2019年江苏省盐城市东台市3月中考数学模拟试卷（含答案解析）

2019年江苏省盐城市东台市3月中考数学模拟试卷（含答案解析）

2019 年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷（3 月份） 一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．抛物线 y＝2（x﹣2）2﹣1 的顶点坐标是（　　） A．（0，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（0，1） 2．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的平均数 与方差 S2： 甲 乙 丙 丁 平均数 （cm） 563 560 563 560 方差 S2（cm2） 6.5 6.5 17.5 14.5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么 两人同时选 择“参加社会调查”的概率为（　　） A． B． C． D． 4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB，D 为圆周上一点，若 的度数为 50°，则∠ADC 的度数 为（　　） A．20° B．25° C．30° D．50° 5．若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜1 且 k≠0 C．k≥﹣1 且 k≠0 D．k＞﹣1 且 k≠0 6．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段 AC 的长为（　　） A．4 B．4 C．6 D．4 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 7．已知一组数据：4，2，5，0，3．这组数据的中位数是　 　． 8．已知线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项，且 a、b 的长度分别为 2cm 和 8cm，则 c 的长度为　 　cm ． 9．一元二次方程 2x2+3x+1＝0 的两个根之和为　 　． 10．已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面积等于　 　cm2． 11．若 m 是方程 2x2﹣3x﹣1＝0 的一个根，则 6m2﹣9m+2016 的值为　 　． 12．已知二次函数 y＝ax2+bx+c 中，自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 2 3 … y … 8 0 0 3 … 当 x＝﹣1 时，y＝　 　． 13．已知正六边形的边长为 4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图）， 则所得到的三条弧的长度之和为　 　cm．（结果保留 π） 14．如图，在△ABC 中，DE∥BC， ＝ ，则 ＝　 　． 15．如图，每个小正方形的边长都为 1，点 A、B、C 都在小正方形的顶点上，则∠ABC 的正切值为　 　 ． 16．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D 为线段 AC 上一动点，连接 BD，过点 C 作 CH⊥BD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为　 　． 三、解答题（本大题共有 11 小题，共 102 分） 17．计算： sin45°+2cos30°﹣tan60° 18．雾霾天气严重影响市民的生活质量．在今年寒假期间，某校八年级一班的综合实践小组同学对“ 雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民．并对调查结果进行了整理．绘制了如图不 完整的统计图表．观察分析并回答下列问题． （1）本次被调查的市民共有多少人？ （2）分别补全条形统计图和扇形统计图，并计算图 2 中区域 B 所对应的扇形圆心角的度数； （3）若该市有 100 万人口，请估计持有 A、B 两组主要成因的市民有多少人？[来源:Zxxk.Com] 组别 雾霾天气的主要成因 百分比 A 工业污染 45% B 汽车尾气排放 m C 炉烟气排放 15% D 其他（滥砍滥伐等） n 19．把大小和形状完全相同的 6 张卡片分成两组，每组 3 张，分别标上 1、2、3，将这两组卡片分 别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张． （1）请用画树状图的方法求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率； （2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜； 试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边 的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直 ，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根 据相关测量 信息，求河宽 AB． 21．如图，点 A、B、C 在⊙O 上，用无刻度的直尺画图． （1）在图①中，画一个与∠B 互补的圆周角； （2）在图②中，画一个与∠B 互余的圆周角． 22．某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD，在课外活动时间测得下列数据： 如图，从地面 E 点测得地下停车场的俯角为 30°，斜坡 AE 的长为 16 米，地面 B 点（与 E 点在 同一个水平线）距停车场顶部 C 点（A、C、B 在同一条直线上且与水平线垂直）2 米．试求该校 地下停车场的高度 AC 及限高 CD（结果精确到 0.1 米， ≈1.732）． 23．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空 气阻力，小球的飞行高度 y（单位： m）与飞行时间 x（单位：s）之间具有函数关系 y＝﹣5x2+20x ，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大 高度是多少？ 24．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D．过点 D 作 EF⊥AC，垂足为 E ，且交 AB 的延长线于点 F． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）已知 AB＝4，AE＝3．求 BF 的长． 25．如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E 为 AB 的中点， （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若 AD＝4，AB＝6，求 的值． 26．（1）问题提出：苏科版《数学》九年级（上册）习题 2.1 有这样一道练习题：如图①，BD、CE 是△ABC 的高，M 是 BC 的中点，点 B、C、D、E 是否在以点 M 为圆心的同一个圆上？为什么？ 在解决此题时，若想要说明“点 B、C、D、E 在以点 M 为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME 的基础上，只需证明　 　． （2）初步思考：如图②，B D、CE 是锐角△ABC 的高，连接 DE．求证：∠ADE＝∠ABC，小敏 在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．（请你根据小敏的思路完成证 明过程．） （3）推广运用：如图③，BD、CE、AF 是锐角△ABC 的高，三条高的交点 G 叫做△ABC 的垂心 ，连接 DE、EF、FD，求证：点 G 是△DEF 的内心． 27．如图 1，已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 交 y 轴于点 A（0，4），交 x 轴于点 B（4，0），点 P 是抛 物线上一动点，试过点 P 作 x 轴的垂线 1，再过点 A 作 1 的垂线，垂足为 Q，连接 AP． （1）求抛物线的函数表达式和点 C 的坐标； （2）若△AQP∽△AOC，求点 P 的横坐标； （3）如图 2，当点 P 位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对应点为 点 Q′，请直接写出当点 Q′落在坐标轴上时点 P 的坐标． 2019 年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷（3 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．抛物线 y＝2（x﹣2）2﹣1 的顶点坐标是（　　） A．（0，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（0，1） 【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 【解答】解：∵顶点式 y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）， ∴y＝2（x﹣2）2﹣1 的顶点坐标是（2，﹣1）． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h ）2+k 中，对称轴为 x＝h，顶点坐标为（h，k）． 2．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的平均数 与方差 S2： 甲 乙 丙 丁 平均数 （cm） 563 560 563 560 方差 S2（cm2） 6.5 6.5 17.5 14.5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案． 【解答】解：∵S 甲 2＝6.5，S 乙 2＝6.5，S 丙 2＝17.5，S 丁 2＝14.5， ∴S 甲 2＝S 乙 2＜S 丁 2＜S 丙 2， ∵ ＝563， ＝560， ∴ ＞ ， ∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲； 故选：A． 【点评】此题考查了平均数和方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反 之也成立． 3．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么 两人同时选择“参加社会调查”的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出小明、小华两名学生参加社会实践活动的情况数， 即可求出所求的概率． 【解答】解：可能出现的结果 甲 打扫社区卫生 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 乙 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 打扫社区卫生 由上表可知，可能的结果共有 4 种，且他们都是等可能的，其中两人同时选择“参加社会调查” 的结果有 1 种， 则两人同时选择“参加社会调查”的概率为 ， 故选：B． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出 所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解 题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB，D 为圆周上一点，若 的度数为 50°，则∠ADC 的度数 为（　　） A．20° B．25° C．30° D．50° 【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC＝50°，利用垂径定理得到 ＝ ，然后根据圆周角定理计算∠ADC 的度数．[来源:Z|xx|k.Com] 【解答】解：∵ 的度数为 50°， ∴∠BOC＝50°， ∵半径 OC⊥AB， ∴ ＝ ， ∴∠ADC＝ ∠BOC＝25°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理 ． 5．若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜1 且 k≠0 C．k≥﹣1 且 k≠0 D．k＞﹣1 且 k≠0 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于 0 列出不等式，且二次项系 数不为 0，即可求出 k 的范围． 【解答】解：∵一元二次方程 kx2﹣2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，且 k≠0， 解得：k＞﹣1 且 k≠0． 故选：D． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于 0，方程有两个不相等的实 数根；根的判别式的值等于 0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于 0，方程没有实 数根． 6．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段 AC 的长为（　　） A．4 B．4 C．6 D．4 【分析】根据AD 是中线，得出 CD＝4，再根据 AA 证出△CBA∽△CAD，得出 ＝ ，求出 AC 即可． 【解答】解：∵BC＝8， ∴CD＝4， 在△CBA 和△CAD 中， ∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C， ∴△CBA∽△CAD， ∴ ＝ ， ∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32， ∴AC＝4 ； 故选：B． 【点评】此题考查了相似三角形的判断与性质，关键是根据 AA 证出△CBA∽△CAD，是一道基 础题． 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 7．已知一组数据：4，2，5，0，3．这组数据的中位数是　3　． 【分析】要求中位数，按从小到大的顺序排列后，找出最中间的一个数（或最中间的两个数的平 均数）即可． 【解答】解：从小到大排列此数据为：0，2，3，4，5，第 3 位是 3，则这组数据的中位数是 3． 故答案为：3． 【点评】考查了中位数的知识，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数 个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位 数的平均数． 8．已知线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项，且 a、b 的长度分别为 2cm 和 8cm，则 c 的长度为　4　cm ． 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘 积． 所以 c2＝2×8，解得 c＝±4（线段是正数，负值舍去）， 故答案为：4． 【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． 9．一元二次方程 2x2+3x+1＝0 的两个根之和为　﹣ 　． 【分析】设方程的两根分别为x1、x2，根据根与系数的关系可得出 x1+x2＝﹣ ＝﹣ ，此题得解 ． 【解答】解：设方程的两根分别为 x1、x2， ∵a＝2，b＝3，c＝1， ∴x1+x2＝﹣ ＝﹣ ． 故答案为：﹣ 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣ 、两根之积等于 是解题的关键． 10．已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面积等于　24π　cm2． 【分析】根据圆锥的侧面积公式即扇形面积公式计算． 【解答】解：圆锥的侧面积＝ ×2π×4×6＝24π， 故答案为：24π． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，圆锥的侧面积：S 侧＝ •2πr•l＝πrl． 11．若 m 是方程 2x2﹣3x﹣1＝0 的一个根，则 6m2﹣9m+2016 的值为　2019　． 【分析】把 x＝m 代入方程，求出 2m2﹣3m＝1，再变形后代入，即可求出答案． 【解答】解：∵m 是方程 2x2﹣3x﹣1＝0 的一个根， ∴代入得：2m2﹣3m﹣1＝0， ∴2m2﹣3m＝1， ∴6m2﹣9m+2016＝3（2m2﹣3m）+2016＝3×1+2016＝2019， 故答案为：2019． 【点评】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，能求出 2m2﹣3m＝1 是解此题的关键． 12．已知二次函数 y＝ax2+bx+c 中，自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 2 3 … y … 8 0 0 3[来源:Z*xx*k.Com] … 当 x＝﹣1 时，y＝　3　． 【分析】先确定出抛物线的对称轴，然后利用对称性求解即可． 【解答】解：依据表格可知抛物线的对称轴为 x＝1， ∴当 x＝﹣1 时与 x＝3 时函数值相同， ∴当 x＝﹣1 时，y＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，利用二次函数的对称性求解是解题的关键． 13．已知正六边形的边长为 4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图）， 则所得到的三条弧的长度之和为　8π　cm．（结果保留 π） 【分析】先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式． 【解答】解：方法一： 先求出正六边形的每一个内角＝ ＝120°， 所得到的三条弧的长度之和＝3× ＝8π（cm）； 方法二：先求出正六边形的每一个外角为 60°， 得正六边形的每一个内角 120°， 每条弧的度数为 120°， 三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为 8πcm． 故答案为：8π． 【点评】本题考查了弧长的计算和正多边形和圆．与圆有关的计算，注意圆与多边形的结合． 14．如图，在△ABC 中，DE∥BC， ＝ ，则 ＝　 　． 【分析】由DE∥BC 可得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，进而可得出△ADE∽△ABC，利用相似 三角形的性质可得出 ＝ ，进而可得出 ＝ ，此题得解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ＝（ ）2＝（ ）＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解 题的关键． 15．如图，每个小正方形的边长都为 1，点 A、B、C 都在小正方形的顶点上，则∠ABC 的正切值为　 1　． 【分析】根据勾股定理求出△ABC 的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°， 再解直角三角形求出即可． 【解答】解： 如图：长方形 AEFM，连接 AC， ∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，A C2＝22+12＝5， ∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC， 即∠ACB＝90°， ∴tan∠ABC＝ ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出∠ACB＝90°是解此题 的关键． 16．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D 为线段 AC 上一动点，连接 BD，过点 C 作 CH⊥BD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为　2 ﹣2　． 【分析】取 BC 中点 G，连接 HG，AG，由直角三角形的性质可得 HG＝CG＝BG＝ BC＝2，由 勾股定理可求 AG＝2 ，由三角形的三边关系可得 AH≥AG﹣HG，当点 H 在线段 AG 上时，可 求 AH 的最小值． 【解答】解：如图，取 BC 中点 G，连接 HG，AG， [来源:Zxxk.Com] ∵CH⊥DB，点 G 是 BC 中点 ∴HG＝CG＝BG＝ BC＝2， 在 Rt△ACG 中，AG＝ ＝2 在△AHG 中，AH≥AG﹣HG， 即当点 H 在线段 AG 上时，AH 最小值为 2 ﹣2， 故答案为：2 ﹣2 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，确定使 AH 值最小时 点 H 的位置是本题的关键． 三、解答题（本大题共有 11 小题，共 102 分） 17．计算： sin45°+2cos30°﹣tan60° 【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【解答】解：原式＝ × +2× ﹣ ＝1． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．雾霾天气严重影响市民的生活质量．在今年寒假期间，某校八年级一班的综合实践小组同学对“ 雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民．并对调查结果进行了整理．绘制了如图不 完整的统计图表．观察分析并回答下列问题． （1）本次被调查的市民共有多少人？ （2）分别补全条形统计图和扇形统计图，并计算图 2 中区域 B 所对应的扇形圆心角的度数； （3）若该市有 100 万人口，请估计持有 A、B 两组主要成因的市民有多少人？ 组别 雾霾天气的主要成因 百分比 A 工业污染 45% B 汽车尾气排放 m C 炉烟气排放 15% D[来源:学科网] 其他（滥砍滥伐等） n 【分析】（1）根据条形图和扇形图信息，得到 A 组人数和所占百分比，求出调查的市民的人数； （2）根据 B 组人数求出 B 组百分比，得到 D 组百分比，根据扇形圆心角的度数＝百分比×360° 求出扇形圆心角的度数，根据所求信息补全条形统计图和扇形统计图； （3）根据持有 A、B 两组主要成因的市民百分比之和求出答案． 【解答】解：（1）从条形图和扇形图可知，A 组人数为 90 人，占 45%， ∴本次被调查的市民共有：90÷45%＝200 人； （2）60÷200＝30%， 30%×360°＝108°， 区域 B 所对应的扇形圆心角的度数为：108°， 1﹣45%﹣30%﹣15%＝10%， D 组人数为：200×10%＝20 人， （3）100 万×（45%+30%）＝75 万， ∴若该市有 100 万人口，持有 A、B 两组主要成因的市民有 75 万人． [来源:学科网] 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，正确获取图中信息并准确进行计算是解 题的关键． 19．把大小和形状完全相同的 6 张卡片分成两组，每组 3 张，分别标上 1、2、3，将这两组卡片分 别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张． （1）请用画树状图的方法求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率； （2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜； 试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【分析】（1）依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式 求出该事件的概率； （2）根据（1）中所求，进而求出两人获胜的概率，即可得出答案． 【解答】解：（1）画树状图得： ， 由上图可知，所有等可能结果共有 9 种，其中两张卡片数字之和为奇数的结果有 4 种． ∴P（取出的两张卡片数字之和为奇数）＝ ． （2）不公平，理由如下： 由（1）可得出：取出的两张卡片数字之和为偶数的概率 为： ． ∵ ＜ ， ∴这个游戏不公平． 【点评】此题主要考查了游戏公平性，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用 方法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边 的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根 据相关测量信息，求河宽 AB． 【分析】由 BC∥DE，可得 ＝ ，构建方程即可解决问题． 【解答】解：∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴AB＝17（m）， 经检验：AB＝17 是分式方程的解， 答：河宽 AB 的长为 17 米． 【点评】本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，属于中考常考题型． 21．如图，点 A、B、C 在⊙O 上，用无刻度的直尺画图． （1）在图①中，画一个与∠B 互补的圆周角； （2）在图②中，画一个与∠B 互余的圆周角． [来源:Zxxk.Com] 【分析】（1）根据四点共圆进行画图即可； （2）根据 90°的圆周角所对的弦是直径进行画图即可． 【解答】解：（1）如图 1，∠P 即为所求： （2）如图 2，∠CBQ 即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结 合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几 何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．熟练掌握圆周角定理是解决此题的关 键． 22．某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD，在课外活动时间测得下列数据： 如图，从地面 E 点测得地下停车场的俯角为 30°，斜坡 AE 的长为 16 米，地面 B 点（与 E 点在 同一个水平线）距停车场顶部 C 点（ A、C、B 在同一条直线上且与水平线垂直）2 米．试求该校 地下停车场的高度AC 及限高 CD（结果精确到 0.1 米， ≈1.732）． 【分析】根据题意和正弦的定义求出 AB 的长，根据余弦的定义求出 CD 的长． 【解答】解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE， ∴∠CDA＝∠EBA＝90°， ∵∠E＝30°， ∴AB＝ AE＝8 米， ∵BC＝2 米， ∴AC＝AB﹣BC＝6 米， ∵∠DCA＝90°﹣∠DAC＝30°， ∴CD＝AC×cos∠DCA＝6× ≈6.9 米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解仰角的概念、灵活运用锐角三 角函数的定义是解题的关键． 23．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空 气阻力，小球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 x（单位：s）之间具有函数关系 y＝﹣5x2+20x ，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，令 y＝15 即可解答本题； （2）令 y＝0，代入题目中的函数解析式即可解答本题； （3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题． 【解答】解：（1）当 y＝15 时， 15＝﹣5x2+20x， 解得，x1＝1，x2＝3， 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是 1s 或 3s； （2）当 y＝0 时， 0═﹣5x2+20x， 解得，x1＝0，x2＝4， ∵4﹣0＝4， ∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4s； （3）y＝﹣5x2+20x＝﹣5（x﹣2）2+20， ∴当 x＝2 时，y 取得最大值，此时，y＝20， 答：在飞行过程中，小球飞行高度第 2s 时最大，最大高度是 20m． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利 用二次函数的性质解答． 24．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D．过点 D 作 EF⊥AC，垂足为 E ，且交 AB 的延长线于点 F． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）已知 AB＝4，AE＝3．求 BF 的长． 【分析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得 BD＝CD，根据三角形的中位线可得 OD∥ AC，所以得 OD⊥EF，从而得结论； （2）证明△ODF∽△AEF，列比例式可得结论． 【解答】（1）证明：连接 OD，AD， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∵OA＝OB， ∴OD∥AC， ∵EF⊥AC， ∴OD⊥EF， ∴EF 是⊙O 的切线； （2）解：∵OD∥AE， ∴△ODF∽△AEF， ∴ ， ∵AB＝4，AE＝3， ∴ ， ∴BF＝2． 【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角形的性质 和判定，圆的切线的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 25．如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E 为 AB 的中点， （1）求证：AC2＝AB•AD；[来源:Z,xx,k.Com] （2）求证：CE∥AD； （3）若 AD＝4，AB＝6，求 的值． 【分析】（1）由 AC 平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似 三角形的对应边成比例，证得 AC2＝AB•AD； （2）由 E 为 AB 的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得 CE＝ AB＝AE，继而可证得∠DAC＝∠ECA，得到 CE∥AD； （3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 的值． 【解答】（1）证明：∵AC 平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴AD：AC＝AC：AB， ∴AC2＝AB•AD； （2）证明：∵E 为 AB 的中点， ∴CE＝ AB＝AE ， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴∠DAC＝∠ECA， ∴CE∥AD； （3）解：∵CE∥AD， ∴△AFD∽△CFE， ∴AD：CE＝AF：CF， ∵CE＝ AB， ∴CE＝ ×6＝3， ∵AD＝4， ∴ ， ∴ ． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题 难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 26．（1）问题提出：苏科版《数学》九年级（上册）习题 2.1 有这样一道练习题：如图①，BD、CE 是△ABC 的高，M 是 BC 的中点，点 B、C、D、E 是否在以点 M 为圆心的同一个圆上？为什么？ 在解 决此题时，若想要说明“点B、C、D、E 在以点 M 为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME 的基础上，只需证明　ME＝MD＝MB＝MC　． （2）初步思考：如图②，BD、CE 是锐角△ABC 的高，连接 DE．求证：∠ADE＝∠ABC，小敏 在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．（请你根据小敏的思路完成证 明过程．） （3）推广运用：如图③，BD、CE、AF 是 锐角△ABC 的高，三条高的交点 G 叫做△ABC 的垂 心，连接 DE、EF、FD，求证：点 G 是△DEF 的内心． 【分析】（1）要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等． （2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证 ME＝MD＝MB＝MC，得到四边 形 BCDE 为圆内接四边形，故有对角互补． （3）根据内心定义，需证明 DG、EG、FG 分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由点 B、C、D、 E 四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD＝∠CED．又因为∠BEG＝∠BFG＝90°，根据（2） 易证点 B、F、G、E 也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG，等量代换有∠CED＝∠ FEG，同理可证其余两个内角的平分线． 【解答】解：（1）根据圆的定义可知，当点 B、C、D、E 到点 M 距离相等时，即他们在圆 M 上 故答案为：ME＝MD＝MB＝MC （2）证明：连接 MD、ME ∵BD、CE 是△ABC 的高 ∴BD⊥AC，CE⊥AB ∴∠BDC＝∠CEB＝90° ∵M 为 BC 的中点 ∴ME＝MD＝ BC＝MB＝MC ∴点 B、C、D、E 在以点 M 为圆心的同一个圆上 ∴∠ABC＝∠CDE＝180° ∵∠ADE+∠CDE＝180° ∴∠ADE＝∠ABC[来源:学科网] （3）证明：取 BG 中点 N，连接 EN、FN ∵CE、AF 是△ABC 的高 ∴∠BEG＝∠BFG＝90° ∴EN＝FN＝ BG＝BN＝NG ∴点 B、F、G、E 在以点 N 为圆心的同一个圆上 ∴∠FBG＝∠FEG ∵由（2）证得点 B、C、D、E 在同一个圆上 ∴∠FBG＝∠CED ∴∠FEG＝∠CED 同理可证：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG ∴点 G 是△DEF 的内心 【点评】本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补 ，圆周角定理，内心的定义．第（3）题解题关键是选取适当的四点证明共圆，再利用圆周角定 理证明角相等 27．如图 1，已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 交 y 轴于点 A（0，4），交 x 轴于点 B（4，0），点 P 是抛 物线上一动点，试过点 P 作 x 轴的垂线 1，再过点 A 作 1 的垂线，垂足为 Q，连接 AP． （1）求抛物线的函数表达式和点 C 的坐标； （2）若△AQP∽△AOC，求点 P 的横坐标； （3）如图 2，当点 P 位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对应点为 点 Q′，请直接写出当点 Q′落在坐标轴上时点 P 的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方程，通 过解一元二次方程得到 C 点坐标； （2）利用△AQP∽△AOC 得到 AQ＝4PQ，设 P（m，﹣m2+3m+4），所以 m＝4|4﹣（﹣m2+3m+4| ，然后解方程 4（m2﹣3m）＝m 和方程 4（m2﹣3m）＝﹣m 得 P 点坐标； （3）设 P（m，﹣m2+3m+4）（m＞ ），当点 Q′落在 x 轴上，延长 QP 交 x 轴于 H，如图 2， 则 PQ＝m2﹣3m，证明 Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，利用相似比得到 Q′B＝4m﹣12，则 OQ′＝12 ﹣3m，在 Rt△AOQ′中，利用勾股定理得到方程 42+（12﹣3m）2＝m2，然后解方程求出 m 得到 此时 P 点坐标；当点 Q′落在 y 轴上，易得点 A、Q′、P、Q 所组成的四边形为正方形，利用 PQ ＝PQ′得到|m2﹣3m|＝m，然后解方程 m2﹣3m＝m 和方程 m2﹣3m＝﹣m 得此时 P 点坐标． 【解答】解：（1）把 A（0，4），B（4，0）分别代入 y＝﹣x2+bx+c 得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+3x+4， 当 y＝0 时，﹣x2+3x+4＝0，解得 x1＝﹣1，x2＝4， ∴C（﹣1，0）； 故答案为 y＝﹣x2+3x+4；（﹣1，0）； （2）∵△AQP∽△AOC， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝4，即 AQ＝4PQ， 设 P（m，﹣m2+3m+4）， ∴m＝4|4﹣（﹣m2+3m+4|，即 4|m2﹣3m|＝m， 解方程 4（m2﹣3m）＝m 得 m1＝0（舍去），m2＝ ，此时P 点坐标为（ ， ）； 解方程 4（m2﹣3m）＝﹣m 得 m1＝0（舍去），m2＝ ，此时 P 点坐标为（ ， ）； 综上所述，点 P 的坐标为（ ， ）或（ ， ）； （3）设 P（m，﹣m2+3m+4）（m＞ ）， 当点 Q′落在 x 轴上，延长 QP 交 x 轴于 H，如图 2， 则 PQ＝4﹣（﹣m2+3m+4）＝m2﹣3m， ∵△APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对应点为点 Q'， ∴∠AQ′P＝∠AQP＝90°，AQ′＝AQ＝m，PQ′＝PQ＝m2﹣3m， ∵∠AQ′O＝∠Q′PH， ∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 Q′B＝4m﹣12， ∴OQ′＝m﹣（4m﹣12）＝12﹣3m， 在 Rt△AOQ′中，42+（12﹣3m）2＝m2， 整理得 m2﹣9m+20＝0，解得 m1＝4，m2＝5，此时 P 点坐标为（4，0）或（5，﹣6）； 当点 Q′落在 y 轴上，则点 A、Q′、P、Q 所组成的四边形为正方形， ∴PQ＝AQ′， 即|m2﹣3m|＝m， 解方程 m2﹣3m＝m 得 m1＝0（舍去），m2＝4，此时 P 点坐标为（4，0）； 解方程 m2﹣3m＝﹣m 得 m1＝0（舍去），m2＝2，此时 P 点坐标为（2，6）， 综上所述，点 P 的坐标为（4，0）或（5，﹣6）或（2，6） 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性 质和折叠的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会运用相似三角形的性质进行几何计算；理 解坐标与图形性质．会运用分类讨论的思想解决数学问题．