鄂尔多斯专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练18等腰三角形试题

鄂尔多斯专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练18等腰三角形试题

课时训练(十八)　等腰三角形 ‎(限时:40分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2019·攀枝花] 如图K18-1,AB∥CD,AD=CD,∠1=50°,则∠2的度数是 (　　)‎ 图K18-1‎ A.55° B.60° C.65° D.70°‎ ‎2.已知等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角为 (　　)‎ A.70°,40° B.55°,55°‎ C.70°,40°或55°,55° D.以上都不对 ‎3.[2017·包头] 若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为 (　　)‎ A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm ‎4.如图K18-2所示,在△ABC中,AB=AC=6,由作图痕迹可得DE的长为 (　　)‎ 图K18-2‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ ‎5.[2019·南充] 如图K18-3,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为 (　　)‎ 图K18-3‎ A.8 B.11 C.16 D.17‎ ‎6.如图K18-4,在△ABC中,AB=10,AC=6,过点A的直线DE∥CB,∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E,D,则DE 10‎ 的长为 (　　)‎ 图K18-4‎ A.14 B.16 ‎ C.10 D.12‎ ‎7.如图K18-5,△ABC的面积为8 cm2,AP垂直∠ABC的平分线BP于P,则△PBC的面积为 (　　)‎ 图K18-5‎ A.3 cm2 B.4 cm2‎ C.5 cm2 D.6 cm2‎ ‎8.[2019·衢州]“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图K18-6所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是 (　　)‎ 图K18-6‎ A.60° B.65°‎ C.75° D.80°‎ ‎9.[2019·东营] 已知等腰三角形的底角是30°,腰长为2‎3‎,则它的周长是　　　　. ‎ ‎10.如图K18-7,△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=　　　　度. ‎ 图K18-7‎ ‎11.[2019·徐州] 函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C在x轴上,若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有　　　　个. ‎ ‎12.[2019·攀枝花] 如图K18-8,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD=CE.‎ 10‎ 求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;‎ ‎(2)∠BEC=3∠ABE.‎ 图K18-8‎ ‎|能力提升|‎ ‎13.[2017·天津] 如图K18-9,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是 (　　)‎ 图K18-9‎ A.BC B.CE C.AD D.AC 10‎ ‎14.如图K18-10,点A(3,n)在双曲线y‎=‎‎3‎x上,过点A作AC⊥x轴,垂足为C.线段OA的垂直平分线交OC于点M,则△AMC的周长是 (　　)‎ 图K18-10‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎15.[2019·黄石] 如图K18-11,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED= (　　)‎ 图K18-11‎ A.125° B.145°‎ C.175° D.190°‎ ‎16.如图K18-12,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内的两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=6 cm,DE=2 cm,则BC的长为　　　　 cm. ‎ 图K18-12‎ ‎17.如图K18-13,已知△ABC中,AD平分∠BAC,交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F.‎ ‎(1)求证:AE=AF;‎ ‎(2)求证:BE‎=‎‎1‎‎2‎(AB+AC).‎ 图K18-13‎ 10‎ ‎|思维拓展|‎ ‎18.[2019·宜宾] 如图K18-14,∠EOF的顶点O是边长为2的等边三角形ABC的重心,∠EOF的两边与三角形ABC的边交于E,F,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是 (　　)‎ 图K18-14‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎‎5‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎3‎‎4‎ 10‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.C　[解析]∵AB∥CD,∴∠ACD=∠2.‎ ‎∵AD=CD,∠1=50°,∴∠2=∠ACD=65°.‎ ‎2.C　3.A ‎4.B　[解析] 由作图可知,AD=BD=3,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴∠AEB=90°.∴AD=DE=‎1‎‎2‎AB=3.故选B.‎ ‎5.B　[解析]∵DE垂直平分AB,‎ ‎∴AE=BE,‎ ‎∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11,‎ 故选B.‎ ‎6.B　[解析] ∵DE∥BC,∴∠E=∠EBC.‎ ‎∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC.‎ ‎∴∠E=∠ABE.∴AB=AE=10.‎ 同理可得,AD=AC=6,‎ ‎∴DE=AD+AE=AB+AC=16.‎ 故选B.‎ ‎7.B　[解析] 如图,延长AP,交BC于点E.‎ ‎∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P,∴∠ABP=∠EBP,‎ 又知BP=BP,∠APB=∠BPE=90°,‎ ‎∴△ABP≌△EBP.‎ ‎∴S△ABP=S△BEP,AP=PE.‎ ‎∴△APC和△CPE等底同高,‎ ‎∴S△APC=S△PCE.‎ ‎∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=‎1‎‎2‎S△ABC=4 cm2.故选B.‎ ‎8.D　[解析]因为OC=CD=DE,‎ 所以∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED.‎ 10‎ 所以∠DCE=2∠O,∠EDB=3∠O=75°,‎ 所以∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,‎ 所以∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°.故选D.‎ ‎9.6+4‎3‎　[解析]设底边长为2a,那么cos30°=a‎2‎‎3‎,所以a=3,所以等腰三角形的周长为6+4‎3‎.‎ ‎10.15‎ ‎11.4　[解析] 作AB的垂直平分线,交x轴于坐标原点,△OAB为等腰三角形;以B为圆心,BA长为半径画圆交x轴于C2,△C2AB为等腰三角形;以A为圆心,AB长为半径画圆,交x轴于C3,C4,则△C3AB,△C4AB为等腰三角形,所以满足条件的点C有4个.‎ ‎12.证明:(1)如图,连接DE.‎ ‎∵CD是AB边上的高,‎ ‎∴CD⊥AB.∴∠ADC=90°.‎ ‎∵AE=CE,‎ ‎∴DE=‎1‎‎2‎AC=CE=AE.‎ ‎∵BD=CE,‎ ‎∴DE=BD.‎ ‎∴点D在线段BE的垂直平分线上.‎ ‎(2)∵BD=DE,∴∠ADE=2∠ABE.‎ ‎∵DE=AE,∴∠A=∠ADE=2∠ABE.‎ ‎∴∠BEC=∠ABE+∠A=3∠ABE.‎ ‎13.B　[解析] 由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一”可知,点B与点C关于直线AD对称,连接CP,则BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE.故选B.‎ ‎14.B ‎15.C　[解析]连接DF,∵CD⊥AB,F为边AC的中点,‎ 10‎ ‎∴DF=‎1‎‎2‎AC=CF,‎ 又∵CD=CF,∴CD=DF=CF,‎ ‎∴△CDF是等边三角形,‎ ‎∴∠ACD=60°,‎ ‎∵∠B=50°,∴∠BCD+∠BDC=130°,‎ ‎∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,‎ ‎∴∠DCE+∠CDE=65°,∴∠CED=115°,‎ ‎∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°.故选C.‎ ‎16.8　[解析] 如图,延长ED,交BC于点M,延长AD,交BC于点N.‎ ‎∵AB=AC,AD平分∠BAC,‎ ‎∴AN⊥BC,BN=CN.‎ ‎∵∠EBC=∠E=60°,‎ ‎∴△BEM为等边三角形.‎ ‎∵BE=6 cm,DE=2 cm,‎ ‎∴DM=4 cm.∵△BEM为等边三角形,‎ ‎∴∠EMB=60°.‎ ‎∵AN⊥BC,∴∠DNM=90°.∴∠NDM=30°.‎ ‎∴NM=2 cm.∴BN=4 cm.∴BC=2BN=8 cm.‎ ‎17.证明:(1)∵AD平分∠BAC,‎ ‎∴∠BAD=∠CAD.‎ ‎∵AD∥EM,‎ ‎∴∠BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE.‎ ‎∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF.‎ ‎(2)如图,过点C作CG∥EM,交BA的延长线于G.‎ 10‎ ‎∵EF∥CG,‎ ‎∴∠G=∠AEF,∠ACG=∠AFE.‎ ‎∵∠AEF=∠AFE,‎ ‎∴∠G=∠ACG.∴AG=AC.‎ ‎∵BM=CM,EM∥CG,‎ ‎∴BE=EG.‎ ‎∴BE=‎1‎‎2‎BG=‎1‎‎2‎(BA+AG)=‎1‎‎2‎(AB+AC).‎ ‎18.C　[解析]连接OB,OC,过点O作ON⊥BC,垂足为N,‎ ‎∵△ABC为等边三角形,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=60°,‎ 易知点O为△ABC的内心,‎ ‎∴∠OBC=∠OBA=‎1‎‎2‎∠ABC,∠OCB=‎1‎‎2‎∠ACB.‎ ‎∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=30°.‎ ‎∴OB=OC,∠BOC=120°.‎ ‎∵ON⊥BC,BC=2,∴BN=NC=1,‎ ‎∴ON=tan∠OBC·BN=‎3‎‎3‎×1=‎3‎‎3‎,‎ ‎∴S△OBC=‎1‎‎2‎BC·ON=‎3‎‎3‎.‎ ‎∵∠EOF=∠BOC=120°,‎ ‎∴∠EOF-∠BOF=∠BOC-∠BOF,‎ 即∠EOB=∠FOC.‎ 在△EOB和△FOC中,‎ 10‎ ‎∠OBE=∠OCF=30°,‎OB=OC,‎‎∠EOB=∠FOC,‎ ‎∴△EOB≌△FOC(ASA).‎ ‎∴S阴影=S△OBC=‎3‎‎3‎,故选:C.‎ 10‎