小学数学精讲教案1_3_6 公式运用 教师版

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小学数学精讲教案1_3_6 公式运用 教师版

公式法计算 知识点拨 一、常用公式 1. ‎;‎ 2. ‎;‎ 3. ‎;‎ 4. ‎;‎ 5. 等比数列求和公式:();‎ 6. 平方差公式:;‎ 7. 完全平方公式:,;‎ 用文字表述为:两数和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的倍,两条公式也可以合写在一起:.为便于记忆,可形象的叙述为:“首平方,尾平方,倍乘积在中央”.‎ 二、常用技巧 1. ‎;‎ 2. ‎;‎ 3. ‎,,,‎ ‎ ,,;‎ 4. ‎,其中.‎ 例题精讲 一、前项和 【例 1】 ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 ‎【答案】‎ 【巩固】 ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【例 1】 计算:‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 计算:‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 计算:___________.‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 与公式相比,缺少偶数项,所以可以先补上偶数项.‎ 原式 ‎【答案】‎ 【例 3】 计算:‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【例 1】 计算: 。‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】西城实验 【解析】 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ 其中也可以直接根据公式得出 ‎【答案】‎ 【例 2】 计算:‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 分拆 (),()再用公式 原式 ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 对自然数和,规定,例如,那么:‎ ‎⑴ ______________;‎ ‎⑵ ______________.‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ‎⑴ 原式 ‎⑵ 原式 ‎【答案】⑴ ⑵‎ 【巩固】 看规律 ,,……,试求 ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 ‎【关键词】人大附中 【解析】 原式 ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 计算: ‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 法一:利用等比数列求和公式。‎ 原式 法二:错位相减法.‎ 设 则,,整理可得.‎ 法三:本题与例3相比,式子中各项都是成等比数列,但是例3中的分子为3,与公比4差1, 所以可以采用“借来还去”的方法,本题如果也要采用“借来还去”的方法,需要将每一项 的分子变得也都与公比差1.由于公比为3,要把分子变为2,可以先将每一项都乘以2进行算,最后再将所得的结果除以2即得到原式的值.‎ 由题设,,则运用“借来还去”的方法可得到,‎ ‎ 整理得到.‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 计算的值。(已知,,,,,,,)‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 注意到式子的特点是从第一个加数开始,每一个加数比前一个加数的指数减少,的指数增加.所以每一个加数是前一个加数的倍,如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为的等比数列,于是按照错位减法进行运算即可。 记,‎ ‎ ‎ ‎ ,那么,即原式的值为.‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 ‎ .‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】浙江省,小学数学活动课夏令营 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【解析】 计算: .‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【解析】 ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【例 1】 计算:‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 设算式的值为,那么,‎ ‎    ,‎ ‎    即,‎ 故,则,‎ 所以,‎ ‎.‎ ‎【答案】‎ 二、平方差与完全平方公式 【例 2】 ‎⑴________;‎ ‎ ⑵________.‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】浙江省,小学数学活动课夏令营 【解析】 ‎⑴ 观察可知31415925和31415927都与31415926相差1,设,‎ 原式 ‎⑵ 原式 ‎【答案】⑴ ⑵‎ 【巩固】 ‎ ‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯,3年级,初赛 【解析】 方法一:原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 方法二:原式 ‎【答案】‎ 【巩固】 ‎ ‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯,3年级,初赛 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【巩固】 计算:= 。‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯,6年级,决赛 【解析】 题目分析:答案为100000。记原式为X,则 ‎10X=314×314+628×686+686×686‎ ‎=3142+2×314×686+6862‎ ‎=(314+686)2=1000000,所以,X=100000。‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 有一串数,,,,,……它们是按一定规律排列的,那么其中第个数与第个数相差多少?‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 这串数中第个数是,而第个数是,它们相差 ‎【答案】‎ 【巩固】 代表任意数字,若,这个公式在数学上称为平方差公式.根据公式,你来巧算下列各题吧. ‎ ‎⑴   ⑵   ⑶   ⑷‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 这个公式可以给我们的计算带来很多便利,在以后的奥数学习中会经常遇到,同学们最好记住哦.我们就依据公式来进行下面的计算:‎ ‎⑴‎ ‎⑵‎ ‎⑶‎ ‎⑷‎ ‎【答案】⑴ ⑵ ⑶ ⑷‎ 【例 1】 计算: .‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯,中年级组,决赛 【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和,也可以采用平方差公式.‎ ‎ 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中可以直接计算,但如果项数较多,应采用公式 ‎ 进行计算.‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 ‎ .‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯,初赛 【解析】 原式 ‎ ‎ ‎【答案】‎ 三、公式综合运用 【例 3】 计算: .‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】仁华学校 【解析】 观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列,被乘数依次为1,3,5,……,99,乘数依次为4,7,10,……,151,根据等差数列的相关知识,被乘数可以表示为,乘数可以表示为,所以通项公式为.所以,‎ 原式 另解:如果不进行通项归纳,由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等,可以先将这个差变为相等再进行计算.‎ 原式 而和都是我们非常熟悉的.‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以原式 小结:从上面的计算过程中可以看出,,而,‎ 所以有 ‎【答案】‎ 【例 1】 计算: .‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ‎,‎ 所以,‎ ‎,‎ 所以原式 ‎【答案】‎ 【例 2】 计算:‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算 ‎【关键词】北京二中,入学测试 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【巩固】 计算 ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这个题目重新整理得:‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 计算:.‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 做这道题的时候,可能有些以前记住了20以内平方数的同学就高兴了,但是其实并不需要,大家看,利用平方差公式:,,,.‎ 于是,原式 ‎【答案】‎ 【例 1】 ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【例 2】 计算: .‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【巩固】 计算: .‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的,可以采用平方差公式.‎ ‎ 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯,4年级 【解析】 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 计算:‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【巩固】 计算: .‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【例 2】 计算:‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 计算:‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 ‎【答案】‎
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