小学数学精讲教案7_3_4 加乘原理之图论 教师版

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小学数学精讲教案7_3_4 加乘原理之图论 教师版

‎7-3-3加乘原理之图论 教学目标 ‎1.复习乘法原理和加法原理;‎ ‎2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力.‎ ‎3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法解决问题.‎ 在分类讨论中结合分步分析,在分步分析中结合分类讨论;教师应该明确并强调哪些是分类,哪些是分步.并了解与加、乘原理相关的常见题型:数论类问题、染色问题、图形组合.‎ 知识要点 一、加乘原理概念 生活中常有这样的情况:在做一件事时,有几类不同的方法,在具体做的时候,只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成,并且这几类方法是互不影响的.那么考虑完成这件事所有可能的做法,就要用到加法原理来解决.‎ 还有这样的一种情况:就是在做一件事时,要分几步才能完成,而在完成每一步时,又有几种不同的方法.要知道完成这件事情共有多少种方法,就要用到乘法原理来解决.‎ 二、加乘原理应用 应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点:‎ ‎⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和.‎ ‎⑵乘法原理是把一件事分几步完成,这几步缺一不可,所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积.‎ ‎⑶在很多题目中,加法原理和乘法原理都不是单独出现的,这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理,综合分析,正确作出分类和分步.‎ 加法原理运用的范围:完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决.我们可以简记为:“加法分类,类类独立”.‎ 乘法原理运用的范围:这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为:“乘法分步,步步相关”.‎ 例题精讲 【例 1】 ‎5条直线两两相交,没有两条直线平行,没有任何三条直线通过同一个点,以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形? ‎ ‎【考点】加乘原理之图论 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 方法一:5条直线一共形成个点,对于任何一个点,经过它有两条直线,每条直线上另外有3个点,此外还有三个不共线的点,以这个点为顶点的三角形就有个三角形,以10个点分别为定点的三角形一共有300个三角形,但每个三角形被重复计算3次,所以一共有100个三角形.‎ 方法二:只要三点不共线就能构成三角形,所以我们先求出10个点中取出3个点的种数,再减去3点共线的情况.这10个点是由5条直线互相相交得到的,在每条直线上都有4个点存在共线的情况,这4个点中任意三个都共线,所以一共有 个三点共线的情况,除此以外再也没有3点共线的情况(用反证法可证明之), 所以一共可以构成种情况.‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 如图,有这样的两条线,请问从这个点中任选三个点可以构成_____个不同的三角形.‎ ‎【考点】加乘原理之图论 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯,3年级,第4题 【解析】 只要三点不共线,就能构成三角形。个 ‎【答案】个 【例 2】 直线a,b上分别有5个点和4个点,以这些点为顶点可以画出多少个三角形? ‎ ‎【考点】加乘原理之图论 【难度】2星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】走美杯,4年级,决赛,第6题 【解析】 画三角形需要在一条线上找1个点,另一条线上找2个点,本题分为两种情况:‎ ‎⑴在线上找一个点,有5种选取法,在线上找两个点,有种 根据乘法原理,一共有:个三角形;‎ ‎⑵在线上找一个点,有4种选取法,在线上找两个点,有种 根据乘法原理,一共有:个三角形;‎ 根据加法原理,一共可以画出:个三角形.‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 直线a,b上分别有4个点和2个点,以这些点为顶点可以画出多少个三角形? ‎ ‎【考点】加乘原理之图论 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 画三角形需要在一条线上找1个点,另一条线上找2个点,本题分为两种情况:‎ ‎⑴在线上找一个点,有4种选取法,在线上找两个点,有1种,根据乘法原理,一共有: 个三角形;‎ ‎⑵在线上找一个点,有2种选取法,在线上找两个点,有种,根据乘法原理,一共有:个三角形;‎ 根据加法原理,一共可以画出:个三角形.‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 直线a,b上分别有5个点和4个点,以这些点为顶点可以画出多少个四边形? ‎ ‎【考点】加乘原理之图论 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 画四边形需要在每条线上取2个点, 在线上取2个点共有种, 在线上取2个点共有种, 根据乘法原理,一共可以画出个四边形.‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 三条平行线上分别有2,4,3个点(下图),已知在不同直线上的任意三个点都不共线.问:以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形? ‎ ‎【考点】加乘原理之图论 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎ (方法一)本题分三角形的三个顶点在两条直线上和三条直线上两种情况 ‎⑴三个顶点在两条直线上,‎ 一共有个 ‎⑵三个顶点在三条直线上,由于不同直线上的任意三个点都不共线,‎ 所以一共有:个 根据加法原理,一共可以画出个三角形.‎ ‎(方法二)个点任取三个点有种取法,其中三个点都在第二条直线上有种,都在第三条直线上有种,所以一共可以画出个三角形.‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 一个半圆周上共有12个点,直径上5个,圆周上7个,以这些点为顶点,可以画出多少个三角形?‎ ‎【考点】加乘原理之图论 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 第一类:三角形三个顶点都在圆周上,这样的三角形一共有种;‎ 第二类:三角形两个顶点在圆周上,这样的三角形一共有种;‎ 第三类:三角形一个顶点在圆周上,这样的三角形一共有种;‎ 根据加法原理,一共可以画出种.‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 在一个圆周上均匀分布10个点,以这些点为顶点,可以画出多少不同的钝角三角形?(补充知识:由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形,其中直径的边所对的角是直角,所以如果圆周上三点在同一段半圆周上,则这三点构成钝角三角形). ‎ ‎【考点】加乘原理之图论 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 由于10个点全在圆周上,所以这10个点没有三点共线,故只要在10个点中取3个点,就可以画出一个三角形,如果这三个点其中两点构成的线段小于直径,并且第三个点在被其余两点分割的较小的圆周上,则这三个点构成钝角三角形, 这样所有的钝角三角形可分为三类,第一类是长边端点之间仅相隔一个点,这样的三角形有个,第二类是长边端点之间相隔两个点,这样的三角形有个,第三类是长边端点之间相隔三个点,这样的三角形有个,所以一共可以画出个钝角三角形.‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内,使在任意相邻两个圆圈内数字之和都是不能被3整除的奇数,那么最多能找出 种不同的挑法来.(六个数字相同、排列次序不同的都算同一种) ‎ ‎【考点】加乘原理之图论 【难度】2星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】迎春杯,决赛 【解析】 显然任意两个相邻圆圈中的数只是一奇一偶,因此,应从2,4,6,8中选3个数填入3个不相邻的圆圈中,下面就按此分类列举:‎ ‎⑴填入2,4,6,这时3与9不能同时填入(否则总有一个与6相邻,或能被3整除),没有3,9的有1种:1,5,7,经试填,不成立;有3或9的,其它3个奇数1,7中选一个,5必选,有2种选法,因此有种.‎ ‎ ⑵填入2,4,8,这时1,7不能填入(因为,,,都能被3整除),从其余3个奇数中选出1个,有1种选法.‎ ‎⑶填入2,6,8,这时1,7不能填入,故无法填.‎ ‎⑷填入4,6,8,这时3与9只能任选一个,1与7也只能任选1个,第三个数是5,因而有种选法.‎ 根据加法原理,总共有种选法.‎ ‎【答案】‎
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