辽宁省丹东市凤城市沙里寨2018年中考模拟数学试卷（解析版）

辽宁省丹东市凤城市沙里寨2018年中考模拟数学试卷（解析版）

‎2018年辽宁省丹东市凤城市沙里寨中考数学模拟试卷（6月份）‎ 一．选择题（共8小题，满分24分）‎ ‎1.﹣6的相反数是（　　）‎ A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相反数的定义，即可解答．‎ ‎【详解】−6的相反数是：6，‎ 故选C.‎ ‎2.一台机器有大、小齿轮用同一转送带连接，若大小齿轮的齿数分别为12和36个，大齿轮每分钟2.5×103转，则小齿轮10小时转（　　）‎ A. 1.5×106转 B. 5×105转 C. 4.5×106转 D. 15×106转 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题解析：大、小齿轮用同一转送带连接，若大小齿轮的齿数分别为12和36个，‎ 则小齿轮转的圈数应该是大齿轮的倍.‎ 小齿轮10小时转60×2.5×103×10×（36÷12）=4.5×106转．‎ 故选C．‎ ‎3.如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每个面都有一个有理数，且相对面上的两个数互为相反数，那么代数式的值是　　‎ A. B. C. 0 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正方形的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相应的面，再求出 的值，然后代入代数式计算即可得解.‎ ‎【详解】正方形的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，‎ ‎“”与“3”是相对面，‎ ‎“”与“”是相对面，‎ ‎“”与“2”是相对面，‎ 相对面上所标的两个数互为相反数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正方形相对两个面上的文字，注意正方形的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题.‎ ‎4.下列事件中，属于确定事件的个数是（　　）‎ ‎（1）打开电视，正在播广告；‎ ‎（2）投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于10；‎ ‎（3）射击运动员射击一次，命中10环；‎ ‎（4）在一个只装有红球的袋中摸出白球．‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 确定事件就是一定发生的事件或一定不会发生的事件，根据定义即可确定：（1）（3）属于随机事件；（4）是不可能事件，（2）是确定事件，故属于确定事件的个数是1个．故选B．‎ ‎5.如果一组数据2，4，x，3，5的众数是4，那么该组数据的平均数是（　　）‎ A. 5.2 B. 4.6 C. 4 D. 3.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：众数是出现次数最多的数，所以可判定x为4，然后计算平均数：（2+4+4+3+5）÷5=3．6，故选D．‎ 考点：数据的分析．‎ ‎6.下列运算结果正确的是（　　）‎ A. a3+a4=a7 B. a4÷a3=a C. a3•a2=2a3 D. （a3）3=a6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别根据同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则对各选项进行逐一分析即可．‎ ‎【详解】A. a3+a4≠a7 ,不是同类项，不能合并，本选项错误； ‎ B. a4÷a3=a4-3=a;，本选项正确； ‎ C. a3•a2=a5;，本选项错误； ‎ D.（a3）3=a9,本选项错误.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则等知识，比较简单．‎ ‎7.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，EP⊥CD于点P，∠BAD=110°，则∠FPC的度数是（　　）‎ A. 35° B. 45° C. 50° D. 55°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 延长PF、EB交于点G；连接EF，根据菱形的性质易证△BGF≌△CPF，根据全等三角形的性质可得PF=GF，即可得点F为PG的中点，又因∠GEP=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FP=FG=FE，所以∠FPC=∠FGB=∠GEF；连接AC，即可得∠GEF=∠BAC=∠BAD=55°，所以∠FPC的度数是55°．‎ ‎【详解】延长PF、EB交于点G；连接EF，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AG∥DC，‎ ‎∴∠GBF=∠PCF，‎ ‎∵F是BC中点，‎ ‎∴BF=CF，‎ 在△BGF和△CPF中， ，‎ ‎∴△BGF≌△CPF，‎ ‎∴PF=GF，‎ ‎∴点F为PG的中点，‎ ‎∵∠GEP=90°，‎ ‎∴FP=FG=FE，‎ ‎∴∠FPC=∠FGB=∠GEF，‎ 连接AC，‎ 则∠GEF=∠BAC=∠BAD=55°，‎ ‎∴∠FPC的度数是55°．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了菱形的性质的理解及运用，灵活应用菱形的性质是解决问题的关键．‎ ‎8.如图，两个边长分别为a，b（a＞b）的正方形连在一起，三点C，B，F在同一直线上，反比例函数y=在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E．若OB2﹣BE2=10，则k的值是（　　）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：设E点坐标为（a，b），则AO+DE=a，AB-BD=b，根据△ABO和△BED都是等腰直角三角形，得到EB=BD，OB=AB，再根据OB2-EB2=8，运用平方差公式即可得到（AO+DE）（AB-BD）=4，进而得到a•b=4，据此可得k=4．‎ 详解：设E点坐标为（a，b），则AO+DE=a，AB-BD=b，‎ ‎∵△ABO和△BED都是等腰直角三角形，‎ ‎∴EB=BD，OB=AB，BD=DE，OA=AB，‎ ‎∵OB2-EB2=8，‎ ‎∴2AB2-2BD2=8，‎ 即AB2-BD2=4，‎ ‎∴（AB+BD）（AB-BD）=4，‎ ‎∴（AO+DE）（AB-BD）=4，‎ ‎∴a•b=4，‎ ‎∴k=4．‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查了正方形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．解题时注意数形结合思想的运用．‎ 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）‎ ‎9.分解因式： a2﹣a+2=_______．‎ ‎【答案】（a﹣3）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可.‎ ‎【详解】a2﹣a+2=（a2-6a+9）=（a﹣3）2‎ 故答案为（a﹣3）2‎ ‎【点睛】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式，利用提取公因式法分解因式注意公因式是最大公因式，利用公式法必须熟练掌握公式的形式．‎ ‎10.如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：‎ 第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，‎ 第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，‎ 第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，‎ 第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1平分线，交点为En．‎ 若∠En=1度，那∠BEC等于________度 ‎【答案】2n ．‎ ‎【解析】‎ 如图①，过E作EF∥AB，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴AB∥EF∥CD，‎ ‎∴∠B=∠1，∠C=∠2，‎ ‎∵∠BEC=∠1+∠2，‎ ‎∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；‎ 如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，‎ ‎∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC．‎ ‎∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，‎ ‎∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；‎ 如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，‎ ‎∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；‎ ‎…‎ 以此类推，∠En=∠BEC．‎ ‎∴当∠En=1度时，∠BEC等于2n度．‎ 故答案为2n ．‎ 点睛：本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．‎ ‎11.为了知道一块不规则的封闭图形的面积，小聪在封闭的图形内画了一个边长为1m的正方形，在不远处向封闭图形内任意投掷石子，且记录如下，则封闭图形的面积为_____m2．‎ 掷石子次数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎300‎ 石子落在正方形内（含边上）‎ ‎29‎ ‎61‎ ‎91‎ ‎118‎ ‎178‎ 落在正方形内（含边上）的频率 ‎0.580‎ ‎0.610‎ ‎0.607‎ ‎0.590‎ ‎0.593‎ ‎【答案】1.7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用频率估算概率，再计算封闭图形的面积.‎ ‎【详解】解：根据统计表，可得石子落在正方形内的概率约为0.593，‎ 设封闭图形的面积为x，‎ 则有=0.593，‎ 解得x≈1.7．‎ ‎∴封闭图形的面积为1.7，‎ 故答案为1.7．‎ ‎【点睛】频率和概率的区别：‎ 概率是一个虚构的理论数值；频率是实际的值，既在一定数量的某件事情上面,发生的数与总数的比值.假设事件A的概率是0.3,在100次中发生31次,那么它的频率是31/100=0.31. 频率是有限次数的试验所得的结果,概率是频数无限大时对应的频率.‎ ‎12.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．若DC=2，AD=1，则BE的长为______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎∵DE是BC的垂直平分线，‎ ‎∴DB=DC=2，‎ ‎∵BD是∠ABC的平分线，∠A=90°，DE⊥BC，‎ ‎∴DE=AD=1，‎ ‎∴BE=，‎ 故答案为 ．‎ 点睛：本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．‎ ‎13.5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据甲、乙两厂5月份用水量与6月份用水量列出关于x、y的方程组即可.‎ ‎【详解】甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，‎ 根据题意得：，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键.‎ ‎14.P是正方形ABCD所在平面内一点，PB=，PC=1，∠BPC=135°，则AP的长为__．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据图形旋转的性质得出△BPQ是等腰直角三角形，故可判断△PCQ是直角三角形，再根据勾股定理即可得出结论．‎ ‎【详解】把△ABP绕点B顺时针旋转90°，到达△CBQ位置，‎ ‎∵△CBQ是△ABP旋转而成90°，‎ ‎∴PB=BQ，∠PBQ=90°，‎ ‎∴△BPQ是等腰直角三角形，‎ ‎∵PB=，‎ ‎∴PQ==2，∠BPQ=45°，‎ ‎∴∠CPQ=135°-45°=90°，‎ ‎∴△PCQ是直角三角形，‎ ‎∴AP=CQ=,‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、正方形的性质等，正确地利用旋转的性质构造直角三角形是解题的关键.注意图形旋转前、后的图形全等．‎ ‎15.如图，已知动点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC，直线DE分别交x轴，y轴于点P，Q，当QE：DP=9：25时，图中的阴影部分的面积等于___．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，得到△QEG∽△PDF，于是得到＝，设EG=9t，则PF=25t，然后根据△ADE∽△FPD，据此即可得到关于t的方程，求得t的值，进而求解．‎ ‎【详解】解：作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，‎ ‎∴△QEG∽△DPF，‎ ‎∴＝，‎ 设EG=9t，则PF=25t，‎ ‎∴A（9t，），‎ 由AC=AE AD=AB，‎ ‎∴AE=9t，AD=，DF=，PF=25t，‎ ‎∵△ADE∽△FPD，‎ ‎∴AE：DF=AD：PF，‎ ‎9t：=：25t，即t2=，‎ 图中阴影部分面积=×9t×9t+××=，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．也考查了相似三角形的判定与性质．‎ ‎16.如图：在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，则tanA=__．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴； ‎ ‎ ∵∠AOB=90°， ∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°， ∴∠BOM=∠OAN， ∵∠BMO=∠ANO=90°， ‎ ‎∴△BOM∽△OAN， ∴； 设B（﹣m，），A（n，）， 则BM=，AN=，OM=m，ON=n， ∴mn=，mn=； ∵∠AOB=90°， ∴tan∠OAB=……①； ∵△BOM∽△OAN， ∴===……②， 由①②知tan∠OAB=；‎ 故答案是：．‎ 三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）‎ ‎17.计算：（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|4﹣|‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简进而得出答案．‎ ‎【详解】（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|4﹣|‎ ‎=1+3+4×﹣（4﹣2）‎ ‎=4+2﹣4+2‎ ‎=4．‎ ‎【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．‎ ‎18.△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示：‎ ‎（1）将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，则点A1的坐标是　 　，点B1的坐标是　 　；‎ ‎（2）将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．‎ ‎【答案】(1) 点A1的坐标为（10，8），点B的坐标为（4，5），(2)作图见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1，结合图形在坐标系中的位置写出坐标即可；‎ ‎（2）根据旋转角度为90°，旋转方向为顺时针，旋转中心为点S，找出旋转后各点的对应点，然后顺次连接即可．‎ ‎【详解】（1）如图所示：‎ 可得点A1的坐标为（10，8），点B的坐标为（4，5），‎ ‎∴右平移4个单位后A1的坐标为（10，8），B1的坐标为（8，5）；‎ ‎（2）所画图形如下所示：‎ 其中△A′B′C′即为所求．‎ ‎【点睛】本题考查了作图-旋转变换、作图-平移变换，解题关键是找出图形变换的规律，然后准确找出变换后的对应点．‎ 四．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）‎ ‎19.某校七年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，七年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.‎ ‎（1）将上面的条形统计图补充完整；‎ ‎（2）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少度？‎ ‎（3）如果该校七年级共有1200名考生，请估计选择以“友善”为主题的七年级学生有多少名？‎ ‎【答案】（1）条形统计图如图所示，见解析；（2）选择“爱国”主题所对应的圆心角是144°；（3）估计选择以“友善”为主题的七年级学生有360名.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据诚信的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，用总人数乘以友善所占的百分比，即可补全统计图；‎ ‎（2）用360°乘以爱国所占的百分比，即可求出圆心角的度数；‎ ‎（3）用该校七年级的总人数乘以“友善”所占的百分比，即可得出答案．‎ ‎【详解】解：（1）本次调查共抽取的学生有（名）‎ 选择“友善”的人数有（名）‎ ‎∴条形统计图如图所示：‎ ‎（2）∵选择“爱国”主题所对应的百分比为，‎ ‎∴选择“爱国”主题所对应的圆心角是；‎ ‎（3）该校七年级共有1200名学生，估计选择以“友善”为主题的七年级学生有名.‎ 故答案为（1）条形统计图如图所示，见解析；（2）选择“爱国”主题所对应的圆心角是144°；（3）估计选择以“友善”为主题的七年级学生有360名.‎ ‎【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎20.一不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色不同外其余都相同，搅匀后，‎ ‎（1）从中一次性摸出两只球，用树状图或列表表示其中一个是红球另一个是白球所有结果并求其概率．‎ ‎（2）向袋子中放入若干个红球（与原红球相同），搅匀后，从中任取一个球是红球的概率为，求放入红球的个数．‎ ‎【答案】（1）；（2）5个. ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）画树状图得到所有等可能的情况数，然后找出符合条件的情况，最后利用概率公式进行求解即可；‎ ‎（2）设放入红球的个数为x个，根据概率公式可得关于x的方程，解方程即可得.‎ ‎【详解】（1）画树状图为：‎ 共有6种等可能的结果数，其中一个是红球另一个是白球的所有结果数为4，‎ 所以其中一个是红球另一个是白球的概率=；‎ ‎（2）设放入红球的个数为x个，‎ 根据题意得，‎ 解得x=5，‎ 经检验x=5是原方程的解，‎ 即放入红球的个数为5个．‎ ‎【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）‎ ‎21.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同．小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y．‎ ‎（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=﹣x+6图象上的概率；‎ ‎（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x、y满足xy＞6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．这个游戏规则公平吗？说明理由；若不公平，怎样修改游戏规则才对双方公平．‎ ‎【答案】（1）；（2）不公平，游戏规则可改为：若x、y满足xy≥6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）画树形图，展示所有可能的12种结果，其中有点（2，4），（4，2）满足条件，根据概率的概念计算即可； （2）先根据概率的概念分别计算出P（小明胜）和P（小红胜）；判断游戏规则不公平．然后修改游戏规则，使它们的概率相等．‎ ‎【详解】解：（1）画树形图：‎ 所以共有12个点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），‎ 其中满足y=﹣x+6的点有（2，4），（4，2），‎ 所以点（x，y）在函数y=﹣x+6图象上的概率=；‎ ‎（2）满足xy＞6的点有（2，4），（4，2），（4，3），（3，4），共4个；‎ 满足xy＜6的点有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1），共6个，‎ 所以P（小明胜）=；P（小红胜）=；‎ ‎∵≠，‎ ‎∴游戏规则不公平．‎ 游戏规则可改为：若x、y满足xy≥6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．‎ ‎【点睛】本题考查了关于游戏公平性的问题：先利用图表或树形图展示所有可能的结果数，然后计算出两个事件的概率，若它们的概率相等，则游戏公平；若它们的概率不相等，则游戏不公平．‎ ‎22.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：AE⊥DE；‎ ‎（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；‎ ‎（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB中，利用已知条件求得答案．‎ 试题解析：（1）证明：连接OC，‎ ‎∵OC=OA，‎ ‎∴∠BAC=∠OCA，‎ ‎∵‎ ‎∴∠BAC=∠EAC，‎ ‎∴∠EAC=∠OCA，‎ ‎∴OC∥AE，‎ ‎∵DE切⊙O于点C，‎ ‎∴OC⊥DE，‎ ‎∴AE⊥DE；‎ ‎（2）解：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，‎ ‎∵∠CBA=60°，‎ ‎∴∠BAC=∠EAC=30°，‎ ‎∵△AEC为直角三角形，AE=3，‎ ‎∴AC=2，‎ 连接OF，‎ ‎∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，‎ ‎∴△OAF为等边三角形，‎ ‎∴AF=OA=AB，‎ 在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，‎ ‎∴BC=2，‎ ‎∴AB=4，‎ ‎∴AF=2．‎ 考点：切线的性质．‎ 六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）‎ ‎23.如图，海中有一小岛P，在距小岛P的海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？‎ ‎【答案】轮船自A处开始至少沿南偏东75°度方向航行，才能安全通过这一海域．‎ ‎【解析】‎ 试题分析: 过P作PB⊥AM于B,则PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离,求出PC长和16比较即可,第二问设出航行方向,利用特殊角的三角函数值确定答案.‎ 试题解析:过P作PB⊥AM于B,‎ ‎ 在Rt△APB中,∵∠PAB=30°,‎ ‎∴PB=AP=×32=16海里,‎ ‎∵16＜16故轮船有触礁危险,‎ 为了安全,应该变航行方向,并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16海里,即这个距离至少为16海里,‎ 设安全航向为AC,作PD⊥AC于点D,‎ ‎ ‎ 由题意得,AP=32海里,PD=16海里,‎ ‎∵sin∠PAC=,‎ ‎∴在Rt△PAD中,∠PAC=45°,‎ ‎∴∠BAC=∠PAC-∠PAB=45°-30°=15°,‎ 答:轮船自A处开始至少沿东偏南15°度方向航行,才能安全通过这一海域.‎ ‎24.某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．‎ ‎（1）降价前商品每月销售该商品的利润是多少元？‎ ‎（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？‎ ‎（3）当这种商品售价定为多少元时，该商品所获的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【答案】（1）4800元；（2）60元；（3）售价326元时，总利润最大为10580元．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）先求出每件的利润，再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润； （2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．‎ ‎（3）求出关于利润的二次函数关系式，通过配方求得即可.‎ 试题解析：（1）由题意得60×(360－280)＝4800(元)．‎ 即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；‎ ‎（2）设每件商品应降价x元,由题意得(360－x－280)(5x＋60)＝7200,‎ 解得x1＝8，x2＝60．要更有利于减少库存,则x＝60．‎ 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价60元．‎ ‎（3）设总利润为W元， 则W=（360-x-280）（5x+60）=-5（ x-34）2+10580， 360-34=326， 则当降价34元， 即售价326元时，总利润最大为10580元．‎ 七．解答题（共1小题）‎ ‎25.如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，△APQ的周长为2，求∠PCQ．‎ 为了解决这个问题，我们在正方形外以BC和AB延长线为边作△CBE，使得△CBE≌△CDQ（如图）‎ ‎（1）△CBE可以看成由△CDQ怎样运动变化得到的？‎ ‎（2）图中PQ与PE的长度有什么关系？为什么？‎ ‎（3）请用（2）的结论证明△PCQ≌△PCE；‎ ‎（4）根据以上三个问题的启发，求∠PCQ的度数．‎ ‎（5）对于题目中的点Q，若Q恰好是AD的中点，求BP的长．‎ ‎【答案】（1）△CBE可以看成是由△CDQ沿逆时针旋转90°得到的；（2）PE=PQ；（3）证明见解析；（4）45°；（5）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）△CBE可以看成是由△CDQ旋转得到的；‎ ‎（2）由旋转可知△CEB≌△CDQ，根据全等三角形的对应边相等得到DQ=BE，由正方形的变成为1易知AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，又有△APQ的周长为2，可求出PQ=PE；‎ ‎（3）由（2）得到的PQ=PE，由△CEB≌△CDQ得到一对对应边相等，再由CP为公共边，根据SSS判定△PCQ≌△PCE；‎ ‎（4）利用△PCQ≌△PCE得出∠PCQ=∠PCE，又有∠BCE=∠QCD，得出∠PCQ的度数是∠DCB度数的一半，由∠DCB为直角即可求出∠PCQ的度数；‎ ‎（5）由Q为AD的中点，根据正方形的边长为1，求出DQ与AQ的长，又△CEB≌△CDQ，得到BE=DQ，从而求出BE的长，再由△PCQ≌△PCE得到PE=PQ，设PB为x，用PB+BE表示出PE即为PQ的长，且表示出AP的长，在直角三角形APQ中，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为BP的长．‎ ‎【详解】（1）△CBE可以看成是由△CDQ沿逆时针旋转90°得到的；‎ ‎（2）∵△CBE≌△CDQ，正方形的边长为1，‎ ‎∴AQ=1﹣DQ=1﹣BE，AP=1﹣BP，‎ 又∵AP+AQ+PQ=2，‎ ‎∴1﹣BE+1﹣BP+PQ=2，即2﹣PE+PQ=2，‎ ‎∴PE=PQ；‎ ‎（3）∵△CBE≌△CDQ，‎ ‎∴QC=EC，‎ 在△PCQ和△PCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△PCQ≌△PCE（SSS）；‎ ‎（4）∵△PCQ≌△PCE，‎ ‎∴∠PCQ=∠PCE，‎ 又∵∠BCE=∠QCD，‎ ‎∴∠QCD+∠PCB=∠PCQ，‎ 又∵∠DCB=90°，‎ ‎∴∠PCQ=×90°=45°；‎ ‎（5）若Q为AD中点，得到DQ=AQ=AD=，‎ ‎∵△CBE≌△CDQ，∴BE=DQ=，‎ 设BP=x，则AP=1﹣x，‎ ‎∵△PCQ≌△PCE，∴QP=PE=PB+BE=x+，‎ 在Rt△APQ中，根据勾股定理得：PQ2=AQ2+AP2，‎ 即（x+）2=（）2+（1﹣x）2，‎ 化简得：x2+x+=+1﹣2x+x2，即3x=1，解得x=，‎ 则BP的长为．‎ ‎【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等，掌握图形的三种变换：平移、旋转、轴对称都只是改变图形的位置，不改变形状和大小，从而由旋转得到△CBE≌△CDQ，是本题的突破点，第四问利用转化的思想来求解，第五问在求BP长时，利用勾股定理列出方程，利用方程的思想来求解．‎ 八．解答题（共1小题）‎ ‎26.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0）和点C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标；‎ ‎（2）点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由；‎ ‎（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）解析式为y=﹣x2+2x+3，顶点E（1，4）；（2）点C在以BE为直径的圆上；（3）存在，R（4，﹣5），Q（1，﹣2）或R（﹣2，﹣5），Q（1，﹣8）或R（2，3），Q（1，0）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）运用待定系数法即可得出函数关系式，然后进行配方即可得出顶点坐标；‎ ‎（2）过点E分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别F、G．易证△BCE为直角三角形，点C在以BE为直径的圆上；‎ ‎（3）利用平行四边形的性质易得点Q、R的坐标.‎ 试题解析： (1) 将A(－1，0)，B(3，0)和C(0，3)代入y=ax2＋bx＋c 得 ‎ 解得 ‎ ‎∴抛物线的解析式为y=－x2＋2x＋3，‎ ‎∵y=－x2＋2x＋3=-（x-1）2+4，‎ ‎∴顶点E的坐标为(1，4)． ‎ ‎(2)点C在以BE为直径的圆上，理由如下： ‎ 如图，过点E分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别F、G．‎ 在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=18 ‎ 在Rt△CEG中，EG=1，CG=OG－OC=4－3=1，∴CE2=2 ‎ 在Rt△BFE中，FE=4，BF=OB－OF=3－1=2， ∴BE2=20 ‎ ‎∴BC2＋CE2=BE2‎ 故△BCE为直角三角形，点C在以BE为直径的圆上．‎ ‎(3)存在，点Q、R的坐标分别为Q1(1，－2)，R1(4，－5)； ‎ Q2(1，－8)，R2(－2，－5)；R3(2，3)，Q3(1，0)．‎ ‎ ‎