人教版六年级上册数学第八单元数学广角—数与形PPT

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运用数形结合发现规律 数学广 角 — 数 与形 8 先计算出结果，再说一说你发现了什么？ 1 ＋ 3 ＝ ( ) 4 1 ＋ 3 ＋ 5 ＝ ( ) 9 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＝ ( ) 16 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9 ＋ … ＋ 21=( ) 100 连续的 奇数 相加 1=( ) 2 1+3=( ) 2 1+3+5=( ) 2 1 2 3 每列或每行都有 2 个小正方形 每列或每行都有 3 个小正方形 有 1 个小正方形 观察一下，下面的图和对应的算式有什么关系？把算式补充完整。 1=( ) 2 1+3=( ) 2 1 2 3 我发现，算式左边的加数是大正方形左上角的小正方形和其他“ L” 形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。 1+3+5=( ) 2 用自己的话说说，你发现的规律是什么？ 1=( ) 2 1+3=( ) 2 1 2 3 1+3+5=( ) 2 我发现，从 1 开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。 1 3 3 1 5 3 1 5 7 + + + + + + 2 ×2 3 ×3 4 ×4 = = = 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19= 10 个连续的奇数相加 = 100 = 9 = 4 = 16 = 3 2 = 2 2 = 4 2 10 2 从 1 开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。 每一个图形的个数正好等于从右上角加上其它 L 形图中所包含的个数。 图形 数形结合 算式 图形 和 算式 有什么关系？ 同桌交流：说一说你的发现，并用自己的语言解释规律。 只要是 1 开始 ， 连续的奇数相加 ，就能排成 每行 、 每列 个数是几的大正方形， 和 也就是 几的平方 。 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＝（ ） 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9 ＋ 11 ＋ 13 ＝（ ） 你能利用规律直接写一写吗？ 4 7 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9 ＋ 11 ＋ 13 ＋ 15 ＋ 17 ＝ 9 2 2 2 1 3 5 7 4 2 9 11 13 5 2 6 2 7 2 15 8 2 17 9 2 下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？ 红： 蓝： 1 8 2 10 3 12 4 14 +1 +2 +1 +2 +1 +2 红色 正方形个数形成了 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … 的数列， 蓝色 正方形个数形成了 8 ， 10 ， 12 ， 14 ， … 的数列。 中间每增加 1 个红色 正方形，上下都必须增加 2 个蓝色 正方形。 后一个图都比前一个图增加 1 个红色 小正方形和 2 个蓝色 小正方形。 你能根据例 1 的结论算一算。 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9 ＋ 11 ＋ 13 ＋ 11 ＋ 9 ＋ 7 ＋ 5 ＋ 3 ＋ 1 = ＋ = 85 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 5 ＋ 3 ＋ 1 ＝（ ） 25 可以看成两部分： 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＝ 4 2 5 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 3 2 4 2 ＋ 3 2 ＝ 25 7 2 6 2 7 2 6 2 下面每个图中最外圈有多少个小正方形？ 照这样画下去，第 5 个图形最外圈有（ ）个小正方形。 40 3 － 1 ＝ 8 2 5 － 3 ＝ 16 2 2 7 － 5 ＝ 24 2 2 11 － 9 ＝ 40 2 2 这节课你们都学会了哪些知识？ 1. 把图形与算式结合起来，是发现规律的关键。 2. 从 1 开始 的 连续 几个 奇数的和 与 正方形数 的关系，即有几个连续奇数相加， 每边小正方形个数就是几的平方 。 运用数形结合计算 数学广角 — 数与形 8 ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ 算一算。 ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ? ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ 你能发现什么规律？ 每个算式从第二个数开始，每个数是前一个数的 。 分子都是 1 ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ 得数＝ 1- 最后一个加数 试着计算，看看刚才的结论对不对。 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ … ＝ ? …… 一个一个加下去，我发现，等号右边的分数越来越接近于 1 。 按顺序计算结果 ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 画图探索规律 方法一 用一个圆表示“ 1 ” ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ 画图探索规律 方法一 … … 1 2 ＋ 1 4 ＋ 1 8 ＋ 16 1 ＋ 32 1 ＋ 64 1 ＋ = 1 2 ＋ 1 4 ＋ 1 8 ＋ 16 1 ＋ 32 1 ＋ 64 1 = 1 2 ＋ 1 4 ＋ 1 8 ＋ 16 1 = 1 2 ＋ 1 4 ＋ 1 8 ＋ 16 1 ＋ 32 1 = 返回 2 1 4 1 16 1 8 1 … 32 1 8 7 4 3 16 15 32 31 64 63 128 127 从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是 1 。 1 2 ＋ 1 4 ＋ 1 8 ＋ 16 1 ＋ 32 1 ＋ 64 1 ＋ … = 1 1 2 ＋ ＝ 1 4 3 4 1 2 1 4 3 4 3 4 ＋ ＝ 1 8 7 8 7 8 1 8 7 8 ＋ ＝ 16 1 16 15 16 1 32 1 16 15 32 1 16 15 ＋ ＝ 32 31 32 31 64 63 128 127 … … 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com 方法二 用一条线段表示“ 1 ” 1 2 ＋ 1 4 ＋ 1 8 ＋ 16 1 ＋ 32 1 ＋ 64 1 ＋ … = 1 你能用所学知识解决下列问题吗？ 1 2 3 ＋ ＝ 2 9 8 9 8 9 ＋ ＝ 27 2 27 26 81 2 27 26 ＋ ＝ 81 80 …… 2 3 2 27 2 9 2 81 … ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 所以原式的结果是 1 找规律填空 2 2 2 2 2 2 4 2 ( ) 8 2 16 64 ( ) 2 8 16 从上到下外围数字都是 2 ，内部数字都是它的左上角与右上角两个数字的积。 8×2=16 2×4=8 1 2 - 1 4 - 1 8 - 16 1 - 32 1 - 64 1 = 1 2 - 1 4 - 1 8 - 16 1 - 32 1 - 64 1 - … = 0 1- 64 1 1- 计算 用小棒按下面的方法摆图形 … 三角形个数： 小棒根数： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 3 5 7 9 用小棒按下面的方法摆图形 … （ 1 ）拼成的三角形的个数与所用的小棒根数之间有什么关系？ 所用小棒根数等于三角形个数的 2 倍加 1 三角形个数： 小棒根数： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 3 5 7 9 用小棒按下面的方法摆图形 … （ 2 ）第 10 个图形用了多少根小棒？ 10×2 ＋ 1=21 （根） 答：第 10 个图形用了 21 根小棒。 所用小棒根数等于三角形个数的 2 倍加 1 请将一根绳子沿中间对折，再沿对折的绳子中间再对折，这样连续对折 5 次，最后用剪刀沿对折 5 次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成多少段？ 答：对折 1 次，将绳子中间剪断，绳子被剪成 3 段；对折 2 次，沿绳子中间剪断，绳子被剪成 5 段……依次类推，对折 5 次后，沿绳子中间剪断，绳子被剪成了 33 段。 这节课你们都学会了哪些知识？ 数与形有着紧密的联系，在一定条件下可以 相互转化 。当用数形结合的方法解决问题时，使许多问题的解决变得很简单。 练习二十二 数学广角 - 数与形 8 数形结合思想 是学习数学的一种重要 思想，运用数形结合的方法，探究数 学规律，可以使数学问题解决起来更 简单。 数与形 跟踪训练 照这样画下去，第 50 个图形有（ ）个这样的小黑点。 2500 第几个图形，小黑点的个数就是几的平方 ，即第 50 个图形，就有 2500 个小黑点。 跟踪训练 看下列图形，把算式补充完整，再计算出后面算式的结果。 （ ） ＋ ＋ ＋ ＋ … ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ 得数＝ 1- 最后一个加数 请你根据上面图形与数的规律接着画一画，填一填。 15 21 28 如果不画，这样排列下去，第 10 个数是多少？ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4…… ＋ 10 ＝ 10× （ 10 ＋ 1 ） ÷2 ＝ 10×11÷2 ＝ 110÷2 ＝ 55 1 3 6 10 下面每个三角形都是由多少个小三角形组成的？如果小三角形的边长是 1 ，每个三角形图的周长分别是多少？，每个三角形包含小三角形的个数与这个三角形图的周长之间有什么样的关系？ 1 4 9 16 3 6 9 12 小三角形的个数＝（周长 ÷3 ） ² 三角形个数 周长 一条马路长 200 米，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发。当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已到达马路的终点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑回终点，到达终点以后再与小亮相向而行 …… 直到小亮到达终点。小狗从出发开始，一共跑了多少米？ 由题意可知，小狗的速度等于小亮速度的 2 倍。 小狗的时间等于小亮走路的时间。 所以小狗跑的路程等于小亮走的路程的 2 倍。 答：小狗一共跑了 400 米。 起点 终点 200×2 ＝ 400 （米） 小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家 800m 远的公园健身中心，用时 20 分钟。妈妈到了健身中心直接返回家里，还是用了 20 分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了 10 分钟。然后，小兰跑步回到家中，用了 5 分钟，而爸爸是走回家中，用了 15 分钟。下面几个图哪个是描述妈妈离家时间和离家距离的关系？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？ 小兰 妈妈 爸爸 （ 1 ）求渔政船从港口出发赶往黄岩岛的速度。 150 ÷（ -8 ） =45 （海里 / 时） 答：渔政船从港口出发赶往黄岩岛的速度是 45 海里 / 时。 黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富。一天，某渔船离开港口前往这个海域捕鱼。捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航，渔政船接到报告后，立即从此港口出发赶往黄岩岛。渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的关系如图所示。（假设渔船与渔政船沿同一航线航行） 黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富。一天，某渔船离开港口前往这个海域捕鱼。捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航，渔政船接到报告后，立即从此港口出发赶往黄岩岛。渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的关系如图所示。（假设渔船与渔政船沿同一航线航行） （ 2 ）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离。 渔船的速度： 150 ÷（ 13-8 ） =30 （海里 / 时） 相遇时间： 150 ÷（ 45+30 ） =2 （小时） 两船与黄岩岛的距离： 30 × 2=60 （海里） 答：相遇时，两船与黄岩岛的距离是 60 海里。 答：小刚一共下了 2 盘，分别和小林、小强。 小刚 小林 小强 小芳 小兵 2 4 3 1 2 小林、小强、小芳、小兵和小刚 5 人进行象棋 比赛，每 2 人之间都要下一盘。小林已经下了 4 盘，小强下了 3 盘，小芳下了 2 盘，小兵下了 1 盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？ 用连线的方法试试 我国宋代数学家杨辉在公元 1261 年撰写了 《 详解九章算法 》 ，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。你能发现右面“杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形表继续写下去吗？试试看。 1 6 15 20 15 6 1 都是 1 。 具有 对称性 （对称美），与首末两端“等距离 ”的两个数相等。 + + + + + + + + + + 你能利用下面的图发现（ a ＋ b ） ² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b² 这一公式吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。 大正方形的面积： （ a ＋ b ） ² （ a ＋ b ） ² ＝ a² ＋ ab ＋ ab ＋ b² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b² a a b b a² ab ab b² 数形思想解决问题的方法： 把图形性质问题 转化 为数量关系问题或把数量关系问题转化为图形性质问题，可使复杂问题 简单化 ，抽象问题具体化。 这节课你们都学会了哪些知识？