ ‎=12-10‎ ‎=2（天）‎ 答略。‎ 第八讲 归总法 已知单位数量和单位数量的个数，先求出总数量，再按另一个单位数量或单位数量的个数求未知数量的解题方法叫做归总法。 ‎ 解答这类问题的基本方法是：‎ 总数量=单位数量×单位数量的个数；‎ 另一单位数量（或个数）=总数量÷单位数量的个数（或单位数量）。‎ 例1 李明从学校步行回家，每小时走4千米，5小时到家。如果他每小时走5千米，几小时到家？（适于三年级程度）‎ 解：要求每小时走5千米，几小时到家，要先求出学校到家有多远，再求几小时到家。因此，‎ ‎4×5÷5‎ ‎=20÷5‎ ‎=4（小时）‎ 答：如果他每小时走5千米，4小时到家。‎ 例 2 王明看一本故事书，计划每天看 15页，20天看完。如果要在12天看完，平均每天要看多少页？（适于三年级程度）‎ 解：要求12天看完，平均每天看多少页，必须先求出这本故事书一共有多少页，再求平均每天看多少页。因此，‎ ‎15×20÷12‎ ‎=300÷12‎ ‎=25（页）‎ 627‎ 答：如果要在12天看完，平均每天要看25页。例3 某工厂制造一批手扶拖拉机，原计划每天制造6台，30天完成。实际上只用了一半的时间就完成了任务。实际每天制造多少台？（适于四年级程度）‎ 解：原来时间的一半就是30天的一半。‎ ‎6×30÷（30÷2）‎ ‎=180÷15‎ ‎=12（台）‎ 答：实际每天制造12台。‎ 例4 永丰化肥厂要生产一批化肥，计划每天生产45吨，24天可以完成任务。由于改进生产技术，提高了工作效率，平均每天比原计划多生产15吨。实际几天完成任务？（适于四年级程度）‎ 解：计划生产的这批化肥是：‎ ‎45×24=1080（吨）‎ 改进生产技术后每天生产：‎ ‎45+15=60（吨）‎ 实际完成任务的天数是：‎ ‎1080÷60=18（天）‎ 综合算式：‎ ‎45×24÷（45+15）‎ ‎=45×24÷60‎ ‎=1080÷60‎ ‎=18（天）‎ 答：实际18天完成任务。‎ 例5 有一批化肥，用每辆载重6吨的汽车4辆运送25次可以运完。如果改用每辆载重8吨的汽车5辆，几次能够运完这批化肥？（适于五年级程度）‎ 解：这批化肥的重量是：‎ ‎6×4×25=600（吨）‎ 627‎ ‎5辆载重8吨的汽车一次运：‎ ‎8×5=40（吨）‎ 能够运完的次数是：‎ ‎600÷40=15（次）‎ 综合算式：‎ ‎6×4×25÷（8×5）‎ ‎=600÷40‎ ‎=15（次）‎ 答：15次能够运完。‎ 例 6 一项工程，20人每天工作8小时，30天可以完成。现在改用40人，每天工作10小时，现在几天可以完成？（适于五年级程度）‎ 解：完成这项工程共用工时：‎ ‎8×20×30=4800（个）‎ 现在每天完成工时：‎ ‎10×40=400（个）‎ 可以完成的天数是：‎ ‎4800÷400=12（天）‎ 综合算式：‎ ‎8×20×30÷（10×40）‎ ‎=4800÷400‎ ‎=12（天）‎ 答略。‎ 例7 印一本书，原计划印270页，每页排24行，每行排30个字。因为要节约用纸，现在改为每页排30行，每行排36个字。这本书要印多少页？（适于五年级程度）‎ 解：原计划要印的总字数：‎ 627‎ ‎30×24×270=194400（个）‎ 改排后每页排字：‎ ‎36×30=1080（个）‎ 这本书要印的页数是：‎ ‎194400÷1080=180（页）‎ 综合算式：‎ ‎30×24×270÷（36×30）‎ ‎=194400÷1080‎ ‎=180（页）‎ 答：这本书要印180页。‎ ‎*例8 服装厂加工一批童装，原计划每天加工210套，7天完成。实际 任务？（适于六年级程度）‎ 解：实际上每天加工童装：‎ 这批童装的总套数是：‎ ‎210×7=1470（套）‎ 实际需要天数是：‎ ‎1470÷294=5（天）‎ 综合算式：‎ 627‎ ‎=1470÷294‎ ‎=5（天）‎ 答 略。‎ 例 9 工厂有一批煤，原计划每天烧 6吨，可以烧 70天，技术革新后，每天节约1.8吨。照这样计算，这批煤可以多烧多少天？（适于五年级程度）‎ 解：这批煤的总吨数是：‎ ‎6×70=420（吨）‎ 现在每天烧的吨数是：‎ ‎6-1.8=4.2（吨）‎ 现在能烧的天数是：‎ ‎420÷4.2=100（天）‎ 可多烧的天数是：‎ ‎100-70=30（天）‎ 综合算式：‎ ‎6×70÷（6-1.8）-70‎ ‎=420÷4.2-70‎ ‎=100-70‎ ‎=30（天）‎ 答略。‎ 例 10 挖一条水渠，原计划每天挖土 135立方米，20天挖完。实际上每天多挖了45立方米。这样可以提前几天完成任务？（适于五年级程度）‎ 解：挖土的总任务是：‎ ‎135×20=2700（立方米）‎ 627‎ 实际上每天的挖土量是：‎ ‎135+45=180（立方米）‎ 实际上只需要的天数是：‎ ‎2700÷180=15（天）‎ 提前完成任务的天数是：‎ ‎20-15=5（天）‎ 综合算式：‎ ‎20-[135×20÷（135+45）]‎ ‎=20-[2700÷180]‎ ‎=20-15‎ ‎=5（天）‎ 答略。‎ ‎*例 11 一堆煤，原计划每天运75吨，20天可以运完。运了2天后，‎ 程度）‎ 解：这批煤总吨数是：‎ ‎75×20=1500（吨）‎ 运2天后，剩下的吨数是：‎ ‎1500-75×2=1350（吨）‎ 现在每天运的吨数是：‎ 还需要运的天数是：‎ ‎1350÷100=13.5（天）‎ 627‎ 提前完成任务的天数是：‎ ‎20-2-13‎‎.5=4.5（天）‎ 综合算式：‎ ‎=18-1350÷100‎ ‎=18-13.5‎ ‎=4.5（天）‎ 答略。‎ 第九讲 分解法 修理工人要掌握一台机器的构造和性能，有一个好办法：把机器拆开，对一个一个零件进行研究，然后再装配起来。经过这样拆拆装装，就能够熟悉机器的构造和性能了，这是日常生活中常见的现象。我们可以从中发现“由整体到部分，由部分到整体”的认识事物的规律。分析应用题也要用到这种方法。 ‎ 一道多步复杂的应用题是由几道一步的基本应用题组成的。在分析应用题时，可把一道复杂的应用题先拆成几道基本应用题，从中找到解题的线索。我们把这种解题的思考方法称为分解法。‎ ‎    ‎ 例1 工厂运来一批煤，原计划每天烧5吨，可以烧12天。现在改进烧煤技术后，每天比原计划节约1吨。现在这批煤可以烧几天？（适于四年级程度）‎ 解：这道题看上去很复杂，可以把它拆成三道一步计算的应用题。‎ ‎（1）工厂运来一批煤，原计划每天烧5吨，可以烧12天，这批煤有多少吨？（60吨）‎ ‎（2）原计划每天烧5吨，现在改进烧煤技术后，每天比原计划节约1吨。现在每天烧煤多少吨？（4吨）‎ ‎（3）工厂运来一批煤重60吨，现在改进烧煤技术每天烧4吨，现在这批煤可以烧多少天？‎ 以上三道一步计算的应用题拼起来就是例1。经过这样拆拆拼拼，这道复杂应用题的来龙去脉就弄清楚了。根据这三道一步应用题的解题线索，问题便可得到解决。‎ 分步列式计算：‎ 627‎ ‎（1）这批煤的重量是：‎ ‎5×12=60（吨）‎ ‎（2）现在每天烧煤的吨数是：‎ ‎5-1=4（吨）‎ ‎（3）现在这批煤可以烧的天数是：‎ ‎60÷4=15（天）‎ 综合算式：‎ ‎5×12÷（5-1）‎ ‎=60÷4‎ ‎=15（天）‎ 答略。‎ 例 2 胜利小学要挖一个长方形的沙坑，长 4米、宽 2米、深0.45米，按每人每小时挖土0.2方计算，应组织多少人才能用1小时完成任务？（适于五年级程度）‎ 解：这道题是由两道小题组成，一道是已知长、宽、深，求长方体沙坑的体积，一道是已知总共要挖的土方和每人每小时可挖的土方，求人数。把它分解成两道题来算，就不难了。‎ 要挖土方：‎ ‎4×2×0.45=3.6（方）‎ 所需人数：‎ ‎3.6÷0.2=18（人）‎ 综合算式：‎ ‎4×2×0.45÷0.2‎ ‎=3.6÷0.2‎ ‎=18（人）‎ 答：需要组织18人。‎ ‎*例 3 东山村播种 1600亩小麦，原计划用 5台播种机，每台播种机每天播种20亩。实际播种时调来8台播种机。这样比原计划提前几天完成？（适于五年级程度）‎ 627‎ 解：把此题拆成四道基本应用题。‎ ‎（1）原计划每天每台播种20亩，5台播种机一天播种多少亩？‎ ‎20×5=100（亩）‎ ‎（2）每天播种100亩，播种1600亩要多少天？‎ ‎1600÷100=16（天）‎ ‎（3）每天每台播种20亩，8台播种机播种1600亩需要多少天？‎ ‎1600÷（20×8）=10（天）‎ ‎（4）比原计划提前几天完成？‎ ‎16-10=6（天）‎ 综合算式：‎ ‎1600÷（20×5）-16000÷（20×8）‎ ‎=1600÷100-1600÷160‎ ‎=16-10‎ ‎=6（天）‎ 答略。‎ ‎*例4 一辆汽车从甲城经过乙城到达丙城，共用了36小时。已知甲城到乙城的路程是640千米，汽车以每小时32千米的速度行驶。其余路程汽车以每小时27千米的速度行驶。求甲城到丙城的路程是多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：可以把这道题分解成四道基本应用题。‎ ‎（1）甲城到乙城的路程是 640千米，这辆汽车以每小时32千米的速度行驶，要行驶多少小时？‎ ‎640÷32=20（小时）‎ ‎（2）从甲城经过乙城到达丙城行驶36小时，从甲城到乙城行驶20小时，乙城到丙城需要行驶多少小时？‎ ‎36-20=16（小时）‎ ‎（3）从乙城到丙城以每小时27千米的速度行驶，用了16小时，所行的路程是多少千米？‎ 627‎ ‎27×16=432（千米）‎ ‎（4）甲城到乙城的路程是640千米，乙城到丙城的路程是432千米，甲城到丙城的路程有多少千米？‎ ‎640+432=1072（千米）‎ 综合算式：‎ ‎640+27×（36-640÷32）‎ ‎=640+27×16‎ ‎=640+432‎ ‎=1072（千米）‎ 答略。‎ ‎*例5 16人 3天平整土地 67.2亩。如果每人每天工作效率提高25％，20人平整280亩土地需要多少天？（适于六年级程度）‎ 解：（1）16人3天平整土地67.2亩，每人每天平均平整土地多少亩？‎ ‎67.2÷16+3=1.4（亩）‎ ‎（2）每人每天平整土地1.4亩，工作效率提高25％后，每人每天平整土地多少亩？‎ ‎1.4×（1+25％）=1.75（亩）‎ ‎（3）工作效率提高后，每人每天平整土地1.75亩，20人每天平整土地多少亩？‎ ‎1.75×20=35（亩）‎ ‎（4）20人每天平整土地35亩，280亩土地需要平整多少天？‎ ‎280÷35=8（天）‎ 综合算式：‎ ‎280÷[67.2÷16÷3×（1+25％）×20）]‎ ‎=280÷[1.4×1.25×20]‎ ‎=280÷35‎ ‎=8（天）‎ 627‎ 答略。‎ ‎10天完成。每天必须比以前多加工多少个零件？（适于六年级程度）‎ 解：把这道题拆成下面的五道基本应用题：‎ ‎（2） 9天加工了450个零件，平均每天加工多少个？‎ ‎450÷9=50（个）‎ ‎（3）要加工1200个零件，已经加工了 450个，还剩多少个？‎ ‎1200-450=750（个）‎ ‎（4）要在 10天内加工剩下的 750个零件，每天平均加工多少个？‎ ‎750÷10=75（个）‎ ‎（5）现在平均每天加工75个，以前平均每天加工50个，现在比以前平均每天多加工多少个？‎ ‎75-50=25（个）‎ 综合算式：‎ ‎=750÷10-450÷9‎ ‎=75-50‎ ‎=25（个）‎ 答：现在比以前平均每天多加工25个。‎ ‎*例7 快、中、慢三辆车从同一地点出发，沿着同一条公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时行驶24千米，中车每小时行驶20千米。慢车每小时行驶多少千米？（适于六年级程度）‎ 627‎ 解：已知慢车12分钟追上骑车人，先求出三辆车出发时与骑车人的距离和骑车人的速度，便可按追及问题来解题。因此，这个问题分解成下面的六道比较简单的应用题来解（图9-1）。‎ ‎（1）已知快车、中车每小时分别行驶24千米、20千米，它们6分钟各行驶多少千米？‎ 快车行驶：‎ ‎（2）快车在距出发点2.4千米的B处追上了骑车人，中车已行驶到了距出发点2千米的A处，这时中车与骑车人相距多少千米？‎ ‎2.4-2=0.4（千米）‎ ‎（3）中车10分钟追上骑车人，中车到A处已走了6分钟，还需几分钟才能追上骑车人？‎ ‎10-6=4（分钟）‎ ‎（4）中车与骑车人相距0.4千米，中车每小时行驶20千米，同时出发，中车4分钟追上骑车人，骑车人每小时行多少千米？‎ 因为在追及问题中，速度差×时间=距离，设骑车人的速度是每小时行v千米，则得：‎ ‎（5）快车与骑车人同时出发，快车与骑车人每小时分别行24千米、14千米，骑车人在前，快车在后，6分钟快车追上骑车人，出发时快车与骑车人相距多少千米？‎ 627‎ ‎（6）慢车与骑车人相距1千米，它们同时出发，向同一个方向行驶，骑车人每小时行14千米，慢车12分钟追上骑车人，慢车每小时行驶多少千米？‎ 因为在追及问题中，速度差×时间=距离，设慢车每小时行v1千米，则得，‎ ‎=5+14‎ ‎=19（千米）‎ ‎（此题列综合算式很复杂，这里不再列出。）‎ 答略。‎ 第十讲 分组法 在日常生活和生产中，有些事物的数量是按照一定的规律，一组一组有秩序地出现的。只要能看出哪些数量是同一组的，并计算出总数量中包含有多少个这样的同一组的数量，就便于计算出这一组数量中的每一种物品各是多少个，从而解答出应用题。这种解答应用题的方法叫做分组法。 ‎ 例1 某汽车制造厂，计划在本月装配98辆汽车。当第一车间每装配5辆吉普车时，第二车间则装配2辆大卡车。求本月该厂装配吉普车、大卡车各多少辆？（适于五年级程度）‎ 解：因为当第一车间每装配5辆吉普车时，第二车间装配2辆大卡车，所以在这同一时间内两个车间一共装配汽车：‎ ‎5+2=7（辆）‎ 把7辆汽车看作一组，看98辆汽车要分成多少组：‎ ‎98÷7=14（组）‎ 因为在一组中有5辆吉普车、2辆大卡车，所以本月装配吉普车：‎ ‎5×14=70（辆）‎ 本月装配大卡车：‎ ‎2×14=28（辆）‎ 627‎ 答略。‎ ‎    ‎ 例2 80名小学生正好做了80朵小红花，每名女学生做3朵小红花，每3名男学生做1朵小红花。求这80名小学生中有男、女生各多少名？（适于五年级程度）‎ 解：因为每名女学生做3朵小红花，每3名男学生做1朵小红花，所以每名女学生和每3名男学生共做小红花：‎ ‎3+1=4（朵）‎ 把4朵小红花看作一组，看80朵小红花中有多少组：‎ ‎80÷4=20（组）‎ 因为做每一组花时有1名女生、3名男生。所以女生人数是：‎ ‎1×20=20（名）‎ 男生人数是：‎ ‎3×20=60（名）‎ 答略。例 3 用 1000个黑珠、白珠串成一串。珠子的排列顺序是：一个白珠、一个黑珠、两个白珠。问这一串珠子中有多少个白珠？最后一个珠子是黑色的还是白色的？（适于五年级程度）‎ 解：这一串珠子的排列顺序是：一白、一黑、两白，不断出现，也就是“三个白珠”与“一个黑珠”为一组。‎ 这1000个珠子可以分为多少组：‎ ‎1000÷（1+3）=250（组）‎ 因为每一组中有3个白珠，所以白珠的总数是：‎ ‎3×250=750（个）‎ 因为每一组最后的那个珠子是白色的，所以第250组最后的一个，也就是第1000个珠子，一定是白色的。‎ 答略。‎ 例 4 院子里有一群鸡和一群兔子，共有100条腿。已知兔子比鸡多一只，求有多少只鸡，多少只兔子？（适于五年级程度）‎ 解：因为兔子比鸡多一只，所以去掉这一只兔子后，鸡兔共有腿：‎ 627‎ ‎100-4=96（条）‎ 因为去掉一只兔后，鸡兔的只数一样多，所以可以把一只鸡和一只兔作为一组，每一组鸡、兔共有腿：‎ ‎4+2=6（条）‎ 一共有多少组鸡、兔，也就是有多少只鸡；‎ ‎96÷6=16（组）‎ 一共有兔：‎ ‎16+1=17（只）‎ 答：有16只鸡，17只兔。‎ 例 5 有一摞扑克牌共60张，都是按红桃2张、梅花1张、方片3张的次序摞起来的。求这一摞扑克有红桃、梅花、方片各多少张？（适于五年级程度）‎ 解：因为都是按红桃2张、梅花1张、方片3张的次序摞起的，所以可把2张红桃、1张梅花、3张方片看作是一组，这一组共有扑克牌：‎ ‎2+1+3=6（张）‎ ‎60张扑克可分为：‎ ‎60÷6=10（组）‎ ‎60张牌中有红桃：‎ ‎2×10=20（张）‎ 有梅花：‎ ‎1×10=10（张）‎ 有方片：‎ ‎3×10=30（张）‎ 答略。‎ ‎*例6 某工厂召开职工代表大会，把会议室的桌凳组合起来使用。3个人坐一条凳子，2个人用1张桌子，132名代表正好坐满。求有桌子多少张，凳子多少条？（适于五年级程度）‎ 解：因为3个人坐一条凳子，2个人用一张桌子，所以2条凳子、3张桌子组合为一组比较适当，这一组的人数是（图10-1）：‎ 627‎ ‎3+3=6（人）‎ 或                    2×3=6（人）‎ ‎132名代表可分成多少组：‎ ‎132÷6=22（组）‎ 因为每一组中有3张桌子，所以22组共有桌子：‎ ‎3×22=66（张）‎ 因为每一组中有2条凳子，所以22组共有凳子：‎ ‎2×22=44（条）‎ 答略。‎ ‎*例7 蜘蛛、蝴蝶共有腿506条，蜘蛛的只数是蝴蝶只数的2倍。已知蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿。求蜘蛛、蝴蝶各有多少只？（适于五年级程度）‎ 解：一只蜘蛛有8条腿，2只蜘蛛有腿：‎ ‎8×2=16（条）‎ 把2只蜘蛛和1只蝴蝶作为一组，它们共有腿：‎ ‎16+6=22（条）‎ ‎506条腿可分成的组数：‎ ‎506÷22=23（组）‎ 因为每一组中有2只蜘蛛，所以23组中有蜘蛛：‎ ‎2×23=46（只）‎ 因为每一组中有一只蝴蝶，所以23组中有蝴蝶23只。‎ 答略。‎ 627‎ ‎*例8 三年级的小朋友用90张红、绿、黄三色的彩色纸做纸花。每2朵花用红纸3张，每3朵花用绿纸2张，每6朵花用黄纸5张。最后，三色彩纸都用完。求90张纸中有红、绿、黄纸各多少张？（适于六年级程度）解：一朵花用红纸：‎ 一朵花用绿纸：‎ 一朵花用黄纸：‎ 一朵花共用红、绿、黄三色纸：‎ ‎90张纸可做多少朵花：‎ ‎90÷3=30（朵）‎ ‎30朵花用红纸：‎ ‎30朵花用绿纸：‎ ‎30朵花用黄纸：‎ 答：90张纸中有红纸45张，绿纸20张，黄纸25张。‎ 627‎ 第十一讲 份数法 把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数或未知数为1份数，然后先求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。 ‎ ‎（一）以份数法解和倍应用题 已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。‎ 例1某林厂有杨树和槐树共320棵，其中杨树的棵数是槐树棵数的3倍。求杨树、槐树各有多少棵？（适于四年级程度）‎ 解：把槐树的棵数看作1份数，则杨树的棵数就是3份数，320棵树就是（3+1）份数。‎ 因此，得：‎ ‎320÷（3+1）=80（棵）…………………槐树 ‎80×3=240（棵）…………………杨树 答略。‎ 例2 甲、乙两个煤场共存煤490吨，已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。甲、乙两个煤场各存煤多少吨？（适于四年级程度）‎ 解：题中已经给出两个未知数之间的倍数关系：甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。因此可将乙煤场的存煤数量看作1份数，甲煤场的存煤数量就相当于乙煤场存煤数量的4倍（份）数少10吨，两个煤场所存的煤490吨就是（1+4）份数少10吨，（490+10）吨就正好是（1+4）份数。‎ 所以乙场存煤：‎ ‎（490+10）÷（1+4）‎ ‎=500÷5‎ ‎=100（吨）‎ 甲场存煤：‎ ‎490-100=390（吨）‎ 答略。‎ 627‎ 例3 妈妈给了李平10.80元钱，正好可买4瓶啤酒，3瓶香槟酒。李平错买成3瓶啤酒，4瓶香槟酒，剩下0.60元。求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱？（适于五年级程度）‎ 解：因为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶香槟酒，结果剩下0.60元，这说明每瓶啤酒比每瓶香槟酒贵0.60元。把每瓶香槟酒的价钱看作1份数，则4瓶啤酒、3瓶香槟酒的10.80元钱就是（4+3）份数多（0.60×4）元，（10.80-0.60×4）元就正好是（4+3）份数。‎ 每瓶香槟酒的价钱是：‎ ‎（10.80-0.60×4）÷（4+3）‎ ‎=8.4÷7‎ ‎=1.2（元）‎ 每瓶啤酒的价钱是：‎ ‎1.2+0.60=1.80（元）‎ 答略。‎ ‎（二）以份数法解差倍应用题 已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做差倍应用题。‎ 例1 三湾村原有的水田比旱田多230亩，今年把35亩旱田改为水田，这样今年水田的亩数正好是旱田的3倍。该村原有旱田多少亩？（适于五年级程度）‎ 解：该村原有的水田比旱田多230亩（图11-1），今年把35亩旱田改为水田，则今年水田比旱田多出230+35×2= 300（亩）。根据今年水田的亩数正好是旱田的3倍，以今年旱田的亩数为1份数，则水田比旱田多出的300亩就正好是2份数（图11-2）。‎ 今年旱田的亩数是：‎ ‎（230+35×2）÷ 2‎ 627‎ ‎=300÷2‎ ‎=150（亩）‎ 原来旱田的亩数是：‎ ‎150+35=185（亩）‎ 综合算式：‎ ‎（230+35×2）÷2+35‎ ‎=300÷2+35‎ ‎=150+35‎ ‎=185（亩）‎ 答略。‎ ‎*例2 和平小学师生步行去春游。队伍走出10.5千米后，王东骑自行车去追赶，经过1.5小时追上。已知王东骑自行车的速度是师生步行速度的2.4倍。王东和师生每小时各行多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：根据“追及距离÷追及时间=速度差”，可求出王东骑自行车和师生步行的速度差是10.5÷1.5=7（千米/小时）。已知骑自行车的速度是步行速度的2.4倍，可把步行速度看作是1份数，骑自行车的速度就是2.4份数，比步行速度多2.4-1=1.4（份）。以速度差除以份数差，便可求出1份数。‎ ‎10.5÷1.5÷（2.4-1）‎ ‎=7÷1.4‎ ‎=5（千米/小时）…………………………步行的速度 ‎5×2.4=12（千米/小时）………………………………骑自行车的速度 答略。‎ ‎（三）以份数法解变倍应用题 已知两个数量原来的倍数关系和两个数量变化后的倍数关系，求这两个数量的应用题叫做变倍应用题。‎ 变倍应用题是小学数学应用题中的难点。解答这类题的关键是要找出倍数的变化及相应数量的变化，从而计算出“ 1”份（倍）数是多少。‎ 627‎ ‎*例1大、小两辆卡车同时载货从甲站出发，大卡车载货的重量是小卡车的3倍。两车行至乙站时，大卡车增加了1400千克货物，小卡车增加了1300千克货物，这时，大卡车的载货量变成小卡车的2倍。求两车出发时各载货物多少千克？（适于五年级程度）‎ 解：出发时，大卡车载货量是小卡车的3倍；到乙站时，小卡车增加了1300千克货物，要保持大卡车的载货重量仍然是小卡车的3倍，大卡车就应增加1300×3千克。‎ 把小卡车增加1300千克货物后的重量看作1份数，大卡车增加1300×3千克货物后的重量就是3份数。而大卡车增加了1400千克货物后的载货量是2份数，这说明3份数与2份数之间相差（1300×3-1400）千克，这是1份数，即小卡车增加1300千克货物后的载货量。‎ ‎1300×3-1400‎ ‎=3900-1400‎ ‎=2500（千克）‎ 出发时，小卡车的载货量是：‎ ‎2500-1300=1200（千克）‎ 出发时，大卡车的载货量是：‎ ‎1200×3=3600（千克）‎ 答略。‎ ‎*例2甲、乙两个班组织体育活动，选出15名女生参加跳绳比赛，男生人数是剩下女生人数的2倍；又选出45名男生参加长跑比赛，最后剩下的女生人数是剩下男生人数的5倍。这两个班原有女生多少人？（适于五年级程度）‎ 解：把最后剩下的男生人数看作1份数，根据“最后剩下的女生人数是男生人数的5倍”可知，剩下的女生人数为5份数。‎ 根据45名男生未参加长跑比赛前“男生人数是剩下女生人数的2倍”，而最后剩下的女生人数是5份数，可以算出参加长跑前男生人数的份数：‎ ‎5×2=10（份）‎ 因为最后剩下的男生人数是1份数，所以参加长跑的45名男生是：‎ ‎10-1=9（份）‎ 每1份的人数是：‎ ‎45÷9=5（人）‎ 因为最后剩下的女生人数是5份数，所以最后剩下的女生人数是：‎ 627‎ ‎5×5=25（人）‎ 原有女生的人数是：‎ ‎25+15=40（人）‎ 综合算式：‎ ‎45÷（5×2-1）×5+15‎ ‎=45÷9×5+15‎ ‎=25+15‎ ‎=40（人）‎ 答略。‎ ‎（四）以份数法解按比例分配的应用题 把一个数量按一定的比例分成几个部分数量的应用题，叫做按比例分配的应用题。‎ 例1一个工程队分为甲、乙、丙三个组，三个组的人数分别是24人、21人、18人。现在要挖2331米长的水渠，若按人数的比例把任务分配给三个组，每一组应挖多少米？（适于六年级程度）‎ 解：甲、乙、丙三个组应挖的任务分别是24份数、21份数、18份数，求出1份数后，用乘法便可求出各组应挖的任务。‎ ‎2331÷（24+21+18）=37（米）‎ ‎37×24=888（米）…………………甲组任务 ‎37×21=777（米）…………………乙组任务 ‎37×18=666（米）…………………丙组任务 答略。‎ 例2生产同一种零件，甲要8分钟，乙要6分钟。甲乙两人在相同的时间内共同生产539个零件。每人各生产多少个零件？（适于六年级程度）‎ 解：由题意可知，在相同的时间内，甲、乙生产零件的个数与他们生产一个零件所需时间成反比例。‎ 把甲生产零件的个数看作1份数，那么，乙生产零件的个数就是：‎ 627‎ 生产零件的总数539个就是：‎ 甲生产的个数：‎ 乙生产的个数：‎ 答略。‎ ‎（五）以份数法解正比例应用题 成正比例的量有这样的性质：如果两种量成正比例，那么一种量的任意两个数值的比等于另一种量的两个对应的数值的比。‎ 含有成正比例关系的量，并根据正比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做正比例应用题。‎ 这里是指以份数法解正比例应用题。‎ 例1某化肥厂4天生产化肥32吨。照这样计算，生产256吨化肥要用多少天？（适于六年级程度）‎ 解：此题是工作效率一定的问题，工作量与工作时间成正比例。‎ 以4天生产的32吨为1份数，256吨里含有多少个32吨，就有多少个4天。‎ ‎4×（256÷32）‎ ‎=4×8‎ ‎=32（天）‎ 答略。‎ 例2每400粒大豆重80克，24000粒大豆重多少克？（适于六年级程度）‎ 627‎ 解：每400粒大豆重80克，这一数量是一定的，因此大豆的粒数与重量成正比例。如把400粒大豆重80克看作1份数，则24000粒大豆中包含多少个400粒，24000粒大豆中就有多少个80克。‎ ‎24000÷400=60（个）‎ ‎24000粒大豆的重量是：‎ ‎80×60=4800（克）‎ 综合算式：‎ ‎80×（24000÷400）=4800（克）‎ 答略。‎ ‎（六）以份数法解反比例应用题 成反比例的量有这样的性质：如果两种量成反比例，那么一种量的任意两个数值的比，等于另一种量的两个对应数值的比的反比。‎ 含有成反比例关系的量，并根据反比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做反比例应用题。‎ 这里是指以份数法解反比例应用题。‎ 例1有一批水果，每箱装36千克，可装40箱。如果每箱多装4千克，需要装多少箱？（适于六年级程度）‎ 解：题中水果的总重量不变，每箱装的多，则装的箱数就少，即每箱装的重量与装的箱数成反比例。‎ 如果把原来要装的40箱看做1份数，那么现在需要装的箱数就是原来要装箱数的：‎ 现在需要装的箱数是：‎ 答略。‎ 627‎ 天的用煤量看做1份数，那么改进炉灶后每天的用煤量是原来每天用煤量的：‎ 用煤天数与每天用煤量成反比例，原来要用24天的煤，现在可以用的天数是：‎ 答略。‎ ‎（七）以份数法解分数应用题 分数应用题就是指分数的三类应用题，即求一个数的几分之几是多少；求一个数是另一个数的几分之几；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。‎ 例1长征毛巾厂男职工人数比女职工人数少1/3，求女职工人数比男职工人数多百分之几？（适于六年级程度）‎ 解：从题中条件可知，男职工人数相当于女职工人数的：‎ 如果把女职工人数看作3份，那么男职工人数就相当于其中的2份。‎ 所以，女职工人数比男职工人数多：‎ ‎（3-2）÷2=50％‎ 答略。‎ 那么黄旗占：‎ 627‎ 如果把21面黄旗看作1份数，总数量“1”中包含有多少个7/45，旗的总面数就是21的多少倍。‎ 答略。‎ 棉花谷多少包？（适于六年级程度）‎ 解：由题意可知，甲、乙两个仓库各运走了一些棉花之后，甲仓库剩下 成8份时，甲仓库剩下的是2份；把乙仓库的棉花分成5份时，乙仓库剩下的也是2份。‎ 但是，乙仓库剩下的2份比甲仓库剩下的2份多130包。可以看出，乙仓库的1份比甲仓库的1份多出：‎ ‎130÷2=65（包）‎ 如果把乙仓库原有的棉花减少5个65包，再把剩下的棉花平均分成5份，这时乙仓库的每一份棉花就与甲仓库的每一份同样多了。‎ 这样，从两仓库棉花的总数2600包中减去5个65包，再把剩下的棉花平均分成13份（其中甲仓库8份，乙仓库5份），其中的8份就是甲仓库原有的包数。‎ ‎（2600-65×5）÷（8+5）×8‎ ‎=2275÷13×8‎ ‎=1400（包）……………………………甲仓库原有的包数 ‎2600-1400=1200（包）……………乙仓库原有的包数 答略。‎ 627‎ ‎（八）以份数法解工程问题 工程问题就是研究工作量、工作时间及工作效率之间相互关系的问题，这种问题的工作量常用整体“1”表示。‎ 例1一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出，经12小时相遇。相遇后，快车又行8小时到达乙站。相遇后慢车还要行几小时才能到达甲站？（适于六年级程度）‎ 解：由“相遇后快车又行8小时到达乙站”可知，慢车行12小时的路程快车只需行8小时。‎ 把快车行这段路程所需的8小时看作1份数，则慢车所需的份数是：‎ 答略。‎ ‎*例2加工一批零件，甲单独完成需要30天，乙单独完成的时间比甲少 解：由题意可知，甲单独完成需要30天，乙单独完成所需天数是：‎ 如果把乙工作的6天看作1份数，那么甲完成相同的工作量所需时间就 答略。‎ ‎（九）以份数法解几何题 627‎ ‎*例1一个正方形被分成了大小、形状完全一样的三个长方形（如图11-3）。每个小长方形的周长都是16厘米。这个正方形的周长是多少？（适于五年级程度）‎ 解：在每个长方形中，长都是宽的3倍。换句话说，如果宽是1份，则长为3份，每个长方形的周长一共可分为：‎ ‎3×2+1×2=8（份）‎ 因为每个长方形的周长为16厘米，所以每份的长是：‎ ‎16÷8=2（厘米）‎ 长方形的长，也就是正方形的边长是：‎ ‎2×3=6（厘米）‎ 正方形的周长是：‎ ‎6×4=24（厘米）‎ 答略。‎ ‎*例2长方形长宽的比是7∶3。如果把长减少12厘米，把宽增加16厘米，那么这个长方形就变成了一个正方形。求原来这个长方形的面积。（适于六年级程度）‎ 解：根据题意，假设原来长方形的长为7份，则宽就是3分，长与宽之间相差：‎ ‎7-3=4（份）‎ 由于长方形的长要减少12厘米，宽增加16厘米，长方形才能变成正方形，因此原长方形长、宽之差为：‎ ‎12+16=28（厘米）‎ 看得出，4份与28厘米是相对应的，每一份的长度是：‎ ‎28÷4=7（厘米）‎ 原来长方形的长是：‎ ‎7×7=49（厘米）‎ 627‎ 原来长方形的宽是：‎ ‎7×3=21（厘米）‎ 原来长方形的面积是：‎ ‎49×21=1029（平方厘米）‎ 答略。‎ 第十二讲 消元法 在数学中，“元”就是方程中的未知数。“消元法”是指借助消去未知数去解应用题的方法。当题中有两个或两个以上的未知数时，要同时求出它们是做不到的。这时要先消去一些未知数，使未知数减少到一个，才便于找到解题的途径。这种通过消去未知数的个数，使题中的数量关系达到单一化，从而先求出一个未知数，然后再将所求结果代入原题，逐步求出其他未知数的解题方法叫做消元法。 ‎ ‎（一）以同类数量相减的方法消元 例 买1张办公桌和2把椅子共用336元；买1张办公桌和5把椅子共用540元。求买1张办公桌和1把椅子各用多少钱？（适于四年级程度）‎ 解：这道题有两类数量：一类是办公桌的张数、椅子的把数，另一类是钱数。先把题中的数量按“同事横对、同名竖对”的原则排列成表12-1。这就是说，同一件事中的数量横向对齐，单位名称相同的数量上下对齐。‎ 表12-1‎ 从表12-1第②组的数量减去第①组对应的数量，有关办公桌的数量便消去，只剩下有关椅子的数量：‎ ‎5-2=3（把）‎ ‎3把椅子的钱数是：‎ ‎540-336=204（元）‎ 买1把椅子用钱：‎ ‎204÷3=68（元）‎ 627‎ 把买1把椅子用68元这个数量代入原题，就可以求出买1张办公桌用的钱数是：‎ ‎336-68×2‎ ‎=336-136‎ ‎=200（元）‎ 答略。（二）以和、积、商、差代换某数的方法消元 解题时，可用题中某两个数的和，或某两个数的积、商、差代换题中的某个数，以达到消元的目的。‎ ‎1.以两个数的和代换某数 ‎*例 甲、乙两个书架上共有584本书，甲书架上的书比乙书架上的书少88本。两个书架上各有多少本书？（适于四年级程度）‎ 解：题中的数量关系可用下面等式表示：‎ 甲+乙=584     ①‎ 甲+88=乙      ②‎ 把②式代入①式（以甲与88的和代换乙），得：‎ 甲+甲+88=584‎ 甲×2+88=584‎ ‎2甲=584-88‎ ‎=496‎ 甲=496÷2‎ ‎=248（本）‎ 乙=248+88‎ ‎=336（本）‎ 答略。‎ ‎2.以两个数的积代换某数 ‎*例 3双皮鞋和7双布鞋共值242元，一双皮鞋的钱数与5双布鞋的钱数相同。求每双皮鞋、布鞋各值多少钱？（适于四年级程度）‎ 627‎ 解：因为1双皮鞋与5双布鞋的钱数相同，所以3双皮鞋的钱数与5×3=15（双）布鞋的钱数一样多。‎ 这样可以认为242元可以买布鞋：‎ ‎15+7=22（双）‎ 每双布鞋的钱数是：‎ ‎242÷22=11（元）‎ 每双皮鞋的钱数是：‎ ‎11×5=55（元）‎ 答略。‎ ‎3.以两个数的商代换某数 ‎*例 5支钢笔和12支圆珠笔共值48元，一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多。每支钢笔、圆珠笔各值多少钱？（适于五年级程度）‎ 解：根据“一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多”，可用12÷4=3（支）的商把12支圆珠笔换为3支钢笔。‎ 现在可以认为，用48元可以买钢笔：‎ ‎5+3=8（支）‎ 每支钢笔值钱：‎ ‎48÷8=6（元）‎ 每支圆珠笔值钱：‎ ‎6÷4=1.5（元）‎ 答略。‎ ‎4.以两个数的差代换某数 ‎*例 甲、乙、丙三个人共有235元钱，甲比乙多80元，比丙多90元。三个人各有多少钱？（适于五年级程度）‎ 解：题中三个人的钱数有下面关系：‎ 甲+乙+丙=235                              ①‎ 627‎ 甲-乙=80                               ②‎ 甲-丙=90                               ③‎ 由②、③得：‎ 乙=甲-80                            ④‎ 丙=甲-90                             ⑤‎ 用④、⑤分别代替①中的乙、丙，得：‎ 甲+（甲-80）+（甲-90）=235‎ 甲×3-170=235‎ 甲×3=235+170‎ ‎=405‎ 甲=405÷3‎ ‎=135（元）‎ 乙=135-80‎ ‎=55（元）‎ 丙=135-90‎ ‎=45（元）‎ 答略。‎ ‎（三）以较小数代换较大数的方法消元 在用较小数量代换较大数量时，要把较小数量比较大数量少的数量加上，做到等量代换。‎ ‎*例 18名男学生和14名女学生共采集松树籽78千克，每一名男学生比每一名女学生少采集1千克。每一名男、女学生各采集松树籽多少千克？（适于五年级程度）‎ 解：题中说“每一名男学生比每一名女学生少采集1千克”，则18名男生比女生少采集1×18=18（千克）。假设这18名男生也是女生（以小代大），就应在78千克上加上18名男生少采集的18千克松树籽。‎ 这样他们共采集松树籽：‎ ‎78+18=96（千克）‎ 627‎ 因为已把18名男学生代换为女学生，所以可认为共有女学生：‎ ‎14+18=32（名）‎ 每一名女学生采集松树籽：‎ ‎96÷32=3（千克）‎ 每一名男学生采集松树籽：‎ ‎3-1=2（千克）‎ 答略。‎ ‎（四）以较大数代换较小数的方法消元 在用较大数量代换较小数量时，要把较大数量比较小数量多的数量减去，做到等量代换。‎ ‎*例 胜利小学买来9个同样的篮球和5个同样的足球，共付款432元。已知每个足球比每个篮球贵8元，篮球、足球的单价各是多少元？（适于五年级程度）‎ 解：假设把5个足球换为5个篮球，就可少用钱：‎ ‎8×5=40（元）‎ 这时可认为一共买来篮球：‎ ‎9+5=14（个）‎ 买14个篮球共用钱：‎ ‎432-40=392（元）‎ 篮球的单价是：‎ ‎392÷14=28（元）‎ 足球的单价是：‎ ‎28+8=36（元）‎ 答略。‎ ‎（五）通过把某一组数乘以一个数消元 当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类数量时，应通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类数量中有两个数值相等的数量，然后再消元。‎ 627‎ ‎*例 2匹马、3只羊每天共吃草38千克；8匹马、9只羊每天共吃草134千克。求一匹马和一只羊每天各吃草多少千克？（适于五年级程度）‎ 解：把题中条件摘录下来，排列成表12-2。‎ 表12-2‎ 把第①组中的数量乘以3得表12-3。‎ 表12-3‎ 第③组的数量中，羊的只数是9只；第②组的数量中，羊的只数也是9只。这样便可以从第②组的数量减去第③组的数量，从而消去羊的只数，得到2匹马吃草20千克。‎ 一匹马吃草：‎ ‎20÷2=10（千克）‎ 一只羊吃草：‎ ‎（38-10×2）÷3‎ ‎=18÷3‎ ‎=6（千克）‎ 答略。‎ ‎（六）通过把两组数乘以两个不同的数消元 当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类的数量，并且不能通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，而达到消元的目的时，应当通过把两组数量分别乘以两个不同的数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，然后再消元。‎ ‎*例1 买3块橡皮和6支铅笔用1.68元钱，买4块橡皮和7支铅笔用2元钱。求一块橡皮和一支铅笔的价格各是多少钱？（适于五年级程度）‎ 627‎ 解：把题中条件摘录下来排列成表12-4。‎ 表12-4‎ 要消去一个未知数，只把某一组数乘以一个数不行，要把两组数分别乘以两个不同的数，从而使两组数中有对应相等的两个同一类的数。因此，把第①组中的各数都乘以4，把第②组中的各数都乘以3，得表12-5。‎ 表12-5‎ ‎③-④得：3支铅笔用钱0.72元，一支铅笔的价格是：‎ ‎0.72÷3=0.24（元）‎ 一块橡皮的价格是：‎ ‎（1.68-0.24×6）÷3‎ ‎=（1.68-1.44）÷3‎ ‎=0.24÷3‎ ‎=0.08（元）‎ 答略。‎ ‎*例2 有大杯和小杯若干个，它们的容量相同。现在往5个大杯和3个小杯里面放满砂糖，共420克；又往3个大杯和5个小杯里面放满砂糖，共380克。求一个大杯和一个小杯分别可以放入砂糖多少克？（适于五年级程度）‎ 解：摘录题中条件排列成表12-6。‎ 表12-6‎ 627‎ 把表12-6中①组各数都乘以5，②组各数都乘以3，得表12-7。‎ 表12-7‎ ‎③-④得：16大杯放砂糖960克，所以，‎ 一个大杯里面可以放入砂糖：‎ ‎960÷16=60（克）‎ 一个小杯里面可以放入砂糖：‎ ‎（420-60×5）÷3‎ ‎=（420-300）÷3‎ ‎=40（克）‎ 答略。‎ 第十三讲 比较法 通过对应用题条件之间的比较，或难解题与易解题的比较，找出它们的联系与区别，研究产生联系与区别的原因，从而发现解题思路的解题方法叫做比较法。 ‎ 在用比较法解应用题时，有些条件可直接比较，有些条件不能直接比较。在条件不能直接比较时，可借助画图、列表等方法比较，也可适当变换题目的陈述方式及数量的大小，创造条件比较。‎ ‎（一）在同一道题内比较 在同一道题内比较，就是在同一道题的条件与条件、数量与数量之间的比较，不涉及其他题目。‎ 627‎ ‎1.直接比较 例1 五年级甲班要种一些树。如果每人种5棵，则剩下75棵；如果每人种7棵，则缺15棵。问这个班有多少人？这批树苗有多少棵？（适于四年级程度）‎ 解：将两种分配方案进行比较，就会发现，第二次比第一次每人多种：‎ ‎7-5=2（棵）‎ 第二次比第一次多种：‎ ‎75+15=90（棵）‎ ‎90棵中含有多少个2棵就是全班的人数：‎ ‎90÷2=45（人）‎ 这批树苗的棵数是：‎ ‎5×45+75=300（棵）‎ 或7×45-15=300（棵）‎ 答略。‎ ‎*例2 四季茶庄购进两批茶叶，第一批有35箱绿茶和15箱红茶，共重2925千克。第二批有35箱绿茶和28箱红茶，共重3640千克。两种茶叶每箱各重多少千克？（适于五年级程度）‎ 解：将前后两批茶叶的箱数与箱数、重量与重量分别比较，可发现，第二批红茶箱数比第一批红茶箱数多：‎ ‎28-15=13（箱）‎ 第二批红茶比第一批红茶多：‎ ‎3640-2925=715（千克）‎ 因此，可得每一箱红茶重量：‎ ‎715÷13=55（千克）‎ 每一箱绿茶重量：‎ ‎（2925-55×15）÷35‎ ‎=（2925-825）÷35‎ 627‎ ‎=2100÷35‎ ‎=60（千克）‎ 答略。‎ ‎2.画图比较 有些应用题由于数量关系复杂、抽象，不便于通过直接推理、比较看出数量关系，可借助画图作比较，就容易看出数量关系。‎ 解：作图13-1，比较已修过米数与未修过米数的关系。‎ 可看出，这段公路一共分为（7+2）份。‎ 答略。‎ ‎3.列表比较 有些应用题适于借助列表的方法比较条件。在用列表的方法比较条件时，要把题中的条件摘录下来，尽量按“同事横对，同名竖对”的格式排列成表。这就是说，要尽量使同一件事情的数量横着对齐，使单位名称相同的数量竖着对齐。‎ 例 赵明准备买2千克苹果和3千克梨，共带6.8元钱。到水果店后，他买了3千克苹果和2千克梨，结果缺了0.4元钱。求每千克苹果、梨各多少元钱？（适于五年级程度）‎ 627‎ 解：摘录已知条件排列成表13-1。‎ 表13-1‎ 比较①、②两组数量会看出：由于多买了1千克苹果，少买了1千克梨，才缺了0.4元。‎ 可见1千克苹果比1千克梨贵0.4元。‎ 从买2千克苹果、3千克梨的6.8元中去掉买2千克苹果多用的钱，便可以把买2千克苹果当成买2千克梨，则一共买梨（2+3）千克，用钱：‎ ‎6.8-0.4×2=6（元）‎ 每千克梨的价钱是：‎ ‎6÷（2+3）=1.2（元）‎ 每千克苹果的价钱是：‎ ‎1.2+0.4=1.6（元）‎ 答略。（二）和容易解的题比较 当一道应用题比较复杂时，可先回忆过去是不是学过类似的、较容易解的题，回忆起来后，可进行比较，找出联系，从而找到解题途径。‎ ‎1.与常见题比较 例 4名骑兵轮流骑3匹马，行8千米远的路程，每人骑马行的路程相等。求每人骑马行的路程是多少？（适于四年级程度）‎ 小学生对这类题不易理解，如与下面的常见题作比较就容易理解了。‎ 有3篮苹果，每篮8个，平均分给4人，每人得几个？‎ 把这两道题中的条件都摘录下来，一一对应地排列起来：‎ ‎3匹马………………………3篮苹果 每匹马都行8千米…………每篮都装8个苹果 ‎4人骑马行的路程相等……4人得到的苹果一样多 627‎ 解答“苹果”这道题的方法是：‎ ‎8×3÷4‎ 通过这样的比较，自然会想出解题的方法。‎ 解：8×3÷4=6（千米）‎ 答：每人骑马行的路程是6千米。‎ ‎2.与基本题比较 例 甲、乙两地相距10.5千米，某人从甲地到乙地每小时走5千米，从乙地到甲地每小时走3千米。求他往返于甲、乙两地的平均速度。（适于五年级程度）‎ 在解答此题时，有的同学可能这样解：（5+3）÷2=4（千米）。这是错误的。‎ 把上题与下面的题作比较，就会发现问题。‎ 甲、乙两地相距12千米，某人从甲地到乙地走了4小时，他每小时平均走多少千米？‎ 解此题的方法是：12÷4=3（千米）。这是总路程÷总的时间=平均速度。‎ 前面的解法不符合“总路程÷总时间=平均速度”这个公式，所以是错误的。‎ 解：本题的总路程是：‎ ‎10.5×2‎ 总时间是：‎ ‎10.5÷5+10.5÷3‎ 所以他往返的平均速度是：‎ ‎10.5×2÷（10.5÷5+10.5÷3）=3.75（千米/小时）‎ 答略。‎ ‎3.把逆向题与顺向题比较 例 王明与李平共有糖若干块。王明的糖比李平的糖多 ‎ 题，不易找出解题方法。‎ 627‎ 把这道题与类似的一道顺向思维的题比较一下，就可得出解题方法。‎ 答略。‎ ‎（三）创造条件比较 对那些不能以题中现有条件与相关条件进行比较的应用题，应适当变换条件，创造可以比较的条件，再进行比较。‎ ‎*例1 学校食堂第一次买来2袋大米和3袋面粉，共275千克；第二次买来5袋大米和4袋面粉，共600千克。求1袋大米和1袋面粉各重多少千克？（适于五年级程度）解：摘录题中条件，列成表13-2。‎ 表13-2‎ 从表13-2中的条件看，题中条件不能直接比较。此时要创造条件比较。‎ 因为大米袋数2和5的最小公倍数是10，所以把第一次买来的袋数2乘以5（把面粉的袋数3，重量275也要乘以5），把第二次买来的袋数乘以2（把面粉的袋数4，重量600也要乘以2），得表13-3。‎ 此时题中条件便可以比较了。‎ 表13-3‎ 627‎ 看表13-3，把两次买来粮食的数量比较一下，大米的袋数相同，面粉第一次比第二次多买：‎ ‎15-8=7（袋）‎ 因此，第一次买的粮食比第二次多：‎ ‎1375-1200=175（千克）‎ 每袋面粉重：‎ ‎175÷7=25（千克）‎ 每袋大米重：‎ ‎（275-25×3）÷2‎ ‎=（275-75）÷2‎ ‎=100（千克）‎ 答略。‎ ‎*例2 1支铅笔、2块橡皮、3把卷笔刀共值2.35元；2支铅笔、3块橡皮、4把卷笔刀共值3.30元；3支铅笔、3块橡皮、5把卷笔刀共值4.05元。求1支铅笔、1块橡皮、1把卷笔刀各值多少钱？（适于五年级程度）‎ 解：摘录题中条件排列成表13-4。‎ 表13-4‎ 从表13-4看，题中条件不能直接比较。因此，要创造条件比较。‎ 因为橡皮的块数2、3、3的最小公倍数是6，所以①×3，②×2，③×2，得表13-5。此时题中条件便可以比较了。‎ 627‎ 表13-5‎ ‎⑥-⑤，得：‎ ‎2支铅笔价钱+2把卷笔刀价钱=1.5（元），即，‎ ‎1支铅笔价钱+1把卷笔刀价钱=0.75（元）…………………………⑦‎ ‎⑥-④，得：‎ ‎3支铅笔价钱+1把卷笔刀价钱=1.05（元）…………………………⑧‎ ‎⑧-⑦，得：‎ ‎2支铅笔价钱=0.30（元）‎ ‎1支铅笔价钱=0.15（元）‎ 把1支铅笔价钱0.15元代入⑦，得出1把卷笔刀的价钱是：‎ ‎0.75-0.15=0.60（元）‎ 根据①可求出一块橡皮的价钱数：‎ ‎（2.35-0.15-0.6×3）÷2‎ ‎=0.4÷2‎ ‎=0.2（元）‎ 答略。‎ ‎*例3 甲、乙两人共需做140个零件，甲做了自己任务的80％，乙做了自己任务的75％，这时甲、乙共剩下32个零件未完成。求甲、乙两人各需做多少个零件？（适于六年级程度）‎ 解：已知“甲做了自己任务的80％，乙做了自己任务的75％”后共剩下32个零件，甲、乙两人所做零件个数不相等，因此，甲所做零件的80％与乙所做零件的75％不可直接比较。此时就要创造条件比较了。‎ 已知甲做自己任务的80％，假设乙也做自己任务的80％，那么甲乙就共剩下零件：‎ 627‎ ‎140×（1-80％）=28（个）‎ 这比原来已知的“甲、乙共剩下32个零件”少：‎ ‎32-28=4（个）‎ 这4个所对应的分率是：‎ ‎80％-75％=5％‎ 所以，乙需做的零件是：‎ ‎4÷5％=80（个）‎ 甲需做的零件是：‎ ‎140-80=60（个）‎ 答略。‎ 第十四讲 演示法 对于那些不容易理解和分析数量关系的应用题，利用身边现成的东西，如铅笔、橡皮、小刀、文具盒等，进行演示，使应用题的内容形象化，数量关系具体化，这种解题的方法叫做演示法。 ‎ 例1 一根绳子正好围成一个边长为5分米的正方形。如果用它围成长是8分米的长方形，问其宽应当是多少分米？（适于三年级程度）‎ 解：对这道题一般同学都会用这样的方法解答：‎ ‎5×4÷2-8=2（分米）‎ 然而这并不是最简捷的解法，要用更简捷的解法，我们可以做下面的试验：‎ ‎（1）用一根细铁丝围成一个边长是5分米的正方形（图14-1）。‎ ‎（2）把正方形的细铁丝从C点断开。‎ 627‎ 这时ABC部分、CDA部分都是正方形边长的2倍。‎ ‎（3）把ABC那部分（或CDA部分）拉直，折出8分米长的一段与另一段成90°‎ 的角（图14-2）。此时会看到8分米长的这一段是长方形的长，与8分米长的边成直角的那一段是长方形的宽。‎ 到此，很容易得出，求长方形的宽也可以用下面的方法：‎ ‎5×2-8=2（分米）‎ 答略。‎ ‎*例2 有一列火车，长120米，以每小时18千米的速度通过一座长150米的隧道。求从火车头进隧道到火车尾部离开隧道共需要多长时间？（适于五年级程度）‎ 解：求火车过隧道的时间，必须知道过隧道的速度和所行的路程。速度已知，因此，解此题的关键是求出火车头从进隧道到火车尾部离开隧道所行的路程。‎ 为弄清这个问题，我们做下面的演示。‎ 用文具盒当隧道，用铅笔当火车。‎ 用图14-3表示火车刚刚要进隧道时的情景，用图14-4表示火车车尾正好离开隧道时的情景。‎ 从图14-4可看出：火车从车头进隧道，到车尾离开隧 627‎ 道，所行的路程等于隧道长与车身长之和。‎ 到此，便可求出火车头从进隧道到车尾离开隧道所用的时间。‎ 分步列式计算：‎ ‎（1）火车每秒行：‎ ‎1000×18÷3600=5（米）‎ ‎（2）火车通过隧道共行的米数：‎ ‎150+120=270（米）‎ ‎（3）火车通过隧道需时间是：‎ ‎270÷5=54（秒）‎ 综合算式：‎ ‎（150+120）÷（1000×18÷3600）‎ ‎=270÷5‎ ‎=54（秒）‎ 答略。‎ ‎*例3 兄弟二人早晨五点钟各推一车菜，同时从家里出发去集市。哥哥每分钟走100米，弟弟每分钟走60米。哥哥到达集市后5分钟卸完菜，立即返回，途中遇到弟弟，这时是5点55分。问集市离他们家有多远？（适于五年级程度）‎ 解：本题可用橡皮、瓶盖分别代表“家”与“集市”，放在桌面的两端，用两支铅笔代表兄弟二人实际走一走。如（图14-5）。‎ 图14-5实线表示弟弟走的路程，虚线表示哥哥走的路程。从演示中可以看出兄弟二人共走的路程是从家到集市路程的2倍。‎ 因此，只要求出兄弟二人共走了多少路，就可求出家到集市的路程。‎ ‎[60×55+100×（55-5）]÷2‎ 627‎ ‎=[3300+5000]÷2‎ ‎=4150（米）‎ 答略。‎ ‎*例4 一个5分米高的圆柱体，它的侧面积是62.8平方分米，求圆柱体的体积。（适于六年级程度）‎ 解：要求圆柱体的体积就要知道圆柱底面圆的半径是多少。从表面看，题中没有告诉圆柱底面圆的半径是多少，这可怎么办呢？做了下面的演示，问题就得到解决了。‎ 用一张长方形的纸卷成一个圆柱形，再把圆柱形展开，展开后看到圆柱形的侧面是个长方形。长方形的宽就是圆柱的高，长方形的长就是圆柱底面圆的周长。知道了圆柱底面圆的周长，就能算出圆柱体底面圆的半径。‎ ‎（1）圆柱体底面圆的周长是：‎ ‎62.8÷5=12.56（分米）‎ ‎（2）圆柱体底面圆的半径是：‎ ‎12.56÷3.14÷2=2（分米）‎ ‎（3）圆柱体的体积是：‎ ‎3.14×2×2×5=62.8（立方分米）‎ 答略。‎ ‎*例5 从三点钟到四点钟之间，钟面上时针和分针什么时刻会重合？什么时刻成一直线？（适于高年级程度）‎ 解：此题很抽象，可用有活动指针的时钟教具做演示来理解题中的数量关系。‎ 看图14-6，因为钟的指针是顺时针方向转动的，所以在3点钟时，时针在分针前面。要使两针重合，分针就要追上时针。‎ 我们把分针转动一圈，即分针走60小格，时针才走5个小格，因此，在 627‎ 分针要与时针成一条直线，分针不仅要追上时针15格的距离，还要超过30格的距离，总计要“追”（15+30）格的距离。“追”（15+30）格的路程要用多长时间呢？‎ 时针成一条直线。‎ 答略。‎ ‎*例6 一列快车全长151米，每秒钟行15米，一列慢车全长254米，每秒钟行12米。两车相对而行，从相遇到离开要用几秒钟？（适于五年级程度）‎ 解：要求两车从相遇到离开要用几秒钟，必须知道两车从相遇到离开走多长的路程。‎ 为弄清这个问题，我们做下面的演示：‎ 用一支铅笔作慢车，用另一支铅笔作快车。先让它们相遇（图14-7），再让它们从相对运行到正好离开（图14-8）。‎ 看图14-8会想到：两车共行的路程是两个车身长的和。‎ 到此，可算出：‎ ‎                    ‎ ‎（151+254）÷（15+12）‎ ‎=405÷27‎ 627‎ ‎=15（秒）‎ 答：两车从相遇到离开需要15秒钟。‎ 第十五讲 列表法 把应用题中的条件简要地摘录下来，列表分类整理、排列，并借助这个表格分析、解答应用题的方法叫做列表法。 ‎ 在用列表法解题时，要仔细判断题中哪些数量是同一件事中直接相关联的，哪些数量是同一类的。排列数量时，要尽量做到“同事横对”，“同名竖对”。这就是说，要使同一件事中直接相关联的数量横向排列，使同一类的、单位名称相同的数量竖着排列，还要使它们的数位上、下对齐。‎ 这样就可以在读题、列表的过程中正确识别数量，选择数量，理解数量之间的联系、区别，理清思路，为下一步的分析、推理作好准备。‎ ‎（一）通过列表突出题目的解法特点 有些应用题的解法具有一定的特点，如果把题中的条件按一定的格式排列，整理成表，则表格会起到突出题目解法特点的作用。‎ 例1 桌子上放着黄、红、绿三种颜色的塑料碗。3只黄碗里放着51个玻璃球，5只红碗里放着75个玻璃球，2只绿碗里放着24个玻璃球。要使每只碗里玻璃球的个数相同，每只碗里应放多少个玻璃球？（适于四年级程度）‎ 解：摘录题中条件，排列成表15-1。‎ 表15-1‎ 求每只碗里应放多少个球，要先求出一共有多少个碗，和在这些碗中一共放了多少个球。由于表15-1中把碗的只数排列在前一竖行，把球的个数排列在另一竖行，所以只要看着表15-1中竖着排列的碗的只数和球的个数，便可算出碗的总数和玻璃球的总数，从而使问题得以解决。‎ ‎（51+75+24）÷（3+5+2）‎ 627‎ ‎=150÷10‎ ‎=15（只）‎ 答：平均每只碗里应放15个玻璃球。‎ 例2 荒地村砂场用3辆汽车往火车站运送砂子，5天运了180吨。照这样计算，用4辆同样的汽车15天可以运送多少吨砂子？（适于四年级程度）‎ 解：摘录题中条件，排列成表15-2。‎ 表15-2‎ 解此题的要点是先求出单位数量。表15-2中，由于汽车的辆数、运送的天数和吨数这三个直接相关联的数量排在同一横行，因此便于想到，180÷5得到3辆车1天运多少吨，180÷5÷3就得到一辆车一天运多少吨；接着便可想到求出4辆车1天运多少吨，15天运多少吨。‎ 求4辆车15天运送多少吨砂子的方法是：‎ ‎180÷5÷3×4×15‎ ‎=12×4×15‎ ‎=720（吨）‎ 答略。‎ 例3 甲校买8个排球，5个篮球，共用415元，乙校买同样的4个排球、5个篮球，共用295元。求买一个排球需要多少钱？（适于四年级程度）‎ 解：摘录题中条件，排列成表15-3。‎ 表15-3‎ 从表15-3可以看出，甲、乙二校所买篮球的个数一样多，甲校比乙校多用钱：‎ 627‎ ‎415-295=120（元）‎ 甲校比乙校多买排球数是：‎ ‎8-4=4（个）‎ 所以，每个排球的卖价是：‎ ‎120÷4=30（元）‎ 答略。‎ 例4 要把卖5角钱500克的红辣椒和卖3角5分钱500克的青辣椒混合起来，卖4角1分钱500克，应按怎样的比例混合，卖主和顾客才都不吃亏？（适于六年级程度）‎ 解：摘录题中条件，排列成表15-4（为便于计算，表中钱数都以“分”为单位）。‎ 表15-4‎ 要使卖主与买主都不吃亏，就要使红辣椒损失的钱数与青辣椒多收入的钱数一样多。由表15-4可看出，当红辣椒损失18分，青辣椒多收入18分时，恰好达到要求。‎ 因为每500克红辣椒与青辣椒混合时，红辣椒要少卖9分钱，当损失18分时，则有500×2克红辣椒；同理，青辣椒与红辣椒混合时，每500克青辣椒要多卖6分钱，要多卖18分时，就要有3个500克才行，即500×3克青辣椒。‎ 所以，红辣椒与青辣椒混合的比应是：‎ ‎500×2∶500×3=2∶3‎ 答略。‎ ‎*例5 甲种酒每500克卖1元4角4分，乙种酒每500克卖1元2角，丙种酒每500克卖9角6分。现在要把三种酒混合成每500克卖1元1角4分的酒，其中乙种酒与丙种酒的比是3∶2。求混合酒中三种酒的重量比。（适于六年级程度）‎ 解：设混合酒中甲种酒占的份数是x，为便于计算题中钱数都以“分”为单位。摘录题中条件，排列成表15-5。‎ 表15-5‎ 627‎ 从表15-5可以看出，当三种酒的混合比是x∶3∶2，混合酒的价钱是114分时，混合酒中每500克甲种酒要损失（少卖）30分钱，每500克乙种酒要损失6分钱，而每500克丙种酒要收益（多卖）18分钱。‎ 当乙、丙两种酒的混合比是3∶2时，假设乙、丙两种酒分别是1.5千克、1千克，则这两种酒的混合液可以多卖钱：‎ ‎18×2-6×3=18（分）‎ 当三种酒按x∶3∶2的比例混合时，收益的18分钱应与甲种酒的损失抵消。因为三种酒混合时，每500克甲种酒损失30分，所以18分是30分的几分之几，甲种酒在三种酒的混合液中就占500克的几分之几：‎ 答：混合酒中三种酒的重量比是3∶15∶10。‎ ‎（二）通过列表暴露题目的中间问题 解答复合应用题的关键，是找出解答最后问题所需要的中间问题（隐藏量），应用题的步骤越多，需要找出的中间问题就越多，解答的过程就越复杂。‎ 在用列表法解应用题时，由于题中数量是按“同事横对，同名竖对”的规律排列在表中，所以便于思考求最后的问题需要哪些数量，这些数量中哪些是已知的、哪些是未知的中间问题。同时也便于思考怎样求出中间问题，并在必要时把求中间问题的算式写在表中。这样，中间问题便暴露于表格中，和已知数处于平等的地位，从而排除了思维道路上的障碍，减轻了解题的难度。‎ ‎*例1 张老师买了2千克苹果，3千克梨，共用5元钱。王老师买的苹果是张老师的2倍，买的梨是张老师的3倍，比张老师多用6.8元。问每一千克苹果、每一千克梨的价钱各是多少元？（适于五年级程度）‎ 解：摘录题中条件，排列成表15-6。‎ 627‎ 表15-6中，由于张老师买的苹果是2千克、梨是3千克，共用5元钱，都已写在表中，因此很容易在表中写出王老师买的苹果是2×2千克，王老师买的苹果恰好是张老师的2倍，也很容易写出王老师买的梨是3×3千克，王老师买的梨比张老师的2倍多3×（3-2）千克，即多3千克。‎ 表15-6‎ 王老师共用钱（5+6.8）元，王老师买水果用的钱比张老师买水果用的钱的2倍多：‎ ‎（5+6.8）-5×2=1.8（元）‎ 这1.8元就是买3千克梨用的钱，所以1千克梨的价钱是：‎ ‎1.8÷3=0.6（元）‎ ‎1千克苹果的价钱是：‎ ‎（5-0.6×3）÷2‎ ‎=（5-1.8）÷2‎ ‎=1.6（元）‎ 答略。‎ ‎*例2 有甲、乙、丙三桶油，先取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中；再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙两桶中；最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙两桶中。这时3桶油正好都是16千克。问原来每桶中各有油多少千克？（适于高年级程度）‎ 解：此题的中间量比较多，需要从题中最后的结果逐步往前推理，把推出的结果写在表中，就能求出原来每桶各有多少千克油。看表15-7。‎ 表15-7‎ 627‎ ‎（1）由于最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙两桶中，3桶油正好都是16千克，因此在表15-7中，横向写上甲、乙、丙三桶油都是16千克。而在丙桶未向甲、乙两桶倒油之前，丙桶中有油：‎ ‎16×2=32（千克）‎ 丙桶油的一半是16千克，把这16千克平均倒在甲乙两桶中时，倒入每一桶的油是：‎ ‎16÷2=8（千克）‎ 所以，在丙桶未向甲、乙两桶倒油时，即“再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙两桶中”后，甲、乙两桶中分别有油8千克。‎ 在表15-7中，乙倒完后一栏的后面横向写上甲、乙、丙三桶分别有油8千克、8千克、32千克。‎ ‎（2）根据取出乙桶油的一半平均倒在甲、丙两桶中后，乙桶中还剩8千克油，甲桶中有油8千克，丙桶中有油32千克，可以推出原来乙桶中有油16千克，乙桶油的一半是：‎ ‎16÷2=8（千克）‎ ‎8千克的一半是4千克。所以，在乙桶未向甲、丙两桶倒油之前，即“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中”后，甲桶中有油：‎ ‎8-4=4（千克）‎ 丙桶中有油：‎ ‎32-4=28（千克）‎ 在表15-7中，甲倒完后一栏的后面横向写上甲、乙、丙三桶分别有油：4千克、16千克、28千克。‎ ‎（3）由“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中”之后，甲桶中还剩下4千克油，可以推出甲桶原来有油：‎ ‎4×2=8（千克）‎ ‎8千克的一半是4千克，4千克的一半是2千克。由甲桶向乙、丙两桶倒完油后，乙、丙两桶分别有油16千克，28千克，由此可推出乙、丙两桶原来分别有油：‎ ‎16-2=14（千克）‎ ‎28-2=26（千克）‎ 答略。‎ 627‎ 第十六讲 倍比法 解应用题时，先求出题中两个对应的同类数量的倍数，再通过“倍数”去求未知数，这种解题的方法称为倍比法。 ‎ ‎（一）用倍比法解归一问题 可以用倍比法解答的应用题一般都可以用归一法来解（除不尽时，可以用分数、小数来表示），但用倍比法解答要比用归一法简便。实际上，倍比法是归一法的特殊形式。为计算方便，在整数范围内，如果用归一法除不尽时，可以考虑用倍比法来解。反之，运用倍比法除不尽时，也可以考虑改用归一法来解。要根据题目中的具体条件，选择最佳解法。‎ 例1 一台拖拉机3天耕地175亩。照这样计算，这台拖拉机15天可以耕地多少亩？（适于三年级程度）‎ 解：这道题实质上是归一问题。要求15天耕地多少亩，只要先求出每天耕地多少亩就行了。但175不能被3整除，所以在整数范围内此题不便用归一法来解。因题目中的同一类数量（两个天数）之间成倍数关系（15天是3天的5倍），并且拖拉机的工作效率又相同，所以另一类量（两个耕地亩数）之间也必然有相同的倍数关系（15天耕地亩数也应是3天耕地亩数的5倍）。‎ 先求15天是3天的几倍：‎ ‎15÷3=5（倍）‎ 再求175亩的5倍是多少亩：‎ ‎175×5=875（亩）‎ 综合算式：‎ ‎175×（15÷3）‎ ‎＝175×5‎ ‎＝875（亩）‎ 答：15天可以耕地875亩。‎ 例2 3台拖拉机一天耕地40亩。要把160亩地在一天内耕完，需要多少台同样的拖拉机？（适于三年级程度）‎ 解：先求出160亩是40亩的几倍：‎ ‎160÷40=4（倍）‎ 再求耕160亩地需要多少台同样的拖拉机：‎ 627‎ ‎3×4=12（台）‎ 综合算式：‎ ‎3×（160÷40）‎ ‎=3×4‎ ‎=12（台）例3 工厂运来52吨煤，先用其中的13吨炼出9750千克焦炭。照这样计算，剩下的煤可以炼出多少千克焦炭？（适于四年级程度）‎ 用归一法解：先求出每吨煤可炼出多少千克焦炭，再求出剩下的煤可以炼多少千克焦炭：‎ ‎9750÷13×（52-13）‎ ‎=750×39‎ ‎=29250（千克）‎ 用倍比法解：先求出52吨里有几个13吨，然后去掉已炼的一个13吨，得：‎ ‎9750×（52÷13-1）‎ ‎=29250（千克）‎ 答略。‎ 例4 某粮食加工厂，3台磨粉机6小时磨小麦1620千克。照这样计算，5台磨粉机8小时可以磨小麦多少千克？（适于五年级程度）‎ 用归一法解：‎ ‎1620÷3÷6×5×8‎ ‎=540÷6×5×8‎ ‎=90×5×8‎ ‎=3600（千克）‎ 用倍比法解：把一台磨粉机工作1小时看作一个新的量--1台小时，3台磨粉机工作6小时，就是3×6台小时，5台磨粉机工作8小时，就是5×8台小时。只要求出5×8台小时是3×6台小时的几倍，那么5台磨粉机8小时磨的小麦就是1620千克小麦的几倍。‎ 627‎ 答略。‎ 例5 甲、乙两辆车分别从东、西两城同时相对开出，4小时后相遇，相遇后甲车再经过2小时到达西城。求乙车再经过几小时可以到达东城？（适于五年级程度）‎ 解：用图16-1表示题中的数量关系。‎ 看图16-1中两车相遇点右侧的路程，甲、乙所走的路程一样长。但走这段路，甲用了2小时，乙却用了4小时。就是说，走同样的路程时，乙用的时间是甲的4÷2=2倍。再看相遇点左侧的路程，甲走这段路程用了4小时，因为走同样长的路程时乙用的时间是甲的2倍，所以，乙由相遇点到达东城的时间是4小时的2倍。‎ ‎4×（4÷2）=8（小时）‎ 答：乙车再过8小时可以到达东城。‎ ‎（二）用倍比法解工程问题 用倍比法解工程问题，不用设总工作量为“1”，学生较易理解，尤其是解某些较复杂的工程问题，用倍比法解比较简捷。‎ 例1 一项工程，由甲工程队修建，需要20天完成；由乙工程队修建，需要30天完成。两队合修需要多少天完成？（适于六年级程度）‎ 解：因为甲工程队修建20天的工作量相当于乙工程队修建30天的工作 在把乙队30天的工作量看作总工作量时，乙队一天修的工作量是1，则 627‎ ‎=12（天）‎ 答略。‎ 例2 一件工作单独由一个人完成，甲要用8小时，乙要用12小时。若甲先单独做5小时，剩下的由乙单独做完，则乙需要做多少小时？（适于六年级程度）‎ 解：因为甲8小时的工作量相当于乙12小时的工作量，所以，甲1小时 作量，剩下的便是乙单独做完这项工作所需要的时间：‎ 在把甲8小时的工作量看作工作总量时，甲1小时的工作量是1，则乙 627‎ 答略。‎ 例3 某工程由甲、乙两队合做12天完成，现在两队合做4天后，余下的再由甲队单独做10天可以完成。问甲队单独完成这项工程需要多少天？（适于六年级程度）‎ 解：甲、乙两队合做4天后，再共同完成剩下的工作量，需要的天数是12-4=8（天）。这8天的工作量是甲、乙需合做8天才能完成的工作量。‎ 这8天的工作量，甲单独做10天完成，就是说，甲、乙合做1天的工作 ‎（天），再加上后来甲单独工作的10天，便可得到甲队单独完成这项工程需要的天数：‎ 答略。‎ 例4 一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成。现在先由乙队做若干天后，甲再参加，4天就做完了。那么乙先单独做了多少天？（适于六年级程度）‎ 解：因为这项工程，甲单独做10天完成，而甲只做了4天，所以10-4=6（天），这6天的工作量是由乙做的。而乙1天的工作量是甲1天工作量的 去掉乙后来与甲合做的4天，便得到乙先头单独做的天数：‎ 答略。‎ ‎*例5 甲、乙两人同做一件工作，甲做4天的工作量，等于乙做3天的工作量，若由甲单独做这项工作需要12天完成。现在甲、乙两人合做4天后，剩下的工作由乙单独做需要几天完成？（适于六年级程度）‎ 627‎ 把甲单独做12天完成的工作量看作工作总量，从工作总量中减去甲、乙合做的工作量，剩下的就是乙单独做的工作量。‎ 再把剩下的工作量除以乙1天的工作量，即得到剩下的工作由乙单独做需要几天完成。‎ 答略。‎ 答略。‎ 第十七讲 逆推法 小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。由于从出口返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。 ‎ 解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答，如果从问题的结果出发，从后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。‎ 这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。‎ 用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。‎ 627‎ ‎（一）从结果出发逐步逆推 例1 一个数除以4，再乘以2，得16，求这个数。（适于四年级程度）‎ 解：由最后再乘以2得16，可看出，在没乘以2之前的数是：‎ ‎16÷2=8‎ 在没除以4之前的数是：‎ ‎8×4=32‎ 答：这个数是32。‎ ‎*例2 粮库存有一批大米，第一天运走450千克，第二天运进720千克，第三天又运走610千克，粮库现有大米1500千克。问粮库原来有大米多少千克？（适于四年级程度）‎ 解：由现有大米1500千克，第三天运走610千克，可以看出，在没运走610千克之前，粮库中有大米：‎ ‎1500+610=2110（千克）‎ 在没运进720千克之前，粮库里有大米：‎ ‎2110-720=1390（千克）‎ 在没运走450千克之前，粮库里有大米：‎ ‎1390+450=1840（千克）‎ 答：粮库里原来有大米1840千克。‎ ‎*例3 某数加上9后，再乘以9，然后减去9，最后再除以9，得9。问这个数原来是多少？（适于四年级程度）‎ 解：由最后除以9，得9，看得出在除以9之前的数是：‎ ‎9×9=81‎ 在减去9之前的数是：‎ ‎81+9=90‎ 在乘以9之前的数是：‎ ‎90÷9=10‎ 627‎ 在加上9之前，原来的数是：‎ ‎10-9=1‎ 答：这个数原来是1。‎ ‎*例4 解放军某部进行军事训练，计划行军498千米，头4天每天行30千米，以后每天多行12千米。求还要行几天？（适于五年级程度）‎ 解：从最后一个条件“以后每天多行12千米”可求出，以后每天行的路程是：‎ ‎30+12=42（千米）‎ 从头4天每天行30千米，可求出已行的路程是：‎ ‎30×4=120（千米）‎ 行完4天后剩下的路程是：‎ ‎498-120=378（千米）‎ 还要行的天数是：‎ ‎378÷42=9（天）‎ 综合算式：‎ ‎（498-30×4）÷（30+12）‎ ‎=378÷42‎ ‎=9（天）‎ 答略。‎ ‎*例5 仓库里原有化肥若干吨。第一次取出全部化肥的一半多30吨，第二次取出余下的一半少100吨，第三次取出150吨，最后剩下70吨。这批化肥原来是多少吨？（适于五年级程度）‎ 解：从“第三次取出150吨，最后剩下70吨”可看出，在第三次取出之前仓库里有化肥：‎ ‎70+150=220（吨）‎ 假定第二次取出余下的一半，而不是少100吨，则第二次取出后，仓库剩下化肥：‎ ‎220-100=120（吨）‎ 第二次取出之前，仓库中有化肥：‎ 627‎ ‎120×2=240（吨）‎ 假定第一次正好取出一半，而不是多30吨，则第一次取出一半后，仓库里剩下化肥：‎ ‎240+30=270（吨）‎ 仓库中原有化肥的吨数是：‎ ‎270×2=540（吨）‎ 综合算式：‎ ‎[（150+70-100）×2+30]×2‎ ‎=[120×2+30]×2‎ ‎=270×2‎ ‎=540（吨）‎ 答略。‎ 共有多少本图书？有科普读物多少本？（适于六年级程度）‎ 解：最后一个条件是“少儿读物是630本”，由于科普读物和文艺读物 所以，这个书架上共有书：‎ 有科普读物：‎ 627‎ 答略。‎ ‎（二）借助线段图逆推 ‎*例1有一堆煤，第一次运走一半多10吨，第二次运走余下的一半少3吨，还剩下25吨。问这堆煤原来是多少吨（适于五年级程度）‎ 解：作图17-1（见下页）。‎ 从图17-1可看出，余下的一半是：‎ ‎25-3=22‎ 所以，余下的煤是：‎ ‎22×2=44（吨）‎ 全堆煤的一半是：‎ ‎44+10=54（吨）‎ 原来这堆煤是：‎ ‎54×2=108（吨）‎ 答略。‎ ‎*例2 服装厂第一车间的人数占全厂人数的25％，第二车间的人数比第 个服装厂共有多少人？（适于六年级程度）‎ 解：作图17-2（见下页），用三条线段表示三个车间的人数。‎ 627‎ 第二车间人数是：‎ 第一车间人数是：‎ 全厂人数是：‎ ‎150÷25％=600（人）‎ 综合算式：‎ ‎（三）借助思路图逆推 627‎ 例1 某工程队原计划12天修公路2880米，由于改进了工作方法，8天就完成了任务。问实际比原计划每天多修多少米？（适于四年级程度）‎ 解：作思路图（图17-3）。‎ 求实际比原计划每天多修多少米，必须知道实际每天修多少米和原计划每天修多少米。‎ 求实际每天修多少米，就要知道公路的长和实际修完的天数。‎ 实际每天修的米数是：‎ ‎2880÷8=360（米）‎ 求原计划每天修多少米，就要知道公路的长和原计划要修的天数。‎ 原计划每天修的米数是：‎ ‎2880÷12=240（米）‎ 实际比原计划每天多修的米数是：‎ ‎360-240=120（米）‎ 答略。‎ ‎*例2 某机床厂去年每月生产机床5台，每月用去钢材4000千克；今年每月生产的机床台数是去年的4倍，平均每台机床比去年少用钢材200千克。今年每月用的钢材是去年每月所用钢材的几倍？（适于五年级程度）‎ 解：作思路图（图17-4）。‎ 627‎ 从图17-4的下边开始看，逐步往上推理。‎ ‎（1）去年每台用钢材多少？‎ ‎4000÷5=800（千克）‎ ‎（2）今年每台用多少钢材？‎ ‎800-200=600（千克）‎ ‎（3）今年每月生产多少台？‎ ‎5×4=20（台）‎ ‎（4）今年每月用多少钢材？‎ ‎600×20=12000（千克）‎ ‎（5）今年每月用的钢材是去年每月所用钢材的几倍？‎ ‎12000÷4000=3（倍）‎ 综合算式：‎ ‎（4000÷5-200）×（5×4）÷4000‎ ‎=600×20÷4000‎ ‎=3（倍）‎ 答略。‎ ‎（四）借助公式逆推 627‎ 例1 一个三角形的面积是780平方厘米，底是52厘米。问高是多少？（适于五年级程度）‎ 解：计算三角形面积的公式是：面积=底×高÷2，逆推这个公式得：‎ 高=面积×2÷底 所以，这个三角形的高是：‎ ‎780×2÷52=30（厘米）‎ 答略。‎ 例2 求图17-5平行四边形中CD边的长。（单位：厘米）（适于五年级 程度）‎ 解：因为平行四边形的面积是：‎ BC×AE=6×3=18‎ 平行四边形的面积也是：‎ CD×AF=5CD 所以，5CD=18‎ CD=18÷5‎ ‎=3.6（厘米）‎ 答略。‎ 例3 一个圆锥体的体积是84.78立方厘米，底面的直径是6厘米。求它的高是多少。（适于六年级程度）‎ 解：底面圆的直径是6厘米，则半径就是3厘米。‎ 由V=1/3πR2h逆推得：‎ h=V×3÷π÷R2‎ 因此，它的高是：‎ 627‎ ‎84.78×3÷3.14÷32‎ ‎=254.34÷3.14÷32‎ ‎=9（厘米）‎ 答略。‎ ‎（五）借助假设法逆推 解：假设取出存款后没有买书橱，则150元是取出的钱的：‎ 取出的钱是：‎ ‎150×3=450（元）‎ 老张原有的存款是：‎ ‎450×4=1800（元）‎ 答略。‎ 例2 供销社分配给甲、乙、丙三个乡若干吨化肥。甲乡分得总数的一半少2吨，乙乡分得剩下的一半又多半吨，最后剩下的8吨分给丙乡。问原来共有化肥多少吨？（适于六年级程度）‎ 解：假设乙乡分得剩下一半，而不是又多半吨，则乙乡分走后剩下的化肥是：‎ 乙乡分走前的化肥是：‎ 假设甲乡分得总数的一半，而不是少2吨，则甲乡分走化肥：‎ ‎17-2=15（吨）‎ 627‎ 这15吨正好是原有化肥吨数的一半，所以原来共有化肥：‎ ‎15×2=30（吨）‎ 综合算式：‎ 答略。‎ ‎（六）借助对应法逆推 所以，食堂原来有大米：‎ 综合算式：‎ 答略。‎ 627‎ 所以，第一天耕地后余下的亩数是：‎ ‎25+3=28（亩）‎ ‎28亩所对应的分率是：‎ 综合算式：‎ 答略。‎ 第十八讲 图解法 627‎ 图形是数学研究的对象，也是数学思维和表达的工具。 ‎ 在解答应用题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形象。图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。有时，作出了图形，答案便在图形中。‎ ‎（一）示意图 示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。‎ 小学数学中的示意图简单、直观、形象，使人容易理解图中的数量关系。‎ 例1 妈妈给兄弟二人每人10个苹果，哥哥吃了8个，弟弟吃了5个。谁剩下的苹果多？多几个？（适于四年级程度）‎ 解：作图18-1。‎ 哥哥吃了8个后，剩下苹果：‎ ‎10-8=2（个）‎ 弟弟吃了5个后，剩下苹果：‎ ‎10-5=5（个）‎ 弟弟剩下的苹果比哥哥的多：‎ ‎5-2=3（个）‎ 答：弟弟剩下的苹果多，比哥哥的多3个。‎ 例2 一桶煤油，倒出40％，还剩18升。这桶煤油原来是多少升？（适于六年级程度）‎ 解：作图18-2。‎ 627‎ 从图中可看出，倒出40％后，还剩：‎ ‎1-40％=60％‎ 这60％是18升所对应的百分率，所以这桶油原来的升数是：‎ ‎18÷60％=30（升）‎ 答略。‎ 例3 把2米长的竹竿直立在地面上，量得它的影长是1.8米，同时量得电线杆的影长是5.4米。这根电线杆地面以上部分高多少米？（适于六年级程度）‎ 解：根据题意画出如图18-3（见下页）的示意图。‎ 同一时间，杆长和影长成正比例。设电线杆地面以上部分的高是x米，得：‎ ‎1.8∶5.4=2∶x 答略。‎ ‎（二）线段图 线段图是以线段的长短表示数量的大小，以线段间的关系反映数量间关系的一种图形。在小学数学应用题教学中线段图是使用最多、最方便的一种图形。‎ 例1 王明有15块糖，李平的糖是王明的3倍。问李平的糖比王明的糖多多少块？（适于三年级程度）‎ 627‎ 解：作图18-4（见下页）。‎ 从图18-4可看出，把王明的15块糖看作1份数，那么李平的糖就是3份数。‎ 李平比王明多的份数是：‎ ‎3-1=2（份）‎ 李平的糖比王明的糖多：‎ ‎15×2=30（块）‎ 综合算式：‎ ‎15×（3-1）‎ ‎=15×2‎ ‎=30（块）‎ 答略。‎ 例2 托尔斯泰是俄罗斯伟大作家，享年82岁。他在19世纪中度过的时间比在20世纪中度过的时间多62年。问托尔斯泰生于哪一年？去世于哪一年？（适于四年级程度）‎ 解：作图18-5。‎ 从图18-5可看出，他在20世纪度过的时间是：‎ ‎（82-62）÷2‎ ‎＝20÷2‎ ‎=10（年）‎ 由此看出，他死于1910年。他出生的时间是：‎ 627‎ ‎1910-82=1828（年）‎ 答略。‎ 解：作图18-6。‎ 综合算式：‎ 答略。‎ 627‎ ‎（三）思路图 小学数学中的许多应用题，需要用综合法或分析法分析解答。如果把思维的过程用文字图形表示出来，就有助于正确选择已知数量，提出中间问题，理清数量关系，从而顺利解题。这种表示思维过程的图形就是思路图。‎ 例题参见前面的分析法和综合法。‎ ‎（四）正方形图 借助正方形图解应用题，就是以正方形的边长、面积表示应用题中的数量，使应用题数量之间的关系具体而明显地呈现出来，从而达到便于解题的目的。‎ 例1 农民张成良，把自己承包的土地的一半种了玉 承包了多少公顷土地？（适于四年级程度）‎ 解：根据题意作图18-7。‎ 所以，他承包的土地是：‎ ‎2×8=16（公顷）‎ 答略。‎ 例2有大小两个正方形，其中大正方形的边长比小正方形的边长多4厘米，面积比小正方形的面积大96平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？（适于六年级程度）‎ 解：求大、小正方形的面积，应知道大、小正方形的边长，但题中没有说，也不好直接求出来。借助画图形的方法可轻易解决这个问题。‎ 根据题意作图18-8。‎ 627‎ 图中大正方形ABCD的面积比小正方形的面积大96平方厘米。这96平方厘米的面积是由两个长方形a及比长方形还小的正方形c构成。从96平方厘米减去正方形c的面积，再除以2就可求出长方形a的面积。‎ ‎（96-4×4）÷2=40（平方厘米）‎ 因为长方形a的宽是4厘米，所以长方形a的长是：‎ ‎40÷4=10（厘米）‎ 因为10厘米也是小正方形的边长，所以小正方形的面积是：‎ ‎10×10=100（平方厘米）‎ 大正方形的边长是：‎ ‎4+10=14（厘米）‎ 大正方形的面积是：‎ ‎14×14=196（平方厘米）‎ 答略。‎ ‎（五）长方形图 借助长方形图解应用题，是以长方形的长表示一种数量，以长方形的宽表示另一种数量，以长方形的面积表示这两种数量的积。它能把抽象的数量关系转化为具体形象的面积来计算问题。‎ ‎*例1 甲、乙两名工人做机器零件，每天甲比乙多做10个。现在甲工作15天，乙工作12天，共做出1500个零件。问甲、乙两人每天各做多少个零件？（适于五年级程度）‎ 解：根据题意作图18-9（见下页）。‎ 图18-9中，以左边长方形的长表示甲工作15天，以左边长方形的宽表示甲每天做多少个；以右边长方形的长表示乙工作12天，以右边长方形的宽表示乙每天做多少个。‎ 627‎ 图中右上角那个长方形的宽表示甲每天比乙多做10个，所以，乙在12天中比甲少做零件：‎ ‎10×12=120（个）‎ 图中全部阴影部分的面积表示甲、乙共做的零件1500个。‎ 从图18-9可以看出，整个大长方形面积所表示的零件的个数是：‎ ‎1500+120=1620（个）‎ 这个长方形的长表示甲、乙共同工作的天数：‎ ‎15+12=27（天）‎ 因为大长方形的宽表示甲每天做零件的个数，所以甲每天做零件的个数是：‎ ‎1620÷27=60（个）‎ 乙每天做零件的个数是：‎ ‎60-10=50（个）‎ 答略。‎ ‎* 例2 某商店卖出苹果、鸭梨和桔子共25筐，其中鸭梨的筐数是桔子筐数的2倍。苹果每筐卖90元，鸭梨每筐卖72元，桔子每筐卖60元，共卖得1854元。问卖出苹果、鸭梨和桔子各多少筐？（适于六年级程度）‎ 解：根据题意作图18-10。‎ 图18-10中阴影部分表示，如果25筐都是苹果，则所造成的差价是：‎ 627‎ ‎90×25-1854=396（元）‎ 每卖出1筐桔子、2筐鸭梨、3筐苹果的差价是：‎ ‎（90-72）×2+（90-60）‎ ‎=36+30‎ ‎=66（元）‎ 因此，桔子的筐数是：‎ ‎396÷66=6（筐）‎ 鸭梨的筐数是：‎ ‎6×2=12（筐）‎ 苹果的筐数是：‎ ‎25-6-12‎‎=7（筐）‎ 答略。‎ ‎（六）条形图 条形图是把长方形的长画得比较长，把长方形的宽画得比较短的一种图形。条形图一般以长方形的长表示数量。条形图可以画成竖的，也可以画成横的。题中不同的数量可用不同的阴影线或不同的颜色表示。题中的数量可写在长方形内，也可写在长方形外面。‎ 条形图比线段图更直观一些，在用来解某些应用题时效果要比线段图好。‎ 吨后，两场所剩煤的数量相等。甲、乙两个煤场原来各存煤多少吨？（适于六年级程度）‎ 解：作图18-11。‎ 627‎ 从图中可看出，从875吨中减去75吨后，甲煤场的煤就相当于乙煤场煤的3倍，两个煤场所存煤共分为4份。‎ 其中一份是：‎ ‎（875-75）÷（3+1）‎ ‎＝800÷4‎ ‎=200（吨）‎ 乙煤场原来的存煤吨数是：‎ ‎200+75=275（吨）‎ 甲煤场原来存煤的吨数是：‎ ‎200×3=600（吨）‎ 答略。‎ 解：作图18-12。‎ 但是，实际上是运出125吨。这140吨比实际运出的多：‎ ‎140-125=15（吨）‎ 627‎ 所以15吨所对应的分率是：‎ 甲库原来的存粮吨数是：‎ ‎420-180=240（吨）‎ 答略。‎ ‎*例3 一组割草人要把大、小两块草地的草割掉，其中大块草地的面积是小块草地面积的2倍。全体组员用半天的时间割大块草地的草。下午一半的组员仍停留在大块草地上割，另一半到小块草地上割。到傍晚时，大块草地的草全部割完，而小块草地还剩下一小块。这剩下的一小块，第二天一个人用一天的时间就割完了。这组割草的一共有多少人？（适于六年级程度）‎ 全体组员割一个上午后，一半的组员又割一个下午就把大块地的草割完，这就是说，要是用一半的组员单独割大块草地的草，就要用3个半天，而在 这剩下的一小块是大块草地的：‎ 627‎ 这就是说，6个人一天可以把大块草地割完，一个人一天割大块地的 答略。‎ ‎（七）圆形图 借助圆形图解应用题，是以圆的面积或周长表示题中的数量，并在圆周内、外标上数字、符号，从而达到便于分析数量关系的目的。‎ 例1 甲、乙两个学生同时从同一起点沿着一个环形跑道相背而跑。甲每秒钟跑8米，乙每秒钟跑7米，经过20秒钟两人相遇。求环形跑道的周长。（适于五年级程度）‎ 解：作图18-14。‎ 从图中可看出，甲、乙两人跑的路程的总和就是圆的周长。根据“速度和×相遇时间=相遇路程”，可求出环形跑道的周长：‎ ‎（7+8）×20=300（米）‎ 答略。‎ 627‎ 问这块土地有多少公倾？（适于六年级程度）‎ 解：作图18-15。‎ 从图中可看出，第二天耕完这块土地的：‎ 例3 有三堆棋子，这三堆棋子所含棋子的个数一样多，且都只有黑、白两色棋子。第一堆里的黑子与第二堆的白子一样多，第 棋子的几分之几？（适于六年级程度）‎ 解：作图18-16。‎ 627‎ 从图中可看出，把第一堆里的黑子与第二堆里的白子交换，则第一堆全是白子，第二堆全是黑子。‎ 因为第一堆与第二堆的棋子数相同，所以第一堆的白子数与第二堆的黑 所以，白子占全部棋子的：‎ ‎*例4 甲、乙两人同时从环形路的同一点出发，同向环行。甲每分钟走70米，乙每分钟走46米。环形路的长是300米。他们出发后，在1小时20分里相会几次？到1小时20分时两人的最近距离是多少米？（适于五年级程度）‎ 解：作图18-17。‎ 甲、乙二人1分钟的速度差是：‎ ‎70-46=24（米）‎ 由二人出发到第一次相会所需的时间是：‎ 627‎ ‎300÷24=12.5（分）‎ ‎1小时20分钟即为80分钟。80分钟内包含几个12.5分钟，二人即相会几次。80分钟内包括6个12.5分钟，还多5分钟，即二人相会6次。‎ 由于第六次相会后还走5分钟，所以甲乙之间相隔：‎ ‎24×5=120（米）‎ 此时，甲、乙之间还有一个距离是：‎ ‎300-120=180（米）‎ ‎180＞120米 答：在1小时20分钟里两人相会6次；到1小时20分钟时，两人的最近距离是120米。‎ ‎（八）染色图 在图中用不同的颜色表示不同的内容或不同的数量，以利于解题的图形叫染色图。染色图是解决数学题和智力题常用的一种图形。‎ ‎*例1 图18-18是某湖泊的平面图，图中的所有曲线都表示湖岸。某人从岸边A点到B点至少要趟几次水？B点是在水中还是在岸上？（适于高年级程度）‎ 解：这个问题好像很难解答。但我们按“图中所有曲线都是表示湖岸”的已知条件，将湖面染上色，湖岸部分就显示出来了，答案也就一目了然了（图18-19）。‎ 答：他至少要趟3次水才能达到B处，B点在湖岸上。‎ ‎* 例2 如图18-20，某展览馆有36个展室，每两个相邻展室之间均有门相通。问你能否从图中入口进去，不重复地参观完每个展室后，再从出口处出来？（适于高年级程度）‎ 627‎ 解：作图18-21。把图中36个方格相间地染上黑色。因入口处是白格，参观时若依顺序将展室编号，那么进入第奇数号展室时，应是白格位置；进第偶数号展室应是黑格。即应按白→黑→白→黑→……顺序交替参观。‎ 参观者最后离开的是第36号展室，它是偶数，按上面的分析它应是黑格，但图中实际为白色方格。这说明题中要求的参观方式是不可能实现的。‎ 答略。‎ ‎*例3 将图18-22矩形 ABCD的一边AD分成6小段，其中线段1+线段3+线段5=线段2+线段4+线段6。连结对角线BD，用红（图中用横线表示）、蓝（图中用坚线表示）两色将图形分别染色。问图中染红色部分面积与染蓝色部分面积哪个大？（适于高年级程度）‎ 解：此题利用三角形、梯形面积公式可算出结果，但较麻烦。用染色的方法解此题比较简捷。‎ 先将图中BD线左下面的空白处染上黑色，用S红、S蓝、S黑分别表示染红、蓝、黑三种颜色图形的面积（图18-23）。‎ 627‎ 从图18-23很容易看到：‎ 另外，S蓝+S黑等于3个小矩形面积的和，而它恰好等于矩形ABCD面积的一半，即：‎ 这就是说：‎ S红+S黑=S蓝+S黑 从上面算式的两边同时减去S黑，得：‎ S红=S蓝 答：图中染红色部分的面积与染蓝色部分的面积一样大。‎ ‎*例4 图18-24的图形是从4×4的正方形纸上剪去两个1×1的小方纸片后得到的。它们的面积都是14。若把它们剪成1×2的小矩形，最多能剪几个？为什么？（适于高年级程度）‎ 解：图 18-24的三个图形除了（1）可以剪出 7个 1×2的小矩形外，（2）、（3）不管怎么剪，至多都只能剪出6个来。原因是：‎ 627‎ 分别用黑白两色对图形（1）、（2）、（3）相间地涂色（图18-25）。从它们上面剪下来的每一个小矩形都由两个相邻的小方格组成，这两个小方格上涂有不同的颜色，如图18-25中 ‎（4）。既然每个1×2的小矩形都由一个白色格和一个黑色格组成（因为三个图形的面积都是14个方格，把它们剪成1×2的小矩形，照面积来算，似乎都应剪出7个来），要想剪出7个小矩形，当然得有7个白格和7个黑格，但在图18-25中，只有图形（1）是这样的，图形（2）、（3）都有8个白格和6个黑格。故它们只能剪出6个小矩形。‎ 答略。‎ ‎=3.2（公顷）‎ 答略。‎ 第十九讲 对应法 解应用题时要找出题中数量间的对应关系。如解平均数应用题需找出“总数量”所对应的“总份数”；解倍数应用题需找出具体数量和倍数的对应关系；解分数应用题需找出数量与分率的对应关系。因此，找出题中“对应”的数量关系，是解答应用题的基本方法之一。 ‎ 用对应的观点，发现应用题数量之间的对应关系，通过对应数量求未知数的解题方法，称为对应法。‎ 解答复杂的分数应用题，关键就在于找出具体数量与分率的对应关系。‎ ‎（一）解平均数应用题 在应用题里，已知几个不相等的已知数及份数，要求出总平均的数值，称为求平均数应用题。‎ 解平均数应用题，要找准总数量与总份数的对应关系，然后再按照公式 627‎ 例1 同学们参加麦收劳动。第一天收麦16亩，第二天上午收麦8亩，下午收麦12亩。平均每天收麦多少亩？（适于三年级程度）‎ 解：本题的总份数是2天（注意：总份数不是3天），2天所对应的总数量是（16+8+12）亩。‎ 所以，平均每天收麦亩数是：‎ ‎（16+8+12）÷2‎ ‎=36÷2‎ ‎=18（亩）‎ 答略。例2 服装厂一、二月份共生产13356套服装，三月份生产12030套服装。第一季度平均每月生产多少套服装？（适于三年级程度）‎ 解：本题的总份数是3个月（注意：不是2个月），与3相对应的总数是（13356+12030）套。‎ 所以，平均每个月生产服装的套数是：‎ ‎（13356+12030）÷3‎ ‎=25386÷3‎ ‎=8462（套）‎ 答略。‎ 例3 河南乡有两块稻谷实验田。第一块8亩，平均亩产稻谷550千克；第二块6亩，共产稻谷2880千克。这两块试验田平均亩产稻谷多少千克？（适于四年级程度）‎ 解：求平均亩产量，总份数就是总亩数（8+6）亩，和总份数对应的总数量就是总产量（550×8+2880）千克。‎ 所以，这两块试验田平均亩产稻谷的数量是：‎ ‎（550×8+2880）÷（8+6）‎ ‎=7280÷14‎ ‎=520（千克）‎ 答略。‎ 例4 甲、乙两地相距 10.5千米。某人从甲地到乙地每小时走5千米，从乙地返回甲地每小时走3千米。求他往返的平均速度。（适于五年级程度）‎ 627‎ 解：有的同学以（5+3）÷2=4（千米/小时）这种方法解答此题。这个算式里没有某人走的总路程和与总路程所对应的时间，所以这种算法是错误的。‎ 此题的总路程是 10.5×2千米，与总路程相对应的总时间是（10.5÷5+10.5+3）小时。‎ 所以他往返的平均速度是：‎ ‎10.5×2÷（10.5÷5+10.5÷3）‎ ‎=21÷5.6‎ ‎=3.75（千米/小时）‎ 答略。‎ ‎（二）解倍数应用题 已知两个数的倍数关系以及它们的和，求这两个数的应用题，称为和倍应用题；已知两个数的倍数关系以及它们的差，求这两个数的应用题，称为差倍应用题。‎ 总起来讲，已知各数量之间的倍数关系和其他条件，求各个数量大小的这类应用题，就叫做倍数应用题。‎ 在解倍数应用题时，要找准具体数量和倍数的对应关系。然后，利用下面的公式求出1倍数，使问题得到解决。‎ 例1 甲、乙两筐中有重量相同的苹果。由甲筐卖出75千克，由乙筐卖出97千克后，甲筐剩下苹果的重量是乙筐剩下苹果重量的3倍。乙筐现在有苹果多少千克？（适于四年级程度）‎ 解：根据“由甲筐卖出75千克，由乙筐卖出97千克后，甲筐剩下苹果的重量是乙筐剩下苹果重量的3倍”，可看出：‎ 由甲筐卖出的少，由乙筐卖出的多，甲筐剩下的多，乙筐剩下的少；乙筐剩下的苹果是1倍数，甲筐剩下的苹果是3倍数。‎ 甲筐剩下的苹果比乙筐剩下的苹果多：‎ ‎3-1=2（倍）‎ 627‎ 这2倍数所对应的数量是：‎ ‎97-75=22（千克）‎ 因为乙筐剩下的苹果是1倍数，所以乙筐现在有苹果：‎ ‎22÷2=11（千克）‎ 答略。‎ 例2 甲、乙两个粮库共存粮食107吨。甲库运出23吨粮食后，乙库所存粮是甲库的3倍。甲粮库原来存粮多少吨？（适于五年级程度）‎ 解：由题意“甲库运出23吨粮食后，乙库所存粮食是甲库的3倍”可看出，甲库运出23吨粮食后，甲、乙两库共剩粮食：‎ ‎107-23=84（吨）‎ 甲库存粮是1倍数，乙库存粮是3倍数，84吨所对应的倍数是（1+3）倍。‎ 所以，甲库现在存粮食：‎ ‎84÷（1+3）=21（吨）‎ 甲库原来存粮食：‎ ‎21+23=44（吨）‎ 答略。‎ 例3 春光农场两组工人收桔子。第一组收的桔子是第二组所收桔子的3倍少50千克，比第二组多收3150千克。两组各收桔子多少千克？（适于五年级程度）‎ 解：因为第一组收的桔子比第二组多3150千克，是第二组的3倍少50千克，所以，第二组收的是1倍数。如果在3150千克之上增加50千克，则第一组收的就是第二组的3倍。‎ ‎3150+50=3200（千克）‎ 这3200千克所对应的倍数是：‎ ‎3-1=2（倍）‎ 第二组所收的桔子是：‎ ‎3200÷2=1600（千克）‎ 第一组所收的桔子是：‎ 627‎ ‎1600×3-50‎ ‎=4800-50‎ ‎=4750（千克）‎ 答略。‎ ‎（三）解行程应用题 在距离、速度、时间三个量中，已知其中两个量而求另一个量的应用题叫做行程应用题。‎ 它可以分为一般行程应用题、相向运动应用题、同向运动应用题（追及应用题）三类。‎ 在解行程应用题时，要找准速度、时间和距离之间的对应关系，然后再按照公式“速度×时间=距离”、“速度和×相遇所需对间=原来相隔距离”、“速度差×追及所需时间=追及距离”来计算。‎ ‎=30（千米）‎ 答略。‎ ‎*例2 一段路，客车行完要用12小时，货车行完要用15小时。现在两车同时从两地相向而行，相遇时客车行了150千米。求货车行了多少千米。（适于六年级程度）‎ 解：作图19-1。‎ 627‎ 货车行的路程是：‎ ‎270-150=120（千米）‎ 答略。‎ ‎（四）解分数应用题 用分数计算来解答的应用题，叫做分数应用题。‎ 解：已知整袋的白糖重量是25千克，要求最后剩下的白糖的重量，就要求出最后剩下的白糖所对应的分率。‎ 627‎ 所以最后剩下的白糖是：‎ 答略。‎ 所以，两天一共修的米数是：‎ ‎=135（米）‎ 答略。‎ ‎（五）解工程应用题 工程应用题，是叙述有关共同工作的问题。解答这类问题，是把全工程作为“1”。用工作的时间去除全工程“1”，可求单位时间的工作量；用单位时间的工作量去除全工程“1”，可求出完成工程所用的时间。‎ 在解工程问题时，要找准工作效率、工作时间和工作量的对应关系，然后再按照公式“工作效率×工作时间=工作量”及其变形公式计算。‎ 例1 甲、乙两人合做一批机器零件。甲单独做需要10小时完成，乙单独做需要15小时完成。两人合做5小时后，这批零件还剩30只。这批零件一共是多少只？（适于六年级程度）‎ 627‎ 解：把这批零件的只数看作单位“1”。甲单独做需要10小时完成，甲 ‎ 剩余的工作量是：‎ 答略。‎ 例2一项工程，甲队单独做12天可以完成，甲队做了8天后，剩余的工程由乙队做了5天完成。问乙队单独做每天可以完成这项工程的几分之几？（适于六年级程度）‎ 剩余的工作量是：‎ 答略。‎ 第二十讲 集合法 我们在研究一些问题时，可以把某一确定范围内的事物的全体看作是一个集合。例如，所有自然数就可以看作是一个集合。在小学一般用画图的方式表示集合，这种图叫作韦恩图（韦恩是英国数学家）。运用集合的思想，利用韦恩图进行解题的方法叫做集合法。 ‎ 627‎ 例1 五年级一班有48人。在午后自习时，做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人。语文、数学作业都做完的有多少人？（适于三年级程度）‎ 解：由题意可知，做完语文作业的37人中有一部分只做完语文作业，另一部分既做完语文作业又做完数学作业。做完数学作业的42人中也是有一部分只做完数学作业，另一部分既做完数学作业又做完语文作业。‎ 所以，如果我们用A圆圈表示做完语文作业的人数，用B圆圈表示做完数学作业的人数，则两个圆圈相交的阴影部分就表示语文、数学作业都做完的人数（如图20-1）。‎ 从图中可以看出，语文、数学作业都做完的人数等于A圆圈的人数加上B圆圈的人数减去全班的总人数。‎ ‎37+42-48=31（人）‎ 答：语文、数学作业都做完的有31人。‎ 例2 有110名学生参加书法和绘画比赛，参加书法比赛的有72人，既参加书法比赛又参加绘画比赛的有24人。参加绘画比赛的有多少人？（适于三年级程度）‎ 解：可通过画如图20-2的韦恩图来分析题意。A圆圈表示参加书法比赛的人数，B圆圈表示参加绘画比赛的人数，两圆圈相交的阴影部分表示既参加书法比赛又参加绘画比赛的人数。由图可知，参加绘画比赛的人数应等于总人数减去只参加书法比赛的人数。而只参加书法比赛的人数等于A圆圈的人数减去相交阴影部分的人数。‎ 只参加书法比赛的人数：‎ ‎72-24=48（人）‎ 参加绘画比赛的人数：‎ ‎110-48=62（人）‎ 627‎ 答略。（适于六年级程度）‎ 解：参加径赛的有：‎ 根据题意作图20-3‎ 从图中可以看出，只参加田赛的人数是：‎ ‎276-230=46（人）‎ 两种活动都参加的人数是：‎ ‎184-46=138（人）‎ 答略。‎ ‎*例4 某班45名学生期末考试的成绩如下：语文90分以上的有14人，数学90分以上的有25人，语文和数学都不足90分的有17人。求语文、数学都在90分以上的有多少人？（适于五年级程度）‎ 解：作图20-4。由图可看出，语文、数学一门或两门在90分以上的人数是：‎ ‎45-17=28（人）‎ 只语文在90分以上的人数是：‎ 627‎ ‎28-25=3（人）‎ 只数学在90分以上的人数是：‎ ‎28-14=14（人）‎ 语文、数学都在90分以上的人数是：‎ ‎28-（14+3）=11（人）‎ 答略。*例5 学校气象小组有50名成员，其中负责观测的有19人，负责记录的有15人，既负责观测又负责记录的有7人。问：（1）只负责记录，不负责观测的有多少人？（2）只负责观测，不负责记录的有多少人？（3）气象小组有多少人负责其他工作？（适于高年级程度）‎ 解：作图20-5。用A圆圈表示负责观测的人数，用B圆圈表示负责记录的人数，则两圆圈相交的阴影部分就表示既负责观测又负责记录的人数。‎ 由图20-5可知，只负责记录，不负责观测的人数，等于负责记录的人数减去既负责观测又负责记录的人数；只负责观测，不负责记录的人数，等于负责观测的人数减去既负责观测又负责记录的人数；气象小组负责其他工作的人数，等于总人数减去负责观测和负责记录的人数，再加上既负责观测又负责记录的人数。‎ ‎（1）只负责记录，不负责观测的人数：‎ ‎15-7=8（人）‎ ‎（2）只负责观测，不负责记录的人数为：‎ ‎19-7=12（人）‎ ‎（3）负责其他工作的人数为：‎ ‎50-19-15+7=23（人）‎ 答略。‎ ‎*例6 某班有45名学生。据统计，喜爱足球、篮球、排球这三项运动的各有26人，喜爱其中两项运动的分别有13、14、15人。三项运动都喜爱的有多少人？（适于高年级程度）‎ 627‎ 解：用A圆圈表示喜爱足球的人数，B圆圈表示喜爱篮球的人数，C圆圈表示喜爱排球的人数。则A、B两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱篮球的人数；B、C两圆圈相交的部分表示既喜爱篮球又喜爱排球的人数；A、C两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱排球的人数；A、B、C三个圆圈相交的部分表示三项运动都喜爱的人数（图20-6）。‎ 由图20-6可知，三项运动都喜爱的人数应等于班级的总人数减去喜爱足球、篮球、排球的人数，再加上既喜爱足球又爱篮球、既喜爱篮球又喜爱排球、既喜爱足球又喜爱排球的人数。‎ ‎45-26×3+（13+14+15）‎ ‎=45-78+42‎ ‎=45+42-78‎ ‎=87-78‎ ‎=9（人）‎ 答：三项运动都喜爱的有9人。‎ ‎*例7 55名学生中，有18人参加合唱队，25人参加美术组，17人参加运动队，参加合唱队与美术组的共有36人，没有人既参加合唱队又参加运动队，什么组都没有参加的有5人，请回答：‎ ‎（1）既参加合唱队又参加美术组的有多少人？‎ ‎（2）只参加合唱队的有多少人？‎ ‎（3）只参加美术组的有多少人？‎ ‎（4）只参加运动队的有多少人？‎ ‎（5）既参加运动队又参加美术组的有多少人？（适于高年级程度）‎ 解：作图20-7。‎ 因为参加合唱队与美术组的共有36人，所以：（1）既参加合唱队又参加美术组的人数是：‎ 627‎ ‎18+25-36=7（人）‎ ‎（2）只参加合唱队的人数是：‎ ‎18-7=11（人）‎ 现在还不能求出只参加美术组的人数，先求出去掉既参加美术组又参加合唱队的7人，美术组剩下的人数是：‎ ‎25-7=18（人）‎ 因为在55名学生中，参加美术组、运动队的总人数是25+17=42（人），只参加合唱队的有11人，什么组都没有参加的有5人，参加美术、体育两项活动的实际人数是：‎ ‎55-5-11‎‎=39（人）‎ 所以：‎ ‎（5）既参加运动队又参加美术组的人数是：‎ ‎42-39=3（人）‎ ‎（4）只参加运动队的人数是：‎ ‎17-3=14（人）‎ ‎（3）只参加美术组的人数是：‎ ‎18-3=15（人）‎ 答略。‎ 第二十一讲 守恒法 应用题中的数量有的是变化的，有的是始终不变的。解应用题时，抓住始终不变的数量，分析不变的数量与其他数量的关系，从而找到解题的突破口，把应用题解答出来的解题方法，叫做守恒法，也叫抓不变量法。‎ ‎（一）总数量守恒 有些应用题中不变的数量是总数量，用守恒法解题时要抓住这个不变的总数量。‎ 627‎ 例1 晶晶要看一本书，计划每天看15页，24天看完。如果要12天看完，每天要看多少页？如果改为每天看18页，几天可以看完？（适于三年级程度）‎ 解：无论每天看多少页，总是看这一本书，只要抓住这本书的“总页数不变”这个关键，问题就好办了。‎ 这本书的总页数是：‎ ‎15×24=360（页）‎ 如果要12天看完，每天要看的页数是：‎ ‎360÷12=30（页）‎ 如果改为每天看18页，看完这本书的天数是：‎ ‎360÷18=20（天）‎ 答略。‎ 此题由于第一步是用乘法求出总数，因此也叫做“归总”应用题。‎ ‎*例2 用一根铁丝围成一个长26厘米，宽16厘米的长方形。用同样长的铁丝围成一个正方形，正方形所围成的面积是多少？（适于三年级程度）‎ 解：这根铁丝的长是不变的量，铁丝围成的长方形的周长和正方形的周长相同。即：‎ ‎26×2+16×2‎ ‎=52+32‎ ‎=84（厘米）‎ 正方形的边长是：‎ ‎84÷4=21（厘米）‎ 正方形所围成的面积是：‎ ‎21×21=441（平方厘米）‎ 答略。‎ 627‎ 解：书架上书总的本数是不变的数量，设它为单位1。从“上层书的本 书总的本数分成5份，上层的书占总本数的 因此，书总的本数是：‎ 原来书架的上层有书：‎ 原来书架的下层有书：‎ ‎90-18=72（本）‎ ‎（二）部分数量守恒 当应用题中不变的数量是题中的一部分数量时，要抓住这个不变的部分数量解题。‎ 例1 一辆汽车，从甲站到乙站，要经过20千米的平路，45千米的上坡路，15千米的下坡路。如果这辆汽车在平路上每小时行40千米，在上坡路上每小时行30千米，在下坡路上每小时行45千米。照这样的速度行驶，这辆汽车在甲、乙两站间往返一次需要多少时间？（适于五年级程度）‎ 解：无论汽车行驶在平路上、上坡路上，还是在下坡路上，每一段路上的速度是不变的。‎ 这辆汽车往返一次共行：在平路（20+20）千米在上坡路（45+15）千米在下坡路（15+45）千米这辆汽车往返一次需要的时间是：‎ 627‎ 答略。‎ 例2 有含盐15％的盐水20千克，要使盐水含盐10％，需要加水多少千克？（适于六年级程度）解：题中盐的重量是不变的数量，盐的重量是：‎ ‎20×15％=3（千克）‎ 在盐水含盐10％时，盐的对应分率是10％，因此盐水的重量是：‎ ‎3÷10％=30（千克）‎ 加入的水的重量是：‎ ‎30-20=10（千克）‎ 答略。‎ 解：文艺书的本数是不变的数量。文艺书有：‎ ‎=720（本）‎ 627‎ 从后来两种书总的本数中减去原来两种书总的本数，得到买进科技书的本数：‎ ‎720-630=90（本）‎ 综合算式：‎ ‎=720-630‎ ‎=90（本）‎ 答略。‎ ‎（三）差数守恒 当应用题中两个数量的差是不变的数量时，要抓住这个差，分析数量关系解题。‎ 例1 父亲今年35岁，儿子5岁。多少年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？（适于四年级程度）‎ 解：父子年龄的差是个不变的数量，始终是35-5=30（岁）‎ 在父亲年龄是儿子年龄的3倍时，父子年龄的差恰好是儿子年龄的2倍。‎ 因此，这时儿子的年龄是：‎ ‎30÷2=15（岁）‎ ‎15-5=10（年）‎ 答：10年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍。‎ ‎*例2 小明有200个枣，大平有120个枣。两人吃掉个数相同的枣后，小明剩下的枣是大平剩下枣的5倍。问两个人一共吃掉多少个枣。（适于四年级程度）‎ 解：两个人相差的枣的个数是不变的数量：‎ ‎200-120=80（个）‎ 两人吃掉个数相同的枣后，小明剩下的枣是大平剩下枣的5倍。这就是说大平剩下的枣是1份数，小明剩下的枣比大平剩下的枣多4份数。因为两人吃掉的枣的个数相同，所以相差数还是80个。这80个是4份数。‎ 因此，大平剩下的枣是其中的一份数：‎ ‎80÷4=20（个）‎ 627‎ 大平吃掉的枣是：‎ ‎120-20=100（个）‎ 因为两个人吃掉的枣一样多，所以一共吃掉枣：‎ ‎100×2=200（个）‎ 答略。‎ ‎*例3 有甲、乙两个车间，如果从甲车间调出18人给乙车间，甲车间就比乙车间少3人；如果从两个车间各调出18人，乙车间剩下人数就是甲车间 解：由“从甲车间调出18人给乙车间，甲车间就比乙车间少3人”可看出，甲车间比乙车间多2个18人又少3人，即甲车间比乙车间多：‎ ‎18×2-3=33（人）‎ 由“从两个车间各调出18人，乙车间剩下的人数就是甲车间剩下人数的 甲车间原有的人数是：‎ ‎88+18=106（人）‎ 乙车间原有的人数是：‎ ‎106-33=73（人）‎ 答略。‎ ‎*例4 甲种布的长是乙种布长的3倍。两种布各用去8米时，甲种布剩下的长是乙种布剩下长度的4倍。两种布原来各长多少米？（适于六年级程度）‎ 解：甲、乙两种布的长度差是不变的数量，解题时要以这个不变的数量作为标准量。‎ 原来乙种布的长是标准量的：‎ 627‎ 乙种布先后两个分率的差是：‎ 乙种布的长是：‎ 甲种布的长是：‎ ‎48+24=72（米）‎ 答略。‎ 第二十二讲 两差法 解应用题时，首先确定一个标准数（即1倍数），再根据已知的两数差与倍数差，用除法求出1倍数，然后以此为基础，用乘法求出另一个数的解题方法，叫做两差法。用两差法一般是解答差倍问题。 ‎ 差倍问题的数量关系是：‎ 两数差÷倍数差=1倍数 ‎1倍数×倍数=几倍数 较小数+两数差=较大数 例1 某厂女职工人数是男职工人数的6倍，男职工比女职工少65人。这个厂男女职工共有多少人？（适于四年级程度）‎ 解：根据“人数差÷倍数差=1倍数”，有：‎ 627‎ ‎65÷（6-1）=13（人）‎ 那么，这个厂男女职工共有的人数是：‎ ‎13×（6+1）=91（人）‎ 答略。‎ 例2 小李买3本日记本，小华买同样的8本日记本，比小李多用2.75元。小李、小华两人分别用去多少钱？（适于五年级程度）‎ 解：小华比小李多用2.75元（总价差），是因为小华比小李多买（8-3）本（数量差）日记本，用这两个差求出每本日记本的价钱。‎ 小李用的钱数是：‎ ‎0.55×3=1.65（元）‎ 小华的钱数是：‎ ‎0.55×8=4.40（元）‎ 答略。例3 甲、乙两数的差是28，甲数是乙数的3倍。问甲乙两数各是多少？（适于四年级程度）‎ 解：甲-乙=28，甲是乙的3倍，那么乙就是1倍数，28所对应的倍数是3-1=2（倍），则乙数可以求出。解法是：‎ ‎28÷（3-1）=14……………………………乙数 ‎14×3=42…………………………………甲数 答：甲数是42，乙数是14。‎ 例4 一个植树小组植树。如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人？一共有多少棵树苗？（适于五年级程度）‎ 解：把题中的条件简要摘录如下：‎ ‎       每人5棵       剩14棵 ‎       每人7棵       缺4棵 627‎ 比较两次分配的情况可看出，由于第二次比第一次每人多栽（7-5）棵，一共要多栽（14+4）棵树。根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差，可求出植树小组的人数，然后再求出原有树苗的棵数。‎ ‎（14+4）÷（7-5）=9（人）……………………人数 ‎5×9+14=59（棵）……………………………棵数 答略。‎ 例5 用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克；如果倒进5杯水，连瓶共重600克。一杯水和一个空瓶各重多少克？（适于五年级程度）‎ 解：解这类题，要先找出“暗差”的等量关系，再找解题的最佳方法。‎ 这道题的“暗差”有两个：一个是5-3=2（杯），另一个是600-440=160（克）。这里两个暗差的等量关系是：2杯水的重量=160克。‎ 这样就能很容易求出一杯水的重量：‎ ‎160÷2=80（克）‎ 一个空瓶的重量：‎ ‎440-80×3=200（克）‎ 答略。‎ ‎*例6 甲从西村到东村，每小时步行4千米。3.5小时后，乙因有急事，从西村出发骑自行车去追甲，每小时行9千米。问乙需要几小时才能追上甲？（适于高年级程度）‎ 解：乙出发时，甲已经行了（4×3.5）千米，乙每行1小时便可比甲每小时多行（9-4）千米，那么（4×3.5）千米中含有几个（9-4）千米，乙追上甲就需要多少个小时。所以：‎ 答：乙需2.8小时才能追上甲。‎ 例6是典型的“追及问题”。由此可知，追及问题也可以利用两差法来解答。‎ ‎*例7 某电风扇厂生产一批电风扇。原计划每天生产120台电风扇，实际每天比原计划多生产30台，结果提前12天完成任务。这批电风扇的生产任务是多少台？（适于高年级程度）‎ 解：在同样的时间（计划天数）里，实际比原计划多生产电风扇的台数是：（120+30）×12。因为实际每天比原计划多生产30台，因此：‎ 627‎ 计划完成任务的天数是60天，那么这批电风扇的生产任务就是：‎ ‎120×60=7200（台）‎ 答略。‎ ‎*例8 甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，两人同走一段路，甲比乙少用了3小时。问这段路长多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：解答这道题应从“差异”入手。因为凡是发生差异必定有它的道理。题中的差异是“甲比乙少用了3小时”，抓住它作如下追问，即可发现解题途径。‎ 为什么会“甲比乙少用了3小时”？因为甲比乙的速度快。‎ ‎（1）在3个小时里甲比乙多走多少千米的路呢？在3小时里甲比乙正好多走：‎ ‎4×3=12（千米）‎ ‎（2）甲每小时可以追上乙多少千米呢？‎ ‎5-4=1（千米）‎ ‎（3）走完这12千米的差数甲要走几小时呢？‎ ‎12÷1=12（小时）‎ ‎（4）这段路长多少千米？‎ ‎5×12=60（千米）‎ 综合算式：‎ ‎5×[4×3÷（5-4）]‎ ‎=5×[12÷1]‎ ‎=5×12‎ ‎=60（千米）‎ 答略。‎ 627‎ 解：此题是“差倍”问题的变形。‎ 答略。‎ 两堆煤原来各有多少吨？（适于六年级程度）‎ 解：这里已知两堆煤的总数和运走的总数，不知道两堆煤在总数中占多大比率，也无法把运走的煤分为甲堆运走的和乙堆运走的。虽然知道甲堆运 知道，无法发生联系，因此这两个分率无法参加运算。‎ 627‎ 本题的难点在于两堆煤运走的分率不同，若分率相同，分析就会有所进展。‎ 然后再看假设引出了什么差异。已知条件告诉我们共运走180吨，与方才算得的162吨相差180-162=18（吨），为什么会产生这18吨的差异呢？‎ ‎270-120=150（吨）……………………甲堆 答略。‎ ‎*例11 祖父给兄弟二人同样数目的零花钱，祖母给了哥哥1100日元，给了弟弟550日元，这样兄弟二人所得到的零花钱数的比为7∶5。求祖父给兄弟二人的钱数都是多少日元？（适于六年级程度）‎ 解：因为祖父给兄弟二人的钱数相同，所以祖母给兄弟二人的钱数之差，就是他们分别得到的所有零花钱钱数之差。‎ ‎1100-550=550（日元）‎ 由兄弟二人所得到的零花钱钱数的比为7∶5可知，把哥哥的钱看成是7份的话，弟弟的钱数就是5份，它们相差：‎ ‎7-5=2（份）‎ 所以，每一份的钱数是：‎ ‎550÷2=275（日元）‎ 哥哥有零花钱：‎ 627‎ ‎275×7=1925（日元）‎ 其中祖父给的是：‎ ‎1925-1100=825（日元）‎ 答：祖父给兄弟二人的钱都是825日元。‎ ‎*例12 一位牧羊人赶着一群羊走过来，小明问他：“你的羊群里有山羊、绵羊各几只？”牧羊人说：“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数，绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍，你去算吧。”请你帮助小明算一算。（适于五年级程度）‎ 解：由“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数”知道，绵羊比山羊多99只。由“绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍”知道，绵羊的只数加上99只后，绵羊的只数比山羊多（99+99）只。此时，如果把山羊只数看作1倍，绵羊只数就是3倍，比山羊多（3-1）倍，这（3-1）倍正好是（99+99）只（图22-1）。用除法可以求出1倍数（山羊只数），再用加法就可以求出绵羊只数。‎ ‎（99+99）÷（3-1）‎ ‎=198÷2‎ ‎=99（只）…………………山羊只数 ‎99+99=198（只）…………绵羊只数 答略。‎ ‎*例13 某工厂有大、小两个车间。如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍；如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等。求大、小两个车间各有多少人？（适于高年级程度）‎ 解：根据“如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等”知道，大车间比小车间多30×2人；根据“如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍”知道，这样调动后，大车间比小车间多（30×2+10×2）人。把调动后小车间的人数看作1倍数，则大车间的人数就是3倍数，比小车间的人数多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好是（30×2+10×2）人。用除法可以求出1倍数（调动后，小车间人数），加上10就得小车间原有人数。‎ ‎（30×2+10×2）÷（3-1）+10‎ ‎=80÷24+10‎ 627‎ ‎=50（人）………………（小车间原有人数）‎ ‎50+30×2=110（人）…（大车间原有人数）‎ 答略。‎ 在差倍问题中，有一类比较特殊，这就是年龄问题。年龄问题一般用差倍问题的解题思路、计算公式来分析、解答。但要注意年龄问题所单独具有的“定差”特点，即大、小两个年龄，相当于大、小两个数，无论现在、过去、将来，这两个年龄的差不变。抓住这个特点，再利用差倍问题的数量关系和解题方法，便可解答年龄问题。‎ ‎*例14 今年哥哥18岁，弟弟8岁。问几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍？（适于高年级程度）‎ 解：作图22-2。‎ 哥哥和弟弟年龄之差（18-8）岁始终不变。把几年前弟弟的年龄看作1倍数，哥哥的年龄就是3倍数，比弟弟多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好对应于（18-8）岁。用除法可以求出1倍数，就是几年前弟弟的年龄，再用减法便可求出几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍。‎ ‎8-（18-8）÷（3-1）=3（年）‎ 答略。‎ ‎*例15 今年父亲40岁，儿子4岁。问几年后父亲的年龄是儿子的4倍？（适于高年级程度）‎ 解：作图22-3。‎ 父子年龄之差（40-4）岁始终不变。把几年后儿子的年龄看作1倍数，父亲的年龄就是4倍数，比儿子多（4-1）=3倍数，这（4-1）倍数正好对应于（40-4）岁。用除法可求出1倍数，即几年后儿子的年龄，再用减法便可求出几年后父亲的年龄是儿子的4倍。‎ ‎（40-4）÷（4-1）-4‎ ‎=36÷3-4‎ 627‎ ‎=8（年）‎ 答略。‎ 第二十三讲 比例法 比和比例是传统算术的重要内容，在较早的年代，许多实际问题都是应用比和比例的知识来解答的。近年来，小学数学教材中比和比例的内容虽然简化了，但它仍是小学数学教学的重要内容之一，是升入中学继续学习的必要基础。 ‎ 用比例法解应用题，实际上就是用解比例的方法解应用题。有许多应用题，用比例法解简单、方便，容易理解。‎ 用比例法解答应用题的关键是：正确判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例，然后列成比例式或方程来解答。‎ ‎（一）正比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。‎ 如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示比值（一定），正比例的数量关系可以用下面的式子表示：‎ 例1 一个化肥厂4天生产氮肥32吨。照这样计算，这个化肥厂4月份生产氮肥多少吨？（适于六年级程度）‎ 解：因为日产氮肥的吨数一定，所以生产氮肥的吨数与天数成正比例。‎ 设四月份30天生产氮肥x吨，则：‎ 答略。‎ 例2 某工厂要加工1320个零件，前8天加工了320个。照这样计算，其余的零件还要加工几天？（适于六年级程度）‎ 解：因为每一天加工的数量一定，所以加工的数量与天数成正比例。‎ 627‎ 还需要加工的数量是：‎ ‎1320-320=1000（个）‎ 设还需要加工x天，则：‎ 例3 一列火车从上海开往天津，行了全程的60％，距离天津还有538千米。这列火车已行了多少千米？（适于六年级程度）‎ 解：火车已行的路程∶剩下的路程=60％∶（1-60％）=3∶2。‎ 设火车已行的路程为x千米。‎ 答略。‎ 米。这时这段公路余下的长度与已修好长度的比是2∶3。这段公路长多少米？（适于六年级程度）‎ 解：余下的长度与已修好长度的比是2∶3，就是说，余下的长度是已 这段公路的长度是：‎ 627‎ 答略。‎ ‎（二）反比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。‎ 如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示积（一定），反比例的数量关系可以用下面的式子表达：‎ x×y=k（一定）‎ 例1 某印刷厂装订一批作业本，每天装订2500本，14天可以完成。如果每天装订2800本，多少天可以完成？（适于六年级程度）‎ 解：由于要装订的本数一定，因此，每天装订的本数与可以装订的天数成反比例。‎ 设x天可以完成，则：‎ 答略。‎ 例2 一项工程，原来计划30人做，18天完成。现在减少了3人，需要多少天完成？（适于六年级程度）‎ 解：工作总量一定，每人的工作效率也是一定的，所以所需要的人数与天数成反比例。‎ 现在减少3人，现在的人数就是：‎ ‎30-3=27（人）‎ 设需要x天完成，则：‎ 答略。‎ 例3 有一项搬运砖的任务，25个人去做，6小时可以完成任务；如果相同工效的人数增加到30人，搬运完这批砖要减少几小时？（适于六年级程度）‎ 627‎ 解：题中的总任务和每人的工作效率一定，所以搬运砖的人数与所需要的时间成反比例。‎ 设增加到30人以后，需要x小时完成，则：‎ ‎6-5=1（小时）‎ 答：增加到30人后，搬运完这批砖要减少1小时。‎ 例4 某地有驻军3600人，储备着吃一年的粮食。经过4个月后，复员若干人。如果余下的粮食可以用10个月，求复员了多少人？（适于六年级程度）‎ 解：按原计划，4个月后余下的粮食可以用：‎ ‎12-4=8（个月）‎ 因为复员一部分人后，人数少了，所以原来可以用8个月的粮食，现在就可以用10个月。‎ 粮食的数量一定，人数与用粮的时间成反比例。‎ 设余下的粮食供x人吃10个月，则：‎ 答：复员了720人。‎ ‎（三）按比例分配 按比例分配的应用题可用归一法解，也可用解分数应用题的方法来解。‎ 用归一法解按比例分配应用题的核心是：先求出一份是多少，再求几份是多少。这种方法比解分数应用题的方法容易一些。用解分数应用题的方法解按比例分配问题的关键是：把两个（或几个）部分量之比转化为部分量占总量的（几个部分量之和）几分之几。这种转化稍微难一些。然而学会这种转化对解答某些较难的比例应用题和分数应用题是有益的。‎ 究竟用哪种方法解，要根据题目的不同，灵活采用不同的方法。‎ 有些应用题叙述的数量关系不是以比或比例的形式出现的，如果我们用按比例分配的方法解这样的题，要先把有关数量关系转化为比或比例的关系。‎ 627‎ ‎1.按正比例分配 甲、乙、丙三个数的连比是：‎ ‎4+5+8=17‎ 答略。‎ 例2 有甲、乙、丙三堆煤，甲堆比乙堆多12.5％，乙堆比丙堆少 解：因为甲堆比乙堆多12.5％，所以要把乙堆看作“1”，这样甲堆就是（1+12.5％）。‎ 甲∶乙=（1+12.5％）∶1=9∶8‎ 甲∶乙∶丙=9∶8∶10‎ 已知甲堆比丙堆少6吨，这6吨所对应的份数是1，所以，甲堆煤的吨数是：‎ ‎6×9=54（吨）‎ 乙堆煤的吨数是：‎ 627‎ ‎6×8=48（吨）‎ 丙堆煤的吨数是：‎ ‎6×10=60（吨）‎ 答略。‎ ‎2.按反比例分配 ‎*例1 某人骑自行车往返于甲、乙两地用了10小时，去时每小时行12千米，返回时每小时行8千米。求甲、乙两地相距多少千米？（适于六年级程度）‎ 解：此人往返的速度比是：‎ ‎12∶8=3∶2‎ 因为在距离一定的情况下，时间与速度成反比例，所以，由此人往返的速度比是3∶2，可推出此人往返所用的时间比是2∶3。‎ 去时用的时间是：‎ 两地之间的距离：‎ ‎12×4=48（千米）‎ 答略。‎ ‎*例2 一个文艺演出队去少数民族地区慰问演出，路上共用了110个小 这也是骑马、乘轮船、坐火车的时间比。‎ 627‎ 将110小时按8∶2∶1的比例分配。‎ 骑马的时间是：‎ 坐火车的时间是：‎ 答略。‎ ‎3.按混合比例分配 把价格不同、数量不等的同类物品相混合，已知各物品的单价及混合后的平均价（或总价和总数量），求混合量的应用题叫做混合比例应用题。混合比例应用题在实际生活中有广泛的应用。‎ ‎*例1 红辣椒每500克3角钱，青辣椒每500克2角1分钱。现将红辣椒与青辣椒混合，每500克2角5分钱。问应按怎样的比例混合，菜店和顾客才都不会吃亏？（适于六年级程度）‎ 解：列出表23-1。‎ 表23-1‎ 表中，价格一栏是根据题意填的，其他栏目是在分析题的过程中填的。‎ 混合后的辣椒是每500克卖2角5分钱，而混合辣椒中红、青两种辣椒的比不能是1∶1，因为在混合后的辣椒中每有500克红辣椒，红辣椒就要少卖5分钱，所以应算是每500克红辣椒损失了5分钱，在“损”一栏中，横对红辣椒和3角，填上5分；又因为在混合后的辣椒中每有500克青辣椒，青辣椒就要多卖4分钱，所以应算是每500克青辣椒多卖了（益）4分钱，在“益”一栏中，横对青辣椒和2角1分，填上4分。‎ ‎5与4的最小公倍数是20。‎ ‎20÷5＝4，20÷4＝5，‎ 627‎ 只有在混合的辣椒中，有4份的红辣椒，5份的青辣椒，500克混合后的辣椒正好卖2角5分钱。‎ ‎4份的红辣椒是4个500克，它的价钱是，‎ ‎0.3×4=1.2（元）‎ ‎5份的青辣椒是5个500克，它的价钱是，‎ ‎0.21×5=1.05（元）‎ ‎4份红辣椒与5份青辣椒的总价是，‎ ‎1.2+1.05=2.25（元）‎ 而9个500克的混合辣椒的总价是，‎ ‎0.25×9=2.25（元）‎ ‎9份（9个500克）红辣椒和青辣椒的总价正好与9个500克混合辣椒的总价相等。‎ 所以在混合的辣椒中，红辣椒与青辣椒的比应是4∶5。这个比正好是益损两数比的反比。‎ 答略。‎ ‎*例2 王老师买甲、乙两种铅笔共20支，共用4元5角钱。甲种铅笔每支3角，乙种铅笔每支2角。两种铅笔各买多少支？（适于六年级程度）‎ 解：20支铅笔的平均价格是：‎ ‎4.5÷20=0.225（元）=2.25（角）‎ 列出表23-2。‎ 表23-2‎ 因为甲种铅笔每支3角，而平均价格是每支2.25角，所以每支甲种铅笔损失了0.75角钱。在表中“损”一栏横对“甲”填上0.75角/支；因为乙种铅笔每支2角，而平均价格是每支2.25角，所以每支乙种铅笔是增加（益）了0.25角。在表中“益”一栏横对“乙”填上0.25角/支。‎ 627‎ 两种铅笔的混合比，正好是损、益两数比的反比，所以在混合比一栏中，横对甲填0.25，而横对乙填0.75。把0.25和0.75化简后得1和3。‎ 现在可以认为两种铅笔的总份数是：‎ ‎1+3=4（份）‎ 甲种铅笔的支数是：‎ 乙种铅笔的支数是：‎ 答略。‎ ‎（四）连比 如果甲数量与乙数量的比是a∶b，乙数量与丙数量的比是b∶c，那么表示甲、乙、丙三个数量的比可以写作a∶b∶c，a∶b∶c就叫做甲、乙、丙三个数量的连比。‎ 注意：“比”中的比号相当于除号，也相当于分数线，而“连比”中的比号却不是相当于除号、分数线。‎ ‎*例1 已知甲数和乙数的比是5∶6，丙数和乙数的比是7∶8，求这三个数的连比。（适于六年级程度）‎ 解：已知甲、乙两数的比是5∶6，丙数与乙数之比为7∶8，即乙数与丙数之比为8∶7。第一个比的后项是6，第二个比的前项为8，这说明甲、丙两个数不是以相同标准划分的，甲、乙、丙三个数不能直接写成连比。‎ 用下面的方法可以统一甲、丙的标准，把甲、乙、丙三个数写成连比。把5扩大8倍，得40；把6扩大8倍，得48。把6扩大8倍得48，也就是把8扩大6倍，得48，所以也要把7扩大6倍得42。‎ 甲、乙、丙三个数的连比是：4O∶‎ ‎48∶42=20∶24∶21。‎ 627‎ 答略。‎ ‎*例2 甲、乙、丙三堆煤共重1480吨，已知甲堆煤重量的 ‎ 又根据，甲∶乙=3∶2，乙∶丙=5∶6，可求出甲、乙、丙三个数的连比是：‎ 甲∶乙∶丙=15∶10∶12‎ 把1480吨煤按15∶10∶12的比例分配。‎ 甲堆煤重：‎ 乙堆煤重：‎ 答略。‎ 答略。‎ 第二十四讲 转换法 解答应用题时，通过转换（即转化）题中的情节，分析问题的角度、数据……从而较快找到解题思路，或简化解题过程的解题方法叫做转换法。‎ 627‎ ‎（一）转换题中的情节 转换题中的情节是运用联想改变原题的某个情节，使题目变得易于解答。‎ ‎14+6=20（吨）‎ ‎30吨所对应的分率是：‎ 答略。‎ 例2 一项工程，甲、乙两队合做要用12天完成。如果甲队先独做16天，余下的再由乙队独做6天完成。如果全部工程由甲队独做，要用几天完成？（适于六年级程度）‎ 解：求甲队独做要用几天完成全部工程，得先求出甲队的工作效率。可是题中已知的是甲、乙合做要用的时间，和甲、乙一前一后独做的时间，很难求出甲的工作效率。如果将“一前一后独做”这一情节变换为“先合做，后独做”就便于解题了。可这样设想，从甲队的工作量中划出6天的工作量与乙队6天的工作量合并起来，也就是假定两队曾经合做了6天。情节这样变动后，原题就变换成：‎ 一项工程，甲、乙两队合做要用12天完成，这项工程先由甲乙两队合做6天后，余下的工程由甲队单独做10天完成。如果全部工程由甲队独做要用几天完成？‎ 这样就很容易求出甲队的工作效率是：‎ 627‎ 甲队独做完成的时间是：‎ 答略。‎ ‎（二）转换看问题的角度 解应用题时，如果看问题的角度不适当就很难解出题。如果转换看问题的角度，把原来从正面看问题转换为从侧面看或从反面看，把这一数量转换为另一数量进行分析，就可能找到解题思路。‎ 解：一般都沿着女工占总人数的分率去寻找与之相对应的具体人数，但这样往往会误入歧途，难以找到正确答案。不如根据女工所占分率，换一个角度，想一想男工的情况。‎ 男工人数便占总人数的：‎ 后来女工的总人数是：‎ 627‎ ‎=560-480‎ ‎=80（人）‎ 答略。‎ ‎*例2 求图24-1中阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）‎ 解：如果直接计算图中阴影部分的面积，几乎是不可能的。如果把角度转换为，从大扇形面积减去右面空白处的面积，就容易求出阴影部分的面积了。‎ ‎=200.96-81.5‎ ‎=119.46（平方厘米）‎ 答：阴影部分的面积是119.46平方厘米。‎ ‎（三）转换题中的数据 转换题中的数据就是将题中已知的数据进行等价变换，从而协调各个数据之间的关系。‎ 例1 两辆汽车同时从相距465千米的两地相对开出，4.5小时后两车还相距120千米。一辆汽车每小时行37千米。另一辆汽车每小时行多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：如果两地的距离减少120千米，两车经过4.5小时正好相遇，两车4.5小时行的路程是：‎ ‎465-120=345（千米）‎ 两车的速度之和是：‎ 627‎ 综合算式：‎ ‎（465-120）÷4.5-37‎ ‎=345÷4.5-37‎ 解：如果从分数角度分析，不易找出数量间的关系。如果把分数转换为比来分析，就会得出，第一天与第二天种的棵数的比是3∶5，第二天与第三天种的棵数比是5∶6。‎ 所以，第一、二、三天种的棵数的比是3∶5∶6。‎ 第一天种：‎ 第三天种：‎ 答略。‎ ‎（四）转换为统一标准 627‎ 当题中两个或几个数量的单位“1”不统一，不便于解答时，如把某个数量作为标准单位“1”，把其他数量转化为以它为标准的分率，就会突破障碍，顺利解题。‎ 例1甲、乙、丙、丁四人合买一批化肥。甲付的钱是其他人所付钱数之 ‎ 解：把甲、乙、丙、丁所付钱数统一为以总数量作为标准量的分率。由 ‎ 答略。‎ 色电视机的台数没有发生变化，我们以彩色电视机的台数作为单位 ‎ 彩色电视机的台数是：‎ 627‎ 黑白电视机的台数是：‎ 答略。‎ ‎（五）转换隐蔽条件为明显条件 有些应用题的解题条件十分隐蔽。认真体会题中字、词、句的含义，看清这些字、词、句实质上说的是什么，必要时借助图形分析，或适当改变题中的条件，就可能把原来题中隐蔽的条件转换为明显条件，从而较快解题。‎ ‎*例1甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在离B点18千米的地方相遇。相遇后二人继续往前行，甲到B地和乙到A地立即返回，在离A地8千米的地方又相遇。求A、B两地相距多少千米？（适于高年级程度）‎ 解：解答此题的条件十分隐蔽。借助图24-2分析问题，可将隐蔽条件转换为明显条件。‎ ‎（1）从开始出发到二人第一次相遇，甲、乙共同走完一个全程的路程，其中乙走了18千米。这就是说甲、乙二人共同走完一个全程的路程时乙走18千米，若共同走完三个全程，那么乙就走18×3千米的路程。‎ ‎（2）甲、乙第二次相遇时，二人走了三个全程的路程，而乙走了一个全程加8千米。‎ ‎（3）乙走的一个全程加8千米应等于18×3千米，所以，A、B两地的距离是：‎ ‎18×3-8=46（千米）‎ 答：甲乙两地相距46千米。‎ 627‎ ‎220-100=120（千克）…………………甲袋米重 答略。‎ ‎（六）转换叙述方式 对数量关系复杂、不易理出头绪、不易分析解答的应用题，经过逐字、逐句地分析，弄清每一句话的意思，然后转换原题的叙述方式，就可化繁为简，化难为易，使原题变得易于解答。‎ ‎*例1李老师带领学生植100棵树。李老师先植一棵，然后对同学们说：“男同学每人植两棵，女同学每两人合植一棵。”这样正好把余下的树苗植完。问李老师带领的学生中有多少名男生，多少名女生？（适于高年级程度）‎ 解：逐层分析每一句话的意思。李老师植一棵，那么学生就是植了99棵；男同学每人植两棵，女同学每两人合植一棵，可以看作一名男生和两名女生组成一组，植树3棵。‎ ‎99÷3=33（组）‎ 这样就可以认为学生正好分成33组。‎ 根据上面的分析，上面的题就可以这样叙述：‎ 有33组学生去植树，每一组学生中有一名男生、两名女生。求去植树的学生中有多少名男生、女生？‎ ‎1×33=33（名）………………………………………男生人数 ‎2×33=66（名）………………………………………女生人数 答：有男生33名，有女生66名。‎ 627‎ ‎*例2 一位天文爱好者说：“土星直径比地球直径的9倍还多4800千米，土星直径除以24等于水星直径，水星直径加上2000千米等于火星直径，火星直径的一半减去500千米等于月亮直径，月亮直径是3000千米。求地球直径是多少千米？（适于高年级程度）‎ 解：把原题倒过来叙述：月亮直径是3000千米，月亮直径加上500千米后的2倍等于火星直径，火星直径减去2000千米等于水星直径，水星直径的24倍等于土星直径，土星直径减去4800千米是地球直径的9倍。‎ 水星直径：‎ ‎（3000+500）×2-2000=5000（千米）‎ 土星直径：‎ ‎5000×24=120000（千米）‎ 地球直径：‎ ‎（120000-4800）÷9=12800（千米）‎ 答略。‎ ‎（七）转换解题的方法 当题目用通常方法很难解答或不能解答时，应转换解题方法，使问题得到解决。‎ 例1 汽车7小时行300千米，照这样计算，行驶7500千米需要多少小时？（适于三年级程度）‎ 解：此题如果这样考虑，求行7500千米需要多少小时，要先求出汽车每小时行多少千米，然后7500千米再除以汽车每小时的速度，即：7500÷（300÷7）‎ 这样列式计算时，小括号内的300÷7是除不尽的，三年级的学生还没学过计算小数的近似值。本题用上面的方法列式解答看来不行，应换一种解题方法。‎ 如果求出7500千米中含有多少个300千米，就可求出这辆汽车行多少个7小时。这时可这样列式解答：‎ ‎7×（7500÷300）‎ ‎=7×25‎ ‎=175（小时）‎ 答：行驶7500千米需要175小时。‎ ‎*例2 一个长方体，表面积是66.16平方分米，底面积是19平方分米，底面周长是17.6分米。这个长方体的高是多少分米？（适于五年级程度）‎ 627‎ 解：以一般方法解此题，求长方形的高，需要用底面积去除体积。可是已知条件中没有体积，而且不容易求出，这就需要转换解题方法。‎ 题中已知长方体的表面积。因为长方体共有6个面，每一对相对面的面积相等，所以可以把表面积转化为三个不同面积之和：‎ ‎66.16÷2=33.08（平方分米）‎ 又因为底面积已知，所以可求出另外两个面的面积之和：‎ ‎33.08-19=14.08（平方分米）‎ ‎14.08平方分米这个面积是由“长×高+宽×高=（长+宽）×高”得到的。‎ ‎14.08平方分米这个面积的长（即长与宽的和）是：‎ ‎17.6÷2=8.8（分米）‎ 所以，这个长方体的高是：‎ ‎14.08÷8.8=1.6（分米）‎ 答略。‎ 例3 一辆快车和一辆慢车同时分别从A、B两站相对开出，经过4小时后两车相遇。相遇后快车继续行驶3小时到达乙地。已知慢车每小时比快车少行15千米。求A、B两站相距多少千米？（适于六年级程度）‎ 解：此题要是依靠具体的数量进行分析，解题就会遇到困难。如果转换解题思路，用解工程问题的方法可化难为易。‎ 慢车每小时行全程的：‎ A、B两地的距离是：‎ 627‎ 答略。‎ ‎ ‎ 第二十五讲 假设法 当应用题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个或几个数量相等，假设题中某个数量增加了或减少了，然后在假设的基础上推理，调整由于假设而引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系就可能变得明显，从而找到解题方法。这种解题方法就叫做假设法。 ‎ 用假设法解应用题，要通过丰富的想象，假设出既合乎题意又新奇巧妙，既简单又便于计算的条件。‎ 有些用一般方法能解答的应用题，用假设法解答可能更简捷。‎ ‎（一）假设情节变化 解：假设篮球没有借出，足球借出一个，那么，可以把现有篮球的个数看作是3份数，把现有足球的个数看作2份数，两种球的总份数是：‎ ‎3+2=5（份）‎ 原来篮球的个数是：‎ 原来足球的个数是：‎ ‎21-12=9（个）‎ 答略。‎ 例2 甲乙两个煤场共存煤92吨，从甲场运出28吨后，乙场的存煤比甲场的4倍少6吨。两场原来各存煤多少吨？（适于六年级程度）‎ 627‎ 解：假设从甲场运出的不是28吨，而是比28吨少6吨的22吨，那么，乙场的存煤数就正好是甲场的4倍，甲场的存煤是1份数，乙场的存煤是4‎ 甲场原来存煤：‎ ‎92-50=42（吨）‎ 答略。（二）假设两个（或几个）数量相等 例1有两块地，平均亩产粮食185千克。其中第一块地5亩，平均亩产粮食203千克。如果第二块地平均亩产粮食170千克，第二块地有多少亩？（适于五年级程度）‎ 解：假设两块地平均亩产粮食都是170千克，则第一块地的平均亩产量比两块地的平均亩产多：‎ ‎203-170=33（千克）‎ ‎5亩地要多产：‎ ‎33×5=165（千克）‎ 两块地实际的平均亩产量比假设的平均亩产量多：‎ ‎185-170=15（千克）‎ 因为165千克中含有多少个15千克，两块地就一共有多少亩，所以两块地的亩数一共是：‎ ‎165÷15=11（亩）‎ 第二块地的亩数是：‎ ‎11-5=6（亩）‎ 答略。‎ 解：此题可以有三种答案。‎ 627‎ 答：剩下的两根绳子一样长。‎ 答：甲绳剩下的部分比乙绳剩下的部分长。‎ ‎（3）假设两根绳子都比1米长。任意假定为1.5米，则甲绳剪去 ‎ 答：乙绳剩下的部分比甲绳剩下的部分长。‎ 例3一项工作，甲、乙两队单独做各需要10天完成，丙队单独做需要7.5天完成。在三队合做的过程中，甲队外出1天，丙队外出半天。问三队合做完成这项工作实际用了几天？（适于六年级程度）‎ 解：假设甲没有外出，丙也未外出，也就是说，甲、乙、丙三个队的工作天数一样多，则三队合做的工作量可达到：‎ 三队合做这项工作，实际用的天数是：‎ 627‎ 答略。‎ ‎*例4 一项工程，甲、乙两队合做80天完成。如果先由甲队单独做72天，再由乙队单独做90天，可以完成全部工程。甲、乙两队单独完成全部工程各需要用多少天？（适于六年级程度）‎ 解：假设甲队做72天后，乙队也做72天，则剩下的工程是：‎ 乙队还需要做的时间是：‎ ‎90-72=18（天）‎ 乙队单独完成全部工程的时间是：‎ 甲队单独完成全部工程的时间是：‎ 答略。‎ ‎（三）假设两个分率（或两个倍数）相同 ‎*例1某商店上月购进的蓝墨水瓶数是黑墨水瓶数的3倍，每天平均卖出黑墨水45瓶，蓝墨水120瓶。过了一段时间，黑墨水卖完了，蓝墨水还剩300瓶。这个商店上月购进蓝墨水和黑墨水各多少瓶？（适于高年级程度）‎ 解：根据购进的蓝墨水是黑墨水的3倍，假设每天卖出的蓝墨水也是黑墨水的3倍，则每天卖出蓝墨水：‎ ‎45×3=135（瓶）‎ 这样，过些日子当黑墨水卖完时蓝墨水也会卖完。实际上，蓝墨水剩下300瓶，这是因为实际比假设每天卖出的瓶数少：‎ ‎135-120=15（瓶）‎ 627‎ 卖的天数：‎ ‎300÷15=20（天）‎ 购进黑墨水：‎ ‎45×20=900（瓶）‎ 购进蓝墨水：‎ ‎900×3=2700（瓶）‎ 答略。‎ ‎*例2 甲、乙两个机床厂今年一月份都超额完成了生产计划，甲厂完成计划的112％，乙厂完成计划的110％。两厂共生产机床400台，比原计划超产40台。两厂原计划各生产多少台机床？（适于六年级程度）‎ 解：假设两个厂一月份都完成计划的110％，则两个厂一月份共生产机床：‎ ‎（400-40）×110％=396（台）‎ 甲厂计划生产：‎ ‎（400-396）÷（112％-110％）‎ ‎=4÷2％‎ ‎=200（台）‎ 乙厂计划生产：‎ ‎400-40-200=160（台）‎ 答略。‎ ‎（四）假设某个数量不比其他数量多或不比其他数量少 例1 某校三、四年级学生去植树。三年级去150人，四年级去的人数比三年级人数的2倍少20人。两个年级一共去了多少人？（适于三年级程度）‎ 解：假设四年级去的人数正好是三年级的2倍，而不是比三年级的2倍少20人，则两个年级去的人数正好是三年级人数的3倍。‎ 两个年级去的人数是：‎ ‎150×3=450（人）‎ 因为实际上，四年级去的人数比三年级2倍少20人，所以两个年级去的实际人数是：‎ 627‎ ‎450-20=430（人）‎ 答略。‎ ‎*例2 甲、乙、丙三个乡都拿出同样多的钱买一批化肥。买好后，甲、丙两个乡都比乙乡多18吨，因此甲乡和丙乡各给乙乡1800元。问每吨化肥的价格是多少元？（适于高年级程度）‎ 解：假设甲、丙两个乡买的化肥不比乙乡多18吨，而是与乙乡买的同样多，则应把多出来的2个18吨平均分。平均分时每个乡多得：‎ ‎18×2÷3=12（吨）‎ 因为甲、丙两个乡都比乙乡多得18吨，而平均分时每个乡得12吨，所以乙乡实际比甲、丙两个乡都少：‎ ‎18-12=6（吨）‎ 每吨化肥的价格：‎ ‎1800÷6=300（元）‎ 答略。‎ ‎（五）假设某个数量增加了或减少了 ‎6-4=2（人）‎ 全班人数是：‎ 女生人数是：‎ 627‎ 答略。‎ ‎*例2 学校运来红砖和青砖共9750块。红砖用去20％，青砖用去1650块后，剩下的红砖和青砖的块数正好相等。学校运来红砖、青砖各多少块？（适于六年级程度）‎ 解：假设少运来1650块青砖，则一共运来砖：‎ ‎9750-1650=8100（块）‎ 以运来的红砖的块数为标准量1，则剩下的红砖的分率是：‎ ‎1-20％=80％‎ 因为剩下的红砖的块数与青砖的块数正好相等，所以青砖的分率也是80％。‎ 因为8100块中包括全部红砖和红砖的（1-20％）（青砖），所以8100块的对应分率是（1+1-20％）。运来的红砖是：‎ ‎（9750-1650）÷（1+1-20％）‎ ‎=8100÷1.8‎ ‎=4500（块）‎ 运来的青砖是：‎ ‎9750-4500=5250（块）‎ 答：运来红砖4500块，运来青砖5250块。‎ ‎（六）假设某个数量扩大了或缩小了 例1 把鸡和兔放在一起共有48个头、114只爪和脚。鸡和兔各有多少只？（适于四年级程度）‎ 解：假设把鸡爪和兔子脚的只数都缩小2倍，则鸡爪数和鸡的头数一样多，兔的脚数是兔头数的2倍。‎ 这样就可以认为，114÷2所得商中含有全部鸡的头数，也含有兔子头数2倍的数，而48中包含全部鸡的头数和兔子头数1倍的数。‎ 所以兔的只数是：‎ ‎114÷2-48=9（只）‎ 鸡的只数是：‎ ‎48-9=39（只）‎ 627‎ 答略。‎ 解：假设把从甲、乙两堆煤里取出的煤的数量扩大4倍，则从两堆煤取出的总数量比原来的两堆煤多：‎ ‎708×4-2268‎ ‎=2832-2268‎ ‎=564（千克）‎ 甲堆煤的重量是：‎ 乙堆煤的重量是：‎ ‎2268-940=1328（千克）‎ 答略。‎ 第二十六讲 设数法 627‎ 当应用题中没有解题必需的具体的数量，并且已有数量间的关系很抽象时，如果假设题中有个具体的数量，或假设题中某个未知数的数量是单位1，题中数量之间的关系就会变得清晰明确，从而便于找到解答问题的方法，我们把这种解答应用题的方法叫做设数法。 ‎ 实际上设数法是假设法中的一种方法，因为它的应用比较多，所以我们把它单列为一种解题方法。‎ 在用设数法解答应用题设具体数量时，要注意两点：一是所设数量要尽量小一些；二是所设的数量要便于分析数量关系和计算。‎ ‎（一）设具体数量 例1 一艘轮船从甲港开往乙港，去时顺水，每小时行驶30千米；返回时逆水，每小时行驶20千米。求这艘轮船往返的平均速度。（适于五年级程度）‎ 解：甲、乙两港之间的路程没有给，要求往返的平均速度就比较困难。我们可以设甲、乙两港之间的路程为60千米（60是轮船往返速度30和20的最小公倍数）。‎ 这样去时用的时间是：‎ ‎60÷30=2（小时）‎ 返回时用的时间是：‎ ‎60÷20=3（小时）‎ 往返一共用的时间是：‎ ‎3+2=5（小时）‎ 往返的平均速度是：‎ ‎60×2÷5=24（千米/小时）‎ 综合算式：‎ ‎60×2÷（60÷30+60÷20）‎ ‎=120÷（2+3）‎ ‎=120÷5‎ ‎=24（千米/小时）‎ 答略。‎ ‎*例2光华小学中、高年级共有学生600名，如果中年级派出本年级人数 627‎ 位“1”。假设高年级增加20名学生，这样中、高年级人数从原来的600名增加到：‎ ‎600+20=620（名）‎ 中年级人数是：‎ 高年级的人数是：‎ ‎600-320=280（人）‎ 答略。例3 某人骑一辆自行车从甲地去乙地，每小时行15千米；从乙地回到甲地，每小时行10千米。求此人骑自行车往返甲、乙两地的平均速度。（适于六年级程度）‎ 解：题中缺少“甲、乙两地的距离”的具体数量。我们可以任意设一个数为甲、乙两地的路程。‎ 如设30千米为甲、乙两地路程，这辆自行车往返甲、乙两地的平均速度是：‎ 答略。‎ 此题如设20千米为甲、乙两地的路程，那么，可列式为20×2÷‎ 627‎ 辆自行车往返甲、乙两地的平均速度都是12千米/小时。‎ 例4 用甲、乙两台收割机分别收割一块地的小麦时，甲用6小时可以收割完，乙用4小时可以收割完。用这两台收割机同时收割这块地，多少小时可以收割完？（适于五年级程度）‎ 解：因为这块地的亩数是个未知的数量，所以对没学过用“解工程问题”的方法解应用题的学生是一道难题。如果假设出这块地的亩数是个已知的数量，此题就容易解了。‎ 假设这块地是12亩（也可假设为6和4的其他公倍数，如24亩、36亩、48亩、60亩等。这里假设为12亩，是因为12是6和4的最小公倍数，这样便于计算）。则由题意得：‎ ‎12÷（12÷6+12÷4）‎ ‎=12÷（2+3）‎ ‎=2.4（小时）‎ 答：两台同时收割2.4小时可以收割完。‎ ‎*例5有一堆苹果，如果平均分给大、小两个班的小朋友，每人可得6个；如果只分给大班，每人可得10个。如果只分给小班，每人可得几个？（适于五年级程度）‎ 解法（1）：假设有120个苹果，则大、小两个班共有小朋友：‎ ‎120÷6=20（人）‎ 大班有：‎ ‎120÷10=12（人）‎ 小班有：‎ ‎20-12=8（人）‎ 小班每人可分得苹果：‎ ‎120÷8=15（个）‎ 综合算式：‎ ‎120÷（120÷6-120÷10）‎ ‎=120÷8‎ ‎=15（个）‎ 627‎ 答：只分给小班，每人可得15个。‎ 解法（2）：假设两个班的总人数是30人，则苹果的总个数是：‎ ‎6×30=180（个）‎ 大班人数是：‎ ‎180÷10=18（人）‎ 小班人数是：‎ ‎30-18=12（人）‎ 小班每人可分得苹果：‎ ‎180÷12=15（个）‎ 综合算式：‎ ‎6×30÷（30-6×30÷10）‎ ‎=180÷（30-18）‎ ‎=15（个）‎ 答略。‎ ‎（二）设单位“1”‎ 例1 某食堂改造炉灶后，每天节约用煤60千克，这样原来计划用32天的煤，现在可以用48天。这堆煤共有多少千克？（适于六年级程度）‎ 答略。‎ 627‎ 例2 有一个正方体和一个长方体，长方体的长等于正方体的棱长，长方 解：设正方体的棱长为1，那么正方体的体积是：‎ ‎1×1×1=1‎ 长方体的体积是：‎ 答略。‎ 设甲的钱数为单位1，这时因为甲的钱数是1，所以上面的关系式便成为：‎ 627‎ 乙有人民币：‎ 答略。‎ 例4 在一次407人参加的歌手大赛中，没有获奖的女歌手占女歌手总数 解：设女歌手的总人数为1。‎ 从男女歌手总人数407人中，去掉没获奖的男歌手16人之后，（407- ‎ ‎=207（人）‎ 男歌手的人数是：‎ ‎407-207=200（人）‎ 答略。‎ 第二十七讲 代数法 解应用题时，用字母代表题中的未知数，使它和其他已知数同样参加列式、计算，从而求得未知数的解题方法，叫做代数法。代数法也就是列方程解应用题的方法。 ‎ 学习用代数法解应用题，要以学过算术法解应用题为基础。我们知道用算术法解应用题时，未知数始终处于被追求的地位，除了要进行顺向思考，必要时还要进行逆向思考，所以有些应用题用算术法解答很困难，而用代数法解应用题，由于是用字母代表题中的未知数，因此只要把代表未知数的字母看作已知数来考虑问题，正确找出题中数量间的等量关系，就可以用代表未知数的字母和已知数共同组成一个等式（即方程），然后计算出未知数的值。这种解题思路直接、简单，可化难为易，特别是在解答比较复杂的应用题时用代数法就更容易。‎ 627‎ 小学生在开始学习用代数法解应用题时，可能不大习惯，会受到算术法解题思路的干扰，在解题过程中可能出现一些错误。为顺利地学好用代数法解应用题，应注意以下几个问题：‎ ‎1.切实理解题意。通过读题，要明白题中讲的是什么意思，有哪些已知条件，未知条件是什么，已知条件与未知条件之间是什么关系。‎ ‎2.在切实理解题意的基础上，用字母代表题中（设）未知数。通常用字母x代表未知数，题目问什么就用x代表什么。小学数学教材中，求列方程解答的应用题绝大多数都是这样的。‎ 有些练习题在用代数法解答时，不能题中问什么都用x表示。x只表示题中另一个合适的未知数，这样才能顺利列出方程，求出所设的未知数。然后通过计算，求出题目要求的那个未知量。如果一道题要求两个或两个以上的未知数，这就要根据题目的具体情况，从思考容易、计算方便着眼，灵活选择一个用x表示，其他未知数用含有x的代数式表示。‎ ‎3.根据等量关系列方程。要根据应用题中数量之间的等量关系列出方程。列方程要同时符合三个条件：（1）等号两边的式子表示的意义相同；（2）等号两边数量的单位相同；（3）等号两边的数量相等。如果一道应用题的数量有几个相等的关系，并且每一个都可以作为列方程的依据，这时要选择最简便、最明确的等量关系列出方程。‎ 列方程时，如果未知数x只出现在等式的一端，要注意把含有未知数x的式子放在等式左边，这样解方程时比较方便。但不能在列方程时，只把表示未知数的一个字母x单独写在等号左端，因为这种列式的方法不是代数法，而仍然是算术法。‎ ‎4.解方程。解方程是根据四则运算中各部分数之间的关系进行推算。计算要有理有据，书写格式要正确。‎ 解出x的数值后，不必注单位名称。‎ ‎5.先检验，后写答案。求出x的值以后，不要忙于写出答案，而是要先把x的值代入原方程进行检验，检验方程左右两边的得数是不是相等。如果方程左右两边的得数相等，则未知数的值是原方程的解；如果方程左右两边的数值不相等，那么所求出的未知数的值就不是原方程的解。这时就要重新检查：未知数设得对不对？方程列得对不对？计算过程有没有问题？……一直到找出问题的根源。值得注意的是：即使求出的未知数的值是原方程的解，也应仔细考虑一下，得出的这个值是否符合题意，是否有道理。当证明最后得数确实正确后再写出答案。‎ 列方程解应用题的关键是找准等量关系，根据等量关系列出方程。找等量关系没有固定方法，考虑的角度不同，得出的等量关系式就不同。‎ ‎（一）根据数量关系式找等量关系，列方程解题 例1 一名工人每小时可以制作27个机器零件。要制作351个机器零件，要用多少小时？（适于五年级程度）‎ 解：设制做351个机器零件，要用x小时。‎ 根据“工作效率×时间=工作总量”这个数量关系，列方程得：‎ 627‎ ‎27x=351‎ x=351÷27‎ x=13‎ 答：这名工人制作351个机器零件要用13个小时。‎ ‎    ‎ 例2 A、B两地相距510千米，甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，6小时后相遇。已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：设乙车每小时行x千米。根据“部分数+部分数=总数”，列方程得：‎ ‎45×6+6x=510‎ ‎6x=510-45×6‎ ‎6x=510-27O ‎6x=240‎ x=240÷6‎ x=40‎ 答略。‎ ‎（二）抓住关键词语找等量关系，列方程解题 例1 长江的长度为6300千米，比京杭大运河（北京-杭州）全长的3倍还多918千米。求京杭大运河的全长是多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：根据“长江的长度为6300千米，比京杭大运河全长的3倍还多918千米”，可找出长江的全长与京杭大运河全长的等量关系：京杭大运河全长×3+918=长江全长。‎ 设京杭大运河全长为x千米，列方程得：‎ ‎3x+918=6300‎ ‎3x=6300-918‎ ‎3x=5382‎ x=1794‎ 答略。‎ 627‎ 例2 9头蓝鲸的最长寿命之和比6只乌龟的最长寿命之和多114年。乌龟的最长寿命是116年。求蓝鲸的最长寿命是多少年？（适于五年级程度）‎ 解：根据“9头蓝鲸的最长寿命之和比6只乌龟的最长寿命之和多114年”，可以看出9头蓝鲸寿命之和与6只乌龟寿命之和的等量关系是：‎ 蓝鲸的最长寿命×9-114=116×6。‎ 设蓝鲸的最长寿命是x年，列方程得：‎ ‎9x-114=116×6‎ ‎9x=116×6+114‎ ‎9x=810‎ x=90‎ 答略。‎ ‎（三）画图形找等量关系，列方程解题 例1 某农场收割4000亩小麦，前3天每天收割700亩。剩下的要2天收完，每天要收割多少亩？（适于五年级程度）‎ 解：根据题意作图27-1。‎ 由图27-1可以看出题中的等量关系是：“前3天收割的亩数+后2天收割的亩数=4000亩”。‎ 设后2天每天收割x亩，列方程得：‎ ‎700×3+2x=4000‎ ‎2x=4000-700×3‎ ‎2x=4000-2100‎ ‎2x=1900‎ x=950‎ 627‎ 答略。‎ 例2 甲、乙两列火车同时从相距360千米的两个车站相向开出，3小时后相遇。已知甲车每小时行55千米，乙车每小时行多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：根据题意作图27-2。‎ 从图27-2可以看出，甲、乙两列火车3小时共行36O千米，甲车行的路程+乙车行的路程=360千米。‎ 设乙车每小时行x千米，列方程得：‎ ‎55×3+3X=360‎ ‎3x=360-165‎ ‎3x=195‎ x=65‎ 答略。‎ ‎*例3 甲、乙两地相距60千米，自行车和摩托车同时从甲地驶往乙地，摩托车比自行车早到4小时，摩托车的速度是自行车速度的3倍。求摩托车和自行车的速度。（适于高年级程度）‎ 解：作图27-3。用图中纵向线段表示时间，用横向线段表示速度。‎ 图27-3中线段AB表示自行车的速度，AC表示摩托车的速度；AG表示自行车用的时间，AF表示摩托车用的时间。矩形ABHG和ACDF的面积都是表示甲、乙两地的距离60千米。‎ 设AB为x千米，则AC为3x千米。‎ 627‎ ‎4x+20=60‎ ‎4x=60-20‎ x=10‎ ‎3x=30‎ 答：自行车每小时行10千米，摩托车每小时行30千米。‎ ‎（四）列表找等量关系，列方程解题 例1甲、乙两名车工共车了390个零件，车工甲每小时车30个，车工乙每小时车35个。他们共同工作多少小时才车完这批零件？（适于五年级程度）‎ 解：设两人共同车了x小时。根据题意，列表27-1。‎ 表27-1‎ 从表27-1可以看出，车工甲在x小时里共车30x个零件，车工乙在x小时里共车35x个零件。‎ 根据题意，列方程：‎ ‎30x+35x=390‎ ‎65x=390‎ x=390÷65‎ x=6‎ 答略。‎ 627‎ ‎*例2 31名学生去划船，分乘3只大船和4只小船，每只大船坐5名学生，每只小船坐几名学生？（适于高年级程度）‎ 解：设每只小船坐x名学生。根据题意列出表27-2。‎ 表27-2‎ 从表27-2看出，大船上坐的人数+小船上坐的人数=31人。大船上的人数是5×3名，小船上的人数是4x名。‎ 列方程：‎ ‎5×3+4x=31‎ ‎4x=31-15‎ ‎4x=16‎ x=4‎ 答略。‎ ‎（五）根据公式找等量关系，列方程解题 例1一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？（适于五年级程度）‎ 解：设三角形的高是x厘米。‎ 根据三角形的面积公式“底×高÷2=三角形面积”，列方程：‎ ‎25x÷2=100‎ ‎25x=100×2‎ x=100×2÷25‎ x=8‎ 答略。‎ 627‎ 例2 图27-4梯形的面积是1050平方厘米，下底长18厘米，高30厘米。上底长是多少厘米？（适于五年级程度）‎ 解：设梯形的上底为x厘米。‎ 根据梯形的面积公式“（上底+下底）×高÷2=梯形面积”，列方程：‎ ‎（x+18）×30÷2=1050‎ ‎（x+18）=1050×2÷30‎ x=70-18‎ x=52‎ 答略。‎ 第二十八讲 联想法 我们把由某事物而想起其他相关的事物，由某概念而想起其他相关的概念，由某种解题方法而想起其他解题方法，从而使问题得到解决的解题方法叫做联想法。 ‎ 通过联想，可以把感知过的客观事物中那些接近的、相似的、对立的，或有一定因果关系的事物建立某种联系，从而沟通知识之间的逻辑关系，促进知识之间、方法之间的迁移和同化，有利于认识新事物、产生新的设想。‎ ‎（一）纵向联想 这是把问题的前后条件联系起来思考的方法。‎ 进红皮球20只，这时红皮球正好占皮球总数的60％。现在有红皮球和白皮球各多少只？（适于六年级程度）‎ 627‎ ‎4份。后来又买进红皮球20只，这时红皮球正好占皮球总数的60％，由此联想到：现在皮球的总只数中，红皮球占6份，白皮球占4份。‎ 可见，白皮球占的份数没有起变化，红皮球的份数增加了6-5=1（份）。因为增加了20只红皮球是增加了1份。所以1份就是20只皮球。‎ 红皮球这时占6份，红皮球的只数是：‎ ‎20×6=120（只）‎ 白皮球占4份，白皮球的只数是：‎ ‎20×4=80（只）‎ 答略。‎ ‎（二）横向联想 这是指从一个问题想到另一个问题的思考方法。‎ 例 东风小学五、六年级的同学共植树330棵。已知五年级植树的棵数 六年级植树：‎ 或 330-180=150（棵）‎ 由分数解法联想到按比例分配的解法。‎ 627‎ 六年级植树：‎ 答略。‎ ‎（三）多角度联想 这是指对一个问题从几个不同的角度进行思考的方法。‎ 例 图28-1半圆空白部分的面积是7.85平方厘米，求阴影部分的面积？（适于六年级程度）‎ 解：‎ ‎（1）用归一法解。先求出右边扇形圆心角为1°时的面积，再求出阴影部分扇形圆心角度数，然后求出阴影部分面积。‎ ‎7.85÷100=0.0785（平方厘米）‎ ‎180°-100°=80°‎ ‎0.0785×80=6.28（平方厘米）‎ ‎（2）由归一法解联想到用倍比法来解。求出图中阴影扇形圆心角度数是空白扇形圆心角度数的倍数，再根据空白部分的面积7.85平方厘米是阴影部分面积的倍数，然后求出阴影部分的面积。‎ ‎（3）由倍比法解又联想到用解分数应用题的方法来解。先求出右边空白扇形圆心角度数是所在半圆圆心角度数的几分之几，再求出半圆面积，然后从半圆面积中减去空白部分的面积，就得到阴影面积。‎ 627‎ 设图中阴影部分面积为x平方厘米 答略。‎ ‎（四）由具体到抽象的联想 例 车站有货物45吨，用甲汽车10小时可以运完，用乙汽车15小时可以运完。用两辆汽车同时运，多少小时可以运完？（适于六年级程度）‎ 解：根据具体的工作量、工作效率和工作时间之间的关系有：‎ ‎（1）甲汽车每小时的工作量（工作效率）：‎ ‎45÷10=4.5（吨）‎ ‎（2）乙汽车每小时的工作量（工作效率）：‎ ‎45÷15=3（吨）‎ ‎（3）甲乙两汽车每小时的工作量（工作效率）的和：‎ ‎4.5+3=7.5（吨）‎ ‎（4）两辆汽车同时运所需时间：‎ ‎45÷7.5=6（小时）‎ 由具体的工作总量、工作效率和工作时间之间的关系，联想到抽象的工作总量、工作效率和工作时间之间的关系。‎ 答略。‎ ‎（五）由部分到整体的联想 627‎ 例 图28-2是一个机器零件图，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）‎ 解：图28-2中阴影部分的面积由四个部分组成，分别求出它们的面积，再求几个部分面积的和是比较麻烦的。如果把这个图形经过旋转和翻折转化成图28-3，那么，只要计算出一个边长是4÷2=2（厘米）的正方形的面积就可以了。‎ 答略。‎ ‎（六）由一般到特殊的联想 例 前进机器厂，计划生产2400个机器零件，实际上在前3小时就完成了计划的40％，照这样计算，几小时可以完成任务？（适于六年级程度）‎ 解：一般解法是先求出前3小时生产多少个机器零件，再求出平均每小时生产多少个机器零件，然后求出生产2400个机器零件需要的时间。‎ ‎2400÷（2400×40％÷3）‎ ‎=2400÷320‎ ‎=7.5（小时）‎ 由一般解法联想到特殊解法。‎ 把计划生产2400个机器零件需要的时间看作1，由“实际上在前3小时就完成了计划的40％”可知“3小时”与 ‎“40％”正好是对应关系。因此，可直接列出算式：‎ ‎3÷40％=7.5（小时）‎ 答略。‎ ‎（七）由一种方法联想到另一种方法 这是指解决某个问题时，由一种方法想到另一些方法的思考方法。‎ 627‎ 例1 木材公司运进一批木材，垛成如图28-4的形状。已知最底层是102根，以上每层少1根，共有32层，求这些木材共有多少根？（适于六年级程度）‎ 解：解这个题，当然可以把32层的32个数加起来，但是太麻烦，应该想一个能反映规律的办法。‎ 观察它的截面，很容易同等腰梯形发生联想，梯形有上底、下底和高，于是联想到借用梯形的面积公式，或者说仿照梯形面积公式找出一个反映规律的公式，问题就可以解决了。‎ ‎（102+71）×32÷2‎ 答略。‎ 例2 某工人原计划用42天的时间完成一批零件的加工任务，实际前12天就完成了任务的40％，剩下的零件比已完成的多21600个。照这样的工作效率，可以提前几天完成任务？（适于六年级程度）‎ 解：先用一般解法。求出总任务的个数：‎ ‎21600÷（1-40％-40％）‎ ‎=21600÷20％‎ ‎=108000（个）‎ 再求提前完成天数：‎ ‎42-12-[108000×（1-40％）÷（108000×40％÷12）]‎ ‎=30-[64800÷3600]‎ ‎=30-18‎ ‎=12（天）‎ 如果运用联想转化来解题，就不难发现，在工作效率一定的情况下，工作时间和工作量成正比例关系。也就是说前12天的工作量与总工作量的比率同前12天的工作时间与实际完成的工作时间的比率是一样的。因此可以由“实际前12天占实际完成任务所需时间的40％”，从而立即求出实际完成任务的天数是：‎ 627‎ ‎12÷40％=30（天）‎ 提前完成任务的天数是：‎ ‎42-30=12（天）‎ 答略。‎ 剩下的数量正好相等。两堆煤原来各有多少吨？（适于六年级程度）‎ 解：先用一般方法解。先求甲堆煤的吨数。‎ 因为两堆煤剩下的数量正好相等，所以把两堆煤剩下的数量分别看作1，则甲堆煤原来的数量是：‎ 甲堆煤的吨数是：‎ ‎270÷（5+4）×5‎ ‎=270÷9×5‎ ‎=150（吨）‎ 乙堆煤的吨数是：‎ ‎270-150=120（吨）‎ 此题如果运用联想法，可获得简捷的解题思路。‎ 两堆煤运走后剩下的数量相等，可见甲堆的1份等于乙堆的1份。‎ 又已知两堆煤有270吨，共有（5+4）份，联想到整数归一应用题，便可轻而易举地求出甲堆煤原来的吨数：‎ 627‎ ‎270÷（5+4）×5‎ ‎=270÷9×5‎ ‎=30×5‎ ‎=150（吨）‎ 乙堆煤原有吨数：‎ ‎270÷（5+4）×4‎ ‎=270÷9×4‎ ‎=30×4‎ ‎=120（吨）‎ 答略。‎ ‎（八）情境联想 这是指回到问题的情境中去思考问题的方法。‎ 例 有一个运动场（如图28-5），两头是半圆形，中间是长方形，这个运动场的周长是多少？面积是多少？（适于六年级程度）‎ 解：有的同学对图中的两个“72米”，要不要作为周长来计算拿不定主意。我们可以联想在操场或运动场赛跑时的情境，就知道两个“72米”在赛跑时是不要跑的，因此跑道的长度是：‎ ‎87×2+3.14×72÷2×2‎ ‎=174+226.08‎ ‎=400.08（米）‎ 运动场的面积，也可联想实际情况而正确地算出：‎ 627‎ 答略。‎ ‎（九）因果联想 ‎*例 如图28-6，△ABC是等腰直角三角形，斜边BC=6cm，求阴影部分的面积（适于六年级程度）‎ 解：我们从条件与问题所涉及的角和边展开联想：‎ ‎（1）因为△ABC是等腰直角三角形，所以联想到，‎ ‎∠1=∠2=45°‎ ‎（2）因为AD是斜边上的高，所以联想到，‎ ‎（5）因为阴影部分的面积，等于等腰直角三角形面积减去两个扇形面积，所以得出：‎ 627‎ ‎9-7.065=1.935（平方厘米）‎ 答略。‎ 第二十九讲 直接法 解应用题时，不用经过严密的逻辑推理，而是凭借已有的知识经验，迅速地解题，就是在运用直接法。 ‎ 以直接法解题的思维过程是快速缩小问题所涉及的范围，接触事物的本质，打开解题的突破口。有些用一般方法解答要用四五步，甚至更多步计算才能求出结果的应用题，用直接法解答时，只用一两步计算就可以求出结果。‎ 学习以直接法解题，可促进思维的灵活性、敏捷性和创造性。‎ ‎（一）凭借数目的特点 数进行计算时，一般通过心算就能得出结果。‎ 解应用题时，凭借这些数的这种特点，发现题目的本质，就可用简捷的方法解出复杂的问题。‎ 一般解法：‎ ‎6×3=18（天）‎ 答略。‎ 627‎ 一般解法：‎ ‎=1（千克）‎ 所以瓶里原来有油：‎ 例3 某校买来一批图书，放在两个书橱中。放在第一个书橱中的书占这批书的60％。如果从第一个书橱中取出16本放入第二个书橱，则两个书橱中的书一样多。问学校买来的这批图书是多少本？（适于六年级程度）‎ 一般解法：‎ ‎16×2÷[60％-（1-60％）]‎ ‎=32÷[60％-40％]‎ ‎=32÷20％‎ ‎=160（本）‎ 直接法：16本的对应分率是60％-50％=10％。学校买来的这批图书是：‎ ‎16÷10％=160（本）‎ 答略。‎ ‎（二）凭借量、率对应的关系 627‎ 有些应用题，可凭借直接看出题中哪个数量与哪个分率（“分率”就是不带单位名称的分数，是表示它所对应的数量占单位1的几分之几。）是相对应的一对数，而用简捷的方法解答出来。‎ 例1 一项工程，由甲队单独做12天可以完成。甲队做3天后另有任务调走，余下的工程由乙队做15天才完成。乙队单独完成这项工程要用多少天？（适于六年级程度）‎ 一般解法：‎ ‎=20（天）‎ 答略。‎ 例2 织布厂第一、二车间共同织了一批布。第一车间织的布比这批布的60％少400米，第二车间织了这批布的44％。求这批布的长度。（适于六年级程度）‎ 一般解法：‎ ‎400÷[60％-（1-44％）]‎ ‎=400÷4％‎ ‎=10000（米）‎ 直接法：从“第一车间织的布比这批布的60％少400米，第二车间织了这批布的44％”可以看出，这批布的4％是400米。所以，这批布的长是：‎ ‎400÷4％=10000（米）‎ 答略。‎ 例3 某工厂一月份生产了一批零件。上旬生产了全部零件的30％，中 627‎ 这个工厂一月份生产多少个零件？（适于六年级程度）‎ 一般解法：‎ ‎=8000（个）‎ ‎％，下旬生产了50％。还可以看出下旬比中旬多生产30％，这30％正好是2400个。所以，一月份生产的零件个数是：‎ ‎2400÷30％=8000（个）‎ 答略。‎ ‎（三）凭借份数的多少 有些应用题，可以凭借直接看出题中某个数量的一份或几份是多少，而用简捷的方法解答出来。‎ ‎*例1 某服装厂做同样大小的衣服，上午做了60件，下午做了90件，上午比下午少用布75米。一天用布多少米？（适于四年级程度）‎ 一般解法：‎ ‎75÷（90-60）×（90+60）‎ ‎=75÷30×150‎ ‎=375（米）‎ 直接法：从上午比下午少做30件，“上午比下午少用布75米”可以看出，每做30件衣服要用布75米。因为上午做2个30件，下午做3个30件，所以一天用布米数是：‎ ‎75×（2+3）=375（米）‎ 627‎ 答略。‎ 一般解法：‎ ‎=720（吨）‎ 直接法：把总运输量平均分成3份，已运走2份，还剩下1份，剩下的吨数是：‎ ‎1440÷2=720（吨）‎ 答略。‎ 一般解法：‎ 综合算式：‎ 627‎ 所以公路的全长是：‎ 答略。‎ ‎（四）凭借倍数的多少 有些应用题，可凭借直接看出这一数量是另一数量的几倍或某个数量倍数的变化，而用简捷的方法解答。‎ 例1 同时开动3台功率相同的碾米机，4.5小时碾米4860千克。如果同时开动同样台数、同样规格的碾米机，9小时可以碾米多少千克？（适于四年级程度）‎ 一般解法：‎ ‎4860÷4.5÷3×9×3‎ ‎=1080÷3×9×3‎ ‎=360×9×3‎ ‎=9720（千克）‎ 直接法：因为碾米机是同时开动，并且效率相同、台数相同，9小时是4.5小时的2倍，所以9小时碾米的数量是4860千克的2倍。‎ ‎4860×（9÷4.5）=9720（千克）‎ 答略。‎ 例2 某车间原计划每天生产225个零件，24天完成任务。实际上只用了原计划时间的一半就完成了任务。实际比原计划每天多生产多少个零件？（适于四年级程度）‎ 一般解法：‎ ‎225×24÷（24÷2）-225‎ ‎=5400÷12-225‎ ‎=450-225‎ 627‎ ‎=225（个）‎ 直接法：零件总数未变，实际生产的天数缩小2倍，每天生产的零件个数是原计划每天生产个数的2倍，所以，实际每天比原计划多生产1倍，即225个。‎ 答略。‎ 例3 一项工程，原计划30天完成，做了3天后，效率提高到原计划的2倍。问还需要多少天才能完成这项工程？（适于六年级程度）‎ 一般解法：设工作总量为1。‎ 直接法：因为做了3天后，剩下的工作量用原来的工作效率去做，还需30-3=27（天），现在工作效率提高到原来的2倍，时间就比原来少一半，所以，还需要的天数是：‎ ‎（30-3）÷2=13.5（天）‎ 答略。‎ ‎（五）凭借包含多少个的道理 有些应用题，可凭借直接看出这一数量中包含多少个另一个数量，而用简捷的方法解答。‎ 例1 用长42米、宽1.2米的白布做直角三角巾，三角巾两条直角边的长都是1.2米。这块布可以做多少块三角巾？（适于五年级程度）‎ 一般解法：‎ ‎42×1.2÷（1.2×1.2÷2）=70（块）‎ 直接法：因为布宽1.2米，要做的三角巾的两条直角边都长1.2米，所以可把布都叠成边长是1.2米的正方形，42÷1.2得到正方形的个数。因为边长是1.2米的一个正方形中，包含两个两条直角边长都是1.2米的三角形，所以把正方形的个数乘以2得到可以做多少块三角巾。‎ ‎42÷1.2×2=70（块）‎ 例2 一本故事书，小明原计划每天读25页，30天读完。实际每天读的页数是原计划的1.2倍。照这样计算，这本书可以用多少天读完？（适于五年级程度）‎ 一般解法：‎ 627‎ ‎25×30÷（25×1.2）=25（天）‎ 直接法：把原计划每天读的页数看作1，30天读的页数就是30；实际每天读的页数是原计划的1.2倍，则实际每天读的页数就是1.2。30中包含多少个1.2，就是实际用多少天读完。‎ ‎30÷1.2=25（天）‎ 答略。‎ 例3 某工程队计划修一条长1600米的公路，前5天修了全长的20％。照这样计算，修完这条公路还需要多少天？（适于六年级程度）‎ 一般解法：‎ ‎1600×（1-20％）÷（1600×20％÷5）‎ ‎=1600×80％÷64‎ ‎=1280÷64‎ ‎=20（天）‎ 直接法：前5天修了全长的20％，剩下全长的80％，80％中包含4个20％，自然还需要4个5天。‎ ‎5×4=20（天）‎ 答略。‎ ‎（六）凭借平均分的原理 解应用题时灵活运用平均分的原理，通过题中某一部分数量，或者通过把已经平均分出去的数量收回来的方法来解题，常常会使问题得到简捷的解决。‎ 例1 王师傅要加工一批零件。如果每小时加工21个，8小时可以完成，由于改进加工技术，提前1小时完成任务。实际比原计划每小时多加工多少个零件？（适于四年级程度）‎ 一般解法：‎ ‎21×8÷（8-1）-21‎ ‎=24-21‎ ‎=3（个）‎ 直接法：提前1小时完成，就是要用8-1=7（小时）完成加工任务。把按计划1小时应加工的21个零件平均分配在7小时内，就得到实际比原计划每小时多加工多少个零件。‎ 627‎ ‎21÷7=3（个）‎ 答略。‎ 例2 用一辆汽车运粮食。原计划每次运50袋，6次运完，而实际5次就运完了。问实际每次比原计划每次多运多少袋？（适于四年级程度）‎ 一般解法：‎ ‎50×6÷5-50‎ ‎=60-50‎ ‎=10（袋）‎ 直接法：因为5次完成6次的任务，比原计划少运1次，这1次运50袋的任务自然要平均分到5次完成。所以实际每次比原计划每次多运的袋数是：‎ ‎50÷5=10（袋）‎ 答略。‎ 例3 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行65千米，要行4小时才能到达乙地。这辆汽车从乙地返回甲地比去时多用了1小时。这辆汽车从乙地返回甲地比从甲地去乙地每小时少行多少千米？（适于五年级程度）‎ 一般解法：‎ ‎65-65×4÷（4+1）‎ ‎=65-260÷5‎ ‎=65-52‎ ‎=13（千米）‎ 直接法：假设汽车用4小时从甲地开到乙地后，再往前开1小时，则汽车在5小时中要比从乙地回到甲地多行65千米，也就是说，在5小时中，汽车从甲地去乙地比从乙地返回甲地多行65千米。这辆汽车从乙地返回甲地比从甲地去乙地每小时少行的距离是：‎ ‎65÷5=13（千米）‎ 答略。‎ ‎（七）凭借图形 627‎ 当我们读过一道应用题后，有时头脑中立刻闪现出表示题中数量关系的图形，凭借这个图形我们会想到解答此题的方法，而不必仔细分析推理；有时刚刚画出表示题中数量关系的图形时，我们就领悟到解题方法。在这些情况下，得的解题方法往往比较简捷。‎ 例1 在校运动会上，某班除4人没参加任何项目外，有26人参加了田赛，有30人参加了径赛，有12人既参加了田赛，又参加了径赛。这个班有学生多少人？（适于高年级程度）‎ 一般解法：‎ ‎（26-12）+（30-12）+12+4=48（人）‎ 直接法：从图29-1可看出，12包含在26内，也包含在30内。从26与30的和中减去12，再加上4，就得到全班学生人数：（26+30-12）+4=48（人）‎ 答略。‎ 例2 一个圆柱体的侧面积是188.4平方厘米，底面半径是3厘米，求这个圆柱体的体积。（适于六年级程度）‎ 一般解法：‎ 直接法：按照图29-2把圆柱体的底面分成若干个相等的扇形来切割圆柱体，然后把切开的圆柱体拼成近似长方体的形状。这个长方体的底面积是圆柱体侧面积的一半，高等于圆柱体底面的半径。所以这个圆柱体的体积是：‎ ‎188.4÷2×3=282.6（立方厘米）‎ 答略。‎ 627‎ 这批水泥一共是多少吨？（适于六年级程度）‎ 一般解法：‎ 直接法：从图29-3中可以看出，全部需要运来的水泥被分为5份，剩下 所以，这批水泥一共是：‎ ‎15×10=150（吨）‎ 答略。‎ ‎（八）凭借从整体上考虑 627‎ 有些应用题，如果把问题分成许多细节，一步一步地分析、推理，有时要走弯路，陷入困境。如果不把问题分成许多部分去研究，而是从整体上、从全局考虑，往往会迅速发现问题的实质，很快解决问题。‎ ‎*例1 由1024名运动员参加的乒乓球个人冠军赛，采用输一场即被淘汰的单淘汰制。共需安排多少场比赛？（适于高年级程度）‎ ‎……最后一场是冠军赛，共应进行：‎ ‎512+256+128+64+32+16+8+4+2+1‎ ‎=1023（场）‎ 直接法：从整体上考虑，每场淘汰1名运动员，要决出冠军，就要淘汰1023名运动员，所以共需进行1023场比赛。‎ 答略。‎ ‎*例2 走一段路，甲用40分钟，乙用30分钟。如果甲出发5分钟后乙再出发，乙经过多长时间才能追上甲？（适于高年级程度）‎ 一般解法：‎ 直接法：走这段路，甲、乙分别用40分钟和30分钟，则甲、乙走到这段路中点用的时间分别是20分钟、15分钟。因为甲提前5分钟出发，所以当甲用20分钟走到这段路的中点时，乙用15分钟也走到这段路的中点，也就是说乙追上了甲。乙追上甲用的时间是乙走这段路所用时间的一半。‎ ‎30÷2=15（分钟）‎ 答略。‎ ‎*例3 在同一条公路上，有两辆汽车向同一个方向行驶。开始时，甲车在乙车前面4千米，甲车每小时行45千米，乙车每小时行60千米。乙车在追上甲车前1分钟，两车相距多远？（适于六年级程度）‎ 一般解法：‎ 直接法：乙车追上甲车前一分钟两车相距的路程等于，乙车每1分钟追上甲车的路程：‎ 627‎ 答略。‎ ‎*例4 东、西两地相距100千米。甲、乙二人从东、西两地同时出发，相向而行。甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。甲带的一只狗与甲同时同向出发，狗以每小时12千米的速度向乙奔去，遇到乙立即回头向甲跑来，遇到甲再回头向乙奔去，直到甲、乙二人相遇时狗才停住。求在这段时间里狗一共跑了多少千米。（适于高年级程度）‎ 解：此题因无法求出在全程中，狗与乙到底相遇多少次，以及每次相遇时狗跑了多少千米或用了多长时间，所以很难用逻辑分析的方法解答出来。‎ 如果从整体上考虑问题，抓住问题的实质，即不管狗与乙相遇几次，总之在全程过程中，狗跑的时间等于甲、乙二人相遇时所用的时间，所以可用下面的方法计算出狗一共跑了多少千米：‎ ‎12×[100÷（6+4）]=120（千米）‎ 答略。‎ 答略。‎ 第三十讲 四方阵法 四方阵是著名教育家赵宋光《新体制数学》中解应用题的一种方法。 ‎ 通过画四方阵可以找准整数乘除题中数量间的对应关系，也可以找准分数（百分数）题中的标准量、比较量和分率，从而明确题中数量间的关系，很快解答出应用题。‎ 画四方阵图要遵守“同名竖对、同事横对”的规则；四方阵图中，“四个方位的数交叉相乘，两个积必定相等”是四方阵的性质；在计算时，x斜对方位的数必当除数。‎ 解：设九月份生产玻璃x箱。‎ ‎（1）画一个大“十”字。在“十”字横线左端点外的上、下方位分别写上九月、十月（图30-1）。‎ ‎             ‎ 627‎ ‎（2）在大“十”字中心点的左上方、左下方，横对九月、十月分别写上x、20000，并在它们中间的横线上写出x与20000的单位名称“箱”（图30-2）。‎ 从摘录、整理完条件与问题的四方阵图30-4中，可清楚地看到x的对应 根据题中的数量关系，也根据四方阵“交叉相乘，积相等”的性质，可以列出方程解答此题。‎ 627‎ 答：九月份生产玻璃15000箱解：设今年有水田x亩。‎ 按题意画出图30-5的四方阵图。‎ 根据题中的数量关系，再根据四方阵“交叉相乘，积相等”的性质，可得：‎ 答略。‎ 解：设还剩x块砖。‎ 根据题意，画出图30-6的四方阵图。‎ 图30-6中35000块与x块的单位名称相同，所以35000与x竖对，在它 627‎ 答：还剩14000块砖。‎ 例4 前进造纸厂四月份用煤540吨，比三月份节约20％。三月份用煤多少吨？（适于六年级程度）‎ 解：设三月份用煤x吨。‎ 根据题意，画出图30-7的四方阵图。‎ 根据四方阵的性质“四个方位的数交叉相乘，两个积必定相等”可得：‎ ‎（1-200％）x=540‎ x=540÷（1-20％）‎ x=540÷0.8‎ x=675‎ 答略。‎ 例5 用“1059”农药和水配合成药水，可防治棉花害虫。农药和水的重量比是1∶2000。要配制2500千克药水，需要“1059”多少千克？（精确到0.01千克）（适于六年级程度）‎ 解：设需要农药x千克。‎ 根据题意画出图30-8的四方阵图。‎ 阵中1与2000坚对，1与x横对；要配制2500千克药水，农药占x千克，水的重量是（2500-x）千克。x与（2500-x）坚对。‎ 627‎ 根据四方阵“四个方位的数交叉相乘，两个积必定相等”的性质得：‎ ‎2000x=2500-x ‎2001x=2500‎ x=2500÷2001‎ x≈1.24‎ 答略。‎ 少公顷土地？（适于六年级程度）‎ 解：设这个农场共有x公顷土地。‎ 根据题意画出图30-9的四方阵图。‎ 根据四方阵“交叉相乘，两积相等”的性质，可得：‎ 627‎ 答略。‎ 解：设图上的长是x厘米，宽是y厘米。‎ ‎150米=15000厘米 ‎30米=3000厘米 根据题意画出四方阵图30-10和30-11。‎ ‎                 ‎ 根据四方阵的性质可得：‎ ‎2000x=15000‎ x=15000÷2000‎ x=7.5‎ 根据四方阵的性质可得：‎ ‎2000y=3000‎ y=3000÷2000‎ y=1.5‎ 答：图上的长是7.5厘米，宽是1.5厘米。‎ 627‎ 例8 五年级学生去年种了4800棵蓖麻，平均每一棵收蓖麻子0.15千克。蓖麻子的出油率是45％，这些蓖麻能出油多少千克？（适于六年级程度）‎ 解：设共收蓖麻子x千克，出油y千克。‎ 根据题意画出四方阵图30-12和图30-13。‎ ‎              ‎ 根据四方阵的性质可得：‎ x=4800×0.15‎ x=720‎ 根据四方阵的性质可得：‎ y=720×45％‎ y=324‎ 答：能出油324千克。‎ 例9 某学校改制了一台饮水锅炉后，每天烧煤25千克，是原来每天用煤量的25％。现在每月（按30天计算）比原来节煤多少千克？（适于六年级程度）‎ 解：设现在每天节约煤x千克，一个月节煤y千克。‎ 根据题意画出四方阵图30-14和图30-15。‎ 根据四方阵的性质可得：‎ ‎25％x=25×（1-25％）‎ x=25×（1-25％）÷25％‎ ‎                     ‎ 627‎ 根据四方阵的性质可得：‎ 答：现在每月比原来节煤2250千克。‎ 例10 同学们搞野营活动。一个同学到负责后勤的老师那里去领碗。老师问他领多少，他说领55个。又问“多少人吃饭？”他说：“一人一个饭碗，两个人一个菜碗，三个人一个汤碗。”这个同学给多少人领碗？（适于六年级程度）‎ 解：这道题，教师不容易讲清，学生也不容易理解。‎ 按四方阵的格式摘录整理条件和问题，就容易列式解答了。‎ 设给x个人领碗。‎ 画出四方阵图30-16。‎ 因为x个人领55个碗，所以x与55横对；因为1个人得到1个饭碗，‎ 根据阵中呈现的数量关系，也根据“交叉相乘，积相等”的性质，可以列出方程解答此题。‎ 627‎ 答略。‎ 例11 一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出，经过12小时相遇，相遇后快车又行了8小时到达乙站。求慢车还要行几小时才能到达甲站？（适于六年级程度）‎ 解：先用一般方法解。这道题很抽象，不少学生不能理解。‎ 慢车行了全程的：‎ 用四方阵法解。用这种方法解题很简单。‎ 设慢车还要行x小时才能到达甲站。‎ 快车在相遇前行12小时，相遇后行8小时，慢车相遇前行12小时，相遇后行x小时。画出图30-17的四方阵后，就可根据四方阵的性质列出方程：‎ ‎8x=12×12‎ x=12×12÷8‎ x=18（小时）‎ 627‎ 答略。‎ 要注意的是，按四方阵的格式摘录、整理反比例应用题的条件和问题时，要使阵中的“同事斜对”。‎ 例12 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶32千米，5小时到达，如果要4小时到达，每小时行驶多少千米？（适于六年级程度）‎ 解：设每小时行驶x千米。‎ 按“同事横对，同名竖对”的摆阵规则，这道题应摆成图30-18的形式，这样根据“交叉相乘，积相等”的性质，得：‎ 行驶的时间少了，速度增加才对，可这样速度却减少了，显然这样摆阵是错误的。‎ 这道题是反比例应用题，正确的摆阵方式是图30-19的形式，即“同事斜对”。32与5斜对，x与4斜对。‎ 根据题意，也根据四方阵“交叉相乘，积相等”的性质，以及x的斜对方必当除数的规律，可得：‎ ‎4x=32×5‎ x=32×5÷4‎ x=40（千米）‎ 答略。‎ 627‎ ‎“交叉相乘积相等”是四方阵的重要性质，它帮助解题，帮助验算，还可以验证阵式摆得是否正确。例如，把上面各例题中算出的x的数值代入四方阵中，把四个方位的数交叉相乘，得到的两个积相等，说明摆阵、运算都正确；要是两个积不相等，或虽然相等但不合理，那就要认真查找出现问题的原因了。‎ 第三十一讲 分解质因数法 通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。‎ 分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。‎ 例1 一块正方体木块，体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适于六年级程度）‎ 解：把1331分解质因数：‎ ‎1331=11×11×11‎ 答：这块正方体木块的棱长是11厘米。‎ 例2 一个数的平方等于324，求这个数。（适于六年级程度）‎ 解：把324分解质因数：‎ ‎324= 2×2×3×3×3×3‎ ‎=（2×3×3）×（2×3×3）‎ 627‎ ‎=18×18‎ 答：这个数是18。例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数。（适于六年级程度）‎ 解：把462分解质因数：‎ ‎462=2×3×7×11‎ ‎=（3×7）×（2×11）‎ ‎=21×22‎ 答：这两个数是21和22。‎ ‎*例4 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？（适于六年级程度）‎ 解：因为ABC×D=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。‎ ‎1673=239×7‎ 答：ABC代表239。‎ 例5 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？（适于六年级程度）‎ 解：先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。‎ ‎2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3‎ ‎=（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3）‎ ‎=48×48‎ 正方形的边长是48米。‎ 这块田地的周长是：‎ ‎48×4=192（米）‎ 627‎ 答略。‎ ‎*例6 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度）‎ 解：3250-10=3240（个）‎ 把3240分解质因数：‎ ‎3240=23×34×5‎ 接近40的数有36、37、38、39‎ 这些数中36=22×32，所以只有36是3240的约数。‎ ‎23×34×5÷（22×32）‎ ‎=2×32×5‎ ‎=90‎ 答：这个幼儿园有90名小朋友。‎ ‎*例7 105的约数共有几个？（适于六年级程度）‎ 解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。‎ 因为，105=3×5×7，‎ 所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个；‎ 含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个；‎ 含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。‎ 所以，105的约数共有4+3+1=8个。‎ 答略。‎ ‎*例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少？（适于六年级程度）‎ 解：将这九个数分别分解质因数：‎ ‎15=3×5‎ ‎22=2×11‎ 627‎ ‎30=2×3×5‎ ‎35=5×7‎ ‎39=3×13‎ ‎44=2×2×11‎ ‎52=2×2×13‎ ‎77=7×11‎ ‎91=7×13‎ 观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13。‎ 由以上观察分析可得这三组数分别是：‎ ‎15、52和77；‎ ‎22、30和91；‎ ‎35、39和44。‎ 答略。‎ ‎*例9 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度）‎ 解：把5040分解质因数：‎ ‎5040=2×2×2×2×3×3×5×7‎ 由于四个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是：‎ ‎7，2×2×2，3×3，2×5‎ 即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。‎ 答略。‎ ‎*例10 在等式35×（    ）×81×27=7×18×（    ）×162的两个括号中，填上适当的最小的数。（适于六年级程度）‎ 解：将已知等式的两边分解质因数，得：‎ 627‎ ‎5×37×7×（    ）=22×36×7×（    ）‎ 把上面的等式化简，得：‎ ‎15×（    ）=4×（    ）‎ 所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填15。‎ ‎15×（4）=4×（15）‎ 答略。‎ ‎*例11 把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？（适于六年级程度）‎ 解：把84分解质因数：‎ ‎84=2×2×3×7‎ 除了1和84外，84的约数有：‎ ‎2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根据不同的约数进行分组。84÷2=42（组），84÷3=28（组），84÷4=21（组），84÷6=14（组），84÷7=12（组），84÷12=7（组），84÷14=6（组），84÷21=4（组），84÷28=3（组），84÷42=2（组）。‎ 因此每组2人分42组；每组3人分28组；每组4人分21组；每组6人分14组；每组7人分12组；每组12人分7组；每组14人分6组；每组21人分4组；每组28人分3组；每组42人分2组。一共有10种分法。‎ 答略。‎ ‎*例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。（适于六年级程度）‎ 解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定相同。因此，首先应把八个数分解质因数。‎ ‎14=2×7        143=11×13‎ ‎30=2×3×5    169=13×13‎ ‎33=3×11       4445=5×7×127‎ ‎75=3×5×5    4953=3×13×127‎ 在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有2个，质因数3、5、13各有4个。‎ 627‎ 在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个，质因数3、5、13各有2个。‎ 按这个要求每一组四个数的积应是：‎ ‎2×7×11×127×3×3×5×5×13×13‎ 因为，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143、4953，另一组的四个数是：30、33、169、4445。‎ 答略。‎ ‎*例13 一个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。（适于五年级程度）‎ 解：设长方形的宽为x厘米，则长为（x+6）厘米。根据题意列方程，得：‎ x（x+6）= 315‎ x（x+6）=3×3×5×7‎ ‎=（3×5）×（3×7）‎ x（x+6）=15×21‎ x（x+6）=15×（15+6）‎ x=15‎ x+6=21‎ 答：这个长方形的长是21厘米，宽是15厘米。‎ ‎*例14 已知三个连续自然数的积为210，求这三个自然数各是多少？（适于五年级程度）‎ 解：设这三个连续自然数分别是x-1，x，x+1，根据题意列方程，得：‎ ‎（x-1）×x×（x+1）‎ ‎=210‎ ‎=21×10‎ ‎=3×7×2×5‎ ‎=5×6×7‎ 627‎ 比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7。‎ 答：这三个连续自然数分别是5、6、7。‎ ‎*例15 将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？（适于六年级程度）‎ 解：把1440分解质因数：‎ ‎1440= 12×12×10‎ ‎=2×2×3×2×2×3×2×5‎ ‎=（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5）‎ ‎=8×9×20‎ 如果甲、乙二数分别是8、9，丙数是20，则：‎ ‎8×9=72，‎ ‎20×3+12=72‎ 正符合题中条件。‎ 答：甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。‎ ‎*例16 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？（适于六年级程度）‎ 解：由题意可知，母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于：‎ ‎33×1000+32×10=27090‎ 把27090分解质因数：‎ ‎27090=43×7×5×32×2‎ 根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：‎ ‎43×14×9×5‎ 这个质因式中14就是9与5之和。‎ 所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁。‎ 627‎ ‎43-9=34（岁）‎ 答：母亲在34岁时生下第二个儿子。‎ 第三十二讲 最大公约数法 通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。 ‎ 例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？（适于六年级程度）‎ 解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：‎ ‎2×3=6‎ ‎42和48的最大公约数是6。‎ 答：每个小组最多能有6名学生。‎ 例2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？（适于六年级程度）‎ 解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。‎ 求出150和60的最大公约数：‎ ‎2×3×5=30‎ ‎150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。‎ 627‎ 看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米。‎ 所以，这个长方形能分割成正方形：‎ ‎5×2=10（个）‎ 答：能分割成10个正方形。‎ 例3 有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？（适于六年级程度）‎ 解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数。‎ ‎5×5=25‎ ‎325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。‎ 因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是25厘米，所以，在75厘米中包含3个25厘米，在175厘米中包含7个25厘米，在325厘米中包含13个25厘米。‎ 可以截成棱长是25厘米的小木块：‎ ‎3×7×13=273（块）‎ 答：小正方体木块的棱长是25厘米，可以截成这样大的正方体273块。‎ 例4 有三根绳子，第一根长45米，第二根长60米，第三根长75米。现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？（适于六年级程度）‎ 解：此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。‎ ‎3×5=15‎ 627‎ ‎45、60和75的最大公约数是15，即每一小段绳子最长15米。‎ 因为短除式中最后的商是3、4、5，所以在把绳子截成15米这么长时，45米长的绳子可以截成3段，60米长的绳子可以截成4段，75米长的绳子可以截成5段。所以有：‎ ‎3+4+5=12（段）‎ 答：每段最长15米，一共可以截成12段。‎ 例5 某校有男生234人，女生146人，把男、女生分别分成人数相等的若干组后，男、女生各剩3人。要使组数最少，每组应是多少人？能分成多少组？（适于六年级程度）‎ 解：因为男、女生各剩3人，所以进入各组的男、女生的人数分别是：‎ ‎234-3=231（人）…………………男 ‎146-3=143（人）…………………女 要使组数最少，每一组的人数应当是最多的，即每一组的人数应当是231人和143人的最大公约数。‎ ‎231、143的最大公约数是11，即每一组是11人。‎ 因为231、143除以11时，商是21和13，所以男生可以分为21组，女生可以分为13组。‎ ‎21+13=34（组）‎ 答：每一组应是11人，能分成34组。‎ 例6 把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒？（适于六年级程度）‎ 解：求一共可以装多少个盒子，要知道红、绿各装多少盒。要将红、绿分别装在盒子中，且每个盒子里球的个数相同，装的最多，则每盒球的个数必定是330和360的最大公约数。‎ ‎2×3×5=30‎ ‎330和360的最大公约数是30，即每盒装30个球。‎ 627‎ ‎330÷30=11（盒）……………红球装11盒 ‎360÷30=12（盒）……………绿球装12盒 ‎11+12=23（盒）……………共装23盒 答略。‎ 例7 一个数除40不足2，除68也不足2。这个数最大是多少？（适于六年级程度）‎ 解：“一个数除40不足2，除68也不足2”的意思是：40被这个数除，不能整除，要是在40之上加上2，才能被这个数整除；68被这个数除，也不能整除，要是在68之上加上2，才能被这个数整除。‎ 看来，能被这个数整除的数是：40+2=42，68+2=70。这个数是42和70的公约数，而且是最大的公约数。‎ ‎2×7=14‎ 答：这个数最大是14。‎ 例8 李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了1.04元，第二筐卖了1.95元，第三筐卖了2.34元。每1千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。问三筐白菜各是多少千克，李明一共卖了多少千克白菜？（适于六年级程度）‎ 解：三筐白菜的钱数分别是104分、195分、234分，每千克白菜的价钱一定是这三个数的公约数。‎ 把104、195、234分别分解质因数：‎ ‎104=23×13‎ ‎195=3×5×13‎ ‎234=2×32×13‎ ‎104、195、234最大的公有的质因数是13，所以104、195、234的最大公约数是13，即每千克白菜的价钱是0.13元。‎ ‎1.04÷0.13=8（千克）………第一筐 ‎1.95÷0.13=15（千克）………第二筐 627‎ ‎2.34÷0.13=18（千克）………第三筐 ‎8+15+18=41（千克）‎ 答：第一、二、三筐白菜的重量分别是8千克、15千克、18千克，李明一共卖了41千克白菜。‎ 例9 一个两位数除472，余数是17。这个两位数是多少？（适于六年级程度）‎ 解：因为这个“两位数除472，余数是17”，所以，472-17=455，455一定能被这个两位数整除。‎ ‎455的约数有1、5、7、13、35、65、91和455，这些约数中35、65和91大于17，并且是两位数，所以这个两位数可以是35或65，也可以是91。‎ 答略。‎ 例10 把图32-1的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上，要使每个角必须有一个焊点，并且各边焊点间的距离相等。最少要焊多少个点？（单位：厘米）（适于六年级程度）‎ 解：要求焊点最少，焊点间距就要最大；要求每个角有一个焊点，焊点间距离相等，焊点间距离就应是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公约数。‎ ‎2×3=6‎ 它们的最大公约数是6，即焊点间距离为6厘米。焊点数为：‎ ‎7+4+3+6=20（个）‎ 按这个算法每个角上的焊点是两个，因为要求每一个角上要有一个焊点，所以，要从20个焊点中减4个焊点。‎ ‎20-4=16（个）‎ 答略。‎ 627‎ 第三十三讲 最小公倍数法 通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。 ‎ 例1 用长36厘米，宽24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要多少块瓷砖？（适于六年级程度）‎ 解：因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少，所以正方形的边长应是36、24的最小公倍数。‎ ‎2×2×3×3×2=72‎ ‎36、24的最小公倍数是72，即正方形的边长是72厘米。‎ ‎72÷36=2‎ ‎72÷24=3‎ ‎2×3=6（块）‎ 答：最少需要6块瓷砖。‎ ‎*例2 王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？（适于六年级程度）‎ 解：此题应先求正方体模型的棱长，这个棱长就是6、4和3的最小公倍数。‎ ‎2×3×2=12‎ ‎6、4和3的最小公倍数是12，即正方体模型的棱长是12厘米。‎ 正方体模型的体积为：‎ ‎12×12×12=1728（立方厘米）‎ 627‎ 长方体木块的块数是：‎ ‎1728÷（6×4×3）‎ ‎=1728÷72‎ ‎=24（块）‎ 答略。例3 有一个不足50人的班级，每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人。这个班级有多少人？（适于六年级程度）‎ 解：这个班的学生每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人，这说明这个班的人数比12与16的公倍数（50以内）多1人。所以先求12与16的最小公倍数。‎ ‎2×2×3×4=48‎ ‎12与16的最小公倍数是48。‎ ‎48+1=49（人）‎ ‎49<50，正好符合题中全班不足50人的要求。‎ 答：这个班有49人。‎ 例4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔8分钟发一次车；第二条线路每隔10分钟发一次车；第三条线路每隔12分钟发一次车。三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？（适于六年级程度）‎ 解：求三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车，就是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数，即8、10、12的最小公倍数。‎ ‎2×2×2×5×3=120‎ 答：至少经过120分钟又在同一时间发车。‎ 例5 有一筐鸡蛋，4个4个地数余2个，5个5个地数余3个，6个6个地数余4个。这筐鸡蛋最少有多少个？（适于六年级程度）‎ 627‎ 解：从题中的已知条件可以看出.不论是4个4个地数，还是5个5个地数、6个6个地数，筐中的鸡蛋数都是只差2个就正好是能被4、5、6整除的数。因为要求这筐鸡蛋最少是多少个，所以求出4、5、6的最小公倍数后再减去2，就得到鸡蛋的个数。‎ ‎2×2×5×3=60‎ ‎4、5、6的最小公倍数是60。‎ ‎60-2=58（个）‎ 答：这筐鸡蛋最少有58个。‎ ‎*例6 文化路小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛的人中，平均每15人有3个人得一等奖，每8人有2个人得二等奖，每12人有4个人得三等奖。参加这次竞赛的共有94人得奖。求有多少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各有多少人？（适于六年级程度）‎ 解：15、8和12的最小公倍数是120，参加这次竞赛的人数是120人。‎ 得一等奖的人数是：‎ ‎3×（120÷15）=24（人）‎ 得二等奖的人数是：‎ ‎2×（120÷8）=30（人）‎ 得三等奖的人数是：‎ ‎4×（120÷12）=40（人）‎ 答略。‎ ‎*例7 有一个电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。中午12点整时，电子钟既响铃又亮灯。求下一次既响铃又亮灯是几点钟？（适于六年级程度）‎ 解：每到整点响一次铃，就是每到60分钟响一次铃。求间隔多长时间后，电子钟既响铃又亮灯，就是求60与9的最小公倍数。‎ ‎60与9的最小公倍数是180。‎ ‎180÷60=3（小时）‎ 由于是中午12点时既响铃又亮灯，所以下一次既响铃又亮灯是下午3点钟。‎ 627‎ 答略。‎ ‎*例8 一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？（适于六年级程度）‎ 解：这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：‎ ‎96÷4+1=25（个）‎ 后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。‎ ‎96÷12+1=9（个）‎ ‎96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。‎ 答略。‎ 例9 一项工程，甲队单独做需要18天，乙队单独做需要24天。两队合作8天后，余下的工程由甲队单独做，甲队还要做几天？（适于六年级程度）‎ 解：由18、24的最小公倍数是72，可把全工程分为72等份。‎ ‎72÷18=4（份）…………是甲一天做的份数 ‎72÷24=3（份）…………是乙一天做的份数 ‎（4+3）×8=56份）………两队8天合作的份数 ‎72-56=16（份）…………余下工程的份数 ‎16÷4=4（天）……………甲还要做的天数 答略。‎ ‎*例10 甲、乙两个码头之间的水路长234千米，某船从甲码头到乙码头需要9小时，从乙码头返回甲码头需要13小时。求此船在静水中的速度？（适于高年级程度）‎ 解：9、13的最小公倍数是117，可以把两码头之间的水路234千米分成117等份。‎ 每一份是：‎ ‎234÷117=2（千米）‎ 静水中船的速度占总份数的：‎ ‎（13+9）÷2=11（份）‎ 627‎ 船在静水中每小时行：‎ ‎2×11=22（千米）‎ 答略。‎ ‎*例11 王勇从山脚下登上山顶，再按原路返回。他上山的速度为每小时3千米，下山的速度为每小时5千米。他上、下山的平均速度是每小时多少千米？（适于六年级程度）‎ 解：设山脚到山顶的距离为3与5的最小公倍数。‎ ‎3×5=15（千米）‎ 上山用：‎ ‎15÷3=5（小时）‎ 下山用：‎ ‎15÷5=3（小时）‎ 总距离÷总时间=平均速度 ‎（15×2）÷（5+3）=3.75（千米）‎ 答：他上、下山的平均速度是每小时3.75千米。‎ ‎*例12 某工厂生产一种零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时做50个；第二道工序每个工人每小时做30个；第三道工序每个工人每小时做25个。在要求均衡生产的条件下，这三道工序至少各应分配多少名工人？（适于六年级程度）‎ 解：50、30、25三个数的最小公倍数是150。‎ 第一道工序至少应分配：‎ ‎150÷50=3（人）‎ 第二道工序至少应分配：‎ ‎150÷30=5（人）‎ 第三道工序至少应分配：‎ ‎150÷25=6（人）‎ 答略。‎ 627‎ 第三十四讲 解平均数问题的方法 已知几个不相等的数及它们的份数，求总平均值的问题，叫做平均数问题。 ‎ 解答平均数问题时，要先求出总数量和总份数。总数量是几个数的和，总份数是这几个数的份数的和。解答这类问题的公式是；‎ 总数量÷总份数=平均数 例1 气象小组在一天的2点、8点、14点、20点测得某地的温度分别是13摄氏度、16摄氏度、25摄氏度、18摄氏度。算出这一天的平均温度。（适于四年级程度）‎ 解：本题可运用求平均数的解题规律“总数量÷总份数=平均数”进行计算。这里的总数量是指测得的四个温度的和，即13摄氏度、16摄氏度、25摄氏度、18摄氏度的和；这里的总份数是指测量气温的次数，一天测量四次气温，所以总份数为4。‎ ‎（13+16+25+18）÷4‎ ‎=72÷4‎ ‎=18（摄氏度）‎ 答：这一天的平均气温为18摄氏度。‎ 例2 王师傅加工一批零件，前3天加工了148个，后4天加工了167个。王师傅平均每天加工多少个零件？（适于四年级程度）‎ 解：此题的总数量是指前3天和后4天一共加工的零件数，总份数是指前、后加工零件的天数之和。用总数量除以总份数，便求出平均数。‎ 前、后共加工的零件数：‎ ‎148+167=315（个）‎ 前、后加工零件共用的天数：‎ ‎3+4=7（天）‎ 平均每天加工的零件数：‎ ‎315÷7=45（个）‎ 综合算式：‎ ‎（148+167）÷（3+4）‎ ‎＝315÷7‎ 627‎ ‎=45（个）‎ 答：平均每天加工45个零件。‎ 例3 某工程队铺一段自来水管道。前3天每天铺150米，后2天每天铺200米，正好铺完。这个工程队平均每天铺多少米？（适于四年级程度）‎ 解：本题的总数量是指工程队前3天、后2天一共铺自来水管道的米数。总份数是指铺自来水管道的总天数。用铺自来水管道的总米数除以铺自来水管道的总天数，就可以求出平均每天铺的米数。‎ 前3天铺的自来水管道米数：‎ ‎150×3=450（米）‎ 后2天铺的自来水管道米数：‎ ‎200×2=400（米）‎ 一共铺的自来水管道米数：‎ ‎450+400=850（米）‎ 一共铺的天数：‎ ‎3+2=5（天）‎ 平均每天铺的米数：‎ ‎850÷5=170（米）‎ 综合算式：‎ ‎（150×3+200×2）÷（3+2）‎ ‎＝（450+400）÷5‎ ‎＝850÷5‎ ‎＝170（米）‎ 答略。‎ 例4 有两块实验田，第一块有地3.5亩，平均亩产小麦480千克；第二块有地1.5亩，共产小麦750千克。这两块地平均亩产小麦多少千克？（适于四年级程度）‎ 解：本题的总数量是指两块地小麦的总产量，总份数是指两块地的总亩数，用两块地的总产量除以两块地的总亩数，可求出两块地平均亩产小麦多少千克。‎ 627‎ ‎3.5亩共产小麦：‎ ‎480×3.5=1680（千克）‎ 两块地总产量：‎ ‎1680+750=2430（千克）‎ 两块地的总亩数：‎ ‎3.5+1.5=5（亩）‎ 两块地平均亩产小麦：‎ ‎2430÷5=486（千克）‎ 综合算式：‎ ‎（480×3.5+750）÷（3.5+1.5）‎ ‎＝（1680+750）÷5‎ ‎＝2430÷5‎ ‎=486（千克）‎ 答略。‎ 例5 东风机器厂，五月份上半月的产值是125.2万元，比下半月的产值少70万元。这个厂五月份平均每天的产值是多少万元？（适于四年级程度）‎ 解：本题的总数量是指五月份的总产值。五月份上半月的产值是125.2万元，比下半月的产值少70万元，也就是下半月比上半月多70万元，所以下半月产值为125.2+70=195.2（万元）。把上半月的产值和下半月的产值相加，求出五月份的总产值。‎ 本题的总份数是指五月份的实际天数。五月份为大月，共有31天。用五月份的总产值除以五月份的实际天数，可求出五月份平均每天的产值是多少万元。‎ 下半月产值：‎ ‎125.2+70=195.2（万元）‎ 五月份的总产值：‎ ‎125.2+195.2=320.4（万元）‎ 五月份平均每天的产值：‎ 627‎ ‎320.4÷31≈10.3（万元）‎ 综合算式：‎ ‎（125.2+125.2+70）÷31‎ ‎=320.4÷31‎ ‎≈10.3（万元）‎ 答略。‎ 例6 崇光轴承厂六月上旬平均每天生产轴承527只，中旬生产5580只，下旬生产5890只。这个月平均每天生产轴承多少只？（适于四年级程度）‎ 解：本题的总数量是指六月份生产轴承的总只数，总份数是指六月份生产轴承的总天数。用六月份生产轴承的总只数除以六月份的总天数，可求出六月份平均每天生产轴承数。‎ 六月上旬生产轴承的只数：‎ ‎527×10=5270（只）‎ 六月中、下旬共生产轴承：‎ ‎5580+5890=11470(只）‎ 六月份共生产轴承：‎ ‎5270+11470=16740（只）‎ 六月份平均每天生产轴承：‎ ‎16740÷30=558（只）‎ 综合算式：‎ ‎（527×10+5580+5890）÷30‎ ‎=（5270+5580+5890）÷30‎ ‎=16740÷30‎ ‎=558（只）‎ 答略。‎ 例7 糖果店配混合糖，用每千克4.8元的奶糖5千克，每千克3.6元的软糖10千克，每千克2.4元的硬糖10千克。这样配成的混合糖，每千克应卖多少元？（适于四年级程度）‎ 627‎ 解：本题中的总数量是指三种糖的总钱数；总份数是指三种糖的总重量。总钱数除以总重量，可求出每千克混合糖应卖多少钱。‎ 三种糖总的钱数：‎ ‎4.8×5+3.6×10+2.4×10‎ ‎=24+36+24‎ ‎=84（元）‎ 三种糖的总的重量：‎ ‎5+10+10=25（千克）‎ 每千克混合糖应卖的价钱：‎ ‎84÷25=3.36（元）‎ 综合算式：‎ ‎（4.8×5+3.6×10+2.4×10）÷(5+10+10）‎ ‎＝84÷25‎ ‎＝3.36（元）‎ 答略。‎ 例8 一辆汽车从甲地开往乙地，在平地上行驶了2.5小时，每小时行驶42千米；在上坡路行驶了1.5小时，每小时行驶30千米；在下坡路行驶了2小时，每小时行驶45千米，就正好到达乙地。求这辆汽车从甲地到乙地的平均速度。（适于四年级程度）‎ 解：本题中的总数量是由甲地到乙地的总路程：‎ ‎42×2.5+30×1.5+45×2‎ ‎=105+45+90‎ ‎=240（千米）‎ 本题中的总份数是由甲地到乙地所用的时间：‎ ‎2.5+1.5+2=6（小时）‎ 这辆汽车从甲地到乙地的平均速度是：‎ ‎240÷6=40（千米/小时）‎ 627‎ 综合算式：‎ ‎（42×2.5+30×1.5+45×2）÷（2.5+1.5+2）‎ ‎＝240÷6‎ ‎＝40（千米/小时）‎ 答略。‎ ‎*例9 学校发动学生积肥支援农业，三年级85人积肥3640千克，四年级92人比三年级多积肥475千克，五年级的人数比四年级多3人，积肥数比三年级多845千克。三个年级的学生平均每人积肥多少千克？（适于四年级程度）‎ 解：本题中的总数量是三个年级积肥的总重量。已知三年级积肥3640千克。‎ 四年级积肥：‎ ‎3640+475=4115（千克）‎ 五年级积肥：‎ ‎3640+845=4485（千克）‎ 三个年级共积肥：‎ ‎3640+4115+4485=12240（千克）‎ 本题中的总份数就是三个年级学生的总人数。三年级学生人数是85人已知，四年级学生人数是92人已知，五年级学生人数是：‎ ‎92+3=95（人）‎ 三个年级学生的总人数是：‎ ‎85+92+95=272（人）‎ 三个年级的学生平均每人积肥：‎ ‎12240÷272=45（千克）‎ 综合算式：‎ ‎（3640×3+475+845）÷（85+92×2+3）‎ ‎=12240÷272‎ ‎=45（千克）‎ 627‎ 答略。‎ 例10 山上某镇离山下县城有60千米的路程。一人骑自行车从该镇出发去县城，每小时行20千米。从县城返回该镇时，由于是上坡路，每小时只行了15千米。问此人往返一次平均每小时行了多少千米？（适于四年级程度）‎ 解：本题中的总数量是从某镇到县城往返一次的总路程：‎ ‎60×2=120（千米）‎ 总份数是往返一次用的时间：‎ ‎60÷20+6O÷15‎ ‎=3+4‎ ‎=7（小时）‎ 此人往返一次平均每小时行的路程是：‎ ‎120÷7≈17.14（千米）‎ 综合算式：‎ ‎60×2÷（60÷20+60÷15）‎ ‎＝120÷(3+4）‎ ‎＝120÷7‎ ‎≈17.14（千米）‎ 答略。‎ ‎*例11 有两块棉田，平均亩产皮棉91.5千克。已知一块田是3亩，平均亩产皮棉104千克。另一块田是5亩，求这块田平均亩产皮棉多少千克？（适于四年级程度）‎ 解：两块棉田皮棉的总产量是：‎ ‎91.5×（3+5）=732（千克）‎ ‎3亩的那块棉田皮棉的产量是：‎ ‎104×3=312（千克）‎ 另一块棉田皮棉的平均亩产量是：‎ ‎（732-312）÷5‎ 627‎ ‎＝420÷5‎ ‎＝84（千克）‎ 综合算式：‎ ‎[91.5×（3+5）-104×3］÷5‎ ‎＝[732-312]÷5‎ ‎＝420÷5‎ ‎＝84（千克）‎ 答略。‎ ‎*例12 王伯伯钓鱼，前4天共钓了36条，后6天平均每天比前4天多钓了5条。问王伯伯平均每天钓鱼多少条？（适于四年级程度）‎ 解（1）：题中前4天共钓36条已知，后6天共钓鱼：‎ ‎（36÷4+5）×6‎ ‎=14×6‎ ‎=84（条）‎ 一共钓鱼的天数是：‎ ‎4+6=10（天）‎ ‎10天共钓鱼：‎ ‎36+84=120（条）‎ 平均每天钓鱼：‎ ‎120÷10=12（条）‎ 综合算式：‎ ‎[36+（36÷4+5）×6]÷（4+6）‎ ‎=[36+84]÷10‎ ‎=120÷10‎ ‎=12（条）‎ 627‎ 答略。‎ 解（2）：这道题除用一般方法解之外，还可将后6天多钓的鱼按10天平均后，再加上原来4天的平均钓鱼数。‎ ‎（5×6）÷（4+6）+36÷4‎ ‎=3+9‎ ‎=12（条）‎ 答：王伯伯平均每天钓鱼12条。‎ 例13 一个小朋友爬山，上山速度为每小时2千米，到达山顶后立即按原路下山，下山速度为每小时6千米。这个小朋友上、下山的平均速度是多少？（适于四年级程度）‎ 解：本题的总数量是上山、下山的总路程，题中没有说总路程是多少。假设上山的路程是1千米，那么下山的路程也是1千米，上山、下山的总路程是2千米。‎ 本题的总份数是上山、下山总共用的时间。‎ 上山、下山总共用的时间是：‎ 所以，上山、下山的平均速度是：‎ 答略。‎ 例14 某厂一、二月份的平均产值是1.2万元，三月份的产值比第一季度的平均月产值还多0.4万元。这个工厂三月份的产值是多少万元？（适于四年级程度）‎ 解：此题数量关系比较隐蔽，用“总数量÷总份数”的方法做不出来。作图（34-1）。从图34-1可以看出，一、二月份的平均产值都是1.2万元。题中说“三月份的产值比第一季度的平均月产值还多0.4万元”，那么三月份的产值一定比一、二月份的平均产值要高，所以图34-1中表示三月份产值的线段比表示一、二月份平均产值的线段长。‎ 627‎ 第一季度的平均产值是多少万元呢？‎ 我们用“移多补少”的方法，把图34-1中三月份的0.4万元平均分成2份，分别加到一、二月份的产值上，这样就得到第一季度的平均产值了。‎ ‎1.2+0.4÷2=1.4（万元）‎ 因为三月份的产值比第一季度的平均月产值还多0.4万元，所以三月份的产值是：‎ ‎1.4+0.4=1.8（万元）‎ 综合算式：‎ ‎1.2+0.4÷2+0.4‎ ‎=1.4+0.4‎ ‎=1.8（万元）‎ 答略。‎ ‎*例15 苹果2千克卖2元钱，梨3千克卖2元钱。把每一筐15千克的梨、苹果各一筐掺到一起，按2元钱2.5千克来卖，是挣钱，还是赔钱？按照前面的标准价计算差了多少元？（适于四年级程度）‎ 解：苹果的单价是每1千克1元钱，梨的单价是每1千克2/3元，混合后每1千克混合水果的价钱应当是：‎ 因为是把每一筐15千克的梨、苹果各一筐掺合到一起，所以混合的水果一共是30千克，这30千克水果要少卖钱：‎ 627‎ 答：混合后是赔钱，照标准价差了1元钱。‎ ‎*例16 三块小麦实验田的平均亩产量是267.5千克。已知第一块地是3亩，平均亩产量是275千克；第二块是5亩，平均亩产量是285千克；而第三块地的平均亩产量只有240千克。第三块地是多少亩？（适于四年级程度）‎ 解：第三块地的亩产量比总平均亩产量低：‎ ‎267.5-240=27.5（千克）‎ 每亩低27.5千克，需要第一、二两块地可拿出多少千克来填补呢？‎ ‎（275-267.5）×3+（285-267.5）×5‎ ‎=7.5×3+17.5×5‎ ‎=22.5+87.5‎ ‎=110（千克）‎ ‎110千克中含有多少个27.5千克，第三块地就是多少亩。‎ ‎110÷27.5=4（亩）‎ 综合算式：‎ ‎[（275-267.5）×3+（285-267.5）×5]÷（267.5-240）‎ ‎=[22.5+87.5]÷27.5‎ ‎=110÷27.5‎ ‎=4（亩）‎ 答：第三块地是4亩。‎ 第三十五讲 解行程问题的方法 已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫做行程问题。 ‎ 解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间和路程的关系进行计算。‎ 行程问题的基本数量关系是：‎ 速度×时间=路程 627‎ 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度 行程问题常见的类型是：相遇问题，追及问题（即同向运动问题），相离问题（即相背运动问题）。‎ ‎（一）相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。‎ 小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。‎ 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。‎ 它们的基本关系式如下：‎ 总路程=（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）‎ 另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度 ‎1.求路程 ‎（1）求两地间的距离 例1 两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行56千米，另一辆汽车每小时行63千米，经过4小时后相遇。甲乙两地相距多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时。一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是它行驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是这辆汽车行驶的路程。两车行驶路程之和，就是两地距离。‎ ‎56×4=224（千米）‎ ‎63×4=252（千米）‎ ‎224+252=476（千米）‎ 综合算式：‎ ‎56×4+63×4‎ ‎=224+252‎ ‎=476（千米）‎ 627‎ 答略。‎ 例2 两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶42千米。5小时后，两列火车相距多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：此题的答案不能直接求出，先求出两车5小时共行多远后，从两地的距离480千米中，减去两车5小时共行的路程，所得就是两车的距离。‎ ‎480-（40+42）×5‎ ‎=480-82×5‎ ‎=480-410‎ ‎=70（千米）‎ 答：5小时后两列火车相距70千米。‎ 例3 甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米。二人第一次相遇后，都继续前进，分别到达B、A两地后又立即按原速度返回。从开始走到第二次相遇，共用了6小时。A、B两地相距多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：从开始走到第一次相遇，两人走的路程是一个AB之长；而到第二次相遇，两人走的路程总共就是3个AB之长（图35-1），这三个AB之长是： ‎ ‎（5+4）×6=54（千米）‎ 所以，A、B两地相距的路程是：‎ ‎54÷3=18（千米）‎ 答略。‎ 例4 两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶60千米，第二列火车每小时行驶55千米。两车相遇时，第一列火车比第二列火车多行了20千米。求甲、乙两地间的距离。（适于五年级程度）‎ 解：两车相遇时，两车的路程差是20千米。出现路程差的原因是两车行驶的速度不同，第一列火车每小时比第二列火车多行（60-55）千米。由此可求出两车相遇的时间，进而求出甲、乙两地间的距离。‎ ‎（60+55）×[20÷（60-55）]‎ ‎=115×[20÷5]‎ 627‎ ‎=460（千米）‎ 答略。‎ ‎*例5 甲、乙二人同时从A、B两地相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走5千米，两个人在距离中点1.5千米的地方相遇。求A、B两地之间的距离。（适于五年级程度）‎ 解：由题意可知，当二人相遇时，甲比乙多走了1.5×2千米（图35-2），甲比乙每小时多行（6-5）千米。由路程差与速度差，可求出相遇时间，进而求出A、B两地之间的距离。‎ ‎（6+5）×[1.5×2÷（6-5）]‎ ‎=11×[1.5×2÷1]‎ ‎=11×3‎ ‎=33（千米）‎ 答略。‎ 由两车“在离中点2千米处相遇”可知，甲车比乙车少行：‎ ‎2×2=4（千米）‎ 所以，乙车行的路程是：‎ 627‎ 甲车行的路程是：‎ A、B两站间的距离是：‎ ‎24+20=44（千米）‎ 答略。‎ 同普通客车相遇。甲、乙两城间相距多少千米？（适于六年级程度）‎ 快车从乙城开出，普通客车与快车相对而行。已知普通客车每小时行60千米，快车每小时行80千米，可以求出两车速度之和。又已知两车相遇时间，可以按“速度之和×相遇时间”，求出两车相对而行的总行程。普通客车已行驶 普通客车与快车速度之和是：‎ ‎60+80=140（千米/小时）‎ 两车相对而行的总路程是：‎ ‎140×4=560（千米）‎ 两车所行的总路程占全程的比率是：‎ 甲、乙两城之间相距为：‎ 627‎ 综合算式：‎ 答略。‎ ‎2）求各行多少 ‎ 例1 两地相距37.5千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行，甲每小时走3.5千米，乙每小时走4千米。相遇时甲、乙二人各走了多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：到甲、乙二人相遇时所用的时间是：‎ ‎37.5÷（3.5+4）=5（小时）‎ 甲行的路程是：‎ ‎3.5×5=17.5（千米）‎ 乙行的路程是：‎ ‎4×5=20（千米）‎ 答略。‎ 例2 甲、乙二人从相距40千米的两地同时相对走来，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米。相遇后他们又都走了1小时。两人各走了多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：到甲、乙二人相遇所用的时间是：‎ ‎40÷（4+6）=4（小时）‎ 由于他们又都走了1小时，因此两人都走了：‎ ‎4+1=5（小时）‎ 甲走的路程是：‎ ‎4×5=20（千米）‎ 627‎ 乙走的路程是：‎ ‎6×5=30（千米）‎ 答略。‎ 例3 两列火车分别从甲、乙两个火车站相对开出，第一列火车每小时行48.65千米，第二列火车每小时行47.35千米。在相遇时第一列火车比第二列火车多行了5.2千米。到相遇时两列火车各行了多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：两车同时开出，行的路程有一个差，这个差是由于速度不同而形成的。可以根据“相遇时间=路程差÷速度差”的关系求出相遇时间，然后再分别求出所行的路程。‎ 从出发到相遇所用时间是：‎ ‎5.2÷（48.65-47.35）‎ ‎=5.2÷1.3‎ ‎=4（小时）‎ 第一列火车行驶的路程是：‎ ‎48.65×4=194.6（千米）‎ 第二列火车行驶的路程是：‎ ‎47.35×4=189.4（千米）‎ 答略。‎ ‎*例4 东、西两车站相距564千米，两列火车同时从两站相对开出，经6小时相遇。第一列火车比第二列火车每小时快2千米。相遇时这两列火车各行了多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：两列火车的速度和是：‎ ‎564÷6=94（千米/小时）‎ 第一列火车每小时行：‎ ‎（94+2）÷2=48（千米）‎ 第二列火车每小时行：‎ ‎48-2=46（千米）‎ 相遇时，第一列火车行：‎ 627‎ ‎48×6=288（千米）‎ 第二列火车行：‎ ‎46×6=276（千米）‎ 答略。‎ ‎2.求相遇时间 例1 两个城市之间的路程是500千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车的平均速度是每小时55千米，货车的平均速度是每小时45千米。两车开了几小时以后相遇？（适于五年级程度）‎ 解：已知两个城市之间的路程是500千米，又知客车和货车的速度，可求出两车的速度之和。用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两车相遇的时间。‎ ‎500÷（55+45）‎ ‎=500÷100‎ ‎=5（小时）‎ 答略。‎ 例2 两地之间的路程是420千米，一列客车和一列货车同时从两个城市 答略。‎ 例3 在一次战役中，敌我双方原来相距62.75千米。据侦察员报告，敌人已向我处前进了11千米。我军随即出发迎击，每小时前进6.5千米，敌人每小时前进5千米。我军出发几小时后与敌人相遇？（适于五年级程度）‎ 627‎ 解：此题已给出总距离是62.75千米，由“敌人已向我处前进了11千米”可知实际的总距离减少到（62.75-11）千米。‎ ‎（62.75-11）÷（6.5+5）‎ ‎=51.75÷11.5‎ ‎=4.5（小时）‎ 答：我军出发4.5小时后与敌人相遇。‎ 例4 甲、乙两地相距200千米，一列货车由甲地开往乙地要行驶5小时；一列客车由乙地开往甲地需要行驶4小时。如果两列火车同时从两地相对开出，经过几小时可以相遇？（得数保留一位小数）（适于五年级程度）‎ 解：此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。先分别求出速度再求和，根据“时间=路程÷速度”的关系，即可求出相遇时间。‎ ‎200÷（200÷5+200÷4）‎ ‎=200÷（40+50）‎ ‎=200÷90‎ ‎≈2.2（小时）‎ 答：两车大约经过2.2小时相遇。‎ 例5 在复线铁路上，快车和慢车分别从两个车站开出，相向而行。快车车身长是180米，速度为每秒钟9米；慢车车身长210米，车速为每秒钟6米。从两车头相遇到两车的尾部离开，需要几秒钟？（适于五年级程度）‎ 解：因为是以两车离开为准计算时间，所以两车经过的路程是两个车身的总长。总长除以两车的速度和，就得到两车从相遇到车尾离开所需要的时间。‎ ‎（180+210）÷（9+6）‎ ‎=390÷15‎ ‎=26（秒）‎ 答略。‎ ‎3.求速度 例1 甲、乙两个车站相距550千米，两列火车同时由两站相向开出，5小时相遇。快车每小时行60千米。慢车每小时行多少千米？（适于五年级程度）‎ 627‎ 解：先求出速度和，再从速度和中减去快车的速度，便得出慢车每小时行：‎ ‎550÷5-60‎ ‎=110-60‎ ‎=50（千米）‎ 答略。‎ 例2 A、B两个城市相距380千米。客车和货车从两个城市同时相对开出，经过4小时相遇。货车比客车每小时快5千米。这两列车每小时各行多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：客车每小时行：‎ ‎（380÷4-5）÷2‎ ‎=（95-5）÷2‎ ‎=45（千米）‎ 货车每小时行：‎ ‎45+5=50（千米）‎ 答略。‎ 例3 甲、乙两个城市相距980千米，两列火车由两城市同时相对开出，经过10小时相遇。快车每小时行50千米，比慢车每小时多行多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：两城市的距离除以两车相遇的时间，得到两车的速度和。从两车的速度和中减去快车的速度，得到慢车的速度。再用快车速度减去慢车的速度，即得到题中所求。‎ ‎50-（980÷10-50）‎ ‎=50-（98-50）‎ ‎=50-48‎ ‎=2（千米）‎ 答略。‎ 例4 甲、乙两地相距486千米，快车与慢车同时从甲、乙两地相对开出，经过6小时相遇。已知快车与慢车的速度比是5∶4。求快车和慢车每小时各行多少千米？（适于六年级程度）‎ 627‎ 两车的速度和是：‎ ‎486÷6=81（千米/小时）‎ 快车每小时行：‎ 慢车每小时行：‎ 答略。‎ 例5 两辆汽车同时从相距465千米的两地相对开出，4.5小时后两车还相距120千米。一辆汽车每小时行37千米。另一辆汽车每小时行多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：如果两地间的距离减少120千米，4.5小时两车正好相遇。也就是两车4.5小时行465-120=345千米，345千米除以4.5小时，可以求出两车速度之和。从速度之和减去一辆车的速度，得到另一辆车的速度。‎ 答略。‎ 例6 甲、乙两人从相距40千米的两地相向而行。甲步行，每小时走5千米，先出发0.8小时。乙骑自行车，骑2小时后，两人在某地相遇。乙骑自行车每小时行多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：两人相遇时，甲共走：‎ ‎0.8+2=2.8（小时）‎ 甲走的路程是：‎ ‎5×2.8=14（千米）‎ 627‎ 乙在2小时内行的路程是：‎ ‎40-14=26（千米）‎ 所以，乙每小时行：‎ ‎26÷2=13（千米）‎ 综合算式：‎ ‎[40-5×（0.8+2）]÷2‎ ‎=[40-5×2.8]÷2‎ ‎=[40-14]÷2‎ ‎=26÷2‎ ‎=13（千米）‎ 答略。‎ 例7 甲、乙二人从相距50千米的两地相对而行。甲先出发，每小时步行5千米。1小时后乙骑自行车出发，骑了2小时，两人相距11千米。乙每小时行驶多少千米？（适于五年级程度）‎ 解：从相距的50千米中，去掉甲在1小时内先走的5千米，又去掉相隔的11千米，便得到：‎ ‎50-5-11‎‎=34（千米）‎ 这时，原题就改变成“两地相隔34千米，甲、乙二人分别从两地同时相对而行。甲步行，乙骑自行车，甲每小时走5千米。经过2小时两人相遇。乙每小时行多少千米？”‎ 由此可知，二人的速度和是：‎ ‎34÷2=17（千米/小时）‎ 乙每小时行驶的路程是：‎ ‎17-5=12（千米）‎ 综合算式：‎ ‎（‎50-5-11‎）÷2-5‎ ‎=34÷2-5‎ 627‎ ‎=17-5‎ ‎=12（千米）‎ 答略。‎ ‎（二）追及问题 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。‎ 根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：‎ 距离差=速度差×追及时间 追及时间=距离差÷速度差 速度差=距离差÷追及时间 速度差=快速-慢速 解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。‎ ‎*例1 甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。他们同时向同一个方向前进。甲在前，以每小时5千米的速度步行；乙在后，以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。几小时后乙能追上甲？（适于高年级程度）‎ 解：求乙几小时追上甲，先求乙每小时能追上甲的路程，是：‎ ‎10-5=5（千米）‎ 再看，相差的路程9千米中含有多少个5千米，即得到乙几小时追上甲。‎ ‎9÷5=1.8（小时）‎ 综合算式：‎ ‎9÷（10-5）‎ ‎=9÷5‎ ‎=1.8（小时）‎ 答略。‎ ‎*例2 甲、乙二人在相距6千米的两地，同时同向出发。乙在前，每小时行5千米；甲在后，每小时的速度是乙的1.2倍。甲几小时才能追上乙？（适于高年级程度）‎ 627‎ 解：甲每小时行：‎ ‎5×1.2=6（千米）‎ 甲每小时能追上乙：‎ ‎6-5=1（千米）‎ 相差的路程6千米中，含有多少个1千米，甲就用几小时追上乙。‎ ‎6÷1=6（小时）‎ 答：甲6小时才能追上乙。‎ ‎*例3 甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙？（适于高年级程度）‎ 解：此题的运动路线是环形的。求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平时所说的“落一圈”，这一圈相当于在直线上的400米，也就是追及的路程。因此，甲追上乙的时间是：‎ ‎400÷（350-250）‎ ‎=400÷100‎ ‎=4（分钟）‎ 答略。‎ ‎*例4 在解放战争的一次战役中，我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地，正以每小时5.5千米的速度向南逃窜，我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。在追上敌人后，只用半小时就全歼敌军。从开始追击到全歼敌军，共用了多长时间？（适于高年级程度）‎ 解：敌我两军行进的速度差是：‎ ‎8.5-5.5=3（千米/小时）‎ 我军追上敌军用的时间是：‎ ‎6÷3=2（小时）‎ 从开始追击到全歼敌军，共用的时间是：‎ ‎2+0.5=2.5（小时）‎ 综合算式：‎ ‎60÷（8.5-5.5）+0.5‎ 627‎ ‎=6÷3+0.5‎ ‎=2.5（小时）‎ 答略。‎ ‎*例5 一排解放军从驻地出发去执行任务，每小时行5千米。离开驻地3千米时，排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。通讯员以每小时10千米的速度回到驻地，取了地图立即返回。通讯员从驻地出发，几小时可以追上队伍？（适于高年级程度）‎ 解：通讯员离开队伍时，队伍已离开驻地3千米。通讯员的速度等于队伍的2倍（10÷5=2），通讯员返回到驻地时，队伍又前进了（3÷2）千米。这样，通讯员需追及的距离是（3+3÷2）千米，而速度差是（10-5）千米/小时。‎ 根据“距离差÷速度差=时间”可以求出追及的时间。‎ ‎（3+3÷2）÷（10-5）‎ ‎=4.5÷5‎ ‎=0.9（小时）‎ 答略。‎ ‎（三）相离问题 相离问题就是两个人或物体向相反方向运动的应用题，也叫做相背运动问题。‎ 解相离问题一般遵循“两个人或物体出发地之间的距离+速度和×时间=两个人或物体之间的距离”。‎ 例1 哥哥由家向东到工厂去上班，每分钟走85米，弟弟同时由家往西到学校去上学，每分钟走75米。几分钟后二人相距960米？（适于四年级程度）‎ 解：二人同时、同地相背而行，只要求出速度和，由“时间=距离÷速度和”即可求出所行时间。因此，得：‎ ‎960÷（85+75）‎ ‎=960÷160‎ ‎=6（分钟）‎ 答略。‎ 例2 甲、乙二人从同一城镇某车站同时出发，相背而行。甲每小时行6千米，乙每小时行7千米。8小时后，甲、乙二人相距多少千米？（适于四年级程度）‎ 627‎ 解：先求出二人速度之和，再乘以时间就得到二人之间的距离。‎ ‎（6+7）×8‎ ‎=13×8‎ ‎=104（千米）‎ 答略。‎ ‎*例3 东、西两镇相距69千米。张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行，6小时后二人分别到达东、西两镇。已知张每小时比王多行1.5千米。二人每小时各行多少千米？出发地距东镇有多少千米？（适于高年级程度）‎ 解：由二人6小时共行69千米，可求出他们的速度和是（69÷6）千米/小时。张每小时比王多行1.5千米，这是他们的速度差。从而可以分别求出二人的速度。‎ 张每小时行：‎ ‎（69÷6+1.5）÷2‎ ‎=（11.5+1.5）÷2‎ ‎=13÷2‎ ‎=6.5（千米）‎ 王每小时行：‎ ‎6.5-1.5=5（千米）‎ 出发地距东镇的距离是：‎ ‎6.5×6=39（千米）‎ 答：张每小时行6.5千米，王每小时行5千米；出发地到东镇的距离是39千米。‎ 第三十六讲 解工程问题的方法 工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。这三者之间的关系是： ‎ 工作效率×工作时间=工作量 工作量÷工作时间=工作效率 627‎ 工作量÷工作效率=工作时间 根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。‎ 由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类。在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。解答这类问题时，只要按照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。在分数工程问题中，工作量是未知数量。解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算，但在计算过程中要涉及到分率。‎ ‎（一）工作总量是具体数量的工程问题 例1 建筑工地需要1200吨水泥，用甲车队运需要15天，用乙车队运需要10天。两队合运需要多少天？（适于四年级程度）‎ 解：这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量1200吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。先根据“工作量÷工作时间=工作效率”，分别求出甲、乙两队的工作效率。再根据两队工作效率的和及总工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作时间”，求出两队合运需用多少天。‎ 甲车队每天运的吨数：（甲车队工作效率）‎ ‎1200÷15=80（吨）‎ 乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率）‎ ‎1200÷10=120（吨）‎ 两个车队一天共运的吨数：‎ ‎80+120=200（吨）‎ 两个车队合运需用的天数：‎ ‎1200÷200=6（天）‎ 综合算式：‎ ‎1200÷（1200÷15+1200÷10）‎ ‎=1200÷（80+120）‎ ‎=1200÷200‎ ‎=6（天）‎ 答略。‎ 627‎ ‎*例2 生产350个零件，李师傅14小时可以完成。如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成。如果小王单独做这批零件，需多少小时？（适于四年级程度）‎ 解：题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。‎ 李师傅1小时可完成：‎ ‎350÷14=25（个）‎ 由“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成”可知，李师傅和徒弟小王每小时完成：‎ ‎350÷10=35（个）‎ 小王单独工作一小时可完成：‎ ‎35-25=10（个）‎ 小王单独做这批零件需要：‎ ‎350÷10=35（小时）‎ 综合算式：‎ ‎350÷（350÷10-350÷14）‎ ‎=350÷（35-25‎ ‎=350÷10‎ ‎=35（小时）‎ 答略。‎ ‎*例3 把生产2191打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。甲组每小时生产毛巾128打，乙组每小时生产毛巾160打。乙组生产2小时后，甲组也开始生产。两组同时完工时超产1打。乙组生产了多长时间？（适于四年级程度）‎ 解：两组共同生产的总任务是：‎ ‎2191-160×2+1=1872（打）‎ 两组共同生产的时间是：‎ ‎1872÷（160+128）=6.5（小时）‎ 乙组生产的时间是：‎ 627‎ ‎6.5+2=8.5（小时）‎ 综合算式：‎ ‎（2191-160×2+1）÷（160+128）+2‎ ‎=1872÷288+2‎ ‎=6.5+2‎ ‎=8.5（小时）‎ 答略。‎ 一同生产用了多少小时？（适于六年级程度）‎ 解：两台机器一同生产的个数是：‎ ‎108-45=63（个）‎ 第一台机器每小时生产：‎ 第二台机器每小时生产：‎ 两台机器一同生产用的时间是：‎ ‎63÷（4+5）=7（小时）‎ 综合算式：‎ 答略。‎ 627‎ ‎（二）工作总量不是具体数量的工程问题 例1 一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做16天完成。甲、乙两队合做，多少天可以完成？（适于六年级程度）‎ 解：把这项工程的工作总量看作1。甲队单独做24天完成，做1天完成 答略。‎ 例2 一项工程，由甲工程队修建需要20天，由乙工程队修建需要30‎ 解：把这项工程的工作总量看作1，由甲工程队修建需要20天，知甲工 ‎ 答略。‎ 例3 一项工程，甲、乙合做5天可以完成，甲单独做15天可以完成。乙单独做多少天可以完成？（适于六年级程度）‎ 627‎ 解：把这项工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合 需要多长的时间。‎ ‎=7.5（天）‎ 答：乙单独做7.5天可以完成。‎ 例4 有一个水箱，用甲水管注水10分钟可以注满，用乙水管注水8分钟可以注满。甲、乙两管同时开放2分钟后，注入水箱中的水占水箱容量的几分之几？（适于六年级程度）‎ 解：把水箱的容量看作1。用甲水管注水10分钟可以注满，则甲水管1‎ 的：‎ 答略。‎ 例5 一项工程，由甲、乙、丙三人各自单独做分别要用6天、3天、2天完成任务。如果三人合作需要几天完成任务？（适于六年级程度）‎ 解：甲、乙、丙三人各自单独做分别要用6天、3天、2天完成任务，‎ 627‎ ‎=1（天）‎ 答略。‎ 所以，乙单独做可以完成的时间是：‎ 综合算式：‎ ‎=6（天）‎ 答略。‎ 以完成？（适于六年级程度）‎ 解：甲队独做3天，乙队独做5天所完成的工作量，相当于甲乙两队合做3天，乙队再独做2天所完成的工作量。这时完成了全工程的：‎ 627‎ 乙队单独做完成的时间是：‎ 答略。‎ ‎*例8加工一批零件，甲独做需要3天完成，乙独做需要4天完成。两人同时加工完成任务时，甲比乙多做24个。这批零件有多少个？（适于六年级程度）‎ 解：解这道题的关键是，求出24个零件相当于零件总数的几分之几。‎ 完成任务时甲比乙多做：‎ 627‎ 综合算式：‎ 答略。‎ ‎*例9 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲、乙合做了数天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了14天。乙请假几天？（适于六年级程度）‎ 解：根据“甲单独做20天完成”和“从开工到完成任务共用了14天”，可知甲做了全工程的：‎ 乙做了全工程的：‎ 乙请假的天数是：‎ ‎14-9=5（天）‎ 综合算式：‎ 627‎ 答略。‎ ‎*例10 一项工程，乙队单独做需要15天完成。甲、乙两队合做，比乙队单独做可提前6天完成。如果甲、乙两队合做5天后，再由甲队单独做，甲队还需要多少天才能完成？（适于六年级程度）‎ 解：设这项工程为1，则乙队每天做：‎ 两队合做时每天做：‎ 甲队每天做：‎ 两队合做5天后剩下的工作量是：‎ 甲队做剩的工作还需要的时间是：‎ 综合算式：‎ 答略。‎ 627‎ ‎（三）用解工程问题的方法解其他类型的应用题 例1 甲、乙两地相距487千米。李华驾驶摩托车从甲地到乙地，需要1小时；王明骑自行车从乙地到甲地需要3小时。照这样的速度，两人分别从两地同时相向出发，经过几小时在途中相遇？‎ 一般解法：（适于四年级程度）‎ 用解工程问题的方法解：（适于六年级程度）‎ 把全程看作1。李华驾驶摩托车从甲地到乙地需要1小时，李华的速度就是1；王明骑自行车从乙地到甲地需要3小时，王明每1小时要行全程的 例2 某学校食堂购进一车煤，原计划烧60天。由于改进了炉灶的构造，实际每天比原来少烧10千克，这样这车煤烧了70天。这车煤重多少千克？‎ ‎*一般解法：（适于四年级程度）‎ ‎10×60÷（70-60）×70‎ ‎=4200（千克）‎ 答：这车煤重4200千克。‎ 用解工程问题的方法解：（适于六年级程度）‎ 627‎ 答略。 ‎ 一般解法：（适于六年级程度）‎ 答略。‎ 用解工程问题的方法解：（适于六年级程度）‎ 如果把这批零件的总数作为一项“工程”，以1表示，则这个工厂计划 因此，实际需要的天数是：‎ 627‎ 答略。‎ ‎（四）用份数法解工程问题 例1 一项工程，甲队单独做9天完成，乙队单独做18天完成。甲、乙两队合做4天后，剩下的任务由乙队单独做。乙队还需要几天才能完成？（适于六年级程度）‎ 解：把整个工程的工作量平均分成9×18=162（份）‎ 甲队每天可以完成：‎ ‎162÷9=18（份）‎ 乙队每天可以完成：‎ ‎162÷18=9（份）‎ 甲、乙两队合做每天共完成：‎ ‎18+9=27（份）‎ 两队4天共完成：‎ ‎27×4=108（份）‎ 两队合做4天后，剩下的工程是：‎ ‎162-108=54（份）‎ 剩下的任务由乙队单独做，需要的天数是：‎ ‎54÷9=6（天）‎ 综合算式：‎ ‎[9×18-(9×18÷18+9×18÷9)×4]÷9‎ ‎=[162-108]÷9‎ ‎=6（天）‎ 答略。‎ 例2 一项工程，甲队单独做16天完成，乙队单独做20天完成。甲队先做7天，然后由甲、乙两队合做。甲、乙两队合做还要多少天才能完成？（适于六年级程度）‎ 解：把这项工程的总工作量看做16×20份，则甲队每天做20份，乙队每天做16份。‎ 627‎ 甲队先做7天，完成的工作量是：‎ ‎20×7=140（份）‎ 甲队做7天后，剩下的工作量是：‎ ‎16×20-140=180（份）‎ 甲、乙两队合做，一天可以完成：‎ ‎20+16=36（份）‎ 甲、乙两队合做还需要的天数是：‎ ‎180÷36=5（天）‎ 答略。‎ 例3 一个水池装有进、出水管各一个。单开进水管10分钟可将空池注满，单开出水管12分钟可将满池水放完。若两管齐开多少分钟可将空池注满？（适于六年级程度）‎ 解：把注满全池水所用的时间看作10×12份，当进水管进12份的水量时，出水管可放出10份的水量，进出水相差的水量是：‎ ‎12-10=2（份）‎ 甲、乙两管齐开注满水池所用的时间是：‎ ‎10×12÷2=60（分钟）‎ 答：若两管齐开60分钟可将空池注满。‎ ‎（五）根据时间差解工程问题 例1 师、徒二人共同加工一批零件，需要4小时完成。师傅单独加工这批零件需要5小时完成。师、徒二人共同加工完这批零件时，徒弟加工了30个。这批零件有多少个？（适于六年级程度）‎ 解：从时间差考虑，师、徒共同加工完的时间与师傅单独加工完的时间相差5-4=1（小时）。这说明师傅1小时加工的零件数等于徒弟4小时加工的零件数。‎ 所以，师傅5小时加工的零件就是这批零件的总数：‎ ‎30×5=150（个）‎ 答略。‎ 627‎ 例2 一份稿件需要打字，甲、乙两人合打10天可以完成。甲单独打15天可以完成。乙单独打需要几天完成？（适于六年级程度）‎ 解：从时间差考虑，甲、乙两人合打完成与甲单独打完，两者的时间差是15-10=5（天），这说明甲5天的工作量相当于乙10天的工作量。‎ 那么，甲15天的工作量，乙要工作：‎ ‎10÷5×15=30（天）‎ 答：乙单独打需要30天完成。‎ 例3 一辆快车和慢车同时分别从A、B两站相对开出，经过12小时相遇。已知快车行完全程需要20小时。求两车相遇后慢车还要行多少小时才能到达A站？（适于六年级程度）‎ 解：从时间差考虑，两车相遇与快车行完全程的时间差是20-12=8（小时）。这说明快车8小时行的路程相当于慢车12小时行的路程。那么快车行12小时的路程，慢车要行多长时间？也就是两车相遇后慢车还要行驶而到达A点的时间。‎ ‎12÷8×12=18（小时）‎ 答略。‎ 第三十七讲、解流水问题的方法 流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。 ‎ 流水问题有如下两个基本公式：‎ 顺水速度=船速+水速          （1）‎ 逆水速度=船速-水速          （2）‎ 这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。‎ 公式（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。‎ 公式（2）表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。‎ 根据加减互为逆运算的原理，由公式（1）可得：‎ 水速=顺水速度-船速          （3）‎ 627‎ 船速=顺水速度-水速          （4）‎ 由公式（2）可得：‎ 水速=船速-逆水速度          （5）‎ 船速=逆水速度+水速          （6）‎ 这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。‎ 另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知：‎ 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2    （7）‎ 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2    （8）‎ ‎*例1 一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水流的速度是每小时1千米。此船在静水中的速度是多少？（适于高年级程度）‎ 解：此船的顺水速度是：‎ ‎25÷5=5（千米/小时）‎ 因为“顺水速度=船速+水速”，所以，此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。‎ ‎5-1=4（千米/小时）‎ 综合算式：‎ ‎25÷5-1=4（千米/小时）‎ 答：此船在静水中每小时行4千米。‎ 例2 一只渔船在静水中每小时航行4千米，逆水4小时航行12千米。水流的速度是每小时多少千米？（适于高年级程度）‎ 解：此船在逆水中的速度是：‎ ‎12÷4=3（千米/小时）‎ 因为逆水速度=船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即：‎ ‎4-3=1（千米/小时）‎ 答：水流速度是每小时1千米。‎ 627‎ ‎*例3 一只船，顺水每小时行20千米，逆水每小时行12千米。这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少？（适于高年级程度）‎ 解：因为船在静水中的速度=（顺水速度+逆水速度）÷2，所以，这只船在静水中的速度是：‎ ‎（20+12）÷2=16（千米/小时）‎ 因为水流的速度=（顺水速度-逆水速度）÷2，所以水流的速度是：‎ ‎（20-12）÷2=4（千米/小时）‎ 答略。‎ ‎*例4 某船在静水中每小时行18千米，水流速度是每小时2千米。此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。求甲、乙两地的路程是多少千米？此船从乙地回到甲地需要多少小时？（适于高年级程度）‎ 解：此船逆水航行的速度是：‎ ‎18-2=16（千米/小时）‎ 甲乙两地的路程是：‎ ‎16×15=240（千米）‎ 此船顺水航行的速度是：‎ ‎18+2=20（千米/小时）‎ 此船从乙地回到甲地需要的时间是：‎ ‎240÷20=12（小时）‎ 答略。‎ ‎*例5 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8小时。已知水速为每小时3千米。此船从乙港返回甲港需要多少小时？（适于高年级程度）‎ 解：此船顺水的速度是：‎ ‎15+3=18（千米/小时）‎ 甲乙两港之间的路程是：‎ ‎18×8=144（千米）‎ 此船逆水航行的速度是：‎ 627‎ ‎15-3=12（千米/小时）‎ 此船从乙港返回甲港需要的时间是：‎ ‎144÷12=12（小时）‎ 综合算式：‎ ‎（15+3）×8÷（15-3）‎ ‎=144÷12‎ ‎=12（小时）‎ 答略。‎ ‎*例6 甲、乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中每小时行20千米，水流速度是每小时4千米。求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时？（适于高年级程度）‎ 解：顺水而行的时间是：‎ ‎144÷（20+4）=6（小时）‎ 逆水而行的时间是：‎ ‎144÷（20-4）=9（小时）‎ 答略。‎ ‎*例7 一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时8千米，沿岸边的水流速度是每小时6千米。一只船在河中间顺流而下，6.5小时行驶260千米。求这只船沿岸边返回原地需要多少小时？（适于高年级程度）‎ 解：此船顺流而下的速度是：‎ ‎260÷6.5=40（千米/小时）‎ 此船在静水中的速度是：‎ ‎40-8=32（千米/小时）‎ 此船沿岸边逆水而行的速度是：‎ ‎32-6=26（千米/小时）‎ 此船沿岸边返回原地需要的时间是：‎ 627‎ ‎260÷26=10（小时）‎ 综合算式：‎ ‎260÷（260÷6.‎5-8-6‎）‎ ‎=260÷（‎40-8-6‎）‎ ‎=260÷26‎ ‎=10（小时）‎ 答略。‎ ‎*例8 一只船在水流速度是2500米/小时的水中航行，逆水行120千米用24小时。顺水行150千米需要多少小时？（适于高年级程度）‎ 解：此船逆水航行的速度是：‎ ‎120000÷24=5000（米/小时）‎ 此船在静水中航行的速度是：‎ ‎5000+2500=7500（米/小时）‎ 此船顺水航行的速度是：‎ ‎7500+2500=10000（米/小时）‎ 顺水航行150千米需要的时间是：‎ ‎150000÷10000=15（小时）‎ 综合算式：‎ ‎150000÷（120000÷24+2500×2）‎ ‎=150000÷（5000+5000）‎ ‎=150000÷10000‎ ‎=15（小时）‎ 答略。‎ ‎*例9 一只轮船在208千米长的水路中航行。顺水用8小时，逆水用13小时。求船在静水中的速度及水流的速度。（适于高年级程度）‎ 627‎ 解：此船顺水航行的速度是：‎ ‎208÷8=26（千米/小时）‎ 此船逆水航行的速度是：‎ ‎208÷13=16（千米/小时）‎ 由公式船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，可求出此船在静水中的速度是：‎ ‎（26+16）÷2=21（千米/小时）‎ 由公式水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，可求出水流的速度是：‎ ‎（26-16）÷2=5（千米/小时）‎ 答略。‎ ‎*例10 A、B两个码头相距180千米。甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用15小时。甲船顺水行全程用10小时。乙船顺水行全程用几小时？（适于高年级程度）‎ 解：甲船逆水航行的速度是：‎ ‎180÷18=10（千米/小时）‎ 甲船顺水航行的速度是：‎ ‎180÷10=18（千米/小时）‎ 根据水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，求出水流速度：‎ ‎（18-10）÷2=4（千米/小时）‎ 乙船逆水航行的速度是：‎ ‎180÷15=12（千米/小时）‎ 乙船顺水航行的速度是：‎ ‎12+4×2=20（千米/小时）‎ 乙船顺水行全程要用的时间是：‎ ‎180÷20=9（小时）‎ 综合算式：‎ ‎180÷[180÷15+（180÷10-180÷18）÷2×3]‎ 627‎ ‎=180÷[12+（18-10）÷2×2]‎ ‎=180÷[12+8]‎ ‎=180÷20‎ ‎=9（小时）‎ 答略。‎ 第三十八讲 解植树问题的方法 植树问题是研究植树地段的全长、间隔距离、株数三种数量之间的关系的应用题。植树应用题基本分为两类：沿路旁植树；沿周长植树。 ‎ 沿路旁植树，因为首尾两端都要种一棵，所以植树棵数要比分成的段数多1；沿周长植树，因为首尾两端重合在一起，所以，植树的棵数和所分成的段数相等。‎ 解答植树问题的基本方法是：‎ ‎（1）沿路旁植树 棵数=全长÷间隔+1‎ 间隔=全长÷（棵数-1）‎ 全长=间隔×（棵数-1）‎ ‎（2）沿周长植树 棵数=全长÷间隔 间隔=全长÷棵数 全长=间隔×棵数 ‎（一）沿路旁植树 例1 有一段路长720米，在路的一边每间隔3米种1棵树。问这样可以种多少棵树？（适于三年级程度）‎ 解：根据棵数=全长÷间隔+1的关系，可得：‎ ‎720÷3+1‎ ‎=240+1‎ 627‎ ‎=241（棵）‎ 答：可以种241棵树。‎ 例2 在某城市一条柏油马路上，从始发站到终点站共有14个车站，每两个车站间的平均距离是1200米。这条马路有多长？（适于三年级程度）‎ 解：根据全长=间隔×（棵数-1）的关系，可得：‎ ‎1200×（14-1）‎ ‎=1200×13‎ ‎=15600（米）‎ 答：这条马路长15600米。例3 要在612米长的水渠的一岸植树154棵。每相邻两棵树间的距离是多少米？（适于三年级程度）‎ 解：根据“间隔=全长÷（棵数-1）”的关系，可得：‎ ‎612÷（154-1）‎ ‎=612÷153‎ ‎=4（米）‎ 答：每相邻两棵树间的距离是4米。‎ 例4 两座楼房之间相距60米，现要在两座楼房之间栽树9棵。每两棵树的间隔是多少米？（适于三年级程度）‎ 解：因为在60米的两端是两座楼房，不能紧挨着楼房的墙根栽树，所以，把60米平均分成的段数要比树的棵数多1。由距离和段数便可求出两棵树之间的距离：‎ ‎60÷（9+1）‎ ‎=60÷10‎ ‎=6（米）‎ 答：每两棵树的间隔是6米。‎ ‎*例5 原计划沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻两根间的距离50米。实际上在公路一旁只埋了201根电线杆。求实际上每两根电线杆之间的距离。（适于四年级程度）‎ 解：题中所埋电线杆的根数比段数多1，因此在计算段数时，要从根数减去1，才得段数。‎ ‎50×（301-1）÷（201-1）‎ 627‎ ‎=50×300÷200‎ ‎=75（米）‎ 答：实际上每两根电线杆之间的距离是75米。‎ ‎（二）沿周长植树 例1 在周长是480米的圆形养鱼池周围，每隔12米栽一棵树。一共可以栽多少棵树？（适于三年级程度）‎ 解：根据棵数=全长÷间隔，可求出一共栽树的棵数：‎ ‎480÷12=40（棵）‎ 答：一共可以栽40棵树。‎ 例2 一个圆形湖的周长是945米，沿着湖的周长栽了270棵树。求相邻两棵树间的距离是多少米？（适于三年级程度）‎ 解：‎ ‎945÷270=3.5（米）‎ 答：相邻两棵树间的距离是3.5米。‎ 例3 一块长方形场地，长300米，宽比长少50米。从这个长方形的一个角开始，沿长方形的周长栽树，每隔10米栽一棵。这块场地周围可以栽树多少棵？（适于四年级程度）‎ 解：先求出长方形场地的周长，再求可栽树多少棵。‎ ‎（300+300-50）×2÷10‎ ‎=550×2÷10‎ ‎=1100÷10‎ ‎=110（棵）‎ 答：可以栽树110棵。‎ ‎*例4 有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每2株紧相邻的月季花相距多少米？（适于四年级程度）‎ 解：根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数：‎ ‎120÷6=20（株）‎ 627‎ 由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花：‎ ‎2×20=40（株）‎ 由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为：‎ ‎6÷3=2（米）‎ 答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月季花之间相距2米。‎ 例5 在圆形水池边植树，把树植在距离岸边均为3米的圆周上，按弧长计算，每隔2米植一棵树，共植了314棵。水池的周长是多少米？（适于六年级程度）‎ 解：先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长，这个圆的周长是：‎ ‎2×314=628（米）‎ 这个圆的直径是：‎ ‎628÷3.14=200（米）‎ 由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上，所以圆形水池的直径是：‎ ‎200-3×2=194（米）‎ 圆形水池的周长是：‎ ‎194×3.14=609.16（米）‎ 综合算式：‎ ‎（2×314÷3.14-3×2）×3.14‎ ‎=（200-6）×3.14‎ ‎=194×3.14‎ ‎=609.16（米）‎ 答略。‎ 第三十九讲 解时钟问题的方法 研究时钟的长针（分针）与短针（时针）成直线、成直角与重合的问题，叫做时钟问题。 ‎ 627‎ 钟表的分针每小时走60个小格，而时针每小时只走5个小格；分针每分 出题中所要求的时间。‎ 解题规律：‎ ‎（1）求两针成直线所需要的时间，有：‎ ‎（3）求两针重合所需要的时间，有：‎ 求出所需要的时间后，再加上原来的时刻，就得出两针形成各种不同位置的时刻。‎ ‎（一）求两针成直线所需要的时间 ‎*例1 在7点钟到8点钟之间，分针与时针什么时候成直线？（适于高年级程度）‎ 解：在7点钟的时候，分针在时针后面（图39-1）：‎ ‎5×7=35（格）‎ 当分针与时针成直线时，两针的间隔是30格。因此，只需要分针追上时针：‎ ‎35-30=5（格）‎ 627‎ 综合算式：‎ ‎*例2 在4点与5点之间，分针与时针什么时候成直线？（适于高年级程度）‎ 解：4点钟时，分针在时针的后面（图39-2）：‎ ‎5×4=20（格）‎ 当分针与时针成直线时，分针不仅要追上已落后的20格，还要超过时针30格，所以一共要追上：‎ ‎20+30=50（格）‎ 627‎ 综合算式：‎ ‎（二）求两针成直角所需要的时间 ‎*例1 在6点到7点之间，时针与分针什么时候成直角？（适于高年级程度）‎ 解：分针与时针成直角时，分针在时针前面15格或时针后面15格，因此，本题有两个答案。‎ ‎（1）6点钟时，分针在时针后面（图39-3）：‎ ‎5×6=30（格）‎ 因为两针成直角时，分针在时针后面15格，所以分针追上时针的格数是：‎ ‎30-15=15（格）‎ 627‎ 综合算式：‎ ‎（2）以上是两针第一次成直角的时刻。当两针第二次成直角时，分针在时针前面15格，所以分针不仅追上时针，而且要超过时针：‎ ‎5×6+15=45（格）‎ 综合算式：‎ ‎*例2 在1点到2点之间，时针与分针在什么时候成直角？（适于高年级程度）‎ 解：1点钟时，分针在时针后面：‎ 627‎ ‎5×1=5（格）‎ 当分针与时针成直角时，两针间隔是15格，因此，分针不仅要追上时针5格，而且要超过时针15格，分针实际追上时针的格数是：‎ ‎5+15=20（格）‎ 综合算式：‎ 当分针走到时针前面45格（也就是走到时针后面15格）时，两针也成直角。因此，所需时间是：‎ ‎*例3 在11点与12点之间，时针与分针在什么时候成直角？（适于高年级程度）‎ 解：在11点钟时，分针在时针后面：‎ ‎5×11=55（格）‎ 627‎ 第一次两针成直角时，分针是在时针后面45格，因此，分针需要追上时针的格数是：‎ ‎55-45=10（格）‎ 综合算式：‎ ‎（三）求两针重合所需要的时间 在11点到1点之间，两针除在12点整重合外，其他每一点钟之间都有一次重合。‎ ‎*例1 3点钟到4点钟之间，分针与时针在什么时候重合？（适于高年级程度）‎ 解：在3点钟时，分针在时针后面：‎ ‎5×3=15（格）‎ 627‎ ‎*例2在4点与5点之间，两针什么时候重合？（适于高年级程度）‎ 解：在4点钟时，分针在时针后面5×4格，分针只要追上时针4×5格，两针就重。‎ ‎“时间就是生命”。自从人类发明了计时工具——钟表，人们的生活就离不开它了。什么时间起床，什么时间吃饭，什么时间上学……全都依靠钟表，如果没有钟表，生活就乱套了。‎ ‎　　时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道，钟面的一周分为60格，分针每走60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度 627‎ 垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。‎ ‎　　例1 现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？‎ ‎　　分析：如右图所示，2点分针指向12，时针指向2，分针在时针后面 ‎　　 ‎ ‎　　 　　 ‎ ‎　　　‎ ‎　　　　‎ ‎　　　　‎ ‎　　例2 在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？‎ ‎　　分析与解：7点时分针指向12，时针指向7（见右图），分针在时针后 面5×7＝35（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有下图所示的两种情况：‎ 627‎ ‎　　（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需 ‎　　‎ ‎　　（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走35＋15＝50（格），需 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　例3 在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？‎ ‎　　分析与解：3点时分针指向12，时针指向3（见右图），分针在时针后 面5×3＝15（格）。时针与分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成180°角两种情况（见下图）：‎ ‎　　（1）时针与分针重合。从3点开始，分针要比时针多走15格，需15÷　‎ ‎　　‎ ‎　　（2）时针与分针成180°角。从3点开始，分针要比时针多走15＋30‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　例4 晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？‎ ‎　　分析与解：这道题可以利用例3的方法，先求出开始的时刻和结束的时刻，再求出播出时间。但在这里，我们可以简化一下。因为开始时两针成180°，结束时两针重合，分针比时针多转半圈，即多走30格，所以播出时间为 ‎　　‎ ‎　　例1～例4都是利用追及问题的解法，先找出时针与分针所行的路程差是多少格，再除以它们的速度差求出准确时间。但是，有些时钟问题不太容易求出路程差，因此不能用追及问题的方法求解。如果将追及问题变为相遇问题，那么有时反而更容易。‎ ‎　　例5 3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？‎ ‎　　分析与解：假设3点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所行距离和是15个格。‎ ‎　　‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　例6 小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？‎ ‎　　分析与解：从左上图我们可以看出，时针从A走到B，分针从B走到A，两针一共走了一圈。换一个角度，问题可以化为：时针、分针同时从B出发，反向而行，它们在A点相遇。两针所行的 时间是：‎ ‎　　‎ ‎　　　‎ 第四十讲 几何变换法 利用几何图形的变换解答几何题的方法叫做几何变换法。 ‎ 在实际生产和生活中，几何形体往往不是以标准的形状出现，而是以比较复杂的组合图形出现，很难直接利用公式计算其面积或体积。如果在保持图形的面积或体积不变的前提下，对图形进行适当的变换，就容易找出计算其面积或体积的方法。‎ ‎（一）添辅助线法 有些组合图形按一般的思考方法好像已知条件不足，很难解答。如果在图形中添加适当的辅助线，就可能找到解题的途径。辅助线一般用虚线表示。‎ 627‎ ‎*例1 求图40-1阴影部分的面积。（单位：平方米）（适于三年级程度）‎ ‎                 ‎ 解：图40-1中，右边两个部分的面积分别是20平方米和30平方米，所以可如图40-2那样添上三条辅助线，把整个长方形分成5等份。这样图中右边的五个小长方形的面积相等。同时，左边五个小长方形的面积也相等。左边每个小长方形的面积是：‎ ‎25÷2=12.5（平方米）‎ 所以，阴影部分的面积是：‎ ‎12.5×3=37.5（平方米）‎ 答略。‎ ‎*例2 如图40-3，一个平行四边形被分成两个部分，它们的面积差是10平方厘米，高是5厘米。求EC的长。（单位：厘米）（适于五年级程度）‎ 解：如图40-4，过E点作AB的平行线EF，则△AEF与△ABE是等底等高的三角形。所以，△AEF的面积与△ABE的面积相等。‎ ‎               ‎ 小平行四边形EFDC的面积就是10平方厘米。‎ 因为它的高是5厘米，所以，‎ EC=10÷5=2（厘米）‎ 答：EC长2厘米。‎ ‎*例3 如图40-5，已知图中四边形两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度）‎ 解：这是一个不规则的四边形，无法直接计算它的面积。‎ 如图40-6，把AD和BC两条线段分别延长，使它们相交于E点。这样，四边形ABCD的面积就可以转化为△ABE的面积与△DCE的面积之差。‎ 627‎ ‎                   ‎ 在△ABE中，∠A是直角，∠B=45°，所以∠E=45°，即△ABE是等腰直角三角形。所以AB=AE=7（厘米），则△ABE的面积是：‎ ‎7×7÷2=24.5（平方厘米）‎ 在△DCE中，∠DCE是直角，∠E=45°，所以，∠CDE=45°，即△DCE是等腰直角三角形。所以，CD=CE=3厘米，则△DCE的面积是：‎ ‎3×3÷2=4.5（平方厘米）‎ 所以，四边形ABCD的面积是：‎ ‎24.5-4.5=20（平方厘米）‎ 答略。‎ ‎（二）分割法 分割法是在一个复杂的几何图形中，添上一条或几条辅助线，把图形分割成若干个已学过的基本图形，然后分别计算出各图形的面积或体积，再将所得结果相加的解题方法。‎ 例1 计算图40-7的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度）‎ 解：如图40-8，在图中添上一条辅助线，把图形分割为一个梯形和一个长方形，分别计算出它们的面积，再把两个面积相加。‎ ‎                 ‎ ‎［2+（8-4）］×（6-4）÷2+4×8‎ ‎=6+32‎ ‎=38（平方厘米）‎ 627‎ 答：图形的面积是38平方厘米。‎ 例2 图40-9中，ABCD是长方形，AB=40厘米，BC=60厘米，E、F、G、H是各边的中点。求图中阴影部分的面积。（适于五年级程度）‎ 解：如图40-10，在图中添加辅助线EG，使阴影部分被分割成为两个面积相等的三角形。先计算出一个三角形的面积，再把它的面积乘以2。‎ 三角形的底是长方形的长，高是长方形的宽的一半。‎ ‎                  ‎ ‎60×（40÷2）÷2×2‎ ‎=60×20‎ ‎=1200（平方厘米）‎ 答：阴影部分的面积是1200平方厘米。‎ ‎*例3 求图40-11中各组合体的体积。（单位：厘米）（适于六年级程度）‎ 解：如图40-12，把各组合体分割为几个基本形体，然后分别求出每个基本形体的体积，再用加法、减法算出各组合体的体积。‎ 627‎ ‎（三）割补法 在计算一些不规则的几何图形的面积时，把图形中凸出来的部分割下来，填补到相应的凹陷处，或较适当的位置，使图形组合成一个或几个规则的形状，再计算面积的解题方法叫做割补法。‎ 例1 求图40-13阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）‎ 成了一个梯形如图40-14，这个梯形的面积就是图40-13中的阴影部分的面积。‎ ‎                       ‎ 答：阴影部分的面积是45平方厘米。‎ ‎*例2 求图40-15中阴影部分的面积。（单位：米）（适于六年级程度）‎ 627‎ ‎16×16×2=512（平方米）‎ 答：阴影部分的面积是512平方米。‎ ‎*例3 图40-17中，ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）‎ 解：经割补，把图40-17组合成图40-18。很容易看出，只要从正方形的面积中减去空白扇形的面积，便得到阴影部分的面积。‎ ‎                 ‎ 627‎ 答：图中阴影部分的面积是2.43平方厘米。‎ ‎（四）平移法 在看不出几何图形面积的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移动一定的距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法。‎ 例1 计算图40-19中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于六年级程度）‎ 解：把图40-19中右边正方形中的阴影部分向左平移5厘米，图40-19中的阴影部分便转化为图40-20中的正方形。图40-20中阴影正方形的面积就是图40-19阴影部分的面积。‎ ‎                   ‎ ‎5×5=25（平方厘米）‎ 答略。‎ ‎*例2 求图40-21中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于三年级程度）‎ 解：按图40-22箭头指示，把两条横向的线段向上平移到虚线处，再按图40-23箭头指示把垂直线段的一部分向右平移到虚线处，求图40-21阴影部分的周长便转化为求图40-24的周长和两条竖线长之和的问题了。‎ ‎              ‎ ‎（5+4）×2+2×2‎ ‎=9×2+4‎ 627‎ ‎=22（厘米）‎ 答略。‎ ‎*例3 求图40-25S形水泥弯路面的面积。（单位：米）（适于三年级程度）‎ ‎               ‎ 解：把图40-25中水泥弯路面左边的甲部分向右平移2米，使S形水泥路面的两条边重合，图40-25便转化为图40-26，S形水泥路面的面积转化为图40-26中的阴影部分的面积。‎ S形水泥路的面积是：‎ ‎30×2=60（平方米）‎ 答略。‎ ‎（五）旋转法 将看不出计算方法的图形的一部分以某一点为中心旋转适当角度，使图形重新组合成能看出计算方法的形状，从而计算出图形面积的解题方法叫旋转法。‎ ‎*例1 计算图40-27阴影部分的面积。（单位：分米）（适于六年级程度）‎ 图40-27便转化为图40-28。图40-28中梯形的面积就是图40-27中的阴影面积。‎ ‎   ‎ 答略。‎ 627‎ 例2 图40-29中，小圆的半径是10厘米，中圆的半径是20厘米，大圆的半径是30厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）‎ 解：把图40-29中的小圆向逆时针方向旋转90度，把中环向顺时针方向旋转90度，图40-29便转化为图40-30。‎ 很明显，图40-29阴影部分的面积就是整个大圆面积的四分之一。‎ 答略。‎ ‎*例3 计算图40-31的阴影面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）‎ 解：把图40-31右边的半圆以两个半圆的公共点为中心，顺时针方向旋转180度，与左边的半圆组成一个圆（图40-32）。‎ ‎                ‎ 627‎ 此时，两个空白的三角形组成一个等腰直角三角形。这个等腰直角三角形的底边等于圆的直径10厘米，高等于圆的半径5厘米，三角形的面积可求，接着也就可以求出图中阴影部分的面积了。‎ 答略。‎ ‎（六）扩倍法 扩倍法就是把组合图形扩大几倍后，先求扩大倍数后的面积或体积，然后再求原来的面积或体积。‎ ‎*例1 求图40-33的面积。（单位：厘米）（适于三年级程度）‎ ‎          ‎ 解：此题用分割法计算比较麻烦，而用扩倍法解答就容易多了。如图40-34那样把图40-33扩大为原来的2倍，就会看出图40-33的面积是：‎ ‎（30+40）×30÷2=1050（平方厘米）‎ 答略。‎ 例2 计算图40-35木块的体积。（单位：分米）（适于五年级程度）‎ 解：在图40-35的木块上再扣上同形状、同体积的木块，如图40-36。图40-35木块的体积就是图40-36长方体木块体积的一半儿。‎ ‎                ‎ ‎3×10×（3+2）÷2‎ 627‎ ‎=150÷2‎ ‎=75（立方分米）‎ 答略。‎ ‎（七）缩倍法 缩倍法与扩倍法正好相反，它是先将图形的面积缩小若干倍，计算出面积，再把面积扩大为原来那么大。‎ 例1 图40-37中，每个小正方形的面积都是2平方厘米，求图中阴影部分的面积。（适于五年级程度）‎ 解：将图40-37中小正方形的面积先缩小2倍，则每个小正方形的面积都是1平方厘米，边长都是1厘米。‎ 从大长方形面积减去三个空白三角形的面积（即①、②、③三个部分的面积），得阴影部分面积。‎ ‎3×5-3×3÷2-2×1÷2-5×2÷2‎ ‎=15-4.‎‎5-1-5‎ ‎=4.5（平方厘米）‎ 把4.5平方厘米扩大2倍，得阴影部分的实际面积。‎ ‎4.5×2=9（平方厘米）‎ 答略。‎ 例2 图40-38正方形的面积是18平方厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）‎ 627‎ 解：先将正方形面积缩小2倍，18平方厘米被转化为9平方厘米，则正方形的边长是3厘米。‎ 先算出已经缩小的正方形中的阴影面积，然后再把它扩大2倍，就得到题中所求。‎ 答略。‎ ‎（八）剪拼法 有些几何图形比较抽象，不适于用割补、分割、平移等方法解答。如果把这类图形剪成若干部分，再重新组合、拼接，就有可能找到解答方法。‎ ‎*例1 计算图40-39、图40-40、图40-41的阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）‎ ‎           ‎ 解：沿各图中的虚线，把各图剪成上、下两部分，再把下半部分翻过来，以它的背面与上半部分的正面拼接，图40-39、图40-40、图40-41便转化为图40-42、图40-43、图40-44的形状。‎ ‎            ‎ 很容易看出，图40-39的阴影面积等于大圆面积的一半。‎ 图40-40的阴影面积等于从大圆面积减去小圆的面积。‎ 627‎ 图40-41的阴影面积等于从大圆面积减去中圆的面积，加上小圆的面积。‎ 答略。‎ ‎*例2 图40-45中每个大正方形的边长都是2厘米，求（1）～（10）各图阴影部分的面积。（适于六年级程度）‎ 解：作图40-46，并把图40-46中的（1）画在一张透明纸上剪成（2）那样的4个小正方形。如果画出两个（1），就可以剪出8个（2）那样的小正方形。‎ 用（2）的4个小正方形，可以组合、拼接出图40-45中（1）～（5）中的任何一个图形。‎ 这时可清楚地看出，图40-45中（1）～（5）每个图形的阴影部分的面积都与图40-46中（1）的阴影部分的面积相等，它们的面积都是：‎ 627‎ ‎2×2-3.14×1×1=0.86（平方厘米）‎ 同理，用8个图40-46中（2）的小正方形可以组合、拼接出图40-45中（6）～（10）的任何一个图形。‎ 图40-45中（6）～（10）每个图形的阴影面积都是图40-46中（1）的阴影面积的2倍：‎ ‎（2×2-3.14×12）×2=1.72（平方厘米）‎ 答略。‎ 627‎ ‎1、最值问题 ‎ ‎【最小值问题】‎ ‎　　例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距‎5000米，乙丙相距‎8000米，丙丁相距‎4000米，那么至少要增加______位民警。‎ ‎　　 ‎ ‎　　（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）‎ ‎　　讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个‎2500米，2个‎4000米，2个‎2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。‎ ‎　　由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。‎ ‎　　例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？‎ ‎　　（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）‎ ‎　　 ‎ ‎　　讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。‎ ‎　　我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。‎ 627‎ ‎　　 ‎ ‎　　所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。‎ ‎　　故，O点即为三只蚂蚁会面之处。‎ ‎【最大值问题】‎ ‎　　例1 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？‎ ‎　　 ‎ ‎　　（全国第二届“华杯赛”初赛试题）‎ ‎　　讲析：三个图的面积分别是：‎ ‎　　‎ ‎　　三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。‎ ‎　　故图（3）的面积最大。‎ ‎　　例2 某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。‎ ‎　　（台北市数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。‎ ‎　　现把600个商品按每份10个，可分成60份。因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。‎ 627‎ ‎　　所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有最大的利润。‎ ‎　　因此，每个售价应定为90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。‎ ‎2、最值规律 ‎　　【积最大的规律】‎ ‎　　（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是 ‎　　如果a1+a2+…+an=b（b为一常数），‎ ‎　　那么，当a1=a2=…=an时，a1×a2×…×an有最大值。‎ ‎　　例如，a1+a2=10，‎ ‎　　…………→…………；‎ ‎　　1+9=10→1×9=9；‎ ‎　　2+8=10→2×8=16；‎ ‎　　3+7=10→3×7=21；‎ ‎　　4+6=10→4×6=24；‎ ‎　　4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75；‎ ‎　　5+5=10→5×5=25；‎ ‎　　5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75；‎ ‎　　…………→…………；‎ ‎　　9+1=10→9×1=9；‎ ‎　　…………→…………‎ ‎　　由上可见，当a1、a2两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为0，即a1=a2时，它们的积就会变得最大。‎ 627‎ ‎　　三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限，在此不一一举例。‎ ‎　　由“积最大规律”，可以推出以下的结论：‎ ‎　　结论1 所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n边形）的面积为最大。‎ ‎　　例如，当n=4时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。‎ ‎　　例题：用长为‎24厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？‎ ‎　　解 设长为a厘米，宽为b厘米，依题意得 ‎　　（a+b）×2=24‎ ‎　　即 a+b=12‎ ‎　　由积最大规律，得a=b=6（厘米）时，面积最大为 ‎　　6×6=36（平方厘米）。‎ ‎　　（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。）‎ ‎　　结论2 在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。‎ ‎　　例题：用‎12米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？‎ ‎　　解 设长方体的长为a米，宽为b米，高为c米，依题意得 ‎　　（a+b+c）×4=12‎ ‎　　即a+b+c=3‎ ‎　　由积最大规律，得a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大。最大体积为 ‎　　1×1×1=1（立方米）。‎ ‎　　（2）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大。‎ ‎　　例如，将自然数8拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢？‎ ‎　　我们可将各种拆法详述如下：‎ ‎　　分拆成8个数，则只能是8个“1”，其积为1。‎ ‎　　分拆成7个数，则只能是6个“1”，1个“2”，其积为2。‎ 627‎ ‎　　分拆成6个数，可得两组数：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它们的积分别是3和4。‎ ‎　　分拆成5个数，可得三组数：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。它们的积分别为4，6，8。‎ ‎　　分拆成4个数，可得5组数：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它们的积分别为5，8，9，12，16。‎ ‎　　分拆成3个数，可得5组数：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它们的积分别为6，10，12，16，18。‎ ‎　　分拆成2个数，可得4组数：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它们的积分别为7，12，15，16。‎ ‎　　分拆成一个数，就是这个8。‎ ‎　　从上面可以看出，积最大的是 ‎　　18=3×3×2。‎ ‎　　可见，它符合上面所述规律。‎ ‎　　用同样的方法，将6、7、14、25分拆成若干个自然数的和，可发现 ‎　　6=3+3时，其积3×3=9为最大；‎ ‎　　7=3+2+2时，其积3×2×2=12为最大；‎ ‎　　14=3+3+3+3+2时，其积3×3×3×3×2=162为最大；‎ ‎　　‎ ‎　　由这些例子可知，上面所述的规律是正确的。‎ ‎　　【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达，就是如果a1×a2×…×an=c（c为常数），‎ ‎　　那么，当a1=a2=…=an时，a1+a2+…+an有最小值。‎ ‎　　例如，a1×a2=9，‎ ‎　　…………→…………‎ ‎　　‎ 627‎ ‎　　1×9=9→1+9=10；‎ ‎　　‎ ‎　　3×3=9→3+3=6；‎ ‎　　‎ ‎　　…………→…………‎ ‎　　由上述各式可见，当两数差越小时，它们的和也就越小；当两数差为0时，它们的和为最小。‎ ‎　　例题：用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形，如何下料，材料最省？‎ ‎　　解 设长方形长为a分米，宽为b分米，依题意得a×b=16。‎ ‎　　要使材料最省，则长方形周长应最小，即a+b要最小。根据“和最小规律”，取 ‎　　a=b=4（分米）‎ ‎　　时，即用16分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。‎ ‎　　推论 由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。‎ ‎　　例如，面积均为4平方分米的正方形和圆，正方形的周长为8分米；而 ‎　　的周长小于正方形的周长。‎ ‎　　【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。‎ 为0.433×6=2.598（平方分米）。‎ ‎　　‎ 627‎ 方形的面积。‎ ‎　　推论 由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：‎ ‎　　在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。‎ ‎　　例如，周长为4分米的正方形面积为1平方分米；而周长为4分米的圆，‎ 于和它周长相等的正方形面积。‎ ‎　　【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正n边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。‎ ‎　　例如，表面积为8平方厘米的正四面体S—ABC（如图1.30），它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为2平方厘米，它的体积约是1.1697立方厘米。而表面积为8平方厘米 ‎　　‎ 长约为‎1.1546厘米，体积约为1.539立方厘米。显然，正方体体积大于正四面体体积。‎ ‎　　　　‎ ‎　　推论 由这一体积变化规律，可推出如下结论：‎ ‎　　在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。‎ ‎　　例如，表面积为8平方厘米的正四面体，体积约为‎1.1697立方米；表面积为8平方厘米的正六面体（正方体），体积约为1.539立方厘米；而表面积是8平方厘米的球，体积却约有2.128立方厘米。可见上面的结论是正确的。‎ ‎　　【排序不等式】 对于两个有序数组：‎ ‎　　a1≤a2≤…≤an 及b1≤b2≤…≤bn，‎ ‎　　则a1b1+a2b2+……+anb抇n（同序）‎ ‎　　T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n（乱序）≥a1b 627‎ ‎　　n+a2bn-1+……+a>nb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n ‎　　为b1、b2、……、bn的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn时，式中等号成立。）由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。例题：设有10个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶，分别需要1、2、3、……、9、10分钟。问：如何安排这10个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？‎ ‎　　‎ ‎　　解 设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，……，9，10。‎ ‎　　打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成 ‎　　1，2，3，……，9，10。‎ ‎　　根据排序不等式，最小积的和为倒序，即 ‎　　1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1‎ ‎　　=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2‎ ‎　　=（10+18+24+28+30）×2‎ ‎　　=220（分钟）‎ ‎　　其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。‎ 627‎ ‎3、最优方案与最佳策略 ‎ ‎【最优方案】‎ ‎　　例1 某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工艺规定，每件甲产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、1、4、0小时；每件乙产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、2、0、4小时。已知A、B、C、D四台设备，每天最多能转动的时间分别是12、8、16、12小时。生产一件甲产品该厂得利润200元，生产一件乙产品得利润300元。问：每天如何安排生产，才能得到最大利润？‎ ‎　　（中国台北第一届小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：设每天生产甲产品a件，乙产品b件。由于设备A的转动时间每天最多为12小时，则有：（‎2a＋2b）不超过12。‎ ‎　　又（a＋2b）不超过8，‎ ‎　　‎4a不超过16，‎ ‎　　4b不超过12。‎ ‎　　由以上四个条件知，‎ 627‎ ‎　　当b取1时，a可取1、2、3、4；‎ ‎　　当b取2时，a可取1、2、3、4；‎ ‎　　当b取3时，a可取1、2。‎ ‎　　这样，就是在以上情况下，求利润‎200a＋300b的最大值。可列表如下：‎ ‎　　 ‎ ‎　　所以，每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，能得到最大利润1400元。‎ ‎　　例2 甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂。它们生产同一规格的成衣，每个厂的人员和设备都能进行上衣和裤子生产。由于各厂的特点不同，甲厂每月 ‎　　联合生产，尽量发挥各自的特长多生产成衣。那么现在比过去每月能多生产成衣______套。‎ ‎　　（1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　的时间生产上衣。所以，甲厂长于生产裤子，乙厂长于生产上衣。‎ ‎　　如果甲厂全月生产裤子，则可生产 ‎　　‎ ‎　　如果乙厂全月生产上衣，则可生产 ‎　　‎ ‎　　把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配成2100套成衣，这时甲厂生产150条裤子的时间可用来生产成套的成衣 ‎　　‎ 627‎ ‎　　故现在比过去每月可以多生产60套。‎ ‎【最佳策略】‎ ‎　　例‎1 A、B二人从A开始，轮流在1、2、3、……、1990这1990个数中划去一个数，直到最后剩下两个数互质，那么B胜，否则A胜。问：谁能必胜？制胜的策略是什么？‎ ‎　　（《中华电力杯》少年数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：将这1990个数按每两个数分为一组；（1、2），（3、4），（5、6），…，（1989、1990）。‎ ‎　　当A任意在括号中划去一个时，B就在同一个括号中划去另一个数。这样B就一定能获胜。‎ ‎　　例2 桌上放有1992根火柴。甲乙两人轮流从中任取，每次取得根数为1根或2根，规定取得最后一根火柴者胜。问：谁可获胜？‎ ‎　　（1992年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：因为两人轮流各取一次后，可以做到只取3根。谁要抢到第1992根，谁就必须抢到第1989根，进而抢到第1986、1983、1980、…、6、3根。‎ ‎　　谁抢到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以获胜。‎ ‎　　后者获胜的策略是，当先取的人每取一次火柴梗时，他紧接着取一次，每次取的根数与先取的加起来的和等于3。‎ ‎　　例3 有分别装球73个和118个的两个箱子，两人轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一球者为胜。问：若要先取者为获胜，应如何取？‎ ‎　　（上海市数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：先取者应不断地让后者在取球之前，使两箱的球处于平衡状态，即每次先取者取之后，使两箱球保持相等。这样，先取者一定获胜。‎ 627‎ ‎4、直接思路 ‎　　“直接思路”是解题中的常规思路。它一般是通过分析、综合、归纳等方法，直接找到解题的途径。‎ ‎　　【顺向综合思路】从已知条件出发，根据数量关系先选择两个已知数量，提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止。这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫“综合法”。‎ ‎　　例1 兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟‎200米，弟弟出发5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟‎250米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟‎300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？‎ 627‎ ‎　　分析（按顺向综合思路探索）：‎ ‎　　（1）根据弟弟速度为每分钟‎200米，出发5分钟的条件，可以求什么？‎ ‎　　可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离。‎ ‎　　（2）根据弟弟速度为每分钟‎200米，哥哥速度为每分钟‎250米，可以求什么？‎ ‎　　可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。‎ ‎　　（3）通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为‎1000米，每分钟可追上的距离为‎50米，根据这两个条件，可以求什么？‎ ‎　　可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。‎ ‎　　（4）狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，仔细想一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的？‎ ‎　　狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。‎ ‎　　（5）已知狗以每分钟‎300米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？‎ ‎　　可以求出这时狗总共跑了多少距离？‎ ‎　　这个分析思路可以用下图（图2.1）表示。‎ ‎　‎ ‎　　例2 下面图形（图2.2）中有多少条线段？‎ ‎　　分析（仍可用综合思路考虑）：‎ 627‎ ‎　　我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做基本线段，那么就可以这样来计数。‎ ‎　　（1）左端点是A的线段有哪些？‎ ‎　　有 AB AC AD AE AF AG共 6条。‎ ‎　　（2）左端点是B的线段有哪些？‎ ‎　　有 BC、BD、BE、BF、BG共5条。‎ ‎　　（3）左端点是C的线段有哪些？‎ ‎　　有CD、CE、CF、CG共4条。‎ ‎　　（4）左端点是D的线段有哪些？‎ ‎　　有DE、DF、DG共3条。‎ ‎　　（5）左端点是E的线段有哪些？‎ ‎　　有EF、EG共2条。‎ ‎　　（6）左端点是F的线段有哪些？‎ ‎　　有FG共1条。‎ ‎　　然后把这些线段加起来就是所要求的线段。‎ ‎　　【逆向分析思路】从题目的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的两个条件，然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解决的问题，再找出解这一个（或两个）问题所需的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在题里都是已知的为止，这就是逆向分析思路，运用这种思路解题的方法叫分析法。‎ ‎　　例1 两只船分别从上游的A地和下游的B地同时相向而行，水的流速为每分钟‎30米，两船在静水中的速度都是每分钟‎600米，有一天，两船又分别从A、B两地同时相向而行，但这次水流速度为平时的2倍，所以两船相遇的地点比平时相遇点相差‎60米，求A、B两地间的距离。‎ ‎　　分析（用分析思路考虑）：‎ ‎　　（1）要求A、B两地间的距离，根据题意需要什么条件？‎ ‎　　需要知道两船的速度和与两船相遇的时间。‎ ‎　　（2）要求两船的速度和，必要什么条件？‎ 627‎ ‎　　两船分别的速度各是多少。题中已告之在静水中两船都是每分钟‎600米，那么不论其水速是否改变，其速度和均为（600+600）米，这是因为顺水船速为：船速+水速，逆水船速为：船速-水速，故顺水船速与逆水船速的和为：船速+水速+船速-水速=2个船速（实为船在静水中的速度）‎ ‎　　（3）要求相遇的时间，根据题意要什么条件？‎ ‎　　两次相遇的时间因为距离相同，速度和相同，所以应该是相等的，这就是说，尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加了‎30米，仍不会改变相遇时间，只是改变了相遇地点：偏离原相遇点‎60米，由此可知两船相遇的时间为60÷30=2（小时）。‎ ‎　　此分析思路可以用下图（图2.3）表示：‎ ‎　　例2 五环图由内径为4，外径为5的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等（如图2.4），已知五个圆环盖住的总面积是122.5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率π取3.14）‎ ‎　‎ ‎　　分析（仍用逆向分析思路探索）：‎ ‎　　（1）要求每个小曲边四边形的面积，根据题意必须知道什么条件？‎ ‎　　曲边四边形的面积，没有公式可求，但若知道8个小曲边四边形的总面积，则只要用8个曲边四边形总面积除以8，就可以得到每个小曲边四边形的面积了。‎ ‎　　（2）要求8个小曲边四边形的总面积，根据题意需要什么条件？‎ ‎　　8个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分，因此只要把五个圆环的总面积减去五个圆环盖住的总面积就可以了。‎ ‎　　（3）要求五个圆环的总面积，根据题意需要什么条件？‎ 627‎ ‎　　求出一个圆环的面积，然后乘以5，就是五个圆环的总面积。‎ ‎　　（4）要求每个圆环的面积，需要什么条件？‎ ‎　　已知圆环的内径（4）和外径（5），然后按圆环面积公式求就是了。‎ ‎　　圆环面积公式为：‎ ‎　　S圆环=π（R2-r2）‎ ‎　　=π（R＋r）（R－r）‎ ‎　　其思路可用下图（图2.5）表示：‎ ‎　　【一步倒推思路】顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系，不可分割的。在解题时，两种思路常常协同运用，一般根据问题先逆推第一步，再根据应用题的条件顺推，使双方在中间接通，我们把这种思路叫“一步倒推思路”。这种思路简明实用。‎ ‎　　例1 一只桶装满‎10千克水，另外有可装‎3千克和‎7千克水的两只空桶，利用这三只桶，怎样才能把‎10千克水分为‎5千克的两份？‎ ‎　　分析（用一步倒推思路考虑）：‎ ‎　　（1）逆推第一步：把‎10千克水平分为‎5千克的两份，根据题意，关键是要找到什么条件？‎ ‎　　因为有一只可装‎3千克水的桶，只要在另一只桶里剩‎2千克水，利用3＋2=5，就可以把水分成‎5千克一桶，所以关键是要先倒出一个‎2千克水。‎ ‎　　（2）按条件顺推。第一次：‎10千克水倒入‎7千克桶，‎10千克水桶剩‎3千克水，‎7千克水倒入‎3千克桶，‎7千克水桶剩‎4千克水，‎3千克水桶里有水‎3千克；第二次：‎3千克桶的水倒入‎10千克水桶，这时‎10千克水桶里有水‎6千克，把‎7千克桶里的‎4千克水倒入‎3千克水桶里，这时‎7千克水桶里剩水‎1千克，‎3千克水桶里有水‎3千克；第三次：‎3千克桶里的水倒入 627‎ ‎10千克桶里，这时‎10千克桶里有水‎9千克，‎7千克桶里的‎1千克水倒入‎3千克桶里，这时‎7千克桶里无水，‎3千克桶里有水‎1千克；第四次：‎10千克桶里的‎9千克水倒入‎7千克桶里，‎10千克水桶里剩下 ‎2千克水，‎7千克桶里的水倒入‎3千克桶里（原有‎1千克水），只倒出‎2千克水，‎7千克桶里剩水‎5千克，‎3千克桶里有水‎3千克，然后把‎3千克桶里的‎3千克水倒‎10千克桶里，因为原有‎2千克水，这时也正好是‎5千克水了。‎ ‎　　其思路可用下图（图2.6和图2.7）表示：‎ ‎　　问题：‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　　例2 今有长度分别为1、2、3……‎9厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选用若干条线段组成正方形？‎ ‎　　分析（仍可用一步倒推思路来考虑）：‎ ‎　　（1）逆推第一步。要求能用多少种不同方法，从中选用若干条线段组成正方形必须的条件是什么？‎ ‎　　根据题意，必须知道两个条件。一是确定正方形边长的长度范围，二是每一种边长有几种组成方法。‎ 627‎ ‎　　（2）从条件顺推。‎ ‎　　①因为九条线段的长度各不相同，所以用这些线段组成的正方形至少要7条，最多用了9条，这样就可以求出正方形边长的长度范围为（1+2+……‎ ‎　　②当边长为‎7厘米时，各边分别由1+6、2+5、3+4及7组成，只有一种组成方法。‎ ‎　　③当边长为‎8厘米时，各边分别由1+7、2+6、3+5及8组成，也只有一种组成方法。‎ ‎　　④当边长为‎9厘米时，各边分别由1+8、2+7、3+6及9；1＋8、2＋7、4+5及9；2＋7、3＋6、4+5及9；1＋8、3＋6、4＋5及9；1＋8、2+7、3＋6及4＋5共5种组成方法。‎ ‎　　⑤当边长为‎10厘米时，各边分别由1+9、2＋8、3＋7及4＋6组成，也只有一种组成方法。‎ ‎　　⑤当边长为‎11厘米时，各边分别由2+9、 3＋8、4＋7及5+6组成，也只有一种组成方法。‎ ‎　　⑥将上述各种组成法相加，就是所求问题了。‎ ‎　　此题的思路图如下（图2.8）：‎ ‎　　问题：‎ ‎　　【还原思路】从叙述事情的最后结果出发利用已知条件，一步步倒着推理，直到解决问题，这种解题思路叫还原思路。解这类问题，从最后结果往回算，原来加的用减、原来减的用加，原来乘的用除，原来除的用乘。运用还原思路解题的方法叫“还原法”。‎ ‎　　例1 一个数加上2，减去3，乘以4，除以5等于12，你猜这个数是多少？‎ 627‎ ‎　　分析（用还原思路考虑）：‎ ‎　　从运算结果12逐步逆推，这个数没除以5时应等于多少？没乘以4时应等于多少？不减去3时应等于多少？不加上2时又是多少？这里分别利用了加与减，乘与除之间的逆运算关系，一步步倒推还原，直找到答案。‎ ‎　　其思路图如下（图2.9）：‎ ‎　　条件：‎ ‎　　例2 李白街上走，提壶去打酒；遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？‎ ‎　　分析（用还原思路探索）：‎ ‎　　李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的著名算题。题意是：李白提壶上街买酒、喝酒，每次遇到酒店，便将壶中的酒量增添1倍，而每次见到香花，便饮酒作诗，喝酒1斗。这样他遇店、见花经过3次，便把所有的酒全喝光了。问：李白的酒壶中原有酒多少？‎ ‎　　下面我们运用还原思路，从“三遇店和花，喝光壶中酒”开始推算。‎ ‎　　见花前——有1斗酒。‎ ‎　　第三次：见花后——壶中酒全喝光。‎ ‎　　第三次：遇店前——壶中有酒半斗。‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　第一次：见花前——壶中有酒为第二次遇店前的再加1斗。‎ ‎　　遇店前——壶中有酒为第一次见花前的一半。‎ ‎　　其思路图如下 627‎ ‎　　【假设思路】在自然科学领域内，一些重要的定理、法则、公式等，常常是在“首先提出假设、猜想，然后再进行检验、证实”的过程中建立起来的。数学解题中，也离不开假设思路，尤其是在解比较复杂的题目时，如能用“假设”的办法去思考，往往比其他思路简捷、方便。我们把先提出假设、猜想，再进行检验、证实的解题思路，叫假设思路。‎ ‎　　例1 中山百货商店，委托运输队包运1000只花瓶，议定每只花瓶运费0.4元，如果损坏一只，不但不给运费，而且还要赔偿损失5.1元。结果运输队获得运费382.5元。问：损坏了花瓶多少只？‎ ‎　　分析（用假设思路考虑）：‎ ‎　　（1）假设在运输过程中没有损坏一个花瓶，那么所得的运费应该是多少？‎ ‎　　0.4×1000=400（元）。‎ ‎　　（2）而实际只有383.5元，这当中的差额，说明损坏了花瓶，而损坏一只花瓶，不但不给运费，而且还要赔偿损失5.1元，这就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花瓶的差额应该是多少元？‎ ‎　　0.4＋5.1=5.5（元）‎ ‎　　（3）总差额中含有一个5.5元，就损坏了一只花瓶，含有几个5.5元，就是损坏了几只花瓶。由此便可求得本题的答案。‎ ‎　　例2 有100名学生在车站准备乘车去离车站‎600米的烈士纪念馆搞活动，等最后一人到达纪念馆45分钟以后，再去离纪念馆‎900米的公园搞活动。现在有中巴和大巴各一辆，它们的速度分别是每分钟‎300米和‎150米，而中巴和大巴分别可乘坐10人和25人，问最后一批学生到达公园最少需要多少时间？‎ ‎　　分析（用假设思路思索）；‎ ‎　　假设从车站直接经烈士纪念馆到公园，则路程为（600＋900）米。把在最后1人到达纪念馆后停留45分钟，假设为在公园停留45分钟，则问题将大大简化。‎ ‎　　（1）从车站经烈士纪念馆到达公园，中巴、大巴往返一次各要多少时间？‎ ‎　　中巴：（600+900）÷300×2=10（分钟）‎ 627‎ ‎　　大巴：（600+900）÷150×2=20（分钟）‎ ‎　　（2）中巴和大巴在20分钟内共可运多少人？‎ ‎　　中巴每次可坐10人，往返一次要10分钟，故20分钟可运20人。‎ ‎　　大巴每次可坐25人，往返一次要20分钟，故20分钟可运25人。‎ ‎　　所以在20分钟内中巴、大巴共运45人。‎ ‎　　（3）中巴和大巴 20分钟可运 45人，那么 40分钟就可运45×2=90（人），100人运走90人还剩下10人，还需中巴再花10分钟运一次就够了。‎ ‎　　（4）最后可求出最后一批学生到达公园的时间：把运90人所需的时间，运10人所需的时间，和在纪念馆停留的时间相加即可。‎ ‎　　【消去思路】对于要求两个或两个以上未知数的数学题，我们可以想办法将其中一个未知数进行转化，进而消去一个未知数，使数量关系化繁为简，这种思路叫消去思路，运用消去思路解题的方法叫消去法。二元一次方程组的解法，就是沿着这条思路考虑的。‎ ‎　　例1 师徒两人合做一批零件，徒弟做了6小时，师傅做了8小时，一共做了312个零件，徒弟5小时的工作量等于师傅2小时的工作量，师徒每小时各做多少个零件？‎ ‎　　分析（用消去思路考虑）：‎ ‎　　这里有师、徒每小时各做多少个零件两个未知量。如果以徒弟每小时工作量为1份，把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替，那么师傅8小时的工作量相当于这样的几份呢？很明显，师傅2小时的工作量相当于徒弟5小时的工作量，那么8小时里有几个2小时就是几个5小时工作量，这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量，题目里就消去了师傅工作量这个未知数；然后再看312个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量，就是徒弟应做多少个。求出了徒弟的工作量，根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系，也就能求出师傅的工作量了。‎ ‎　　例2 小明买2本练习本、2枝铅笔、2块橡皮，共用0.36元，小军买4本练习本、3枝铅笔、2块橡皮，共用去0.60元，小庆买5本练习本、4枝铅笔、2块橡皮，共用去0.75元，问练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？‎ ‎　　分析（用消去法思考）：‎ ‎　　这里有三个未知数，即练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？我们要同时求出三个未知数是有困难的。应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数，只留下一个未知数就好了。‎ ‎　　如何消去一个未知数或两个未知数？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通过扩大或缩小若干倍，使它们之间有两个相同的数量，再用加减法即可消去，本题把小明小军、小庆所购买的物品排列如下：‎ ‎　　小明 2本 2枝 2块 0.36元 ‎　　小军 4本 3枝 2块 0.60元 627‎ ‎　　小庆 5本 4枝 2块 0.75元 ‎　　现在把小明的各数分别除以2，可得到1本练习本、1枝铅笔、1块橡皮共0.18元。‎ ‎　　接着用小庆的各数减去小军的各数，得1本练习本、1枝铅笔为0.15元。‎ ‎　　再把小明各数除以2所得的各数减去上数，就消去了练习本、铅笔两个未知数，得到1块橡皮0.03元，采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价。‎ ‎　　【转化思路】解题时，如果用一般方法暂时解答不出来，就可以变换一种方式去思考，或改变思考的角度，或转化为另外一种问题，这就是转化思路。运用转化思路解题就叫转化法。‎ ‎　　‎ 各养兔多少只？‎ ‎　　分析（用转化思路思索）：‎ ‎　　题中数量关系比较复杂，两个分率的标准量不同，为了简化数量关系，‎ 只呢？这时两人养的总只数该是多少只呢？假设后的数量关系，两人养的总只数应是：100-16×3=52（只）‎ ‎　　‎ ‎　　分析（用转化思路分析）：‎ ‎　　本题求和，题中每个分数的分子都是1，分母是几个连续自然数的和，好像不能把每个分数分成两个分数相减，然后相加抵消一些数。但是只要我们按等差数列求和公式，求出分母就会发现，可将上面各分数的分母转化为两个连续自然数积的形式。‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　所以例题可以转化为：‎ ‎　　‎ ‎　　然后再相加，抵消中间的各个分数即可。‎ ‎　　【类比思路】类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题。例如从等差数列求和公式想到梯形面积公式，从矩形面积公式想到长方体体积公式等等；类比是一个重要的思想方法，也是解题的一种重要思路。‎ ‎　　例1 有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲6下，5秒钟敲完；钟敲12下，几秒敲完？‎ ‎　　分析（用类比思路探讨）：‎ ‎　　有人会盲目地由倍数关系下结沦，误认为10秒钟敲完，那就完全错了。其实此题只要运用类比思路，与植树问题联系起来想一想就通了：一条线路植树分成几段（株距），如果不包括两个端点，共需植（n-1）棵树，如果包括两个端点，共需植树（n＋1）棵，把钟点指数看作是一棵棵的树，把敲的时间看作棵距，此题就迎刃而解了。‎ ‎　　例2 从时针指向4点开始，再经过多少分钟，时针正好与分钟重合。‎ ‎　　分析（用类比思路讨论）：‎ 627‎ ‎　　本题可以与行程问题进行类比。如图2.11，如果用时针1小时所走的一格作为路程单位，那么本题可以重新叙述为：已知分针与时针相距4格，分 如果分针与时针同时同向出发，问：分针过多少分钟可追上时针？这样就与行程问题中的追及问题相似了。4为距离差，速度差为，重合的时间，就是追上的时间。‎ ‎　　【分类思路】把一个复杂的问题，依照某种规律，分解成若干个较简单的问题，从而使问题得到解决，这就是分类思路。这种思路在解决数图形个数问题中经常用到。‎ ‎　　例1 如图2.12，共有多少个三角形？‎ ‎　　分析（用分类思路考虑）：‎ ‎　　这样的图直接去数有多少个三角形，要做到能不重复，又不遗漏，是比较困难的。怎么办？可以把图中所有三角形按大小分成几类，然后分类去数，再相加就是总数了。本题根据条件，可以分为五类（如图2.13）。‎ 627‎ ‎　　例2 如图2.14，象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方“将”处，这小卒有多少种不同的走法？‎ ‎　　分析（运用分类思路分析）：‎ ‎　　小卒过河后，首先到达A点，因此，题目实际上是问：从A点出发，沿最短路径有多少种走法可以到达“将”处，所谓最短，是指不走回头路。‎ ‎　　因为“将”直接相通的是P点和K点，所以要求从A点到“将”处有多少种走法，就必须是求出从A到P和从A到K各有多少种走法。‎ ‎　　分类。一种走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一种走法。‎ ‎　　二种走法：从A到H有两种走法。‎ ‎　　三种走法：从A到M及从A到I各有三种走法。‎ ‎　　其他各类的走法：因为从A到M、到I各有3种走法，所以从A到N就有3＋3＝6种走法了，因为从A到I有3种走法，从A到D有1种走法，所以从A到J就有3＋1=4种走法了；P与N、J相邻，而A到N有6种走法，A到J有4种走法，所以从A到P就有6+4=10种走法了；同理K与J、E相邻，而A到J有4种走法，到E有1种走法，所以A到K就有4+1=5种走法。‎ ‎　　再求从A到“将”处共有多少种走法就非常容易了。‎ 627‎ ‎　　【等量代换思路】有些题的数量关系十分隐蔽，如果用一般的分析推理，难于找出数量之间的内在联系，求出要求的数量。那么我们就根据已知条件与未知条件相等的关系，使未知条件转化为已知条件，使隐蔽的数量关系明朗化，促使问题迎刃而解。这种思路叫等量代换思路。‎ ‎　　例1 如图2.15的正方形边长是‎6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面积比甲三角形大6平方厘米，求CE长多少厘米？‎ ‎　　分析（用等量代换思路思考）：‎ ‎　　按一般思路，要求CE的长，必须知道乙三角形的面积和高，而这两个条件都不知道，似乎无法入手。用等量代换思路，我们可以求出三角形ABE的面积，从而求出CE的长，怎样求这个三角形的面积呢？设梯形为丙：‎ ‎　　已知 乙=甲+6‎ ‎　　丙+甲=6×6=36‎ ‎　　用甲+6代换乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42‎ ‎　　即三角形ABE的面积等于42平方厘米，这样，再来求CE的长就简单了。‎ ‎　　例2 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色棋子。第一 这三堆棋子集中一起，问白子占全部棋子的几分之几？‎ ‎　　分析（用等量代换的思路来探讨）：‎ ‎　　这道题数量关系比较复杂，如果我们把第一堆里的黑子和第二堆的白子对换一下，那么这个问题就简单多了。出现了下面这个等式。‎ ‎　　第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子）‎ ‎　　=第三堆（白子+黑子） （这里指的棋子数）‎ ‎　　‎ 627‎ 份，则第二堆（全部黑子）为3份，这样就出现了每堆棋子为3份，3堆棋子的总份数自然就出来了。而第三堆黑子占了2份，白子自然就只有3—2=1份了。第一堆换成了全部白子，所以白子总共是几份也可求出。最后去解决白子占全部棋子的几分之几就非常容易了。‎ ‎　　【对应思路】分数、百分数应用题的特点是一个数量对应着一个分率，也就是一个数量相当于单位“1”的几分之几，这种关系叫做对应关系。找对应关系的思路，我们把它叫做对应思路。‎ ‎　　例1 有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是91公亩，麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是84公亩，那么，菜地是几公亩？‎ ‎　　分析（用对应思路分析）：‎ ‎　　这是一道复杂的分数应用题，我们不妨用对应思路去思索。如能找出91公亩、84公亩的对应分率，此题就比较容易解决了。但题中有对应分率两个，究竟相当于总公亩数的几分之几呢？这是解题的关键。而我们一时还弄不清楚，现将条件排列起来寻找。‎ ‎　‎ ‎　　　‎ 可求出总公亩数是 ‎　　　‎ ‎　　求出总公亩数后，我们仍未找到菜地或麦地占总公亩数的几分之几，故还不能直接求出菜地或麦地的公亩数。但我们把条件稍作组合，就可以求出 ‎　‎ ‎　　‎ 627‎ ‎　　分析到这一步，那么再去求菜地有多少公亩，则就变成了一道很简单的分数应用题了。‎ ‎　　例2 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时，要排完一池水，单开乙管 顺序，循环各开水管，每次每管开一小时，问多少时间后水开始溢出水池？‎ ‎　　分析（用对应思路考虑）：‎ ‎　　本题数量关系复杂，但仍属分数应用题，所以仍可用对应思路寻找解题途径。‎ ‎　　首先要找出甲、丙两管每小时灌水相当于一池水的几分之几，乙、丁两管每小时排水相当于一池水的几分之几，然后才能计算。‎ ‎　　一池水→“1”‎ ‎　　‎ ‎　　通过转化找到了对应分率就容易计算了。假设甲、乙、丙、丁四个水管按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的：‎ ‎　　‎ ‎　　加上池内原有的水，池内有水：‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 也就是20小时以后，池内有水 ‎ ‎ ‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 水池了，因此20小时后，只需再灌水 ‎　　‎ ‎　　所以这时甲管不要开1小时，只要开 ‎　‎ ‎　　‎ 总共是多少时间后水开始溢出水池不就一目了然了吗？‎ ‎5、整数的拆分 ‎【不连续加数拆分】‎ ‎　　例1 将一根长‎144厘米的铁丝，做成长和宽都是整数的长方形，共有______种不同的做法？其中面积最大的是哪一种长方形？‎ ‎　　（1992年“我爱数学”邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：做成的长方形，长与宽的和是 ‎　　144÷2=72（厘米）。‎ ‎　　因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36，‎ ‎　　所以，一共有36种不同的做法。‎ ‎　　比较以上每种长方形长与宽的积，可发现：当长与宽都是‎36厘米时，面积最大。‎ ‎　　例2将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是______。‎ ‎　　（1992年武汉市小学数学竞赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：若把一个整数拆分成几个自然数时，有大于4的数，则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和，则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大。又如果拆分的数中含有1，则与“乘积最大”不符。‎ ‎　　所以，要使加数之积最大，加数只能是2和3。‎ ‎　　但是，若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3。因为2×2×2=8，而3×3=9。‎ ‎　　所以，拆分出的自然数中，至多含有两个2，而其余都是3。‎ ‎　　而1992÷3=664。故，这些自然数是664个3。‎ ‎　　例3把50分成4个自然数，使得第一个数乘以2等于第二个数除以2；第三个数加上2等于第四个数减去2，最多有______种分法。‎ ‎　　（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：设50分成的4个自然数分别是a、b、c、d。‎ ‎　　因为a×2=b÷2，则b=‎4a。所以a、b之和必是5的倍数。‎ ‎　　那么，a与b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。‎ ‎　　又因为c＋2=d-2，即d=c＋4。所以c、d之和加上4之后，必是2的倍数。‎ ‎　　则c、d可取的数组有：‎ ‎　　（40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。‎ ‎　　由于40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-3＝7，‎ ‎　　得出符合条件的a、b、c、d一组为（8、32、3、7）。‎ ‎　　同理得出另外三组为：（6、24、8、12），（4、16、13、17），（2、8、18、22）。‎ ‎　　所以，最多有4种分法。‎ ‎【连续加数拆分】‎ ‎　　例1 把945写成连续自然数相加的形式，有多少种？‎ ‎　　（第一届“新苗杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：因为945=35×5×7，它共有（5+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）奇约数。‎ ‎　　所以，945共能分拆成16-1=15（种）不同形式的连续自然数之和。‎ 627‎ ‎　　例2 几个连续自然数相加，和能等于1991吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果不能，说明理由。‎ ‎　　（全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：1991=11×181，它共有（1＋1）×（1+1）=4（个）奇约数。‎ ‎　　所以，1991可以分成几个连续自然数相加，并且有3种答案。‎ ‎　　由1991=1×1991得：‎ ‎　　1991=995＋996。‎ ‎　　由1991=11×181得：‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　…+（80+101）‎ ‎　　=80＋81＋……＋100＋101。‎ ‎6、整除及数字整除特征 ‎　　【数字整除特征】‎ ‎　　例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。‎ ‎　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。‎ ‎　　设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。‎ ‎　　又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。‎ 627‎ ‎　　所以a-b=3。‎ ‎　　又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。‎ ‎　　从而很容易求出商为427284÷99=4316。‎ ‎　　例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。‎ ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。‎ ‎　　而1993000÷2520=790余2200。‎ ‎　　于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。所以最后三位数字依次是3、2、0。‎ ‎　　例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。‎ ‎　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。‎ ‎　　要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。‎ ‎　　则有 b-a=8，或者a-b=3。‎ ‎　　①当 b-a=8时，b可取9、8；‎ ‎　　②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。‎ ‎　　所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。‎ ‎　　例4 下面这个四十一位数 ‎　　55……5□99……9‎ ‎　　（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是__。‎ ‎　　（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：注意到111111÷7=15873，所以555555与999999也能被7整除。则18个5或18个9组成的数，也能被7整除。‎ ‎　　要使原四十一位数能被7整除，只需55□99这个五位数是7的倍数。‎ 627‎ ‎　　容易得出，中间方格内的数字是6。‎ ‎　　【整除】‎ ‎　　例1 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小数是______。‎ ‎　　（天津市第一届“我爱数学”邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：所求这个数分别除以3和7时，余数相同。‎ ‎　　3和7的最小公倍数为21。所以这个数是23。经检验，23除以5商4余3，23是本题的答案。‎ ‎　　例2 一个整数在3600到3700之间，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。这个整数是__。‎ ‎　　（《现代小学数学》邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：所求整数分别除以3、5、7以后，余数各不相同。但仔细观察可发现，当把这个数加上4以后，它就能同时被3、5、7整除了。‎ ‎　　因为3、5和7的最小公倍数是105。‎ ‎　　3600÷105=34余30，105-30=75，‎ ‎　　所以，当3600加上75时，就能被3、5和7整除了。即所求这个整数是3675。‎ ‎　　例3 在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数。如52中间插入4后变成542。有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数，是原两位数的9倍。这样的两位数共有__个。‎ ‎　　（中南地区小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的9倍，且个位数字相同。则原两位数的个位数字一定是0或5。‎ ‎　　又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原两位数的9倍了。因此原二位数的个位不能为0，而一定是5。‎ ‎　　结合被9整除的数字特征，不难找到符合要求的两位数有45、35、25和15共4个。‎ ‎　　例‎4 a是一个自然数，已知a与a+1的各位数字之和都能被7整除，那么这样的自然数a最小是__。（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）‎ ‎　　讲析：a与a+1的各位数字之和都是7的倍数。则a的个位数字一定是9。因为如果个位上不是9时，若a的各位数字之和是7的倍数，则a+1的各位数字之和除以7以后，肯定余1。‎ 627‎ ‎　　只有当a的个位上是9时，a+1之后，个位上满十后向前一位进一，a+1的个位数字和才有可能是7的倍数。‎ ‎　　联想到69，69+1=70，经适当调整可得，符合条件的最小数a是69999。‎ ‎　　例5 一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a[见图5.43（1）]，又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是‎2a[见图5.43（2）]，求这个自然数。‎ ‎　　（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：可从最后的商步步向前推算。‎ ‎　　由图5.43（1）可得：第二次商是（‎8a+7）；第一次商是8×（‎8a+7）+1=‎64a+57；所求的自然数是8×（‎64a+57）+1=‎512a+457‎ ‎　　由图5.43（2）得，所求的自然数是‎578a+259‎ ‎　　所以，‎512a+457=‎578a+259。‎ ‎　　解得a=3。‎ ‎　　故，这个自然数是512×3+457=1993。‎ ‎　　例6 某住宅区有十二家住户。他们的门牌号分别是1、2、3、……、12。他们的电话号码依次是十二个连续的六位自然数，并且每户的电话号码都能被这户的门牌号整除。已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除。问这一家的电话号码是什么数？‎ ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）‎ ‎　　讲析：设这十二家住户的电话号码依次是a+1、a+2、a+3、……，a+12。‎ ‎　　因为每户的电话号码都能被自己家的门牌号整除，所以数a能同时被1、2、3、……、12整除。‎ ‎　　而1、2、3、……、12的最小公倍数是27720，所以六位数中，能同时被1、2、3、……12整除的最小自然数是27720×4=110880‎ ‎　　现在考虑第九户人家的电话号码能被13整除问题。‎ ‎　　因为110880÷13，余数是12；27720÷13，余数是4。‎ 627‎ ‎　　也就是在110889的基础上，再加上n个27720之后的和，能被13整除的数，就是所求的数。‎ ‎　　即12+4n，是13的倍数。‎ ‎　　显然，当n=10时，12+4n是13的倍数。‎ ‎　　所以，门牌号码是9的这家电话号码是：‎ ‎　　110889+27720×10=388089。‎ ‎7、运用图形间的等量关系 ‎　　【应用弦图解题】 我国古代有种图形叫做“弦图”（如图4.56所示），有的数学家应用它成功地证明了“勾股定理”。‎ 627‎ ‎　　我国宋代著名数学家杨辉，在他著的《田亩比类乘除捷法》一书中，提出了这样一个问题：‎ ‎　　有一块长方形田，面积为864平方步（“步”是古代长度单位，1里=300步，1步=5尺），已知长比宽少12步，问：它的长、宽共是多少步？‎ ‎　　杨辉在该书上出示了一个弦图（如图4.57），他是用四个面积为864‎ ‎　‎ 共是60步。显然，这样运用弦图来解答题目，是十分高明和十分巧妙的！‎ ‎　　有些竞赛题也可以用弦图来巧解。第一届“华罗庚金杯赛”中，就两次出现了应用弦图来解答的题目。尤其是那一道决赛题：‎ ‎　　‎ 平方米。锯下的木条面积是多少平方米？”‎ ‎　　仿杨辉的解法，可假定剩下4块长方形木块，并利用它拼成了一个“弦图”，如图4.58。于是可知，大正方形的面积为 ‎　　‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　‎ ‎　　‎ ‎　　【解纵横交错的复杂题】 把同样大小的长方形有规律地纵横交错地放在一起，常常需要根据长、宽关系，找出等量关系来解答题目。例如 ‎　　如图4.59，这是由同样大小的纸片摆成的图形，小纸片宽‎12厘米，求阴影部分的总面积。‎ ‎　　由图可知，5个纸片的长=3个纸片的长+3个纸片的宽，所以 ‎　　2个纸片长=3个纸片宽 ‎　　1个纸片长=12×3÷2‎ ‎　　=18（厘米）‎ ‎　　进而可知，每个阴影部分的小正方形的边长为18-12=6（厘米）‎ ‎　　阴影部分的总面积便是 ‎　　6×6×3=108（平方厘米）‎ ‎　　又如，“有9个长方形，它们的长、宽分别相等，用它们拼成的大长方形（如图4.60）的面积是45平方厘米，求大长方形的周长。”‎ ‎　　解题的关键，是求出一个小长方形的长和宽。由5个小长方形的宽等于 627‎ 形重新分割为5个小正方形，小正方形的边长，正好是小长方形的宽（如图4.61）。所以，5个小正方形面积之和，就是四个小正方形的面积之和，即5个小正方形面积为 ‎　　45÷9×4=20（平方厘米）‎ ‎　　每个小正方形的面积为 ‎　　20÷5=4（平方厘米）‎ ‎　　显然，每个小正方形的边长（即小长方形的宽）为‎2厘米，小长方形的长便是 ‎　　‎ ‎　　进而便可求得大长方形的周长为 ‎　　［2.5×4＋（2.5＋2）］×2=29（厘米）。‎ ‎　　此外，题目还可这样解答：‎ ‎　　因为小长方形宽的5倍等于长的4倍，所以，可用（4与5的最小公倍数）20个小长方形拼成一个大的正方形（如图4.62）。大正方形面积是 ‎　　‎ ‎　　它的边长便是‎10厘米，则小正方形的长为 ‎　　10÷4=2.5（厘米）‎ ‎　　小正方形的宽为 ‎　　10÷5=2（厘米）‎ ‎　　于是，原来的大长方形的周长就是 ‎　　（2.5×4＋2.5＋2）×2=29（厘米）。‎ 627‎ ‎　　【用面积线段比的关系解题】 利用面积比与线段比之间的等量关系，常常能使复杂问题简单化。例如 ‎　‎ ‎　　‎ 为什么成立？‎ ‎　　由图中可以看出，△PBC和△ABC是同底的两个三角形，所以 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　又如，第一届“华罗庚金杯赛”上有过一道这样的题目：‎ ‎　　“如图4.64，一个长方形地面被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20公亩、25公亩和30公亩，另一个（图中阴影部分）长方形的面积是多少公亩？”‎ 627‎ ‎　　图中可见，右边两个长方形是长相同的长方形，它们的面积比等于它们宽的比；同样，左边两个长方形也是长相同的长方形，它们的面积比，也等于它们宽的比。‎ ‎　　设阴影部分面积为x公亩，由于左右两组长方形面积之比，都等于相同的宽之比，所以 ‎　　‎ ‎　　即另一个（阴影部分）长方形面积为37.5公亩。‎ 627‎ ‎8、运算法则或方法 ‎　　【四则运算法则】整数、小数、分数的加、减、乘、除四则运算法则，见小学数学课本，此处略。‎ ‎　　【四则运算顺序】见小学数学课本，略。‎ ‎　　【繁分数化简方法】繁分数化简的方法，一般有以下两种方法。‎ ‎　　（1）利用分数基本性质，把繁分数的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍数，从而化简繁分数。‎ ‎　　‎ ‎　　（2）利用分数与除法的关系，将繁分数化简。这是因为繁分数实际上是分数除法的另一种表示形式的缘故。例如 ‎　　‎ ‎　　【求连分数的值的方法】由数列a0，a1，……及b1，b2，……所组成的表达式 ‎　　　‎ ‎　　称为“连分数”。它可简记为 ‎　　　‎ ‎　　　‎ 627‎ 为连分数的值。‎ ‎　　连分数有两种，一是有限连分数，二是无限连分数。例如，‎ ‎　　‎ ‎　　求有限连分数的值，也称化简连分数，它的化简方法与繁分数的化简方法基本相同。一般是从最下面的分母运算开始，逐步向上计算。例如上面的这个有限连分数：‎ ‎　　‎ ‎　　求无限连分数的值，就是求它的有限层的值作为它的近似值。当层次愈多时，就愈接近它的值。‎ ‎　　注意：繁分数和连分数，都不是“分数”定义里所定义的一种分数。‎ ‎　　‎ 分解为两个单位分数的和，可按以下步骤去完成：‎ ‎　　　　‎ 的任意两个约数a1，a2；‎ ‎　　（2）扩分：将单位分数的分子、分母同乘以两约数的和（a1+a2），‎ 627‎ ‎　　（3）拆分：将扩分后所得的分数，按照同分母分数相加的法则反过来 ‎　　（4）约分：将拆开后的两个分数约分，便得到两个单位分数。‎ ‎　　‎ ‎　　注意：（1）因大于1的自然数的约数有时不止2个，有多个，从中任取两个约数的取法也有多种，只要每次取出的两个约数之间不成比例，则将一个单位分数拆成两个单位分数的和的结果也各不相同。‎ ‎　　例如，15的约数有1，3，5，15四个，从中任取两个的取法有（1，3）、（1，5）、（1，15）、（3，5）、（3，15）、（5，15）六种，而取（1，3）和（5，15）、（1，5）和（3，15）是成比例 ‎　　（2）若要将单位分数拆成两个相等的单位分数之和，那只要在扩分时，分子、分母同乘以分母的任何一个约数的2倍或乘以2即可。‎ ‎　　 ‎ ‎　　‎ 拆成n个单位分数的和的方法和步骤与拆成两个单位分数的方法和步骤相同，不同点只在扩分时，分子、分母同乘以分母A的n个约数的和（a1+a2+…+an）。‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　解∵15=3×5‎ ‎　　∴15的约数有1，3，5，15。‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　‎ 有限个分数的和的形式。‎ ‎　　【近似数的加减法】在一般情况下，近似数相加减，和或差精确到哪一位，与已知数中精确度最低的一个相同。计算法则有以下三条：‎ ‎　　（1）确定结果精确到哪一个数位（已知数中精确度最低的精确到了哪一个数位，则计算的结果就精确到这个数位）；‎ ‎　　（2）把已知数中超过这一最低精确度这个数位的数字，四舍五入到这个数位的下一位；‎ ‎　　（3）进行计算，并且把算得的数的末位数字四舍五入。‎ ‎　　例如，求近似数25.4、0.456、8.738和56的和。‎ ‎　　‎ ‎　　25.4+0.456+8.738+56≈91‎ ‎　　又如，求近似数0.095减0.002153的差。‎ ‎　　解：‎ 627‎ ‎　　　　‎ ‎　　0.095-0.002153≈0.093‎ ‎　　【近似数的乘除法】在一般情况下，近似数相乘除，积或者商取几个有效数字，与已知数中有效数字最少的相同。具体法则有以下三条：‎ ‎　　（1）确定结果有多少个有效数字（已知数中有效数字最少的有多少个，结果就取同样多个有效数字）；‎ ‎　　（2）把已知数中有效数字的个数多的，四舍五入到只比结果中有效数字的个数多一个；‎ ‎　　（3）进行计算（除法要比结果多算出一位），并把算得的数四舍五入到应该有的有效数字的个数。‎ ‎　　例如，（1）求近似数26.79与0.26的积。（2）求近似数9.7除以近似数25.78的商。‎ ‎　　 ‎ ‎　　‎ ‎　　因24只有两个有效数字，故可把各数分别四舍五入到三个有效数字以后去计算；得出中间结果仍保留三个有效数字，即比法则规定的多保留一个；得出最后的结果，再四舍五入到两个有效数字。‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　再如，量得一个圆的周长约是‎3.73厘米，求这个圆的直径。‎ ‎　　题目要求直径长度，需用“3.73÷π”去计算。其中3.73是近似数，有三个有效数字；π是个准确数，它有任意多个有效数字，计算时，π取四个有效数字：‎ ‎　　解3.73÷π≈3.73÷3.142≈1.19（厘米）‎ ‎　　答：这个圆的直径约是‎1.19厘米。‎ ‎　　【近似数混合运算方法】近似数的混合运算，要分步来做。运算的中间步骤的计算结果，所保留的数字要比加、减、乘、除计算法则规定的多取一个。例如，作近似数的混合计算：‎ ‎　　57.71÷5.14+3.18×1.16-4.6307×1.6。‎ ‎　　解原式=11.23+3.689-7.41‎ ‎　　≈7.5‎ ‎　　说明：（1）57.71÷5.14，3.18×1.16，4.6307×1.6，所得的中间结果11.23，3.689，7.41，都比法则规定应当取的有效数字多取了一个。‎ ‎　　（2）11.23+3.689-7.41是加减法，各数中精确度最低的是7.41，这个数实际上只有两个有效数字，就是只精确到十分位。因此，最后求得的结果应当四舍五入到十分位，得7.5。‎ ‎　　又如，“有一块梯形土地，量得上底约为‎68.73米，下底约为‎104.20米，高约为‎9.57米。求这块土地的面积。‎ ‎　‎ ‎　　≈86.47×9.57‎ ‎　　≈828（平方米）（答略）‎ ‎　　说明：（1）68.73+104.20，所得的中间结果172.93，精确到0.01，没有多取的数位。‎ 果四舍五入到三个有效数字，得828。‎ 627‎ ‎　　【预定精确度的计算法则】已给出计算结果所要求达到的精确度，要求确定原始数据的精确度，通常称其为“预定精确度的计算”。‎ ‎　　预定精确度的计算法则，一般有：‎ ‎　　（1）预定结果的精确度用有效数字给出的问题。‎ ‎　　如果预定结果有n个有效数字，那么原始数据一般取到n+1个有效数字。‎ ‎　　例如，圆形面积大约是‎140平方米，要使算出的结果具有两个有效数字，那么测量半径r应达到怎样的精确度？π应取几个有效数字的近似值？‎ ‎　　解：为了使面积S具有两个有效数字，π和r就都要有三个有效数字。因为 ‎　　 ‎ ‎　　r应该有一位整数，所以测量半径时，应该精确到‎0.01米。‎ ‎　　π应该取三个有效数字的近似值--3.14。‎ ‎　　（2）对于加法和减法，由于计算结果的精确度是按小数的位数来确定的，所以当预定结果的精确度用有效数字个数给出，那么就要先估计出和或差里最高一位数在哪一位上。‎ ‎　　例如，梯形上底a约‎50米，下底b约‎60米，高h约‎40米。测量时，应达到怎样的精确度，才能使算出的面积S有两个有效数字？‎ ‎　　‎ ‎　　要使S有两个有效数字，则（a+b）与h都应该有三个有效数字。所以，测量h应精确到‎0.1米，而测量上底和下底，只需要精确到‎1米（因a+b有三个整数数位。）‎ ‎　　在实际测量时，a、b、h都有两个整数数位，测量工具一样，因此常采用相同的精确度。‎ ‎　　【一般验算方法】‎ ‎　　（1）加减法的验算方法。‎ ‎　　加法的验算方法有二：一是利用加法交换律，把加数位置交换后再相加，所得的结果必须与原计算的结果相同，说明计算才是正确的。二是利用加法和减法的逆运算关系，把所得的和减去一个加数，所得的差必须等于另一个加数，计算才是正确的。‎ ‎　　减法的验算也有两种方法：一是利用加减互逆的关系进行验算，把所得的差与减数相加，所得的和必须等于被减数，计算才是正确的。二是利用被减数、减数、差三者之间的关系进行验算，用被减数减去差，所得的结果必须等于减数，计算才是正确的。‎ 627‎ ‎　　（2）乘除法的验算方法。‎ ‎　　乘法有两种验算方法：①利用乘法交换律进行验算，把因数位置交换后再相乘，所得的结果必须和原来的计算结果相同，计算才是正确的。②利用乘除互逆关系，把所得的积除以一个因数，结果必须等于另一个因数，计算才是正确的。‎ ‎　　除法也有两种验算方法：①利用乘除互逆关系，把除数和商相乘（如有余数，还要加上余数），所得的结果必须等于被除数，计算才是正确的。②利用被除数、除数、商、余数之间的关系，把被除数减去余数所得的差（没有余数的不必去减），除以商，所得的结果必须等于除数，计算才是正确的。‎ ‎　　（3）四则混合运算式题的验算。‎ ‎　　四则混合运算式题的验算，虽然可采用上述加、减、乘、除法的验算方法去验算，但非常麻烦，不如采用重算的办法。由于计算中最易错的是运算顺序、分小数互化等，所以重算可分三步走：①检查运算顺序；②检查分小数互化情况；③检查每步计算结果是否正确。‎ ‎　　（4）解方程、解比例的验算方法。‎ ‎　　解方程、解比例的验算，可将求得的解代入原方程或原比例，看等号两边的数值是否相等。‎ ‎　　（5）应用题的验算方法。‎ ‎　　应用题的验算可以采用下面三种方法：‎ ‎　　①用“一题多解”验算。有多种解法的应用题，可用不同的解法去再解一遍。若解得的结果一致，说明解法是正确的。‎ ‎　　②用“还原法”验算。将计算结果作为题目中的已知条件，根据其数量关系，若算得其他已知条件和数据都是成立的（即能“还原”），则表明题目的解法是正确的。‎ ‎　　③用分析、估算方法验算。根据生活经验等，可知：求总数，结果不应小于部分数；求人数、植树棵树等，得数通常为整数；计算出油率、合格率等，得数不会大于100％；计算各种速度、农作物单位面积产量，得数应基本符合实际情况；……否则，题目的解答便可能是错误的。‎ ‎　　不过，分析、估算办法只能检验出大致的情况，大致情况检验出来后，还得用其他方法验算。‎ ‎　　【弃九验算法】利用被9除所得余数的性质，对四则运算进行检验的一种方法，称为“弃九验算法”，简称“弃九法”。‎ ‎　　用“弃九法”验算，首先要找出一个数的“去九数”（或称“弃九数”）。把一个数各位数字相加，如果和大于9，又再将和的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9的要减去9得0），这个数我们便称它为原数的“去九数”。例如 ‎　　8693：8+6+9+3=26-→2+6=8（去九数是8）；‎ 627‎ ‎　　721：7+2+1=10-→1+0=1（去九数是1）。‎ ‎　　去九数也可以这样得到：把一个数中的数字9，或者相加得9的几个数字都划去，将剩下来的数字相加，得到一个小于9的数，这个数就是原数的去九数。‎ ‎　　例如：‎ ‎　　“弃九验算法”也可以说，是利用“去（弃）九数”去进行验算的一种验算方法。例如，验算下面的加减法，可先求出等号左右每个数的去九数，然后将等号左边的去九数相加减，若去九数的和（或差），与等号右边和（或差）的去九数不相等，则可以肯定，原来的计算是错误的。例如 ‎　　　　‎ ‎　　（如果两个加数的去九数之和大于9，则应减去9）‎ ‎　　所以，可以肯定，原式的计算是错误的。的确，正确的答案是70168。‎ ‎　　假如最后的两个去九数之和或差，与等号右边和（或差）的去九数相等，那么在一般情况下，可以认为原来的计算大致没有错误。例如 ‎　　所以，可以认为原来的计算大致没有错误。‎ ‎　　减法的验算如 ‎　　　　‎ 627‎ ‎　　所以，可以肯定，原计算是错误的。事实上，原式的差应该是146410。‎ ‎　　用弃九法验算乘法如下面的两个例子：‎ ‎　　（1）‎ ‎　　可以肯定，原来的计算是错误的。确实，正确的答案应该是716478。‎ ‎　　（2）‎ ‎　‎ ‎　　可以认为，这道题大致没有错误。‎ ‎　　用弃九法验算除法，可利用下面的关系式来进行：‎ ‎　　除数×商=被除数；‎ ‎　　除数×商+余数=被除数。‎ ‎　　例如：‎ ‎　　（1）‎ ‎　　可以认为，这道题的计算大致没有错误。‎ ‎　　（2）‎ 627‎ ‎　　可以认为，这道题的计算，大致没有错误。‎ ‎　　不难发现，弃九验算法是既方便，又有趣的。但当弃九数的等式相等时，为什么要说“在一般情况下”，“可以认为”原式的计算”大致没有错误”呢？请看下面几个数的去九数：‎ ‎　　这就是说，当几个数的数字相同，仅仅是0的个数不同；或者是数字顺序颠倒；或者小数点的位置不同时，它的去九数却是相同的。这样就会导致用弃九法验算，不能查出去九数虽相同，而数的实际大小却并不相同的情况。这一点，在使用弃九法验算时，我们必须特别注意。‎ ‎　　尽管有以上这种情况，但一般说来，弃九验算法还是一个有特色、有趣味的和比较好的验算方法。‎ ‎　　【速算方法】（见第一部分“（五）数学公式”中的“速算公式”及第四部分中的“速算技巧”。）‎ ‎　　【名数化、聚方法】‎ ‎　　（1）名数的化法。把高级单位的单名数或复名数，化成低级单位的单名数的方法，叫做“名数的化法”。计算时，用进率乘以高级单位的数，再加上低级单位的数。‎ ‎　　例如，把‎6米32厘米化成以厘米为单位的数：‎ ‎　　因为厘米和米之间的进率是100，所以，解法是 ‎　　100×6+32=632（厘米），‎ ‎　　即‎6米32厘米=‎632厘米。‎ ‎　　（2）名数的聚法。把低级单位的单名数聚成高级单位的单名数或复名数的方法，叫做“名数的聚法”。计算时，用低级单位的数除以进率，所得的商就是高级单位的数，余数就是低级单位的数。‎ ‎　　例如，把‎5700千克聚成以吨和千克为单位的复名数。‎ ‎　　因为吨和千克之间的进率是1000，所以解法是 627‎ ‎　　5700÷1000=5……700‎ ‎　　∴‎5700千克=5吨‎700千克。‎ ‎9、约数与倍数 ‎【约数问题】‎ ‎　　例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。（上海市第五届小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。‎ ‎　　而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。一般来说，约数都是成对地出现。‎ ‎　　1155的约数共有16个。‎ ‎　　16÷2=8（对）。‎ 627‎ ‎　　所以，有8种不同的拼法。‎ ‎　　例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？‎ ‎　　（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题）‎ ‎　　讲析：将360分解质因数，得 ‎　　360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。‎ ‎　　所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）‎ ‎　　这24个约数的和是：‎ ‎　　‎ ‎　　例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？‎ ‎　　（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）‎ ‎　　讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。‎ ‎　　把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解：‎ ‎　　99=3×3×11； 98=2×7×7；‎ ‎　　97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。‎ ‎　　发现，96是上面数的约数。‎ ‎　　所以，两位数的约数中，最大的是96。‎ ‎　　例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。‎ ‎　　（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：一个自然数N，当分解质因数为：‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　因为8=1×8=2×4=2×2×2，‎ 627‎ ‎　　所以，所求自然数分解质因数，可能为：‎ ‎　　27，或23×3，或2×3×5，……‎ ‎　　不难得出，最小的一个是24。‎ ‎【倍数问题】‎ ‎　　例1 6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有______枚。‎ ‎　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：因为6枚1分的硬币与5枚2分的一样高，所以36枚1分的硬币与30枚2分的一样高。‎ ‎　　6枚2分的硬币与5枚5分的一样高，所以30枚2分的硬币与25枚5分的一样高。‎ ‎　　因此，36枚1分的硬币高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。它们共有：‎ ‎　　1×36+2×30+5×25=221（分）。‎ ‎　　4元4角2分=442（分），442÷221=2。‎ ‎　　所以，1分的硬币共36×2=72（枚），2分的硬币共30×2=60（枚），5分的硬币共25×2=50（枚），即总共有182枚。‎ ‎　　例2 从1、2、……、11、12中至多能选出______个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。‎ ‎　　（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：1、3、5、7、9、11是奇数，不可能是任何整数的2倍。剩下的数有2、4、6、8、10、12六个数，且6是3的2倍，10是5的2倍。如取2，则4、8、12就都不能取；如取4，则2、8不能取，故只可取12；如取8，则2、4不能取，故只可取8。所以至多能选取8个数。‎ ‎　　例3 小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1、2、3、……13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有______个。‎ ‎　　（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：因为6=2×3，所以能被6整除的因数中，至少含有一个2和一个3。‎ ‎　　当一边取6，另一边取1、2、……、13时均成立，有13个积；‎ ‎　　当一边取7、8、9、10、11、12、13，另一边取12时，有7个积；‎ 627‎ ‎　　当一边取10，另一边取9时，有1个积。‎ ‎　　所以，不相等的乘积中，被6整除的共有：‎ ‎　　13+7+1=21（个）。‎ ‎　　例4 设a与b是两个不相等的自然数。如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有______种不同的值。‎ ‎　　（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：因为72=23×32，它共有约数 ‎　　（3+1）×（2+1）=12（个）‎ ‎　　这12个约数，每个约数与72的最小公倍数都是72，a、b之和有12种不同的值；‎ ‎　　当a=22×32=36时，b可取23=8或23×3=24，a、b之和有2种不同的值；‎ ‎　　当a=23×3=24时，b可取32=9或2×32=18，a、b之和有2种不同的值。‎ ‎　　当a=2×32=18时；b可取23=8，a、b之和有1种不同的值。‎ ‎　　所以，满足条件的a与b之和共有17种不同的值。‎ ‎10、余数问题 ‎　　【求余数】‎ ‎　　　　‎ ‎　　（1990年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题）‎ 627‎ ‎　　‎ 一组，就可得到331组，尚余4个6。‎ ‎　　而6666÷7=952……2。所以，原式的余数是2。‎ ‎　　例2 9437569与8057127的乘积被9除，余数是__。‎ ‎　　（《现代小学数学》邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。‎ ‎　　9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。‎ ‎　　7×3=21，21÷9=2……3。‎ ‎　　所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。‎ ‎　　例3 在1、2、3、4、……、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_______个。‎ ‎　　（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：可将1、2、3、……、1994这1994个数，分别除以26。然后，按所得的余数分类。‎ ‎　　要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。‎ ‎　　但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。这样的数有1994÷26=76（个）……余18（个）。但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。‎ ‎　　所以，最多能选出77个。‎ ‎　　【同余问题】‎ ‎　　例1 一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。这个整数是_____。‎ ‎　　（全国第一届“华杯赛”初赛试题）‎ ‎　　讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。‎ ‎　　不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。‎ 627‎ ‎　　例2 小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？（1989年上海市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是18÷3=6。又因为113÷6的余数是5，所以该题的余数也是5。‎ ‎　　例3 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少有______个桃子。‎ ‎　　（哈尔滨市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：因为第一只猴子把桃5等分后，还余1个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1个桃子。于是，我们可设想，如果另加进4个桃子，则连续五次可以分成5等份了。‎ ‎　　加进4个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需5等份后，拿走一份。‎ ‎　　因为4与5互质，每次的4份能分成5等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成5等份。这样，这堆桃子就能连续五次被5整除了。所以，这堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121（个）。‎ ‎　　例4 在1、2、3、……、30这30个自然数中，最多能取出______个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。‎ ‎　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：我们可将1到30这30个自然数分别除以7，然后按余数分类。‎ ‎　　余数是0：7、14、21、28‎ ‎　　余数是1：1、8、15、22、29‎ ‎　　余数是2：2、9、16、23、30‎ ‎　　余数是3：3、10、17、24‎ ‎　　余数是4：4、11、18、25‎ ‎　　余数是5：5、12、19、26‎ ‎　　余数是6：6、13、20、27‎ ‎　　要使两数之和不是7的倍数，必须使这两个数分别除以7所得的余数之和不等于7。‎ ‎　　所以，可以取余数是1、2、3的数，不取余数是4、5、6的数。而余数为0的数只取一个。‎ 627‎ ‎　　故最多可以取15个数。‎ ‎11、有关数的法则或方法 627‎ ‎　　【数的读写方法】（整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百分数的读、写方法，见小学数学课本，此处略。）‎ ‎　　“成数”、“折数”即“十分数”，它们常用中国数字和文字“七成”、“二成五”、“八折”、“九五折”等表示，并根据其文字去读。它们也常用分母为十的分数，或者用百分数去表示，这时便可按分数、百分数的方法去读。‎ ‎　　“千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千分号”--“‰”来写千分数，如某地人口出生率为千分之七，写作“7‰”，读作“千分之七”。‎ ‎　　【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以10的整数次幂来表示一个数的方法，叫做“科学记数法”。‎ ‎　　利用小数点移动的规律，很容易把一个数用“科学记数法”表达为“a×10n（1≤a≤10，n是整数）”的形式。例如：‎ ‎　　25700，把小数点向左移动四位，得1＜2.57＜10，但2.57比25700小了10000倍，所以 ‎　　25700=2.57×104。‎ ‎　　0.00867，把小数点向右移动三位，得1＜8.67＜10，但8.67比0.00867大了1000倍，所以 ‎ ‎　　‎ ‎　　【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。‎ ‎　　四舍五入法──省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如果要舍去的尾数的最高位上的数是4，或者是比4小的数，就把尾数舍去；如果要舍去的尾数的最高位上的数是5，或者是比5大的数，把尾数舍去以后，要向它的前一位进一。这种求近似数的方法叫做“四舍五入法”。‎ ‎　　例如，把8，654，000四舍五入到万位，约等于865万；把7.6239四舍五入保留两位小数约等于7.62；把2，873，000，000四舍五入到亿位，约等于29亿；把32.99506四舍五入精确到百分位约等于33.00。‎ ‎　　去尾法──要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法叫做“去尾法”。‎ ‎　　进一法──省略某一个数某一位后面的尾数时，不管这些尾数的大小，都向它的前一位进一。这种求近似数的方法，叫做“进一法”。‎ 627‎ ‎　　显然，用“进一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“过剩近似值”，而用“去尾法”和“四舍”方法截取的近似值，叫做“不足近似值”。‎ ‎　　值得注意的是：在近似数的取舍结果中，小数点后最右一位上的零必须写上。例如，把1.5972四舍五入，保留两位小数得1.60，即1.5972≈1.60，最后的“0”不可去掉，否则，它只精确到十分位了。‎ ‎　　【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数，一般有两种方法。‎ ‎　　（1）查表法。用查质数表的方法，可以较快地判断一个数是否为质数：质数表上有的是质数，同一范围内的质数表上没有这个数，那它便是个合数。‎ ‎　　（2）试除法。如果没有质数表，也来不及制作一个质数表，可以用试除来判断。‎ ‎　　例如，要判定161和197是不是质数，可以把这两个数依次用2、3、5、7、11、13、17、19……等质数去试除。这是因为一个合数总能表示成几个质因数的乘积，若161或197不能被这个合数的质因数整除，那么也一定不能被这个合数整除。所以，我们只要用质数去试除就可以了。‎ ‎　　由161÷7=23，可知161的约数除了1和它本身外，至少还有7和23。所以，161是合数，而不是质数。‎ ‎　　由197依次不能被2、3、5、7、11、13整除，而197÷17=11……10，这时的除数17已大于不完全商11，于是可以肯定：197是质数，而不是合数。因为197除了它本身以外，不可能有比17大的约数。假定有，商也一定比11小。这就是说，197同时还要有比11小的约数。但经过试除，比11小的质数都不能整除197，这说明比11小的约数是不存在的，所以197是质数，不是合数。‎ ‎　　【最大公约数求法】最大公约数的求法，一般可用下面四种方法。‎ ‎　　（1）分解质因数法。先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质因数连乘起来，就是所求的最大公约数。例如，求2940、756和168的最大公约数：‎ ‎　　∵ 2940=22×3×5×72，‎ ‎　　756=22×33×7，‎ ‎　　168=23×3×7；‎ ‎　　∴（2940，756，168）=22×3×7=84。‎ 627‎ ‎　　注：“（2940，756，168）=‎84”‎的意思，就是“2940、756和168的最大公约数是‎84”‎。‎ ‎　　（2）检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”，也是小学数学课本介绍的那一种一般的求法，此处略。‎ ‎　　（3）辗转相减法。较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减法”：用大数减小数，如果减得的差与较小的数不相等，便再以大减小求差，直到出现两数相等为止。这时，相等的数就是这两个数的最大公约数。‎ ‎　　例如，求792和594的最大公约数。‎ ‎　　∵（792，594）=（792-594，594）‎ ‎　　=（198，594）=（594-198，198）‎ ‎　　=（198，396）=（198，396-198）‎ ‎　　=（198，198）=198，‎ ‎　　∴（792，594）=198。‎ ‎　　用辗转相减法求两个数的最大公约数，可以推广到求n个数的最大公约数，具体做法是：可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数里减去较小的数。这样逐次做下去，直到所得的差全部相等为止。这个相等的差，就是这些数的最大公约数。‎ ‎　　例如，求1260、1134、882和1008的最大公约数。‎ ‎　　∵（1260，1134，882，1008）‎ ‎　　=（1260-1134，882，1008-882，1134-882）‎ ‎　　=（126，126，882，252）‎ ‎　　=（126，126，882-126×6，252-126）‎ ‎　　=（126，126，126，126）=126，‎ ‎　　∴（1260，1134，882，1008）=126。‎ ‎　　（4）辗转相除法（欧几里得算法）。‎ ‎　　用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下：‎ ‎　　光用较小数去除较大的数，得到第一个余数；‎ ‎　　再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数；‎ ‎　　又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数；‎ 627‎ ‎　　这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。这时，余数“0”前面的那个余数，便是这两个数的最大公约数。‎ ‎　　求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相当麻烦的，而采用“辗转相除法”去求，就简便、快速得多了。‎ ‎　　例如，求437和551的最大公约数。具体做法是：先将437和551并排写好，再用三条竖线把它们分开。然后依下述步骤去做：‎ ‎　　（1）用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外， 并求得余数为114。‎ ‎　　（2）用余数114去除437，把商数“3”写在比114大的数（437）的线外，并求得余数为95。‎ ‎　　（3）用余数95去除114，把商数“1”写在114右边的直线外，并求得余数为19。‎ ‎　　（4）用余数19去除95，把商数“5”写在95左边的直线外面，并求得余数为0。‎ ‎　　（5）当余数为0时，就可断定余数0前面的那一个余数19，就是437和551的最大公约数。‎ ‎　　又如，求67和54的最大公约数，求法可以是 627‎ ‎　　由余数可知，67和54的最大公约数是1。也就是说，67和54是互质数。‎ ‎　　辗转相除法，虽又称作“欧几里得算法”，实际上它是我国最先创造出来的。早在我国古代的《九章算术》上，就有“以少减多，更相减损”的方法求最大公约数的记载。一般认为，“辗转相除法”即源于此。这比西方人欧几里得等人的发现要早600年以上。‎ ‎　　辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果要求三个或三个以上数的最大公约数，可以用它先求出其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。这样依次下去，直到最后一个数为止。最后的一个最大公约数，就是这几个数所要求的最大公约数。‎ ‎　　【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分数。一组分数的最大公约数一定是分数，而这组分数分别除以它们的最大公约数，应得整数。‎ ‎　　求一组分数的最大公约数的方法是：‎ ‎　　（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；‎ ‎　　（2）再求出各个分数分母的最小公倍数a；‎ ‎　　（3）然后求出各个分数分子的最大公约数b；‎ ‎　　　‎ ‎　　‎ ‎　　 ‎ ‎　　再求出三个分母的最小公倍数，得72；‎ ‎　　然后求出三个分子35、21和56的最大公约数，得7；‎ ‎　　【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。‎ ‎　　（1）分解质因数法。先把各数分解质因数，在所有相同的质因数中，每一个取出指数最大的，跟所有不同的质因数连乘起来，就是所求的最小公倍数。‎ ‎　　例如，求120、330和525的最小公倍数。‎ 627‎ ‎　　∵120=23×3×5，‎ ‎　　330=2×3×5×11，‎ ‎　　525=3×52×7；‎ ‎　　∴[120，330，525]=23×3×52×7×11=46200‎ ‎　　注：“[120，330，525]=‎46200”‎表示“120、330和525三个数的最小公倍数是‎46200”‎。‎ ‎　　（2）检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”或“用短除法的求法”，也就是小学数学课本上介绍的一般方法，此处略。‎ ‎　　（3）先求最大公约数法。由于“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积”，即 ‎　　a·b=（a，b）·[a，b]‎ ‎　　所以，两个数的最小公倍数，可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数来求得。即 ‎　　　　‎ ‎　　例如，求[42，105]。‎ ‎　　‎ ‎　　若要求三个或三个以上的数的最小公倍数，可以先求其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第四个数的最小公倍数，……，如此依次做下去，直到最后一个数为止。最后求得的那个最小公倍数，就是所要求的这几个数的最小公倍数。‎ ‎　　例如，求[300，540，160，720]‎ 627‎ ‎　　　‎ ‎　　∴[300，540，160，720]=21600‎ ‎　　【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义，可以推广到分数。一组分数的最小公倍数，可能是分数，也可能是整数，但它一定是这组分数中各个分数的整数倍数。‎ ‎　　求一组分数的最小公倍数，方法是：‎ ‎　　（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；‎ ‎　　（2）再求出各个分数分子的最小公倍数a；‎ ‎　　（3）然后求出各个分数分母的最大公约数b；‎ ‎　　‎ ‎　　再求各分数分子的最小公倍数，得 ‎　　[35，21，56]=840；‎ ‎　　然后求各分数分母的最大公约数，得 ‎　　（6，8，9）=1‎ 627‎ ‎　　【数的互化方法】整数、小数和分数，整数、假分数和带分数，整数、小数、分数和百分数，成数（或折数）、分数和百分数，它们之间可以互化，互化的方法见小学数学课本，此处略。‎ ‎　　化循环小数为分数，还可以用移动循环节的方法。例如 ‎　　‎ ‎　　由这些实例，可以得循环小数化分数的法则如下：‎ ‎（1）纯循环小数化分数的法则。纯循环小数可以化成这样的分数：分子是一个循环节的数字所组成的数；分母的各位数字都是9，“9”的个数同循环节的位数相同。‎ ‎（2）混循环小数化分数的法则。混循环小数可以化成这样的分数：分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几个数字是9，末几位数字是0，“9”字的个数同循环节的位数相同，“0”字的个数和不循环部分的位数相同。‎ ‎　　【分数化有限小数判断法】‎ ‎　　若进一步研究，它又有以下的三种情况：‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　　‎ ‎　　‎ ‎5（即与10互质），或者除2和5以外，还包含其他的质因数，那么，这样的分数就不能化成有限小数，而只能化成无限循环小数。‎ ‎　　这里，又有以下的两种情况：‎ ‎　　‎ 和5时，这样的分数就可以化成纯循环小数。循环节内数字的个数，跟数列 ‎　　9，99，999，9999，……‎ ‎　　各项中，能被分母b整除的最小的数所含“9”字的个数相同。‎ 627‎ ‎　　‎ 分母37去除9，99，999，9999，……，能整除的 最小的数是999，即 ‎　　99937（即“999能被37整除”，“”是整除符号；亦可逆读为“37能整除‎999”‎）‎ ‎　　也可以表示为37｜999（即“37能整除‎999”‎，“｜”也是整除符号；亦可逆读为“999能被37整除”。）‎ ‎　　这里“999”，含有3个“9”，所以它化成的纯循环小数循环节内数字的个数也是3个：‎ ‎　　‎ ‎　　=0.513‎ ‎　　‎ 以外的质因数，那么这样的分数就可以化成混循环小数。它的不循环部分数字的个数，跟2和5在分母内最高乘方的指数相同；循环节内数字的个数，跟数列 ‎　　9，99，999，9999，……‎ ‎　　各项中，能被分母内2和5以外的质因数的积所整除的最小的数，所含“9”字的个数相同。‎ ‎　　‎ 质因数11，所以这分数可以化成混循环小数。不循环部分数字的个数是3个（最高乘方23的指数为3），循环部分的循环节数字是两个（11｜99，“9”的个数为2个）：‎ ‎　　‎ ‎　　概括起来，把分数化成小数，判断其得数的情况，不外乎以下三种：‎ ‎　　（1）若分母只含质因数2，5，则化得的小数是有限小数；‎ ‎　　（2）若分母不含质因数2，5，则化得的小数是纯循环小数；‎ 627‎ ‎　　（3）若分母既含质因数2，5，又含2和5以外的质因数，则化得的小数是混循环小数。‎ ‎　　注意：判断的前提是分数必须是既约（最简）分数，否则很容易出错。‎ ‎　　【百分比浓度求法】用溶质质量占全部溶液质量的百分比来表示溶液浓度，叫做溶液的百分比浓度。求法是 ‎　　‎ ‎　　例如，用白糖（溶质）‎1千克，开水（溶剂）‎4千克混合以后，所得的糖水（溶液）的百分比浓度是 ‎　　　‎ 用对称关系找约数 ‎　　【用对称关系找约数】找某一合数的约数，常有找不全的情况发生，而利用约数的对称关系去找，就能解决这一问题。方法是：‎ ‎　　（1）若某个合数为某一个自然数的平方，则它的所有约数的“中心数”就是这个自然数；再把比“中心数”小的几个约数找出来，其他的约数也就可以成对地和一个不漏地找出来。例如，找出36的全部约数：‎ ‎　　因为36=62，6是所有约数的“中心数”。比中心数6小的约数很容易找到，它们是1、2、3、4四个，于是比中心数大的约数，也就可依据对应关系，成对地找出来了，它们是36（与1对应）、18（与2对应）、12（与3对应）和9（与4对应）。如下图（图4.7）：‎ ‎　　（2）若某个合数不是某一自然数的平方，则可先找出一个“近似中心数”。例如，找出102的全部约数：‎ ‎　　因为102＜102＜112，所以可选10或11为“近似中心数”。然后找出比这个近似中心数小的所有约数——1、2、3、6；再找出比近似中心数大的所有约数——102、51、34、17。如下图（图4.8）：‎ 627‎ ‎　　（注意：“中心数”是其中的一个约数，但“近似中心数”却不是其中的一个约数。）‎ ‎　　【叉乘法求最小公倍数】用“叉乘法”求最小公倍数，是极为快速的。例如 ‎　　求24和36的最小公倍数。如图4.9：‎ ‎　‎ ‎　　24和36的最小公倍数是24×3=72，或36×2=72。‎ ‎　　这样做的道理很简单。因为 ‎　　‎ ‎　　所以，用24乘以36独有的质因数3，或者用36乘以24独有的质因数2，都能得到24与36的最小公倍数72。今后，用短除法找出两个数单独有的质因数以后，顺手画一个“×”，把它们分别与原来的两个数相乘，就都会得到它们的最小公倍数。‎ ‎　　又如，求20、12和18三个数的最小公倍数。如图4.10：‎ ‎　　∵20和12的最小公倍数是20×3=60，‎ ‎　　60和18的最小公倍数是60×3=180，‎ ‎　　∴20、12和18三个数的最小公倍数便是180。‎ ‎　　如果先求20和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数与12去求三个数的最小公倍数；或者先求12和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数与20去求三个数的最小公倍数，也是可以的。‎ ‎12、用补充数速算 ‎　　末尾是一个或几个0的数，运算起来比较简便。若数末尾不是0，而是98、51等，我们可以用（100—2）、（50＋1）等来代替，这也可能使运算变得比较简便、快速。一般地我们把100叫做 98的“大约强数”，2叫做 98的“补充数”；50叫做51的“大约弱数”‎ 627‎ ‎，1叫做51的“补充数”。把一个数先写成它的大约强（弱）数与补充数的差（和），然后再进行运算，这种方法叫做“运用补充数法”。例如 ‎　　（1）387＋99=387＋（100—1）‎ ‎　　=387＋100—1‎ ‎　　=486‎ ‎　　1680—89=1680-（100—11）‎ ‎　　=1680—100+11‎ ‎　　=1580+11‎ ‎　　=1591‎ ‎　　4365-997=4365-（1000-3）‎ ‎　　=4365-1000＋3‎ ‎　　=3368‎ ‎　　69×9=69×（10-1）‎ ‎　　=690-69‎ ‎　　=621‎ ‎　　69×99=69×（100-1）‎ ‎　　=6900-69‎ ‎　　=6831‎ ‎　　87×98=87×（100-2）‎ ‎　　=8700-87×2‎ ‎　　=8700-200+26‎ ‎　　=8526‎ ‎13、一般应用题 627‎ ‎　　【和差的问题】‎ ‎　　例1 六年级有四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余三个班的总人数是134人。乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人。四个班的总人数是_____。‎ ‎　　（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：因为乙、丙两班总人数比甲、丁两班总人数多1人。则乙、丙两班总人数的3倍就等于（131+134-l）=264人。所以，乙、丙两班共有246÷3=88（人）。然后可求出甲、乙两班总人数为88+1=89（人），进而可求出四个班的总人数为88+89=177（人）。‎ ‎　　例2 东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的。现知道五、六年级共有25幅画，因此，其它年级的画共有____幅。‎ ‎　　（1988年北京市小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：由“16幅画不是六年级的，15幅画不是五年级的”可得出，五年级比六年级多1幅画。所以六年级共有12幅画。然后可求出其它年级的画共有（15-12）幅，即3幅。‎ ‎　　例3 甲、乙、丙都在读同一本故事书。书中有100个故事。每人都认某一个故事开始按顺序往后读。已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事。那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有_____个。‎ ‎　　（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：可先看读得较少的两人重复阅读故事的个数。‎ ‎　　乙、丙两人最少共同读故事60+52-100=12（个）。因为每人都从某一故事按顺序往后读,所以甲读了75个故事。他无论从哪一故事开始读，都至少重读了上面12个故事。故答案是12个。‎ ‎　　例4 某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作。直到月底，总厂还剩工人240人。如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（ 1人1天为1个工作日），且无 1人缺勤。那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共____人。‎ ‎　　(北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题。）‎ ‎　　讲析：到月底总厂剩下240名工人，这240名工人一个月的工作日为 240×30=7200（个）。‎ ‎　　而8070-7200=870（个）。‎ ‎　　可知这870个工日是由总厂派到分厂工作的人在总厂工作的工日。‎ ‎　　设每天派a人到分厂工作，则这些人中留在总厂的工作日是；a人做29天，a人做28天，a人做27天，……a人做1天。‎ 627‎ ‎　　所以，（1+29）×a×29÷2=870，可解得a=2。‎ ‎　　故，共派到分厂的工人为2 × 30= 60（人）。‎ ‎　　【积商的问题】‎ ‎　　例1 王师傅加工1500个零件后，改进技术，使工作效率提高到原来的2.5倍，后来再加工1500个零件时，比改进技术前少用了18小时。改进技术前后每小时加工多少个零件？‎ ‎　　（1989年《小学生数学报》小学数学竞赛决赛试题）‎ ‎　　讲析：改进技术后的工效提高到原来的2.5倍，后来加工1500个零件时，比改进技术前少用18小时，则改进技术后加工1500个零件的时间是18÷（2.5-1）=12（小时）。‎ ‎　　原来加工1500个零件的时间是12+18=30（小时）‎ ‎　　于是，改进前每小时加工的便是1500÷30=50（个），‎ ‎　　改进后每小时加工的便是1500÷12=125（个）。‎ ‎　　例2 现有2分硬币、5分硬币各若干个，其中2分的比5分的多24个，如果把2分硬币等价换成5分硬币，所得的5分硬币要比原有的5分硬币少6个。原来两种硬币各有多少个？‎ ‎　　（1993年“光远杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：我们用方程来解，设原来有x个5分的硬币；则2分硬币共有（x+24）个。‎ ‎　　由题意得：2（x+24）÷5=x-6。‎ ‎　　解得：x=26，即5分币有26个。‎ ‎　　于是，2分币便有 ‎　　26+24=50（个）‎ 循环小数 ‎　　【循环小数化分数】‎ ‎　　小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：纯循环小数化分数时，分子由一个循环节的数字组成，分母由与 ‎　‎ 627‎ ‎　　数推出？‎ ‎　　（长沙地区小学数学竞赛预赛试题）‎ ‎　　讲析：‎ ‎　　循环节有6位数字。‎ ‎　　而（89-3）÷6=14余2。即小数点后第89位以后的数是230769循环。‎ ‎　　【循环小数的计算】‎ ‎　　‎ ‎　　（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：可把小数都化成分数后，再计算，得 ‎　　　　‎ ‎　　例2 图5.3列出的十个数，按顺时针次序可组成许多个整数部分是一位 ‎________。‎ ‎　　（1989年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：要想这个数最大，整数部分必须选9。它有四种：9.291892915，9.189291592，9.291592918，9.159291892。无论循环节怎样安排，都是从小数点后第十位开始重复。所以，以上四数中最大的是9.291892915。再考 ‎14、旋转变换 ‎　　【旋转成定角】例如下面的题目：‎ ‎　　“在图4.23中，半径为‎8厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶点都在圆周上，圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。问：“大正方形的面积比小正方形的面积大多少？”‎ ‎　　按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。若将小正方形围绕圆心旋转45°，使原图变成图4.24，容易发现，小正方形的面积为大正方形面积的一半。所以，大正方形面积比小正方形的面积大 ‎　　（8×2）×（8×2）÷2‎ ‎　　=16×16÷2‎ ‎　　=128（平方厘米）‎ ‎　　又如，如图4.25，求正方形内阴影部分的面积。（单位：厘米）‎ 627‎ ‎　　表面上看，题目也是很难解答的。但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心，分别按顺时针和逆时针方向旋转90°，就得到了一个由阴影部分组成的半圆（如图4.26），于是，阴影部分的面积就很容易解答出来了。（解答略）‎ ‎　　【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。若像打开折扇一样，绕着某个定点作“开扇式”旋转，往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。例如，求图4.27的阴影部分的面积（单位：厘米）。若采用正方形面积减空白部分面积的求法，‎ ‎　　计算量是很大的。由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们不妨把右下部的扇形打开，顺时针方向旋转90°，得到图4.28；再继续旋转，得到图4.29。在图4.29中，阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。所以，阴影部分面积是 ‎　　42×3.14÷2-（4+4）×4×2‎ ‎　　=25.12-16‎ ‎　　=9.12（平方厘米）‎ ‎　　又如，求图4.30阴影部分的面积（单位：厘米）。‎ ‎　　将这个图从中间剪开，以o为旋转中心，将右半部分按顺时针方向转到左半部下方，便变成了图4.31。于是，阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边均为‎2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。即 ‎　　（4÷2）2×3.14÷2-2×2÷2‎ ‎　　=6.28-2‎ ‎　　=4.28（平方厘米）‎ 627‎ ‎15、小数和分数 ‎　　【小数问题】‎ ‎　　例1 某数的小数点向右移动一位，则小数值比原来大25.65，原数是_______。‎ ‎　　（1993年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：小数点向右移动一位以后，数值扩大了10倍，新数比原数就多9倍。所以，原数为25.65÷9=2.85。‎ ‎　　例2 甲、乙两个数之和是171.6，乙数的小数点向右移动一位等于甲数，甲数是________。‎ ‎　　（1993年广州市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：由“乙数的小数点向右移动一位等于甲数”可知，甲数是乙数的10倍。所以，乙数是171.66÷（10+1）=15.6，甲数是15.6。‎ ‎　　例3 用一个小数减去末位数字不为零的整数。如果给整数添上一个小数点，使它变成小数，差就增加154.44，这个整数是________。‎ ‎　　（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：因为差增加154.44，所以这个整数一定是比原数缩小了100倍，即这个整数比原数增加了99倍，由154.44÷99=1.56可知，这个整数是156。‎ ‎　　【分数问题】‎ ‎　　　‎ 627‎ ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）‎ ‎　　讲析：‎ ‎　　　‎ ‎　　‎ ‎　　 ‎ ‎　　20×11+2=222，15×11=165。‎ ‎　　 ‎ ‎　　‎ ‎　　（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　‎ ‎　　7至64这58个连续自然数中，去掉13的倍数13、26、39、52四个数，用余下的54个数作分子，可得到54个最简分数。‎ ‎　　‎ c，则三个分数的和为6。求这三个真分数。‎ ‎　　（第三届《从小爱数学》邀请赛试题）‎ ‎　　　　‎ ‎　　因为三个分数为最简真分数，所以a只能是1、2，b只能取1、3，C只能取1、5。‎ ‎　　经检验，a=2，b=3，c=5符合要求。故三个真分数分别是 ‎　　‎ 627‎ ‎　　例4 地同时满足下列条件的分数共有多少个？‎ ‎　　‎ ‎　　（2）分子和分母都是质数；‎ ‎　　（3）分母是两位数。‎ ‎　　请列举出所有满足条件的分数。‎ ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）‎ ‎　　讲析：100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、‎ ‎　　即把不等式中三个分数的分子化为相同的办法，来搜寻分母。‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　所以，符合条件的分数有12个：‎ ‎　　‎ 627‎ ‎16、特殊解题方法 ‎　　【穷举法】 解答某些数学题，可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况，不重复不遗漏地全部列举出来，以达到解决问题的目的。这种解题方法就是穷举法。‎ ‎　　例1 从甲地到乙地有A、B、C三条路线，从乙地到丙地有D、E、F、G四条路线。问从甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线？（如图3．28）‎ ‎　　分析：从甲地到乙地有3条路线，从乙地到丙地有4条路线。从甲地经过乙地到达丙地共有下列不同的路线。‎ ‎　　解：3×4＝12‎ ‎　　答：共有12条路线。‎ 627‎ ‎　　例2 如果一整数，与1、2、3这三个数，通过加减乘除运算（可以添加括号）组成算式，能使结果等于24，那么这个整数就称为可用的。在4、5、6、7、8、9、10、11、12这九个数中，可用的有_______个。（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　分析：根据题意，用列式计算的方法，把各算式都列举出来。‎ ‎　　4×（1＋2＋3）＝24 （5＋1＋2）×3＝24‎ ‎　　6×（3＋2－l）＝24 7×3十豆十2—24‎ ‎　　8×3×（2－1）＝24 9×3—1—2—24‎ ‎　　10×2＋l＋3＝24 11×2＋3－l＝24‎ ‎　　12×（3＋1－2）＝24‎ ‎　　通过计算可知，题中所给的9个数与1、2、3都能够组成结果是24的算式。‎ ‎　　答：可用的数有9个。‎ ‎　　例3 从0、3、5、7中选出三个数字能排成_______个三位数，其中能被5整除的三位数有_________个。（1993年全国小学数学竞赛预赛试题）‎ ‎　　分析：根据题中所给的数字可知：‎ ‎　　三位数的百位数只能有三种选择：‎ ‎　　十位数在余下的三个数字中取一个数字，也有3种选择；‎ ‎　　个位数在余下的两个数字中取一个数字，有2种选择。‎ ‎　　解:把能排成的三位数穷举如下，数下标有横线的是能被5整除的。‎ ‎　　305， 307， 350， 357， 370， 375；‎ ‎　　503， 507， 530， 537， 570， 573；‎ ‎　　703， 705， 730， 735， 750， 753‎ ‎　　答：能排成18个三位数，其中能被5整除的有10个数。‎ 627‎ ‎　　例4 数一数图3．30中有多少个大小不同的三角形？‎ ‎　　分析：为了不重复不遗漏地数出图中有多少个大小不同的三角形，可以把三角形分成A、B、C、D四类。‎ ‎　　A类：是基本的小三角形，在图中有这样的三角形16个；‎ ‎　　B类：是由四个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形7个。6个尖朝上，一个尖朝下。‎ ‎　　C类：是由九个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形3个，尖都朝上。‎ ‎　　D类：是最大的三角形，图中只有1个。‎ ‎　　解：16＋7＋3＋1＝27（个）‎ ‎　　答：图中有大小不同的三角形共27个。‎ ‎　　【设数法】 有些数学题涉及的概念易被混淆，解题时把握不定，还有些数学题是要求两个（或几个）数量间的等量关系或者倍数关系，但已知条件却十分抽象，数量关系又很复杂，凭空思索，则不易捉摸。为了使数量关系变得简单明白，可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值，以利于探索解答问题的规律，正确求得问题的答案。这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。‎ ‎　　给哪一个未知量设数，要便于快速解题。为了使计算简便，数字尽可能小一点。在分数应用题中，所设的数以能被分母整除为好。若单位“ 1”未知，就给单位“1”设具体数值。‎ ‎　　例1 判断下列各题。（对的打√，错的打×）‎ ‎　　（1）除1以外，所有自然数的倒数都小于1。（ ）‎ 627‎ ‎　　（2）正方体的棱长和它的体积成正比例。（ ）‎ ‎　　以上各数的倒数都小于1，就能猜测此题的说法是正确的。‎ ‎　　第（2）小题，给正方体的棱长设数，分析棱长的变化与其体积变化的规律。‎ ‎　　由上表看出，正方体的棱长扩大2倍，体积扩大8倍；棱长扩大4倍，体积扩大64倍……这不符合正比例的含义，就能断定此题的说法是错误的。‎ ‎　　‎ 几分之几？‎ ‎　　分析：先把女生人数看作单位“1”，假定女生人数为60人。男生人数则为 ‎　　‎ ‎　　女生人数比男生人数少几分之几，则为 ‎　　‎ ‎　　解：通过设数分析，理清了数量关系，找到了解题线索，便能顺利地列出综合算式。‎ ‎　　‎ ‎　　 　　　。　‎ ‎　　 ‎ 627‎ ‎　　分析：这道题似乎条件不够，不知从何下手。不妨根据路程、时间、速度的关系，给从A地去B地的速度设一个具体数值试一试。‎ ‎　　假设去时每小时走‎20千米，那么A、B两地的路程就是：‎ ‎　　‎ ‎　　沿原路回家的速度则为：‎ ‎　　‎ ‎　　回家时所需的时间则为：‎ ‎　　　　‎ ‎　　解：把全路程看作单位“1”。‎ ‎　　‎ ‎　　例4 已知甲校学生数是乙校学生数的40％，甲校女生数是甲校学生数的30％，乙校男生数是乙校学生数的42％，那么，两校女生总数占两校学生总数的百分比是____。‎ ‎　　（1993年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛B卷）‎ ‎　　分析：题中没有给出具体数量，且数量关系错综复杂，不易理清头绪。我们不妨把乙校人数看作单位“ 1”，给乙校学生人数假定一个具体数值，这样就化难为易了。若假定乙校学生为500人，则甲校学生为：‎ ‎　　500×40％= 200（人）‎ ‎　　由甲校女生数是甲校学生数的30％，则甲校女生数为：‎ ‎　　200×30％=60（人）‎ ‎　　由乙校男生数是乙校学生数的42％，则乙校女生数为：‎ 627‎ ‎　　500×（1-42％）=290（人）‎ ‎　　两校学生总数为：‎ ‎　　500＋200=700（人）‎ ‎　　两校女生总数为：‎ ‎　　60＋290=350（人）‎ ‎　　则两校女生总数占两校学生总数的百分比为：‎ ‎　　350÷700=50％‎ ‎　　解：[500×40％×30％＋500×（1-42％）]÷（500＋200）‎ ‎　　=[60+290] ÷700‎ ‎　　=350÷700‎ ‎　　=50％‎ ‎　　或[40％×30％+（1-42％）]÷（1＋40％）=50％‎ ‎　　答：两校女生总数是两校学生总数的50％。‎ ‎　　例7 如图3.32，正方形面积为20平方厘米，求阴影部分的面积。‎ ‎　　分析：一般的解法是先求正方形的边长和圆的半径，再求圆面积，然后用正方形的面积减去圆面积，即得阴影部分的面积。这样算就要用到开平方的知识。如果假设正方形的边长为1，运用小学的知识便能解决这个问题。我们可以先求阴影部分的面积占正方形面积的百分之几，再计算阴影部分的面积。‎ ‎　　设正方形的边长为1，正方形的面积则为：‎ ‎　　12=1‎ ‎　　圆的半径则为：‎ ‎　　‎ 627‎ ‎　　圆面积占正方形面积的百分比为：‎ ‎　　　‎ ‎　　阴影部分的面积占正方形面积的百分比为 ‎　　1-78.5％=21.5％‎ ‎　　由此可知阴影部分的面积为 ‎　　　　‎ ‎　　20×21.5％=4.3（平方厘米）‎ ‎　　解：设正方形的边长为1，则阴影部分的面积为 ‎　　=20×21.5％‎ ‎　　=4.3（平方厘米）‎ ‎　　答：阴影部分的面积为4.3平方厘米。‎ ‎　　注意：如果把正方形的边长设为其它数，计算的结果都是相同的。‎ ‎　　【类比法】类比法是运用类比推理解答问题的一种方法。类比推理是根据两个对象有一部分属性相类似，从而推出这两个对象的其它属性也可能相类似的一种推理方法。类比推理是富于创造性的一种思维方法，在小学数学中有着广泛的应用。例如，分数和比都含有相除的意义，我们根据除法的商不变性质，类推出分数的基本性质和比的基本性质。在解答数学题时，遇到问题A和问题B有许多类似的属性，见到问题B时就会联想到问题A，于是可以用解决问题A的办法去解决问题B，或者用解决问题B的办法去解决问题A。‎ ‎　　例1 从时针指向3点整开始，经过多少分钟，分针正好与时针重合？‎ ‎　　分析：此题与追及问题相类似。如果把钟面上1分钟的距离作为1格，则1小时分针走60格，时针走5格。那么分针走1格，‎ ‎　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 经过多少时间分针与时针重合，实质上就是要解决多少时间分针追上时针的问题。‎ 627‎ ‎　　　　‎ ‎　　例 ‎2 A、B、C、D、E、F、G7个站，每两站间都是相隔 ‎600米。问从A站到G站的路程是多少米？‎ ‎　　分析：不能简单回答从A站到G站的路程是600×7=4200（米）。此题与在不是封闭的线路上要求两端都要植树的问题相类似，把7个站看成7棵树，根据段数比棵树少1的道理解答此题。‎ ‎　　解：600×（7-1）=3600（米）‎ ‎　　答：从A站到G站的路程是‎3600米。‎ ‎　　例3 王老师为学校购买音乐器材。他带去的钱可以买10台手风琴或50把提琴，如果他买了6台手风琴后，把剩下的钱全部买提琴，可以买多少把提琴？‎ ‎　　分析：题中没有给出王老师带了多少钱，以及提琴和手风琴的单价等条件，怎么能算出剩下的钱可以买多少把提琴呢？可是仔细一想，便可发现此题与工程问题相似。如果把王老师一共带的钱数看作“ 1”，则每台手风琴 ‎　‎ ‎　‎ ‎　　 ‎ ‎　　=20（把）‎ ‎　　答：可以买20把提琴。‎ ‎　　此题还可用解正比例应用题的方法来解答，把题意转化为：“买10台手风琴的钱与买50把提琴的钱相等，买4台手风琴的钱可以买多少把提琴？”‎ ‎　　解：设可以买x把提琴 ‎　　10∶（10-6）=50∶x ‎　　　　　‎ 627‎ ‎　　答：可以买20把提琴。‎ ‎　　【尝试法】解答某些数学题，可以先根据题意对题目的答案进行猜测，然后把猜测的答案试一试，看这个答案是否符合题意。如果符合，则问题就得到解决。如果不符合，就得对答案进行调整，或者重新猜测，直到找出正确的答案为止。这种解题方法就是尝试法，或者叫做试验法。‎ ‎　　例1 把0、4、6、、7、8、9这六个数字，分别填入下面算式的方框内，每个方框只许填一个数字，使每个等式都成立。‎ ‎　　‎ ‎　　分析：比较两个等式，先填第二个等式有利于快速解题。根据所给出的数字来分析，能使第二个等式成立的情况有两种：‎ ‎　　6×9=54 7×8=56‎ ‎　　如果把 6×9=54填入第二个等式，那么还剩下0、7、8三个数字，经过多次试验，这三个数字不可能使第一个等式成立。说明应重新调整。‎ ‎　　把7×8=56填入第二个等式，那么还剩下0、4、9三个数字，把这三个数字填入第一个等式，能使第一个等式成立，问题便得到解决。‎ ‎　　‎ ‎　　例2 有一类小于200的自然数，每一个数的各位数字之和为奇数，而且都是两个两位数的乘积（例如 144=12×12）。那么这一类自然数中，第三大的数是_____。（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　根据条件，可以猜测这些两位数的十位数只可能是1，而且两位数中不能出现11，因为11×11=121，11×12=132，11×13=143……乘积的每位数字之和均为偶数，不合题意，应予排除。经过分析，猜测有了一定的范围，于是进行尝试，边尝试边筛选，以求得正确的解答。‎ ‎　　10×10=100 10×12=120‎ ‎　　10×13=130（不合题意） 10×14=140‎ ‎　　10×15=150（不合题意） 10×16=160‎ ‎　　下面把不符合题意的情况，不再列举出来。‎ ‎　　12×12=144，12×14=168，‎ ‎　　12×15=180，13×14=182，‎ 627‎ ‎　　13×15=195。‎ ‎　　把以上符合题意的乘积按从大到小的顺序排列：195、182、180、168、160、144、120、100。第三大的数是180。‎ ‎　　答：满足题设条件的自然数中，第三大的数是180。‎ ‎　　 ‎ ‎　　分析：为了统一单位“1”，把条件进行转化 ‎　　‎ ‎　　　　　　　↓转化 ‎　　‎ ‎　　　　　　　↓转化 ‎　　　　‎ ‎　　因为人的个数是自然数，根据条件可以知道一队的人数一定是4和5的公倍数。在100以内的数中4和5的公倍数有 20、40、60……‎ ‎　　凭直觉，认为一队人数是20人。如果认定这个猜测是正确的，那么二队 ‎　　100-20-15-16=49（人）‎ ‎　　如果对这个答案有怀疑，不妨再试。若一队人数为40人，则二队人数为30人，三队人数为32人，这样四个队的人数就超过了100，显然不合题意。因此，第一次尝试的答案是正确的。‎ ‎　　解：通过转化条件和尝试求出一队人数为20人。‎ ‎　　‎ 627‎ ‎　　答：四队有49人。‎ ‎　　【探索法】当我们要解决某一个较复杂的问题时，可以从这个问题的部分特殊的情况入手，通过观察、分析、推理，从而探索出普遍的规律，运用这个规律，求得问题的解答。这就是探索法。‎ ‎　　例1在下面的数表中，第1994行左边第一个数是____。‎ ‎　　分析：先看数表中各数排列的情况，表中排列的数是2、3、4、5……等自然数，每行三个数，单行自左往右，双行自右往左。左边每行第一个数按7、13、19……排，这是一列公差为6的等差数列。通过仔细观察，就会发现一个规律，就是数表左边第一个数等于它所在的行数乘以3加1，即 ‎　　左边第一个数=行数×3+1‎ ‎　　运用这个规律，便能十分迅速地求出第1994行左边第一个数是：‎ ‎　　1994×3＋1=5983‎ ‎　　这个答案是否正确，可以通过计算验证。‎ ‎　　7＋6×（1994÷2－1）=5983‎ ‎　　由此证明原答案是正确的。‎ ‎　　答：数表中第1994行左边第一个数是5983。‎ ‎　　例2 先找出下面数列的排列规律，然后在括号里填上适当的数。‎ ‎　　（1） 2，8，32，128，( )‎ ‎　　（2） 1，4，5，2，8，10，4，( )，( )。‎ ‎　　分析：观察（1）题，发现相邻两个数后一个总是前一个数的4倍，因此括号里应填512。再看第（2）题，可以把每三个数分为一组，比较组与组之间数字排列的规律，如图3.33。‎ 627‎ ‎　　通过比较，发现后一组数中每一个数都分别是前一组数中相对应位置的那个数的2倍，因此括号里应填16，20。‎ ‎　　解：（1）2，8，32，128，（512）。‎ ‎　　（2）1，4，5，2，8，10，4，（16），（20）。‎ ‎　　‎ ‎　　分析：我们不必计算到小数点后第1998位，可以从研究部分情况入手，发现规律，进行推理，而求得问题的解答。‎ ‎　　‎ ‎　　 ‎ 可求得小数点后第1998位数是几？‎ ‎　　解：（1998-1）÷6=332……5‎ ‎　　由上式可知1998位数字在循环节重复出现332次后的第五位上，因此这个数字是5。‎ ‎　　答：小数点后面第1998位数字是5。‎ ‎　　例4 数一数右图（图3.34）中有多少个三角形。‎ ‎　　分析：要知道图3.34有多少个三角形，不妨先分析图3.35这个简单图形。三角形 A’B’C’的 B’C’边上有5个点，线段总数为：‎ ‎　　4+3+2+1=10‎ ‎　　数一数这个图形中正好一共有10个三角形。于是可以知道底边上有多少条线段，便有多少个三角形。‎ 627‎ ‎　　用以上规律来研究三角形ABC中一共有多少个三角形。这个三角形共分为三层，线段AB，DE，FG上都有5个点，从图上可知一层有三角形的个数是 ‎　　4＋3＋2＋1=10（个）‎ ‎　　那么三角形ABC中共有三角形 ‎　　10×3=30（个）‎ ‎　　解：（4＋3＋2＋1）×3=30（个）‎ ‎　　答：三角形ABC中共有三角形30个。‎ ‎　　例5 先观察后计算 ‎　　13+23=9 （1+2）2=9‎ ‎　　13+23+33=36 （1+2+3）2=36‎ ‎　　13＋23＋33＋43=100 （1+2＋3＋4）2=100‎ ‎　　13＋23＋33+43＋53=225 （1＋2＋3＋4＋5）2=225‎ ‎　　…… ……‎ ‎　　计算：13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83=？‎ ‎　　分析：通过观察，发现了这样的规律，即从1开始的连续自然数立方之和与这些连续自然数之和的平方。根据这个规律可以巧算出 ‎　　13＋23+33＋………＋83=（1+2＋3＋……+8）2‎ ‎　　=362‎ ‎　　=1296‎ ‎　　【染色法】有许多数学问题，可以用不同的颜色来区分事物的不同类别。通过着色把各种条件和问题，形象、直观地显示出来，使分析和处理问题，变得具体和明朗起来，从而使我们能找到一条解决问题的捷径。‎ 627‎ ‎　　例1 图3.36由 18块 1×1的正方形拼成，你能否用9块2×1的长方形将图形盖住。‎ ‎　　分析与解：我们将图形中的小方格黑白相间涂色（如图3.37），那么有8块白格和10块黑格。每一块2×1的长方形能够且只能盖住一块白格和一块黑格。用8块2×1的长方形覆盖后，余下两块黑格，而余下的那块2×1的长方形是无法盖住2块黑格的。‎ ‎　　所以9块2×1的长方形无法将题设的图形盖住。‎ ‎　　例2右图（图3.38）为某展览会展室的布局，相邻两室之间有门相通，参观的人能否从入口进入A室依次而入，又不重复地看过各室的展览后，从B室进入出口处？‎ ‎　　分析与解：为了说清楚问题，如图（3.39）将各展室黑白相间涂上颜色。不管人们选择什么路线，总是出了白室进黑室，出了黑室进白室。共有16个展室，要经过15道门。从A出发过第1道门进入黑室。过第2道门进入白室，过第3道门进入黑室……，过第15道门进入黑室，而B室是白室。所以想从白室依次而入，不重复地看过各室从B室进入出口是不可能的。‎ ‎　　例3 17名科学家每两名都通信讨论问题，在他们的通信中仅讨论三个问题，任何一对科学家只讨论一个问题，那么至少有三个科学家互相通信讨论同一个问题。你能说明这个理由吗？‎ 627‎ ‎　　分析与解：将三个不同问题，用红、黄、蓝三种颜色表示，17名科学家看作17个点，两点之间用或红、或黄或蓝的线段相连接表示讨论某个不同的问题。每一点都要发出16条线段。由抽屉原理，至少有6条线段同色。如图3.40表示从点A发出的6条同色线段AA1、AA2、AA3、AA4、AA5、AA6，不妨设这6条线段是红色。‎ ‎　　下面考虑A1、A2、A3、A4、A5、A6之间连线的着色情况 ‎　　（1）若这6点所连线段至少有一条红色，例如A‎1A2，那么三角形AA‎1A2三边是红色，表示这三个科学家互相讨论同一个问题。‎ ‎　　（2）若这6点间所连线段没有一条红色。那么只能是黄色和蓝色。这6点每一点可发出5条线段。由抽屉原理，至少有三条同色，不妨设为黄色。如图假设A‎1A2，A‎1A3，A‎1A4为黄色。再考虑A2、A3、A4间所连线段的着色情况。‎ ‎　　①若A2、A3、A4间的连线至少有一条黄色，不妨设A‎2A3为黄色，那么得三角形A‎1A2A3是三边黄色的三角形，表示这三个科学家讨论同一问题。‎ ‎　　②若A2、A3，A4间的连线没有一条黄色，那么就得一个三边为蓝色的三角形A‎2A3A4，表示这三个科学家讨论同一问题。‎ ‎　　由以上讨论可知，无论怎样，至少有三个科学家互相通信讨论同一个问题。‎ 627‎ ‎17、算式谜 ‎　　【添运算符号】‎ ‎　　例1 能不能在下式的每个方框中，分别填入“+”或“-”，使等式成立？‎ ‎　　1□2□3□4□5□6□7□8□9=10‎ ‎　　（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）‎ ‎　　讲析：在只有加减法运算的算式中，如果只改变“＋”、“-”符号，不会改变结果的奇偶性。‎ ‎　　而1＋2+……＋9=45，是奇数。所以无论在□中，怎样填“＋”、“-”符号，都不能使结果为偶数。‎ ‎　　例2 在下列□中分别填上适当的运算符号，使等式成立。‎ ‎　　12□34□5□6□7□8=1990‎ ‎　　（1990年广州市小学数学邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：首先凑足与1990接近的数。12×34×5=2040，然后调整为：12×34×5-6×7-8=1990。‎ ‎　　例3 在下面十八个数字之间适当的地方添上括号或运算符号，使等式成立 ‎　　‎ ‎　　（中南地区小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：可先凑足与1993接近的数。‎ ‎　　1122＋334＋455+66+7+7=1991。‎ ‎　　然后，用后面的二个8和二个9，凑成2，得1122+334+455+66+7+‎7-8-8‎+9+9=1993。‎ 627‎ ‎　　【横式填数】‎ ‎　　例1 如果10+9-8×7÷□+6-5×4=3，那么，“□”中所表示的数是______。‎ ‎　　（上海市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：等式左边能计算的，可先计算出来，得5—56÷□=3，∴□=28。‎ ‎　　例2 在两个□中分别填上两个不同的自然数，使等式成立。‎ ‎　　　‎ ‎　　（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）‎ ‎　　讲析：‎ ‎　　‎ 时，等式都能成立。‎ ‎　　所以，A=1994；B=1993×1994=3974042。‎ ‎　　 ‎ ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：‎ ‎　　‎ A+B=3。‎ ‎　　例4 在下面的○、□和△中分别填上不同的自然数，使等式成立。‎ ‎　　‎ ‎　　（1987年北大友好数学邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：‎ 627‎ ‎　　‎ 最大为：‎ ‎　　 ‎ ‎　　‎ ‎　　所以，○、□和△应填的数分别是2、3、9。‎ ‎　　例5 在下面的□中，分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字（每个式子中的数字不能重复），使带分数算式：‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：可从整数部分和小数部分分开考虑。要使减法式的值最大，必须使被减数最大而减数最小，从而可得 ‎　　‎ ‎　　要使加法式的值最小，首先必须使每个加数中的整数部分尽可能小。从 ‎　　【数字谜】‎ ‎　　例1 图5.8的算式里，每个□代表一个数字。问：这6个□中的数字总和是多少？‎ ‎　　（全国第三届“华杯赛”初赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：任意两个数字之和最多为18，且最多只向前一位进一，所以百位上的两个数字和十位上的两个数字都是9，而个位上的两位数可能为：（2，9），（3，8），（4，7），（5，6）之一种，故6个□内的数字总和为9×4＋11=47。‎ ‎　　例2 已知两个四位数的差是8921（图5.9），那么这两个四位数的和最大是______。‎ ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：要使这两个四位数的和最大，必须使被减数尽量大。故被减数为9999。进而可求出减数为1078，两数和为9999＋1078=11077。‎ ‎　　例3 如图5.10的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，求使算式成立的汉字所表示的数字（数+学+喜）×爱=______。‎ ‎　　（北京市第八届“迎春杯”小学数学邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：可从个位上开始思考。（学+学+学+学）的个位为2，则“学”只能是3或8。当“学”=8时，“数”=2。这时十位上的数相加之后，没有向百位上进一，从而使（“爱”＋“爱”）不可能个位上是9。‎ ‎　　所以，“学’不等于8。‎ ‎　　当“学”=3时，容易推出“数”=6，“爱”=4，“喜”=1。所以，（数+学+喜）×爱=（6＋3＋1）×4=40。‎ ‎　　例4 如图5.11，竖式中四个□是被盖住的四个数字，这四个数字的和是多少？‎ 627‎ ‎　　（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：1992=2×2×2×3×83。从分解质因数情况看，要把1992分成两个两位数之积，两个两位数只能是24和83，故这四个数字之和为2＋4+8＋3=17‎ ‎　　例5 在图5.12的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1。那么这个算式的乘积是______。‎ ‎　　（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：可用字母来代替各数字（如图5.13）。显然，F=K，E=O。又，‎ 只有27×4或17×6。‎ ‎　　‎ C≠3。‎ ‎　　于是得B=3，C=7。‎ ‎　　又因AB×D=‎10F，可推出A=5，D=2，从而容易求出算式的答案为53×72=3816‎ ‎　　例6 在图5.14的式子中，不同的汉字代表不同的数字，□代表一位自然数。要使算式成立，“盼”字代表数字______。‎ ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：经观察发现，积是由相同的数字组成的9位数，则积中一定含有因数3和9。而当□为3时，式中的积除以3所得的商，一定含有相同的数字。这与题意矛盾。所以□为9。‎ ‎　　经检验，“盼”字代表“7”。被乘数是 86419753。‎ ‎　‎ ‎18、速算公式 ‎　　【首同末合十的两位数相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a，个位上的数分别为b和c，且b+c=10，则这样的两个数便是“首同末合十”的两个两位数，它们的积为 ‎　　（‎10a+b）（‎10a+c）=（‎10a）2+10ab+‎10ac+bc ‎　　=‎102a2+‎10a（b+c）+bc ‎　　=‎100a2+‎100a+bc ‎　　＝a（a+1）×100+bc。‎ ‎　　根据这一公式，两个“首同末合十”的两位数相乘，可以先把首位数乘以比它大1的数的积的100倍，然后在所得的结果后面，添上两个末位数的积。‎ ‎　　例如，72×78=（7×8）×100+2×8‎ ‎　　=5616‎ ‎　　45×45=（4×5）×100+5×5‎ ‎　　=2025‎ ‎　　首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去。例如 ‎　　256×254‎ 627‎ ‎　　可取a=25，b=6，c=4，再运用公式计算，得 ‎　　256×254=[25×（25+1）]×100+6×4‎ ‎　　=[25×26]×100+24‎ ‎　　=65024‎ ‎　　又如，155×155=（15×16）×100+5×5‎ ‎　　=24025‎ ‎　　【末同首合十的两位数相乘公式】若两个两位数十位上的数字分别是a和b，且a+b=10，个位上的数字都是c，则这样的两个数便是“末同首合十”的两个两位数，它们的积为 ‎　　（‎10a+c）（10b+c）=102ab+‎10ac+10bc+c2 ‎ ‎　　＝100ab+‎10c（a+b）+c2 ‎ ‎　　=100ab+‎100c+c2 ‎ ‎　　=（ab+c）×100+c2。‎ ‎　　根据这一公式，两个“末同首合十”的两位数相乘，可以先把两个首位数字的乘积加上一个末位数，再乘100然后再在所得的结果后面，添上末位数自乘的积（末位数的平方）。‎ ‎　　例如，34×74=（3×7+4）×100+42‎ ‎　　=25×100+16‎ ‎　　=2516‎ ‎　　【两个末位是1的两位数相乘公式】设两个末位都是1的两位数，十位上的数字分别是a和b，则它们的积是 ‎　　（‎10a+1）（10b+1）＝100ab+‎10a+10b+12‎ ‎　　＝‎10a×10b+（a+b）×10+1‎ ‎　　由这一公式可知，两个末位是1的两位数相乘，可以先把两个首位数值相乘，然后在所得的结果后面添上两个首位数的和（和满十时要进位）的10倍，最后在后面添上1。‎ ‎　　例如，51×71=50×70+（5+7）×10+1‎ ‎　　=3500+12091‎ ‎　　=3621。‎ 627‎ ‎　　这样的题目，口算的方法可以是：‎ ‎　　‎ ‎　　【两个首位是1的两位数相乘公式】设两个首位为1的两位数，个位上的数字分别是a和b，则它们的积是：‎ ‎　　（10+a）（10+b）＝100+‎10a+10b+ab ‎　　=（10+a+b）×10+ab。‎ ‎　　由这一公式可知，两个首位是1的两位数相乘，可以把一个数加上另一个数的末位数，所得的结果乘以10以后，再加上两个末位数的乘积。‎ ‎　　例如，17×16=（17+6）×10+7×6‎ ‎　　=230+42‎ ‎　　=272。‎ ‎　　【接近100的两个数相乘公式】接近100的两个数相乘，可以分三种情况来寻找它的速算方法。‎ ‎　　（1）两个超过100的数相乘。‎ ‎　　设两个超过100的数分别为a和b，它们与100的差分别为h和k，则a=100+h，b=100+k。它们的积是 ‎　　a·b＝（100+h）（100+k）‎ ‎　　=（100+h）×100+100k-hk ‎　　=（100+h+k）×100+hk ‎　　=（a+k）×100+hk。‎ ‎　　由这一公式可知，两个超过100的数相乘，可以先把一个数加上另一个数与100的差，然后将所得的结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（补充数）的乘积。‎ ‎　　例如，108×112=（108+12）×100+8×12‎ ‎　　=12000+96‎ ‎　　=12096。‎ 627‎ ‎　　快速口算的思考方法可以是：‎ ‎　　　　‎ ‎　　又如，103×102=（103+2）×100+3×2‎ ‎　　=10500+6‎ ‎　　=10506‎ ‎　　快速口算的思考方法可以是 ‎　　　　‎ ‎　　（2）两个不足100的数相乘。‎ ‎　　设两个不足100的数一个为a=100-h，另一个为b=100-k，则它们的积是 ‎　　a· b=（100－h）（100－k）‎ ‎　　=（100-h）×100-100k+hk ‎　　=（100-h-k）×100+hk ‎　　=（a-k）×100+hk。‎ ‎　　由这个公式可知，两个不足100的两位数相乘，可以先从一个因数中减去另一个因数与100的差，然后将所得结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（两个补充数）的乘积。‎ ‎　　例如，89×97=（89-3）×100+11×3‎ ‎　　=8600+33‎ ‎　　=8633‎ ‎　　快速口算的思考方法可以是 ‎　　　　‎ 627‎ ‎　　又如，89×88=（89-12）×100+11×12‎ ‎　　=7700+132‎ ‎　　=7832。‎ ‎　　快速口算的思考方法可以是 ‎　　　　‎ ‎　　（3）一个超过100，一个不足100的两个数相乘。‎ ‎　　设一个因数a比100大h，即a=100+h；另一个因数b比100小k，即b=100-k，则它们的积是 ‎　　a·b=（100+h）（100-k）‎ ‎　　=（100+h）×100-100k+hk ‎　　=（100+h-k）×100+hk ‎　　＝（a-k）×100-hk。‎ ‎　　由这个公式可知，一个超过100、一个不足100的两个数相乘，可以先从大于100的因数中，减去另一个因数与100的差，然后将所得的结果乘上100以后，再减去两个因数分别与100之差（两个补充数）的乘积。‎ ‎　　例如，104×97=（104-3）×100-4×3‎ ‎　　=10100-12‎ ‎　　=10088‎ ‎　　快速口算思考方法可以是 ‎　　‎ ‎　　【平方差公式】两个数的和，乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差。平方差公式用字母表达就是：‎ ‎　　（a+b）（a-b）=a2-b2‎ 627‎ ‎　　运用平方差公式计算，可以使一些题目的计算变得比较简便、快速。例如 ‎　　362-262=（36+26）×（36-26）‎ ‎　　=62×10=620‎ ‎　　672-522=（67+52）×（67-52）‎ ‎　　=119×15‎ ‎　　=1190+595=1785‎ ‎　　872-762=（87+76）×（87-76）‎ ‎　　=163×11‎ ‎　　=1630+163‎ ‎　　=1793‎ ‎　　这个公式反过来，也可以运用于两数相乘的速算。但其前提是：两个因数必须能化成同样的两个数的和与差。例如 ‎　　17×23=（20-3）×（20+3）‎ ‎　　=（20+3）×（20-3）‎ ‎　　=202-32‎ ‎　　=400-9‎ ‎　　=391‎ ‎　　94×86=（90+4）×（90-4）‎ ‎　　=902-42‎ ‎　　=8100-16‎ ‎　　=8084‎ ‎　　以上两例的特点是：首位相差1，末位数字之和是10。这样两个数相乘，可用较大数的十位数值与它的个位数字的和，去乘以它们的差，然后运用平方差公式进行速算。‎ ‎　　【十位数相同的两位数相乘公式】十位数相同的两个两位数相乘，可先将一个乘数的个位数字加到另一个乘数上，再乘十位数值，然后加上两个个位数字的积。即 ‎　　（‎10a+b）（‎10a+c）=（‎10a+b+c）×‎10a+bc 627‎ ‎　　例如，43×46=（43+6）×40+3×6‎ ‎　　=1978‎ ‎　　84×87=（84+7）×80+4×7‎ ‎　　=7308‎ ‎　　【一因数两数字和是10，另一因数为11的倍数的两数乘法公式】一个因数的两个数字为a和b，且a+b=10，另一个因数为11的倍数，这样的两个两位数相乘，可先将前一个乘数的十位数字加1，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积。即 ‎　　（‎10a+b）（‎10c+c）=（a+1）c×100+bc。‎ ‎　　例如，73×44＝（7+1）×4×100+3×4‎ ‎　　=3212。‎ ‎　　【个位数相同的两位数相乘公式】个位数相同的两个两位数相乘，可先将两个十位数字相乘，再乘以100，再加上一个因数与另一个因数十位数值的和，然后乘以另一因数的个位数。即 ‎　　（‎10a+c）（10b+c）=100ab+（‎10a+c+10b）c。‎ ‎　　例如，42×32=4×3×100+（42+30）×2=1344。‎ ‎　　【几十几与十几相乘公式】几十几与十几相乘，可将几十几的十位数值乘以十几的个位数数字，再加上几十几的10倍，然后加上两个个位数字之积。即 ‎　　（‎10a+b）（10+c）=‎10a×c+（‎10a+b）×10+bc。‎ ‎　　例如，65×17=60×7+650+5×7‎ ‎　　=1105。‎ ‎　　【末两位为25的三位数自乘公式】末两位为25的三位数自乘时，可以用首位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字的1000倍，然后加上625。即 ‎　　（‎100a+25）2=（‎10a+5）×‎1000a+625。‎ ‎　　例如，7252=（70+5）×7000+625‎ ‎　　=525625‎ ‎　　如果直接写答案，可以是 ‎　　7252=525 625‎ 627‎ ‎　　 ↑ ↑‎ ‎　　75×7 252‎ ‎　　又如，3252=105 625‎ ‎　　↑ ↑‎ ‎　　35×3 252‎ ‎　　【末两位为75的三位数自乘公式】 末两位为75的三位数自乘时，可用首位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字与1的和的积的1000倍，再加上625。即 ‎　　（‎100a+75）2=（‎10a+5）×（a+1）×1000+625。‎ ‎　　例如，8752=（80+5）×（8+1）×1000+625‎ ‎　　=765625‎ ‎　　如果直接写答案，可以是 ‎　　8752=765 625‎ ‎　　↑‎ ‎　　85×9‎ ‎　　又如，3752=140 625‎ ‎　　↑‎ ‎　　35×4‎ ‎19、四则运算性质 ‎　　【加法运算性质】加法的运算性质主要有以下三条：‎ ‎　　（1）一个数加上几个数的和，可以把这个数加和里的第一个加数，再加第二、三……个加数。‎ ‎　　用字母来表达，可以是：‎ ‎　　a+（b+c+d）=a+b+c+d。‎ 627‎ ‎　　例如，85+（15+57+43）=85+15+57+43‎ ‎　　=100+57+43‎ ‎　　=157+43‎ ‎　　=200‎ ‎　　（2）几个数的和加上一个数，可以把这个加数加到和里的任意一个加数上去，再加和里的其他加数。‎ ‎　　用字母来表达，可以是：‎ ‎　　（a+b+c）+d=（a+d）+b+c ‎　　=a+（b+d）+c ‎　　=a+b+（c+d）。‎ ‎　　‎ ‎　　（3）几个数的和加上几个数的和，可以把两个和里的所有加数依次相加。‎ ‎　　用字母来表达，可以是: ‎ ‎　　（a1+a2+a3+……+an）+（b1+b2+b3+……+bn）‎ ‎　　=a1+a2+a3+……+an+b1+b2+b3+……+bn ‎ ‎　　例如，（800+70+6）+（1200+500+60+7）‎ ‎　　=800+70+6+1200+500+60+7‎ ‎　　=2643‎ ‎　　【加减混合运算性质】“加减混合运算性质”也可称为“和与差的性质”。这些性质有以下几条：‎ 627‎ ‎　　（1）第一个数加上（或减去）第二个数，再减去第三个数，可以把第一个数先减去第三个数，再加上（或减去）第二个数。这就是说，在加减混合运算中，改变运算的顺序，得数不变。这常被称之为加减混合运算的“交换性质”。‎ ‎　　用字母来表达这一性质，可以是：‎ ‎　　a+b-c=a-c+b；‎ ‎　　或 a-b-c=a-c-b。‎ ‎　　例如 3458+6789-2458=3458-2458+6789‎ ‎　　=1000+6789‎ ‎　　=7789‎ ‎　　4087-1198-2087=4087-2087-1198‎ ‎　　=2000-1198‎ ‎　　=802‎ ‎　　（2）一个数加上两个数的差，等于这个数加上差里的被减数，再减去差里的减数。这可以称之为加减混合运算的“结合性质”。‎ ‎　　用字母表示这一性质，可以是：‎ ‎　　a+（b-c）＝a+b-c ‎　　例如，1364+ （8636-2835）= 1364+ 8636-2835‎ ‎　　=10000-2835‎ ‎　　=7165‎ ‎　　（3）一个数减去几个数的和，等于这个数依次减去和里的每一个加数。这也可称之为“结合性质”。‎ ‎　　用字母表示这一性质，可以是：‎ ‎　　a-（b+c+d+e）=a-b-c-d-e。‎ ‎　　例如，8675-（605+1070+287）‎ ‎　　=8675-605-1070-287‎ ‎　　=8070-1070-287‎ 627‎ ‎　　=7000-287‎ ‎　　=6713‎ ‎　　（4）一个数减去两个数的差，等于这个数先加上差里的减数，再减去差里的被减数。这也是加减混合运算的“结合性质”。‎ ‎　　用字母表示这一性质，可以是：‎ ‎　　a－（b－c）＝a+c－b。‎ ‎　　例如，754-（600-246）=754+246-600‎ ‎　　=1000-600‎ ‎　　=400‎ ‎　　（5）几个数的和减去一个数，可以用和里的等于或大于这个数的一个加数，先减去这个数，然后再加和里的其他加数。这也是“结合性质”。‎ ‎　　用字母表示这一性质，可以是：‎ ‎　　（a+b+c+d）-e=（a-e）+b+c+d（a、b、d 、d≥e）‎ ‎　　=a+（b-e）+c+d ‎　　=a+b+（c-e）+d ‎　　=a+b+c+（d-e）。‎ ‎　　例如，（421+368+468）-368=421+（368-368）+468‎ ‎　　=421+468‎ ‎　　=889‎ ‎　　（6）几个数的和减去几个数的和，可以用第一个和里的各个加数，分别减去第二个和里不比它大的各个加数，然后相加。这也可称为“结合性质”。‎ ‎　　用字母表示这一性质，可以是：‎ ‎　　（a+b+c+d）-（e+f+g+h）‎ ‎　　=（a-e）+（b-f）+（c-g）+（d-h）‎ ‎　　（a≥e，b≥f，c≥g，d≥h）‎ ‎　　例如，（865+721+543+697）-（765+621+343+697）‎ 627‎ ‎　　=（865-765）+（721-621）+（543-343）+（697-697）‎ ‎　　=100+100+200+0‎ ‎　　=400‎ ‎　　【乘除混合运算性质】“乘除混合运算性质”也可称之为“积与商的性质”。它们的性质可分为三类：‎ ‎　　第一类是“交换性质”：‎ ‎　　在乘除混合运算或连除的算式中，变更它们的运算顺序，得数的大小不变。‎ ‎　　用字母表示这一性质，可以是：‎ ‎　　a·b÷c=a÷c·b（c≠0）‎ ‎　　a÷b·c=a·c÷b（b≠0）‎ ‎　　a÷b÷c=a÷c÷b（b≠0，c≠0）‎ ‎　　例如 2460×376÷246=2460÷246×376‎ ‎　　=10×376‎ ‎　　=3760‎ ‎　　6900÷25÷69=6900÷69÷25‎ ‎　　＝100÷25‎ ‎　　=4‎ ‎　　第二类是“结合性质”。结合性质有以下几条：‎ ‎　　（1）一个数乘以两个数的商，等于这个数先乘以商里的被除数，再用积除以商里的除数。‎ ‎　　用字母表达这一性质，可以是：‎ ‎　　a·（b÷c）＝a·b÷c（c≠0）‎ ‎　　例如7×（400÷28）=7×400÷28‎ ‎　　=2800÷28‎ ‎　　=100‎ 627‎ ‎　　（2）一个数除以两个（或若干个）因数的积，等于这个数除以积里的一个因数，再依次除以其他的因数。‎ ‎　　用字母表达这一性质，可以是：‎ ‎　　a÷（b·c）=a÷b÷c（b、c≠0）‎ ‎　　a÷（b·c……·m）=a÷b÷c÷……÷m（b，c……m≠0）‎ ‎　　例如，1050÷（2×3×5×7）=1050÷2÷3÷5÷7‎ ‎　　＝525÷3÷5÷7‎ ‎　　=175÷5÷7‎ ‎　　＝35÷7‎ ‎　　=5‎ ‎　　（3）一个数除以两个数的商，等于这个数除以商里的被除数，再乘以商里的除数。‎ ‎　　用字母表示这一性质，可以是：‎ ‎　　a÷（b÷c）＝a÷b×c（b≠0，c≠0）‎ ‎　　例如，3600÷（360÷40）=3600÷360×40‎ ‎　　=10×40‎ ‎　　＝400‎ ‎　　第三类是“分配性质”。分配性质有以下几条：‎ ‎　　（1）两个数的差与一个数相乘，可以用被减数与减数分别与这个数相乘，然后再相减。‎ ‎　　用字母表达这一性质，可以是：‎ ‎　　（a-b）c＝ac－bc ‎　　a（b-c）=ab-ac ‎　　例如，（100-3）×21=100×21-3×21‎ ‎　　=2100-63‎ ‎　　=2037‎ ‎　　78×（100-1）=78×100-78×1‎ 627‎ ‎　　=7800-78‎ ‎　　=7722‎ ‎　　（2）几个数的和除以一个数，可以用和里的每个加数分别除以这个数，再把所得的商相加。‎ ‎　　用字母表达这一性质，可以是:‎ ‎　　（a+b+c）÷d=a÷d+b÷d+c÷d。（d≠0）‎ ‎　　例如，（3700+1110+37）÷37‎ ‎　　=3700÷37+1110÷37+37÷37‎ ‎　　=100+30+1‎ ‎　　=131‎ ‎　　注意：此性质不适用于“一个数除以几个数的和”，即a÷（b+c+d）≠a÷b+a÷c+a÷d。比方，‎ ‎　　6850÷（100+37）≠6850÷100+6850÷37。‎ ‎　　（3）两个数的差除以一个数，可以把被减数和减数分别除以这个数，再把所得的商相减。‎ ‎　　用字母表达这一性质，可以是：‎ ‎　　（a-b）÷m=a÷m-b÷m（m≠0）‎ ‎　　例如，（3400-68）÷34=3400÷34-68÷34‎ ‎　　=100-2‎ ‎　　=98‎ ‎　　注意：此性质也不适用于“一个数除以两个数的差”。即 ‎　　m÷（a-b）≠m÷a-m÷b。‎ ‎　　比方 3400÷（68-34）≠3400÷68-3400÷34。‎ ‎　　（4）几个数的积除以一个数，可以把积里的任何一个因数除以这个数，然后再与其他因数相乘。‎ ‎　　用字母表达这一性质，可以是：‎ ‎　　（a·b·c）÷m=（a÷m）·b·c＝a·（b÷m）·c=a·b·（c÷m）（m≠0）‎ 627‎ ‎　　例如，（20×48×5）÷8=20×（48÷8）×5‎ ‎　　=20×6×5‎ ‎　　=600‎ ‎　　（5）几个数的积除以几个数的积，可以把第一个积里的各个因数，分别除以第二个积里的各个因数，然后把所得的商相乘。‎ ‎　　用字母表达这一性质，可以是：‎ ‎　　（a·b·c·d）÷（e·f·g）＝（a÷e）·（b÷f）·（c÷g）·d。（e·f·g≠0）‎ ‎　　例如，（21×15×48）÷（7×3×16）=（21÷7）×（15÷3）×（48÷16）=3×5×3=45‎ 627‎ ‎20、四则计算 ‎　　【基本题】‎ ‎　　例1 计算 7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7‎ ‎　　（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：本题的两个除数和乘数依次是3.7，2.7，1.7，0.7。从数字上分析，不能运用简便运算。所以，只能从左至右依次计算。结果是850.85。‎ ‎　　‎ ‎　　（1990年江西省“八一杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　‎ 成假分数之后，分子都含有22的约数，于是可采用分配律计算。‎ ‎　　 ‎ ‎　　‎ ‎　　（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：两个分数的分母都是3，所以，可把小数化成分数计算。‎ ‎　　‎ ‎　　【巧算题】‎ ‎　　‎ ‎　　（全国第三届“华杯赛”初赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：括号中的三个数如果直接通分，则比较繁琐。经观察，可将三个分母分解质因数，求出公分母；在求公分母的过程中，不必急于求出具体的数，而可边算边约分，能使计算简便一些。‎ ‎　　 ‎ ‎　　‎ ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：当把两个带分数化成假分数时，分子都是65。于是，第一个括号中可提出一个65，第二个括号中可提出一个5，能使计算变得比较简便。‎ ‎　　‎ ‎　　例3 计算：‎ ‎　　‎ ‎　　（全国第四届“华杯赛”复赛试题）‎ ‎　　讲析：经观察发现，可将整数部分与分数部分分开计算。这时，每个带分数的分数部分，都可以拆分成两个单位分数之差，然后互相抵消。计算就很简便了 ‎　　　　‎ ‎　　例4 计算：‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　（1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题）‎ ‎　　‎ 除以两数之积，就等于分别除以这两个数。然后可将它们重新组合计算为 ‎　　　‎ ‎　　 ‎ ‎　　‎ 法分配律计算。于是可将10.375分开，然后重新组合。‎ ‎　　 ‎ ‎　　‎ ‎　　（1990年小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　‎ 用字母代替去计算。‎ ‎　　‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　（长沙市小学数学奥林匹克集训队选拔赛试题）‎ ‎　　　　‎ ‎26.3乘以2.5。这样计算，可较为简便。‎ ‎　　原式=2.5×24.7＋29×2.5＋26.3×2.5‎ ‎　　=2.5×（24.7+29＋26.3）=200。‎ ‎　　例8 已知11×13×17×19=46189‎ ‎　　计算：3.8×8.5×11×39‎ ‎　　（广州市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：根据已知条件来计算另一个算式的结果，应尽量将计算式化成与已知条件式相同或相似的式子。所以，可计算为：‎ ‎　　原式=（2×1.9）×8.5×11×（13×3）=0.3×（11×13×17×19）‎ ‎　　=0.3×46189=13856．7‎ ‎　　例9 计算1+‎2-3-4‎+5+6-7-8+……+1990。‎ ‎　　（福建省首届“小火炬杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：观察发现，形于“‎2-3-4‎+‎5”‎的结果为0，于是可分组计算为 ‎　　原式=1＋（‎2-3-4‎+5）+（6-7-8+9）+……+（1986-1987-1988＋1989）＋1990‎ ‎　　=1+1990‎ ‎　　=1991‎ ‎　　例10 计算0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+……+0.99‎ ‎　　（北京市1988年小学数学奥林匹克邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：可分组进行计算。注意到每相邻两数的差，可计算为 ‎　　原式=（0.1+0.3+……+0.9）+（0.11+0.13+0.15+……+0.99）‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　=27.25‎ ‎　　‎ ‎　　　（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：将前面几个括号中的结果计算出来以后，会发现分组计算较好，故算式可以是：‎ ‎　　　‎ 627‎ ‎21、数字和与最大最小问题 ‎　　【数字求和】‎ ‎　　例1 100个连续自然数的和是8450，取其中第1个，第3个，第5个，………，第99个（所有第奇数个），再把这50个数相加，和是______。‎ ‎　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：第50、51两个数的平均数是8450÷ 100= 84. 5，所以，第50个数是84。则100个连续自然数是：‎ ‎　　35，36，37，………，133，134。‎ ‎　　上面的一列数分别取第1、3、5、……、99个数得：‎ ‎　　35，37，39，……131，133。‎ ‎　　则这50个数的和是：‎ ‎　　‎ ‎　　例2 把1至100的一百个自然数全部写出来，所用到的所有数码的和是_____。‎ ‎　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析；可把1至100这一百个自然数分组，得 ‎　　（1、2、3、……、9），（10、11、12、……、19），（20、21、22、……29），……，（90、91、92、……99），（100）。‎ ‎　　容易发现前面10组中，每组的个位数字之和为45。而第一组十位上是0，第二组十位上是1，第三组十位上是2，……第十组十位上是9，所以全体十位上的数字和是（l+2+3+……+9）×10=450。故所有数码的和是45×10+450+l=901。‎ 627‎ ‎　　‎ 续若干个数字之和是1992，那么a=____。‎ ‎　　（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　‎ ‎　　又，1992÷27=73余21，而21=8+5+7+1，所以 a=6。‎ ‎　　例4 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这种方法计算了四次，分别得到四个数：86，92，100，106。那么，原来四个数的平均数是 ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：每次所选的三个数，计算其平均数，实际上就是计算这三个数中 原来四个数的平均数为（86+92+100+106）÷2=192。‎ ‎　　【最大数与最小数】‎ ‎　　例1 三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数，要使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是 ‎　　（全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题）。‎ ‎　　讲析： 20以内的质数有： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19‎ ‎　　要使三个分数尽量大，必须使每个分子尽量大而分母尽量小。且三个真 ‎　　例2 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组，分别计算各组数的和。已知这三个和互不相等，且最大的和是最小和的2倍。问：最小的和是多少？‎ ‎　　（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）‎ 627‎ ‎　　讲析；因为1+2+3+……+8=36，又知三组数的和各不相同，而且最大的 ‎　　例3 把20以内的质数分别填入□中（每个质数只用一次）：‎ ‎　　‎ ‎　　使A是整数。A最大是多少？‎ ‎　　（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：要使A最大，必须使分母尽量小，而分子尽量大。‎ ‎　　分母分别取2、3、5时，A都不能为整数。当分母取7时，‎ ‎　　‎ ‎　　例4 一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25。除1之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和。问：这组数之和的最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。‎ ‎　　（全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题）‎ ‎　　 析：观察自然数1、2、3、4、5、……、25这25个数，发现它们除1之外，每个数都能用其中某一个数的2倍，或者某两个数之和表示。因此，这组数之和的最大值是1+2+3+……+25=325。‎ ‎　　下面考虑数组中各数之和的最小值。‎ ‎　　1和25是必取的，25不能表示成一个数的2倍，而表示成两个数之和的形式，共有12种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数（20+5）或者（10+15）。当取1、5、20、25时，还需取2、3、10三个；当取1、10、15、25时，还需取2、3、5。经比较这两组数，可知当取1、2、3、4、5、10、15、25时，和最小是61。‎ 627‎ ‎22、数字串问题 ‎　　【找规律填数】‎ ‎　　例1 找规律填数 ‎　　‎ ‎　　（杭州市上城区小学数学竞赛试题）‎ ‎　　　　‎ ‎　　（1992年武汉市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：数列填数问题，关键是要找出规律；即找出数与数之间有什么联系。‎ ‎　　第（1）小题各数的排列规律是:第1、3、5、……（奇数）个数分别 别是4和2。‎ ‎　　第（2）小题粗看起来，各数之间好像没有什么联系。于是，运用分数 627‎ 得到了　‎ ‎　　 ‎ ‎　　‎ ‎　　例2 右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。按照这个规律在空格中填上合适的数。‎ ‎　　（1994年天津市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：根据题意，可找出每竖行的三个数之间的关系。不难发现每竖行中的第三个数，是由前两数相乘再加上1得来的。所以空格中应填33。‎ ‎　　【数列的有关问题】‎ ‎　　　‎ 数是几分之几？‎ ‎　　（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：经观察发现，分母是1、2、3、4、5……的分数个数，分别是1、3、5、7、9……。所以，分母分别为1、2、3……9的分数共 ‎　‎ ‎　　　‎ ‎　　 ‎ 627‎ ‎　　例2 有一串数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，1989，1988，…这个数列的第1993个数是______‎ ‎　　（首届《现代小学数学》邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：把这串数按每三个数分为一组，则每组第一个数都是1，第二、三个数是从1993开始，依次减1排列。‎ ‎　　而1993÷3=664余1，可知第1993个数是1。‎ ‎　　例3 已知小数0.12345678910111213……9899的小数点后面的数字，是由自然数1—99依次排列而成的。则小数点后面第88位上的数字是______。‎ ‎　　（1988年上海市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：将原小数的小数部分分成A、B两组：‎ ‎　　‎ ‎　　A中有9个数字，B中有180个数字，从10到49共有80个数字。所以，第88位上是4。‎ ‎　　例4 观察右面的数表（横排为行，竖排为列）；‎ ‎　　　‎ ‎　　‎ 几行，自左向右的第几列。（全国第三届“华杯赛”决赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：第一行每个分数的分子与分母之和为2，第二行每个分数的分子与分母之和为3，第三行每个分数的分子与分母之和为4，……即每行各数的分子与分母之和等于行数加1。‎ ‎　　　‎ ‎　　例5 如图5.4，除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，那么第100行各数之和是_______。‎ ‎　　（广州市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：可试探着计算每行中各数之和。第一、二、三、四行每行的各数之和分别是6、8、10、12，从而得出，每行的数字之和，是行数的2倍加4。故第100行各数之和为100×2＋4=204.‎ ‎　　例6 伸出你的左手，从大拇指开始，如图5.5所示的那样数数：l、2、3……。问：数到1991时，会落在哪个手指上？‎ ‎　　（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）‎ ‎　　讲析：除1之外，从2开始每8个数为一组，每组第一个数都是从食指开始到拇指结束。∵（1991—1）÷8=248余6，∴剩下最后6个数又从食指开始数，会到中指结束。‎ ‎　　例7 如图5.6，自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。在“2”处拐第一个弯，在“3”处拐第二个弯……问拐第二十个弯处是哪个数？‎ 627‎ ‎　　（全国第一届“华杯赛”决赛口试试题）‎ ‎　　讲析：写出拐弯处的数，然后按每两个数分为一组：（2，3），（5，7），（10，13），（17，21），（26，31），……。将会发现，每组数中依次相差1、2、3、4、5、……。每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2、3、4、5、……。从而可推出，拐第二十个弯处的数是111。‎ ‎　　例8 自然数按图5.7顺次 排列。数字3排在第二行第一列。问：1993排在第几行第几列？‎ ‎　　（全国第四届“华杯赛”复赛试题）‎ ‎　　讲析：观察每斜行数的排列规律，每斜行数的个数及方向。‎ ‎　　每一斜行数的个数分别是1、2、3、4、5、……，奇数斜行中的数由下向上排列，偶数斜行中的数由上向下排列。‎ ‎　　 ‎ 斜行，该斜行的数是由下向上排列的，且第63行第1列是1954。‎ ‎　　由于从1954开始，每增加1时，行数就减少1，而列数就增加1。所以1993的列数、行数分别是：‎ ‎　　1993—1954＋1=40（列），63-（1993—1954）=24（行）‎ 627‎ ‎23、数阵图 ‎　　【方阵】‎ ‎　　例1 将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。‎ 627‎ ‎　　（长沙地区小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。‎ ‎　　（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。显然，中间一数填“5”。‎ ‎　　再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下。‎ ‎　　例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。‎ ‎　　（“新苗杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。所以，能被12整除。十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。每列为（91—7）÷4=21‎ ‎　　而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。‎ ‎　　三个奇数和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。‎ ‎　　例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。那么，这个和数的最小值是______。‎ ‎　　（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它们的和是65。在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。‎ ‎　　设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是 3的倍数。所以，（a＋b）之和至少是7。‎ ‎　　故，和数的最小值是24。‎ ‎　　【其他数阵】‎ ‎　　例1 如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。‎ ‎　　已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。‎ ‎　　（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：可先看竖格。因为每相邻三格数字和为21，所以每隔两格必出现重复数字。从而容易推出，竖格各数从上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。‎ ‎　　同理可推导出横格各数，其中“×”=5。‎ ‎　　例2 如图5.24，有五个圆，它们相交后相互分成九个区域，现在两个区域里已经分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圆内的数之和都是15。‎ ‎　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）　‎ 627‎ ‎　　讲析：可把图中要填的数，分别用a、b、c、d、e、f、g代替。（如图5.25）‎ ‎　　显然a=5，g=9。‎ ‎　　则有：b＋c=10，e＋f=6，c＋d＋e=15。经适当试验，可得b=3，c=7，d=6，e=2，f=4。‎ ‎　　例3 如图5.26，将六个圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。那么，这六个质数的积是______。‎ ‎　　（全国第一届“华杯赛”决赛试题）‎ ‎　　讲析：最上面的小三角形与中间的小三角形，都有两个共同的顶点，且每个小三角形顶点上三数之和相等。所以，最上边圆圈内数字与最下面中间圆圈内数字相等。‎ ‎　　同样，左下角与右边中间的数相等，右下角与左边中间数相等。‎ ‎　　20÷2=10，10＝2+3+5。‎ ‎　　所以，六个质数积为2×2×3×3×5×5=900。‎ ‎　　例4 在图5.27的七个○中各填上一个数，要求每条直线上的三个数中，中间一个数是两边两个数的平均数。现已填好两个数，那么X=_______。‎ ‎　　（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：如图5.28，可将圆圈内所填各数分别用a、b、c、d代替。‎ ‎　　则d=15。‎ ‎　　由15+c+a=17+c+b，得：a比b多2。‎ ‎　　所以，b=13+2=15。进而容易算出，x=19。‎ ‎　　例5 图5.29中8个顶点处标注的数字：‎ ‎　　a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点 ‎　‎ ‎　　（全国第三届“华杯赛”复赛试题）‎ ‎　　讲析：将外层的四个数，分别用含其它字母的式子表示，得 ‎　　　　‎ ‎　　　 ‎ ‎　　‎ 627‎ ‎　　即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0‎ ‎24、数的组成 627‎ ‎　　【数字组数】‎ ‎　　例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成______个质数。‎ ‎　　（1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：自然数1至9这九个数字中，2、3、5、7本身就是质数。于是只剩下1、4、6、8、9五个数字，它们可组成一个两位质数和一个三位质数：41和689。所以，最多能组成六个质数。‎ ‎　　例2 用0、1、2、……9这十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的大。那么，这五个两位数的和是______。‎ ‎　　（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：组成的五个两位数，要求和尽可能大，则必须使每个数尽可能大。所以它们的十位上分别　是9、8、7、6、5，个位上分别是0、1、2、3、4。但要求五个两位数和为奇数，而1+2+3+4=10为偶数，所以应将4与5交换，使和为：‎ ‎　　（9+8+7+6+4）×10+（1+2+3+5）=351。‎ ‎　　351即本题答案。‎ ‎　　例3 一个三位数，如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被另一个三位数“吃掉”。例如，241被342吃掉，123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互不被吃掉。现请你设计出6个三位数，它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉，并且它们的百位上数字只允许取1、2；十位上数字只允许取1、2、3；个位上数字只允许取1、2、3、4。‎ ‎　　这6个三位数是_______。‎ ‎　　（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：六个三位数中，任取两个数a和b，则同数位上的数字中，a中至少有一个数字大于b，而b中至少有一个数字大于a。‎ ‎　　当百位上为1时，十位上可从1开始依次增加1，而个位上从4开始依次减少1。即：114，123，132。当百位上为2时，十位上从1开始依次增加1而个位上只能从3开始依次减少1。即：213，222，231。经检验，这六个数符合要求。‎ ‎　　例4 将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数，使得两个1之间有一个数字；两个2之间有两个数字；两个3之间有三个数字；两个4之间有四个数字。那么这样的八位数中的一个是______。‎ ‎　　（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：两个4之间有四个数字，则在两个4之间必有一个数字重复，而又要求两个1之间有一个数，于是可推知，这个重复数字必定是1，即412134或421314。然后可添上另一个2和3。‎ ‎　　经调试，得23421314，此数即为所答。‎ ‎　　【条件数字问题】‎ ‎　　例1 某商品的编号是一个三位数，现有五个三位数：874，765，123，364，925。其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字，那么这个三位数是_______‎ ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：将五个数按百位、十位、个位上的数字分组比较，可发现：百位上五个数字都不同；十位上有两个2和两个6；个位上有两个4和两个5。故所求的数的个位数字一定是4或5，百位上一定是2或6。经观察比较，可知724符合要求。‎ ‎　　例2 给一本书编页码，共用了1500个数字，其中数字“3”共用了_______个 ‎　　（首届《现代小学数学）》邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：可先求出1500个数字可编多少页。‎ ‎　　从第一页到第9页，共用去9个数字；从第10页到第99页，共用去2×90=180（个）数字；余下的数字可编（1500-189）÷3=437（页）‎ ‎　　所以，这本书共有536页。‎ ‎　　l至99页，共用20个“3”，从100至199页共用20个“3”，从200至299页共用20个“3”，从300至399页共用去120个“3”，从400至499页共用去20个“3”，从500到536页共用去11个“3”。所以，共用去211个数字3。‎ ‎　　例3 在三位数中，数字和是5的倍数的数共有_______个。‎ ‎　　（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）‎ ‎　　讲析：可把三位数100至999共900个数，从100起，每10个数分为一组，得 ‎　　（100，101、……109），（110、111、……119），……（990、991、……、999）‎ ‎　　共分成了90组，而每组中有且只有两个数的数字和是5的倍数，所以一共有2×90=180（个）。‎ ‎　　例4 有四个数，取其中的每两个数相加，可以得到六个和。这六个和中最小的四个数是83、87、92、94，原因数中最小的是______。‎ ‎　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：设原四个数从小到大为a、b、c、d，则有a+b=83，a+c=87，所以c比b大4。而对于和为92和94时，或者是b+c=92，或者是b+c=94。‎ ‎　　当b+c=92时，因c比b大4，可得b=45，进而可求得a=38。‎ ‎　　当b+c=94时，因c比b大4，可得b=44，进而可求得a=39。‎ ‎　　所以，原四数中最小的数是38或39。‎ ‎　　‎ abcd=______‎ ‎　　（广州市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：原四位数增加8倍后得新的四位数，也就是原四位数乘以9，得新四位数（如图5.29）。从而可知，a一定为1，否则积不能得四位数。则 ‎　‎ ‎　　例6 有两个两位数，它们的个位数字相同，十位数字之和是11。这两个数的积的十位数字肯定不会是哪两个数字？‎ ‎　　（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：由题意可知，两个数的十位上为（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），而个上则可以是0至9的任意一个数字。如果分别去求这两个数的积，那是很麻烦的。‎ ‎　　设这两个数的个位数字是c，十位数字分别为a、b，则a+b=11，两数分别为（‎10a+c)，（10b+c）。‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 字。‎ 627‎ ‎　　　　‎ 能是6、8。‎ ‎　　例7 期的记法是用6个数字，前两个数字表示年份，中间两个数字表示月份，后两个数字表示日（如1976年4月5日记为760405）。‎ ‎　　第二届小学“祖杯赛”的竞赛日期记为921129。这个数恰好左右对称。因此这样的日期是“吉祥日”。问：从‎87年9月1日到‎93年6月30日，共有_______个吉祥日。（第二届“祖冲之杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：一个六位数从中间分开，要求左右对称，则在表示月份的两个数中，只有11月份。而且“年份”的个位数字只能是0、1、2。‎ ‎　　所以是共有3个吉祥日：901109、911119、921129。‎ 627‎ ‎25、数的整除性规律 ‎　　【能被2或5整除的数的特征】（见小学数学课本，此处略）‎ ‎　　【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。‎ ‎　　例如，1248621各位上的数字之和是 ‎　　1+2+4+8+6+2+1=24‎ ‎　　3｜24，则3｜1248621。‎ ‎　　又如，372681各位上的数字之和是 ‎　　3+7+2+6+8+1=27‎ ‎　　9｜27，则9｜372681。‎ ‎　　【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。‎ ‎　　例如，173824的末两位数为24，4｜24，则4｜173824。‎ ‎　　43586775的末两位数为75，25｜75，则25｜‎ ‎　　43586775。‎ ‎【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。‎ ‎　　例如，32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。‎ ‎　　3569824的末三位数为824，8｜824，则8｜3569824。‎ ‎　　214813750的末三位数为750，125｜750，则125｜214813750。‎ 627‎ ‎【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。‎ ‎　　例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即 ‎　　7｜448，则7｜75523。‎ ‎　　又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即 ‎　　13｜221，则13｜1095874。‎ ‎　　再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即 ‎　　11｜99，则11｜868967。‎ ‎　　此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：‎ ‎　　一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差（大减小）能被11整除时，则这个数便能被11整除。‎ ‎　　例如，4239235的奇数位上的数字之和为 ‎　　4+3+2+5=14，‎ ‎　　偶数位上数字之和为2+9+3=14，‎ ‎　　二者之差为14-14=0，0÷11=0，‎ ‎　　即11｜0，则11｜4239235。‎ 627‎ ‎26、数的公理、定理或性质 ‎　　【小数性质】小数的性质有以下两条：‎ ‎　　（1）在小数的末尾添上或者去掉几个零，小数的大小不变。‎ ‎　　（2）把小数点向右移动n位，小数就扩大10n倍；把小数点向左移动n位，小数就缩小10n倍。‎ ‎　　【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数，分数的大小不变。即 ‎　　　‎ ‎　　【去九数的性质】用9去除一个数，求出商后余下的数，叫做这个数的“去九数”，或者叫做“9余数”。求一个数的“去九数”，一般不必去除，只要把该数的各位数字加起来，再减去9的倍数，就得到该数的“去九数”。（求法见本书第一部分“（四）法则、方法”“2．运算法则或方法”中的“弃九验算法”词条。）去九数有两条重要的性质：‎ ‎　　（1）几个加数的和的去九数，等于各个加数的去九数的和的去九数。‎ ‎　　（2）几个因数的积的去九数，等于各个因数的去九数的积的去九数。‎ ‎　　这两条重要性质，是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据。‎ ‎　　【自然数平方的性质】‎ ‎（1）奇数平方的性质。任何一个奇数的平方被8除余1。‎ 627‎ ‎　　为什么有这一性质呢？这是因为奇数都可以表示为2k+1的形式，k为整数。而 ‎　　（2k+1）2=4k2+4k+1‎ ‎　　=4k（k+1）+1‎ ‎　　k与k+1又是连续整数，其中必有一个是偶数，故4k（k+1）是8的倍数，能被8整除，所以“4k（k+1）+‎1”‎，即（2k+1）2能被8除余1，也就是任何一个奇数的平方被8除余1。‎ ‎　　例如，272=729‎ ‎　　729÷8=91……1‎ ‎（2）偶数平方的性质。任何一个偶数的平方，都是4的倍数。‎ ‎　　这是因为偶数可以用2k（k为整数）表示，而（2k）2＝4k2‎ ‎　　显然，4k2是4的倍数，即偶数的平方为4的倍数。‎ ‎　　例如，2162=46656‎ ‎　　46656÷4=11664‎ ‎　　即 4|46656‎ ‎　　【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条：‎ ‎　　（1）两个偶数的和或差是偶数；两个奇数的和或差也是偶数。‎ ‎　　（2）一个奇数与一个偶数的和或差是奇数。‎ ‎　　（3）两个奇数之积为奇数；两个偶数之积为偶数。‎ ‎　　（4）一个奇数与一个偶数之积为偶数。‎ ‎　　由第（4）条性质，还可以推广到:‎ ‎　　若干个整数相乘，只要其中有一个整数是偶数，那么它们的积就是个偶数。‎ ‎　　【偶数运算性质】偶数运算性质有：‎ ‎　　（1）若干个偶数的和或者差是偶数。‎ ‎　　（2）若干个偶数的积是偶数。‎ ‎　　例如，四个偶数38、126、672和1174的和，是偶数2010；用偶数相减的算式3756-128-294-1350的差，也是偶数1984。‎ 627‎ ‎　　【奇数运算性质】奇数运算性质有：‎ ‎　　（1）奇数个奇数的和（差）是奇数；偶数个奇数的和（差）是偶数。‎ ‎　　（2）若干个奇数的积是奇数。‎ ‎27、数的大小概念 ‎　　【比较分数大小】用常规方法比较分数大小，有时候速度很慢。采用下述办法，往往可大大提高解题的速度。‎ ‎　　（1）交叉相乘。把要比较大小的两个分数的分子分母交叉相乘，然后 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　2×5＝10， 3×3=9， 3×8=24， 5×5=25，‎ ‎　　‎ 627‎ ‎　　之所以能这样比较，是由于它们通分时，公分母是分母的乘积。这时，分数的大小就只取决于分子的大小了。‎ ‎　　（2）用“1”比较。当两个分数都接近1，又不容易确定它们的大小 ‎　‎ ‎　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　‎ ‎　　‎ 627‎ ‎　　（4）化相同分子。把分子不同的分数化成同分子分数比较大小。有时 序排列起来：‎ ‎　　‎ ‎　　（5）两分数相除。用两个分数相除，看它们的商是大于1还是小于1，往往能快速地找出它们的大小关系。由于这样做，省略了通分的过程，所以 ‎　　‎ ‎　　显然，将它们反过来相除，也是可以的：‎ ‎　　‎ ‎【巧比两数大小】若甲、乙两数间的关系未直接给出，比较它们的大小，有一定难度。这时，可按下面的办法去做：‎ ‎　　（1）先看分子是1的情况。例如下题：‎ ‎　　‎ 627‎ ‎　　第一种方法是直观比较。先画线段图（图4.4）：‎ ‎　　由对线段图的直观比较可知，乙数大于甲数。‎ ‎　　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　　‎ 数。‎ ‎　　‎ 可知 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　（2）再看分子不是1的情况。例如下题：‎ ‎　　‎ ‎　　它同样也可以用四种方法比较大小。比方 627‎ ‎　　用直观比较方法，可画线段图如下（图4.5）：‎ ‎　　由图可知，甲数大于乙数。‎ ‎　　用统一分子的方法，也可比较它们的大小。因为 ‎　　‎ ‎　　用图表示就是图4.6：‎ ‎　　这就是说，把甲数分为9份，乙数分为8份，它们的6份相等。所以，它们每一份也相等。而甲数有9份，乙数只有8份，故甲数大于乙数。‎ ‎　　‎ 去，即可知道甲数大于乙数。‎ ‎　　如果用转化关系式比较。由题意可知 ‎　　‎ ‎　　根据一个因数等于积除以另一个因数，可得 ‎　　‎ 627‎ ‎28、数的大小比较 ‎　　【分数、小数大小比较】‎ ‎　　‎ ‎　　（全国第二届“华杯赛”决赛口试试题）‎ ‎　　讲析：这两个分数如果按通分的方法比较大小，计算将非常复杂。于是可采用比较其倒数的办法去解答。倒数大的数反而较小。‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　‎ 627‎ 个数是______。‎ ‎　　（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：将给出的六个数分别写成小数，并且都写出小数点后面前四位数，则把这六个数按从大到小排列是：‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　【算式值的大小比较】‎ ‎　　例1 设A=9876543×3456789； B=9876544×3456788。‎ ‎　　试比较A与B的大小。‎ ‎　　（1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：可将A、B两式中的第一个因数和第二个因数分别进行比较。这时，只要把两式中某一部分变成相同的数，再比较不同的数的大小，这两个算式的大小便能较容易地看出来了。于是可得 ‎　　A =9876543×（3456788＋1）‎ ‎　　=9876543×3456788＋9876543；‎ ‎　　B =（9876543＋1）×3456788‎ ‎　　=9876543×3456788＋3456788；‎ ‎　　所以，A＞B。‎ ‎　　例2 在下面四个算式中，最大的得数是算式______。‎ ‎　　‎ ‎　　（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：如果直接把四个算式的值计算出来，显然是很麻烦的，我们不妨运用化简繁分数的方法，比较每式中相同位置上的数的大小。‎ ‎　　‎ ‎　　　‎ ‎　　 ‎ ‎　　‎ ‎　　比较上面四个算式的结果，可得出最大的得数是算式（3）。‎ ‎　　例3 图5.1中有两个红色的正方形和两个蓝色正方形，它们的面积 ‎　　问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？‎ ‎　　（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）‎ ‎　　讲析：‎ ‎　　 ‎ 方形放入大正方形中去的办法，来比较它们的大小（如图5.2）。‎ 627‎ ‎　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　所以，两个蓝色正方形的面积比两个红色正方形的面积大。‎ ‎29、实践与实际操作 ‎　　【最短路线】‎ ‎　　例1 一只蚂蚁要从A处出发，经粘合在一块木板上的正方体（如图5.74）的表面爬到B处。‎ ‎　　请你在图上画出最短的路线（看得见的画实线，看不见的画虚线），有几条就画几条。‎ 627‎ ‎　　（1990年“新苗杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：可将正方体的几个面，按正视位置的前面—上面展开，前面—右面展开，左面—后面展开，左边—上面展开，其展开图都是由两个正方形面组成的长方形（如图5.75所示）。‎ ‎　　根据两点之间直线段最短的原理，故最短路线为每个长方形对角线，它们共有四条，如图5.76所示。‎ ‎　　例2 请你在图5.77（3）、（4）、（5）上画出三种与图（2）不一样的设计图，使它们折起来后，都成为图（1）所示的长方形盒子（粗线和各棱交于棱的中点）。‎ ‎　　（第四届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：解题的关键，是要分清实线与虚线，然后思考它们是按什么方式展开的。‎ ‎　　不难想象，其答案如图（3）、（4）、（5）所示。‎ ‎　　【切分图形】‎ ‎　　例1 请将图5.78分成面积相等，形状相同，且每一块中都含有“数学竞赛”字样的四块图形。‎ 627‎ ‎　　（“新苗杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：从条件看，所分成的每一块图中，必须有四个小正方形，且只有五种（如图5.79）。‎ ‎　　根据图中汉字的具体位置，可发现图5.79中图（1）、图（2）明显不合，图（3）、图（4）也不能分成。于是只剩下图（5）。‎ ‎　　进一步搜索，便可得到答案。答案如图5.80所示。‎ ‎　　例2 在一张正方形纸上画两个三角形，最多可以把这个正方形分成________块，画三个三角形，最多可以把这个正方形分成________块；画四个三角形，最多可以把这个正方形分成_________块。‎ ‎　　（1990年无锡市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：可先找出规律。‎ ‎　　在正方形纸上，画一个三角形，依次画三条边时，增加了（1＋1＋1）块，最多可把它分成4块；画二个三角形，依次画三条边时，增加了（3＋3＋3）块，共13块；画三个三角形，依次画三条边时，增加了（5＋5＋5）块，共28块，如图5.81所示。‎ ‎　　由此推得，画四个三角形，可增加（7＋7＋7）块，最多，共49块。‎ 627‎ ‎　　【拼合图形】‎ ‎　　例1 图5.82是由图5.83中的六块图形拼合而成的，其中图①放在中间一列的某一格。请在图5.82中找出这六个图形，并画出来。‎ ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛试题）‎ ‎　　讲析：可先确定图①的位置。因为图①在中间的一列的某一格，当图①放在A、B、C处时，经试验，与其它五图不能拼成图5.82。‎ ‎　　当图①放在D处时，这六幅图可以拼成图5.82。拼法如图5.84所示。‎ ‎　　 ‎ ‎　　例2 7块正方体积木堆在桌上。‎ ‎　　从东、南、西、北四个方向看去，所看到的一面都只有5个正方形，而且看到的图案是一样的。（如图5.85）。那么从上面看下去，看到的图形可能是什么 ‎　　样的？请在图5.86中正确的图形下面打 627‎ ‎　　“√”，错误的图形下面打“×”。（《从小爱数学》邀请赛第五届试题）‎ ‎　　 ‎ ‎　　讲析：上面的七幅图都是俯视图。在看每幅图是否正确时，关键是想象出将另两块积木，放在这五块中哪两块的上面，然后分别从东西南北四个方向去看，得出的图形是否与图5.85相吻合。‎ ‎　　经试验，得出的答案如图5.86所示，即按从左往右，从上至下的位置，依次为√、√、×、√、×、√、√。‎ 省工省时问题 ‎　　例1 某车队有4辆汽车，担负A、B、C、D、E、F六个分厂的运输任) N/ ?+ O# T- ~5 U5 ^+ s5 w 　　（图5.97所标出的数是各分厂所需装卸工人数）。若各分厂自派装卸工，则共需33人。若让一部分人跟车装卸，在需要装卸工人数较多的分厂再配备一个或几个装卸工，那么如何安排才能既保证各分厂所需工人数，又使装卸工人数最少？ ( h# Y. }8 A, R, m ‎ ‎　 ‎ 运筹1.jpg (2.91 KB)‎ ‎2008-9-5 11:25‎ ‎　 ‎ 627‎ ‎　　（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题） 9 F5 p7 A" w9 r3 t; B4 G; c　　讲析：可从需要工人数最少的E分厂着手。假定每辆车上配备3人，则需在D、C、B、A、F五处分别派1、5、2、3、4人，共需27人。* Z3 d, m7 Q6 s. H/ [ 　　若每车配备4人，则需在C、B、A、F四处分别派4、1、2、3人，共需26人。# u; t% t' S4 n) d, Y1 `* d 　　若每车配备5人，则需在C、A、F三处分别派3、1、2人，共需26人。 1 d2 ; q8 n7 J: 8 E' d　　所以，上面的第二、三种方案均可，人数为26人。& W  D4 p4 u. a) }4 k" E) w" e3 c 　　例2 少先队员在植树中，每人植树2棵。如果一个人挖一个树坑需要25分钟，运树苗一趟（最多可运4棵）需要20分钟，提一桶水（可浇4棵树）需要10分钟，栽好一棵树需要10分钟，现在以两个人为一个小组进行合作，那么，完成植树任务所需的最短时间是______分钟。 3 J2 f$ j+ E( ?9 Y! m　　（福州市鼓楼区小学数学竞赛试题） & Y& p# S' P. I! r7 I# Z　　讲析：可将甲、乙两人同时开始劳动的整个过程安排，用图5.98来表示出来。5 g1 d; d) y1 x- ?- o, O6 J ‎　　 ‎ 运筹2.jpg (9.43 KB)‎ ‎2008-9-5 11:25‎ ‎　　由图可知，完成任务所需的最短时间，是85分钟。0 h2 Q* h0 `  D4 A, g1 I$ A 　　例3 若干箱同样的货物总重19.5吨，只知每箱重量不超过353千克。今有载重量为1.5吨的汽车，至少需要______辆，才能保证把这些货物一次全部运走。（箱子不能拆开）/ x- |$ m+ ~! p% p 　　（北京市第七届“迎春杯”小学数学竞赛试题） $ g. ^+ T0 _) j- O 627‎ ‎　　讲析：关键是要理解“至少几辆车，才能保证一次运走”的含义。也就是说，在最大浪费车位的情况下，最少要几辆车。 - P7 n8 z: O1 W+ N　　∵这堆货物箱数至少有：2 v% - b' {6 B" s: A) e 　　19500÷353≈55.2≈56（箱）；; l- ^8 b: z8 V7 ` 　　一辆汽车每次最多能装的箱数： - M3 ~- y6 y) $ @; s. y; l" F　　1500÷353≈4.2≈4（箱）。 - t# D8 S2 [0 D/ G3 j" }　　∴一次全部运走所有货物，至少需要汽车56÷4=14（辆）。8 u' ~3 l+ b  q  Z4 o 　　例4 如图5.99，一条公路（粗线）两侧有7个工厂（01、02、……、07），通过小路（细线）分别与公路相连于A、B、C、D、E、F点。现在要设置一个车站，使各工厂（沿小路和公路走）的距离总和越小越好。这个车站应设在一______点。 6 m4 m1 p) C* `  m. i, d9 t; @4 d　　（1992年福州市小学数学竞赛试题）7 E6 x  u* ~. C" E* a/ ]6 x ‎　　 ‎ 运筹3.jpg (5.74 KB)‎ ‎2008-9-5 11:25‎ ‎　　讲析：从各工厂到车站，总是先走小路，小路的总长不变，所以问题可转化为：“在一条公路上的A、B、C、D、E、F处各有一个工厂，D处有两个工厂。要在公路上设一个站，使各厂到车站的距离总和最小（如图5.100）。; D& Q6 |9 Y; d# ?# m ‎　　 ‎ 运筹4.jpg (2.71 KB)‎ ‎2008-9-5 11:25‎ ‎　　显然，车站应设在尽量靠七个厂的中间部位。 - s9 ?' |3 ~) q$ S1 `　　如果车站设在D处，则各厂到D总长是：6 K5 j7 X- P4 W; e 　　（DA＋DF）＋（DB＋DE）＋DC=AF＋BE＋DC； 0 ‎ 627‎ R: y* t4 A- f: ?) l　　如果车站设在C处，则各厂到C总长是 1 m9 A7 m2 G7 v# I7 Z% J0 P% O　　（CA＋CF）＋（BC＋CE）＋2·DC＝AF＋BE＋2·DC。9 k  6 h1 z4 k! f2 G  k 　　比较上面两个式子得：当车站设在D处时，七厂到车站的距离总和最小。8 S. E2 z0 ~2 `+ P0 o. P; _# @ 【费用最少问题】 % N7 Q/ }8 H+ p9 z　　例1 在一条公路上每隔100千米有一个仓库（如图5.101），共有五个仓库。一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？$ I/ }5 S% x8 H: a. ^% e- p8 B 　　（全国第一届“华杯赛”复赛试题） $ F+ @5 m' Q" x ‎ ‎　　 ‎ 运筹5.jpg (4.66 KB)‎ ‎2008-9-5 11:25‎ ‎　　讲析：这类问题思考时，要尽量使运这些货物的吨千米数的和最小。处理的方法是：“小往大处靠”。/ K* m9 ?- G2 R6 E 　　因为第五个仓库有40吨，比第一、二仓库货物的总和还多。所以，尽量把第五个仓库的货不动或者动得最近。 . ?" f: n) r; z9 J5 V. p　　当存放站设在第四仓库时，一、二、五仓库货物运输的吨千米数为： 8 K, G4 ~2 O5 D& |9 b0 I+ o- y* l　　10×300＋20×200＋40×100=11000；   }% q& H$ z! M. b2 z7 ~. v) l! Z　　当存放站设在第五仓库时，一、二仓库货物运输的吨千米数为： % l3 Q; [) z' J% v: T4 U　　10×400+20×300=10000。 $ K: B6 }2 B"‎ 627‎ ‎ g0 Z3 T2 v$ p* ?　　所以，存放点应设在第五号仓库，运费最少。运费是0.5×10000=5000（元）。 9 M8 b) w9 z! X: y4 y* J6 }　　例2 有十个村，坐落在从县城出发的一条公路上（如图（5.102，单位：千米），要安装水管，从县城送自来水到各村，可用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8千元，细管每千米要用2千元。把粗管细管适当搭配，互相连接，可降低工程总费用。按最节省的办法，费用应是多少？7 ?& Z5 D/ i4 i8 S6 ] 　　（全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题）$ J  y; M+ Q' I, ~* Y5 b1 {‎ ‎　　 ‎ 运筹6.jpg (3.5 KB)‎ ‎2008-9-5 11:25‎ ‎　　讲析：因为粗管每千米的费用是细管的4倍，所以应该在需要安装四根或四根以上水管的地段，都应安装粗管。因此，只有到最后三个村安装细管，费用才最省。 : e( O: Y3 L5 i8 Q: ]　　不难求出，最少费用为414000元。" S# k0 f  `: Z4 X. n1 o- N% [‎ 627‎ ‎30、容斥原理问题 ‎ ‎　　例1 在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有______个。‎ ‎　　（莫斯科市第四届小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：能被5整除的数共有1000÷5=200（个）；‎ ‎　　能被7整除的数共有1000÷7=142（个）……6（个）；‎ ‎　　同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28（个）……20（个）。‎ ‎　　所以，能被5或7整除的数一共有（即重复了的共有）：‎ ‎　　200＋142—28=314（个）；‎ ‎　　不能被5或7整除的数一共有 ‎　　1000—314=686（个）。‎ ‎　　例2 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：‎ ‎　　 ‎ ‎　　求这个班的学生人数。‎ ‎　　（全国第三届“华杯赛”复赛试题）‎ ‎　　讲析：如图5.90，图中三个圆圈分别表示短跑、游泳和篮球达到优秀级的学生人数。‎ ‎　　 ‎ 627‎ ‎　　只有篮球一项达到优秀的有 ‎　　15—6—5+2=6（人）；‎ ‎　　只有游泳一项达到优秀的有 ‎　　18—6—6+2=8（人）；‎ ‎　　只有短跑一项达到优秀的有 ‎　　17—6—5＋2=8（人）。‎ ‎　　获得两项或者三项优秀的有 ‎　　6＋6+5—2×2=13（人）。‎ ‎　　另有4人一项都没获优秀。‎ ‎　　所以，这个班学生人数是13＋6＋8＋8＋4=39（人）。‎ 627‎ ‎31、奇数偶数与奇偶性分析 ‎　　【奇数和偶数】‎ ‎　　例1 用l、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多？‎ ‎　　（全国第二届“华杯赛”决赛口试试题）‎ ‎　　讲析：如果两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数。在这五个数中，只有三个奇数，两两相乘可以得到3个不同的奇数积。而偶数积共有7个。所以，乘积中是偶数的多。‎ ‎　　例2 有两组数，甲组：1、3、5、7、9……、23；乙组：2、4、6、8、10、……24，从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到______个不同的和。‎ ‎　　（《现代小学数学》邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：甲组有12个奇数，乙组有12个偶数。甲组中任意一个数与乙组中任意一个数相加的和，必为奇数，其中最大是47，最小是3。‎ ‎　　从3到47不同的奇数共有23个。‎ ‎　　所以，能得到23个不同的和。‎ ‎　　本题中，我们不能认为12个奇数与12个偶数任意搭配相加，会得到12×12=144（个）不同的和。因为其中有很多是相同的。‎ ‎　　【奇偶性分析】‎ ‎　　例1 某班同学参加学校的数学竞赛。试题共50道。评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。‎ ‎　　（全国第三届《从小爱数学》邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：如果50道题都答对，共可得150分，是一个偶数。每答错一道题，就要相差4分，不管答错多少道题，4的倍数总是偶数。150减偶数，差仍然是一个偶数。‎ 627‎ ‎　　同理，每不答一道题，就相差2分，不管有多少道题不答，2的倍数总是偶数，偶数加偶数之和为偶数。‎ ‎　　所以，全班每个同学的分数都是偶数。则全班同学的得分之和也一定是个偶数。‎ ‎　　例2 5只杯子杯口全都朝上。规定每次翻转4只杯子，经过若干次后，能否使杯口全部朝下？‎ ‎　　（美国小学数学奥林匹克通讯赛试题）‎ ‎　　讲析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必须翻转奇数次。要想5只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，则翻动的总次数也一定是奇数次才能办得到。‎ ‎　　现在每次只翻转4只杯子，无论翻多少回，总次数一定是偶数。‎ ‎　　所以，不能使杯口全部朝下。‎ ‎　　例3 某班共有25个同学。坐成5行5列的方阵。我们想让每个同学都坐到与他相邻的座位上去。（指前、后、左、右），能否做得到？‎ ‎　　（广州市小学数学竞赛预赛试题）‎ ‎　　讲析：如图5.44，为了方便，我们将每一格用A或B表示，也就是与A相邻的用B表示，与B相邻的用A表示。‎ ‎　　要想使每位同学都坐到相邻座位上去，也就是说坐A座位的同学都要坐到B座位上去，而坐B座位上的同学都要坐到A座位上去。‎ ‎　　但是，A座位共13个，而B座位共12个，所以，不管怎样坐，要想坐A座位的同学都坐到B座位上去，是办不到的。‎ ‎　　例4 线段AB的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色。在线段中间插入1991个分点，每个分点随意标上红色或蓝色。这样分得1992条不重叠的小线段，如果把两端点颜色不同的小线段叫做标准线段，那么标准线段的条数是奇数还是偶数？‎ ‎　　（1992年长沙市小学数学竞赛预选赛试题）‎ ‎　　讲析：每插入一个点，无论其颜色怎样，其非标准线段的条数增加0条或2条，所以插入1991个点后，非标准线段增加总数是一个偶数。又原非标准线段条数为1，是一个奇数，故最后得到的非标准线段必为奇数。‎ 627‎ ‎　　非标准线段条数+标准线段条数=1992条。‎ ‎　　所以，标准线段的条数是奇数。‎ ‎32、其他定理或性质 ‎　　【算术基本定理】任意一个大于1的整数，都能表示成若干个质数的乘积，如果不计质因数的顺序，则这个分解式是唯一的。即任意一个大于1的整数 ‎　　a=[p1×p2×p3×……×pn（p1≤p2≤p3≤……≤pn）其中p1、p2、p3、…、np都质数；并且若 ‎　　a=q1×q2×q3×…qm（q1≤q2≤q3≤…≤qm）‎ ‎　　其中q1、q2、q3、…、qm都是质数。那么，m=n，qi=pi（i=1，2，3，…，n）‎ ‎　　当这个整数是质数时是符合定理的特例。‎ ‎　　上述定理，叫做“算术基本定理”。‎ ‎　　【方程同解变形定理】方程的同解变形，有下列两个基本定理：‎ ‎　　定理一 方程两边同时加上（或同时减去）同一个数或整式，所得的方程与原方程同解。‎ ‎　　根据这一同解定理，可把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。这种变形叫做移项。‎ ‎　　例如，解方程3x=2x+5。‎ ‎　　解 移项，得 ‎　　3x-2x=5‎ 627‎ ‎　　合并同类项，得 ‎　　x=5。‎ ‎　　定理二 方程两边同时乘以（或除以）同一个不是零的数，所得的方程与原方程同解。‎ ‎　　‎ 是同解的。‎ ‎　　【一笔画的性质】为掌握“一笔画”的性质，先介绍“一笔画”的有关概念。‎ ‎　　图──用若干条线（不一定是直线段）把一些点连接起来的图形，如图1.7。这些点叫图的顶点，如A、B、C、D；这些线叫图的边，如AB、AC、AD等。‎ ‎　　点的次--每个点上所连接的线的条数，叫做这个点的“次”。如图1.7中，A点有五条线与它相连，B点有三条线与它相连，则A点的次为5；B点有三条线与它相连，则B点的次为3。‎ ‎　　奇点--点的次数为奇数，则这个点为“奇点”。如图1.7中的A、B、C、D点，全部都是奇点。‎ ‎　　偶点--点的次数为偶数，则这个点叫做“偶点”。‎ ‎　　如图1.8中的B点（4次）、D点（2次），都是偶点。一笔画问题--在图1.8中，能否从A点（或其他点）出发，不重复任一边（点可随便经过若干次）而一笔画出全图的问题，叫做“一笔画问题”（也称“七桥问题”，见本书第九部分“七桥问题”词条）。‎ ‎　　能一笔画的图形，具有下面两条性质：‎ ‎　　（1）若一个图形中，奇点的个数不大于2，则这个图形必能一笔画成，否则就不能画成。‎ ‎　　例如图1.7中，奇点有A、B、C、D四个，它无论从哪一点出发，都是不可能一笔画成的。而图1.8中，奇点只有A、C两个，它是可以一笔画成的。其画法可如图1.9所示：从A 627‎ 点出发，经1到C，经2到D，经3到B，经4到A，又经5到B，再经6到A，然后经7到C，完成全图。显然，此图的画法并不止于这一种，这只是多种画法中的一种画法。‎ ‎　　（2）若一个图中没有奇点，那么始点和终点必须重合；若一个图中有两个奇点，则这两个奇点必是起点和终点。‎ ‎　　例如图1.10中，点A、B、C均为偶点，没有奇点。若从A点出发，按图外箭头所指的方向，经①、②、③、④、⑤，便又回到了A点。这样，A点便既是始点又是终点。而图1.8中有A、C两个奇点，按性质（1）中的画法，可从A点出发，到C点结束，A是始点，C是终点。图1.9（也可以从C点出发，到A点结束，C为始点，A为终点。）‎ 平移变换 ‎　　【平移线段】有些几何问题，通过线段的上、下、左、右平移以后，能使问题很快地得到正确的解答。‎ ‎　　例如，下面的两个图形（图4.17和图4.18）的周长是否相等？‎ ‎　　单凭眼睛观察，似乎图4.18的周长比图4.17的要长一些。但把有关线段平移以后，图4.18就变成了图4.19，其中的线段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一个正方形。于是，不难发现两图周长是相等的。‎ 627‎ ‎　‎ ‎　　【平移空白或阴影部分】有些求阴影部分或空白部分面积的几何题，采用平移空白部分或平移阴影部分的办法，往往能化难为易，很快使问题求得解答。例如，计算图4.20中阴影部分的面积。‎ ‎　‎ ‎　　‎ 圆面积”，然后相加，得整个阴影部分的面积。这显然是很费时费力的。但认真观察一下就会发现，图4.20左半左上部的空白部分，与右半左上部的阴影部分大小一样，只需将右半左上部的阴影部分，平移到左半左上部的空白部分，所有的阴影部分便构成一个正方形了（如图4.21）。所以，阴影部分的面积很快就可求得为5×5=25。‎ ‎　　又如，一块长‎30米，宽‎24米的草地，中间有两条宽‎2米的走道，把草地分为四块，求草地的面积（如图4.22）。‎ ‎　　这只要把丙向甲平移靠拢，把丁向乙平移靠拢，题目也就很快能解答出来了。（具体解法略）‎ 627‎ ‎33、平面图形的计算 ‎【周长的计算】‎ ‎　　例1有9个同样大小的小长方形，拼成一个大长方形（如图5.54）的面积是‎45厘米2，求这个大长方形的周长。‎ ‎　　（第四届《小学生数学报》邀请赛决赛试题）‎ ‎　　讲析：设每个小长方形的长是a厘米，宽是b厘米。于是有 ‎　　a×b=45÷9＝5；‎ ‎　　又有：‎4a=5b。‎ ‎　　可求得b=2，a=2.5。‎ ‎　　所以大长方形的周长为‎6a＋7b=29（厘米）。‎ 627‎ ‎　　例2 图5.55中图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多‎6厘米，问：图（1），图（2）中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？（全国第四届“华杯赛”决赛试题）‎ ‎　　讲析：图5.55（1）中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长，图5.55（2）中画斜线区域的周长明显比大长方形周长小。二者相差2·AB。‎ ‎　　从图5.55（2）的竖直方向看，AB＝a－CD ‎　　图5.55（2）中大长方形的长是a＋2b，宽是2b＋CD，‎ ‎　　所以，（a+2b）-（2b＋CD）=a-CD=6（厘米）‎ ‎　　故：图5.55（1）中画斜线区域的周长比图5.55（2）中画斜线区域的周长大，大‎12厘米。‎ ‎【面积的计算】‎ ‎　　例1如图5.56，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是______。‎ ‎　　（北京市第十届“迎春杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：连结AE（如图5.57），则三角形AEC的面积是16÷2-4=4。因为△ACF与△AEC等高，且面积相等。所以，CF=CE。‎ 627‎ ‎　　同理，△ABE的面积是16÷2-3=5，则BD∶BE=3∶5。即BE=‎ ‎　　从而，△ABC的面积是16-（3＋4+2.5）=6.5。‎ ‎　　例2 如图5．58，在等边三角形ABC中，AF=3FB，FH垂直于BC，已知阴影部分的面积为1平方厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米？‎ ‎　　（1992年武汉市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：如图5.59，连接△ABC各边中点，则△ABC被分成了大小相等的四个小三角形。‎ ‎　　在△DBG中，再连接各边中点，得出将△DBG又分成了四个很小的三角形。‎ ‎　　经观察，容易得出△ABC的面积为（1×2）×4×4=32（平方厘米）。‎ ‎　　例3 三条边长分别为‎5厘米、‎12厘米、‎13厘米的直角三角形如图5.60（1），将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合如图5.60（2）。那么，图5.60（2）中阴影部分（即未被盖住部分）的面积是______平方厘米。‎ ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）‎ ‎　　讲析：如图5.60（2），设EC等于a厘米，那么DE也为a厘米。‎ 627‎ ‎　　△ABC的面积等于△ABE的面积加上△AEC的面积。‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　例4 如图5.61，ABCD是一个梯形，已知三角形ABD的面积是12平方厘米，三角形AOD的面积比三角形BOC的面积少12平方厘米，那么梯形ABCD的面积是______平方厘米。‎ ‎　　（广州市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：可设△AOD的面积为S1。‎ ‎　　则，△BOC的面积为S1＋12。‎ ‎　　于是有：S△ABO=S△ABD-S△AOD＝12-S1，‎ ‎　　S△ABC=S△ABO+S△BOC=（12-S1）＋（S1＋12）‎ ‎　　=24（平方厘米）。‎ ‎　　所以，梯形ABCD的面积是24+12=36（平方厘米）。‎ ‎　　例5 梯形ABCD被两条对角线分成了四个三角形S1、S2、S3、S4。已知S1=‎2厘米2，S2=‎6厘米2。求梯形ABCD的面积。‎ ‎　　（小学数学奥林匹克通讯赛决赛试题）‎ ‎　　讲析：三角形S1和S2都是等高三角形，它们的面积比为2∶6=1∶3；‎ ‎　　则：DO∶OB=1∶3。‎ ‎　　△ADB和△ADC是同底等高三角形，‎ 627‎ ‎　　所以，S1=S3=‎2厘米2。‎ ‎　　三角形S4和S3也是等高三角形，其底边之比为1∶3，所以S4∶S3=1∶‎ ‎　　所以，梯形ABCD的面积为 ‎　　‎ ‎　　例6 正方形边长为‎20厘米（如图5.63），已知DD′=EE′，CE=‎6厘米。则阴影部分三角形的面积最大值是______平方厘米。‎ ‎　　（海口市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：E′点在BE段滑动，D′点在DC段滑动。‎ ‎　　设DD′长a厘米。‎ ‎　　D′C=20-a，E′C=a＋6。‎ ‎　　‎ ‎　　又因为D′C＋E′C=（20-a）＋（a＋6）=26。‎ ‎　　运用等周长的长方形面积最大原理，两个数的和一定（等于26），要把这个和分成两个数，使这两个数的积最大，则当20-a=a＋6=13时，即a=7‎ ‎　　=84.5（平方厘米）。‎ ‎　　例7 图5.64是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米。问：阴影部分的面积是多少平方厘米？‎ 627‎ ‎　　（全国第四届“华杯赛”决赛试题）‎ ‎　　讲析：如图5.65，连接AC，所分成的四个小三角形分别用S1、S2、S3、S4表示。‎ ‎　　容易看出S2和S3是关于OC为对称轴的对称图形。‎ ‎　　所以S2=S3。‎ ‎　　从而不难得出S1、S2、S3、S4四个小三角形面积相等，即每个小三角 ‎　　例8 一个正方形（如图5.66），被分成四个长方形，它们的面积在图中标出（单位：平方米）。图中阴影部分是一个正方形。那么，它的面积是______。‎ ‎　　（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：可将四个长方形分别用A、B、C、D表示（如图5.67），阴影部分是B中的一部分。‎ ‎　　大正方形的面积为‎1平方米，所以它的边长为‎1米。‎ ‎　　因为长方形C和D的宽相等，所以它们长的比等于面积比。于是得C的 627‎ ‎　　‎ 米。‎ ‎　　例9 把大的正三角形每边8等分，组成图5.68所示的三角形网。如果每个小三角形面积是1，那么图中粗线围成的三角形面积是______。‎ ‎　　（1988年北京市奥林匹克邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：一般地，关于格点多边形的面积，有下面的公式：‎ ‎　　‎ ‎　　这里，格子面积等于小正方形或平行四边形面积，也就是小三角形面积的2倍。‎ ‎　　题中，格子面积为1×2=2，内部格点数为12，边上格点数为4。‎ ‎　　所以，粗线围成的面积是 ‎　　‎ ‎34、判断题的解答 ‎　　【用筛去（消倍）法判断】一个数能否被3整除，本来是不太难的问题。但当一个数比较大时，用各数位上的数相加，速度很慢，而且容易出现口算错误。若用“筛去（消倍）法”来判断，情况就大不一样了。例如 ‎　　（1）判断76935能否被3整除。先直接筛去能被3整除的6、9、3，剩下的7与5，和为3的倍数，所以3|76935（3能整除76935，或76935能被3整除）。‎ ‎　　（2）判断3165493能否被3整除。先直接筛去3的倍数3、6、9、‎ 627‎ 能整除3165493，或3165493不能被3整除。）‎ ‎　　【能否被7整除】一个数能否被7整除，只要把这个数的末位数字截去，再从余下的数中，减去这个末位数字的2 倍，如果这时能看出所得的差能被7整除，则原来的数就能被7整除，否则就不能被7整除；若是仍看不出来，就要继续上述过程，直到能清楚作出判断为止。例如，判断133能否被7整除：‎ ‎　　因为差数7能被7整除，所以7|133。‎ ‎　　这是什么原因呢？请看下面的算式：‎ ‎　　133×2＝（13×10＋3）×2‎ ‎　　＝13×20＋3×2‎ ‎　　=13×（21-1）+3×2‎ ‎　　=13×21－13＋3×2‎ ‎　　=13×7×3-（13-3×2）‎ ‎　　显然，13×7×3中有约数7，它能被7整除，故只要检验后面的（13-3×2）能否被7整除就可以了。（原理可见第一部分的整除性定理）‎ ‎　　如果要判断的数的位数很多，那么，将这种做法一直进行下去就是。例如，判断62433能否被7整除：‎ ‎　　∵7|42，∴7|62433‎ ‎　　这样的判定方法可称作“割尾法”。一个数能否被11、13、17和19整除，也可用割尾法去判断。‎ ‎　　【能否被11整除】判断一个数能否被11整除，可以采用割尾法、奇偶位差法及分节求和法。‎ 627‎ ‎　　（1）割尾法。一个数能否被11整除，只要把它的末尾数字截去，从余下的数里减去这个末位数，看所得的差能否被11整除。差能整除的，原来的数就能整除；差不能整除的，原来的数就不能整除。如一次所得的差还看不出能否被11整除，就继续上述过程，直到能作出判断为止。例如，判断2629能否被11整除：‎ ‎　　因为11｜22，所以11｜2629。‎ ‎　　之所以能这么判断，原因在于 ‎　　2629=2620+9‎ ‎　　=262×10+9‎ ‎　　=262×（11-1）+9‎ ‎　　=262×11-262+9‎ ‎　　=262×11-（262-9）‎ ‎　　在262×11中有因数11，所以只要看（262-9）的差能否被11整除，就可判断原来的2629能否被11整除。‎ ‎　　而（262-9）的差是253，‎ ‎　　253=250+3‎ ‎　　=25×10+3‎ ‎　　=25×（11-1）+3‎ ‎　　=25×11-25+3‎ ‎　　=25×11-（25-3）‎ ‎　　同样，只要看（25-3）能否被11整除，就会知道253能否被11整除。进而便可知2629能否被11整除了。‎ ‎　　（2）奇偶位差法。判断一个数能否被11整除，可先分别求出此数的奇位数字之和及偶位数字之和，再求这两个和的差数，若这个差能被11整除，则原来的那个数就能被11整除；否则，原来的数就不能被11整除。例如，判断823724能否被11整除：‎ 627‎ ‎　　∵它的奇位数字之和为4+7+2=13（数位数，从右边个位开始往左数），‎ ‎　　它的偶位数字的和为2+3+8=13‎ ‎　　两个和的差数是13-13=0（两数不等时用大数减小数）‎ ‎　　而 11｜0‎ ‎　　∴11｜823724‎ ‎　　之所以能这样判断，是因为 ‎　　823，724‎ ‎　　=8×100，000+2×10，000+3×1，000+7×100+2×10+4‎ ‎　　=8×（100，001-1）+2×（9，999+1）+3×（1，001-1）+7×（99+1）+2×（11-1）+4‎ ‎　　=8×100，001+2×9，999+3×1，001+7×99+2×11+[（2+7+4）-（8+3+2）]‎ ‎　　显然，在前几项中，因数100，001、9，999、1，001、99、11都是11的倍数，故只需检验[（2+7+4）-（8+3+2）]‎ ‎　　能否被11整除，就可以作出判断了。‎ ‎　　（3）分节求和法。把一个自然数从右向左每两位截为一节，然后把这些节加起来。若所得的和能被11整除，那么这个数就能被11整除；否则，这个数就不能被11整除。在这一情况下，如果仍不能作出判断，那就继续上述过程，直到清楚地作出判断为止。例如，判断762421能否被11整除：‎ ‎　　‎ ‎　　这一判断方法的理由，可见下面的算式：‎ ‎　　762421=76×10000+24×100+21‎ ‎　　=76×（9999+1）+24×（99+1）+21‎ ‎　　=76×9999+76+24×99+24+21‎ ‎　　=76×9999+24×99+（76+24+21）‎ ‎　　在前两项中，因数9999和9都能被11整除，所以只需要检验后面的（76+24+21）能否被11整除了。能整除的原数就能被11整除；不能整除的原数，就不能被11整除。‎ ‎　　【能否被13整除】一个数能否被13整除，可采用“割尾法”‎ 627‎ 判断：截去末位数字，余下的数加上末位数的4倍。所得的和是13的倍数，则这个数就能被13整除，否则，就不能被13整除。要是割尾一次仍不能作出判断，那就继续割尾，直到能作出判断为止。例如，判断364能否被13整除：‎ ‎　　∵13｜52，∴13｜364。‎ ‎　　这一判断的理由，可由下式看出：‎ ‎　　364×4=（36×10+4）×4‎ ‎　　=36×40+4×4‎ ‎　　=36×（39+1）+4×4‎ ‎　　=36×39+36+4×4‎ ‎　　=36×13×3+（36+4×4）‎ ‎　　前面的36×13×3中，有约数13，所以作出判断时，只需要检验（36+4×4）是否能被13整除了。‎ ‎　　【能否被17整除】一个数能否被17整除，同样可用“割尾法”作巧妙而快速地判断。不过，具体地做法有所不同。例如，判断731能否被17整除，判断方法如下：‎ ‎　　∵17｜68，∴17｜731。‎ ‎　　这样做的理由，可见下面的算式推导：‎ ‎　　731×5=（73×10+1）×5‎ ‎　　=73×50+1×5‎ ‎　　=73×（51-1）+1×5‎ ‎　　=73×51-73+1×5‎ ‎　　=73×17×3-（73-1×5）‎ 627‎ ‎　　由于前面的73×17×3有约数17，故只需检验（73-1×5）能否被17整除，就知道“731×5”能否被17整除。知道“731×5”能否被17整除，也就是知道731能否被17整除了（根据整除性定理）。‎ ‎　　若是“割尾”一次仍不能作出判断，那就依法继续割尾下去，直到能作出判断为止。例如，判断279191能否被17整除， 可以作如下割尾判断：‎ ‎　　∵17｜17，∴17｜279191‎ ‎　　【能否被19整除】一个数能否被19整除，也是可用“割尾法”作巧妙判断的，具体做法如 ‎　　判断475能否被19整除：‎ ‎　　∵19｜57，∴19｜475。‎ ‎　　其中的道理，可见下面的算式推导：‎ ‎　　475×2=（47×10+5）×2‎ ‎　　=47×20+5×2‎ ‎　　=47×（19+1）+5×2‎ ‎　　=47×19+（47+5×2）‎ ‎　　最后算式中的47×19有约数19，故只需要检验（47+5×2）能否被19整除，就知道“475×2”及“475”能否被19整除了。‎ ‎　　如果一次“割尾”仍不能作出判断，那就继续“割尾”下去，直至能作出判断为止。例如，判断14785能否被19整除：‎ 627‎ 排列与组合 ‎ ‎【有条件排列组合】‎ ‎　　例1 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字能够组成______个没有重复数字的三位数。‎ ‎　　（哈尔滨市第七届小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时，百位上不能为0，故共有9种不同的取法。‎ ‎　　因为百位上已取走一个数字，所以十位上只剩下9个数字了，故十位上有9种取法。‎ ‎　　同理，百位上和个位上各取走一个数字，所以还剩下8个数字，供个位上取。‎ ‎　　所以，组成没有重复数字的三位数共有 ‎　　9×9×8=648（个）。‎ ‎　　例2 甲、乙、丙、丁四个同学排成一排，从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有______种。‎ ‎　　（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：因每个人都不排在原来的位置上，所以，当乙排在第一位时，其他几人的排法共有3种；同理，当丙、丁排在第一位时，其他几人的排法也各有3种。‎ ‎　　因此，一共有9种排法。‎ ‎　　例3 有一种用六位数表示日期的方法，如890817表示‎1989年8月17日，也就是从左到右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日。如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有______天。‎ ‎　　（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：第一、二位数字显然只能取9和1，于是第三位只能取0。‎ 627‎ ‎　　第五位数字只能取0、1、2或3，而0和1已取走，当取3时，第六位上只能取0和1，显然不行。因此，第五位上只能取2。‎ ‎　　于是，第四位上只能取3、4、5、6、7、8；第六位上也只能取3、4、5、6、7、8，且第四、六位上数字不能取同。‎ ‎　　所以，一共有 6×5=30（种）。‎ ‎【环形排列】‎ ‎　　例1 编号为1、2、3、4的四把椅子，摆成一个圆圈。现有甲、乙、丙、丁四人去坐，规定甲、乙两人必须坐在相邻座位上，一共有多少种坐法？‎ ‎　　（长沙市奥林匹克代表队集训试题）‎ ‎　　讲析：如图5.87，四把椅子排成一个圆圈。‎ ‎　　 ‎ ‎　　当甲坐在①号位时，乙只能坐在②或④‎ ‎　　号位上，则共有4种排法；同理，当甲分别坐在②、③、④号位上时，各有4种排法。‎ ‎　　所以，一共有16种排列法。‎ ‎　　例2 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在图5.88的六个圆圈中，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出______种不同的挑法来。（挑出的数字相同，而排列次序不同的都只算一种）‎ ‎　　 ‎ ‎　　（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：在1至9这九个自然数中，奇数有1、3、5、7、9五个，偶数有2、4、6、8四个。要使排列之后，每相邻两个数字之和为质数，则必须奇数与偶数间隔排列，也就是每次取3个奇数和3个偶数。‎ ‎　　从五个奇数中，取3个数共有10种方法；‎ 627‎ ‎　　从四个偶数中，取3个数共有4种方法。‎ ‎　　但并不是每一种3个奇数和3个偶数都可以排成符合要求的排列。经检验，共有26种排法。‎ 627‎ ‎35、逻辑思路 ‎　　“逻辑思路”，主要是指遵循逻辑的四大基本规律来分析推理的思路。‎ ‎　　【同一律思路】同一律的形式是：“甲是甲”，或“如果甲，那么甲”。它的基本内容是，在同一思维过程中，同一个概念或同一个思想对象，必须保持前后一致性，亦即保持确定性。这是逻辑推理的一条重要思维规律。运用这一规律来解题，我们把它叫同一律思路。‎ ‎　　例1 某公安人员需查清甲、乙、丙三人谁先进办公室，三人口供如下：‎ ‎　　甲：丙第二个进去，乙第三个进去。‎ ‎　　乙：甲第三个进去，丙第一个进去。‎ ‎　　丙：甲第一个进去，乙第三个进去。‎ ‎　　三人口供每人仅对一半，究竟谁第一个进办公室？‎ ‎　　分析（用同一律思路推理）；‎ ‎　　这一类问题具有非此即彼的特点。比如甲是否是第一个进办公室只有两种可能：是或非。我们用1表示“是”，0表示“非”，则可把口供列表处理。‎ ‎　　（1）若甲第一，则依据丙的口供见左表，这个表与甲的口供仅对一半相矛盾；‎ ‎　　（2）若甲非第一，则依据丙的口供，乙第三个进去，进行列表处理如右表，与“三人口供仅对一半”相符。‎ ‎　‎ ‎　　从而可以判定，丙最先进入办公室。‎ ‎　　这个问题也可以不列表而用同一律推理。‎ ‎　　甲的话第一句对，第二句错，则丙第二，乙不是第三，又不是第二，自然乙第一，甲第二，这个结论与丙说的话“半对半错”‎ 627‎ 不符。因此，有甲的第一句错，第二句对。即乙第三个进去，丙不是第二个，自然是第一个。这个结论与乙的话“半对半错”相符：甲不是第三，丙是第一。并且这个结论与丙的话“半对半错”也相符：甲不是第一，乙是第三。‎ ‎　　在整个思维过程中，我们对三人的话“半对半错”进行了一一验证，直到都符合题目给定的条件为止。‎ ‎　　例2 从前一个国家里住着两种居民，一个叫宝宝族，他们永远说真话；另一个叫毛毛族，他们永远说假话。一个外地人来到这个国家，碰见三位居民，他问第一个人：“请问你是哪个民族的人？”‎ ‎　　“匹兹乌图。”那个人回答。‎ ‎　　外地人听不懂，就问其他两个人：“他说的是什么意思？”‎ ‎　　第二个人回答：“他说他是宝宝族的。”‎ ‎　　第三个人回答：“他说他是毛毛族的。”‎ ‎　　请问，第一个人说的话是什么意思？第二个人和第三个人各属于哪个民族？‎ ‎　　分析（用同一律思路思考）：‎ ‎　　如果第一个人是宝宝族的，他说真话，那么他说的是“我是宝宝族的”。如果这个人是毛毛族的，他说假话，他说的还是“我是宝宝族的”。这就是说，第一个人不管是什么民族的，那句话的意思都是：“我是宝宝族的”。‎ ‎　　根据这一推理，那么第二个人回答“他说他是宝宝族的”这句话是真的，而从条件可知，说真话的是宝宝族人，因此可以判断第二个人是宝宝族人。‎ ‎　　不管第一个人是什么民族的，根据前面推理已知他说的话是“我是宝宝族的”，而第三个人回答“他说他是毛毛族的”显然是错的，而说假话的是毛毛族人，因此可以断定第三个人是毛毛族人。‎ ‎　　我们在分析本题时，始终保持了思维前后的一致性，这就是同一律思路的具体运用。‎ ‎　　【不矛盾律思路】不矛盾律的形式是“甲不是非甲”。它的基本内容是：同一对象，在同一时间内和同一关系下，不能具有两种互相矛盾的性质，它是逻辑推理的又一重要规律，运用不矛盾律来推理、思考某些问题的解答，这种思路我们把它叫做不矛盾律思路。‎ ‎　　例1 有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另外一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一位智者遇到这三个和尚，他先问左边的那个和尚：“你旁边的是哪一位？”和尚回答说“讲真话的。”他又问中间的和尚：“你是哪一位？”和尚答：“我是半真半假的。”他最后问右边的和尚：“你旁边是哪一位？”答：“讲假话的。”根据他们的回答，智者马上分清了他们，你能分清吗？‎ ‎　　分析（运用不矛盾律思路探讨）：‎ 627‎ ‎　　两件相互矛盾对立的事情，如果一件是不正确的，另一件就是正确的，这就是不矛盾律的基本思路。我们先假设左边和尚讲的是真的，那么中间的和尚是讲真话的，但这与他的回答：“我是半真半假的”矛盾，所以左边和尚讲真话这一假设不对。从而左边和尚讲的是假话，他一定不是讲真话的和尚。中间那个和尚也一定不是讲真话的，所以右边的和尚是讲真话的和尚。根据他的话，中间是讲假话的和尚，剩下左边的和尚自然就是半真半假的。‎ ‎　　例2 一次学校举行田径运动会，A、B、C、D、E五个班取得了团体前五名，发奖后有人问他们的名次，回答是：‎ ‎　　A班代表说：“B是第三名，C是第五名。”‎ ‎　　B班代表说：“D是第二名，E是第四名。”‎ ‎　　C班代表说：“A是第一名，E是第四名。”‎ ‎　　D班代表说：“C是第一名，B是第二名。”‎ ‎　　E班代表说：“D是第二名，A是第三名。”‎ ‎　　最后，他们都补充说：“我的话是半真半假的。”请你判断一下，他们各个班的名次。‎ ‎　　分析（用不矛盾律思路分析）：‎ ‎　　先简化一下记法，比如B班是第三名，则写成B-3，其它类似，这样五个班代表的讲话可简记为：‎ ‎　　（1）B-3，C-5。‎ ‎　　（2）D-2，E-4。‎ ‎　　（3）A-1，E-4。‎ ‎　　（4）B-2，C-1。‎ ‎　　（5）A-3，D-2。‎ ‎　　假设（1）的前半句是真的，即B-3，那么由（4）有C-1，由（3）知A-1不对，有E-4；再由（2）知D-2不对，从（5）知A-3，这与假设矛盾，所以（1）中正确的应是C-5，于是由（4）知C-1不对，应该是B-2，进而知（2）D-2不对，有E-4，并知（5）D-2不对，有A-3，最后只剩下D及第一名，所以知道D应为第一名。‎ ‎　　最后排出名次自然就非常简单了。‎ ‎　　上述叙述虽然简化了记号，但文字表述仍然觉得累赘，所以还可以借助图表表达上述推理过程。‎ 627‎ ‎　　如图2.21，假设B-3，在B上画一个圆圈（左图），表示推理的起点，找到另一个B，则应是不对的，画一个“×”，再找与这个B同行的“C”，它应是对的，画一个“√”，找与C同列的“A”，它不对，画一个“×”，等等。最后A-3被画了一个“√”，这与B-3相矛盾，故B-3是错的。在这个“B”上画一个“×”，重新开始推理（右图）。‎ ‎　‎ ‎　　从（1）的C开始，因B-3是错的，则C-5记“√”，则（4）中C-1画“×”，B-2记“√”，由此推出（5）D-2记“×”，（2）D-2记“×”，……从表中可以看出，B-2，A-3、E-4、C-5，那么谁是第一，表中虽然未表达，但明眼人一看就知道了。‎ ‎　　【排中律思路】排中律的形式是“或者是甲，或者是非甲”。它的基本内容是：同一对象在同一时间内和同一关系下，或者是具有某种性质。或者是不具有某种性质，二者必居其一，不能有第三种情况。它是处理肯定判断与否定判断之间的关系的一个规律。运用这一规律来推理的思路，我们把它叫排中律思路。‎ ‎　　排中律和不矛盾律的基本作用是相同的，即都是排除思想中的矛盾。但也有区别：一是适用范围不同，不矛盾律的适用范围宽，既适用于互相反对的判断，也适用于互相矛盾的判断，排中律的作用范围窄些，只适用于互相矛盾的判断，不适用互相反对的判断；二是要求不同，不矛盾律要求对互相反对的和互相矛盾的判断，不能同时断定其中每一个都是真的，因为其中至少有一个是假的。排中律则要求：对于互相矛盾的判断，必须肯定其中一个是真，因为其中必有一真，不能都假。如果我们确定了某一个是正确的，根据不矛盾律，就可以得出另一个是错误的。反过来。如果我们确定了某一个是错误的，根据排中律，就可以得出另一个是正确的。从这方面来看，如果说不矛盾律提供我们逻辑否定的基础，那么排中律则主要提供我们逻辑肯定的基础；三是逻辑错误性质不同，不矛盾律要求的逻辑错误是“自相矛盾”，排中律要求的逻辑错误是“模棱两不可”。‎ ‎　　例1 老师有一黑两白三顶帽子，给两个学生看后，让他们闭上眼睛，从中取出两顶给他们戴上，然后让他们睁开眼睛，互相看清对方戴的帽子，并立即说出自己头上戴的帽子是什么颜色，两位同学都不能立即说出，请问你知道这两位学生戴的各是什么颜色的帽子吗？‎ 627‎ ‎　　分析（运用排中律思路思索）：‎ ‎　　假设你是这两个学生中的一个，因为你知道只有一顶黑帽子，当你看到对方戴的是黑帽子时，你能判断自己戴的帽子颜色吗？可以的，根据排中律：“非此即彼”，你一定会推断出自己戴的是白帽子。‎ ‎　　现在两个学生都不能利用排中律很快地说出自己戴的是白帽子，说明他们两人都没有看见黑帽子，由此断定，老师给两位学生戴的是两顶白帽子。‎ ‎　　例2 曾实、张晓、毛梓青在一起，一位是工程师、一位是医师、一位是教师。现在只知道：‎ ‎　　（1）毛梓青比教师年龄大；‎ ‎　　（2）曾实和医师不同岁；‎ ‎　　（3）医师比张晓年龄小。‎ ‎　　你能确定谁是工程师？谁是医师？谁是教师吗？‎ ‎　　分析（沿着排中律思路探索）：‎ ‎　　根据排中律的要求，如果我们能确定某个是错误的，就可以得出另一个是正确的。现在已知（1）曾实和医师不同岁，（2）医师比张晓年龄小，就可以判定曾实和张晓都不是医师，因此只有毛梓青是医师；‎ ‎　　若张晓是教师，则根据（1）毛梓青比教师年龄大，即毛梓青比张晓年龄大，与（3）医师比张晓年龄小，即毛梓青比张晓年龄小，这两个结论是互相矛盾的，因此张晓不可能是教师。张晓既不是医师（因为毛梓青是医师），又不是教师，所以张晓应该是工程师了。因为三个人、三个职业，已经确定了毛梓青是医师，张晓是工程师，剩下的曾实只能是教师了。‎ ‎　　该题的思路还可以用下表表示：‎ ‎　　【充足理由律思路】充足理由律的形式是：“所以有甲，是因为有乙”。它的意思是说，任何正确的思想，一定有它的充足理由；任何思想，只有当它具有充足的理由时，这种思想才能被认为是正确的。在数学中，如果由条 ‎　　正确的，A就是B的正确性的充分理由。因此B的正确性要以A的正确性为基础，而要使A的正确性得到确认，又得为它提出充足的理由，照此类推。这样，当我们要论证某一思想是正确的时候，常常要引证一系列的理由。以此连锁引证下去，直到最后的理由——‎ 627‎ 它的正确性已经确定，并且得到普遍承认的。具体说来有下列三种：（1）明显的事实，它可以为人们所直接感知的；（2）公理；（3）科学的规律。当然在实际进行论证时，并不是总要引证到最后的理由，数学中已经证明过的定理、定律、公式、法则等，都可以作为论证所根据的理由。‎ ‎　　充足理由律是进行推理的基础。运用充足理由律来思考数学问题，我们把它叫做充足理由律思路。‎ ‎　　例1 ‎200米赛跑，张强比李军快0.2秒，王明的成绩是39.4秒，赵刚的成绩比王明慢0.9秒，但比张强快0.1秒，林林比张强慢3秒，请你给这五人排出名次来。‎ ‎　　分析（运用充足理由律思路思索）：‎ ‎　　题中有两种概念。一是成绩好坏，需要进行量的计算；二是快慢关系推理，先用计算量进行比较推理。‎ ‎　　抓住“各人跑‎200米需要的时间”为比较量。并设字母A、B、C、D、E来分别表示张强、李军、王明、赵刚、林林的时间。‎ ‎　　∵王明的成绩是39.4秒，赵刚的成绩比王明慢0.9秒（即C=39.4秒，D=C＋0.9）‎ ‎　　∴D=39.4+0.9=40.3（秒）‎ ‎　　又∵ 赵刚比张强快0.1秒（即D＋0.1＝A）‎ ‎　　∴A=40.3＋0.1=40.4（秒）（传递性）‎ ‎　　又∵张强比李军快0.2秒（即A=B-0. 2）‎ ‎　　∴B=A＋0.2=40.4＋0.2=40.6（秒）‎ ‎　　又∵林林比张强慢3秒（即A=E-0.3）‎ ‎　　∴E=A＋3=40.4＋3=43.4（秒）‎ ‎　　由43.4＞40.6＞40.4＞40.3＞39.4‎ ‎　　即 E＞B＞A＞D＞C ‎　　谁是第一、谁是第二、第三、第四、第五名，不就一目了然了吗？‎ ‎　　本题还可以单纯用快慢关系来进行判断。‎ ‎　　∵ A＜B，D＞C， D＜A， E＞A，‎ ‎　　可得B、E均＞A＞D＞C，‎ ‎　　∴一、二、三名分别应是C、D、A。‎ ‎　　但第四、五名仍需计算。‎ 627‎ ‎　　由E=A＋3秒，B=A＋0.2秒，‎ ‎　　可知E＞B，‎ ‎　　故 B是第四，E是第五名。‎ ‎　　例2 填数使下列竖式成立：‎ ‎　　‎ ‎　　分析（运用充足理由律思路来探讨这两个式题）：‎ ‎　　第（1）题。抓住乘、除法法则和乘除的互逆关系去思考。‎ ‎　　∵( )( )×5=33( )‎ ‎　　∴只要求得 33( )÷5=( )( )，就可以得出竖式被乘数了，现可知33( )÷5商的十位得6，故被乘数的十位应是6，个位是几呢？‎ ‎　　再往下看：乘数35的十位数字是3，3与被乘数个位相乘的积的末尾数字要是8，显然只有3与6相乘末尾数字才能是8，所以被乘数是66。‎ ‎　　找到了被乘数是66以后，其他数字自然就容易找到了。‎ ‎　　第（2）题仍抓住除法算式特征和乘除的互逆关系去找理由。‎ ‎　　由除法竖式特征第二次余数为0，只好把被除数十位数和个位数同时移下，故可得y=0。‎ ‎　　∴x＞8。‎ ‎　　又∵1≤x≤9，∴x=9，‎ 627‎ ‎　　则商数为9807。‎ ‎　　∴ab≥12。‎ ‎　　故ab=12。‎ ‎　　此题确定了商和除数，其他数字自然就容易找了。‎ ‎36、连续数求和的速算 ‎　　苦干个连续整数求和的问题，可以分为“连续自然数求和”、“连续奇数求和”与“连续偶数求和”三类。‎ ‎　　【连续自然数求和】几个连续的自然数相加，可以把它们的首项和末项相加，把所得的结果除以2以后，再乘以项数，得到的便是这几个连续自然数的和。‎ ‎　　例如，13＋14＋15＋16+17+18＋19＋20＋21＋22‎ ‎　　=（13+22）÷2×10‎ ‎　　=17.5×10‎ ‎　　=175‎ ‎　　如果加数的个数（项数）是奇数（单数），也可以直接用排列在正中间的数（中间项）乘以项数，去求它们的和。例如 ‎　　‎ ‎　　=15×9 （中间项）‎ ‎　　=135‎ ‎　　【连续奇数求和】连续奇数的求和，也可以用上面介绍的“连续自然数求和的速算”方法去速算。例如 ‎　　3+5＋7+ 9＋11＋13+ 15＋17＋19‎ ‎　　＝（3＋19）÷2×9‎ ‎　　=11×9‎ ‎　　=99‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　=11（中间项）×9（项数）‎ ‎　　=99‎ ‎　　如果是从1开始的几个连续奇数求和，则可以用这些奇数的个数自乘，便得到这几个连续奇数的和。例如 ‎　　1＋3＋5+ 7＋9＋11=6×6=36（奇数个数是6）‎ ‎　　1+3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21‎ ‎　　=11×11‎ ‎　　=121。（奇数个数是11）‎ ‎　　【连续偶数求和】 连续偶数的求和，同样可以用“连续自然数求和的速算”方法速算。例如 ‎　　8＋10＋12＋14＋16＋18+20+22＋24‎ ‎　　＝（8＋24）÷2×9‎ ‎　　=144‎ ‎　　如果连续偶数是从2开始的，即求从2开始的连续偶数之和，则可以用这些偶数的个数乘以个数加1之和，就得到这几个连续偶数的和。例如 ‎　　2＋4＋6＋8＋10=5×（5+1）（偶数个数是5）‎ ‎　　=30‎ ‎　　2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＋22＋24＋26‎ ‎　　=13×（13＋1）（偶数个数是13）‎ ‎　　=182‎ 627‎ ‎37、利用间接条件 ‎　　【利用隐含的间接条件】 发现和利用隐含的间接条件来解答题目，往往能克服所学知识不够所造成的困难，大大减少计算的时间。例如 ‎　　如图4.65，已知正方形面积为18平方厘米，求阴影部分的面积。‎ ‎　　一般解法是用正方形面积，减去圆的面积。但在小学阶段，大家还不会求圆的半径或直径怎么办呢？‎ ‎　　因为圆面积公式是 ‎　　 ‎ ‎　　‎ 刃而解。至于能否求出r或d这样的直接条件，是并不重要的。所以，可以用下面的方法来解答：‎ 627‎ ‎　　‎ 便是 ‎　　18-14.3=3.87（平方厘米）‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　阴影部分的面积便是 ‎　　18-14.13=3.87（平方厘米）‎ ‎　　（3）若把正方形面积扩大2倍，则面积为36平方厘米，新正方形的边长就是‎6厘米，即随之也扩大了2倍的新圆的直径为‎6厘米，半径为‎3厘米。所以随之而扩大了2倍的阴影部分的面积是 ‎　　‎ ‎　　=7.74（平方厘米）‎ ‎　　原来的阴影部分的面积便是 ‎　　7.74÷2=3.87（平方厘米）‎ ‎　　又如，如图4.66，ABCD为矩形，里面有一个最大的半圆，OC=‎10厘米，求阴影部分的面积。‎ ‎　　解题时，可将矩形分割为两个小正方形，并连结O、D。因为△DOC是等腰三角形，OC=OD=‎10厘米，所以 627‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　故阴影部分的面积便是 ‎　　100-3.14×50÷2＝100-78.5‎ ‎　　=21.5（平方厘米）‎ ‎　　【利用定比】 利用题目中不变的“定比”来解题，有时也能使题目得到较快地解答。这也是利用间接条件去解答题目。‎ ‎　　我们仍以上面的第一个例子（图4.65）为例。按照扩、缩图形的思路，可将它一分为四，得到图4.67。‎ ‎　‎ ‎　　‎ 小正方形的面积和阴影部分的面积也会改变。不过，变化中有个不变的因素，即阴影部分面积和小正方形面积之比是不变的。实际上，这也是题目中的一个间接条件。‎ ‎　　设小正方形边长为a，则阴影部分面积占小正方形面积的 ‎　　‎ ‎　　所以，原图阴影部分的面积是 ‎　　18÷4×21.5％×4=4.5×21.5％×4‎ ‎　　=0.9675×4‎ 627‎ ‎　　=3.87（平方厘米）‎ ‎　　或者是18×21.5％=3.87（平方厘米）‎ ‎　　显然，只要是由这样的基本图形拼合的图形，如以下四图（图4.68），都可用“21.5％”（即21.5∶100）这一定比，去求图中的阴影部分的面积。（解略）‎ ‎38、立体图形的计算 ‎　　【表面积的计算】‎ ‎　　例1 一个正方体木块，棱长‎1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大小不等的长方体60块（如图5.69）。那么，这60块长方体的表面积的和是平方米。‎ ‎　　（1988年北京小学数学奥林匹克邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：不管每次锯的长方体大小如何，横着锯2次一共增加了4个正方形面；前后竖直方向锯3次共增加了6个正方形面；左右竖直方向锯4次共增加了8个正方形面。原来大正方体有6个正方形面，所以一共有24个正方形面。‎ 627‎ ‎　　所以，60块长方体的表面积之和是 ‎　　（1×1）×24＝24（平方米）。‎ ‎　　例2 图5.70是由19个边长都是‎2厘米的正方体重叠而成的。求这个立体图形的外表面积。‎ ‎　　（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：如果按每一层有多少个正方体，然后再数出每层共有多少个外表面正方形，则很麻烦。于是，我们可采用按不同的方向来观察的方法去计算。‎ ‎　　俯视，看到9个小正方形面；正视，看到10个小正方形面；侧视，看到8个小正方形面。‎ ‎　　所以，这个立体图形的表面积是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。‎ ‎　　【体积的计算】‎ ‎　　例1 一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，如图5.71，纸盒的容积有多大？（π取3.14）‎ ‎　　（全国第四届“华杯赛”复赛试题）‎ ‎　　讲析：因圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等。故可设正方 ‎　‎ ‎　　‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　即：正方体纸盒的容积是800立方厘米。‎ ‎　　例2 在一个棱长‎4厘米的正方体的上面、右面、前面这三个面的中心分别挖一个边长‎1厘米的正方形小孔（如图5. 72所示），并通过对面，求打孔后剩下部分的体积。‎ ‎　　（北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛试题）。‎ ‎　　讲析：打完孔之后，在大正方体正中央就有一个1×1×1的空心小正方体。‎ ‎　　三个孔的体积是（1×1×4）×3-（1×1×1）×2=10（立方厘米）。‎ ‎　　所以，打孔后剩下部分的体积是4×4×4—10=54（立方厘米）。‎ ‎　　例3 一个长、宽、高分别是‎21厘米、‎15厘米、‎12厘米的长方体，从它的上面尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余部分中再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？‎ ‎　　（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：解本题的关键，是要想到每次以哪个边长作棱长去切下正方体。实际上，我们可以将三个数轮换相减，即，在三个数 21、 15、12中，第一次取最小数12为棱长切下一个正方体；第二次取大数与 小数的差21—12=9为棱长切下一个正方体；第三次取15与9的差为棱长切下一个正方体（如图5.73）‎ ‎　　所以，剩下的体积是 627‎ ‎　　21×15×12-（123+93+63)=107（立方厘米）。‎ ‎39、解应用题的公式 ‎　　【和差问题公式】‎ ‎　　（和+差）÷2=较大数；‎ ‎　　（和-差）÷2=较小数。‎ ‎　　【和倍问题公式】‎ ‎　　和÷（倍数+1）=一倍数；‎ ‎　　一倍数×倍数=另一数，‎ ‎　　或 和-一倍数=另一数。‎ ‎　　【差倍问题公式】‎ ‎　　差÷（倍数-1）=较小数；‎ 627‎ ‎　　较小数×倍数=较大数，‎ ‎　　或 较小数+差=较大数。 ‎ ‎　　【平均数问题公式】‎ ‎　　总数量÷总份数=平均数。‎ ‎　　【一般行程问题公式】‎ ‎　　平均速度×时间=路程；‎ ‎　　路程÷时间=平均速度；‎ ‎　　路程÷平均速度=时间。‎ ‎　　【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面的公式解答：‎ ‎　　（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；‎ ‎　　相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；‎ ‎　　相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。‎ ‎　　【同向行程问题公式】‎ ‎　　追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；‎ ‎　　追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；‎ ‎　　（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。‎ ‎　　【列车过桥问题公式】‎ ‎　　（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；‎ ‎　　（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；‎ ‎　　速度×过桥时间=桥、车长度之和。‎ ‎　　【行船问题公式】‎ ‎　　（1）一般公式：‎ ‎　　静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度；‎ ‎　　船速-水速=逆水速度；‎ 627‎ ‎　　（顺水速度+逆水速度）÷2=船速；‎ ‎　　（顺水速度-逆水速度）÷2=水速。‎ ‎　　（2）两船相向航行的公式：‎ ‎　　甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度 ‎　　（3）两船同向航行的公式：‎ ‎　　后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。‎ ‎　　（求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题目）。‎ ‎　　【工程问题公式】‎ ‎　　（1）一般公式：‎ ‎　　工效×工时=工作总量；‎ ‎　　工作总量÷工时=工效；‎ ‎　　工作总量÷工效=工时。‎ ‎　　（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：‎ ‎　　1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；‎ ‎　　1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。‎ ‎　　（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。）‎ ‎　　【盈亏问题公式】‎ ‎　　（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：‎ ‎　　（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。‎ ‎　　例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”‎ ‎　　解（7+9）÷（10-8）=16÷2‎ ‎　　=8（个）………………人数 ‎　　10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子 627‎ ‎　　或8×8+7=64+7=71（个）（答略）‎ ‎　　（2）两次都有余（盈），可用公式：‎ ‎　　（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。‎ ‎　　例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？”‎ ‎　　解（680-200）÷（50-45）=480÷5‎ ‎　　=96（人）‎ ‎　　45×96+680=5000（发）‎ ‎　　或50×96+200=5000（发）（答略）‎ ‎　　（3）两次都不够（亏），可用公式：‎ ‎　　（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。‎ ‎　　例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生和多少本本子？”‎ ‎　　解（90-8）÷（10-8）=82÷2‎ ‎　　=41（人）‎ ‎　　10×41-90=320（本）（答略）‎ ‎　　（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：‎ ‎　　亏÷（两次每人分配数的差）=人数。‎ ‎　　（例略）‎ ‎　　（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：‎ ‎　　盈÷（两次每人分配数的差）=人数。‎ ‎　　（例略）‎ ‎　　【鸡兔问题公式】‎ ‎　　（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：‎ ‎　　（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；‎ 627‎ ‎　　总头数-兔数=鸡数。‎ ‎　　或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；‎ ‎　　总头数-鸡数=兔数。‎ ‎　　例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”‎ ‎　　解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；‎ ‎　　36-14=22（只）……………………………鸡。‎ ‎　　解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；‎ ‎　　36-22=14（只）…………………………兔。‎ ‎　　（答 略）‎ ‎　　（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式 ‎　　（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；‎ ‎　　总头数-兔数=鸡数 ‎　　或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；‎ ‎　　总头数-鸡数=兔数。（例略）‎ ‎　　（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。‎ ‎　　（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；‎ ‎　　总头数-兔数=鸡数。‎ ‎　　或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；‎ ‎　　总头数-鸡数=兔数。（例略）‎ ‎　　（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：‎ ‎　　（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。‎ ‎　　例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”‎ 627‎ ‎　　解一 （4×1000-3525）÷（4+15）‎ ‎　　=475÷19=25（个）‎ ‎　　解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）‎ ‎　　＝1000-18525÷19‎ ‎　　=1000-975=25（个）（答略）‎ ‎　　（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。）‎ ‎　　（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：‎ ‎　　〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；‎ ‎　　〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。‎ ‎　　例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？”‎ ‎　　解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2‎ ‎　　=20÷2=10（只）……………………………鸡 ‎　　〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2‎ ‎　　=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）‎ ‎　　【植树问题公式】‎ ‎　　（1）不封闭线路的植树问题：‎ ‎　　间隔数+1=棵数；（两端植树）‎ ‎　　路长÷间隔长+1=棵数。‎ ‎　　或 间隔数-1=棵数；（两端不植）‎ ‎　　路长÷间隔长-1=棵数；‎ ‎　　路长÷间隔数=每个间隔长；‎ ‎　　每个间隔长×间隔数=路长。‎ 627‎ ‎　　（2）封闭线路的植树问题：‎ ‎　　路长÷间隔数=棵数；‎ ‎　　路长÷间隔数=路长÷棵数 ‎　　=每个间隔长；‎ ‎　　每个间隔长×间隔数=每个间隔长×棵数=路长。‎ ‎　　（3）平面植树问题：‎ ‎　　占地总面积÷每棵占地面积=棵数 ‎　　【求分率、百分率问题的公式】‎ ‎　　比较数÷标准数=比较数的对应分（百分）率；‎ ‎　　增长数÷标准数=增长率；‎ ‎　　减少数÷标准数=减少率。‎ ‎　　或者是 ‎　　两数差÷较小数=多几（百）分之几（增）；‎ ‎　　两数差÷较大数=少几（百）分之几（减）。‎ ‎　　【增减分（百分）率互求公式】‎ ‎　　增长率÷（1+增长率）=减少率；‎ ‎　　减少率÷（1-减少率）=增长率。‎ ‎　　‎ 比甲丘面积少几分之几？”‎ ‎　　解 这是根据增长率求减少率的应用题。按公式，可解答为 ‎　　‎ 百分之几？”‎ 627‎ ‎　　解 这是由减少率求增长率的应用题，依据公式，可解答为 ‎　　　‎ ‎　　【求比较数应用题公式】‎ ‎　　标准数×分（百分）率=与分率对应的比较数；‎ ‎　　标准数×增长率=增长数；‎ ‎　　标准数×减少率=减少数；‎ ‎　　标准数×（两分率之和）=两个数之和；‎ ‎　　标准数×（两分率之差）=两个数之差。‎ ‎　　【求标准数应用题公式】‎ ‎　　比较数÷与比较数对应的分（百分）率=标准数；‎ ‎　　增长数÷增长率=标准数；‎ ‎　　减少数÷减少率=标准数；‎ ‎　　两数和÷两率和=标准数；‎ ‎　　两数差÷两率差=标准数；‎ ‎　　【方阵问题公式】‎ ‎　　（1）实心方阵：（外层每边人数）2=总人数。‎ ‎　　（2）空心方阵：‎ ‎　　（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2=中空方阵的人数。‎ ‎　　或者是 ‎　　（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。‎ ‎　　总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。‎ ‎　　例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？‎ ‎　　解一 先看作实心方阵，则总人数有 ‎　　10×10=100（人）‎ 627‎ ‎　　再算空心部分的方阵人数。从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是 ‎　　10-2×3=4（人）‎ ‎　　所以，空心部分方阵人数有 ‎　　4×4=16（人）‎ ‎　　故这个空心方阵的人数是 ‎　　100-16=84（人）‎ ‎　　解二 直接运用公式。根据空心方阵总人数公式得 ‎　　（10-3）×3×4=84（人）‎ ‎　　【利率问题公式】利率问题的类型较多，现就常见的单利、复利问题，介绍其计算公式如下。‎ ‎　　（1）单利问题：‎ ‎　　本金×利率×时期=利息；‎ ‎　　本金×（1+利率×时期）=本利和；‎ ‎　　本利和÷（1+利率×时期）=本金。‎ ‎　　年利率÷12=月利率；‎ ‎　　月利率×12=年利率。‎ ‎　　（2）复利问题：‎ ‎　　本金×（1+利率）存期期数=本利和。‎ ‎　　例如，“某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”‎ ‎　　解 （1）用月利率求。‎ ‎　　3年=12月×3=36个月 ‎　　2400×（1+10．2％×36）‎ ‎　　=2400×1．3672‎ ‎　　=3281．28（元）‎ 627‎ ‎　　（2）用年利率求。‎ ‎　　先把月利率变成年利率：‎ ‎　　10．2‰×12=12．24％‎ ‎　　再求本利和：‎ ‎　　2400×（1+12．24％×3）‎ ‎　　=2400×1．3672‎ ‎　　=3281．28（元）（答略）‎ ‎　　（复利率问题例略）‎ 627‎ ‎40、解一般题用得较多的技巧 ‎　　【巧换角度】 从多种角度去思考、分析复合应用题，不仅可找到多种解题方法，而且还可找到比较巧妙的解法。例如：‎ ‎　　“挖一段‎56米长的水沟，每天挖‎7米，已经挖了5天。照这样计算，剩下的还要挖几天？”‎ ‎　　按一般思考角度，可先求剩下的长度，再求要挖的天数。如果能换一个角度，先求共要挖的天数，再求还要挖的天数，那么解答起来就既简便，又巧妙了：‎ ‎　　56÷7-5=8-5‎ ‎　　=3（天）‎ ‎　　‎ 了多少名女队员？”‎ ‎　　如按一般的思考角度，应抓住“女队员人数”去寻找解法和答案。可是这在小学的知识范围内，显然有一定困难，题目似乎是无法可解的。但是，只要转换一个角度，从“男队员人数”方面去思考、分析，前景就“柳暗花明了”：‎ ‎　　‎ 所以男队员人数是 ‎　　‎ ‎　　‎ 在有的男女队员总数便是 627‎ ‎　　‎ ‎　　于是，转进来的女队员人数便是 ‎　　250-240=10（名）‎ ‎　　【巧妙替换】 有些应用题，已给的条件常出现两种或更多种不同属性的量，并且在不同量之间存在有换算关系。这时，暂用其中的一种量去替换另一种量，有时候往往会给题目的解答，带来不少方便。例如 ‎　　“工地用5辆大车和4辆小车一次共运来水泥42.5吨，已知每辆大车比每辆小车多运4吨，每辆大车和每辆小车各运来水泥多少吨？”‎ ‎　　题目中有两个未知数，解答起来有一定困难。但运用替换方法，把4辆小车换成大车，题目的解答就变得比较容易：‎ ‎　　设每辆小车都多运4吨，那么小车运的吨数就和大车同样多了（也就是将小车都转换为大车了）。这时，4辆小车就会共增加运量 ‎　　4×4=16（吨）‎ ‎　　总共运的吨数就会增加到 ‎　　42.5＋16=58.5（吨）。‎ ‎　　这58.5吨便是（5＋4）辆大车运的水泥数，所以，每辆大车运来的水泥便是 ‎　　58.5÷（5＋4）=58.5÷9‎ ‎　　=6.5（吨）‎ ‎　　每辆小车运来的水泥便是 ‎　　6.5-4＝2.5（吨）‎ ‎　　显然，将大车转换为小车（即将小车去替换大车解题），也是可以的。‎ ‎　　又如，“买‎3千克奶糖的钱与买‎4.8千克水果糖的价钱相等。买‎4千克巧克力的钱与买‎6千克奶糖的钱相等。那么，买‎9千克巧克力的钱可买水果糖多少千克？”‎ ‎　　题目的条件中没有具体的钱数，可用替换方法去解。但巧克力与水果糖不能直接替换，需要通过奶糖这一中间的“媒介”去进行替换。‎ 627‎ ‎　　解题方法可以是：‎ ‎　　（1）‎6千克奶糖是‎3千克奶糖的多少倍？‎ ‎　　6÷3=2（倍）‎ ‎　　（2）‎6千克奶糖可换多少水果糖？‎ ‎　　4.8×2=9.6（千克）‎ ‎　　（3）‎1千克巧克力的钱可买多少水果糖？‎ ‎　　9.6÷4=2.4（千克）‎ ‎　　（4）‎9千克巧克力的钱可以买多少水果糖？‎ ‎　　2.4×9=21.6（千克）‎ ‎　　列成综合算式便是 ‎　　4.8×（6÷3）÷4×9=4.8×2÷4×9‎ ‎　　=9.6÷4×9‎ ‎　　=21.6（千克）（答略）‎ ‎　　【巧用等量关系】 有些应用题已知条件间的关系比较复杂。但是，如果能从这些复杂的关系中，找到一种合适的等量关系，则常常可使问题较简捷地解答出来。这是一种力求寻找和巧用最佳等量关系的解题方法。例如 ‎　　“甲乙二人需要做同样多的零件数，甲比乙每天多做5个，乙因病中途休息了3天，所以8天后甲做的零件数刚好是乙做的零件数的2倍。求这时甲乙二人各做的零件个数。”‎ ‎　　由题中的条件，可以得到两组等量关系：‎ ‎　　甲每天做的个数-乙每天做的个数=5………①‎ ‎　　甲8在做的个数=乙8天后做的个数×2………②‎ ‎　　设甲每天做x个，则乙每天做（x-5）个；‎ ‎　　设乙每天做x个，则甲每天做（x+5）个。‎ ‎　　设元列方程以后，若使用等量关系①，很明显，方程的解答是比较繁琐的，因为分数需要通分。于是，我们便选择等量关系②来列方程解题：‎ ‎　　设乙每天做零件x个，则甲每天做零件（x＋5）个。于是，有方程 627‎ ‎　　（x+5）×8=2×（8-3）x ‎　　‎ ‎　　进而可知，甲每天做的是 20+5=25（个）‎ ‎　　8天后甲做的是 25×8=200（个），‎ ‎　　8天后乙做的是 20×（8-3）=100（个）‎ ‎　　（答略）‎ ‎　　　　‎ ‎36名学生到乙校学习，则甲乙两校学生人数相等。甲乙两校原来各有学生多少？”‎ ‎　　在题目中，可以找到三组等量关系：‎ ‎　　甲校原来人数-乙校后来人数=36…………①‎ ‎　　甲校原来人数-36=乙校原来人数+36…………②‎ ‎　　‎ ‎　　经过比较，利用等量关系①列方程解题，显然比较简便：‎ ‎　　设两校共有x人，可得方程为 ‎　　　‎ ‎　　 ‎ ‎　　‎ ‎　　乙校原有720-396=324（人） （答略）‎ ‎　　在利用等量关系解题时，有时候通过“单位1”，可以找到最巧妙的解法。比方下面的这一道工程问题：‎ 627‎ ‎　　“一项工程，甲独做24天完成，丙独做40天完成，甲、乙、丙三人合做，10天可以完成。这项工程如果由乙来独做，多少天可以完成？”‎ ‎　　在题目条件中，我们可以得到下面的两组等量关系：‎ ‎　　乙工效=三人工效和-（甲+乙）的工效…………①‎ ‎　　乙工效×工时=工作总量…………………………②‎ ‎　　然后，通过巧用“单位1”，还可找到更好的办法：‎ ‎　　设乙独做，x天可以完成。若把整个工程看作“单位1”，那么乙每天 ‎　‎ ‎　　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　　‎ ‎　　所以，其解答就比较简便、快速而巧妙了：‎ ‎　　设乙单独做，x天可以完成，则有 ‎　　 ‎ ‎　　‎ ‎　　即乙独做30天可以完成。（答略）‎ 627‎ ‎【巧用直觉思维】 有些题目的条件和结构比较特殊，常常不需要把全部条件用于计算解题，而只要根据其特殊性，经过一次或两次计算，就能将题目解答出来。这是“巧用直觉思维”的解法。例如 ‎　　“从同一个地点步行到火车站，甲要40分钟，乙要30分钟。甲比乙先走5分钟，乙出发后，要走多少分钟才能追上甲？”‎ ‎　　‎ ‎　‎ ‎　　‎ ‎　　若巧用直觉思维解答，可以这样去思考、解答：‎ ‎　　甲先走5分钟，他比乙会晚到火车站5分钟。那么，追及时，应是乙在路程的中心点追上，故可直接用30÷2=15（分钟），求得题目的答案。（答略）‎ ‎　　又如，“工厂运来一批煤，计划每天烧3吨，可以烧12天。实际上每天比原计划节约0.6吨，实际上比原计划可多烧多少天？”‎ ‎　　巧用直觉思维，可以这样思考：实际每天节约煤0.6吨，相当于实际每 ‎　‎ ‎　　 ‎ ‎　　再如，“有一只底面半径为‎30厘米的圆柱形水桶，桶中有一段半径为‎10厘米的圆柱形钢材浸没在水中。当钢材从水桶中取出时，桶里的水下降了‎5厘米。这段钢材有多长？”‎ ‎　　按一般方法解，必须先求钢材的体积（即下降的水的体积），再求钢材底面积，然后求钢材的长。这是很麻烦、很费时的。若用直觉思维思考、解答，可以设想一下钢材底面积同水面积的关系，再找出钢材长与水面下降部分的关系，便可不用求积，而直接求出钢材的长度：‎ ‎　　根据水面半径‎30厘米和钢材底面半径‎10厘米，可知它们的关系是：钢 627‎ ‎　‎ 妙的解答方法：‎ ‎　　5×9=45（厘米） （答略）‎ ‎【巧妙放缩】 有些应用题，由于条件和问题的特殊情况，从直接给出的已知条件中不容易找到简捷的解题途径。这时，我们不妨把某一个已知条件扩大或缩小一定的倍数，促使其他条件相应地发生变化，由此往往能找到简单的解法。例如 ‎　　“‎5千克大米的价钱相当于‎0.8千克食油的价钱，如果2元钱可买‎2.5千克大米，那么8元钱可买多少千克食油？”‎ ‎　　按一般方法解答，需要先求出‎5千克大米的价钱是多少，再求出‎0.8千克食油的价钱，然后求出每千克食油的价钱，进而才可求出8元钱可买的食油的数量。‎ ‎　　若采用“放缩方法”，可把其中一个条件放大几倍来思考：将2元钱买‎2.5千克大米这一条件放大4倍，可知8元钱可买‎10千克大米。因为‎5千克大米的价钱相当于‎0.8千克食油的价钱，所以，‎10千克大米的价钱可买食油0.8×2=1.6（千克），即8元钱可买食油‎1.6千克。（答略）‎ ‎　　有些典型应用题，也可以用“放缩方法”去解答，从而较快、较巧妙地找出它的答案。例如 ‎　　“鸡兔同笼，共头48个，共足114只。问：鸡兔各有多少只？”‎ ‎　　如果把鸡和兔的足数缩小2倍，则鸡的足数和头数相等，兔的足数为头数的2倍。这时，鸡和兔的总足数与总头数（总只数）的差数，就是兔子的只数，故可这样解答：‎ ‎　　114÷2-48=9（只）……………兔数 ‎　　48-9=39（只）…………………鸡数 （答略）‎ ‎　　上面两例，是单纯用放大，或单纯用缩小的办法解答的。但有些较复杂的应用题，就既要用“放大法”，又需用“缩小法”，才能使问题正确而快速地解答出来。‎ ‎　　例如 ‎　　“甲乙两个商店去年平均每月的利润，甲店比乙店多5万元。已知甲店 元？”‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　‎ ‎　　　　‎ ‎　　根据这一新条件解题，还难很快发现其数量关系，这时不妨把这个条件再缩小2倍，于是得到 ‎　　‎ ‎　　这样得到的新条件中，就可以清楚地看出，甲店比乙店每月多的5万元，也就是甲店比乙店多的那个 ‎　　‎ ‎　　于是，甲店每月的利润数便是 ‎　　‎ ‎　　乙店每月的利润数便是 ‎　　6.25-5=1.25（万元） （答略）‎ ‎　　还有比这更复杂一些的问题，可结合其他解法来运用“放缩方法”，使问题得到解答。例如下面的这道英国名题——“第三牧场的牛数问题（实际上也是个牛顿问题）”：‎ ‎　　“有三个牧场，场上的牧草长得同样的茂盛和同样的快，它的面积分别 ‎　　‎ ‎　　二牧场饲养21头牛，可维持9个星期。假若第三牧场饲养的牛，在该场要维持18个星期，那么，这牧场应养牛多少头？”（注：草料是边吃边生长的。）‎ ‎　　按照“牛顿问题”的解法来死套，是很难找到解法的。不过，当我们运用“放缩法”，假定三个牧场面积同样大，这一道在三个牧场牧牛群的复杂题目，就会变成在同一牧场牧牛群的简单题目了。这是因为题目中已交代：三牧场牧草同样的茂盛，并且长得同样的快。‎ ‎　　‎ 627‎ 倍数），则 ‎　　第一牧场可以有牛 ‎　　‎ ‎　　第二牧场可以有牛 ‎　　21×（120÷10）=252（头）（仍是9个星期可以吃完）‎ ‎　　那么，第三牧场是多少头牛18个星期可以吃完呢？‎ ‎　　这一道用放大了的假定数据编成的题目，还可以改编成一道与它同解的应用题：‎ ‎　　“有一个牧场，养牛432头，4个星期可以吃完全部草料。若养牛252头，则9个星期可以吃完全部草料。如果要在18个星期内吃完这牧场里的全部草料，那么，它应该养牛多少头呢？（草料是边吃边生长的）”‎ ‎　　这是一道简单点的“牛顿问题”，可用“牛顿问题”的解法解答如下：‎ ‎　　因为432头牛4星期吃的草料，等于432×4=1728（头牛一星期吃的草料）‎ ‎　　252头牛9星期吃的草料，等于 ‎　　252×9=2268（头牛一星期吃的草料）‎ ‎　　而4星期吃完与9星期吃完，要相差 ‎　　2268-1728=540（头牛一星期吃的草料）‎ ‎　　显然，这多出的草料，是 ‎　　9-4=5（个星期）‎ ‎　　之内新长出的草料。所以，牧场一个星期长出的草料是 ‎　　540÷5=108（头牛一星期吃的草料）‎ ‎　　因此，这牧场最初有的草料是 ‎　　（432-108）×4=1296（头牛吃一星期的草料）‎ ‎　　现在，这1296头牛吃一星期的草料，要求能维持18个月，则能饲养的牛数就只能是 ‎　　1296÷18=72（头）‎ 627‎ ‎　　但这牧场的草料是不断生长的，还必须用108头牛来吃掉每个星期新长出的草料，所以，能饲养的牛数总共是 ‎　　72＋108=180（头）‎ ‎　　不过，这还只是假定这牧场为‎120英亩所得的结果。实际上第三牧场面积只有‎24英亩，比假定数缩小了 ‎　　120÷24=5（倍）‎ ‎　　故第三牧场饲养的牛数，也应比这180头缩小5倍。于是可知，第三牧场饲养的牛数便是 ‎　　180÷5=36（头） （答略）‎ ‎　　这道题的解答，显然是得益于“放缩方法”，将复杂题转化为基本题以后，才找到其解答的。‎ ‎41、简单方程的解法 ‎　　【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的过程，叫做解方程。解一元一次方程的一般步骤（或解法）是：去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数x的系数。‎ ‎　　‎ ‎　　解 去分母，两边同乘以6，得 ‎　　3（x-9）-2（11-x）=12‎ ‎　　去括号，得3x-27-22+2x=12‎ ‎　　移项，得3x+2x=12+27+22‎ ‎　　合并同类项，得5x=61‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　【分式方程解法】分母中含未知数的方程是“分式方程”。解分式方程的一般步骤（或方法）是：‎ ‎　　（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；‎ ‎　　（2）解这个整式方程；‎ ‎　　（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根，是原方程的增根，必须舍去。‎ ‎　　‎ ‎　　解 方程两边都乘以x（x-2），约去分母，得 ‎　　5（x-2）=7x ‎　　解这个整式方程，得x=-5，‎ ‎　　检验：当x=-5时，‎ ‎　　x（x-2）=（-5）（-5-2）=35≠0，‎ ‎　　所以，-5是原方程的根。‎ ‎　　‎ ‎　　解方程两边都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），约去分母，得 ‎　　（x－2）2-16＝（x+2）2‎ ‎　　解这个整式方程，得x=-2。‎ ‎　　检验：当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，所以，-2是增根，原方程无解。‎ 627‎ ‎42、加法运算定律 ‎　　【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做“加法的交换定律”，简称“加法交换律”。‎ ‎　　加法交换律用字母表达，可以是 ‎　　a+b=b+a。‎ ‎　　例如：864+1，236=1，236+864=2，100‎ ‎　　【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。‎ 627‎ ‎　　加法结合律用字母表达，可以是 ‎　　（a+b）+c=a+（b+c）。‎ ‎　　例如：（48928+2735）+7265‎ ‎　　=48928+（2735+7265）‎ ‎　　=48928+10000‎ ‎　　= 58928‎ ‎43、几何图形旋转 ‎　　【长方形（或正方形）旋转】将一个长方形（或正方形）绕其一边旋转一周，得到的几何体是“圆柱”。‎ ‎　　如图1.37，将矩形ABCD绕AB旋转一周，得圆柱AB。其中AB为圆柱的轴，也是圆柱的高。BC或AC是圆柱底面圆的半径，CD叫做圆柱的母线。‎ 627‎ ‎　　【直角三角形旋转】将一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体是“圆锥”。‎ ‎　　例如图1.38，将直角三角形ABC，绕直角边AC旋转一周，便形成了圆锥AC。其中AC是圆锥的轴，也是圆锥的高；CB是圆锥底面的半径；AB叫做圆锥的母线。‎ ‎　　【直角梯形旋转】将一个直角梯形绕着它的直角腰旋转一周所形成的几何体，叫做“圆台”。‎ ‎　　例如图1.39，将直角梯形ABCD绕着它的直角腰AB旋转一周。便形成了圆台AB。其中，AB是圆台的轴，也是圆台的高，上下底AD、BC，分别是圆台上、下底面圆的半径，斜腰DC，是圆台的母线。‎ ‎　　【半圆旋转】将一个半圆绕着它的直径旋转一周所形成的几何体，叫做“球”。‎ ‎　　例如图1.40，半圆绕着它的直径AB旋转一周，便形成了球O。原来的半圆圆心O是球心；原来半圆的半径和直径，分别叫做球的半径和直径；原来半圆的直径也是球的轴和直径。‎ ‎　‎ 627‎ ‎44、几何图形的计数 ‎【点与线的计数】‎ 627‎ ‎　　例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？‎ ‎　　（全国第二届“华杯赛”决赛试题）‎ ‎　　讲析：可用“分组对应法”来计数。‎ ‎　　将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有1个，其下行线有2点；‎ ‎　　第二排三角形有3个，其下行线有3点；‎ ‎　　第三排三角形有5个，其下行线有4点；‎ ‎　　以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。‎ ‎　　所以是小三角形个数多。‎ ‎　　例2 直线m上有4个点，直线n上有5个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形？‎ ‎　　（如图5.46）‎ ‎　　（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。‎ ‎　　直线n上有5个点，这5点共可以组成4＋3+2＋1=10（条）线段。以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。‎ ‎　　同理，m上4个点可以组成6条线段。以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。‎ ‎　　所以，一共可以组成70个三角形。‎ 627‎ ‎【长方形与三角形的计数】‎ ‎　　例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？‎ ‎　　（全国第三届“华杯赛”复赛试题）‎ ‎　　为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。‎ ‎　　①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）；‎ ‎　　②高为2，底边长为3的三角形有8×2=16（个）。‎ ‎　　所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。‎ ‎　　例2 图5.48中共有______个三角形。‎ ‎　　（《现代小学数学》）邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；‎ ‎　　以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；‎ ‎　　以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。‎ ‎　　所以，一共有15个三角形。‎ ‎　　例3 图5.49中共有______个正方形。‎ 627‎ ‎　　（《现代小学数学》邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：可先来看看图5.50的两个图中，各含有多少个正方形。‎ ‎　　图5.50（1）中，正方形个数是6×3＋5×2＋4×1=32（个）；‎ ‎　　图5.50（2）中，正方形个数是4×4+3×3+2×2＋1×1=30（个）‎ ‎　　如果把图5.49中的图形，分成5×6和4×11两个长方形，则：‎ ‎　　5×6的长方形中共有正方形 ‎　　5×6+4×5＋3×4＋2×3＋1×2=70（个）；‎ ‎　　4×11的长方形中共有正方形 ‎　　4×11+3×10+2×9＋1×8=100（个）。‎ ‎　　两个长方形相交部分4×5的长方形中含有正方形 ‎　　4×5+3×4＋2×3＋1×2=40（个）。‎ ‎　　所以，原图中共有正方形70＋100-40=130（个）。‎ ‎　　例4 平面上有16个点，排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的距离都相等[如图5.51（1）]，每个点上钉上钉子。以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共可围成______个正方形。‎ ‎　　（《小学生科普报》奥林匹克通讯赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：能围成图5.51（2）的正方形共14（个）；‎ ‎　　能围成图5.51（3）的正方形共2（个）；‎ ‎　　能围成图5.51（4）的正方形共4（个）。‎ ‎　　所以，一共可围成正方形20个。‎ ‎【立体图形的计数】‎ ‎　　例1 用125块体积相等的黑、白两种正方体，黑白相间地拼成一个大正方体（如图5.52）。那么，露在表面上的黑色正方体的个数是_______。‎ ‎　　（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：本题要注意不能重复计数。‎ ‎　　八个顶点上各有一个黑色正方体，共8个；‎ ‎　　每条棱的中间有一个黑色正方体，共12个；‎ ‎　　除上面两种情况之外，每个面有5个黑色正方体，共5×6=30（个）。‎ ‎　　所以，总共有50个黑色正方体露在表面上。‎ ‎　　例2 把1个棱长为‎3厘米的正方体分割成若干个小正方体，这些小正方体的棱长必须是整数。如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成______个小正方体。‎ ‎　　（北京市第九届“迎春杯’小学数学竞赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：若分成｜×××｜的小正方体，则共可分成27个。‎ ‎　　但是分割时，要求正方体尽可能地少，也就是说能分成大正方体的，尽可能地分。则在开始的时候，可分出一个2×2×2的正方体（如图5.53），余下的都只能分成1×1×1的正方体了。‎ ‎　　所以，最少可分成20个小正方体。‎ 627‎ ‎45、几何体侧面展开 ‎　　【正棱柱、圆柱侧面展开】正棱柱（底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱）和圆柱的侧面展开，摊在同一个平面上，是一个矩形。矩形的上、下对边，是柱体上、下底面的周长；矩形左右两对边，是柱体的侧棱或母线。‎ ‎　　例如图1.41，将正六棱柱ABCDEF—A払扖扗扙扚捈霸仓鵒O挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希愠闪司匦蜛‎1A抇‎1A抇‎2A2。图中画出的是棱柱侧面展开图。圆柱侧面展开后，也是一矩形，只是中间没有那些虚线。%‎ ‎　　【正棱锥侧面展开】正n棱锥（底面为正n边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥）侧面展开，摊在同一平面上，是顶点公共、腰与腰相连的n个全等的等腰三角形。‎ ‎　　例如图1.42，将正三棱锥S—ABC的侧面展开，摊在同一个平面上，便形成了三个全等的等腰三角形SAB、SBC和SCA捪嗔耐夹巍 ‎　‎ ‎　　【圆锥侧面展开】圆锥侧面展开，摊在同一个平面上，变成的是一个扇形。扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的两条半径，是圆锥的母线。‎ ‎　　例如图1.43，将圆锥SO的侧面展开，摊在同一个平面上，便成了扇形 627‎ 径SA、SA挼募薪铅瓤砂聪旅娴氖阶蛹扑悖篲 ‎　　‎ ‎　　式中r是圆锥底面圆半径，l是圆锥母线的长。‎ ‎　‎ ‎　　【正棱台侧面展开】正n棱台（用一平行于正n棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面间的几何体）侧面展开，摊在同一个平面上，得到的是n个全等的等腰梯形，并且腰腰相连。‎ ‎　　例如图1.44，将正三棱台ABC—A払扖挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希阈纬闪烁猛加冶叩耐夹瘟恕 ‎　　【圆台侧面展开】圆台侧面展开，摊在同一个平面上的图形，是圆环的一部分，叫做“扇环”。这个扇环像梯形，它的两“腰”是圆台的母线，它的上、下“底”是两条弧，其弧长分别是圆台上、下底面圆的周长。‎ ‎　　例如图1.45，将圆台O1O2的侧面展开，摊在同一个平面上，就形成了 ‎　‎ ‎　‎ 627‎ ‎　‎ ‎46、几何公式 ‎　　【平面图形计算公式】一般的平面图形计算公式，如下表。‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　　【立体图形计算公式】‎ 627‎ ‎　　(1)柱体公式。‎ ‎　‎ ‎　　（2）锥体公式。‎ ‎　　正n棱锥（如图1．13）的公式：‎ ‎　　‎ ‎　　圆锥的公式（圆锥如图1．14所示）：‎ ‎　‎ 627‎ ‎　　　‎ ‎　　（3）棱台、圆台公式。‎ ‎　　正n棱台（如图1．15）的公式：‎ ‎　　‎ ‎　　圆台（如图1．16）的公式：‎ ‎　　　‎ ‎　　（4）球的计算公式。‎ ‎　　球的图形如图1．17所示。‎ 627‎ ‎　　S表=4πr2；‎ ‎　　‎ ‎　　附录：其他常用公式 ‎　　【整数约数个数公式】一个大于1的整数，约数的个数等于它的质因数分解式中，每个质因数的个数（指数）加1的连乘积。‎ ‎　　例如，求4500的约数个数。‎ ‎　　解 ∵4500=22×32×53‎ ‎　　∴4500的约数个数是 ‎　　（2+1）×（2+1）×（3+1）=36（个）。‎ ‎　　【约数之和的公式】一个大于1的自然数N，将它分解质因数为 为自然数，则N的所有约数的和为S（N），可用下列公式计算：‎ ‎　　‎ ‎　　例如 求1992的所有约数的和。‎ ‎　　解 S（1992）=S（23×31×831）‎ ‎　　‎ ‎　　=5040．‎ ‎　　【分数拆项公式】在奥赛中，为使计算简便，经常用到下面四个分数拆项公式：‎ 627‎ ‎　　（1）连续两个自然数积的倒数，可拆成较小的自然数的倒数，减去较大的自然数的倒数。即 ‎　　　‎ ‎　　（2）连续三个自然数的积的倒数，可拆成前两个自然数的积的倒数，减去后两个自然数的积的倒数的差的一半。即 ‎　　‎ ‎　　（3）连续四个自然数的积的倒数，可拆成前三个自然数的积的倒数，‎ ‎　　‎ ‎　　（4）一般分数拆项公式。当n、d都是自然数时，有 ‎　　‎ ‎　　【堆垛计算公式】‎ 627‎ ‎　　（1）三角形堆垛。计算每堆三角形物体总个数S时，可将底边个数”乘以（n+1）再乘以（n+2），然后除以6。用式子表示就是 ‎　　　‎ ‎　　例如，“一些桔子堆成三角形堆垛，底边每边4个，顶尖1个（如图1．18）。桔子总数是多少个？”‎ ‎　　解 依据三角形堆垛公式，得 ‎　　‎ ‎　　=20（个）。‎ ‎　　（2）正方形堆垛。计算底层为正方形的堆垛物体总个数S时，可将底边个数n乘以底边数加0．5的和，再乘以底边个数加1的和，最后将乘积除以3。用式子表示，就是 ‎　　‎ ‎　　例如，“一些苹果堆成正方形堆垛（如图1．19），底层每边放4个，顶尖放一个。苹果总数是多少个？”‎ ‎　　解 依据公式，得 ‎　　　　‎ 627‎ ‎　　（3）长方形堆垛。计算底层为长方形（近似于横放的三棱柱形，图1．20。）的堆垛物体的总个数S时，可将底层宽边的个数n1，长边的个数n2，按照下面的公式计算：‎ ‎　　‎ ‎　　例如，“有一盘馒头，底边宽5个，长边上放8个，如图1．20所示，这盘馒头共有多少个？”‎ ‎　　解 此题中，n1=5，n2=8。依据长方形堆垛公式，得 ‎　　‎ ‎　　=45+55=100（个）‎ ‎　　或者是 ‎　　　　‎ ‎　　（4）梯形堆垛。计算梯形的堆垛（近似于棱台形堆垛）物体总个数S时，可将最上层总数S1，加上最下层总数S2后，乘以层数n，再除以2。（梯形堆垛如图1．21所示。）用式子表示就是 ‎　　‎ ‎　　例如，“一些酒坛，堆成梯形的堆垛（图1．21），最上层为32只，最下层为45只，共堆有14层（每层差1只）。酒坛的总数是多少只？”‎ 627‎ ‎　　解 依计算公式，得 ‎　　‎ ‎　　【数线段条数的公式】若线段AB上共有n个分点（不包括A、B端点），则AB线段上共有的线段条数S，计算的公式是：‎ ‎　　S=（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1‎ ‎　　‎ ‎　　例如，求下图（图1．22）中所有线段的条数。‎ ‎　　解 在线段AB上，共有五个分点。根据数线条数的公式，得 ‎　　S=（5+1）+5+4+3+2+1‎ ‎　　‎ ‎　　注意：这一公式，还可以用来数形如图1．23的三角形个数。‎ ‎　　在这个图形中，因为底边BC上有4个分点，可依据数线段条数的计算公式，得三角形的个数为 627‎ ‎　　‎ ‎　　【数长方形个数的公式】若长方形的一边有m个小格，另一边有n个小格，那么这个图形中长方形的总个数S为 ‎　　S=（m+m-1+m-2+……+3+2+1）×（n+n-1+n-2+……+3+2+1）‎ ‎　　‎ ‎　　例如，请数出下图1．24中共有多少个不同的长方形。‎ ‎　　解 长方形ABCD长边上有6个小格，宽边上有4个小格。根据数长方形总数的公式，可得 ‎　　‎ ‎　　=21×10=210（个）。（答略）‎ ‎　　注意：这一公式，还可以用来数形如图1．25中的梯形的个数。‎ ‎　　显然，这个图形中除了△ADE以外，其余均为大大小小的梯形。‎ ‎　　最大的梯形下底上有五个小格，腰边上有4个小格。利用数长方形个数的计算公式，可得梯形的总个数S为 ‎　　‎ 627‎ ‎　　=15×10=150（个）。（答略）‎ ‎　　【数正方形个数的公式】若一个长方形的长被分成了m等份，宽被分成了n（n＜m）等份（长和宽上的每一份长度是相等的），那么这个长方形中的正方形总数S为：‎ ‎　　S=mn+（m-1）(n-1)+（m-2）(n-2）+……+（m-n+1）×1‎ ‎　　特殊的，当一个正方形的边长被分成n等分时，则这个图形中正方形的总个数S为：‎ ‎　　‎ ‎　　例1 求下图中正方形的总个数（如图1．26）。‎ ‎　　解 图中AB边上有7个等分，AD边上有3个等份。根据在长方形中数正方形个数的公式，可得：‎ ‎　　S＝7×3+6×2+5×1‎ ‎　　=21+12+5‎ ‎　　=38（个）。（答略）‎ ‎　　例2 求下图（图1．27）中的正方形有多少个。‎ ‎　　解 图形中正方形每边上有4等分。根据数正方形个数的计算公式，得 ‎　　‎ ‎　　（答略）‎ 627‎ ‎　　【平面内n条直线最多分平面部 ‎　　分数的公式】平面内有n条直线，其中注意两条直线都不平行，每条直线都与其他直线相交，且不交同一点。那么，这几条直线将平面划分的部分数S为 ‎　　 ‎ ‎　　例 平面内有8条直线，它们彼此都相交，但不交于同一点，求这8条直线能把平面划分出多少个部分？‎ ‎　　解 根据平面内n条直线，最多分平面部分数的计算公式，得 ‎　　S=2+2+3+4+5+6+7+8‎ ‎　　‎ ‎　　【n个圆将平面分成最多的部分数公式】若平面上有n个圆，每个圆都与其他圆相交，且不交于同一点，那么这个圆将平面划分的最多的部分数S为 ‎　　S=2+1×2+2×2+…+（n-1）×2‎ ‎　　=n2-n+2‎ ‎　　例 在一个平面上有20个圆，这20个圆最多可将平面划分为多少个部分？‎ ‎　　解 根据平面内n个圆将平面划分成最多的部分数的计算公式，可得 ‎　　S=2+1×2+2×2+…+19×2‎ ‎　　=202-20+2‎ ‎　　=400-20+2‎ ‎　　=382（块）（答略）‎ ‎　　【格点面积公式】‎ ‎　　每个小方格的面积都是1个面积单位的方格纸上，纵横两组平行线的交点，叫做“格点”，这样的方格纸，叫做“格点平面”。‎ ‎　　在格点平面上求图形的面积，可以按照上面的公式去计算：‎ ‎　　图形面积=图形内部格点数+图形周界上的格点数÷2-1。‎ 627‎ ‎　　例 如图1．28，求格点平面内A、B两个图形的面积。‎ ‎　　解 A图内部无格点，B图内部有9个格点；‎ ‎　　A图周界上有9个格点，B图周界上有7个格点。‎ ‎　　根据格点面积公式，得：‎ ‎　　A图面积=9÷2-1=3.5（面积单位）‎ ‎　　B图面积=（9+7）÷2-1=11．5（面积单位）（答略）‎ ‎　　如果格点是由形如“∴”或“∵”构成（如图1．29），且每相邻的三点所形成的三角形面积为1的等边三角形，则计算多边形面积公式为 ‎　　多边形面积=2×图形内部格点数+图形周界上格点数-2。‎ ‎47、几何公理、定理或性质 ‎　　【直线公理】经过两点有一条直线，并且只有一条直线。‎ 627‎ ‎　　【直线性质】根据直线的公理，可以推出下面的性质：‎ ‎　　两条直线相交，只有一个交点。‎ ‎　　【线段公理】在所有连结两点的线中，线段最短。（或者说：两点之间线段最短。）‎ ‎　　【垂线性质】‎ ‎　　（1）经过一点，有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。‎ ‎　　（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。（也可以简单地说成：垂线段最短。）‎ ‎　　【平行公理】经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。‎ ‎　　【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也相互平行。‎ ‎　　【有关平行线的定理】‎ ‎　　（1）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。‎ ‎　　（2）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。‎ ‎　　【三角形的特性】三角形有不变形的特性，一般称其为三角形的稳定性。由于三角形有这一特性，所以在实践中它有广泛的应用。‎ ‎　　【三角形的性质】三角形的性质（或定理及定理的推论），一般有：‎ ‎　　（1）三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。‎ ‎　　（2）三角形三内角之和等于180°。‎ ‎　　由三角形上述第（2）条性质，还可以推出下面的两条性质：‎ ‎　　①三角形的一个外角，等于它不相邻的两个内角之和。如图1.1，∠4=∠1+∠2。‎ ‎　　②三角形的一个外角，大于任何一个同它不相邻的内角。如图1.1，‎ ‎　　∠4＞∠1，∠4＞∠2。‎ ‎　　【勾股定理】在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。‎ ‎　　用字母表达就是a2+b2=c2。（a、b表直角边长，c表斜边长。）‎ 627‎ ‎　　我国古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一条直角边叫做“股”，另一条直角边叫做“勾”，斜边叫做“弦”。所以我国将这一定理称为“勾股定理”。‎ ‎　　勾股定理是我国最先发现的一条数学定理。而古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）较早地证明了这个定理。因此，国外常称它为“毕达哥拉斯定理”。‎ ‎　　【平行四边形的性质】‎ ‎　　（1）平行四边形的对边相等。‎ ‎　　（2）平行四边形的对角相等。‎ ‎　　（3）平行四边形邻角的和是180°。如图1.2，∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°。‎ ‎　　（4）平行四边形的对角线互相平分。如图1.2，AO=CO，BO=DO。‎ ‎　　平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。‎ ‎　　【长方形的性质】‎ ‎　　长方形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：‎ ‎　　（1）长方形四个角都是直角。‎ ‎　　（2）长方形对角线相等。‎ ‎　　长方形是中心对称图形，也是轴对称图形。它每一组对边中点的连线，都是它的对称轴。‎ ‎　　【菱形的性质】菱形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：‎ ‎　　（1）菱形的四条边都相等。‎ ‎　　（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。例如图1.3，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D。‎ 627‎ ‎　　菱形是中心对称图 ‎　　形，也是轴对称图形，它每一条对角线都是它的对称轴。‎ ‎　　【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。‎ ‎　　【多边形内角和定理】n边形的内角的和，等于（n-2）·180°。（又称“求多边形内角和”的公式。）‎ ‎　　例如三角形（三边形）的内角和是 ‎　　（3-2）×180°=180°；‎ ‎　　四边形的内角和是 ‎　　（4-2）×180°=360°。‎ ‎　　【多边形内角和定理的推论】‎ ‎　　（1）任意多边形的外角和等于360°。‎ ‎　　这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角（多边形外角）的和为180°，所以，n边形n个外角的和等于n·180°-（n-2）·180°=360°。‎ ‎　　（2）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。‎ ‎　　例如图1.4，∠1的两边分别垂直于∠A的两边，则∠1+∠A=180°，即∠1与∠A互补。‎ ‎　　又∠2、∠3、∠4的两边也分别垂直于∠A的两边，则∠3和∠A也互补，而∠2=∠A，∠4=∠A。‎ ‎　　【圆的一些性质或定理】‎ ‎　　（1）半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。‎ 627‎ ‎　　（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。‎ ‎　　（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。‎ ‎　　（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。‎ ‎　　（5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。‎ ‎　　【轴对称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质：‎ ‎　　（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分。‎ ‎　　例如图1.5，图中的AA′对称点连结线段，被对称轴L垂直且平分，即L⊥AA′，AP=PA′。‎ ‎　　（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么，交点在对称轴上。‎ ‎　　例如图1.5中，BA与B′A′的延长线相交，交点M在对称轴L上。‎ ‎　　（3）两个关于某直线对称的图形，一定是全等形。‎ ‎　　例如，图1.5中△ABC与△A′B′C′全等。 ‎ ‎　　【中心对称图形的性质】如果把一个图形绕着一个点旋转180°后，它和另一个图形重合，那么，这两个图形就是关于这个点的“中心对称图形”。‎ ‎　　中心对称图形具有以下性质：‎ ‎　　（1）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。‎ ‎　　例如，图1.6中对称点A与A′，B与B′，C与C′，它们的连线都经过O（对称中心），并且OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′。‎ 627‎ ‎　　（2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。‎ ‎48、和差积商的变化规律 ‎　　【和的变化规律】‎ ‎　　（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是 ‎　　如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d；‎ ‎　　（a-d）+b=c-d。‎ ‎　　（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是 ‎　　如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。‎ ‎　　【差的变化规律】‎ ‎　　（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，就是 ‎　　如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d，‎ ‎　　（a-d）-b=c-d。‎ ‎　　（a＞d+b）‎ 627‎ ‎　　（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是 ‎　　如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（a＞b+d），‎ ‎　　a-（b-d）=c+d。‎ ‎　　（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是 ‎　　如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c，‎ ‎　　（a-d）-（b-d）=c。‎ ‎　　【积的变化规律】‎ ‎　　（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是 ‎　　如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，‎ ‎　　（a÷n）×b=c÷n。‎ ‎　　（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是 ‎　　如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，‎ ‎　　或（a÷n）×（b×n）=c。‎ ‎　　【商或余数的变化规律】‎ ‎　　（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是 ‎　　如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，‎ ‎　　（a÷n）÷b=q÷n。‎ ‎　　（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是 ‎　　如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n，‎ ‎　　a÷（b÷n）=q×n。‎ ‎　　（3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是 627‎ ‎　　如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q，‎ ‎　　（a÷n）÷（b÷n）=q。‎ ‎　　（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。‎ ‎　　这一变化规律用字母表示，就是 ‎　　如果a÷b=q（余r），‎ ‎　　那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），‎ ‎　　（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。‎ ‎　　例如，84÷9=9……3，‎ ‎　　而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2），‎ ‎　　（84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。‎ ‎49、估值计算 ‎　　【精确度计算】‎ ‎　　例1 计算12345678910111213÷‎3l21l10l98765432l，它小数点后面的前三位数字是______。‎ ‎　　（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：被除数和除数都有17位数，直接去除是极麻烦的。我们不妨将被除数和除数作适当的放缩，再去进行解答：‎ ‎　　原式的值＞1234÷3121=0.3953……‎ ‎　　原式的值＜1235÷3122=0.3955……‎ ‎　　所以，答案是3、9、5。‎ ‎　　例2 以下四个数中有一个是304×18.73的近似值，请你估算一下，找出这个数。‎ ‎　　（1）570，（2）5697，（3）56967，（4）569673。‎ 627‎ ‎　　（1989年日本小学数学总体评价测验题）‎ ‎　　讲析：在做近似数的乘除法时，先要估算结果的粗略值。‎ ‎　　18.73接近20，304接近300，300×20=6000，可知，乘积在6000左右。所以，答案是5697。‎ ‎　　【整数部分的估算】‎ ‎　　‎ ‎　　（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：‎ ‎　　 ‎ ‎　　‎ ‎　　所以，整数部分是517。‎ ‎　　‎ ‎　　（全国第三届“华杯赛”复赛试题）‎ ‎　　讲析：将分母运用扩缩法进行估算，可得 ‎　　‎ ‎　　 ‎ ‎　　‎ X，那么，与X最接近的整数是______。‎ ‎　　（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：可将整数部分与分数部分分开计算，得 ‎　　　　‎ ‎　　答案是25。‎ ‎　　例4 已知 ‎　　‎ ‎　　问a的整数部分是多少？‎ ‎　　（全国第二届“华杯赛”决赛第一试试题）‎ ‎　　讲析：本题计算较繁。可先将分子变成两大部分，其中一部分与分母相同，另一部分不同。‎ ‎　　　　‎ ‎　　所以，a的整数部分是101。‎ ‎　　‎ ‎　　果取每个数的整数部分，并将这些整数相加，那么， 这些整数之和是_______。‎ ‎　　（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：解题的关键是要找出从哪一个数开始，整数部分是2。‎ ‎　　‎ 本身），整数部分都是1。在此以后的数，整数部分都是2。故答案是49。‎ ‎　　‎ 627‎ 大于3，至少要选______个数。‎ ‎　　（1989年全国小学数学奥林匹克复赛试题）‎ ‎　　讲析：要使选的个数尽量少，所选的数必须尽量大。由此可得 ‎50、根据和、差、积、商变化规律速算 ‎　　【根据和的变化规律速算】和的变化规律有以下两条。‎ ‎　　（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。‎ ‎　　利用这一规律，可以使计算简便、快速。例如 ‎　　645+203=645+200+3‎ ‎　　=845＋3‎ ‎　　=848‎ 627‎ ‎　　397＋468=400＋468-3‎ ‎　　=868-3‎ ‎　　（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。‎ ‎　　利用这一规律，也可以使计算简便、快速。例如 ‎　　657＋309=（657+9）＋（309-9）‎ ‎　　=666+300‎ ‎　　=966‎ ‎　　154＋286=（154—4）+（286＋4）‎ ‎　　=150＋290‎ ‎　　=（150-10）＋（290＋10）‎ ‎　　=140＋300‎ ‎　　=440‎ ‎　　【根据差的变化规律速算】差的变化规律有如下三条。‎ ‎　　（1）如果被减数增加（或减少）一个数，那么它们的差也增加（或减少）同一个数。‎ ‎　　运用这一规律的速算，如 ‎　　804—355=800—355＋4‎ ‎　　=445＋4‎ ‎　　＝449‎ ‎　　593—264=600—264—7‎ ‎　　=336—7‎ ‎　　=329‎ ‎　　（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。‎ ‎　　运用这一规律的速算，如 ‎　　675—298=675—300＋2‎ 627‎ ‎　　=375＋2‎ ‎　　=377‎ ‎　　458—209=458—200—9‎ ‎　　=258—9‎ ‎　　=249‎ ‎　　（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么它们的差不变。‎ ‎　　运用这一规律的速算，如 ‎　　3520—984=（3520＋16）-（984＋16）‎ ‎　　=3536—1000‎ ‎　　=2526‎ ‎　　803—345=（803—3）-（345—3）‎ ‎　　=800—342‎ ‎　　=458‎ ‎　　【根据积的变化规律速算】积的变化规律有如下两条。‎ ‎　　（1）如果一个因数扩大（或者缩小）若干倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或者缩小）同样的倍数。‎ ‎　　运用这一规律的速算，如 ‎　　175×4=（25×7）×4‎ ‎　　=[（25×7）÷25]×4×25‎ ‎　　=7×4×25‎ ‎　　=7×（4×25）‎ ‎　　=700‎ ‎　　68×25＝68×100÷4‎ ‎　　=6800÷4‎ ‎　　=1700‎ 627‎ ‎　　（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。‎ ‎　　运用这一规律速算，如 ‎　　240×25=（240÷4）×（250×4）‎ ‎　　=60×1000‎ ‎　　=60000‎ ‎　　45×14=（45×2）×（14÷2）‎ ‎　　=90×2‎ ‎　　=180‎ ‎　　【根据商的变化规律速算】商的变化规律，有如下三条：‎ ‎　　（1）如果被除数扩大（或者缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或者缩小）同样的倍数。‎ ‎　　运用这一规律速算，如 ‎　　5400÷9=（5400÷100）÷9×100‎ ‎　　=54÷9×100‎ ‎　　=6×100‎ ‎　　=600‎ ‎　　（2）如果除数扩大（或者缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而会缩小，（或者扩大）同样的倍数。‎ ‎　　运用这一规律速算，如 ‎　　3600÷25＝3600÷（25×4）×4‎ ‎　　=3600÷100×4‎ ‎　　=36×4‎ ‎　　=144‎ ‎　　（3）被除数和除数都扩大（或者都缩小）同样的倍数，它们的商不变。‎ ‎　　运用这一规律速算，如 627‎ ‎　　690000÷23000=（690000÷1000）÷（23000÷1000）‎ ‎　　=690÷23‎ ‎　　=30‎ ‎　　12000÷25=（12000×4）÷（25×4）‎ ‎　　=48000÷100‎ ‎　　=480‎ ‎　　注意：在有余数的除法里，如果被除数和除数都扩大（或者都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不会变化，但余数会跟着扩大（或者缩小）同样的倍数。要使余数不变，所得的余数必须缩小（或者扩大）同样的倍数。‎ ‎　　‎ ‎51、割补、拼接、截割 ‎　　【割补】在数学中，把图形的某个部分割下，补到某一个新的位置，往往可以使新的图形，更便于发现数量关系，从而较快地解答出数学题目。‎ ‎　　例如，在图4.38中，三个圆的面积都是12.56平方厘米，且三个圆两两相交，三个交点都是圆心，求三块阴影部分的面积。‎ 627‎ ‎　　从表面上看，题目是无法解答的。但只要仔细观察就能发现，根据轴对称性及割补方法，题目可作如下的解答：‎ ‎　　如图4.39，将图形1翻折到图形2的位置；再将图形3和4割下来，合并在一起，补到图形5的位置上。于是，原来的阴影部分就正好拼成了一个半圆。所以，三块阴影部分的面积是12.56÷2=6.28（平方厘米）‎ ‎　　【拼接，截割】‎ ‎　　（1）平面图形的拼接、截割。‎ ‎　　拼接和截割，是两个相反的过程。平面图形的拼接是把两个或两个以上的图形拼接在一起；平面图形的截割，是把一个图形截割成两个或两个以上的图形。‎ ‎　　平面几何图形拼接或截割以后，面积和周长的变化有以下规律：‎ ‎　　①两个或两个以上的图形拼接成一个新的几何图形，它的面积等于原来若干个几何图形的面积之和；而周长却会比原图形周长之和要短。如果拼接部分的总长度为a，那么拼接后减少的周长就是‎2a。‎ ‎　　②把一个平面几何图形截割以后，各小块图形的面积之和，等于原图形的面积；但截割后各小块几何图形的周长之和，要比原图形的周长要长。若所有截割部分长度为a，那么截割后增加的长度就是‎2a。‎ ‎　　依据这一规律，可快速地解答一些几何问题。例如，如图4.40，正方形被均分为大小、形状完全相同的三个长方形，每个长方形周长都是‎48厘米，求正方形的周长。‎ 627‎ ‎　　解题时，可以把大正方形看成是三个小长方形拼接而成的，三个小长方形的拼接部分，都是小长方形的长，长度等于大正方形的“边长”。拼接以后的图形（大正方形）的周长，比原来的三个小长方形的周长之和，要减少4个“边长”，而这4个“边长”正好相当于大正方形的周长。这就是说，三个小长方形的周长之和里，刚好包含有两个大正方形的周长。所以，正方形的周长是 ‎　　48×3÷2‎ ‎　　=144÷2‎ ‎　　=72（厘米）‎ ‎　　（2）立体图形的拼接、截割。立体几何图形拼接或截割以后，它的体积和表面积的变化，有以下规律：‎ ‎　　①两个或两个以上的几何体，拼接成一个新几何体以后，它的体积等于原来若干个几何体体积之和；但是它的表面积却比原来若干个几何体的表面积之和要小。如果重叠部分为S，那么减少的面积就是2S。‎ ‎　　②把一个几何体截割以后，各部分的体积之和等于原几何体体积；但截割后的表面积之和，却大于原几何体的表面积。如果其中的截割面积为S，那么，增加的表而积就是2S。‎ ‎　　依据这一规律，可以较快地解答出某些题目。例如，如图4.41，把一个棱长为‎5厘米的正方体木块锯成两个形状大小完全相同的长方体（不计损耗），表面积会增加多少平方厘米？‎ ‎　　因为正方体木块的截割面积为5×5=25（平方厘米），依据上面的规律可知，表面积会增加 ‎　　25×2=50（平方厘米）‎ ‎　　又如，把长‎10厘米、宽‎6厘米、高‎5厘米的长方体木块截成形状、大小相同的两个长方体，表面会增加多少平方厘米？‎ ‎　　由于此题未交代从何处下手截割，所以要分三种情况来解答题目。‎ 627‎ ‎　　①如图4.42左图的截法，表面积会增加。‎ ‎　　5×6×2=30×2=60（平方厘米）‎ ‎　　②如图4.42中图的截法，表面积会增加。‎ ‎　　10×6×2=60×2=12（平方厘米）‎ ‎　　③如图4.42右图的截法，表面积会增加 ‎　　10×5×2=50×2=100（平方厘米）‎ 627‎ ‎52、改变运算种类 ‎　　在四则运算中，改变原题的运算种类，如以乘代加、以加代减、以加代乘、以减代除……，往往可使一些题目的计算变得比较简便、快速。‎ ‎　　【以乘代加】几个加数虽然不同，但数字大小比较接近的时候，可以选择一个数作“基准数”，采用“以乘代加”的方法速算。例如 ‎　　（1）17＋18＋16＋17＋14+19＋13+14‎ ‎　　解题时，可以选择17为基准数，以乘代加解答如下。‎ ‎　　17＋18+16＋17＋14+19+13＋14‎ ‎　　=17×8＋‎1-1-3‎＋2-4-3‎ ‎　　=17×8-8‎ ‎　　=128‎ ‎　　（2） 325＋324＋318＋327＋323＋320‎ ‎　　解题时，可以选取323作为基准数，然后解答。‎ ‎　　325+324＋318+327＋323＋320‎ ‎　　=323×6+2＋1-5+4-3‎ ‎　　= 323×6+（2＋1＋4）-（5＋3）‎ ‎　　=323×6＋7-8‎ ‎　　=323×6-1‎ ‎　　=1937‎ ‎　　运用基准数以乘代加速算，对于一些随报随记而且数字又很接近的连加运算，是极为方便、快速的，它的算法可以是：‎ ‎　　选定一个数作基准数，把比基准数多的记“十”，比基准数少的记“一”，随报随算它的累计数。当要加的数报完后，结果也就计算出来了。‎ ‎　　例如，某组10个同学某次数学考试分数如下：‎ ‎　　72；71；70；68；74；69；73；67；70；73。‎ 627‎ ‎　　计算时，可选择70分作基准数。计算过程可如下表所示（实际计算时只需要算出累计数就行了）：‎ ‎　　所以，这组同学这次考试成绩的总分数是 ‎　　70×10＋7=707（分）‎ ‎　　【以加代减】为说明问题，先看一个实际问题：‎ ‎　　“某人去商店购物，需要付款4.65元。他交给售货员10元，应找回多少钱？”‎ ‎　　很明显，这是个减法算题，应该用10—4.65=5.35（元）去求答案。可是在找钱的时候，售货员一般不做减法，而是采用“前位凑九，末位凑十”‎的加法运算，得 5.35与4.65能凑成10，从而得出要找的钱数是5.35元。这是为什么呢？‎ ‎　　因为做减法会产生连续退位的问题，而用加法凑整，可以通过“前位九，末位十”‎的办法口算。达到正确、快速、简便地求差的目的。‎ ‎　　凡是整百、整千、整万……减去一个数，都可以用“以加代减”的方法——“前位凑九，末位凑十”‎，去迅速地求差。请看下面的两个例子，特别是看一看列出的竖式：‎ ‎　　（1） 1000—675=325‎ ‎　　(2)50000-3672=46328‎ ‎　　【添0折半】一个数乘以5，可以看成是先乘以10再除以2。一个数乘以10非常简便，只要在这个数的末尾添个0；再除以2，也很容易口算。这种添0后再除以2的方法，叫做“添0折半法”。它也改变了原题的运算种类。例如 627‎ ‎　　（1）486×5‎ ‎　　＝4860÷2‎ ‎　　=2430‎ ‎　　（2）4.37×5‎ ‎　　=43.7÷2‎ ‎　　=21.85‎ ‎　　【添0退减原数】一个数乘以9，就是乘以10—1。根据一个数乘以两数之差的分配性质，一个数乘以9，可以在这个数的末尾添一个0，再退一位减去原数，所得的就是所要求的积。这种方法，可称为“添0退减原数法”。例如 ‎　　396×9‎ ‎　　=3960-396‎ ‎　　=3564‎ ‎　　（退减原数可看式口算。看式口算不熟练时，可从低位减起，熟练之后可从高位减起，一下子就可直接写出得数。）‎ ‎　　【添0折半加原数】一个数乘以6，可以看成是乘以（5＋1）。运用乘法分配律，可以用这个数分别乘以5和1，再求两个积之和。一个数乘以5，可以用“添0折半法”，加上这个数与1的积，就是加上原数。所以这种速算方法可称之为“添0折半加原数法”。例如 ‎　　6489×6‎ ‎　　=64890÷2+6489‎ ‎　　=32445＋6489‎ ‎　　=38934‎ ‎　　这种方法还可以推广到一个数乘以7中去。不过，乘以7就必须是“添0折半加原数的2倍”了。‎ ‎　　例如 ‎　　2436×7‎ ‎　　=24360÷2＋4872‎ ‎　　=12180+4872‎ 627‎ ‎　　=17052‎ ‎　　234.2×7‎ ‎　　=2342÷2+468.4‎ ‎　　=1171＋468.4‎ ‎　　=1639.4‎ ‎　　【以加代乘】“以加代乘”又可以称之为“添0加原数”。例如 ‎　　720×11‎ ‎　　=7200＋720‎ ‎　　=7920‎ ‎　　67203×11‎ ‎　　＝672030＋67203‎ ‎　　=739233‎ ‎　　这种方法还可以推广到一个数乘以12的计算中去。不过，一个数乘以12，需要添0加原数的2倍。例如：‎ ‎　　623×12‎ ‎　　=6230+1246‎ ‎　　=7476‎ ‎　　【原数加半，加半定积】如果一个数乘以1.5，也就是乘以（1＋0.5），那么根据乘法分配律，只要把这个数加上它的一半就可以了。这时，原来的乘法也可以改用加法来代替。例如 ‎　　48×1.5‎ ‎　　=48×（1＋0.5）‎ ‎　　=48+24（48的一半）‎ ‎　　=72‎ ‎　　显然，“原数加半”的方法速算乘法，也是“以加代乘”的一种方法。‎ ‎　　这种“原数加半”方法还可推广到一个数乘以15、150、1500……以及0.15、0.015、0.0015……中去。因为 627‎ ‎　　15=1.5×10 0.15=1.5×0.1‎ ‎　　150=1.5×100 0.015=1.5×0.01‎ ‎　　1500=1.5×1000 0.0015=1.5×0.001‎ ‎　　…… ……‎ ‎　　所以，一个数乘以这些数，只要把这个数加上它的一半以后，再移动小数点的位置就可以了。比方 ‎　　6.4×150‎ ‎　　=6.4×1.5×100‎ ‎　　=（6.4＋3.2）×100‎ ‎　　=9.6×100‎ ‎　　=960‎ ‎　　4600×0.0015‎ ‎　　=（4600＋2300）×0.001‎ ‎　　=6900×0.001‎ ‎　　=6.9‎ ‎　　这样的方法，可以称作“加半定积法”。在我国农村，还经常将它用于将平方米数换算成亩数的计算。因为‎1平方米=0.0015亩，所以 ‎　　‎2800平方米=（0.0015×2800）亩 ‎　　=[（2800＋1400）×0.001]亩 ‎　　=4.2亩 ‎　　在民间，人们一般称这样的快速简算方法，叫做“加半向左移三法”。‎ ‎　　【以减代除】除法实际上是同数连减的简算方法，而同数连减又可以用乘法代替。所以，“以减代除”可以达到简算和速算的目的。‎ ‎　　例如，550÷25，先用550减去20个25，得50，50再减去2个25，便得0。所以，550÷25=22。由口算便迅速得出了此题的得数。‎ ‎　　【以乘代除，以除代乘】在乘法运算里，如果一个因数是‎5”‎，则可将它化为“10n÷2n”，从而将“乘以5n”转化为“除以2n”进行计算。同样，在除法运算里，如果除数是5n 627‎ ‎，那么，也可以将它转化为“乘以2n”去进行计算。显然，除以或乘以2n，要比乘以或除以5n方便、快速得多。例如 ‎　　（1）12000÷125‎ ‎　　=12000÷53‎ ‎　　=12000÷（103+23）‎ ‎　　=12000÷103×23‎ ‎　　=12×23‎ ‎　　=96‎ ‎　　因为12×23=12×2×2×2，所以口算得数时，只要把12连续翻倍三次即可。即 ‎　　12—→24—→48—→96。‎ ‎　　（2） 480×125=480×53‎ ‎　　=480×（103÷23）‎ ‎　　=480×103÷23‎ ‎　　＝480÷23×103‎ ‎　　=60×103‎ ‎　　=60000‎ ‎　　因为480÷23=480÷2÷2÷2，所以口算得数时，只要把480连续折半三次即可。即 ‎　　480—→240—→120—→60。‎ 627‎ ‎53、复杂分数应用题 ‎　　【复杂的一般分数问题】‎ ‎　　例1 已知甲校学生数是乙校学生数的40％，甲校女生数是甲校学生数的30％，乙校男生数是乙校学生数的42％。那么，两校女生总数占两校学生总数的百分之几？‎ ‎　　（全国“幼苗杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：关键是要求出甲、乙两校学生数，分别占两校总人数的几分之几。‎ ‎　　因为甲校学生数是乙校学生数的40％，所以，甲、乙两校学生数之比为 ‎　　‎ ‎　　所以，两校女生占两校学生总数的 ‎　　‎ ‎　　例2 有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放入16块水果糖后，奶糖就只占25％。那么，这堆糖中有奶糖____块。‎ ‎　　（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　‎ 627‎ ‎16块水果糖之后，其它糖就是奶糖的（1-25％）÷25％=3（倍）。‎ ‎　　‎ ‎　　例3 某商店经销一种商品，由于进货价降低了8％，使得利润率提高了10％。那么这个商店原来经销这种商品所得利润率是百分之几？‎ ‎　　（长沙市奥林匹克代表队集训试题）‎ ‎　　讲析：“利润”是出售价与进价的差；“利润率”是利润与进货价的比率。‎ ‎　　设这种商品原进价为每件a元，出售后每件获利润b元。那么 现进价为每件 （1-8％）×a=92％a（元），‎ ‎　　‎ ‎　　例4 学校早晨6：00开校门，晚上6：40关校门。下午有一同学问老 ‎　　（1992年小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：本题的关键是要注意“时间”和“时刻”这两个概念的区别。‎ ‎　　从早晨6点到中午12点共有6小时，从中午12点到下午6点40分共有 ‎　　设从中午12点到“现在”共a小时，可列方程为 ‎　　‎ ‎　　解得 a=4。‎ ‎　　所以，现在的时间是下午4点钟。‎ 627‎ ‎　　【工程问题】‎ ‎　　例1 一件工作，甲做5小时后，再由乙做3小时可以完成；若乙先做9小时后，再由甲做3小时也可以完成。那么甲做1小时以后，由乙做____小时可以完成？‎ ‎　　（1987年北大附中友好数学邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：因为“甲做5小时，乙做3小时可以完成”；或者“甲做3小时，乙做9小时也可以完成”。由此得，甲做5-3=2（小时）的工作量，就相当于乙做9-3=6（小时）的工作量。‎ ‎　　即：甲做1小时，相当于乙做3小时。‎ ‎　　由“甲做5小时，乙再做3小时完成”，可得：甲少做4小时，就需乙多做3×4=12（小时）。‎ ‎　　所以，甲做1小时之后，还需要乙再做3+12=15（小时）才能完成。‎ ‎　　例2 如果用甲、乙、丙三根水管同时往一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两根水管，1小时20分可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时15分可以灌满。那么，用乙管单独灌水，要灌满一池水需要____小时。‎ ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：关键是求出乙的工作效率。‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　例3 一项挖土方工程，如果甲队单独做，16天可以完成；乙队单独做 时，突然遇到地下水，影响施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程。问整个工程要挖多少方土？‎ ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）‎ ‎　　讲析：甲、乙两队合做，则工效可提高20％，所以每天可以完成 ‎　　　‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　‎ ‎　　‎ ‎　　例4 某工厂的一个生产小组，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可以完成一项生产任务，如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前1小时完成这项生产任务。问：如果同时交换A与B，C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可以提前几分钟完成这项生产任务。‎ ‎　　（全国第四届“华杯赛”决赛试题）‎ ‎　　　‎ ‎　　所以，同样交换A与B，C与D之后，全组每小时可以完成：‎ ‎　　‎ ‎　　例5 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作。甲工地的工作量是乙工 已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天。那么，这批工人有____人。‎ 627‎ ‎　　（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：把甲、乙两地全部工作量作单位“1”，由“甲工地的工作量是 ‎　　把工人总数作单位“1”，由“上午去甲工地人数是去乙工地人数的3‎ ‎　　所以，一天中去甲、乙工地人数之比为：‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　例6 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管需要 丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？‎ ‎　　（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）‎ ‎　　‎ 有当开到甲水管时，水才会溢出。‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　溢出。 ‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 的思路是在假设要打开水管若干个循环之后， 水才开始 开始溢出。所以，这样解的思路是错误的。‎ 627‎ ‎54、分数与繁分数化简 ‎　　【分数化简】‎ ‎　　‎ ‎　　讲析：容易看出，分子中含有因数37，分母中含有因数71。所以可得 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　（长沙地区小学数学奥林匹克选拔赛试题）‎ 627‎ ‎　　　　‎ ‎　　讲析：注意到，4×6=24，2＋4=6，由此产生的一连串算式：‎ ‎　　16×4=64‎ ‎　　166×4=664‎ ‎　　1666×4=6664‎ ‎　　……‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　（全国“育苗杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：容易看出分子中含有因数3。把48531分解为48531=3×16177，然后可试着用16177去除分母：‎ ‎　　‎ ‎　　【繁分数化简】‎ ‎　　‎ ‎　　（1990年马鞍山市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：如果分别计算出分子与分母的值，则难度较大。观察式子，可发现分子中含有326×274，分母中含有275×326。于是可想办法化成相同的数：‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 627‎ ‎　　（全国第三届“华杯赛”复赛试题）‎ ‎　　讲析：可把小数化成分数，把带分数都化成假分数，并注意将分子分母同乘以一个数，以消除各自中的分母。于是可得 ‎　　　　‎ ‎　　例3 化简 ‎　　‎ ‎　　（全国第三届“华杯赛”复赛试题）‎ ‎　　讲析：由于分子与分母部分都比较复杂，所以只能分别计算。计算时，哪一步中能简算的，就采用简算的办法去计算。‎ ‎　　　‎ ‎　　 ‎ ‎　　所以，原繁分数等于1。‎ ‎　　‎ ‎　　（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：连分数化简，通常要从最下层的分母开始，自下而上逐步化简。依此法计算，题目的得数是2。（计算过程略）‎ ‎55、对称变换 ‎　　【将军饮马】据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教一个问题：从A地出发到河边饮马，再到B地（如图4.32所示），走什么样的路最近？如何确定饮马的地点？‎ 627‎ ‎　　海伦的方法是这样的：如图4.33，设L为河，作AO⊥L交L于O点，延长AO至A＇，使A＇O=AO。连结A＇B，交L于C，则C点就是所要求的饮马地点。再连结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。‎ ‎　　为什么呢？因为A＇是A点关于L的对称点，AC与A＇C是相等的。而A＇B是一条线段，所以A＇B是连结A＇、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=A＇C+CB=A＇B也是最短的一条路了。这就是海伦运用对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。运用这种办法，可以巧妙地解决许多几何问题。‎ ‎　　【划线均分】通过中心对称图形的对称中心，任意画一条直线，都可以把原图形均分成两个大小、形状完全相同的图形。利用这一性质，可以使某些较复杂的问题迅速地解答出来。例如 ‎　　（1）把图形（图4.34）的面积，用一条直线分成相等的两个部分。‎ ‎　　解题时，只要把这个图形看成是由两个矩形（长方形）组成的组合图形，而矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形， 所以只要找出两个对称中心（对角线交点），利用中心对称图形的上述性质，通过两个对称中心作一条直线，就能把它的面积分成相等的两个部分了。如前页的三种分法都行（如图4.35所示）。‎ 627‎ ‎　　（2）如图4.36，长方形ABCD内有一个以O点为圆心的圆，请画一条直线，同时将长方形和圆分为面积相等的两个部分。‎ ‎　　大家知道，长方形和圆都既是轴对称图形，又是中心对称图形。长方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是它的圆心。‎ ‎　　根据中心对称图形的上述性质，先找出这两个对称中心O点和P点（如图4.37），再过O、P作直线L，此直线L即是所画的那根直线。‎ ‎56、典型应用题 627‎ ‎　　【平均数问题】‎ ‎　　例1 小强骑自行车从甲地到乙地，去时以每小时15千米的速度前进，回时以每小时30千米的速度返回。小强往返过程中的平均速度是每小时多少千米？‎ ‎　　（江西省第二届“八一杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：我们不能用（15+30）÷2来计算平均速度，因为往返的时间不相等。只能用“总路程除以往返总时间”的方法求平均速度。‎ ‎　　‎ ‎　　所以，往返的平均速度是每小时 ‎　　‎ ‎　　例2 动物园的饲养员给三群猴子分花生。如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒。那么平均分给三群猴子，每只猴子可得____粒。‎ ‎　　（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：设花生总粒数为单位“ 1”，由题意可知，第一、二、三群猴子 ‎　　于是可知,把所有花生分给这三群猴子，平均每只可得花生 ‎　　例3 某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男、女生各自的平均成绩是75.5分和81分。问：这个班男、女生人数的比是多少？‎ ‎　　（全国第三届“华杯赛”决赛第二试试题）‎ ‎　　讲析：因男生平均比全班平均少2.5分，而女生平均比全班平均的多3分，故可知 ‎　　2.5×男生数=3×女生数。‎ ‎　　2.5∶3=女生数：男生数 627‎ ‎　　即 男生数：女生数=6:5。‎ ‎　　例4 某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样，得二等奖的学生平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分。那么，原来一等奖平均分比二等奖平均分多____分。‎ ‎　　（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：设原来一等奖每人平均是a分。二等奖每人平均是b分。则有：‎ ‎　　‎10a+20b=6×（a+3）+24×（b+1）‎ ‎　　即：a-b=10. 5。‎ ‎　　也就是一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分。‎ ‎　　【行程问题】‎ ‎　　例1 甲每分钟走‎50米，乙每分钟走‎60米，丙每分钟走‎70米，甲乙两人从A地，丙一人从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A、B两地相柜______米。‎ ‎　　（ 1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：如图5.30，当乙丙在D点相遇时，甲已行至C点。可先求出乙、两相遇的时间，也就是乙行距离AD的时间。‎ ‎　　乙每分钟比甲多走 ‎10米，多少分钟就多走了CD呢？而CD的距离，就是甲、丙2分钟共行的距离：（70+50）×2=240(米）。‎ ‎　　于是可知，乙行AD的时间是240÷10=24（分钟）。‎ ‎　　所以，AB两地相距米数是（70+60）×24=3120（米）‎ ‎　　例2 在一条公路上，甲、乙两个地点相距‎600米，张明每小时行走‎4千米，李强每小时行走‎5千米。8点整，他们两人从甲、乙两地同时出发相向而行，1分钟后他们都调头反向而行，再过3分钟，他们又调头相向而行，依次按照1、3、5、7……（连续奇数）分钟数调头行走。那么，张、李两个人相遇时是8点_____分。‎ ‎　　（1992年全国小学数学奥林匹克竞赛初赛试题）‎ ‎　　‎ ‎（千米）=150（米）‎ 627‎ ‎　　他俩相向走（1+5）分钟，反向走（3+7）分钟后两人相距：600+150×〔（3+7）-（1+5）〕=1200（米）‎ ‎　　所以，只要再相向行走1200÷150=8（分钟），就可以相遇了。从而可知，相遇所需要的时间共是 ‎　　1+3+5+7+7+8=24（分钟）‎ ‎　　也就是相遇时是8点24分。‎ ‎　　例3 快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟，10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走‎24千米，中车每小时走‎20千米，那么，慢车每小时走多少千米？‎ ‎　　（全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题）‎ ‎　　讲析：如图5.31所示，A点是三车的出发点，三车出发时骑车人在B点，A1、A2、A3分别为三车追上骑车人的地点。‎ ‎　‎ ‎　　‎ ‎　　　‎ ‎　　‎ 快车走完‎2.4千米追上了他。由此可见三辆车出发时，骑车人已走的路程是 ‎　　AB=2.4-1.4=1（千米）。‎ ‎　　所以，慢车的速度是：‎ ‎　　‎ ‎　　例4 一辆车从甲地开往乙地。如果把车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶‎120千米后，再将速度提高25％。则可提前40分钟到达。那么，甲、乙两地相距______千米。‎ 627‎ ‎　　（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：首先必须考虑车速与时间的关系。‎ ‎　　因为车速与时间成反比，当车速提高20％时，所用时间缩短为原来的 ‎　‎ ‎　　‎ ‎　‎ ‎　　‎ ‎　　例5 游船顺流而下每小时行‎8千米，逆流而上每小时行‎7千米，两船同时从同地出发，甲船顺流而下，然后返回。乙船逆流而上，然后返回，经过2小时同时回到出发点，在这2小时中，有______小时甲、乙两船的航行方向相同。‎ ‎　　（上海市第五届小学数学竞赛初赛试题）‎ ‎　　讲析：关键是要理解上行与下行时间各占全部上下行总时间的百分之几。‎ ‎　　因为两船2小时同时返回，则两船航程相等。又上行船速是每小时行7‎ ‎　　例6 甲、乙两车分别从A、B两城同时相向而行，第一次在离A城‎30千米处相遇。相遇后两车又继续前行，分别到达对方城市后，又立即返回，在离A城‎42千米处第二次相遇。求A、B两城的距离。‎ 627‎ ‎　　（《小学生科普报》小学数学竞赛预选赛试题）‎ ‎　　讲析：如图5.32所示。两车第一次在C地相遇，第二次在D地相遇。‎ ‎　　甲、乙两车从开始到第一次C点相遇时，合起来行了一个全程。此时甲行了‎30千米，从第一次相遇到第二次D点相遇时，两车合起来行了两个全程。在这两个全程中，乙共行（30+42）千米，所以在合行一个全程中，乙行（30＋42）÷2=36（千米），即A、B两城的距离是30＋36=66（千米）。‎ ‎　　例8 甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点叫相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距‎100千米。那么A、B两地的距离等于____千米。‎ ‎　　（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ ‎　　讲析：根据甲、乙两车的速度比为3∶7，我们可将A、B两地平均分成10份（如图5.33）。‎ ‎　　因为甲、乙两车速度之比为3∶7，所以甲每走3份，乙就走了7份。于是它们第一次在a3处相遇。甲再走4.5份，乙走10.5份，在a7与a8之中点处甲被乙追上，这是第二次相遇；甲再又走1.5份，乙走3.5份，在a9点第三次两车相遇；甲走6份，乙走14份在a5点第四次两车相遇。‎ ‎　　‎ ‎（千米）。‎ ‎　　例9 在‎400米环形跑道上， A、B两点相距‎100米（如图5.34）。甲、乙两人分别从A、B两点同时按逆时针方向跑步。甲每秒跑‎5米，乙每秒跑‎4米，每人每跑‎100米，都要停10秒钟，那么，甲追上乙需要____秒钟。‎ ‎　　（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：各跑‎100米，甲比乙少用的时间是100÷4-100÷5=5（秒钟），现在甲要比乙多跑‎100米，需20秒钟。由20÷5=4（个百米），可知，乙跑‎400米以后，甲就比乙多跑‎100米。这样便刚好追上乙。‎ ‎　　甲跑完（400+100）米时，中途停了4次，共停40秒钟。故20×5+40=140（秒）。‎ ‎　　当乙跑完‎400米以后，停了10秒，甲刚好到达同一地点。所以，甲追上乙需要140秒钟。‎ ‎　　例10 甲、乙二人在同一条环形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二 第一次相遇点‎190米，问这条环形跑道长多少米？‎ ‎　　（全国第四届“华杯赛”复赛试题）‎ ‎　　讲析：图为甲、乙两人每跑到原出发点时，就返回头跑。于是，从出发点切开，然后将环形跑道拉直，这样，他俩就可以看作在AB线段上的往返跑步（如图5.35）。跑第一圈时，乙的速度与甲的速度的比是3∶2。当甲从 原速跑到A点。‎ ‎　‎ ‎　　‎ ‎（个）全程，即刚好到达D点。‎ ‎　　所以，在AD段中，甲、乙两人都是按各自的加速度相向而行。不难求得 ‎　　　‎ 627‎ ‎　　例11 图5.36，大圈是‎400米跑道，由A到B的跑道长是‎200米，直线距离是‎50米。父子俩同时从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到B点便沿直线跑，父亲每‎100米用20秒，儿子每‎100米用19秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲再相遇？‎ ‎　　（全国第二届“华杯赛”复赛试题）‎ ‎　　讲析：容易计算出，父亲经过150秒刚好跑完3小圈到达A点，儿子经过152秒刚好跑完2圈到达A点，儿子比父亲慢2秒钟，所以儿子将沿跑道追赶父亲。‎ ‎　　因为A到B弯道长‎200米，儿子每跑‎100米比父亲快一秒，可知恰好在B点追上父亲。‎ ‎　　即，儿子在跑第三圈时，会第一次与父亲相遇。‎ ‎　　例12 甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园。甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆大客车，它的速度是每小时48千米。这辆车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是____。‎ ‎　　（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）‎ ‎　　讲析：要使两个班在最短时间内到达，只有让两个班都同时运行且同时到达。‎ ‎　　设甲班先步行后乘车。甲班、乙班和客车的行进路线如图5.37所示。AB、CD分别表示甲班和乙班步行距离。‎ ‎　　当甲班从A地行至B地时，汽车共行了：AB+2·BC。‎ ‎　　又汽车速度是甲班的12倍，所以 ‎　　‎ ‎　　同理，当乙班从C地行至D地时，汽车共行了CD+2·BC。‎ ‎　　又，汽车速度是乙班的16倍，所以 627‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　AB∶CD=15∶11。‎ ‎　　即甲班与乙班需要步行的距离之比为15∶11。‎ ‎　　例13 王经理总是上午8点钟乘公司的汽车去上班。有一天，他6点40分就步行上班，而汽车仍按以前的时间从公司出发，去接经理，结果在路途中接到了他。因此，王经理这天比平时提前16分钟到达公司。那么汽车的速度是王经理步行速度的____倍。‎ ‎　　（《小学生科普报》小学数学奥林匹克通讯赛试题）‎ ‎　　讲析：如图5.38，A点表示王经理家，B点表示公司，C点表示汽车接王经理之处。‎ ‎　　王经理比平时提前16分钟到达公司，而这16分钟实际上是汽车少走了2·AC而剩下的时间，则汽车行AC路程需要8分钟，所以汽车到达C点接到王经理的时间是7点52分钟。‎ ‎　　王经理步行时间是从6点40分到7点52分，共行72分钟。‎ ‎　　因此，汽车速度是王经理步行速度的72÷8=9（倍）。‎ ‎【倍数问题】‎ ‎　　例1 仓库里有两个货位，第一货位上有78箱货物，第二货位上有42箱货物，两个货位上各运走了相同的箱数之后，第一货位上的箱数还比第二货位上的箱数多2倍。两个货位上各运走了多少箱货物？‎ ‎　　（1994年天津市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：因为两堆货物各运走相同数量的货物之后，第一堆比第二堆货物多2倍。即此时第一堆货物是第二堆货物的3倍。‎ ‎　　所以，42的3倍的积与78的差，就是两堆中各运走货物的箱数的2倍。故两个货位各运走的货物箱数是（42×3-78）÷2=24（箱）。‎ ‎　　例2 一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖。每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖奖金是每个三等奖奖金的2倍。如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元；如果评一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？‎ ‎　　（全国第二届“华杯赛”复赛试题）‎ 627‎ ‎　　讲析：我们可将二等奖和三等奖都换成一等奖。‎ ‎　　‎ ‎　　如果评1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖时，每个一等奖的奖金为：0‎ ‎　　‎ ‎　　例3 甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到20粒。如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的2倍。如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的3倍。那么，甲、乙两个小朋友共有糖____粒。‎ ‎　　（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）。‎ ‎　　讲析：甲给乙一定数量的糖之后，甲是乙的2倍。这说明甲乙两个糖数之和是3的倍数；同理，乙给甲一定数量的糖后，甲是乙的3倍，这说明甲乙两个糖数之和又是4的倍数。‎ ‎　　所以，甲、乙两人糖粒总数一定是12的倍数。‎ ‎　　又，每袋糖都不到20粒，所以甲乙两个糖数之和应为12、24、36中的一个数。‎ ‎　　经检验，当总糖数是24时，即甲为17粒、乙为7粒时，符合要求。即两个小明友共有糖24粒。‎ ‎　　例4 一小和二小有同样多的同学参加金杯赛。学校用汽车把学生送往考场。一小用的汽车，每车坐15人，二小用的汽车，每车坐13人，结果二小比一小要多派一辆汽车。后来每校各增加一个人参赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车。问最后两校共有多少人参加竞赛？‎ ‎　　（全国第一届“华杯赛”决赛试题）‎ ‎　　讲析：原来二小比一小多一辆车，各增加一人后，两校所需车一样多。由此可见，一小增一人就要增加一辆车，所以原来汽车恰好全部坐满，即原来一小人数是15的倍数。‎ ‎　　后来又增加1人，这时二小又要多派一辆车，所以在第二次增加人数之前，二小的车也恰好坐满。即人数是13的倍数。‎ ‎　　因此，原来每校参加的人数都是15的倍数。而加1之后，是13的倍数。‎ ‎　　即求15的某个倍数恰等于13的倍数减1。‎ ‎　　因为15×6=90，13×7=91，所以，两校各有92人参加竞赛。‎ ‎　　从而可知，两校共有184人参加竞赛。‎ 627‎ ‎【年龄问题】‎ ‎　　例1 小明今年5岁，爸爸的年龄是小明的7倍，再过多少年爸爸的年龄是小明年龄的3倍？‎ ‎　　（1993年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：可先求出当爸爸年龄是小明年龄的3倍时，小明的年龄是多少岁：‎ ‎　　（5×7-5）÷（3-1）=15（岁）。‎ ‎　　故，再过10年，爸爸的年龄是小明年龄的3倍。‎ ‎　　例2 今年祖父的年龄是小明年龄的6倍。几年后，祖父年龄是小明年龄的5倍。又过几年后，祖父年龄是小明年龄的4倍。问：祖父今年多少岁？‎ ‎　　（全国第二届“华杯赛”少年数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：因为今年祖父年龄是小明年龄的6倍。所以，年龄差是小明年龄的5倍，即一定是5的倍数。‎ ‎　　同理，又过几年后，祖父的年龄分别是小明年龄的5倍和4倍，可知年龄差也是4和3的倍数。而年龄差是不变的。‎ ‎　　由3、4、5的公倍数是60、120、……可知，60是比较合理的。所以，‎ ‎　　小明今年的年龄是60÷（6-1）=12（岁）；‎ ‎　　祖父今年的年龄是12×6=72（岁）。‎ ‎　　例3 1994年姐妹两人年龄之和是55岁。若干年前，当姐姐的年龄只有妹妹现在这么大时，妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半。姐姐是哪一年出生的？‎ ‎　　（长沙地区数学竞赛预选赛试题）‎ ‎　　讲析：设若干年前，妹妹的年龄为x岁，则现在妹妹为2x岁；姐姐在“若干年前”那一年的年龄也为2x岁，则姐姐现在的年龄为3x岁。‎ ‎　　由2x+3x=55，可知，x=11。‎ ‎　　所以，今年姐姐的年龄是3×11=33（岁）。‎ ‎　　故姐姐是1960年出生的。‎ ‎【时钟问题】‎ ‎　　例1 把一个时钟改装成一个玩具钟，使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈。开始时三针重合。问：在时针旋转一周的过程中，三针重合了几次？（不计起始和终止的位置）‎ 627‎ ‎　　（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）‎ ‎　　讲析：如图5.39，设时针和分针第一次在B点重合。从开始到重合，时针走了AB，而分针走了一圈后再又走AB。‎ ‎　‎ ‎　　　‎ ‎　‎ ‎　　　‎ ‎　　例2 7点____分的时候，分针落后于时针100°。‎ ‎　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：7点整时，分针落后于时针210°，时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°，依照追及问题有：‎ ‎　　（210-100）÷（6-0.5）=20（分钟）。‎ ‎　　故，在7点20分钟的时候，分针落后时针100°。‎ ‎【其他问题】‎ ‎　　例1如图5.40是一个围棋盘，还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满。‎ ‎　　问：这堆棋子原有多少枚？‎ ‎　　（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）‎ ‎　　讲析：把这堆棋子摆成正方形实心方阵，还多余12枚，若把这个正方阵每边各加一枚棋子时，其贴边加上的棋子为12+9=21（枚）。‎ 627‎ ‎　　所以，新方阵每边棋子数为（21+1）÷2=11（枚）。从而可知，原来这堆棋子共有11×11-9=112（枚）。‎ ‎　　例2 小玲从家去学校，如果每分钟走‎80米，结果比上课时间提前6分钟到校；如果每分钟走‎50米，则要迟到3分钟，小玲的家到学校的路程有多远？‎ ‎　　（西南地区小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：本题属于盈亏问题，提前6分钟和迟到3分钟，所相差的距离，是由于每分钟相差‎30米而造成的。‎ ‎　　∴（80×6+50×3）÷（80-50）=21（分钟）；‎ ‎　　80×（21-6）=1200（米）‎ ‎　　即小玲家到学校有‎1200米。‎ 627‎ ‎57、等积规律 ‎　　【三角形等积的基本规律】如果两个三角形的底相等，高也相等，那么，这两个三角形的面积相等。‎ ‎　　例如，在图1.32中，D是BC的中点（即BD=DC），则△ABD与△ACD的面积相等。（等底同高）‎ ‎　　【三角形等积规律推论】由三角形等积这一基本规律，可以推出下面几个结论。‎ ‎　　结论1 如果两个三角形有公共的底边，且这底边所对的顶点所在直线，与这底边平行，则这两个三角形面积相等。‎ 627‎ ‎　　例如，在图1.33中， A‎1A2的连线与BC平行，则△A1BC与△A2BC的面积相等。‎ ‎　　结论2 在两个三角形中，若相等的底在同一直线上，底所对的顶点在与底平行的另一同一直线上，则这两个三角形的面积相等。‎ ‎　　例如图1.34中的△A1B‎1C1与△A2B‎2C2，它们的底B‎1C1=B‎2C2，并且底同在直线B‎1C2上，顶点A1、A2的连线A‎1A2，与B‎1C2平行，那么△A1B‎1C1与△A2B‎2C2的面积便是相等的。‎ ‎　　结论3 如果一个三角形的一边被分成了n等分，并把这些等分点与顶点连结，那么这个三角形就被分成了n+1个等积的三角形。‎ ‎　　例如图1.35中，BC被点D1、D2、D3、D4、D5分成了六等分，则△ABC的面积也就被AD1、AD2、AD3、AD4、AD5也分 ‎　　成了六等分。即△ABD1、△AD1D2、△AD2D3、△AD3D4、△AD4D5、△‎ ‎　‎ ‎　　结论4 如果两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。‎ ‎　　例如，在图1.36中，△ABC的高AD，和△A払扖挼母逜扗捪嗟龋珺C=3B扖挘敲础鰽BC的面积，便是△A払扖挼拿婊—3倍。‎ 627‎ ‎58、等分图形 ‎　　【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。‎ ‎　　例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角形的边上）。已知左图（图4.11）中正方形面积为72平方厘米，求右图（4.12）中正方形的面积。‎ 627‎ ‎　　由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。等分后的情况见图4.13和图4.14。‎ ‎　　‎ 积是 ‎　　‎ ‎　　图4.12的正方形面积是 ‎　　　‎ ‎　　【均分局部】有些几何问题，整体的均分不太方便，或不能够办到，这时可以考虑把它的局部去均分，然后从整体上去观察，往往也能使问题获得解决。‎ ‎　　例如图4.15，在正方形ABCD中，画有甲、乙、丙三个小正方形。问：乙、丙面积之和与甲相比，哪一个大些？‎ ‎　　大家由前面的“均分整体”已经知道，像甲、乙这样的两个正方形，面积不是相等的。如图4.16，经过等分，正方形甲的面积等于△ABC面积的一半；正方形丙的面积等于△EDF的一半，正方形乙的面积等于梯形ACFE面积的一半。这样，一个大正方形ABCD，就划分成了三个局部：等腰直角△ABC；等腰梯形ACFE；等腰直角△EDF。其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半，而△EDF的面积加梯形ACFE的面积等于△ADC的面积，即等于△ABC的面积。所以，乙、丙面积之和等于甲的面积。‎ 627‎ ‎59、抽屉原理问题 ‎ 627‎ ‎　　例1 袋子里有红、黄、黑、白珠子各15粒，闭上眼睛要想摸出颜色相同的五粒珠子，至少要摸出______粒珠子，才能保证达到目的。‎ ‎　　（1992年福州市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：从最好的情况着手，则摸5粒刚好是同色的，但是不能保证做到。要保证5粒同色，必然从最坏情况着手。‎ ‎　　最坏情况是摸了16粒，这16粒珠子中没有一种是5粒同色，也就是说有4粒红色、4粒黄色、4粒黑色和4粒白色的。现在再去摸一粒，这一粒只能是四色之一。‎ ‎　　所以，至少要摸17粒。‎ ‎　　例2 在一个3×9的方格里，将每一格随意涂上黑色或白色，试说明不管怎样涂，至少有两列的着色是完全相同的。‎ ‎　　（“新苗杯”小学数学邀请赛试题）‎ ‎　　讲析：可用两种颜色涂每一列的三格，它共有8种情况，如图5.89所示。‎ ‎　　 ‎ ‎　　那么，剩下的一列不管怎样涂色，一定是上面8种中的一种。所以它至少有两列的着色是完全相同的。‎ ‎　　例3 把1、2、3、……、10这十个自然数以任意顺序排成一圈，试说明一定有相邻三个数之和不小于17。‎ ‎　　（乌鲁木齐市小学数学竞赛试题）‎ ‎　　讲析：因为1＋2＋3＋……＋10=55。这十个数不管怎样排列，按每相邻三个数相加，共分成了10组，每个数都加了3次。‎ ‎　　10组之和是165，平均每组为16，还余5。然后把5分成几个数再加到其中一组或几组中，则肯定有一组相邻三个数之和不小于17。‎ 627‎ ‎60、扩缩图形 ‎　　【扩图】 解题时，将几何图形扩大，有时候能使一时难以解决的问题变得非常简单。‎ ‎　　例如，图4.43是一个圆心角为45°的扇形，其中的直角三角形BOC的直角边为‎6厘米，求阴影部分的面积。‎ ‎　　本来，求阴影部分的面积，只要用扇形面积减去直角三角形面积就行了。但是同学们暂时还未学求扇形半径R的方法，怎么办呢？‎ ‎　　由扇形的圆心角为45°，我们不妨将其扩大一倍，如图4.44所示。由此图可以求出三角形DOB的面积为 ‎　　‎ 可知 ‎　　‎ 627‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　扩大后的阴影部分面积为 ‎　　56.52-72÷25=6.52-36‎ ‎　　=20.52（平方厘米）‎ ‎　　所以，原图所求的阴影部分的面积为 ‎　　20.52÷2=10.26（平方厘米）‎ ‎　　这是个将图形整体扩大的例子。可否只将图形的某一个局部扩大，来求得问题的解答呢？回答是肯定的。例如：‎ ‎　　如图4.45，图中的扇形半径为‎8厘米，圆心角为45°，求阴影部分的面积。‎ ‎　　当然，这道题也可以将整个图形扩大一倍，去寻找答案。不过，解题的关键是求出空白部分（三角形）的面积，我们不妨以‎8厘米为边长，作一个正方形，这正方形面积便是空白三角形面积的4倍（即只将局部三角形面积扩大4倍）。于是空白的三角形面积便是 ‎　　8×8÷4=16（平方厘米）‎ ‎　　所要求的阴影部分的面积便是　‎ ‎　　 ‎ 627‎ ‎　　【缩小研究对象】 有些图形从整体上研究，由于图形较为复杂，难以一下子解决问题，若根据图形特点，缩小研究范围，往往能较快地找到答案。‎ ‎　　例如，图4.46是一块黑白格子布，白色大正方形边长‎10厘米，白色小正方形边长‎4厘米。这块布的白色部分的面积占总面积的百分之几？‎ ‎　　图形令人眼花缭乱，增大了解题时的难度。不过，仔细一看，就可发现它由9块形状大小相同的图形组成，我们只要研究其中一个小图形（如图4.47）的白色图形占整个图形的百分之几，就足以解决问题了，所以，题目的解答可以是 ‎　　（10×10＋4×4）÷［（10＋4）×（10＋4）］‎ ‎　　=116÷196‎ ‎　　≈0.592=59.2％。‎ ‎　　又如，图4.48是一个对称图形。‎ ‎　　问：图中的黑色部分与阴影部分比较，是黑色部分的面积大，还是阴影部分的面积大？‎ ‎　　因它是个对称图形，可如图中虚线那样画两条直线，将它平分为四个部分。解题时，我们不必研究整个图形，只要研究它的四分之一就行了。‎ ‎　　‎ 627‎ 角扇形的面积。再由对称关系可知，图形中两个空白部分的大小是相等的，故用图中的上半部分减黑色部分所得的空白部分，等于下面半圆面积减“卵叶形”阴影部分所得的空白部分。在这一等式中，既然被减数和差都相等，那么减数（黑色部分和叶形阴影部分）也必定是相等的。于是可推出，整个图形的黑色部分和阴影部分的面积，也必定是相等的。‎ 627‎