中考数学专题复习练习：全等三角形判定（三）

中考数学专题复习练习：全等三角形判定（三）

例01．不能判定两个三角形全等的条件是（）‎ ‎ A．三条边对应相等；‎ ‎ B．两条边及其夹角对应相等；‎ ‎ C．两角和一边对应相等；‎ D．两条边和一边所对的角对应相等．‎ 分析：依据三角形全等的条件，易知A选项满足SSS公理，B选项满足SAS公理，C选项满足AAS公理，但选项D满足的条件是SSA，不符合三角形全等的判定条件. 故应选D. ‎ 例02．如图所示，已知，E是AC上一点. ‎ 求证：. ‎ 分析：（1）用分析法. 要证只要证. 要证这两个三角形全等，必须找出三对元素对应相等，已知（公共边），（已知），还需一个条件，这个条件可以是或. 但证比较困难，因此主要考虑证. 为此只要证，根据已知条件，证明是可行的. ‎ ‎（2）用综合法. 结合上图根据已知条件，由于，，，所以. 所以，在和中，为由于，，，得，所以. ‎ 证明：在和中，‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 在和中，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 例03．已知：在中，M在BC上，D在AM上，（如图）‎ 求证：‎ 分析：要证，只要证和全等即可，而和中，有和公共边AM，只能找它们的夹角相等，即证，而由边边边公理有，从而，问题得证. ‎ 证明：在和 ‎∴ （SSS）‎ ‎∴ （全等三角形对应角相等）‎ 在和中 ‎∴ ‎ ‎∴ （全等三角形对应边相等）‎ 例04．已知：如图，AD为的高，且，F为AD上一点，连结BF并延长交AC于E，. ‎ 求证：‎ 分析：要证由垂直的证法和图形，可想到证明，只证与互余即可，而和互余，故只证明，因此，证明，而解决问题. ‎ 证明：∵ （已知）‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 在和中 ‎∴‎ ‎∴ （全等三角形的对应角相等）‎ ‎∵ ‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 例05．已知：如图，‎ 求证：‎ 分析：由，欲证，可联想构造全等三角形，若取AD的中点N连结NB，NC，由边角边公理有，从而得出和，由，设法再证和相等即可. ‎ 再取BC的中点M，连结NM在和中，由全等三角形判定公理3（SSS）可证其两三角形全等，因此有. 所以即 具体证明过程同学们写出. ‎ 例06．如图，已知：. ‎ 求证：. ‎ 分析：欲证，需证. 要证这两个三角形全等，已具备了两组条件. 和. 只需再证即可. 为此，还需证明 ‎. ‎ 证明：连结BD，在与中，‎ ‎∴ ‎ ‎ ∴（全等三角形的对应角相等）‎ ‎∵（已知），‎ ‎∴. ‎ 即 . ‎ 在与中，‎ ‎∴ ‎ ‎∴（全等三角形的对应边相等）‎ 说明：利用全等三角形证明线段相等或角相等，常须添辅助线构造三角形，构造时有下面两种情况：①待证的线段或角，在图形上不在两个可能全等的三角形之中，需添辅助线构造三角形，使它们分别包括一个所要证的线段或角. ②有些条件具备的全等三角形，图形中没有直接显示出，需添辅助线才能发现，如本题中的和. ‎ 例07．如图，已知：‎ 求证：. ‎ 分析：欲证，需证. 已经具备了两个条件，，，所以只需证，为了证明这两个角相等，不妨证明. ‎ 证明：在与中，‎ ‎∴‎ ‎∴（全等三角形的对应角相等）‎ 在与中，‎ ‎∴‎ ‎∴（全等三角形的对应边相等）‎ 例08．如图，已知：，. ‎ 求证：. ‎ 分析：欲证，只需证，这就要证明，它已具备两个条件：，所以只需证，为了证明这一点，还需证明. ‎ 证明：在与中，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ （全等三角形的对应角相等）‎ 在与中，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ （全等三角形的对应角相等）‎ 又∵ （邻补角定义）‎ ‎∴ ‎ ‎∴ （垂直定义）‎ 选择题 ‎（1）两个三角形有以下三对元素对应相等，则不能判定全等的是（）‎ ‎（A）一边和两角 （B）两边和其夹角 ‎（C）三个角 （D）三条边 ‎（2）下列各组中，一定全等的是 ‎（A）各有一个角是的两个等腰三角形 ‎（B）有三边相等的两个三角形 ‎（C）有一腰长相等的两个等腰三角形 ‎（D）有一直角边相等的两个直角三角形 ‎（3）如图，AC，BD交于点O，，则图中全等三角形的对数是（）‎ ‎ （A）1对 （B）2对 （C）3对 （D）4对 ‎（4）如图，，AC与BD交于点O，EF过点O，若，则图中全等三角形的对数是（）‎ ‎ （A）3对 （B）4对 （C）5对 （D）6对 参考答案 ‎（1）C （2）B （3）C （4）D 填空题 ‎（1）如图，已知：，.‎ 求证：.‎ 证明：连结AC，在和中，‎ ‎∴（ ）‎ ‎∴‎ ‎（2）如图，已知：‎ 求证：.‎ 证明：在与中，‎ ‎∴（ ）‎ ‎∴‎ 参考答案 ‎（1）已知；AC；AC；公共边；SSS；全等三角形的对应角相等；‎ ‎（2）公共边；SSS；全等三角形的对应角相等.‎ ‎1、判断下列命题是否正确，并说明理由 （1） 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 （2） 周长相等的两个三角形全等。‎ （3） 周长相等的两个等边三角形全等。‎ （4） 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等。‎ 提示：（1）正确。运用“SSS”容易证得符合条件的两个三角形全等 A B D E C ‎　　（2）错误。例如两个三角形的周长都为60，一个三角形的三边长为20,20,20另一个三角形三边长为15,20,25，显然这两个三角形不全等。‎ ‎　　（3）正确。‎ ‎　　（4）错误。如图AB＝AB，AC＝AD 第三边上的高AE相同。‎ ‎2、如图2，MP=MQ，PN=QN，MN交PQ于O点，则下列结论中，不正确的是（ ）‎ O D C A B P A、△MPN≌△MQN B、OP=OQ M P N Q O C、MO=NO D、∠MPN=∠MQN 图3‎ 图2‎ 答案：C.‎ ‎3、如图3，在∠AOB的两边上截取AO=BO，CO=DO，连接AD，BC交于点P，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎①、△AOD≌△BOC ②、△APC≌△BPD A B B C ‎③、点P在∠AOB的平分线上 A、只有① B、只有②‎ C、只有①② D、①②③‎ 图4‎ 答案：D.‎ ‎4、如图4，已知：AB=DC，AC=DB求证∠A=∠D 提示：连结BC，这样已知的两边与公共边BC构成三角形△ABC和△DCB，根据条件易证这两个三角形全等 A B C D O E F ‎5、如图5，已知：AB=CD，AD=CB，O为AC任一点，过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E，求证：∠E=∠F。‎ 提示：由条件易证△ABC≌△CDA 从而得知∠BAC＝∠DCA 即：AB∥CD 图5‎ A D B C E 图6‎ ‎6、如图6，已知：AB=DC，AC=DB，BE=CE。求证：AE=DE 提示：可利用△ABE≌△DCE，由已知还需一个条件，‎ 显然不能再找AE＝DE，那么只能找∠ABC＝∠DCB 由题意易证△ABC≌△DCB ‎7、求证：如果两个三角形的两条边和第三边上的中线对应相等，则这两个三角形全等。‎ 提示：要求画图，写出已知、求证、证明。‎ 遇到三角形的中线，通常是延长中线，使延长的线段与中线相等，构造两个全等三角形。‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎