中考数学第一轮复习导学案与圆有关的计算

中考数学第一轮复习导学案与圆有关的计算

- 1 - 与圆有关的计算 ◆课前热身 1.⊙O 的内接多边形周长为 3 ，⊙O 的外切多边形周长为 3.4， 则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ ） A． 6 B． 8 C． 10 D． 17 2.如图已知扇形 AOB 的半径为 6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则 围成的圆锥的侧面积为（ ） A． 24πcm B． 26πcm C． 29πcm D． 212πcm 3.若一个圆锥的底面圆的周长是 4π cm，母线长是 6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的 度数是 A．40° B．80° C．120° D．150° 4.艳军中学学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为 1.8 米，所对的圆心角为 100°，则弧长是 米．(π ≈3) 【参考答案】 1. C 2. D 3. C 4. 3 ◆考点聚焦 1．理解正多边形的有关概念，•并能熟练完成正多边形的有关计算及画出正多边形．其 中相关公式的理解记忆及其灵活运用是本节重点之一． 2．灵活求解圆周长、弧长以及圆、扇形、弓形和简单的组合图形的面积．•其中求组合 图形和不规则图形的周长和面积是本节的难点． 3．能进行圆柱、圆锥的侧面积、全面积的计算，了解它们的侧面展开图，•这也是本节 120 B O A 6cm - 2 - 的重点和中考热点． ◆备考兵法 本节出现的面积的计算往往是不规则图形，不易直接求出，•所以要将其转化为与其面 积相等的规则图形，等积转化的一般方法是：（1）利用平移、•旋转或轴对称等图形变换进 行转化；（2）•根据同底（等底）同高（等高）的三角形的面积相等进行转化；（3）利用几 个规则图形的面积和或差求不规则图形的面积． 常考题型：圆中的计算问题多以选择题、填空题的形式出现，通过作图、识图、•阅读 图形，探索弧长、扇形及其组合图形的面积计算方法和解题规律，正确区分圆锥及侧面展开 图中各元素的关系是解决本节问题的关键． ◆考点链接 1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n°的圆心角所对 的弧长为 ，弧长公式为 . 2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n°的圆心角所在 的扇形面积为 S= 2R = = . 3. 圆柱的侧面积公式：S= 2 rl .（其中 r 为 的半径，l 为 的高） 4. 圆锥的侧面积公式：S= rl .（其中 为 的半径， 为 的长） 5. 扇形面积公式：（1）n°圆心角的扇形面积是 S 扇形=______；（ 2）弧长为 L 的扇形面积是 S 扇形=_____． 6.正多边形： 正多边形的定义：________相等，________也相等的多边形叫做正多边形． 正多边形和圆的关系，把圆分成 n（n≥3）等份． （1）依次连结各______所得的多边形是这个圆的_______； （2）经过各分点作圆的切线，•以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的________． 与正多边形有关的概念： （1）正多边形的中心：正多边形_________（或_____）的圆心； （2）正多边形的半径：正多边形的_________的半径； （3）正多边形的边心距：•_________•到正多边形一边的距离，•也是正多边形_______ 的半径； （4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角． - 3 - ◆典例精析 例 1（黑龙江哈尔滨）圆锥的底面半径为 8，母线长为 9，则该圆锥的侧面积为（ ）． A．36π B． 48π C．72π D．144π 【答案】C. 【解析】我们知道圆锥的侧面积展开图为扇形，由扇形面积公式可以得出此圆锥侧面积为： 2 1 ×9×2л ×8=72л 例 2（湖北襄樊）如图，在 Rt ABC△ 中， 90 4 2C AC BC  ∠ °， ， ，分别以 AC . BC 为 直 径 画 半 圆 ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 ．（ 结 果 保 留  ） 【答案】 5 π 42  【解析】本题考查直角三角形，扇形面积，由图可知阴影部分的面积=半圆 AC 的面积+半圆 BC 的面积- 的面积，所以 S 阴影= 221 1 1 5π 2 1 2 4 π 42 2 2 2      ，故填 . 例 3（湖北黄冈）如图是“明清影视城”的圆弧拱门，•黄红同学到影视城游玩，很想知道 这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：•这个 圆 弧形门 所在的 圆与 水平 地面是 相切的 ， AB=CD=20cm， BD=200cm，且 AB，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据， 请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高 度是多少． 【答案】解：设圆心为 O，⊙O 与 BD 相切于点 E（如图）． 连结 AC，OE 相交于点 F，由题易知四边形 ABDC 为矩形． ∵BD 切⊙O 于点 E， ∴OF⊥AC， ∴EF=AB=20cm，AF=100cm． 设⊙O 半径为 rcm，则 OF=（r－20）cm． 在 Rt△AOF 中，由勾股定理得 r2=（r－20）2+1002， C A B - 4 - ∴r=260（cm）． ∴圆弧形拱门的最高点离地面的高度为 2r=2×260=520cm． 【点评】在弓形有关计算中，常构造以半径，弦长的一半是半径与弓高的差所构成的直 角三角形来解决问题． ◆迎考精练 一、选择题 1.（湖南长沙）如图，已知 O⊙ 的半径 6OA  ， 90AOB°，则 AOB 所对的弧 AB 的 长为（ ） A． 2π B．3π C．6π D．12π 2.（山东东营）将直径为 60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料， 不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 ( ) A．10cm B．30cm C．40cm D．300cm 3.(陕西省)若用半径为 9，圆心角为 120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）， 则这个圆锥的底面半径是 （ ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 4.（湖北仙桃）现有 30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为 40cm，小红同学为了在 “六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩 下的纸片制作 成一个底面半径为 10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为 （ ）． A.9° B.18° C.63° D.72° O B A - 5 - 5.（广东广州）已知圆锥的底面半径为 5cm，侧面积为 65π cm2，设圆锥的母线与高的夹角 为 θ （如图所示），则 sinθ 的值为（ ） A. 12 5 B. 13 5 C. 13 10 D. 13 12 6.（山东济南）在综合实践活动课上，小 明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图 所示，它的底面半径 6cmOB  ，高 8cmOC  ．则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ） A． 230cm B． 230 cm C． 260 cm D． 2120cm 二、填空题 1.（河南）如图，在半径为 5 ，圆心角等于 450 的扇形 AOB 内部作一个正方形 CDEF，使点 C 在 OA 上，点 D.E 在 OB 上，点 F 在 AB 上，则阴影部分的面积为（结果保留  ） . 2.（长春）如图，方格纸中 4 个小正方形的边长均为 1，则图中阴影部分三个小扇形的面积 和为 （结果保留 π ）． 3.（辽宁锦州）将一块含 30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是 第 2 题图 - 6 - 3 ，则圆锥的侧面积是____. 4.（浙江台州）如图，三角板 ABC 中，  90ACB ，  30B ， 6BC ． 三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点 A 的对应点 'A 落在 AB 边的起始位置上时即停止转 动，则 B 点转过的路径长为 ． 5.（江苏省）已知正六边形的边长为 1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为 半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm（结果保留 π ）． 6. (湖北黄冈) 矩形 ABCD 的边 AB=8，AD=6，现将矩形 ABCD 放在直线 l 上且沿着 l 向右作 无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置 1 1 1 1A B C D 时（如图所示），则顶点 A 所经过的 路线长是_________． 7. (湖北鄂州)已知在△ABC 中，AB=6，AC=8，∠A=90°，把 Rt△ABC 绕直线 AC 旋转一周 得到一个圆锥，其表面积为 1S ,把 Rt△ABC 绕直线 AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积 为 2S ，则 ： 2S 等于_________ 三、解答题 1.（浙江杭州）如图，有一个圆 O 和两个正六边形 1T ， 2T ． 1T 的 6 个顶点都在圆周上， 的 6 条边都和圆 O 相切（我们称 ， 分别为圆 O 的内接正六边形和外切正六边形）． B A C A B 第 4 题 - 7 - （1）设 1T ， 2T 的边长分别为 a ，b ，圆 O 的半径为 r ，求 ar : 及 br : 的值； （2）求正六边形 ， 的面积比 21 : SS 的值． 2.（湖南衡阳）如图，圆心角都是 90º 的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起，连结 AC，BD． （1）求证：AC=BD； （2）若图中阴影部分的面积是 2 4 3 cm ，OA=2cm，求 OC 的长． 3.（新疆）如图，已知菱形 ABCD的边长为1.5cm ， BC， 两点在扇形 AEF 的 上，求 的长度及扇形 ABC 的面积． 【参考答案】 T2 T1 O B C D A E F - 8 - 选择题 1. B 【解析】本题考查了圆的弧长公式。由弧长公式 180 Rnl  ，解得  3180 690 l 2. A 3. C 4. B 5. A 6. C 填空题 1. 2 3 8 5  2. 8 3 3. 18π 4. 2 5. 2π 6. 24 7. 2∶3 解答题 1.解：（1）连接圆心 O 和 T 1 的 6 个顶点可得 6 个全等的正三角形 . 所以 r∶a=1∶1; 连接圆心 O 和 T 2 相邻的两个顶点，得以圆 O 半径为高的正三角形， 所以 r∶b= 3 ∶2; （2） T ∶T 的连长比是 3 ∶2，所以 S ∶S = 4:3):( 2 ba . 2. （1）证明： - 9 - BDAC BODAOC DOCO BOAB BODAOC AODBODAODAOC CODAOB           900＝＝ （2）根据题意得： 360 )(90 360 90 360 90 2222 OCOAOCOAS   阴影 ； ∴ 360 )2(90 4 3 22 OC  解得：OC＝1cm． 3. 解： 四边形 ABCD是菱形且边长为 1.5， 1.5AB BC   ．又 BC、 两点在扇形 AEF 的 上， 1.5AB BC AC    ， ABC△ 是等边三角形． 60BAC  °． 的长 2180 5.160   （cm）  8 35.122 1 2 1  lRS ABC扇形 )( 2cm