六年级下册数学试题-奥数：分数应用题之经济和浓度问题

六年级下册数学试题-奥数：分数应用题之经济和浓度问题

第九讲分数应用题之经济和浓度问题教学目标经济问题和浓度问题与生活实际联系紧密，教师在讲授本科时，需要注意的几点有：1.联系生活实际，形象地表述问题.强调本讲内容是小升初的出题方向.2.主要公式的推导和应用，公式中的各个量与试题中各个量的对应.3.解题过程中等量关系以及不变量的寻找.4.尽量避免使用方程解应用题，但方程作为一种数学工具和应试技巧不得不提.通过本讲的学习，让学生掌握解决常见经济问题和浓度问题的常用方法.想挑战吗？（仁华入学考试题）甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给了乙，获利10%，而后来乙又将这手股票转给了甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给了甲的价格的九折将这手股票卖给了乙，甲在上述股票交易中（填“盈利”或“亏损”）元。分析：首先研究每一笔交易，第一次，甲用1000元买了股票，第二次，甲以1000×（1+10%）=1100的价格将股票卖给乙，第三次乙又以1100×（1-10%）=990的价格卖给了甲，第四次甲又以990×90%=891的价格将股票卖给了乙，计算出入甲帐户的现金流：X-1000+1100-990+891=X+1，所以甲盈利1元.专题精讲Ⅰ经济问题 经济问题主要相关公式：；其它常用等量关系：，.解题主要方法：1、抓不变量（一般情况下成本是不变量）.2、列方程解应用题.【例1】商店以每件50元的价格购进一批衬衫，售价为70元，当卖到只剩下7件的时候，商店以原售价的8折售出，最后商店一共获利702元，那么商店一共进了多少件衬衫？分析：（法一）将最后7件衬衫按原价出售的话，商店应该获利702+（70-70×0.8）×7=800（元），按原售价卖每件获利20元，所以一共有800÷20=40件衬衫.(法二)除掉最后7件的利润，一共获利702-（70×0.8-50）×7=660（元），所以按原价售出的衬衫一共有660÷（70-50）=33件，所以一共购进33+7=40件衬衫.[前铺]商店以每双13元购进一批拖鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批拖鞋的全部开销外还获利88元。问：这批拖鞋共有多少双？分析：（法一）将剩余的5双拖鞋都以14.8元的价格售出时，总获利升至元，即这批拖鞋以统一价格全部售出时总利润为162元；又知每双拖鞋的利润是元，则这批拖鞋共有双。（法二）当卖到还剩5双时，前面已卖出的拖鞋实际获利元，则可知卖出了双，所以这批拖鞋共计85+5=90双.【例2】某种商品的利润率为25%，如果现在进货价提高了20%，商店也随之将零售价提高8%，那么此时该商品的利润率是多少？分析：设原来该商品的进货价为a元，则原来的零售价为1.25a，现在该商品的进货价为1.2a，零售价为1.2a×1.08=1.35a，所以现在该商品的利润率为（1.35a÷1.2a-1）×100%=12.5%.[拓展]如果要保持原来的利润率，那么零售价应该提高多少?分析：可以心算出20%，要保持原来的利润率，零售价应该随进货价提高同样的百分比.[前铺]某种商品的利润率是20％。如果进货价降低20％，售出价保持不变，那么利润率将是多少？分析：设原来成本为100元，则相应的利润为20元，定价为120元；成本降低20%，变成80元，而售价不变，在现在的利润率为。 【例1】某家商店决定将一批苹果的价格降到原价的70%卖出，这样所得利润就只有原计划的。已知这批苹果的进价是每千克6元6角，原计划可获利润2700元，那么这批苹果共有多少千克？分析：原价的30%相当于原利润的，所以原利润相当于原价的，则原价与原利润的比值为20：9，因此原利润为元；又原计划获利2700元，则这批苹果共有千克。[巩固]某商家决定将一批苹果的价格提高20%，这时所得的利润就有原来的两倍。已知这批苹果的进价是每千克6元，按原计划可获利润1200元，那么这批苹果共有多少千克？分析：原价的20%就等于原来的利润，所以原利润和原价的比值为1：20%=5：1，所以原利润率为1÷（5-1）×100%=25%，，所以这批苹果的原价为6×（1+25%）=7.5元，利润为每千克1.5元，所以这批苹果一共有1200÷1.5=800千克.【例2】商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔的进货价是每支多少钱？分析：（法一）由于两种方式卖的钢笔的利润相同，而卖的支数不同，所卖的支数比为20：15，所以两种方式所卖钢笔的利润比为15：20，即3：4，而单支笔的利润差为11-10=1（元），所以两种方式，每支笔的利润分别为：1÷（4-3）×3=3元和1÷（4-3）×4=4元，所以钢笔的进货价为10-3=11-4=7元（法二）由于两种卖法的利润相等，所以两种卖法的销售额之差和两种卖法的成本之差相等所以20支钢笔的成本和15支钢笔的成本的差为10×20-11×15=35元，当然：单支笔的成本价格是一样的，所以每只钢笔的成本为（10×20-11×15）÷（20-15）=7（元）。[前铺]一些商品，用零售价12元卖出所得利润是按零售价14元卖出所得利润的60%，求这些商品的进货单价.分析：这些商品按两种方式卖出所得的利润比为60：100，即3：5，而单个商品的利润差为14-12=2元，所以这些商品的按12元/个的价钱卖所得的利润为2÷（5-3）×3=3（元/个），按14元/个的价钱卖所得的利润为2÷（5-3）×5=5（元/个），所以这些商品的进货单价为12-3=9元.对于某些较复杂的题，使用方程来解题是一个好办法。用方程解应用题必须找到与题目条件关系紧密的关键量，并设未知数“x”，然后利用题目中所给出的等量关系或隐含的等量关系构建方程.【例3】体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球。零售时足球加价9％，篮球加价11％，全部卖出后获利润298元。问：每个足球和篮球的进价是多少元？分析：设足球的进价为a元，则篮球为（3000-a）元。由利润值可列方程　　a×9％＋（3000-a）×11％=298， 　　解得a=1600，故每个足球的进价为1600÷50=32（元），每个篮球的进价为（3000-a）÷40=35（元）。[拓展]某商人用2400元进了一批货共计30件，卖得非常火，每天将价钱提高到前一天的10%，但每天卖出的货物还是和前一天一样多，最后商家一共获利润910元.求该商品第一天的售价.分析：由已知，每件商品的进价为80元，设第一天的售价为x元.则可列方程：（1x-80）×10+（1.1x-80）×10+（1.21x-80）×10=910解得x=100元【例1】张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元。张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件。”商店经理算了一下，如果减价5％，那么由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润。问：这种商品的成本是多少元？分析：设这种商品的成本是x元。减价5％就是每件减100×5％＝5（元），张先生可多买4×5＝20（件）。由获得的利润相同，可列方程　　（100-x）×80＝（100-5-x）×（80＋20）。解得x=75,所以商品的成本为75元.Ⅱ浓度问题 1．浓度问题相关公式：溶液=溶质+溶剂，浓度==.2.常用方法：1）十字交叉法：（甲溶液浓度大于乙溶液浓度）形象表达：2）有些教科书上将十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的浓度三角的表示方法如下：3）列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法。【例1】甲种酒精溶液中有酒精6千克，水9千克；乙种酒精溶液中有酒精9千克，水3千克；要配制成50％的酒精溶液7千克，问两种酒精溶液各需多少升？分析：甲种酒精浓度为40%，乙种酒精浓度为75%，因此两种酒精的质量之比为，因此需要甲种酒精5升、乙种酒精2升.[拓展]（人大附中选拔入学考试题）有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中为奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成，其中为酥糖。将两包糖混合后，水果糖占78％，那么奶糖与酥糖的比例是____________。 分析：第一包水果糖占，第二包水果糖占。由浓度三角知：即第一包糖与第二包糖的比为2:3。所以，奶糖与酥糖的比为：＝5:6。[前铺]：十字交叉法的推导过程：设甲乙两瓶溶液的质量分别为A和B，浓度分别为x%和y%，将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为z%，求证：(x-z）：（z-y）=B：A分析：甲溶液中溶质的质量为Ax%，乙溶液中的溶质质量为By%，则混和溶液中的溶质质量为Ax%+By%，所以混合溶液的浓度为，所以z=，分别计算（x-z）和（z-x），x-z=；z-x=；可见（x-z）：（z-x）=B：A.【例1】甲种酒精4千克，乙种酒精6千克，混合成的酒精含纯酒精62%。如果甲种酒精和乙种酒精一样多，混合成的酒精含纯酒精61%。甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少？分析：（法一）不妨设甲、乙两种酒精各取4千克，则混合后的浓度为61%，含纯酒精4×2×61%=4.88千克；又知，4千克甲酒精与6千克乙酒精，混合后的浓度为62%，含纯酒精（4+6）×62%=6.2千克。相差6.2-4.88=1.32千克，说明6-4=2千克甲酒精中含纯酒精1.32千克，则甲酒精中纯酒精的百分比为，那么乙酒精中纯酒精百分比为61%×2-66%=56%。（法二）甲、乙两种酒精各取4千克，则混合后的浓度为61%，而这种混合溶液，再混上2千克的乙酒精就能获得62%的混合溶液，由于混合的质量比是8：2=4：1，由十字交叉法，乙溶液的浓度为62%+（62%-61%）÷1×4=66%，又因为同样多的酒精溶液和水溶液能配成61%的溶液，所以甲溶液浓度为61%-（66%-61%）÷1×1=56%.【例2】甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%。如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲乙两种酒精各取了多少升？分析：甲、乙两种酒精各取15升混合后的浓度为（72%+58%）÷2=65%，第二次混合后的浓度为63.25%，则可知第一次混合后的体积与30升的比值为=，则第一次混合和的体积为30÷5×7=42升。又知，第一次混合时甲、乙两种酒精的体积之比为 ，则第一次甲酒精取了升，乙酒精取了升。【例1】有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为10%，盐浓度为30%，乙溶液中的酒精浓度为50%，盐浓度为10%。现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等?分析：一千克甲种溶液中含有酒精0.1千克，盐0.3千克，盐比酒精多0.2千克；而一千克乙种溶液中含有酒精0.5千克，盐0.1千克，盐比酒精少0.4千克。所以只需要0.5千克的乙种酒精将其与甲溶液混合后所得溶液中两种物质含量相等，即浓度相等.[拓展]有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为15%，盐浓度为10%，乙溶液中的酒精浓度为45%，盐浓度为5%。现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？分析：可以这样来看，将溶液中的水剔出或者说蒸发掉（事实上这种情况不符合物理规律，但只是假设），那么所得到的溶液就是盐溶在酒精中（事实上不可能）这时的处理后甲溶液盐浓度为10%÷（15%+10%）=0.4，处理后乙溶液的盐浓度为5%÷（45%+5%）=0.1，需要配置的溶液的盐浓度为1÷（1+3）=0.25，由这些得出的条件使用十字交叉法得到两种处理后溶液的质量比应该为（0.25-0.1）：（0.4-0.25）=1：1，一千克原甲溶液中有10%+15%=25%的处理后甲溶液，即0.25千克，所以另需要0.25千克的处理后乙溶液，而每千克原乙溶液中含有5%+45%=50%的处理后乙溶液，即0.5千克，所以只需要0.5千克的乙溶液就能构成0.25千克的处理后乙溶液.所以需要0.5千克的乙溶液.专题展望zhanwang1wzhanwang经济问题和浓度问题在我们的生活中经常涉及，而比例和百分数作为数学工具，在处理这类应用题中非常有效，在下一讲中，我们将继续深入对分数和百分数进行学习和研讨.练习九1.（例3）某种商品打九折后所能得到的利润是该商品原价出售所得利润的65%，求原利润率.分析：该商品原价的10%等于该商品原利润的35%，所以该商品原利润比原价等于10%：35%=2：7，所以原利润率为2÷（7-2）=40%. 1.（例8）某体育用品商店进了一批篮球，分一级品和二级品。二级品的进价比一级品便宜20％。按优质优价的原则，一级品按20％的利润率定价，二级品按15％的利润率定价，一级品篮球比二级品篮球每个贵14元。一级品篮球的进价是每个多少元？分析：设一级品的进价每个x元，则二级品的进价每个0.8x元。由一、二级品的定价可列方程　　x×（1＋20％）-0.8x×（1＋15％）=14解得x=50，所以一级品篮球的进价是每个50元.2.（例6）某商品按照零售价10元卖出20件所得到的利润和按零售价9元卖出30件所得到的利润相等，求该商品的进货价.分析：该商品按照零售价10元所得利润和按照11元所得的利润之比为30：20=3：2，所以按照第一种方式得利润为（11-10）÷（3-2）×3=3元，该商品的进货价位10-3=7元.3.（例7）4千克盐浓度为30%的溶液和多少千克浓度为10%的溶液能混合成26%的溶液？分析：由十字交叉法两种溶液的配比为（26%-10%）：（30%-26%）=4：1，所以应该用1千克的10%来混合.4.（例12）有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为10%，盐浓度为30%，乙溶液中的酒精浓度为40%，盐浓度为0。现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等?分析：一千克甲溶液中含有酒精0.1千克，含有盐0.3千克，盐比酒精多0.2千克，所以还应该加入0.2千克的酒精，而这部分酒精由浓度为40%的乙溶液提供，每千克乙溶液含有酒精0.4千克，所以添入0.5千克乙溶液就能使混合溶液中两种浓度相等.成长故事挖井   有两个和尚住在隔壁，所谓隔壁就是隔壁那座山，他们分别住在相邻的两座山上的庙里。这两座山之间有一条溪，于是这两个和尚每天都会在同一时间下山去溪边挑水，久而久之他么变成为了好朋友。   就这样时间在每天挑水中不知不觉已经过了五年。突然有一天左边这座山的和尚没有下山挑水，右边那座山的和尚心想：“他大概睡过头了。”便不以为意。     哪知道第二天左边这座山的和尚还是没有下山挑水，第三天也一样。过了一个星期还是一样，直到过了一个月右边那座山的和尚终于受不了，他心想：“我的朋友可能生病了，我要过去拜访他，看看能帮上什么忙。”于是他便爬上了左边这座山，去探望他的老朋友。     等他到了左边这座山的庙，看到他的老友之后大吃一惊，因为他的老友正在庙前打太极拳，一点也不像一个月没喝水的人。他很好奇地问：“你已经一个月没有下山挑水了，难道你可以不用喝水吗？”    左边这座山的和尚说：“来来来，我带你去看。”于是他带着右边那座山的和尚走到庙的后院，指着一口井说：“这五年来，我每天做完功课后都会抽空挖这口井，即使有时很忙，能挖多少就算多少。如今终于让我挖出井水，我就不用再下山挑水，我可以有更多时间练我喜欢的太极拳。”