六年级下册数学试题-奥数：数论之分解质因数、完全平方数、约数倍数

六年级下册数学试题-奥数：数论之分解质因数、完全平方数、约数倍数

第五讲数论之分解质因数、完全平方数、约数倍数教学目标数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视。本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.　　二十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地连续报数.如果报2和200的是同一个人，共有——个小朋友?分析：小朋友的人数应是(200－2)=198的约数，而198=2×3×3×11，约数中只有2×11=22符合题意.　　想挑战吗　？你还记得吗？【例1】一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？分析：5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。［点评］现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手【例2】11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？分析：因为343=73，则可知，在11个连续的两位数种，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98。又因为乘积的末4位都是0，就是说这连续的11个自然数应该“含有”4个5。连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75。综上所述，这11个数是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50。所以它们的平均数即为它们的中间项45。 专题精讲专题一平方数【例1】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？分析：设这两个完全平方数分别为A、B那么这两个完全平方数的差为54=（A+B）（A－B），由于（A+B）和（A－B）的奇偶性质相同，所以（A+B）（A－B）不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.[拓展]（清华附中入学测试题）一个数加上10，减去10都是一个平方数，求这个数？分析：B-A=20，B-A=（A+B）（B－A）=20，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，所以只能拆成2×10，这样A+B=10，B－A=2，所以A=4，B=6，所以这个数为26。【例2】中学招生人数是一个平方数，14年由于信息发布及时，14年的招生人数比13年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？分析：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A，04年的为B，从中我们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，所以［拓展］一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？分析：A-B=（A+B）（A-B）=37=37×1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为424。【例3】小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的的学生人数有多少人？请写出最现实的答案.分析：五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为A，一二年级的学生人数为B，则153=（A+B）（A-B），而153=3×3×17，所以，（A+B）和（A-B）的可能值为153和1；17和9；51和3，有这三个答案得到的A和B的值分别为：77和76，13和4，27和24，显然前两组答案荒谬之极，所以A=27，B=24最为现实.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576人，三四年级的学生人数为676，学校的总人数为729+576+676=1981人. 专题二分解质因数【例1】将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数，已知这两个三位数的乘积等于55872，那么，这两个三位数的和为多少？分析：55872=2×2×2×2×2×2×3×3×97，这两个三位数中有一个一定是97的倍数，且这两个三位数不会超过600，否则另一个数就不可能是三位数，而如果其中一个是3的倍数，另一个也一定3的倍数，当然这两个数中一定是有3的倍数的，依次其中一个三位数是3×97=291，另一个是192，两个数的和为483.[巩固]将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数．已知这两个三位数的乘积等于52605，那么，这两个三位数的和等于______．分析：52605=3×5×7×501=105×501所以，105＋501＝606．【例2】已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？分析：因为□△□△□△□△，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△。作质因数分解得，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有。注意到两位△□的十位数字和个位数字分别和另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21。即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132。【例3】从1到300中所有能被3整除的数相乘所得的乘积末尾有多少个0？分析：1到600中被3整除的数有200个，这两百个数中每5个就有一个数能被5整除，每25个就有一个数能被25整除，每125个有一个数能被125整除，被5整除的3的倍数有15、30、45、……600，共40个，被25整除的数有75、150、225、300、375、450、525、600共8个，被125整除的3的倍数只有375，所以乘积分解质因数后有40+8+1=49个5，显然分解后的质因数中2比5多，所以最后的乘积末尾一共有49个0.[巩固]从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？分析：首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0。其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的数字5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有7+4+2+1=14个0。 专题三约数倍数约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如p1p2……pk.那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)所有约数和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）【例1】求120、216、1001、360这3个数的约数和约束和.(考验学生心算和对部分特殊数的分解能力)分析：120=2×2×2×3×5，所以约数有（3+1）×（1+1）×（1+1）=16个.约数和为（1+2+4+8）×（1+3）×（1+5）=360；216=2×2×2×3×3×3,所以约数的个数为（3+1）×（3+1）=16个.约数和为（1+2+4+8）×（1+3+9+27）=600；1001=7×11×13，所以约数的个数为（1+1）（1+1）（1+1）=8个.约数和为（1+7）×（1+11）×（1+13）=1344.360=2×2×2×3×3×5，所以360有(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个约数.约数的和是(1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5)=1170.【例2】已知自然数、满足以下两个性质：⑴、不互素；⑵、的最大公约数与最小公倍数之和为35。那么+的最小值是多少？分析：、的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数。因为、的最大公约数与最小公倍数的和是35，所以35是两数最大公约数的倍数。它们的最大公约数可能是5和7（因为两数不互质，所以不为1）。如果、的最大公约数是5，则、的最小公倍数是30，此时有=10、=15或=5、=30；如果、地最大公约数是7，则、的最小公倍数是28，此时有=7、=28。所以＋的最小值为。［前铺］甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是.分析：甲数×乙数=288×4，（甲数=36=9×4，设乙数等于4b,则9与b互质，否则，如果9与b的最大公约数不是1，那么甲数和乙数的公约数应该为4乘以这个不是1最大公约数，所以9与b互质，如此甲数与乙数的最小公倍数应该为4×9×b=36b，甲数×乙数=36×4b=36b×4=288×4）故乙数=288×4÷36=32.由此得到一个定理，两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积【例3】 从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？分析：边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得（2002,847）=77所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。辗转相除示例：2002÷847=2…308求2个数的最大公约数，就用大数除以小数847÷308=2…231用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止308÷231=1…77用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止231÷77=3最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数【例1】AB两数都只含有因数3和2，它们的最大公约数是18．已知A有12个约数，B有8个约数，那么A+B=______.分析：126．18=3×3×2，A、B至少含有两个3和一个2．因为A有12个约数，12=2×6=3×4，所以A可能是35×2、32×23或33×22，B有8个约数，8=2×4，所以B=33×2，于是A只能是32×23，故A+B=32×23+33×2=126【例2】1、2、3、4…2008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？分析：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除2以外都是奇数质因数，可见我们只要找需要多少个2，所以只要看1～2008中2ˇn谁最大，可见2ˇ10=1024，所以为10个2。[拓展]1、用1到9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数．那么，这些数的最大公约数是多少？分析：1＋2＋…＋9＝45，因而9是这些数的公约数，又因123456789和123456798这两个数只差9，这两个数的最大公约数是9．所以9是这些数的最大公约数．【例3】有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）分析：（1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。（2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数由于上述十二个数的最小公倍数是60060 因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。专题展望zhanwang1wzhanwang欲知数论方法，请关注寒假班！练习五1.(例5)如图所示的加法算式中，△盖住的都是质数数字，□盖住的都是合数数字。要使两个加数的差尽可能小，那么较大的那个加数是多少？△□□△1＋△□△1□１０１０△□分析：74218(26821＋74218=101039)。2.（例5）有一个五位数，将其颠倒过来组成新的五位数与原来的五位数的和是58485，已知这个五位数的前三位组成的三位数是9的倍数，后两位组成的两位数是7的倍数，问这个数是______．分析：342423、（例12）把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数为1．那么最少要分几组?分析：本题是一道关于最大公约数的问题．我们知道两个数的最大公约数为1，即互质相当于它们的质因数分解式中没有相同的质因数．这就提示我们将题目所给的数字质因数分解．将题目中的数字质因数分解如下：26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=32×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．由于题目要求将这些数字分组，满足每组中任意两个数的最大公约数为1，而26、91、143均含质因数13，因此它们两两不在同一组，于是这些数至少应分为3组．我们这里推出一种分法：将26、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．4、(例8)两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？ 分析：最大公约数C，当然是D最小公倍数的约数，因此C是187的约数，187=11×17，C不等于1，只能是C=11或者C=17．如果C=11，那么D=187-11=176．A和B都是176的约数，A和B不能是11，只能是22，44，88，176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11，由此得出C不能是11．现在考虑C=17，那么D=187-17=170，A和B是170的约数，又要是17的倍数，有34，85，170三个数，其中只有34和85的最大公约数是17，因此，A和B分别是34和85.成长故事打开另一扇心窗很久以前，在意大利的庞贝古城里，一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩。莉蒂雅自小双目失明，但她并不怨天怨地，也没有垂头丧气，反而热爱生活，对生活充满信心和希望。稍稍长大后，她像常人一样劳动，靠卖花自食其力。不久，维苏威火山爆发，庞贝城面临一次大的灾难，整座城市被笼罩在浓烟尘埃之中。浓密的火山灰，遮掩了太阳、月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，惊慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人们好像生活在人间的地狱中。莉蒂雅虽然看不见，但这些年来，她走街串巷在城里卖花，对城市的各条道路了如指掌。她就靠自己的触觉和听觉找到了生路，不但救了自己的家人，还救了许多市民.后来，莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂，并出现在很多的文学作品中。启迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的残疾反而成了她的财富。不要总以为自己是最倒霉的。其实，上苍很公平。有时候，命运向你关闭这一心窗的同时，又为你开启了另一心窗，同样可以享受人生的快乐.