2020九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3

2020九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3

第2课时　垂径定理的逆定理 知识点一　垂径定理的逆定理1‎ 平分弦(________)的直径________，并且平分________．‎ ‎1．如图3－3－9，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为(　　)‎ 图3－3－9‎ A．9 B．‎8 C．6 D．4‎ 知识点二　垂径定理的逆定理2‎ 平分弧的直径__________________．‎ ‎2．如图3－3－10，AB是⊙O的直径，B是的中点，AB＝‎10 cm，OE＝‎3 cm，则CD的长为________cm.‎ 7‎ 图3－3－10‎ 类型一　运用垂径定理的逆定理解决圆中的边角问题 例1 [教材补充例题] 如图3－3－11，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC，垂足为H，D是的中点，连结AD，OA.‎ 求证：AD平分∠HAO.‎ 图3－3－11‎ ‎【归纳总结】借助垂径定理的逆定理添加辅助线的思路 ‎(1)连结圆心与弦的中点；(2)连结圆心与弧的中点．‎ 类型二　综合运用垂径定理及其逆定理解决问题 例2 [教材例3拓展] 有一座桥，桥拱是圆弧形(水面以上部分)，测量时只测到桥下水面宽AB为16 m(如图3－3－12)，桥拱最高处点C离水面4 m.‎ ‎(1)求该桥拱的半径；‎ ‎(2)若大雨过后，桥下水面宽度为‎12 m，则水面涨高了多少？‎ 7‎ 图3－3－12‎ ‎【归纳总结】垂径定理及其逆定理的相互关系 7‎ 在定理“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”中，为什么强调弦不是直径？‎ 7‎ 详解详析 ‎【学知识】‎ 知识点一　不是直径　垂直于弦　弦所对的弧 ‎1．[解析] B　∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，‎ ‎∴OB＝OC＝5，OE＝5－2＝3.‎ ‎∵直径CD过弦AB的中点E，‎ ‎∴CD⊥AB，∴AE＝BE.‎ 在Rt△OBE中，∵OE＝3，OB＝5，‎ ‎∴BE＝＝4，‎ ‎∴AB＝2BE＝8.‎ 知识点二　垂直平分弧所对的弦 ‎2．[答案] 8‎ ‎[解析] 连结OC，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，B是的中点，‎ ‎∴直径AB⊥弦CD，‎ ‎∴CE＝DE.‎ 在Rt△OEC中，OE＝3，OC＝5，‎ ‎∴CE＝＝4，‎ ‎∴CD＝2CE＝8(cm)．‎ ‎【筑方法】‎ 例1　证明：连结OD，交BC于点E.‎ ‎∵D是的中点，∴OD⊥BC.‎ 又∵AH⊥BC，∴OD∥AH，‎ ‎∴∠ODA＝∠DAH.‎ ‎∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，‎ 7‎ ‎∴∠OAD＝∠DAH，‎ ‎∴AD平分∠HAO.‎ 例2　解：(1)如图，设点O为圆心，连结OA，OC，OC交AB于点D.‎ 由题意，得AB＝16 m，CD＝4 m，＝，‎ 所以OC⊥AB，‎ 所以AD＝AB＝×16＝8(m)．‎ 设⊙O的半径为x m，则在Rt△AOD中，‎ OA2＝AD2＋OD2，即x2＝82＋(x－4)2，‎ 解得x＝10.‎ 所以该桥拱的半径为10 m.‎ ‎(2)设水面上涨到EF位置(如图)．‎ 此时EF＝12 m，EF∥AB，有OC⊥EF(设垂足为M)，‎ 所以EM＝EF＝×12＝6(m)．‎ 连结OE，则有OE＝10 m，‎ 所以OM＝＝＝8(m)．‎ 又因为OD＝OC－CD＝10－4＝6(m)，‎ 所以OM－OD＝8－6＝2(m)，‎ 即大雨过后，水面涨高了2 m.‎ ‎【勤反思】‎ ‎[小结] 垂直于弦　平分　垂直平分 ‎[反思] 因为如果不强调弦不是直径，那么会出现两条相互平分的直径不垂直，并且也不能平分弦所对的弧的情况．如图，弦AB被CD平分，但AB与CD不垂直，且≠.‎ 7‎ 7‎