2020年内蒙古包头市中考数学试卷【含答案】

2020年内蒙古包头市中考数学试卷【含答案】

1 / 9 2020 年内蒙古包头市中考数学试卷 一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．每小题只有一个正确选项， 请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. √8 + √2的计算结果是（ ） A.5 B.√10 C.3√2 D.4 + √2 2. 2020年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至2019年 末，全国农村贫困人口减少至551万人，累计减少9348万人．将9348万用科学记数法 表示为（ ） A.0.9348 × 108 B.9.348 × 107 C.9.348 × 108 D.93.48 × 106 3. 点퐴在数轴上，点퐴所对应的数用2푎 + 1表示，且点퐴到原点的距离等于3，则푎的 值为（ ） A.−2或1 B.−2或2 C.−2 D.1 4. 下列计算结果正确的是（ ） A.(푎3)2＝푎5 B.(−푏푐)4 ÷ (−푏푐)2＝−푏2푐2 C.1 + 1 푎 = 2 푎 D.푎 ÷ 푏 ⋅ 1 푏 = 푎 푏2 5. 如图，∠퐴퐶퐷是△ 퐴퐵퐶的外角，퐶퐸 // 퐴퐵．若∠퐴퐶퐵＝75∘，∠퐸퐶퐷＝50∘，则∠퐴的 度数为（ ） A.50∘ B.55∘ C.70∘ D.75∘ 6. 如图，将小立方块①从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几 何体（ ） A.主视图改变，左视图改变 B.俯视图不变，左视图改变 C.俯视图改变，左视图改变 D.主视图不变，左视图不变 7. 两组数据：3，푎，푏，5与푎，4，2푏的平均数都是3．若将这两组数据合并为一组 新数据，则这组新数据的众数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 8. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐴퐶퐵＝90∘，퐷是퐴퐵的中点，퐵퐸 ⊥ 퐶퐷，交퐶퐷的延长线 于点퐸．若퐴퐶＝2，퐵퐶＝2√2，则퐵퐸的长为（ ） A.2√6 3 B.√6 2 C.√3 D.√2 9. 如图，퐴퐵是⊙ 푂的直径，퐶퐷是弦，点퐶，퐷在直径퐴퐵的两侧．若 ∠퐴푂퐶: ∠퐴푂퐷: ∠퐷푂퐵＝2: 7: 11，퐶퐷＝4，则퐶퐷̂ 的长为（ ） A.2휋 B.4휋 C.√2휋 2 D.√2휋 10. 下列命题正确的是（ ） A.若分式푥2−4 푥−2 的值为0，则푥的值为±2 B.一个正数的算术平方根一定比这个数小 C.若푏 > 푎 > 0，则푎 푏 > 푎+1 푏+1 2 / 9 D.若푐 ≥ 2，则一元二次方程푥2 + 2푥 + 3＝푐有实数根 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线푦 = − 3 2 푥 + 3与푥轴、푦轴分别交于点퐴和点퐵， 퐶是线段퐴퐵上一点．过点퐶作퐶퐷 ⊥ 푥轴，垂足为퐷，퐶퐸 ⊥ 푦轴，垂足为퐸， 푆△퐵퐸퐶: 푆△퐶퐷퐴＝4: 1，若双曲线푦 = 푘 푥 (푥 > 0)经过点퐶，则푘的值为（ ） A.4 3 B.3 4 C.2 5 D.5 2 12. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐴퐶퐵＝90∘，퐵퐶 > 퐴퐶，按以下步骤作图： （1）分别以点퐴，퐵为圆心，以大于1 2 퐴퐵的长为半径作弧，两弧相交于푀，푁两点（点 푀在퐴퐵的上方）； （2）作直线푀푁交퐴퐵于点푂，交퐵퐶于点퐷； （3）用圆规在射线푂푀上截取푂퐸＝푂퐷．连接퐴퐷，퐴퐸，퐵퐸，过点푂作푂퐹 ⊥ 퐴퐶．重足 为퐹，交퐴퐷于点퐺． 下列结论： ①퐶퐷＝2퐺퐹； ②퐵퐷2 − 퐶퐷2＝퐴퐶2； ③푆△퐵푂퐸＝2푆△퐴푂퐺； ④若퐴퐶＝6，푂퐹 + 푂퐴＝9，则四边形퐴퐷퐵퐸的周长为25． 其中正确的结论有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题：本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．请把答案填在答题卡上对 应的横线上． 13. 函数푦 = 푥 푥−3 中，自变量푥的取值范围是________． 14. 分式方程3−푥 푥−2 + 푥 2−푥 = 1的解是________． 15. 计算：(√3 + √2)(√3 − √2)2＝________． 16. 如图，在正方形퐴퐵퐶퐷中，퐸是对角线퐵퐷上一点，퐴퐸的延长线交퐶퐷于点퐹，连 接퐶퐸．若∠퐵퐴퐸＝56∘，则∠퐶퐸퐹＝________∘． 17. 一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽 取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数 字的概率为________． 18. 如图，在▱퐴퐵퐶퐷中，퐴퐵＝2，∠퐴퐵퐶的平分线与∠퐵퐶퐷的平分线交于点퐸，若点 퐸恰好在边퐴퐷上，则퐵퐸2 + 퐶퐸2的值为________． 3 / 9 19. 在平面直角坐标系中，已知퐴(−1,  푚)和퐵(5,  푚)是抛物线푦＝푥2 + 푏푥 + 1上的两 点，将抛物线푦＝푥2 + 푏푥 + 1的图象向上平移푛（푛是正整数）个单位，使平移后的图 象与푥轴没有交点，则푛的最小值为________． 20. 如图，在矩形퐴퐵퐶퐷中，퐵퐷是对角线，퐴퐸 ⊥ 퐵퐷，垂足为퐸，连接퐶퐸．若∠퐴퐷퐵 ＝30∘，则tan∠퐷퐸퐶的值为________． 三、解答题：本大题共有 6 小题，共 60 分．请将必要的文字说明，计算过程或推理 过程写在答题卡的对应位置． 21. 我国5퐺技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款5퐺产品，为了解用户对 该产品的满意度，随机调查了30个用户，得到用户对该产品的满意度评分如下（单位： 分）： 83 92 68 55 77 71 73 62 73 95 92 94 72 64 59 66 71 75 69 86 87 79 81 77 68 82 62 77 61 88 整理上面的数据得到尚不完整的频数直方图（如图）． 请根据所给信息，解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）参与调查的一个用户说：“我的满意度评分在这30个用户中是中位数”，该用 户的满意度评分是________分； （3）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度平分 低于60分 60分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计使用该公司这款5퐺产品的1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数． 22. 如图，一个人骑自行车由퐴地到퐶地途经퐵地，当他由퐴地出发时，发现他的北偏 东45∘方向有一电视塔푃．他由퐴地向正北方向骑行了3√2푘푚到达퐵地，发现电视塔푃在 他北偏东75∘方向，然后他由퐵地向北偏东15∘方向骑行了6푘푚到达퐶地． （1）求퐴地与电视塔푃的距离； （2）求퐶地与电视塔푃的距离． 4 / 9 23. 某商店销售퐴、퐵两种商品，퐴种商品的销售单价比퐵种商品的销售单价少40元，2 件퐴种商品和3件퐵种商品的销售总额为820元． （1）求퐴种商品和퐵种商品的销售单价分别为多少元？ （2）该商店计划购进퐴，퐵两种商品共60件，且퐴，퐵两种商品的进价总额不超过 7800元．已知퐴种商品和퐵种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能 使这两种商品全部售出后总获利最多？ 24. 如图，퐴퐵是⊙ 푂的直径，半径푂퐶 ⊥ 퐴퐵，垂足为푂，直线푙为⊙ 푂的切线，퐴是切 点，퐷是푂퐴上一点，퐶퐷的延长线交直线푙于点퐸，퐹是푂퐵上一点，퐶퐹的延长线交⊙ 푂 于点퐺，连接퐴퐶，퐴퐺，已知⊙ 푂的半径为3，퐶퐸 = √34，5퐵퐹 − 5퐴퐷＝4． (퐼)求퐴퐸的长； 求cos∠퐶퐴퐺的值及퐶퐺的长． 5 / 9 25. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐴퐶퐵＝90∘，퐴퐶＝4，퐵퐶＝2，푅푡 △ 퐴퐵퐶绕点퐶按顺时针 方向旋转得到푅푡 △ 퐴′퐵′퐶，퐴′퐶与퐴퐵交于点퐷． （1）如图1，当퐴′퐵′ // 퐴퐶时，过点퐵作퐵퐸 ⊥ 퐴′퐶，垂足为퐸，连接퐴퐸． ①求证：퐴퐷＝퐵퐷； ②求푆△퐴퐶퐸 푆△퐴퐵퐸 的值； （2）如图2，当퐴′퐶 ⊥ 퐴퐵时，过点퐷作퐷푀 // 퐴′퐵′，交퐵′퐶于点푁，交퐴퐶的延长线于点 푀，求퐷푁 푁푀 的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线푦 = 1 3 푥2 − 2푥经过坐标原点，与푥轴正半轴交 于点퐴，该抛物线的顶点为푀，直线푦 = − 1 2 푥 + 푏经过点퐴，与푦轴交于点퐵，连接푂푀． （1）求푏的值及点푀的坐标； （2）将直线퐴퐵向下平移，得到过点푀的直线푦＝푚푥 + 푛，且与푥轴负半轴交于点퐶， 取点퐷(2,  0)，连接퐷푀，求证：∠퐴퐷푀 − ∠퐴퐶푀＝45∘； （3）点퐸是线段퐴퐵上一动点，点퐹是线段푂퐴上一动点，连接퐸퐹，线段퐸퐹的延长线与 线段푂푀交于点퐺．当∠퐵퐸퐹＝2∠퐵퐴푂时，是否存在点퐸，使得3퐺퐹＝4퐸퐹？若存在，求 出点퐸的坐标；若不存在，请说明理由． 6 / 9 参考答案与试题解析 2020 年内蒙古包头市中考数学试卷 一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．每小题只有一个正确选项， 请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1.C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10.D 11.A 12.正确； ∵ 四边形퐴퐷퐵퐸是菱形， ∴ 퐴퐷＝퐵퐷， 在푅푡 △ 퐴퐶퐷中，根据勾股定理，得 퐴퐷2 − 퐶퐷2＝퐴퐶2， ∴ 퐵퐷2 − 퐶퐷2＝퐴퐶2． ∴ 正确； ∵ 点퐺是퐴퐷的中点， ∴ 푆△퐴푂퐷＝2푆△퐴푂퐺， ∵ 푆△퐴푂퐷＝푆△퐵푂퐸， 푆△퐵푂퐸＝2푆△퐴푂퐺； ∴ 正确∵ AF= 1 2 AC= 1 2 ×6＝3，又 OF+OA＝9，∴ OA＝9﹣OF，在 Rt△AFO 中，根据 勾股定理，得（9﹣OF）2＝OF2+32，解得 OF＝4，∴ OA＝5，∴ AB＝10，∴ BC＝8，∴ BD+DC＝AD+DC＝8，∴ CD＝8﹣AD，在 Rt△ACD 中，根据勾股定理， 得 AD2＝62+（8﹣AD）2，解得 AD= 25 4 ，∴ 菱形 ADBE 的周长为 4AD＝25∴ （1） 正确综上所述：（2）（ 3）（ 4）（ 5） 二、填空题：本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．请把答案填在答题卡上对 应的横线上． 13.푥 ≠ 3 14.푥 = 5 3 15.√3 − √2 16.22 17.1 3 18.16 19.4 20.√3 2 三、解答题：本大题共有 6 小题，共 60 分．请将必要的文字说明，计算过程或推理 过程写在答题卡的对应位置． 21. 74 使用该公司这款5퐺产品的1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的有200户 22.过퐵作퐵퐷 ⊥ 퐴푃于퐷． 依题意∠퐵퐴퐷＝45∘，则∠퐴퐵퐷＝45∘， 在푅푡 △ 퐴퐵퐷中，퐴퐷＝퐵퐷 = √2 2 퐴퐵 = √2 2 × 3√2 = 3， ∵ ∠푃퐵푁＝75∘， ∴ ∠퐴푃퐵＝∠푃퐵푁 − ∠푃퐴퐵＝30∘， ∴ 푃퐷＝cot30∘ ⋅ 퐵퐷 = √3 ⋅ 퐵퐷＝3√3，푃퐵＝2퐵퐷＝6， ∴ 퐴푃＝퐴퐷 + 푃퐷＝3 + 3√3； ∴ 퐴地与电视塔푃的距离为(3 + 3√3)푘푚； 7 / 9 过퐶作퐶퐸 ⊥ 퐵푃于点퐸， ∵ ∠푃퐵푁＝75∘，∠퐶퐵푁＝15∘， ∴ ∠퐶퐵퐸＝60∘， ∴ 퐵퐸＝cos60∘ ⋅ 퐵퐶 = 1 2 × 6 = 3， ∵ 푃퐵＝6， ∴ 푃퐸＝푃퐵 − 퐵퐸＝3， ∴ 푃퐸＝퐵퐸， ∵ 퐶퐸 ⊥ 푃퐵， ∴ 푃퐶＝퐵퐶＝6． ∴ 퐶地与电视塔푃的距离6푘푚． 23.퐴种商品的销售单价是140元，퐵种商品的销售单价是180元； 商店购进퐴种商品20件，购进퐵种商品40件时，总获利最多 24.（1）延长퐶푂交⊙ 푂于푇，过点퐸作퐸퐻 ⊥ 퐶푇于퐻． ∵ 直线푙是⊙ 푂的切线， ∴ 퐴퐸 ⊥ 푂퐷， ∵ 푂퐶 ⊥ 퐴퐵， ∴ ∠퐸퐴푂＝∠퐴푂퐻＝∠퐸퐻푂＝90∘， ∴ 四边形퐴퐸퐻푂是矩形， ∴ 퐸퐻＝푂퐴＝3，퐴퐸＝푂퐻， ∵ 퐶퐻 = √퐸퐶2 − 퐸퐻2 = √(√34)2 − 32 = 5， ∴ 퐴퐸＝푂퐻＝퐶퐻 − 퐶푂＝5 − 3＝2． （2）∵ 퐴퐸 // 푂퐶， ∴ 퐴퐸 푂퐶 = 퐴퐷 퐷푂 = 2 3 ， ∴ 퐴퐷 = 2 5 푂퐴 = 6 5 ， ∵ 5퐵퐹 − 5퐴퐷＝4， ∴ 퐵퐹＝2， ∴ 푂퐹＝푂퐵 − 퐵퐹＝1，퐴퐹＝퐴푂 + 푂퐹＝4，퐶퐹 = √푂퐶2 + 푂퐹2 = √32 + 12 = √10， ∵ ∠퐹퐴퐶＝∠퐹퐺퐵，∠퐴퐹퐶＝∠퐺퐹퐵， ∴ △ 퐴퐹퐶 ∽△ 퐺퐹퐵， ∴ 퐴퐹 퐹퐺 = 퐶퐹 퐵퐹 ， ∴ 4 퐹퐺 = √10 2 ， ∴ 퐹퐺 = 4√10 5 ， ∴ 퐶퐺＝퐹퐺 + 퐶퐹 = 9√10 5 ， ∵ 퐶푇是直径， ∴ ∠퐶퐺푇＝90∘， ∴ 퐺푇 = √푇퐶2 − 퐶퐺2 = √62 − (9√10 5 )2 = 3√10 5 ， ∴ cos∠퐶푇퐺 = 푇퐺 푇퐶 = 3√10 5 6 = √10 10 ， ∵ ∠퐶퐴퐺＝∠퐶푇퐺， ∴ cos∠퐶퐴퐺 = √10 10 ． 25.①∵ 퐴′퐵′ // 퐴퐶， ∴ ∠퐵′퐴′퐶＝∠퐴′퐶퐴， 8 / 9 ∵ ∠퐵′퐴′퐶＝∠퐵퐴퐶， ∴ ∠퐴′퐶퐴＝∠퐵퐴퐶， ∴ 퐴퐷＝퐶퐷， ∵ ∠퐴퐶퐵＝90∘， ∴ ∠퐵퐶퐷＝90∘ − ∠퐴퐶퐷， ∵ ∠퐴퐵퐶＝90∘ − ∠퐵퐴퐶， ∴ ∠퐶퐵퐷＝∠퐵퐶퐷， ∴ 퐵퐷＝퐶퐷， ∴ 퐴퐷＝퐵퐷； ②∵ ∠퐴퐶퐵＝90∘，퐵퐶＝2，퐴퐶＝4， ∴ 퐴퐵 = √22 + 42 = 2√5， ∵ 퐵퐸 ⊥ 퐶퐷， ∴ ∠퐵퐸퐶＝∠퐴퐶퐵＝90∘， ∵ ∠퐵퐶퐸＝∠퐴퐵퐶， ∴ △ 퐵퐸퐶 ∽△ 퐴퐶퐵， ∴ 퐶퐸 퐵퐶 = 퐵퐶 퐴퐵 ，即퐶퐸 2 = 2 2√5 ， ∴ 퐶퐸 = 2 5 √5， ∵ ∠퐴퐶퐵＝90∘，퐴퐷＝퐵퐷， ∴ 퐶퐷 = 1 2 퐴퐵 = √5， ∴ 퐶퐸 = 2 5 퐶퐷， ∴ 푆△퐴퐶퐸 = 2 3 푆△퐴퐷퐸， ∵ 퐴퐷＝퐵퐷， ∴ 푆△퐴퐵퐸＝2푆△퐴퐷퐸， ∴ 푆△퐴퐶퐸 푆△퐴퐵퐸 = 1 3 ； ∵ 퐶퐷 ⊥ 퐴퐵， ∴ ∠퐴퐷퐶＝90∘＝∠퐴′퐶퐵′， ∴ 퐴퐵 // 퐶푁， ∴ △ 푀퐶푁 ∽△ 푀퐴퐷， ∴ 푀푁 푀퐷 = 퐶푁 퐴퐷 ， ∵ 푆△퐴퐵퐶 = 1 2 퐴퐵 ⋅ 퐶퐷 = 1 2 퐴퐶 ⋅ 퐵퐶， ∴ 퐶퐷 = 퐴퐶⋅퐵퐶 퐴퐵 = 4×2 2√5 = 4 5 √5， ∴ 퐴퐷 = √퐴퐶2 − 퐶퐷2 = 8 5 √5， ∵ 퐷푀 // 퐴′퐵′， ∴ ∠퐶퐷푁＝∠퐴′＝∠퐴， ∴ 퐶푁＝퐶퐷 ⋅ tan∠퐶퐷푁＝퐶퐷 ⋅ tan퐴＝퐶퐷 ⋅ 퐵퐶 퐴퐶 = 4 5 √5 × 2 4 = 2 5 √5， ∴ 푀푁 푀퐷 = 2 5√5 8 5√5 = 1 4 ， ∴ 퐷푁 푁푀 = 3． 26.对于抛物线푦 = 1 3 푥2 − 2푥，令푦＝0，得到1 3 푥2 − 2푥＝0， 解得푥＝0或6， ∴ 퐴(6,  0)， ∵ 直线푦 = − 1 2 푥 + 푏经过点퐴， ∴ 0＝−3 + 푏， ∴ 푏＝3， ∵ 푦 = 1 3 푥2 − 2푥 = 1 3 (푥 − 3)2 − 3， ∴ 푀(3, −3)． 证明：如图1中，设平移后的直线的解析式푦 = − 1 2 푥 + 푛． 9 / 9 ∵ 平移后的直线经过푀(3, −3)， ∴ −3 = − 3 2 + 푛， ∴ 푛 = − 3 2 ， ∴ 平移后的直线的解析式为푦 = − 1 2 푥 − 3 2 ， 过点퐷(2,  0)作퐷퐻 ⊥ 푀퐶于퐻， 则直线퐷퐻的解析式为푦＝2푥 − 4， 由{ 푦 = 2푥 − 4 푦 = − 1 2 푥 − 3 2 ，解得{ 푥 = 1 푦 = −2 ， ∴ 퐻(1, −2)， ∵ 퐷(2,  0)，푀(3, −3)， ∴ 퐷퐻 = √22 + 12 = √5，퐻푀 = √12 + 22 = √5， ∴ 퐷퐻＝퐻푀． ∴ ∠퐷푀퐶＝45∘， ∵ ∠퐴퐷푀＝∠퐷푀퐶 + ∠퐴퐶푀， ∴ ∠퐴퐷푀 − ∠퐴퐶푀＝45∘． 如图2中，过点퐺作퐺퐻 ⊥ 푂퐴于퐻，过点퐸作퐸퐾 ⊥ 푂퐴于퐾． ∵ ∠퐵퐸퐹＝2∠퐵퐴푂，∠퐵퐸퐹＝∠퐵퐴푂 + ∠퐸퐹퐴， ∴ ∠퐸퐹퐴＝∠퐵퐴푂， ∵ ∠퐸퐹퐴＝∠퐺퐹퐻，tan∠퐵퐴푂 = 푂퐵 푂퐴 = 3 6 = 1 2 ， ∴ tan∠퐺퐹퐻＝tan∠퐸퐹퐾 = 1 2 ， ∵ 퐺퐻 // 퐸퐾， ∴ 퐺퐹 퐸퐹 = 퐺퐻 퐸퐾 = 4 3 ，设퐺퐻＝4푘，퐸퐾＝3푘， 则푂퐻＝퐻퐺＝4푘，퐹퐻＝8푘，퐹퐾＝퐴퐾＝6푘， ∴ 푂퐹＝퐴퐹＝12푘＝3， ∴ 푘 = 1 4 ， ∴ 푂퐹＝3，퐹퐾＝퐴퐾 = 3 2 ，퐸퐾 = 3 4 ， ∴ 푂퐾 = 9 2 ， ∴ 퐸(9 2 , 3 4)．