2019年长沙市初中学业水平考试试卷数学试题

2019年长沙市初中学业水平考试试卷数学试题

‎2019年长沙市初中学业水平考试试卷 数　学 一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分)‎ ‎1. 下列各数中，比－3小的数是(　　)‎ A. －5　　　B. －1　　　C. 0　　　D. 1‎ ‎2. 根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求．数据15000000000用科学记数法表示为(　　)‎ A. 15×109 B. 1.5×109‎ C. 1.5×1010 D. 0.15×1011‎ ‎3. 下列计算正确的是(　　)‎ A. 3a＋2b＝5ab B. (a3)2＝a6‎ C. a6÷a3＝a2 D. (a＋b)2＝a2＋b2‎ ‎4. 下列事件中，是必然事件的是(　　)‎ A. 购买一张彩票，中奖 B. 射击动动员射击一次，命中靶心 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180°‎ ‎5. 如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是(　　)‎ A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°‎ 第5题图 ‎　6. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是(　　)‎ ‎　　‎ 第6题图 ‎7. 在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛，如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的(　　)‎ A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 ‎8. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则这个扇形的面积是(　　)‎ A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π ‎9. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是(　　)‎ A. 20° B. 30° C. 45° D. 60°‎ 第9题图 ‎10. 如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是(　　)‎ 第10题图 A. 30 n mile B. 60 n mile C. 120 n mile D. (30＋30)n mile ‎11. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是(　　)‎ A. B. C. D. ‎12. 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋BD的最小值是(　　)‎ 第12题图 A. 2 B. 4 C. 5 D. 10‎ 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)‎ ‎13. 式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．‎ ‎14. 分解因式：am2－9a＝________．‎ ‎15. 不等式组的解集是________．‎ ‎16. 在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：‎ 摸球 试验 次数 ‎100‎ ‎1000‎ ‎5000‎ ‎10000‎ ‎50000‎ ‎100000‎ ‎“摸出 黑球”‎ 的次数 ‎36‎ ‎387‎ ‎2019‎ ‎4009‎ ‎19970‎ ‎40008‎ ‎“摸出 黑球”‎ 的频率 ‎(结果保 留小数 点后三 位)‎ ‎0.360‎ ‎0.387‎ ‎0.404‎ ‎0.401‎ ‎0.399‎ ‎0.400‎ 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是________．(结果保留小数点后一位)‎ ‎17. 如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50 m，则AB的长是________m.‎ 第17题图 ‎　18. 如图，函数y＝(k为常数，k＞0)的图象与过原点O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点(点M在点A的左侧)，直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F，现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2＋；④若MF＝MB，则MD＝2MA.其中正确结论的序号是________．(只填序号)‎ ‎　‎ 第18题图 三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎19. 计算：|－|＋－÷－2cos60°.‎ ‎20. 先化简，再求值：(－)÷，其中a＝3.‎ ‎21. 某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图.‎ 等级 频数 频率 优秀 ‎21‎ ‎42%‎ 良好 m ‎40%‎ 合格 ‎6‎ n%‎ 待合格 ‎3‎ ‎6%‎ 第21题图 请根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎(1)本次调查随机抽取了________名学生；表中m＝________，n＝________；‎ ‎(2)补全条形统计图；‎ ‎(3)若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．‎ ‎22. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G.‎ ‎(1)求证BE＝AF；‎ ‎(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．‎ 第22题图 ‎23. 近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导．某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导．据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．‎ ‎(1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；‎ ‎(2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？‎ ‎24. 根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．‎ ‎(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．‎ ‎①四条边成比例的两个凸四边形相似；(______命题)‎ ‎②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(_____命题)‎ ‎③两个大小不同的正方形相似．(________命题)‎ ‎(2)如图①，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，＝＝.求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似；‎ 第24题图①‎ ‎(3)如图②，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F，记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．‎ 第24题图②‎ ‎25. 已知抛物线y＝－2x2＋(b－2)x＋(c－2020)(b，c为常数)．‎ ‎(1)若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b，c的值；‎ ‎(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；‎ ‎(3)在(1)的条件下，存在正实数m，n(m＜n)，当m≤x≤n时，恰好有≤≤，求m，n的值．‎ ‎26. 如图，抛物线y＝ax2＋6ax(a为常数，a＞0)与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为(t，0)(－3＜t＜0)，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C.‎ ‎(1)求点A的坐标；‎ ‎(2)过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E.‎ ‎①如图①，求证CE＝DE；‎ ‎②如图②，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求－的值．‎ 第26题图 ‎2019年长沙市初中学业水平考试数学试卷解析 ‎1. A ‎2. C　【解析】将一个大于10的数用科学记数法表示，其形式为a×10n，其中1≤a＜10，n的值为原数的整数位数减1，∴15000000000 ＝1.5×1010.‎ ‎3. B　【解析】逐项分析如下：‎ 选项 逐项分析 正误 A ‎3a与2b不是同类项，无法计算  B ‎(a3)2＝a3×2＝a6‎ ‎√‎ C a6÷a3＝a6－3＝a3≠a2‎  D ‎(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≠a2＋b2‎  ‎4. D　【解析】A选项，购买一张彩票，中奖是随机事件；B选项，射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件；C选项，经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；D选项，任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件．‎ ‎5. C　【解析】∵∠1＝80°，∴∠AED＝80°.∴∠2＝180°－∠AED＝180°－80°＝100°.‎ ‎6. D　【解析】 ∵俯视图为圆，∴该几何体为圆柱或圆锥．∵左视图和主视图为三角形，∴该几何体为圆锥．‎ ‎7. B　【解析】小明要判断是否进入前5名，只要把自己的成绩与11名参赛同学成绩的中位数进行大小比较．故选B.‎ ‎8. C　【解析】∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴S扇形＝＝12π.‎ ‎9. B　【解析】由题意作图可知，MN为AB的垂直平分线，∴∠DAB＝∠B＝30°，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝90°－∠B＝60°.∴∠CAD＝∠CAB－∠DAB＝60°－30°＝30°.‎ 第10题解图 ‎10. D　【解析】如解图，作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，AC＝60 n mile，∴AD＝AC·sin∠ACD＝30 n mile.CD＝AC·cos∠ACD＝30 n mile.∵∠BCD＝45°，∠CDB＝90°，∴BD＝CD＝30 n mile，∴AB＝AD＋BD＝30＋30 n mile.‎ ‎11. A　【解析】由题意可得， ‎12. B　【解析】如解图，过点D作DF⊥AB于点F，易证△BDF∽△BAE，则∠BDF＝∠A，∴tan∠BDF＝tanA＝2，‎ 第12题解图 ‎∴cos∠BDF＝，∴DF＝BD·cos∠BDF＝BD，∴CD＋BD＝CD＋DF，∴CD＋BD的最小值即为点C到AB的垂线段CQ的长度， 在Rt△AEB中，tanA＝2，AB＝10，∴BE＝4，又∵AB＝AC，∴△ACQ≌△ABE.∴CQ＝BE＝4.‎ ‎13. x≥5　【解析】由题意得，x－5≥0，解得x≥5.‎ ‎14. a(m＋3)(m－3)　【解析】am2－9a＝a(m2－9)＝a(m＋3)(m－3)．‎ ‎15. －1≤x＜2　【解析】原不等式组为解得∴不等式组的解集是－1≤x<2.‎ ‎16. 0.4　【解析】通过大量重复试验后发现，摸到黑球的概率稳定于0.4.‎ ‎17. 100　【解析】∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，∵DE＝50 m，∴AB＝2DE＝100 m.‎ ‎18. ①③④　【解析】①设A的坐标为(a，)，M为(b，)，直线CD：y＝k1x＋b1.把A、M点坐标代入直线CD解析式，得解得：k1＝－，b1＝.‎ ‎∴y＝－x＋()k，∴D(0，k)，C(a＋b，0)．‎ ‎∴S△OAC＝(a＋b)·＝()k，‎ S△OMD＝()k·b＝()k，‎ ‎∴S△ODM＝S△OCA，结论①正确；‎ ‎②若BM⊥AM，∵O是AB中点，∴OM＝OA，设A(a，b)，M(b，a)，‎ ‎∴∠AOC＝∠MOD＝∠EOB，OM＝OB，只有当∠AOC＝15°时，‎ ‎∠MBA才为30°，∵a，b不确定，∴∠AOC不一定为15°，结论②错误；③M为(1，k)，OM＝OA，∴A(k，1)，OM2＝1＋k2，AM2＝(1－k)2＋(k－1)2.∵OM＝AM，∴1＋k2＝2(1－k)2，解得k＝2＋或2－(舍)，结论③正确；‎ ‎④如解图，分别过点M、B作y轴的垂线，垂足为H、G，‎ ‎∵MF＝MB，∴＝，在①的基础上，∴＝，OC＝a＋b OD＝()k，∴＝＝＝，MD＝DC.过点A作AN⊥x轴，垂足为点N.∴＝＝，CA＝DC，∴AM＝DC，∴MD＝2MA.结论④正确．‎ 第18题解图 ‎19. 解：原式＝＋2－－1‎ ‎＝1.‎ ‎20. 解：原式＝× ‎＝.‎ 当a＝3时，原式＝＝.‎ ‎21. 解：(1)50，20，12；‎ ‎【解法提示】抽取的学生人数为：21÷42%＝50(人)，m＝40%×50＝20，n%＝1－42%－40%－6%＝12%，即n＝12.‎ ‎(2)补全条形统计图如解图；‎ 第21题解图 ‎(3)2000×(42%＋40%)＝1640(人)，‎ 答：可估计该校掌握垃圾分类的知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．‎ ‎22. 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°.‎ 又∵DE＝CF，‎ ‎∴AD－DE＝DC－CF，即AE＝DF.‎ 在△ABE与△ADF中，‎ ‎∴△ABE≌△ADF(SAS) .‎ ‎∴BE＝AF；‎ ‎(2)∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝4－1＝3.‎ ‎∴BE＝＝＝5.‎ 由(1)知，∠EBA＝∠FAD，‎ ‎∴∠FAD＋∠AEB＝∠EBA＋∠AEB＝90°，‎ 即∠AGE＝90°＝∠BAE，‎ ‎∴△AGE∽△BAE.‎ ‎∴＝，即＝，解得AG＝.‎ ‎23. 解：(1)设增长率为x，‎ 由题意可得，2(1＋x)2＝2.42，‎ 解得x1＝－2.1(舍)，x2＝0.1，‎ ‎∴增长率为10%；‎ ‎(2)2.42×(1＋0.1)＝2.662(万人)，‎ ‎∴按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人．‎ ‎24. 解：(1)①假；‎ ‎【解法提示】四个角不一定相等，例：边长成比例的正方形和菱形．‎ ‎②假；‎ ‎【解法提示】四条边不一定成比例，例：正方形与长方形．‎ ‎③真；‎ ‎(2)证明：如解图，分别连接BD，B1D1，‎ ‎∵∠BCD＝∠B1C1D1，‎ 且＝，‎ ‎∴△BCD∽△B1C1D1.‎ ‎∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠CBD＝∠C1B1D1，＝＝，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵∠ABC＝∠A1B1C1，∠CBD＝∠C1B1D1，‎ ‎∴∠ABD＝∠A1B1D1.‎ ‎∴△ABD∽△A1B1D1.‎ ‎∵＝，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1，‎ ‎∴＝＝＝，∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1.‎ ‎∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似；‎ 第24题解图 ‎(3)∵四边形ABFE与四边形EFCD相似，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵EF＝OE＋OF，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵EF∥AB∥CD，‎ ‎∴＝，＝＝.‎ ‎∴＋＝＋.‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∵AD＝DE＋AE，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴2AE＝DE＋AE，即AE＝DE.‎ ‎∴＝1.‎ ‎25. 解：(1)由题意可得：－＝1，解得：b＝6.‎ 把(1，1)代入抛物线解析式得：－2＋b－2＋c－2020＝1，解得：c＝2019；‎ ‎(2)设其中一个点坐标为(m，－2m2＋(b－2)m＋(c－2020))，则其关于原点对称点的坐标为(－m，2m2－(b－2)m－(c－2020))，‎ 又∵两点不重合，∴m≠0.‎ 由题意得此点在抛物线上，‎ ‎∴2m2－(b－2)m－(c－2020)＝－2m2－(b－2)m＋(c－2020)，‎ 化简得：2m2＝c－2020.∴c＝2020＋2m2.‎ 又∵m≠0，∴c>2020；‎ ‎(3)由(1)可知抛物线为y＝－2x2＋4x－1＝－2(x－1)2＋1，‎ ‎∴y≤1.‎ ‎∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好有≤≤，‎ ‎∴≤y≤.‎ ‎∴≤1，即m≥1.‎ ‎∴1≤m＜n.‎ ‎∵抛物线对称轴x＝1，开口向下，‎ ‎∴当m≤x≤n时，y随x增大而减小．‎ ‎∴当x＝m时，ymax＝－2m2＋4m－1，‎ 当x＝n时，ymin＝－2n2＋4n－1，‎ 又∵≤y≤，‎ ‎∴ 将①整理得：2n3－4n2＋n＋1＝0.‎ ‎∴变形得：(2n3－2n2)－(2n2－n－1)＝0，‎ 即：2n2(n－1)－(2n＋1)(n－1)＝0.‎ ‎∴(n－1)(2n2－2n－1)＝0.‎ ‎∵n＞1，‎ ‎∴2n2－2n－1＝0.‎ ‎∴n1＝(舍去)，n2＝.‎ 同理整理②得：(m－1)(2m2－2m－1)＝0.‎ ‎∵1≤m＜n，‎ ‎∴m1＝1，m2＝(舍去)，m3＝(舍去)．‎ ‎∴综上所述，m＝1，n＝.‎ ‎26. 解：(1)令ax2＋6ax＝0，ax(x＋6)＝0，解得x1＝0，x2＝－6.‎ ‎∴A(－6，0)；‎ ‎(2)①如解图，连接PC，连接BP并延长交x轴于点M，‎ ‎∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，‎ ‎∴PM⊥OA，∠PBC＋∠BDM＝90°.‎ 又∵PC＝PB，‎ ‎∴∠PCB＝∠PBC.‎ ‎∵CE为切线，‎ ‎∴∠PCB＋∠ECD＝90°，‎ 又∵∠BDM＝∠CDE，‎ ‎∴∠ECD＝∠CDE.‎ ‎∴CE＝DE.‎ 第26题解图 ‎②设OE＝m，即E(m，0)，‎ 由切割线定理：CE2＝OE·AE.‎ 即(m－t)2＝m·(m＋6)，解得m＝①.‎ ‎∵∠CAE＝∠CBO，‎ 已知∠CAE＝∠OBE，∴∠CBO＝∠EBO，‎ 由角平分线定理得：＝，‎ 即：＝，解得m1＝②，m2＝(舍)，‎ 由①②得＝，化简为t2＋18t＋36＝0，‎ ‎∴t2＝－18t－36.‎ ‎∴－＝－－＝－＝.‎