2019年深圳中考数学试题(解析版)

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2019年深圳中考数学试题(解析版)

‎{来源}2019年深圳中考数学 ‎{适用范围:3. 九年级}‎ ‎{标题}2019年深圳市中考数学试卷 考试时间:90分钟 满分:100分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,合计36分. ‎ ‎{题目}1.(2019年深圳第1题)的绝对值是 A.-5   B.   C.5    D. ‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了绝对值的性质,根据绝对值的性质,‎-‎‎1‎‎5‎的绝对值是‎1‎‎5‎,因此本题选B.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-4]绝对值 }‎ ‎{考点:绝对值的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2.(2019年深圳第2题)下列图形中,是轴对称图形的是 A B C D ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了轴对称图形,根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后,直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形,判断即可得出答案.因此本题选A .‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-13-1-1]轴对称}‎ ‎{考点:轴对称图形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3.(2019年深圳第3题)预计2025年,中国用户将超过460 000 000户。将数据460 000 000用科学计数法表示为:‎ A. B. C. D. ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.因此本题选C.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}4.(2019年深圳第4题)下列哪个图形是正方体的展开图 A B C D ‎ ‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查正方体的展开图。选项B属于正方体的展开图中1-4-1型,A,C,D选项在折的过程中均有正方形重叠。因此本题选B ‎{分值}3‎ ‎ {章节:[1-4-1-2]点、线、面、体}‎ ‎{考点:几何体的展开图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5.(2019年深圳第5题)一组数:20,21,22,23,23,这组数的中位数和众数分别是 A.20,23 B.21,23 C.21,22 D. 22,23‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了中位数和众数,根据一组数据按照由小到大(或由大而小)的顺序排列,中间位置的数或者中间两个数据的平均数为这组数据的中位数;一组数据中出现次数最多的数据成为这组数据的众数,对各选项分析判断后即可得出答案.因此本题选D.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:中位数}{考点:众数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ 题7图 ‎{题目}6.(2019年深圳第6题)下列运算正确的是 A. B. C. D. ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查整式的运算,根据合并同类项法则;同底数幂相乘,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变,指数相乘;积的乘方,等于每一个因式的乘方的积,对各选项分析判断后利用排除法求解.本题选C ‎{分值}3‎ ‎ {章节:[1-15-2-3]整数指数幂}‎ ‎{考点: 合并同类项}{考点:同底数幂的乘法}{考点: 幂的乘方}{考点:积的乘方 }‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ 图1‎ A B ‎{题目}7.(2019年深圳第7题)如图1,已知直线∥,直线交直线、于、B两点,AC为角平分线,则下列说法错误的是 A.∠1= ∠4 B.∠1= ∠5 ‎ C.∠2= ∠3 D. ∠1= ∠3‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了平行线的性质和角平分线的性质,根据角平分线的性质,易得∠1= ∠2,根据平行线的性质,可得∠2= ∠3,∠2= ∠4,根据等量代换,可得∠1= ∠4,选项A,C,D正确。同时,∠1和∠5并不是平行线所截出的同位角,因此本题选B.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{考点:平行线的性质与判定}{考点:角平分线的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ 图2‎ ‎{题目}8.(2019年深圳第8题)如图2,已知△ABC中,AB=AC,AB=5,BC=3,以A、B两点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M、N,连接MN,与AC相交于点D,则△BDC的周长为 A.8 B.10 ‎ C.11 D. 13 ‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了垂直平分线的作图知识判断出MN是AB的垂直平分线,再根据垂直平分线的性质可得BD=AD,所以△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=3+5=8,因此本题选A.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-13-1-2]垂直平分线}‎ ‎{考点:垂直平分线的性质}{考点:与垂直平分线有关的作图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}9.(2019年深圳)已知 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,‎ 则y=ax+bx 和 的图象为( )‎ A. B. ‎ ‎ ‎ C. D. ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数图象的性质,由于抛物线开口向下,因此a<0,又由于对称轴在y轴右侧,根据“左同右异”可知a,b异号,所以b>0.所以直线应该呈下降趋势,与y轴交于正半轴,又抛物线与y轴交于下半轴,因此c<0,所以反比例函数经过二、四象限,因此本题选C.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数的系数与图象的关系}‎ ‎{考点:反比例函数的图象}‎ ‎{考点:一次函数的图象}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{题目}10.(2019年深圳)下面命题正确的是( )‎ A. 矩形对角线互相垂直 B. 方程x2 =14x的解为x=14‎ C.六边形内角和为540°‎ D. 一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了命题的真假问题,解答过程如下:‎ A.矩形的对角线应满足互相相等关系,故A命题错误;‎ B.方程x2=14x的解应是x=0或x=14,故B命题错误;‎ C.六边形内角和根据内角和公式应等于180°×(6-2)=720°,故C命题错误;‎ D.是全等判定定理中的“HL”定理,故D命题正确.‎ 因此本题答案是D.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-4] 命题、定理、证明}‎ ‎{考点:命题}{考点:矩形的性质}{考点:一元二次方程的解}{考点:多边形的内角和}‎ ‎{考点:全等三角形的判定HL}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{题目}11.(2019年深圳)定义一种新运算,例如,若,则m=( )‎ A.-2 B.- C.2 D. ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了负指数幂参与的计算问题,先根据定义,∴,∴,,因此本题答案是 ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}‎ ‎{考点:新定义}‎ ‎{考点:负指数参与的运算}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:新定义}‎ ‎{题目}12.(2019年深圳)已知菱形ABCD,E、F是动点,边长为4,BE=AF,∠BAD=120°,则下列结论正确的有几个( )‎ ‎①△BEC≌DAFC;‎ ‎②DECF为等边三角形;‎ ‎③∠AGE=∠AFC;‎ ‎④若AF=1,则 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎{答案} D ‎{解析}本题考查了菱形的性质,全等三角形判定与性质、一线三等角等有关的几何综合题.‎ ‎①选项:先由菱形的性质可知,AB=BC,∠BAC=∠CAD=60°,AD//BC,因此可得∠B=180°-∠BAD=60°,又AB=BC,∴△ABC是等边三角形,∴ BC=AC,又∠B=∠CAD=60°,BE=AF,∴△BEC≌DAFC,故正确;‎ ‎②选项:由①得EC=FC,∠BCE=∠ACF,∴∠ACF+∠ECG=∠BCE+∠ECG=∠BCA=60°,∴DECF为等边三角形,故正确;‎ ‎③选项:由②得∠CEF=60°,∴∠B=∠BAC=∠CEF=60°,∴∠AGE+∠AEG=∠AEG+∠BEC=120°,证得∠AGE=∠BEC,∴∠AGE=∠AFC,故正确;‎ ‎④选项:方法1:在△AEF中,由角平分,线定理得:,故正确;‎ 方法2:作EM//BC交AC于M点,则:易证△AEM是等边三角形,则EM=3,∴故正确;‎ 方法3:过点G分别向AE,AF作垂线,垂足为H,I,易证得△AHG≌DAIG,∴GH=GI,‎ 又∵BE=AF=1,∴AE=3,,设点A到EF距离为h,则,即,故正确.‎ 因此本题①②③④均正确,选D.‎ ‎ {分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-2]菱形}‎ ‎{考点:几何选择压轴}{考点:与矩形菱形有关的综合题}‎ ‎{考点:全等三角形的性质}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:一线三等角}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3分,合计12分. ‎ ‎{题目}13.(2019年深圳)分解因式:____________________________.‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了因式分解,先提取公因式,再利用平方差公式进行分解,得到 ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:因式分解-提公因式法}‎ ‎{考点:因式分解-平方差}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{题目}14.(2019年深圳)现有8张同样的卡片,分别标有数字:1,1,2,2,2,3,4,5,将这些卡片放在一个不透明的盒子里,搅匀后从中随机抽出一张,抽到标有数字2的卡片的概率是____________.‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了一步事件的概率;共有8张,标有数字2的卡片总共有3张,因此本题答案是.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-1-2]概率}‎ ‎{考点:一步事件的概率}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{题目}15.(2019年深圳)如图,在正方形ABCD中,BE=1,将BC沿CE翻折,使B点对应点刚好落在对角线AC上,将AD沿AF翻折,使点D对应点刚好落在对角线AC上,求EF=_______________.‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了与正方形有关的折叠问题,先作FM⊥AB于点M,由折叠可知:EX=EB=AX=1,AE=,AM=DF=YF=1,∴正方形的边长AB=FM=,EM=,‎ M Y X ‎∴,因此本题答案是.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{考点:折叠问题}{考点:正方形的性质}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:高度原创}{类别:思想方法}‎ O y x A B ‎{题目}16.(2019年深圳)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,C(0,-3),CD=3AD,点A在反比例函数图象上,且y轴平分∠ACB,求k=______________.‎ C D ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数综合题,如图所示,作AE⊥x轴,由题意,可证△COD∽△AED,‎ ‎∵CD=3AD, C(0,-3),∴AE=1,OD=3DE,设DE=x,则OD=3x,‎ ‎∵y轴平分∠ACB,∴BO=DO=3x,‎ ‎∵∠ABC=90°,AE⊥x轴,∴可证△CBO∽△BAE,则E ,‎ ‎∴,∴,因此本题答案为.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图象和性质}‎ ‎{考点:双曲线与几何图形的综合}‎ ‎{考点:相似三角形的判定(两角相等)}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:高度原创}{类别:思想方法}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题(共7小题。第17题5分,第18题6分,第19题7分,第20题8分,第21题8分,第22题9分,第23题9分。共52分)‎ ‎{题目}17.(2019年深圳第17题)计算:-2cos600++(π-3.14)0‎ ‎{解析}本题考查了二次根式,600的余弦值,负指数幂和零指数幂.‎ ‎{答案}解原式=3 - 2×+ 8 + 1‎ ‎ =3-1+8+1‎ ‎ =11‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:算术平方根}‎ ‎{考点:余弦}‎ ‎{考点:负指数的定义}‎ ‎{考点:零次幂}‎ ‎{题目}18.(2019年深圳第18题)先化简,再将x= -1代入求值.‎ ‎{解析}本题考查了分式的加减、因式分解-完全平方公式、两个分式的乘除、分式的混合运算、通分、约分、分式的值。‎ ‎{答案}解:‎ ‎ 原式= ‎ ‎ =‎ ‎ = x+2‎ ‎ 当时x= - 1时,原式=x+2= - 1+2 = 1‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:因式分解-提公因式法}‎ ‎{考点:因式分解-完全平方}‎ ‎{考点:通分}‎ ‎{考点:约分}‎ ‎{考点:两个分式的加减}‎ ‎{考点:两个分式的乘除}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{考点:分式的值}‎ ‎{题目}19.(2019年深圳第19题)某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况,随机抽取了本校的部分学生进行调查(每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器),现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图 (1) 这次共抽取 名学生进行调查,扇形统计图中的x= ;‎ (2) 请补全统计图;‎ (3) 在扇形统计图中“杨琴”所对扇形的圆心角是 度 ;‎ (4) 若该校有3000名学生,请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有 名。‎ ‎{解析}本题考查了条形统计图、扇形统计图以及由部分求总体和有总体求部分的运用.‎ ‎{答案}解:(1)80÷40%=200, x=30÷200×100%=15%‎ (2) 如上图所示:‎ (3) ‎×360=36‎ (4) ‎×3000=900 ‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-10-1]统计调查}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:抽样调查}‎ ‎{考点:条形统计图}‎ ‎{考点:扇形统计图}‎ ‎{考点:统计的应用问题}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题:本大题共7小题,合计52分.‎ ‎{题目}20.(2019年深圳)(本小题满分8分)‎ G 图7‎ 如图所示,某施工队要测量隧道长度BC,AD=600米,AD⊥BC,施工队站在点D处看向B,测得仰角为45o.再由D走到E处测量,DE//AC,ED=500米,测得仰角为53o,求隧道BC的长.(sin53o≈,cos53o≈,tan53o≈)‎ ‎{解析}本题考查了等腰三角形的性质,矩形的判定和性质,会准确地选择合适的锐角三角函数求线段的长.(1)根据仰角为45o这个已知条件可证得ΔABD是等腰直角三角形,从而可求出AB的长;(2)作EG⊥AC可得到矩形ADEG,求出EG长为600米,在RtΔCGE中,利用53o角的正切值即可求出CG的长,从而利用线段的和差关系求得BC的长.‎ ‎{答案}解:过点E作EG⊥AC,交AC于点G.‎ 由题意可知,∠ADB= 45o,∠CEG= 53o ‎∵AD⊥BC ∴∠BAD= 90o ‎∴∠ABD=90o-∠ADB=90o- 45o=45o ‎∴∠ABD= ∠ADB=45o ∴AB=AD=600米 ‎∵DE//AC ∴∠ADE=180o- 90o=90o ‎∵EG⊥AC ∴∠EGA= 90o ‎∴四边形ADEG是矩形 ‎∴EG=AD=600米, AG=DE=500米 ‎∴BG=AB-AG=600-500=100米 在RtΔCEF中,‎ ‎∴CG=tan53oEG≈=800‎ ‎∴BC=CG-BG=800-100=700米 答:隧道BC的长为700米.‎ ‎{分值}8分 ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:等腰直角三角形}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{考点:矩形的判定}‎ ‎{考点:正切}‎ ‎{考点:三角函数的关系}‎ ‎{题目}21.(2019年深圳)(本小题满分8分)‎ 现在A、B两个发电厂,每焚烧一吨垃圾,A发电厂比B发电厂多发40度电,A发电厂焚烧20‎ 吨垃圾比B发电厂焚烧30吨垃圾少发1800度电.(1)求焚烧一吨垃圾,A、B两个发电厂各发电 多少度?(2)A、B两个发电厂供焚烧90吨垃圾,且A发电厂焚烧的垃圾不多于B发电厂焚烧垃 圾的两倍,试问,当A、B两个发电厂总发电量最大时,A、B两个发电厂的发电量各为多少 度?‎ ‎{解析}本题考查了二元一次方程组应用题,以及二元一次方程组的解法,一次函数应用题的 最值问题,利用一次函数的增减性求函数最大值.(1)此题的第一小题可以选择设两个未知数,‎ 从而建立二元一次方程组的方法来求得焚烧一吨垃圾A、B两个发电厂各发电多少度;也可 以只设一个未知数,通过解一元一次方程来解决实际问题;(2)第二小题的难点在于怎样计算 A、 B两个发电厂总发电量,解决这个问题的关键是设A发电厂焚烧x吨垃圾,这样就可以用 含x的式子表示出总发电量y了.题中还涉及了最大值的问题,因此需要用到一次函数的增减性来确定x的取值,从而可以分别求出A、B两个发电厂的发电量.‎ ‎{答案}解:(1)设每焚烧一吨垃圾,A发电厂发电a吨,B发电厂发电b吨.‎ ‎ 根据题意得:‎ ‎ 解得 ‎ 答:每焚烧一吨垃圾,A发电厂发电300吨,B发电厂发电260吨.‎ ‎(2)设A发电厂焚烧x吨垃圾,则B发电厂焚烧(90-x)吨垃圾,总发电量为y吨.‎ ‎ 根据题意得:‎ ‎ y=300x+260(90-x)=40x+23400‎ ‎ ∵ A发电厂焚烧的垃圾不多于B发电厂焚烧垃圾的两倍 ‎∴x ≤ 2(90-x) 解得x ≤ 60‎ ‎ ∵k=40>0‎ ‎∴y随x的增大而增大 ‎∴当x=60时,总发电量y取最大值,最大值y=40×60+23400=25800度 此时A发电厂的发电量为:300×60=18000度 B发电厂的发电量为:260×30=7800度 ‎ 答:当A、B两个发电厂总发电量最大时,A发电厂的发电量为18000度,‎ B发电厂的发电量为7800度.‎ ‎{分值}8分 ‎{章节:[1-8-3]实际问题与二元一次方程组}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{考点:简单的列二元一次方程组应用题}‎ ‎{考点:其他一次函数的综合题}‎ ‎{考点:一次函数的性质}‎ ‎{题目}22.如图抛物线经y=ax2+bx+c过点A(一I, 0),点C(O,3),且OB=OC.‎ ‎(1)或抛物线的解析式及其对称轴:‎ ‎(2)点D、E在直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值.‎ ‎(3)点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分,求点P的坐标.‎ ‎{解析}本题考查了二次函数与轴对称,三角形面积的相关知识,比如 给与坐标轴的三个点求二次函数的解析式;通过作轴对称求两条线段的距离之和最短,从而求四边形的最短周长;通过把三角形面积之比转化为相关线段(底和高)之比,求得线段长度及点的坐标。整体综合性强,难度适中。‎ ‎(1)由OB=OC,求得点B的坐标,由待定系数法求抛物线解析式;‎ ‎(2)四边形ACDE已有两条边AC、DE的长度是固定不变的,要想周长最短,只需要CD+AE之和最短即可,CD、AE在抛物线的对称轴x=1的同侧,所以可以通过轴对称,和构造平行四边形,根据“两点之间,线段最短”,将两条线段的和转化为一条线段的长度;‎ ‎(3)存在性问题,可根据△ACP和△BCP的面积之比为3∶5或5∶3,分两种情况讨论,每种情况下都可以用底和高表示三角形的面积,由此得到直线CP的解析式,然后与抛物线解析式联立,即可求出点P 坐标.‎ ‎{答案}解: (1)∵OB=OC,C(0,3)‎ ‎∴B(3,0)‎ 把A(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax‎2‎+bx+c中,得 c=3‎a-b+c=0‎‎9a+3b+c=0‎‎ 解得:‎a=-1‎b=2‎c=3‎ ‎∴二次函数的解析式为y=-x‎2‎+2x+3‎ 图22-1‎ ‎(2)如图22-1,把点C沿y轴向下平移1个单位长度,得到点C‎,‎‎(0,2)‎ ‎∵DE=1且DE∥‎CC‎,‎ ‎∴四边形CC‎,‎ED为平行四边形,‎CD=C‎,‎E ‎∵直线x=1为抛物线的对称轴,点A、B关于直线x=1对称 连接C‎,‎B交直线x=1于点E,‎ ‎∴BE=AE,此时AE+CD=BE+C‎,‎E=BC‎,‎,根据两点之间,线段最短,得BC‎,‎为AE+CD之和的最小值,BC‎,‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎‎13‎,‎ 又∵AC=‎1+‎‎3‎‎2‎=‎‎10‎,DE=1‎ ‎∴四边形CAED的周长的最小值为‎13‎‎+‎‎10‎+1.‎ ‎(3)设直线CP与x轴的交点为点Q,点P的坐标为(x,y)‎ 过点P作PH⊥x轴于点H,‎ ‎∴‎S‎△ACP‎=S‎△ACQ+S‎△APQ=‎1‎‎2‎AQ∙OC+‎1‎‎2‎AQ∙PH ‎=‎1‎‎2‎∙AQ∙‎‎3-y ‎∴‎S‎△BCP‎=S‎△BCQ+S‎△BPQ=‎1‎‎2‎BQ∙OC+‎1‎‎2‎BQ∙PH ‎=‎1‎‎2‎∙BQ∙‎‎3-y H 图22-2‎ Q ‎∵直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分,下面分两种情况谈论:‎ ① 当S‎△ACP‎:S‎△BCP=3:5‎时,即 ‎1‎‎2‎‎∙AQ∙‎‎3-y‎1‎‎2‎‎∙BQ∙‎‎3-y‎=‎3‎‎5‎ ‎得AQBQ‎=‎‎3‎‎5‎ ‎∵AB =4,∴AQ=‎3‎‎2‎ ∴‎Q(‎1‎‎2‎,0)‎ 设直线CQ的解析式为y=kx+b 得‎1‎‎2‎k+b=0‎b=3‎ 解得k=-6‎b=3‎ ∴直线CQ的解析式为y=-6x+3‎ 又∵点P为直线CQ与抛物线的交点 联立y=-6x+3‎y=-x‎2‎+2x+3‎ 解得x=8‎y=-45‎ 或x=0‎y=3‎(舍)‎ ‎∴点P的坐标为(8,-45)‎ ② 当S‎△ACP‎:S‎△BCP=5:3‎时,即 ‎1‎‎2‎‎∙AQ∙‎‎3-y‎1‎‎2‎‎∙BQ∙‎‎3-y‎=‎5‎‎3‎ ‎得AQBQ‎=‎‎5‎‎3‎ ‎∵AB =4,∴AQ=‎5‎‎2‎ ∴‎Q(‎3‎‎2‎,0)‎ 设直线CQ的解析式为y=kx+b 得‎3‎‎2‎k+b=0‎b=3‎ 解得k=-2‎b=3‎ ∴直线CQ的解析式为y=-2x+3‎ 又∵点P为直线CQ与抛物线的交点 联立y=-2x+3‎y=-x‎2‎+2x+3‎ 解得x=4‎y=-5‎ 或x=0‎y=3‎(舍)‎ ‎∴点P的坐标为(4,-5)‎ 综上所述,点P的坐标为(8,-45)或(4,-5).‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}‎ ‎{难度: 4-较高难度} ‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{考点:二次函数y=ax2+bx+c的性质}‎ ‎{考点:线段公理}‎ ‎{考点:三角形的面积}‎ ‎{考点:最短路线问题}‎ ‎{考点:平移的性质}‎ ‎{题目}23.如图,在平面直角坐示系中,点、、,以线段BC为直径作圆,圆心为点,线段AC交⊙于点D,连接OD.‎ ‎ (1)求证:直线OD是⊙的切线;‎ ‎(2)点F为轴上的一个动点,连接CF交⊙于点G,连接BG.‎ ‎ ① 当时,直接写出所有符合条件的点F的坐标 ‎ 备用图 图11‎ 图10‎ ‎② 试求的最大值;‎ ‎{解析}本题考查了圆、三角函数、相似、勾股定理的相关知识。所涉及的方法有:数形结合、分类讨论、方程思想。‎ ‎(1)连接DE、DB,证∠EDB=∠EBD, ∠ODB=∠OBD,从而得到∠EDO=∠EBO=90°,即可证明切线。‎ ‎(2)问题①分两种情况:点F位于AB上;点F位于BA的延长线上求解。本题的关键是求AF的长度,将角度的正切值转化为线段比去对应求解,故应把∠ACF放在直角三角形中,过点F1作F1N⊥AC,利用三角函数及相似求出AF长度即可。‎ ‎ 问题②最值问题最好是利用相似比例问题去转化,会减少计算量;此题如果用代数解法,则对同学们的计算能力要求高些,或利用高中的相关公式(倍角公式或基本不等式)进行秒杀也是可以的。‎ ‎{答案}‎ ‎(1)证明:连接DE、DB,则:‎ ‎∵BC为直径 ‎∴∠BDC=90°‎ ‎∴∠BDA=90°‎ ‎∵OA=OB ‎∴OD=OB=OA ‎∴∠OBD=∠ODB ‎∵EB=ED ‎∴∠EBD=∠EDB ‎∴∠EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB 即: ∠EBO=∠EDO ‎∵CB⊥x轴 ‎∴∠EBO=90°‎ ‎∴∠EDO=90°‎ ‎∵D点在OE上 ‎∴直线OD是⊙的切线 ‎(2)如图1,当F位于AB上时:‎ x y D G F1‎ E C B O A N 图1‎ 作F1N⊥AC于点N,‎ ‎∵△ANF1∽△ABC ‎∴‎ ‎∴设AN=3x,则N F1=4x, AF1=5x ‎∴CN=CA-AN=10-3x ‎∴‎ 解得:‎ ‎∴‎ D O G C E B A x y F2‎ M 图2‎ 即 如图2,当F位于BA的延长线上时:‎ ‎∵△AMF2∽△ABC ‎∴设AM=3x,则MF2=4x, AF2=5x ‎∴CM=CA+AM=10+3x ‎∴‎ 解得:‎ ‎∴AF2=5x=2‎ OF2=3+2=5‎ 即 F2 (5,0)‎ ‎ ‎ ‎(3)方法1:‎ ‎△CBG∽△CFB ‎∴‎ 令 当时,‎ 此时 方法2:‎ M x y C E B F O G ‎.‎ 如图,作GM⊥BC于点M,‎ ‎∵∠MBG+∠BCG=∠CFB+∠BCG ‎∴∠MBG=∠CFB ‎∴△MBG∽△BFC ‎∴‎ ‎(相似三角形对应边上的高的比等于相似比)‎ ‎∵MG≤半径=4‎ ‎∴‎ ‎∴的最大值为 方法3:‎ ‎∵BC为直径 ‎∴∠CGB=∠CBF=90°‎ ‎∴∠CBG=∠CFB(记为a,其中0°
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