四川省泸州市中考数学试题含答案解析(pdf版)

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第 1 页（共 23 页） 2018 年四川省泸州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）在每小题给出的四 个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的 位置上. 1．（ 3 分）在﹣2，0， ，2 四个数中，最小的是（ ） A．﹣2 B．0 C． D．2 2．（ 3 分）2017 年，全国参加汉语考试的人数约为 6500000，将 6500000 用科学 记数法表示为（ ） A．6.5×105 B．6.5×106 C．6.5×107 D．65×105 3．（ 3 分）下列计算，结果等于 a4 的是（ ） A．a+3a B．a5﹣a C．（ a2）2 D．a8÷a2 4．（ 3 分）如图是一个由 5 个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图 是（ ） A． B． C． D． 5．（ 3 分）如图，直线 a∥b，直线 c 分别交 a，b 于点 A，C，∠BAC 的平分线交 直线 b 于点 D，若∠1=50°，则∠2 的度数是（ ） A．50° B．70° C．80° D．110° 6．（ 3 分）某校对部分参加夏令营的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果 第 2 页（共 23 页） 如下表： 年龄 13 14 15 16 17 人数 1 2 2 3 1 则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ） A．16，15 B．16，14 C．15，15 D．14，15 7．（ 3 分）如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AB 中点，且 AE+EO=4， 则▱ABCD 的周长为（ ） A．20 B．16 C．12 D．8 8．（ 3 分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的 骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的 一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b．若 ab=8， 大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ） A．9 B．6 C．4 D．3 9．（ 3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+k﹣1=0 有两个不相等的实数根， 则实数 k 的取值范围是（ ） A．k≤2 B．k≤0 C．k＜2 D．k＜0 10．（ 3 分）如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交于 点 G，若 AE=3ED，DF=CF，则 的值是（ ） 第 3 页（共 23 页） A． B． C． D． 11．（ 3 分）在平面直角坐标系内，以原点 O 为原心，1 为半径作圆，点 P 在直 线 y= 上运动，过点 P 作该圆的一条切线，切点为 A，则 PA 的最小值为 （ ） A．3 B．2 C． D． 12．（ 3 分）已知二次函数 y=ax2+2ax+3a2+3（其中 x 是自变量），当 x≥2 时，y 随 x 的增大而增大，且﹣2≤x≤1 时，y 的最大值为 9，则 a 的值为（ ） A．1 或﹣2 B． 或 C． D．1 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 13．（ 3 分）若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ． 14．（ 3 分）分解因式：3a2﹣3= ． 15．（ 3 分）已知 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣2x﹣1=0 的两实数根，则 的值是 ． 16．（ 3 分）如图，等腰△ABC 的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边 BC 上，且 BF=3FC，EG 是腰 AC 的垂直平分线，若点 D 在 EG 上运动，则△CDF 周长的最小 值为 ． 三、（每小题 6 分，共 18 分） 17．（ 6 分）计算：π0+ +（ ）﹣1﹣|﹣4|． 18．（ 6 分）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C． 第 4 页（共 23 页） 19．（ 6 分）化简：（1+ ）÷ ． 四、（每小题 7 分，共 14 分） 20．（ 7 分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看 电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取 n 名学生作为 样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一 项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图 7 所示的两幅不完整的统计图．由图 中提供的信息，解答下列问题： （1）求 n 的值； （2）若该校学生共有 1200 人，试估计该校喜爱看电视的学生人数； （3）若调查到喜爱体育活动的 4 名学生中有 3 名男生和 1 名女生，现从这 4 名 学生中任意抽取 2 名学生，求恰好抽到 2 名男生的概率． 21．（ 7 分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书 每本价格的 2.5 倍，用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24 本． （1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ （2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本，且 用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过 1060 元，那么该图书馆最多可以购买 多少本乙图书？ 五、（每小题 8 分，共 16 分） 22．（ 8 分）如图，甲建筑物 AD，乙建筑物 BC 的水平距离 AB 为 90m，且乙建筑 物的高度是甲建筑物高度的 6 倍，从 E（A，E，B 在同一水平线上）点测得 D 点 第 5 页（共 23 页） 的仰角为 30°，测得 C 点的仰角为 60°，求这两座建筑物顶端 C、D 间的距离（计 算结果用根号表示，不取近似值）． 23．（ 8 分）一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A（﹣2，12）， B（8，﹣3）． （1）求该一次函数的解析式； （2）如图，该一次函数的图象与反比例函数 y= （m＞0）的图象相交于点 C（x1， y1）， D（x2，y2），与 y 轴交于点 E，且 CD=CE，求 m 的值． 六、（每小题 12 分，共 24 分） 24．（ 12 分）如图，已知 AB，CD 是⊙O 的直径，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延 长线于点 P，⊙O 的弦 DE 交 AB 于点 F，且 DF=EF． （1）求证：CO2=OF•OP； （2）连接 EB 交 CD 于点 G，过点 G 作 GH⊥AB 于点 H，若 PC=4 ，PB=4，求 GH 的长． 第 6 页（共 23 页） 25．（ 12 分）如图 11，已知二次函数 y=ax2﹣（2a﹣ ）x+3 的图象经过点 A（4， 0），与 y 轴交于点 B．在 x 轴上有一动点 C（m，0）（ 0＜m＜4），过点 C 作 x 轴 的垂线交直线 AB 于点 E，交该二次函数图象于点 D． （1）求 a 的值和直线 AB 的解析式； （2）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，设 △ACE，△DEF 的面积分别为 S1，S2，若 S1=4S2， 求 m 的值； （3）点 H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点 G 是线段 AB 上的动点， 当四边形 DEGH 是平行四边形，且▱DEGH 周长取最大值时，求点 G 的坐标． 第 7 页（共 23 页） 2018 年四川省泸州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）在每小题给出的四 个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的 位置上. 1．（ 3 分）在﹣2，0， ，2 四个数中，最小的是（ ） A．﹣2 B．0 C． D．2 【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得 ﹣2＜0＜ ＜2， ﹣2 最小， 故选：A． 2．（ 3 分）2017 年，全国参加汉语考试的人数约为 6500000，将 6500000 用科学 记数法表示为（ ） A．6.5×105 B．6.5×106 C．6.5×107 D．65×105 【解答】解：6500000=6.5×106， 故选：B． 3．（ 3 分）下列计算，结果等于 a4 的是（ ） A．a+3a B．a5﹣a C．（ a2）2 D．a8÷a2 【解答】解：A、a+3a=4a，错误； B、a5 和 a 不是同类项，不能合并，故此选项错误； C、（ a2）2=a4，正确； D、a8÷a2=a6，错误； 故选：C． 第 8 页（共 23 页） 4．（ 3 分）如图是一个由 5 个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图 是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列 是一个小正方形， 故选：B． 5．（ 3 分）如图，直线 a∥b，直线 c 分别交 a，b 于点 A，C，∠BAC 的平分线交 直线 b 于点 D，若∠1=50°，则∠2 的度数是（ ） A．50° B．70° C．80° D．110° 【解答】解：∵∠BAC 的平分线交直线 b 于点 D， ∴∠BAD=∠CAD， ∵直线 a∥b，∠1=50°， ∴∠BAD=∠CAD=50°， ∴∠2=180°﹣50°﹣50°=80°． 故选：C． 6．（ 3 分）某校对部分参加夏令营的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果 如下表： 年龄 13 14 15 16 17 第 9 页（共 23 页） 人数 1 2 2 3 1 则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ） A．16，15 B．16，14 C．15，15 D．14，15 【解答】解：由表可知 16 岁出现次数最多，所以众数为 16 岁， 因为共有 1+2+2+3+1=9 个数据， 所以中位数为第 5 个数据，即中位数为 15 岁， 故选：A． 7．（ 3 分）如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AB 中点，且 AE+EO=4， 则▱ABCD 的周长为（ ） A．20 B．16 C．12 D．8 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC， ∵AE=EB， ∴OE= BC， ∵AE+EO=4， ∴2AE+2EO=8， ∴AB+BC=8， ∴平行四边形 ABCD 的周长=2×8=16， 故选：B． 8．（ 3 分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的 骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的 一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b．若 ab=8， 大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ） 第 10 页（共 23 页） A．9 B．6 C．4 D．3 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为： ab= ×8=4， ∴4× ab+（a﹣b）2=25， ∴（a﹣b）2=25﹣16=9， ∴a﹣b=3， 故选：D． 9．（ 3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+k﹣1=0 有两个不相等的实数根， 则实数 k 的取值范围是（ ） A．k≤2 B．k≤0 C．k＜2 D．k＜0 【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0， 解得 k＜2． 故选：C． 10．（ 3 分）如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交于 点 G，若 AE=3ED，DF=CF，则 的值是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：如图作，FN∥AD，交 AB 于 N，交 BE 于 M． 第 11 页（共 23 页） ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB∥CD，∵FN∥AD， ∴四边形 ANFD 是平行四边形， ∵∠D=90°， ∴四边形 ANFD 是解析式， ∵AE=3DE，设 DE=a，则 AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a， ∵AN=BN，MN∥AE， ∴BM=ME， ∴MN= a， ∴FM= a， ∵AE∥FM， ∴ = = = ， 故选：C． 11．（ 3 分）在平面直角坐标系内，以原点 O 为原心，1 为半径作圆，点 P 在直 线 y= 上运动，过点 P 作该圆的一条切线，切点为 A，则 PA 的最小值为 （ ） A．3 B．2 C． D． 【解答】解：如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OH ⊥CD 于 H， 当 x=0 时，y= x+2 =2 ，则 D（0，2 ）， 当 y=0 时， x+2 =0，解得 x=﹣2，则 C（﹣2，0）， ∴CD= =4， 第 12 页（共 23 页） ∵ OH•CD= OC•OD， ∴OH= = ， 连接 OA，如图， ∵PA 为⊙O 的切线， ∴OA⊥PA， ∴PA= = ， 当 OP 的值最小时，PA 的值最小， 而 OP 的最小值为 OH 的长， ∴PA 的最小值为 = ． 故选：D． 12．（ 3 分）已知二次函数 y=ax2+2ax+3a2+3（其中 x 是自变量），当 x≥2 时，y 随 x 的增大而增大，且﹣2≤x≤1 时，y 的最大值为 9，则 a 的值为（ ） A．1 或﹣2 B． 或 C． D．1 【解答】解：∵二次函数 y=ax2+2ax+3a2+3（其中 x 是自变量）， ∴对称轴是直线 x=﹣ =﹣1， ∵当 x≥2 时，y 随 x 的增大而增大， ∴a＞0， ∵﹣2≤x≤1 时，y 的最大值为 9， ∴x=1 时，y=a+2a+3a2+3=9， ∴3a2+3a﹣6=0， ∴a=1，或 a=﹣2（不合题意舍去）． 第 13 页（共 23 页） 故选：D． 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 13．（ 3 分）若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x≥1 ． 【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义， ∴x﹣1≥0， 解得 x≥1． 故答案为：x≥1． 14．（ 3 分）分解因式：3a2﹣3= 3（a+1）（ a﹣1） ． 【解答】解：3a2﹣3， =3（a2﹣1）， =3（a+1）（ a﹣1）． 故答案为：3（a+1）（ a﹣1）． 15．（ 3 分）已知 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣2x﹣1=0 的两实数根，则 的值是 6 ． 【解答】解：∵x1、x2 是一元二次方程 x2﹣2x﹣1=0 的两实数根， ∴x1+x2=2，x1x2=﹣1， =2x1+1， =2x2+1， ∴ = + = = = =6． 故答案为：6． 16．（ 3 分）如图，等腰△ABC 的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边 BC 上，且 BF=3FC，EG 是腰 AC 的垂直平分线，若点 D 在 EG 上运动，则△CDF 周长的最小 值为 13 ． 第 14 页（共 23 页） 【解答】解：如图作 AH⊥BC 于 H，连接 AD． ∵EG 垂直平分线段 AC， ∴DA=DC， ∴DF+DC=AD+DF， ∴当 A、D、F 共线时，DF+DC 的值最小，最小值就是线段 AF 的长， ∵ •BC•AH=120， ∴AH=12， ∵AB=AC，AH⊥BC， ∴BH=CH=10， ∵BF=3FC， ∴CF=FH=5， ∴AF= = =13， ∴DF+DC 的最小值为 13． 故答案为 13． 三、（每小题 6 分，共 18 分） 17．（ 6 分）计算：π0+ +（ ）﹣1﹣|﹣4|． 【解答】解：原式=1+4+2﹣4=3． 18．（ 6 分）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C． 第 15 页（共 23 页） 【解答】证明：∵DA=BE， ∴DE=AB， 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠C=∠F． 19．（ 6 分）化简：（1+ ）÷ ． 【解答】解：原式= • = ． 四、（每小题 7 分，共 14 分） 20．（7 分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看 电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取 n 名学生作为 样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一 项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图 7 所示的两幅不完整的统计图．由图 中提供的信息，解答下列问题： （1）求 n 的值； （2）若该校学生共有 1200 人，试估计该校喜爱看电视的学生人数； （3）若调查到喜爱体育活动的 4 名学生中有 3 名男生和 1 名女生，现从这 4 名 学生中任意抽取 2 名学生，求恰好抽到 2 名男生的概率． 第 16 页（共 23 页） 【解答】解：（1）n=5÷10%=50； （2）样本中喜爱看电视的人数为 50﹣15﹣20﹣5=10（人）， 1200× =240， 所以估计该校喜爱看电视的学生人数为 240 人； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到 2 名男生的结果数为 6， 所以恰好抽到 2 名男生的概率= = ． 21．（ 7 分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书 每本价格的 2.5 倍，用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24 本． （1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ （2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本，且 用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过 1060 元，那么该图书馆最多可以购买 多少本乙图书？ 【解答】解：（1）设乙图书每本价格为 x 元，则甲图书每本价格是 2.5x 元， 根据题意可得： ﹣ =24， 解得：x=20， 经检验得：x=20 是原方程的根， 则 2.5x=50， 第 17 页（共 23 页） 答：乙图书每本价格为 20 元，则甲图书每本价格是 50 元； （2）设购买甲图书本数为 x，则购买乙图书的本数为：2x+8， 故 50x+20（2x+8）≤1060， 解得：x≤10， 故 2x+8≤28， 答：该图书馆最多可以购买 28 本乙图书． 五、（每小题 8 分，共 16 分） 22．（ 8 分）如图，甲建筑物 AD，乙建筑物 BC 的水平距离 AB 为 90m，且乙建筑 物的高度是甲建筑物高度的 6 倍，从 E（A，E，B 在同一水平线上）点测得 D 点 的仰角为 30°，测得 C 点的仰角为 60°，求这两座建筑物顶端 C、D 间的距离（计 算结果用根号表示，不取近似值）． 【解答】解：由题意知：BC=6AD，AE+BE=AB=90m 在 Rt△ADE 中，tan30°= ，sin30°= ∴AE= = AD，DE=2AD； 在 Rt△BCE 中，tan60°= ，sin60°= ， ∴BE= =2 AD，CE= =4 AD； ∵AE+BE=AB=90m ∴ AD+2 AD=90 ∴AD=10 （m） 第 18 页（共 23 页） ∴DE=20 m，CE=120m ∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°，∠DEA=30°，∠CEB=60°， ∴∠DEC=90° ∴CD= = =20 （m） 答：这两座建筑物顶端 C、D 间的距离为 20 m． 23．（ 8 分）一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A（﹣2，12）， B（8，﹣3）． （1）求该一次函数的解析式； （2）如 图，该一次函数的图象与反比例函数 y= （m＞0）的图象相交于点 C（x1， y1）， D（x2，y2），与 y 轴交于点 E，且 CD=CE，求 m 的值． 【解答】解：（1）把点 A（﹣2，12）， B（8，﹣3）代入 y=kx+b 得： 解得： ∴一次函数解析式为：y=﹣ （2）分别过点 C、D 做 CA⊥y 轴于点 A，DB⊥y 轴于点 B 设点 C 坐标为（a，b），由已知 ab=m 第 19 页（共 23 页） 由（1）点 E 坐标为（0，9），则 AE=9﹣b ∵AC∥BD，CD=CE ∴BD=2a，EB=2（9﹣b） ∴OB=9﹣2（9﹣b）=2b﹣9 ∴点 D 坐标为（2a，2b﹣9） ∴2a•（2b﹣9）=m 整理得 m=6a ∵ab=m ∴b=6 则点 D 坐标化为（a，3） ∵点 D 在 y=﹣ 图象上 ∴a=4 ∴m=ab=24 六、（每小题 12 分，共 24 分） 24．（ 12 分）如图，已知 AB，CD 是⊙O 的直径，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延 长线于点 P，⊙O 的弦 DE 交 AB 于点 F，且 DF=EF． （1）求证：CO2=OF•OP； （2）连接 EB 交 CD 于点 G，过点 G 作 GH⊥AB 于点 H，若 PC=4 ，PB=4，求 GH 的长． 第 20 页（共 23 页） 【解答】（1）证明：∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC⊥PC， ∴∠PCO=90°， ∵AB 是直径，EF=FD， ∴AB⊥ED， ∴∠OFD=∠OCP=90°， ∵∠FOD=∠COP， ∴△OFD∽△OCP， ∴ = ，∵OD=OC， ∴OC2=OF•OP． （2）解：如图作 CM⊥OP 于 M，连接 EC、EO．设 OC=OB=r． 在 Rt△POC 中，∵PC2+OC2=PO2， ∴（4 ）2+r2=（r+4）2， ∴r=2， ∵CM= = ， ∵DC 是直径， ∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°， 第 21 页（共 23 页） ∴四边形 EFMC 是矩形， ∴EF=CM= ， 在 Rt△OEF 中，OF= = ， ∴EC=2OF= ， ∵EC∥OB， ∴ = = ， ∵GH∥CM， ∴ = = ， ∴GH= ． 25．（ 12 分）如图 11，已知二次函数 y=ax2﹣（2a﹣ ）x+3 的图象经过点 A（4， 0），与 y 轴交于点 B．在 x 轴上有一动点 C（m，0）（ 0＜m＜4），过点 C 作 x 轴 的垂线交直线 AB 于点 E，交该二次函数图象于点 D． （1）求 a 的值和直线 AB 的解析式； （2）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，设 △ACE，△DEF 的面积分别为 S1，S2，若 S1=4S2， 求 m 的值； （3）点 H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点 G 是线段 AB 上的动点， 当四边形 DEGH 是平行四边形，且▱DEGH 周长取最大值时，求点 G 的坐标． 【解答】解：（1）把点 A（4，0）代入，得 0=a•42﹣（2a﹣ ）×4+3 第 22 页（共 23 页） 解得 a=﹣ ∴函数解析式为：y= 设直线 AB 解析式为 y=kx+b 把 A（4，0）， B（0，3）代入 解得 ∴直线 AB 解析式为：y=﹣ （2）由已知， 点 D 坐标为（m，﹣ ） 点 E 坐标为（m，﹣ ） ∴AC=4﹣m DE=（﹣ ）﹣（﹣ ）=﹣ ∵BC∥y 轴 ∴ ∴AE= ∵∠DFA=∠DCA=90°，∠FBD=∠CEA ∴△DEF∽△AEC ∵S1=4S2 ∴AE=2DE ∴ 解得 m1= ，m2=﹣ （舍去） 故 m 值为 （3）如图，过点 G 做 GM⊥DC 于点 M 第 23 页（共 23 页） 由（2）DE=﹣ 同理 HG=﹣ ∵四边形 DEGH 是平行四边形 ∴﹣ =﹣ 整理得：（n﹣m）[ ]=0 ∵m≠n ∴m+n=4，即 n=4﹣m ∴MG=n﹣m=4﹣2m 由已知△EMG∽△BOA ∴ ∴EG= ∴▱DEGH 周长 L=2[﹣ + ]=﹣ ∵a=﹣ ＜0 ∴m=﹣ 时，L 最大． ∴n=4﹣ = ∴G 点坐标为（ ， ）