小学数学精讲教案5_5_6 中国剩余定理及余数性质拓展 教师版

小学数学精讲教案5_5_6 中国剩余定理及余数性质拓展 教师版

‎5-5-4‎‎.中国剩余定理 及余数性质拓展 教学目标 1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理 2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用 知识点拨 一、中国剩余定理——中国古代趣题 ‎（1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”‎ 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。‎ 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。 ‎ 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？‎ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 ‎ 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。‎ ‎ （2）趣题二 我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：‎ ‎“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”‎ 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：‎ 三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．‎ ‎ 五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．‎ ‎ 七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．‎ 除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．‎ 此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是，，‎ 为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？‎ 先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以‎70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理‎15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．‎ 了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．‎ 二、核心思想和方法 对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:‎ 今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？‎ 题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。‎ 先由，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以，很显然70除以3余1‎ 类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。‎ 最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：‎ ‎，其中k是自然数。‎ 也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。‎ 例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，‎ 那么我们可以计算得到所求 如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,‎ 我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。‎ 例题精讲 模块一、余数性质综合 【例 1】 一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则这个数除以15的余数是          。‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】1星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题 【解析】 除以3余的数有：2、5、8、11、14‎ 除以5余1的数有：1、6、11、16、21观察得到符合条件的答案是11‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 有一群猴子正要分56个桃子．每只猴子可以分到同样个数的桃子。这时．又窜来4只猴子。只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子．则最后每只猴子分到桃子___个。‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，六年级，初赛，第19题，6分 【解析】 ‎56的约数有：1、2、4、7、8、14、28、56,‎ ‎ 55的约数有：1、5、11、55，‎ 其中只有11=7+4，所以原来有7只猴，后来有11只猴，每只猴子分到55÷11=5个.‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到 个桃子。‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，四年级，复赛，第7题，4分 【解析】 ‎56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56，其中只有4和8相差4，所以最后有猴子8只，每只猴子分到56÷8＝7个桃子。‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除,所以[11、13]=143，所以这个数是143-3=140。‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学?‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第10题 【解析】 此题实际是一个不足100的整数，减去5能被8整除，即除以8余5，减去8能被5整除，即除以5余3，求其最大值。13除以8余5，除以5余3，8和5的最小公倍数为40，13＋2×40＝93，为满足条件的整数，即最多有93名同学。‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 ‎5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少____人。‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】小数报，初赛 【解析】 题意相当于：除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，这样我们根据总结知道都只能“凑缺”，所以都缺1，这样班级人数就是[3、4、5、6]-1=60-1=59人。‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，则这个数最小是 。‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第7题，10分 【解析】 这个数加1能同时被2，3，4，5，6整除，而 [2，3，4，5，6]=60 所以这个数最小是 60－1=59。‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 除以余，除以余，除以余，除以余，，除以余。最小为 。‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，5年级，决赛，第1题，8分 【解析】 加上后变成的公倍数，所以最小为，最小为。‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若1人拿3个动物小玩具，则最后余下2个动物小玩具；若1人拿4个动物小玩具，则最后余下3个动物小玩具；若1人拿5个动物小玩具，则最后余下4动物小玩具。那么这次活动中小朋友至少拿了______个动物小玩具。‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯，3年级，第9题 【解析】 那么再加一个玩具，玩具总数就能同时被整除，能同时被整除最小整数位。所以这次活动小朋友至少拿了个玩具。‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分成一组，则最后余下4人。那么一起做游戏的小朋友至少有 人。‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，四年级，复赛，第15题，6分 【解析】 这个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、4、5，3×4×5=60，那么小朋友至少59人 ‎【答案】‎ 【例 2】 一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6后能被7，8，9整除，而 ‎，所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被被7，8，9除的三个商数的和是，而 ‎，，‎ 所以这个数加上6等于504的3倍，这个数是．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5．问：具有这种性质的三位数还有几个？‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎[1，2，3，4，5，6]．三位数中60的倍数15个．所以，除了119外，还有（个）．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本．那么这批图书共有　　本．‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，六年级，初赛，3题 【解析】 由题意可知，这批书如果再多本，那么按本，本，本一捆全书时，都将恰好分成整数本.所以这批书的本数加上之后是，，的公倍数，而，所以这批书的本数是(是整数).由于这批书少于本，所以只能为，这批书有本.‎ ‎【答案】本 【例 2】 某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是 。‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，五年级，初赛，第5题，6分 【解析】 除以2余1，除以4余1，除以5余1的最小的数减去1能被2、4、5整除，所以，所以这个数可以表示为20n+1,n是自然数，所以20n+1中除以3余2的最小数是41.‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数．而，所以这个数最小为．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 法一：仔细分析可以发现，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于，所以这个数最小是．‎ 法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数．‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 是一个三位数.它的百位数字是4，能被7整除，能被9整除，问是多少？ ‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 能被7整除，说明能被7整除；能被9整除，说明能被9整除；，则符合上述两个条件.(因，则可以写成这样的形式：).又是一个百位数字是4的三位数，估算知，.‎ ‎【答案】‎ 【例 5】 一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。‎ ‎【考点】余数性质综合 【难度】4星 【题型】填空 ‎ ‎【关键词】101中学，入学测试 ‎ 【解析】 设后面这个两位数为ab，前面数字和为26除以3余2，所以补上的两位数数字和要除以3余2。同理要满足除以4余2；八位数中奇数位数字和为（2+7+3+a）,偶数位数字和为（5+6+3+b）这样要求a=b+2，所以满足条件的只有86。‎ ‎【答案】‎ 模块二、中国剩余定理 【例 2】 ‎“民间流传着一则故事——‘韩信点兵’．秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人．忽有后军来报，说有楚军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌．他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名．韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．”根据故事中的条件，你能算出韩信有多少将士么？ ‎ ‎【考点】中国剩余定理 【难度】3星 【题型】解答 【分析】 也就是说：一个自然数在1000和1100之间，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的数．‎ 方法一：先列出除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，； ‎ 再列出除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，．‎ 这两列数中，首先出现的公共数是8． 3与5的最小公倍数是15．两个条件合并成一个就是整数，列出这一串数是8，23，38，，再列出除以7余2的数2，9，16，23，30，，就得出符合题目条件的最小数是23．而[3，5，7]，我们就把题目转化为：求之间被105除余23的数．韩信有（个）将士．‎ 方法二：我们先找出被3除余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44；‎ 被5除余3的数：3，8，13，18，23，28，33，38，43，48，53，58；‎ 被7除余2的数：2，9，16，23，32，37，44，51．‎ 三个条件都符合的最小的数是23，以后的是一次加上3，5，7的公倍数，直到加到1000和1100之间．结果是．具体到实际的做题过程中时，从较大的除数开始做会方便一些．‎ 方法三：利用程大位的解法，将题目转化为：求233加上105的倍数在之间的数．通过尝试可以求出这个数是．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数____.　‎ ‎【考点】中国剩余定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一、根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以我们只能用最普遍的“中国剩余定理”：‎ ‎ 3、5的公倍数 3、7的公倍数 5、7的公倍数 ‎ 15 21 35‎ ‎ 30 42 70‎ ‎ 45 63 105‎ ‎ 60 84 140‎ ‎ … … …‎ ‎ 找出除以7余4的 除以5余3 除以3余2‎ 可以找出分别是：60 63 35‎ ‎ 可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为：158-105=53。 ‎ 方法二：逐步构造符合条件的最小自然数，‎ 首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用7的倍数加4，当4被加上两个7时得到18，恰好除以5余3，此时符合后两个条件；‎ 再依次用7和5的最小公倍数的倍数加18，当18被加上1个35个，得到53，检验符合三个条件．所以所求的最小自然数就是53.‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．‎ ‎【考点】中国剩余定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法1：中国剩余定理 ‎ 3、5的公倍数 3、7的公倍数 5、7的公倍数 ‎ 15 21 35‎ ‎ 30 42 70‎ ‎ 45 63 105‎ ‎ 60 84 140‎ ‎ … … …‎ ‎ 找出除以7余3的 除以5余2 除以3余1‎ 可以找出分别是：45 42 70‎ ‎ 可见45+42+70=157满足我们的条件，但不是1000到1200之间的数，处理方法就是加上最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为：。 ‎ 方法2：我们先找出被3除余1的数：‎ ‎1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，…；‎ 被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，…；‎ 被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，…；‎ 三个条件都符合的最小的数是52，其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和 ‎1200之间．结果是．‎ 方法3：先列出除以3余1的数：1，4，7，10，13，16，…；‎ 再列出除以5余2的数：2，7，12，17，22，27，…；‎ 这两列数中，首先出现的公共数是7．3与5的最小公倍数是15．两个条件合并成一个就是 整数，列出这一串数是7，22，37，52，…；再列出除以7余3的数：‎ ‎3，10，17，24，31，38，45，52，…；就得出符合题目条件的最小数是52．事实上，我 们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52．那么这个数在1000和1200之间，应该是 ‎．‎ 方法4：设这个自然数为，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余，被5除与，所以满足前面两个条件的 (为自然数)，只需除以7余3，即除以7余3，而，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为，其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间．结果是．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数． ‎ ‎【考点】中国剩余定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 法一：将3、5、7、11这4个数3个3个一起分别计算公倍数，如表：‎ ‎3、5、7的公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，所以 被11除余5，由此可知是符合条件的一个值，但不是最小值，还需要减去3、5、7、11的公倍数使得它小于它们的最小公倍数．由于3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以是符合条件的最小值．‎ 法二：对于这种题目，也可以先求满足其中3个余数条件的，比如先求满足除以3、5、7的余数分别是2、3、4的，既可采用中国剩余定理，得到是满足前3个余数条件的，从而其中最小的是；由于53除以11的余数为9，105除以11的余数为6，可知除以11的余数为5，所以是满足条件的最小数．也可以直接观察发现这个数乘以2之后除以3、5、7的余数分别是4、6、8，也就是除以3、5、7的余数都是1，所以满足前三个条件的数最小为，后面的步骤与上面的解法相同．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 有连续的三个自然数、、，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？‎ ‎【考点】中国剩余定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 法一：‎ 由是8的倍数，得到被8除余7，由是7的倍数，得到被7除余5，现在相当于一个数除以9余0，除以8余7，除以7余5.运用中国剩余定理求 (用逐步满足的方法也可以)‎ ‎7和8的公倍数中除以9余1的最小为280；7和9的公倍数中除以8余1的最小是441；8和9的公倍数中除以7余1的最小是288，根据中国剩余定理，‎ 符合各个余数条件，但4527不是最小的，还需要减去7、8、9的公倍数，可知是满足各个余数条件的最小值，所以至少是495．‎ 法二：‎ 仔细观察，可知由于、、恰好分别是9、8、7的倍数，那么、、也分别是9、8、7的倍数，即是9、8、7的公倍数，那么的最小值是，即至少是．‎ ‎【答案】‎ 模块三、余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【例 2】 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？‎ ‎【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】首师大附中，分班考试 【解析】 方法一：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23，…；‎ 它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，…；‎ 除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，…；‎ 它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，…；‎ 一个数除以12的余数是唯一的．上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5．‎ 方法二：一个数，除以3余2，除以4余1，可以理解为除以3余，除以4余，所以这个数减去5后，既能被3整除，又能被4整除，设这个数为，则，(m为自然数)所以这个数除以12余5‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗? ‎ ‎【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛 【解析】 设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号 ‎ 为2，3，4，…，B孔的编号就是圆圈上的孔数．‎ 我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1，4，7，10，…上，也就是说， 小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意，小明最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1．‎ 同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数．‎ 如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就等于孔数，设孔数为，则（为非零自然数）而且能被7整除．注意15被7除余1，所以被7除余6，15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出，15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除，而已经大于100．7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 三个连续三位数的和能够被13整除，且这三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的三位数中最小的数最大是 。‎ ‎【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯，6年级 【解析】 设中间数是，三个连续自然数的和是中间数的3倍即，由13|得13|，所以中间数能被13整除，而其中最大的数被9除余4，说明中间数被9除余3，从1000往下试能被13整除的数为988，975，…，975符合两个条件。所以符合条件的三位数中的最小的数的最大是975-1=974.‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是 ．‎ ‎【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，六年级，二试，第6题，5分 【解析】 符合第一、第三条条件的最少人数为3×7+1=22人，经检验，22也符合第二个条件，所以22也是符合三个条件的最小值，但该小学有一百多名学生，所以学生总人数为22+3×5×7=127。‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是（ ）人。‎ ‎【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛决赛第6题，10分 【解析】 根据条件，该数除以3余1，除以5余2，除以7余1，逐级满足法，令该数为a，‎ 则a÷3….1 ①‎ a÷5….2 ②‎ a÷7….1 ③‎ 符合条件①的有1，4，7，10，13，16….‎ 符合条件②的有2，7，12….‎ 同时满足①、②的最小值为7，以后a=7+‎15m均满足①、②；‎ 现在来看（7+‎15m）÷7….1，则‎15m÷7…..1，则m最小取1，符合，最小的符合的数为a=22。‎ 以后每隔 即符合。该年级有100多名学生，为22+1-5=127。‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是 ．‎ ‎【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯，6年级，1试，第3题 【解析】 本题看起来是一个关于整除或约数、倍数的题，但实际上不大用得上被4、7、9整除的数的特征或者约数、倍数的一些性质，而如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础，比如以中间的那个数为基础，那么另外的两个数分别为这个数减1和这个数加1，那么题目变为：一个数除以4余1，除以9余8，且能被7整除，且这个数的最小可能值．这是一个余数问题，我们可以采用逐步满足法，也可以采用中国剩余定理来解．‎ 方法一：逐步满足法．‎ 除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，；‎ 除以9余8的数有：8，17，26，．‎ 可见同时满足这两条的数最小为17，由于，‎ 那么满足除以4余1且除以9余8的数有：17，53，89，125，161，197……‎ 其中能被7整除的数最小为161，所以所求的3个连续自然数的中间的那个数最小为161，那么它们的和最小为．‎ 方法二：代数表示法．‎ 根据题意，设这三个数分别为、、（是整数），那么是4的倍数，是9的倍数，由于，，所以是4的倍数，是9的倍数，由是4的倍数知是8的倍数，设，那么，所以是8的倍数，最小为5，相应地最小为23，那么这三个自然数的和最小为．‎ 小结：本题并不难，以上四种解法中法1、法2是同余问题的解法，尤其是法2，是对中国剩余定理的典型应用，需要学生掌握．而法3、法4则是采用代数方法来解，法3的关键在于列出方程后要将三个未知数中的两个都用另一个未知数来表示，再对这一个未知数进行确定，法4则是采用代数变形和同余定理来逐步缩小可能的范围．可以看出，法3和法4中都有逐步满足的思想．‎ 方法三：用不定方程来解．‎ 设这三个数分别为，，，那么．‎ 由⑴得，所以是整数，为3，7，11，15，19，23，；‎ 由⑵得，所以是整数，为5，14，23，32，．‎ 可见最小为23，那么所求的三个自然数的和最小为．‎ 方法四：中国剩余定理．‎ 一个数除以4余1，除以9余8，除以7余0，由于能被4、9整除且除以7余1的数最小为36，能被4、7整除且除以9余1的数最小为28，能被7、9整除且除以4余1的数最小为，根据中国剩余定理，满足除以4余1，除以9余8，除以7余0，而，所以是满足条件的最小数，那么所求的三个自然数的和最小为．‎ 以上是采用余数问题的方法来解，本题也可以采用不定方程和数的代数表示法来解．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？‎ ‎【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 先找出两个连续自然数，第一个被3整除，第二个被7整除．例如，找出6和7，下一个连续自然数是8．3和7的最小公倍数是21，考虑8加上21的整数倍，使加得的数能被13整除．‎ ‎，能被13整除，那么258，259，260这三个连续自然数，依次分别能被3，7，13整除，又恰好在200至300之间．由于3，7，13的最小公倍数为273，所以在200至300之间只有258，259，260这三个数满足条件．‎ ‎【答案】258，259，260‎ 【例 1】 有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．‎ ‎【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为，．依题意可知：，，，根据整除的性质对这三个算式进行变换：‎ 从上面可以发现应为15、17、‎ ‎19的公倍数．由于，所以 (因为是奇数)，‎ 可得．当时，，，所以其中的一组自然数为 ‎2430、2431、2432．‎ ‎【答案】2430、2431、2432‎