2019-2020学年山东省济南市市中区九年级（上）期中数学试卷
2019-2020学年山东省济南市市中区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为（ ）
A.(x+1)2=6 B.(x−1)2=6 C.(x+2)2=9 D.(x−2)2=9
2.
根据下面表格中的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
−0.06
−0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是( )
A.3
y1>0 D.y1>y2>0
10. （人教版）如图，直线y＝x与双曲线y=kx(k>0)的一个交点为A，且OA＝2，则k的值为（ ）
A.1 B.2 C.2 D.22
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11. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO＝90∘，OA与反比例函数y=kx的图象交于点D，且OD＝2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD＝10，则k的值为（ ）
A.−16 B.16 C.−15 D.15
12. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是边AD中点，点F在边CD上，且FE⊥BE，设BD与EF交于点G，则△DEG的面积是（ ）
A.15 B.16 C.17 D.18
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
若yx=34，则x+yx的值为________．
如果关于x的方程x2−6x+m＝0有两个相等的实数根，那么m＝________．
点P既在反比例函数y=−3x(x>0)的图象上，又在一次函数y＝−x−2的图象上，则P点的坐标是________．
反比例函数y=m−2x的图象在第二、四象限，那么实数m的取值范围是________．
如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O，E为OD的中点，连接AE并延长交CD于点F，则DF:FC等于________．
如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：
①GH⊥BE；②BG＝EG；③△MFG为等腰三角形；④DE:AB＝1+2，
其中正确结论的序号为________．
二、解答题（本大题共66分）
解方程
（1）x2−4x−1＝0；
（2）x2+3x−2＝0；
（3）2x2+3x+3＝0
已知关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0有两个实数根x1，x2．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．
某服装店出售某品牌的棉衣，进价为100元/件，当售价为150元/件时，平均每天可卖30件；为了尽快减少库存迎接“元旦”的到来，商店决定降价销售，增加利润，经调查每件降价5元，则每天可多卖10件，现要想平均每天获利2000元，且让顾客得到实惠，那么每件棉衣应降价多少元？
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如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．
(1)求证：△ADE∼△ABC；
(2)若AD=3，AB=5，求AFAG的值．
如图，点A(3, 2)和点M(m, n)都在反比例函数y=kx(x>0)的图象上．
（1）k的值为________；
（2）当m＝4，求直线AM的解析式；
（3）当m>3时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，直线AM交x轴与点Q，试说明四边形ABPQ是平行四边形．
以四边形ABCD的边AB、AD为底边分别作等腰三角形ABF和等腰三角形ADE．
（1）当四边形ABCD为正方形时（如图①），以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，连接EF、FD，线段EB和FD的数量关系是________；
（2）当四边形ABCD为矩形时（如图②），以边AB、AD为斜边分别向矩形内侧、外侧作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，连接EF、BD，线段EF和BD具有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）当四边形ABCD为平行四边形时，以边AB、AD为底边分别向平行四边形内侧、外侧作等腰△ABF和等腰△ADE，且△EAD与△FBA的顶角都为α，连接EF、BD，交点为G．请用α表示出∠EGD，并说明理由．
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参考答案与试题解析
2019-2020学年山东省济南市市中区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1.
【答案】
B
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【解答】
解：方程移项得x2−2x=5，
配方得x2−2x+1=6，
即(x−1)2=6．
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
估计一元二次方程的近似解
【解析】
根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝−0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的一个解x的范围是3.240，函数图象位于第一，三象限．
故选A．
9.
【答案】
D
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数的性质
【解析】
把两点P1(1, y1)和P2(2, y2)分别代入反比例函数y=−1x求出y2、y1的值即可．
【解答】
解：把点P1(1, y1)代入反比例函数y=1x得，y1=1；
点P2(2, y2)代入反比例函数y=1x得，y2=12；
∵ 1>12>0，
∴ y1>y2>0．
故选D．
10.
【答案】
B
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
A在直线y＝x上，且OA＝2，可求得A点坐标为(2, 2)把已知点的坐标代入解析式可得，k＝2．
【解答】
设A(x, y)，则y=xy=kxx2+y2=4 ，
解得k＝2．
11.
【答案】
A
【考点】
反比例函数系数k的几何意义
【解析】
证△DCO∽△ABO，推出DCAB=OCOB=ODOA=23，求出S△ODCS△OAB=(23)2=49，求出S△ODC＝8，根据三角形面积公式得出12OC×CD＝8，求出OC×CD＝16即可．
【解答】
∵ OD＝2AD，
∴ ODOA=23，
∵ ∠ABO＝90∘，DC⊥OB，
∴ AB // DC，
∴ △DCO∽△ABO，
∴ DCAB=OCOB=ODOA=23，
∴ S△ODCS△OAB=(23)2=49，
∵ S四边形ABCD＝10，
∴ S△ODC＝8，
∴ 12OC×CD＝8，
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OC×CD＝16，
∴ k＝−16，
12.
【答案】
B
【考点】
相似三角形的性质与判定
正方形的性质
【解析】
过点G作GM⊥AD于M，如图，先证明△ABE∽△DEF，利用相似比计算出DF=12，再利用正方形的性质判断△DGM为等腰直角三角形得到DM＝MG，设DM＝x，则MG＝x，EM＝1−x，然后证明△EMG∽△EDF，则利用相似比可计算出GM，再利用三角形面积公式计算S△DEG即可．
【解答】
过点G作GM⊥AD于M，如图，
∵ FE⊥BE，
∴ ∠AEB+∠DEF＝90∘，
而∠AEB+∠ABE＝90∘，
∴ ∠ABE＝∠DEF，
而∠A＝∠EDF，
∴ △ABE∽△DEF，
∴ AB:DE＝AE:DF，即2:1＝1:DF，
∴ DF=12，
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ADB＝45∘，
∴ △DGM为等腰直角三角形，
∴ DM＝MG，
设DM＝x，则MG＝x，EM＝1−x，
∵ MG // DF，
∴ △EMG∽△EDF，
∴ MG:DF＝EM:ED，即x:12=(1−x)：1，解得x=13，
∴ S△DEG=12×1×13=16．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
【答案】
74
【考点】
比例的性质
【解析】
根据合比性质，可得答案．
【解答】
解：由合比性质，得
x+yx=3+44=74．
故答案为：74．
【答案】
9
【考点】
根的判别式
【解析】
因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以△＝b2−4ac＝0，根据判别式列出方程求解即可．
【解答】
∵ 关于x的方程x2−6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴ △＝b2−4ac＝0，
即(−6)2−4×1×m＝0，
解得m＝9
【答案】
(1, −3)
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
点P既在反比例函数y=−3x(x>0)的图象上，又在一次函数y＝−x−2的图象上，则点P的坐标是这两个函数的解．两个函数组成方程组，解这个方程组即可．
【解答】
根据题意可得：−3x=−x−2，则x2+2x−3＝0，
即(x−1)(x+3)＝0，
解得：x＝1或x＝−3，
因为x>0，所以x＝1，此时y＝−3，
所以P点的坐标是(1, −3)．
【答案】
m<2
【考点】
反比例函数的性质
【解析】
由于反比例函数y=m−2x的图象在二、四限内，则m−2<0，解得m的取值范围即可．
【解答】
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由题意得，反比例函数y=m−2x的图象在二、四象限内，
则m−2<0，
解得m<2．
【答案】
1:2
【考点】
平行四边形的性质
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质
【解析】
先证明△DEF∽△BEA，得出DFAB=13，即可得出结论．
【解答】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB＝CD，OD＝OB，
∴ △DEF∽△BEA，
∴ DFBA=DEBE，
∵ E为OD的中点，
∴ BE＝3DE，
∴ DFBA=13，
∴ AB＝3DF，
∴ DF:CD＝1:3，
∴ DF:FC＝1:2．
【答案】
①②③
【考点】
三角形中位线定理
四边形综合题
等腰三角形的判定
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
【解析】
证明△BCE≅△DCG，即可证得∠BEC＝∠DGC，然后根据三角形的内角和定理证得∠EHG＝90∘，则HG⊥BE，然后证明△BGH≅△EGH，则H是BE的中点，则OH是△BGE的中位线，根据三角形的中位线定理即可得到HO=12BG，HO // BG，以及∠MOH＝∠EGC＝45∘，再根据等腰直角三角形的性质，得出OF=12EG，∠OFG＝45∘，以及OH＝OF，根据∠MHO+∠HOM＝∠OFH+∠OFG，即可得出∠FMG＝∠MFG，最后根据等腰直角三角形的边角关系，得出DB:AB=2:1，即可得到DE:AB=2:1．
【解答】
∵ 正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，
∴ ∠BCE＝∠DCG＝90∘，BC＝DC，EC＝GC，
∴ △BCE≅△DCG(SAS)，
∴ ∠CGD＝∠CEB，
又∵ ∠CDG＝∠HDE，
∴ ∠EHD＝∠GCD＝90∘，
∴ GH⊥BE，故①正确；
∵ ∠EGC的平分线GH过点D，
∴ ∠BGH＝∠EGH，
∵ GH⊥BE，
∴ ∠BHG＝∠EHG＝90∘，
∴ △BGH≅△EGH(ASA)，
∴ BG＝EG，故②正确；
∵ BG＝EG，GH⊥BE，
∴ H为BE的中点，
又∵ O是EG的中点，
∴ HO是△BEG的中位线，
∴ HO=12BG，HO // BG，
∴ ∠MOH＝∠EGC＝45∘，
如图，连接FO，
∵ O是EG的中点，
∴ 等腰Rt△EFG中，OF=12EG，∠OFG＝45∘，
∴ OH＝OF，
∴ ∠OHF＝∠OFH，
∴ ∠MHO+∠HOM＝∠OFH+∠OFG，即∠FMG＝∠MFG，
∴ FG＝MG，即△MFG是等腰三角形，故③正确；
如图，连接BD，
∵ HG垂直平分BE，
∴ DE＝DB，
∵ Rt△ABD中，DB:AB=2:1，
∴ DE:AB=2:1，故④错误；
二、解答题（本大题共66分）
【答案】
∵ x2−4x−1＝0，
∴ x2−4x＝1，
∴ x2−4x+4＝5，
∴ (x−2)2＝5，
∴ x＝2±5；
∵ x2+3x−2＝0，
∴ a＝1，b＝3，c＝−2，
∴ △＝9+8＝17，
∴ x=−3±172；
∵ 2x2+3x+3＝0，
∴ a＝
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2，b＝3，c＝3，
∴ △＝9−24＝−15<0，
故原方程无解
【考点】
解一元二次方程-配方法
解一元二次方程-公式法
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据公式法即可求出答案；
（3）根据公式法即可求出答案．
【解答】
∵ x2−4x−1＝0，
∴ x2−4x＝1，
∴ x2−4x+4＝5，
∴ (x−2)2＝5，
∴ x＝2±5；
∵ x2+3x−2＝0，
∴ a＝1，b＝3，c＝−2，
∴ △＝9+8＝17，
∴ x=−3±172；
∵ 2x2+3x+3＝0，
∴ a＝2，b＝3，c＝3，
∴ △＝9−24＝−15<0，
故原方程无解
【答案】
解：(1)∵ 关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0有两个实数根x1，x2，
∴ Δ=(2k−1)2−4(k2−1)=−4k+5≥0，
解得：k≤54，
∴ 实数k的取值范围为k≤54．
(2)∵ 关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0有两个实数根x1，x2，
∴ x1+x2=1−2k，x1⋅x2=k2−1．
∵ x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=16+x1⋅x2，
∴ (1−2k)2−2×(k2−1)=16+(k2−1)，即k2−4k−12=0，
解得：k=−2或k=6（不符合题意，舍去）．
∴ 实数k的值为−2．
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=−4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=1−2k、x1⋅x2=k2−1，将其代入x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=16+x1⋅x2中，解之即可得出k的值．
【解答】
解：(1)∵ 关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0有两个实数根x1，x2，
∴ Δ=(2k−1)2−4(k2−1)=−4k+5≥0，
解得：k≤54，
∴ 实数k的取值范围为k≤54．
(2)∵ 关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0有两个实数根x1，x2，
∴ x1+x2=1−2k，x1⋅x2=k2−1．
∵ x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=16+x1⋅x2，
∴ (1−2k)2−2×(k2−1)=16+(k2−1)，即k2−4k−12=0，
解得：k=−2或k=6（不符合题意，舍去）．
∴ 实数k的值为−2．
【答案】
每件棉衣应降价25元
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
设每件棉衣应降价x元，根据平均每天获利2000元，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，取其中较大的值，此题得解．
【解答】
设每件棉衣应降价x元，由题意得：(150−x−100)(30+10×x5)＝2000，
整理得：x2−35x+250＝0，
解得：x1＝10，x2＝25，
∵ 25>10，
∴ x的值选25．
【答案】
(1)证明：∵ AG⊥BC，AF⊥DE，
∴ ∠AFE=∠AGC＝90∘，
∵ ∠EAF=∠GAC，
∴ ∠AED=∠ACB，
∵ ∠EAD=∠BAC，
∴ △ADE∼△ABC.
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(2)解：方法一：由(1)可知：△ADE∼△ABC，
∴ ADAB=AEAC=35
由(1)可知：∠AFE=∠AGC=90∘，
又∵∠EAF=∠GAC，
∴ △EAF∼△CAG，
∴ AFAG=AEAC=35.
方法二：∵ AG⊥BC，AF⊥DE，
△ADE∼△ABC，
∴ AFAG=ADAB=35.
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE＝∠AGC＝90∘，从而可证明∠AED＝∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
(2)△ADE∽△ABC，ADAB=AEAC，又易证△EAF∽△CAG，所以AFAG=AEAC，从而可知AFAG=ADAB．
【解答】
(1)证明：∵ AG⊥BC，AF⊥DE，
∴ ∠AFE=∠AGC＝90∘，
∵ ∠EAF=∠GAC，
∴ ∠AED=∠ACB，
∵ ∠EAD=∠BAC，
∴ △ADE∼△ABC.
(2)解：方法一：由(1)可知：△ADE∼△ABC，
∴ ADAB=AEAC=35
由(1)可知：∠AFE=∠AGC=90∘，
又∵∠EAF=∠GAC，
∴ △EAF∼△CAG，
∴ AFAG=AEAC=35.
方法二：∵ AG⊥BC，AF⊥DE，
△ADE∼△ABC，
∴ AFAG=ADAB=35.
【答案】
6
将x＝4代入反比例解析式y=6x得：y=32，即M(4, 32)，
设直线AM解析式为y＝ax+b，
把A与M代入得：3a+b=24a+b=32 ，
解得：a=−12，b=72，
∴ 直线AM解析式为y=−12x+72；
把M(m, n)代入y=6x得m=6n，
∴ M(6n, n)
把M，A点坐标代入y＝kx+b得
k=−n3，b＝2+n，
∴ 直线AM解析式为y=−n3x+2+n，
∴ Q(6n+3, 0)，
∵ MP⊥x轴，
∴ P(6n, 0)
∴ PQ＝OQ−OP＝3，
∵ AB⊥y轴，
∴ AB // PQ，AB＝3，
∴ AB＝PQ，
∴ 四边形ABPQ是平行四边形．
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
（1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由k的值确定出反比例解析式，将x＝3代入反比例解析式求出y的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为y＝ax+b，将A与M坐标代入求出a与b的值，即可确定出直线AM解析式；
（3）由MP垂直于x轴，AB垂直于y轴，得到M与P横坐标相同，P与Q纵坐标相同，表示出P与Q坐标于是得到结论．
【解答】
将A(3, 2)代入反比例解析式得：k＝6；
故答案为：6；
将x＝4代入反比例解析式y=6x得：y=32，即M(4, 32)，
设直线AM解析式为y＝ax+b，
把A与M代入得：3a+b=24a+b=32 ，
解得：a=−12，b=72，
∴ 直线AM解析式为y=−12x+72；
把M(m, n)代入y=6x得m=6n，
∴ M(6n, n)
把M，A点坐标代入y＝kx+b得
k=−n3，b＝2+n，
∴ 直线AM解析式为y=−n3x+2+n，
∴ Q(6n+3, 0)，
∵ MP⊥x轴，
∴ P(6n, 0)
∴ PQ＝OQ−OP＝3，
∵ AB⊥y轴，
∴ AB // PQ，
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AB＝3，
∴ AB＝PQ，
∴ 四边形ABPQ是平行四边形．
【答案】
BE＝DF
结论：BD=2EF．
证明：如图②中，
∵ △ABF和△ADE是等腰直角三角形，
∴ ADAE=ABAF=2，∠EAD＝45∘，∠BAF＝45∘，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD＝90∘，
∴ ∠FAD＝∠BAD−∠BAF＝45∘，
∴ ∠EAF＝∠FAD+∠EAD＝90∘，
∴ ∠EAF＝∠BAD＝90∘，
∴ △EAF∼△DAB，
∴ BDEF=ADAE=2；
∴ BD=2EF．
如图③，设EF与AD的交点为P点，
∵ 等腰三角形ABF和ADE的顶角∠AED＝∠AFB＝α，
∴ ∠EAD＝∠EDA＝∠FAB＝∠FBA＝90∘−12α，
∴ △EAD∼△FAB，
∴ EAAF=ADAB，
∴ EAAD=AFAB，
∵ ∠EAD+∠DAF＝∠FAB+∠DAF，
即：∠EAF＝∠DAB，
∴ △EAF∼△DAB，
∴ ∠AEF＝∠ADB，
又∵ ∠APE＝∠GPD，
∴ △PAE∼△PGD，
∴ ∠EGD＝∠EAD＝90∘−12α．
【考点】
四边形综合题
【解析】
（1）先证明△ABF≅△ADE，再证明F、A、E共线，得四边形BFED是矩形，根据矩形的对角线相等得：BE＝DF可得结论；
（2）证明△EAF∼△DAB，列比例式，根据等腰直角三角形斜边与直角边的比可得结论；
（3）设EF与AD的交点为P点，证明△EAD∽△FAB，再证明△EAF∼△DAB，最后证明△PAE∼△PGD，得∠EGD＝∠EAD＝90∘−12α．
【解答】
如图①，连接BD，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB＝AD，∠BAD＝90∘，
∵ 等腰直角三角形ABF和ADE，
∴ ∠BAF＝∠ABF＝∠DAE＝∠ADE＝45∘，
∴ ∠FAB+∠BAD+∠DAE＝180∘，△ABF≅△ADE(ASA)，
∴ F、A、E共线，BF＝DE，
∵ ∠AFB+∠AED＝90∘+90∘＝180∘，
∴ DE // BF，
∴ 四边形BFED是矩形，
∴ BE＝DF．
故答案为BE＝DF．
结论：BD=2EF．
证明：如图②中，
∵
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△ABF和△ADE是等腰直角三角形，
∴ ADAE=ABAF=2，∠EAD＝45∘，∠BAF＝45∘，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD＝90∘，
∴ ∠FAD＝∠BAD−∠BAF＝45∘，
∴ ∠EAF＝∠FAD+∠EAD＝90∘，
∴ ∠EAF＝∠BAD＝90∘，
∴ △EAF∼△DAB，
∴ BDEF=ADAE=2；
∴ BD=2EF．
如图③，设EF与AD的交点为P点，
∵ 等腰三角形ABF和ADE的顶角∠AED＝∠AFB＝α，
∴ ∠EAD＝∠EDA＝∠FAB＝∠FBA＝90∘−12α，
∴ △EAD∼△FAB，
∴ EAAF=ADAB，
∴ EAAD=AFAB，
∵ ∠EAD+∠DAF＝∠FAB+∠DAF，
即：∠EAF＝∠DAB，
∴ △EAF∼△DAB，
∴ ∠AEF＝∠ADB，
又∵ ∠APE＝∠GPD，
∴ △PAE∼△PGD，
∴ ∠EGD＝∠EAD＝90∘−12α．
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