中考数学专题复习练习:相似1

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中考数学专题复习练习:相似1

图 形 的 相 似 考点一、比例线段 (一)考点要求: 1、比例式与比例系数: ……=k(比例系数) 2、比例的基本性质:两内项之积等于两外项之积。即: 黄金分割与比例中项: 3、等比性质: ……=k 4、合分比性质: (二)精讲精练: 典型例题: 例 01.已知 ,求 变式:线段 , 满足 ,求 的值 说明 本题可用比例的基本性质求解,也可以运用合分比性质求解。 例 02.已知 ,求 的值 说明 本题考查比例的性质,解题关键是设 ,将 、 、 统一成 。注意:设比例式 的比值为 (比例系数),这是解比例式常用的有效方法,要注意掌握。 例 03.若 ,则 的值是__________ 说明 本题可用比例的基本性质求解,也可以运用合分比性质求解,还可用方程思想求解。解题关键 是灵活运用比例的性质 例 04.设 ,求 的值 说明 本题在运用合分比的性质求解时,易忽视 的情形,所以应该分类讨论。 变式:如图,已知,在 中, 、 分别是 、 上的点,并 且 , 的周长为 12cm。求: 的周长 == d c b a bcadd c b a =⇒= acbc b b a =⇒= 2 == d c b a kd c b a db ca ===++ ++⇒        +=+−=−⇒= d dc b ba d dc b ba d c b a 8 11=+ x yx y x x y 1:4:)4( 22 =+ xyyx yx : 432 zyx == yx zyx − +− 3 3 kzyx === 432 x y z k k 3 753 =+ b ba b a kyx z xz y zy x =+=+=+ k 0=++ zyx ABC∆ D E AB AC 2 3=== AE AC DE BC AD AB ABC∆ ADE∆ 针对练习: 1.如果 ,求: 的值 2.已知:如图,在 中, , , ,且 (1)求 的长;(2)求证: 3.已知两数 4 和 8,试写出第三个数,使这三个数中,其中一个数是其余两个数的比例中项,第三个 数是________(只需写出一个) 考点二、相似三角形 类型 1、相似三角形的定义: ⑴对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形。 ⑵对应边的比值是相似三角形的相似比。 ⑶基本性质定理:对应角相等;对应边成比例。 典型例题: 例 01.已知: 的三边长分别是 3,4,5,与其相似的 的最大边长是 15,求 面积 0432 ≠== cba bca cba 24 235 −+ +− ABC∆ 12=AB 6=AE 4=EC EC AE DB AD = AD AC EC AB DB = ABC∆ CBA ′′′∆ CBA ′′′∆ CBAS ′′′∆ 说明 本题考查相似三角形的定义,解题关键是求出 , 的长 例 02.已知:如图,在四边形 中, , .求证: ∽ 说 明 本 题 考 查 相 似 三 角 形 基 本 定 理 的 应 用 , 解 题 关 键 是 证 明 例题 03 如图所示,已知平行四边形 ABCD 中,E 为 AD 延长线上一点, ,BE 交 DC 于 F,指出图中各对相似三角形及相似比. 说明:紧靠相似三角形定义、相似比定义和基本定理,充分利用平行四边形性 质. 类型 2、相似三角形的判定: 相似三角形的判定定理:①如果有两个角对应相等,那么这两个三角形相似; ②如果三条边对应成比例,那么这两个三角形相似; ③如果有两边对应成比例且夹角相等,那么这两个三角形相似。 精讲精练: 例 01 . 如 图 , 在 中 , , , ; 在 中 , , , ,试判断这两个三角形是否相似. 说明 判定两三角形是否相似,不能依图形的放置方向来考查, 而应该按相似三角形的判定方法仔细判定,若没有将夹已知角的长 边与长边相对应,就会发生错误. 针对练习: 1.已知:如图, , , ,(1)当 与 , 之间满足怎样的关系时, ∽ ;(2)当 与 , 之间 满足怎样的关系时, ∽ ;(3)当 与 , 之间满足怎样的关 系时,这两个三角形相似 CA ′′ CB ′′ ABCD FDAFEBAE :: = HCDHGCBG :: = OEF∆ OHG∆ GHEF // DEAD 2= ABC∆ °=∠ 47A cm5.1=AB cm2=AC DEF∆ °=∠ 47E cm8.2=DE cm1.2=EF °=∠=∠ 90CDBABC aAC = bBC = BD a b ABC∆ CDB∆ BD a b ABC∆ BDC∆ BD a b 说明 本题是一个条件探索性问题,易错点是弄错对应边或第(3)小题不分类讨论. 例 02.如图,已知:在 中, , , 是角平分线, 求证: 说明 “平方式”在相似三角形中经常出现,证明时可采用这样的方法:可 以用相等的线段代替已知线段,从而创造出平方,或某线段是两个相似三角形的公 共边,也可以创造出平方来 针对练习: 1.如图,已知:在梯形 中, , , , ,且 求证: 例 03.如图,已知: 是 的斜边 上的高, 为 上任意一点, ,垂足为 求证: 说明:应用直角三角形中的“射影定理”与几何证明中常用的“倒推法”。 针对练习: 1.如图,已知:在 中, , 于 , 在 上,若 于 求证: 例 04 . 已 知 : 如 图 , 在 中 , , 、 分 别 是 、 上 的 两 点 , 并 且 ABC∆ ACAB = °=∠ 36A BD ACDCAD ⋅=2 ABCD BCAD // xBC = yAC = zAD = 02 =− xzy ACDB ∠=∠ CD ABC∆Rt AB E BC ABEF ⊥ F EFCDAFADAC ⋅+⋅=2 ABC∆ °=∠ 90ACB ABCD ⊥ D E BC AECF ⊥ F BAFD ∠=∠ ABC∆ °=∠ 90C D E AB AC ACAEABAD ⋅=⋅ 求证: 说明 如果两个三角形没有互相平行的边,而有公共角时,我们一般使用“两边对应成比例且夹角 相等的两个三角形相似”来判定两个三角形相似 例 05.如图,已知:在 中, , 和 是 的高 求证: 说明 证明线段的倍半问题有以下几种方法:(1)取长线段的中点,证其一半等于短线段(折半 法);(2)延长短线段为其 2 倍,证其与较长线段相等(加倍法);(3)用其他线段作媒介,其中经常用 的有①三角形两边(或梯形两腰)的中点连线等于底边(或两底之和)的一半;②直角三角形斜边上的中 线等于斜边长的一半;③直角三角形中 角的对边等于斜边的一半;④利用三角形相似,通过成比例线 段证明线段的倍半关系等 针对练习. 1.如图, , 是 是高, 求证: 2、如图,已知 为 内一点, 为 外一点,且 , , 求证: ∽ 例 06 .已知:如图,在矩形 中, 为 的中点, 交 ABED ⊥ ABC∆ °=∠ 60B AE CD ABC∆ DEAC 2= °30 BD CE ABC∆ ACBAED ∠=∠ D ABC∆ E ABC∆ 21 ∠=∠ 43 ∠=∠ ABC∆ DBE∆ ABCD E AD ECEF ⊥ AB 于 ,连结 ( ) (1) 与 是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由 (2)设 ,是否存在这样的 值,使得 与 相似?若存在,证明你的结论并求出 值;若不存在,说明理由 分析 这既是一道判断推理性试题,又是一道探索存在性的试题 例 07.如图,在矩形 中, 厘米, 厘米,点 沿 边从点 开始向点 以 2 厘米/秒的速度移动;点 沿 边向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动,如果 , 同时出发,用 (秒)表 示移动的时间( ),那么: (1)当 为何值时, 为等腰直角三角形? (2)试说明四边形 的面积始终保持不变。 (3)当 为何值时,以点 , , 为顶点的三角形与 相似? 说明 本题将“几何一动点”及分类讨论相结合,综合创新命题,全面考查学生素质 巩固作业: 1、(上海市,2001)如图 1-1,在大小为 4×4 的正方形方格中,△ABC 的 顶点 A、B、C 在单位正方形的顶点上,请在图中画一个 △A1B1C1,使△A1B1C1 ∽△ABC(相似比不为 1),且点 A1、B1、C1 都在单位正方形的顶点上. 说明:(1)此题是一道开放题,答案有多种,通过本题加强对数学素质和数 学能力培养;(2)解此题的关键是认真分析图形,找出切入点,利用所学的知识 解决,不能盲目地去画;(3)在判断三角形相似时,要灵活应用定理,如本题要用 “两角对应相等,两三角形相似”则较难. 2、如图,平行四边形 ABCD 中,G 是 BC 延长线上一点,AG 与 BD 交于点 E,与 DC 交于 F,则图中相似三角形共有     对 . 分析:图形中相似形较多,不能盲目的取找,先对相似形分类,再寻找. 3、(河北省,2001)已知:如图,在正方形ABCD 中,P 是 BC 上的点, 且 BP=3PC,Q 是 CD 的中点. 求证:△ADQ∽△QCP. 4.如图, 为 的角平分线, 垂直于 的延长线于 , 于 , , 的 延长线交于点 , 求证: F FC AEAB > AEF∆ EFC∆ kBC AB = k AEF∆ BFC∆ k ABCD 12=AB 6=BC P AB A B Q DA P Q t 60 ≤≤ t t QAP∆ QAPC t Q A P ABC∆ AD ABC∆ BE AD E ADCF ⊥ F BF EC P APCF // 뽁 ⍃ A B C D E F G A B C D F Q
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