决胜2020中考数学压轴题全揭秘上专题10三角形问题试题

决胜2020中考数学压轴题全揭秘上专题10三角形问题试题

专题 10 三角形问题 【典例分析】 【考点 1】三角形基础知识 【例 1】（2019·浙江中考真题）若长度分别为 ,3,5a 的三条线段能组成一个三角形，则 a 的值可以是（ ） A．1 B．2 C．3 D．8 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角形三边关系可得 5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解． 【详解】 由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3， 即 2＜a＜8， 由此可得，符合条件的只有选项 C， 故选 C． 【点睛】 本题考查了三角形三边关系，能根据三角形的三边关系定理得出 5﹣3＜a＜5+3 是解此题的关键，注意：三 角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 【变式 1-1】（2019·北京中考真题）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC 的面积约为____cm2.（结 果保留一位小数） 【答案】1.9 【解析】 【分析】 过点 C 作 CD⊥AB 的延长线于点 D，测量出 AB，CD 的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积． 【详解】 解：过点 C 作 CD⊥AB 的延长线于点 D，如图所示． 经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm， 1 1 2.2 1.7 1.92 2      ABCS AB CD （cm2）． 故答案为：1.9． 【点睛】 本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键． 【变式 1-2】（2019·山东中考真题）把一块含有 45角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角 顶点在直尺的一条长边上)．若 1 23  ，则 2  _______ ． 【答案】68 【解析】 【分析】 由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠C=45°，由三角形的外角性质得出∠AGB=68°，再由平行线的性质即 可得出∠2 的度数． 【详解】 如图， ∵ ABC 是含有 45角的直角三角板， ∴ 45A C    ， ∵ 1 23  ， ∴ 1 68AGB C      ， ∵ EF BD ， ∴ 2 68AGB     ； 故答案为 68． 【点睛】 此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行， 同位角相等． 【考点 2】全等三角形的判定与性质的应用 【例 2】（2019·山东中考真题）在 ABC 中， 90BAC  ， AB AC ， AD BC 于点 D ． （1）如图 1，点 M ，N 分别在 AD ，AB 上，且 90BMN   ，当 30AMN  ∠ ， 2AB  时，求线段 AM 的长； （2）如图 2，点 E ， F 分别在 AB ， AC 上，且 90EDF   ，求证： BE AF ； （3）如图 3，点 M 在 AD 的延长线上，点 N 在 AC 上，且 90BMN   ，求证： 2AB AN AM  ． 【答案】(1) 2 32 3AM   ；(2)见解析；(3)见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD＝BD＝DC＝ 2 ，求出 ∠MBD＝30°，根据勾股 定理计算即可； （2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明； （3）过点 M 作 ME∥BC 交 AB 的延长线于 E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到 BE＝AN，根 据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论． 【详解】 （1）解： 90BAC   ， AB AC ， AD BC ， AD BD DC   ， 45ABC ACB     ， 45BAD CAD    ， 2AB  ， 2,AD BD DC    ， 30AMN   ， 180 90 30 60BMD       ， 30BMD   ， 2BM DM  ， 由勾股定理得， 2 2 2BM DM BD  ，即 2 2 2(2 ) ( 2)DM DM  ， 解得， 2 3 3DM  ， 2 32 3AM AD DM     ； （2）证明： AD BC ， 90EDF   ， BDE ADF   ， 在 BDE 和 ADF 中， { B DAF DB DA BDE ADF        ， ( )BDE ADF ASA≌  BE AF  ； （3）证明：过点 M 作 //ME BC 交 AB 的延长线于 E ， 90AME  ， 则 2AE AB ， 45E  ， ME MA  ， 90AME  ∵ ， 90BMN   ， BME AMN   ， 在 BME 和 AMN 中， { E MAN ME MA BME AMN        ， ( )BME AMN ASA ≌ ， BE AN  ， 2AB AN AB BE AE AM      ． 【点睛】 本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的 判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式 2-1】（2019·贵州中考真题）（1）如图①，在四边形 ABCD 中， AB CD∥ ，点 E 是 BC 的中点， 若 AE 是 BAD 的平分线，试判断 AB ， AD ， DC 之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长 AE 交 DC 的延长线于点 F ，易证 AEB FEC ≌ 得到 AB FC ，从 而把 AB ， AD ， DC 转化在一个三角形中即可判断． AB ， AD ， DC 之间的等量关系________； （2）问题探究：如图②，在四边形 ABCD 中， AB CD∥ ， AF 与 DC 的延长线交于点 F ，点 E 是 BC 的 中点，若 AE 是 BAF 的平分线，试探究 AB ， AF ， CF 之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） AD AB DC  ；（2） AB AF CF  ，理由详见解析. 【解析】 【分析】 （1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得 AD DF ，再根据 AAS 证得 CEF ≌ BEA ，于是 AB CF ，进一步即得结论； （2）延长 AE 交 DF 的延长线于点G ，如图②，先根据 AAS 证明 AEB ≌ GEC ，可得 AB CG ，再根 据角平分线的定义和平行线的性质证得 FA FG ，进而得出结论. 【详解】 解：（1） AD AB DC  . 理由如下：如图①，∵ AE 是 BAD 的平分线，∴ DAE BAE   ∵ AB DC ，∴ F BAE   ，∴ DAF F   ，∴ AD DF . ∵点 E 是 BC 的中点，∴CE BE ， 又∵ F BAE   ， AEB CEF   ∴ CEF ≌ BEA （AAS），∴ AB CF . ∴ AD CD CF CD AB    . 故答案为： AD AB DC  . （2） AB AF CF  . 理由如下：如图②，延长 AE 交 DF 的延长线于点G . ∵ AB DC ，∴ BAE G   ， 又∵ BE CE ， AEB GEC   ， ∴ AEB ≌ GEC （AAS），∴ AB GC ， ∵ AE 是 BAF 的平分线，∴ BAG FAG   ， ∵ BAG G   ，∴ FAG G   ，∴ FA FG ， ∵CG CF FG  ，∴ AB AF CF  . 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅 助线构造全等三角形是解本题的关键． 【变式 2-2】（2019·广西中考真题）如图， ,AB AD BC DC  ，点 E 在 AC 上． （1）求证： AC 平分 BAD ；（2）求证： BE DE ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）由题中条件易知：△ABC≌△ADC，可得 AC 平分∠BAD； （2）利用（1）的结论，可得△BAE≌△DAE，得出 BE=DE． 【详解】 解：（1）在 ABC 与 ADC 中， AB AD AC AC BC DC      ∴  ABC ADC SSS ≌ ∴ BAC DAC   即 AC 平分 BAD ； （2）由（1） BAE DAE   在 BAE 与 DAE 中，得 BA DA BAE DAE AE AE       ∴  BAE DAE SAS ≌ ∴ BE DE 【点睛】 熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键． 【考点 3】等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用 【例 3】（2019·浙江中考真题）如图，在 ABC△ 中， AC AB BC< < . ⑴已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P，连结 AP，求证： 2APC BÐ = Ð ； ⑵以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，与 BC 边交于点 Q，连结 AQ，若 3AQC BÐ = Ð ，求 BÐ 的度数. 【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°. 【解析】 【分析】 （1）根据垂直平分线的性质，得到 PA=PB，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B，从而得到答案； （2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到 答案. 【详解】 （1）证明：因为点 P 在 AB 的垂直平分线上， 所以 PA=PB， 所以∠PAB=∠B， 所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B. （2）根据题意，得 BQ=BA， 所以∠BAQ=∠BQA， 设∠B=x， 所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x， 所以∠BAQ=∠BQA=2x， 在△ABQ 中，x+2x+2x=180°， 解得 x=36°，即∠B=36°. 【点睛】 本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性 质. 【变式 3-1】（2019·辽宁中考真题）如图， ABC 是等边三角形，延长 BC 到点 D ，使CD AC ，连接 AD ．若 2AB  ，则 AD 的长为_____． 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 AB=AC=BC=CD，即可求出∠BAD=90°，∠D=30°，解直角三角形即可求得． 【详解】 解：∵ ABC 是等边三角形， ∴ 60B BAC ACB       ， ∵CD AC ， ∴ CAD D   ， ∵ 60ACB CAD D       ， ∴ 30CAD D     ， ∴ 90BAD   ， ∴ AB 2 2 3tan30 3 3 AD    ． 故答案为 2 3 ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等，证得△ABD 是含 30°角的直角三 角形是解题的关键． 【变式 3-2】（2019·辽宁中考真题）如图，把三角形纸片折叠，使点 A、点 C 都与点 B 重合，折痕分别为 EF，DG，得到 60BDE   ， 90BED   ，若 2DE  ，则 FG 的长为_____． 【答案】3 3 ． 【解析】 【分析】 根据折叠的性质可得：FG 是△ABC 的中位线，AC 的长即为△BDE 的周长.在 Rt△BDE 中，根据 30°角的直角 三角形的性质和勾股定理可分别求出 BD 与 BE 的长，从而可得 AC 的长，再根据三角形的中位线定理即得答 案. 【详解】 解：∵把三角形纸片折叠，使点 A、点 C 都与点 B 重合， ∴ AF BF ， AE BE ， BG CG ， DC DB ， ∴ 1 2FG AC ， ∵ 60BDE   ， 90BED   ， ∴ 30EBD   ， ∴ 2 4DB DE  ， ∴ 2 2 2 24 2 2 3BE DB DE     ， ∴ 2 3AE BE  ， 4DC DB  ， ∴ 2 3 2 4 6 2 3AC AE DE DC        ， ∴ 1 3 32FG AC   ， 故答案为：3 3 ． 【点睛】 本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，根据折叠的 性质得出 FG 是△ABC 的中位线，AC 的长即为△BDE 的周长是解本题的关键. 【考点 4】直角三角形的性质 【例 4】（2019·宁夏中考真题）如图，在 Rt ABC 中， 090C  ，以顶点 B 为圆心，适当长度为半径画 弧，分别交 ,AB BC 于点 ,M N ，再分别以点 ,M N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P ， 作射线 BP 交 AC 于点 D ．若 30A   ，则 BCD ABD S S    _____． 【答案】 1 2 ． 【解析】 【分析】 利用基本作图得 BD 平分 ABC ，再计算出 30ABD CBD     ，所以 DA DB ，利用 2BD CD 得 到 2AD CD ，然后根据三角形面积公式可得到 BCD ABD S S   的值． 【详解】 解：由作法得 BD 平分 ABC ， ∵ 90C  ∠ ， 30A   ， ∴ 60ABC   ， ∴ 30ABD CBD     ， ∴ DA DB ， 在 Rt BCD 中， 2BD CD ， ∴ 2AD CD ， ∴ 1 2 BCD ABD S S    . 故答案为 1 2 ． 【点睛】 本题考查了作图 - 基本作图：熟练掌握基本作图 ( 作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知 线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线 ) ． 【变式 4-1】（2019·黑龙江中考真题）一张直角三角形纸片 ABC ， 90ACB   ， 10AB  ， 6AC  ， 点 D 为 BC 边上的任一点，沿过点 D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边 AB 上的点 E 处，当 BDE 是 直角三角形时，则CD 的长为_____． 【答案】3 或 24 7 【解析】 【分析】 依据沿过点 D 的直线折叠，使直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，当△BDE 是直角三角形时，分两种情况 讨论：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到 CD 的长 【详解】 分两种情况： ①若 90DEB   ，则 90AED C    ， CD ED ， 连接 AD ，则 ( )Rt ACD Rt AEAD HL   ， 6AE AC   ， 10 6 4BE    ， 设CD DE x  ，则 8BD x  ， Rt BDE 中， 2 2 2DE BE BD  2 2 24 (8 )x x    ， 解得 3x  ， 3CD  ； ②若 90BDE   ，则 90CDE DEF C       ， CD DE ， 四边形CDEF 是正方形， 90AFE EDB     ， AEF B   ， ~AEF EBD  ， AF EF ED BD   ， 设CD x ，则 EF DF x  ， 6AF x  ， 8BD x  ， 6 8 x x x x    ， 解得 24 7x  ， 24 7CD  ， 综上所述，CD 的长为 3 或 24 7 ， 故答案为：3 或 24 7 ． 【点睛】 此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形 【变式 4-2】（2019·河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了 A，B，C 三地的 坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过 A，B 两地． （1）A，B 间的距离为______km； （2）计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l，并在 l 上建一个维修站 D，使 D 到 A，C 的距离相等，则 C， D 间的距离为______km． 【答案】20 13 【解析】 【分析】 （1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出 AB 的长度； （2）根据 A、B、C 三点的坐标可求出 CE 与 AE 的长度，设 CD=x，根据勾股定理即可求出 x 的值． 【详解】 （1）由 A、B 两点的纵坐标相同可知：AB∥x 轴，∴AB=12﹣（﹣8）=20； （2）过点 C 作 l⊥AB 于点 E，连接 AC，作 AC 的垂直平分线交直线 l 于点 D，由（1）可知：CE=1﹣（﹣17） =18，AE=12，设 CD=x，∴AD=CD=x，由勾股定理可知：x2=（18﹣x）2+122，∴解得：x=13，∴CD=13． 故答案为：（1）20；（2）13． 【点睛】 本题考查了勾股定理，解题的关键是根据 A、B、C 三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型． 【考点 5】相似三角形的判定与性质的应用 【例 5】（2019·四川中考真题）如图， 90ABD BCD     ，DB 平分∠ADC，过点 B 作 BM CD‖ 交 AD 于 M．连接 CM 交 DB 于 N． （1）求证： 2BD AD CD  ；（2）若 6 8CD AD ， ，求 MN 的长． 【答案】（1）见解析；（2） 4 75MN  . 【解析】 【分析】 （1）通过证明 ABD BCD ∽ ，可得 AD BD BD CD  ，可得结论； （2）由平行线的性质可证 MBD BDC ＝ ，即可证 4AM MD MB＝ ＝ ＝ ，由 2BD AD CD＝ 和勾股定理 可求 MC 的长，通过证明 MNB CND ∽ ，可得 2 3 BM MN CD CN   ，即可求 MN 的长． 【详解】 证明：（1）∵DB 平分 ADC ， ADB CDB ＝ ，且 90ABD BCD  ＝ ＝ ， ABD BCD ∽ AD BD BD CD   2BD AD CD ＝ （2） / /BM CD MBD BDC ＝ ADB MBD ＝ ，且 90ABD ＝ BM MD MAB MBA  ＝ ， ＝ 4BM MD AM ＝ ＝ ＝ 2BD AD CD ＝ ，且 6 8CD AD＝ ， ＝ ， 2 48BD ＝ ， 2 2 2 12BC BD CD ＝ ﹣ ＝ 2 2 2 28MC MB BC ＝ ＝ 2 7MC ＝ / /BM CD MNB CND ∽ 2 3 BM MN CD CN    且 2 7MC  4 75MN  【点睛】 考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求 MC 的长度是本题的关键． 【变式 5-1】（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且 ∠APD=∠B, （1）求证：AC•CD=CP•BP； （2）若 AB=10，BC=12，当 PD∥AB 时，求 BP 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 25 3 . 【解析】 （2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到 BP AB CD CP  ，即 AB•CD=CP•BP，由 AB=AC 即 可得到 AC•CD=CP•BP； （2）由 PD∥AB 可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形 的性质即可求出 BP 的长． 解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C． ∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C． ∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC， ∴∠BAP=∠DPC， ∴△ABP∽△PCD， ∴ BP AB CD CP  ， ∴AB•CD=CP•BP． ∵AB=AC， ∴AC•CD=CP•BP； （2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP． ∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C． ∵∠B=∠B， ∴△BAP∽△BCA， ∴ BA BP BC BA  ． ∵AB=10，BC=12， ∴10 12 10 BP ， ∴BP= 25 3 ． “点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性 质等知识，把证明 AC•CD=CP•BP 转化为证明 AB•CD=CP•BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而 得到△BAP∽△BCA 是解决第（2）小题的关键． 【变式 5-2】（2019·陕西中考模拟）大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化 主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风 范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己 掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端 C 点处竖立一根标杆 CD，此时，小花测得标杆 CD 的影长 CE＝2 米，CD＝2 米；然后，小风从 C 点沿 BC 方向 走了 5.4 米，到达 G 处，在 G 处竖立标杆 FG，接着沿 BG 后退到点 M 处时，恰好看见紫云楼顶端 A，标杆顶 端 F 在一条直线上，此时，小花测得 GM＝0.6 米，小风的眼睛到地面的距离 HM＝1.5 米，FG＝2 米． 如图②，已知 AB⊥BM，CD⊥BM，FG⊥BM，HM⊥BM，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高 AB． 【答案】紫云楼的高 AB 为 39 米． 【解析】 【分析】 根据已知条件得到 AB＝BC，过 H 作 HN⊥AB 于 N，交 FG 于 P，设 AB＝BC＝x，则 HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6， AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：∵CD⊥BM，FG⊥BM，CE＝2，CD＝2， ∴AB＝BC， 过 H 作 HN⊥AB 于 N，交 FG 于 P， 设 AB＝BC＝x，则 HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6， AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6， ∵∠ANH＝∠FPH＝90°，∠AHN＝∠FHP， ∴△ANH∽△FPH， ∴ AN NH PF PH  ，即 1.5 6 0.5 0.6 x x  ， ∴x＝39， ∴紫云楼的高 AB 为 39 米． 【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 【考点 6】锐角三角函数及其应用 【例 6】（2019·贵州中考真题）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，点 B 在 ED 上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则 CD 的长度 是_____. 【答案】15﹣5 3 . 【解析】 【分析】 过点 B 作 BM⊥FD 于点 M，根据题意可求出 BC 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答 案. 【详解】 过点 B 作 BM⊥FD 于点 M， 在△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 3 ， ∵AB∥CF， ∴∠BCM=∠ABC=30°， ∴BM＝BC×sin30°＝ 110 3 2  ＝5 3 ， CM＝BC×cos30°＝15， 在△EFD 中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM＝5 3 ， ∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 3 ， 故答案是：15﹣5 3 . 【点睛】 本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键. 【变式 6-1】（2019·山东中考真题）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为 方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图 1 所示的坡路进行改造．如图 2 所示，改造前的斜坡 200AB  米，坡度为1: 3 ；将斜坡 AB 的高度 AE 降低 20AC  米后，斜坡 AB 改造为斜坡 CD ，其坡度为1: 4．求 斜坡 CD 的长．（结果保留根号） 【答案】斜坡 CD 的长是80 17 米． 【解析】 【分析】 根据题意和锐角三角函数可以求得 AE 的长，进而得到CE 的长，再根据锐角三角函数可以得到 ED 的长， 最后用勾股定理即可求得CD 的长． 【详解】 ∵ 90AEB  ∠ ， 200AB  ，坡度为1: 3 ， ∴ 1 3tan 33 ABE   ， ∴ 30ABE   ， ∴ 1 1002AE AB  ， ∵ 20AC  ， ∴ 80CE  ， ∵ 90CED   ，斜坡 CD 的坡度为1: 4， ∴ 1 4 CE DE  ， 即 80 1 4ED  ， 解得， 320ED  ， ∴ 2 280 320 80 17CD    米， 答：斜坡 CD 的长是80 17 米． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结 合的思想解答． 【变式 6-2】（2019·海南中考真题）如图是某区域的平面示意图，码头 A 在观测站 B 的正东方向，码头 A 的北偏西 60 方向上有一小岛 C，小岛 C 在观测站 B 的北偏西15 方向上，码头 A 到小岛 C 的距离 AC 为 10 海里． （1）填空： BAC  度， C  度； （2）求观测站 B 到 AC 的距离 BP（结果保留根号）． 【答案】（1）30，45；（2）（5 3 －5）海里 【解析】 【分析】 （1）由题意得： 90 60 30BAC       ， 90 15 105ABC       ，由三角形内角和定理即可得出 C 的度数； （2）证出 BCP 是等腰直角三角形，得出 =BP PC ，求出 3PA BP ，由题意得出 3 10BP BP  ， 解得 5 3 5BP   即可． 【详解】 解：（1）由题意得： 90 60 30BAC       ， 90 15 105ABC       ， 180 45C BAC ABC        ； 故答案为 30，45； （2） BP AC ， 90BPA BPC     ， 45C   ， BCP 是等腰直角三角形， BP PC  ， 30BAC   ， 3PA BP  ， PA PC AC  ， 3 10BP BP   ， 解得： 5 3 5BP   ， 答：观测站 B 到 AC 的距离 BP 为 (5 3 5) 海里． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键． 【达标训练】 1．（2019·河北中考真题）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断． 【详解】 三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到 C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成 功找到三角形外心． 故选 C． 【点睛】 本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已 知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心． 2．（2019·江苏中考真题）已知 n 正整数，若一个三角形的三边长分别是 n+2、n+8、3n，则满足条件的 n 的值有( ) A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个 【答案】D 【解析】 【分析】 分 n+8 与 3n 最大两种情况，根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组后求出正整数解即可得答案. 【详解】 ∵n+2

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