2017年湖北省十堰市中考数学试卷

2017年湖北省十堰市中考数学试卷

‎2017年湖北省十堰市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：‎ ‎1．（3分）气温由﹣2℃上升3℃后是（　　）℃．‎ A．1 B．3 C．5 D．﹣5‎ ‎2．（3分）如图的几何体，其左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE=40°，则∠FGB=（　　）‎ A．40° B．50° C．60° D．70°‎ ‎4．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如表：‎ 车速（km/h）‎ ‎48‎ ‎49‎ ‎50‎ ‎51‎ ‎52‎ 车辆数（辆）‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎1‎ 则上述车速的中位数和众数分别是（　　）‎ A．50，8 B．50，50 C．49，50 D．49，8‎ ‎6．（3分）下列命题错误的是（　　）‎ A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 ‎7．（3分）甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（3分）如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（3分）如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1=a2+a3，则a1的最小值为（　　）‎ A．32 B．36 C．38 D．40‎ ‎10．（3分）如图，直线y=x﹣6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=4，则k的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎11．（3分）某颗粒物的直径是0.0000025，把0.0000025用科学记数法表示为　 　．‎ ‎12．（3分）若a﹣b=1，则代数式2a﹣2b﹣1的值为　 　．‎ ‎13．（3分）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=　 　．‎ ‎14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为　 　．‎ ‎15．（3分）如图，直线y=kx和y=ax+4交于A（1，k），则不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集为　 　．‎ ‎16．（3分）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=NF；③=；④S四边形CGNF=S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（5分）计算：|﹣2|+﹣（﹣1）2017．‎ ‎18．（6分）化简：（+）÷．‎ ‎19．（7分）如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？‎ ‎20．（9分）某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．‎ 请根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎（1）杨老师采用的调查方式是　 　（填“普查”或“抽样调查”）；‎ ‎（2）请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集多少件作品？‎ ‎（3）如果全校征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率．‎ ‎21．（7分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．‎ ‎（1）求实数k的取值范围；‎ ‎（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．‎ ‎22．（8分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．‎ ‎（1）写出y与x中间的函数关系书和自变量x的取值范围；‎ ‎（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？‎ ‎23．（8分）已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．‎ ‎（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．‎ ‎24．（10分）已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．‎ ‎（1）如图1，若点B在OP上，则 ‎①AC　 　OE（填“＜”，“=”或“＞”）；‎ ‎②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是　 　；‎ ‎（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；‎ ‎（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式　 　．‎ ‎25．（12分）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；‎ ‎（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；‎ ‎（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017年湖北省十堰市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：‎ ‎1．（3分）（2017•十堰）气温由﹣2℃上升3℃后是（　　）℃．‎ A．1 B．3 C．5 D．﹣5‎ ‎【分析】根据有理数的加法，可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意，得 ‎﹣2+3=+（3﹣2）=1，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了有理数的加法，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2017•十堰）如图的几何体，其左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据从左边看得到的图象是左视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图象是左视图．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2017•十堰）如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE=40°，则∠FGB=（　　）‎ A．40° B．50° C．60° D．70°‎ ‎【分析】先根据平行线的性质，得到∠B=∠CDE=40°，直观化FG⊥BC，即可得出∠FGB的度数．‎ ‎【解答】解：∵AB∥DE，∠CDE=40°，‎ ‎∴∠B=∠CDE=40°，‎ 又∵FG⊥BC，‎ ‎∴∠FGB=90°﹣∠B=50°，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2017•十堰）下列运算正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．‎ ‎【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；‎ B、原式=6×2=12，所以B选项错误；‎ C、原式==2，所以C选项准确；‎ D、原式=2，所以D选项错误．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2017•十堰）某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如表：‎ 车速（km/h）‎ ‎48‎ ‎49‎ ‎50‎ ‎51‎ ‎52‎ 车辆数（辆）‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎1‎ 则上述车速的中位数和众数分别是（　　）‎ A．50，8 B．50，50 C．49，50 D．49，8‎ ‎【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第10、11个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是50，得到这组数据的众数．‎ ‎【解答】解：要求一组数据的中位数，‎ 把这组数据按照从小到大的顺序排列，第10、11两个数的平均数是50，‎ 所以中位数是50，‎ 在这组数据中出现次数最多的是50，‎ 即众数是50．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2017•十堰）下列命题错误的是（　　）‎ A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 ‎【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．‎ ‎【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形是正确的，不符合题意；‎ B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，不符合题意；‎ C、一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，原来的说法错误，符合题意；‎ D、对角线互相垂直的矩形是正方形是正确的，不符合题意．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理，难度不大．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2017•十堰）甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设甲每小时做x个零件，根据题意可得，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，据此列方程．‎ ‎【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，‎ 由题意得，=．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2017•十堰）如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】‎ 要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．‎ ‎【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．‎ 在RT△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，‎ 所以AC=3，‎ ‎∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC=6，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．‎ ‎　[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎9．（3分）（2017•十堰）如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1=a2+a3，则a1的最小值为（　　）‎ A．32 B．36 C．38 D．40‎ ‎【分析】由a1=a7+3（a8+a9）+a10知要使a1取得最小值，则a8+a9应尽可能的小，取a8=2、a9=4，根据a5=a8+a9=6，则a7、a10中不能有6，据此对于a7、a10，分别取8、10、12、14检验可得，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵a1=a2+a3‎ ‎=a4+a5+a5+a6‎ ‎=a7+a8+a8+a9+a8+a9+a9+a10‎ ‎=a7+3（a8+a9）+a10，‎ ‎∴要使a1取得最小值，则a8+a9应尽可能的小，‎ 取a8=2、a9=4，‎ ‎∵a5=a8+a9=6，‎ 则a7、a10中不能有6，‎ 若a10=8，则a6=a9+a10=12，‎ ‎∴a7=14，则a4=14+2=16、a2=16+6=22、a3=6+12=18、a1=18+22=40；‎ 综上，a1的最小值为40，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查数字的变化类，根据题目要求得出a1取得最小值的切入点是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2017•十堰）如图，直线y=x﹣6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=4，则k的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6‎ ‎【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，然后求出OA与OB的长度，即可求出∠‎ OAB的正弦值与余弦值，再设M（x，y），从而可表示出BD与AC的长度，根据AC•BD=4列出即可求出k的值．‎ ‎【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，‎ 令x=0代入y=x﹣6，‎ ‎∴y=﹣6，‎ ‎∴B（0，﹣6），‎ ‎∴OB=6，‎ 令y=0代入y=x﹣6，‎ ‎∴x=2，‎ ‎∴（2，0），‎ ‎∴OA=2，‎ ‎∴勾股定理可知：AB=4，‎ ‎∴sin∠OAB==，cos∠OAB==‎ 设M（x，y），[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴CF=﹣y，ED=x，‎ ‎∴sin∠OAB=，‎ ‎∴AC=﹣y，‎ ‎∵cos∠OAB=cos∠EDB=，‎ ‎∴BD=2x，‎ ‎∵AC•BD=4，‎ ‎∴﹣y×2x=4，‎ ‎∴xy=﹣3，‎ ‎∵M在反比例函数的图象上，‎ ‎∴k=xy=﹣3，‎ 故选（A）‎ ‎【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据∠OAB的锐角三角函数值求出BD、AC，本题属于中等题型．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎11．（3分）（2017•十堰）某颗粒物的直径是0.0000025，把0.0000025用科学记数法表示为　2.5×10﹣6　．‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎【解答】解：0.0000025用科学记数法表示为2.5×10﹣6，‎ 故答案为：2.5×10﹣6．‎ ‎【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2017•十堰）若a﹣b=1，则代数式2a﹣2b﹣1的值为　1　．‎ ‎【分析】原式前两项提取2变形后，将a﹣b=1代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：∵a﹣b=1，‎ ‎∴原式=2（a﹣b）﹣1=2﹣1=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2017•十堰）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=　20°　．‎ ‎【分析】由菱形的性质可知O为BD中点，所以OE为直角三角形BED斜边上的中线，由此可得OE=OB，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠OED的度数．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴DO=OB，‎ ‎∵DE⊥BC于E，‎ ‎∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，‎ ‎∴OE=BD，‎ ‎∴OB=OE，‎ ‎∴∠OBE=∠OEB，‎ ‎∵∠ABC=140°，‎ ‎∴∠OBE=70°，‎ ‎∴∠OED=90°﹣70°=20°，‎ 故答案为：20°．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质，得到OE为直角三角形BED斜边上的中线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2017•十堰）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为　8　．‎ ‎【分析】连接BD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．‎ ‎【解答】解：连接BD，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴AB是⊙O的直径．‎ ‎∵ACB的角平分线交⊙O于D，‎ ‎∴∠ACD=∠BCD=45°，‎ ‎∴AD=BD=5．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形，‎ ‎∴AB===10．‎ ‎∵AC=6，‎ ‎∴BC===8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2017•十堰）如图，直线y=kx和y=ax+4交于A（1，k），则不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集为　1＜x＜　．‎ ‎【分析】根据题意得由OB=4，OC=6，根据直线y=kx平行于直线y=kx﹣6，得到===，分别过A，D作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，则AM∥DN∥y轴，根据平行线分线段成比例定理得到==，得到ON=，求得D点的横坐标是，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：如图，由y=kx﹣6与y=ax+4得OB=4，OC=6，‎ ‎∵直线y=kx平行于直线y=kx﹣6，‎ ‎∴===，‎ 分别过A，D作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，‎ 则AM∥DN∥y轴，‎ ‎∴==，‎ ‎∵A（1，k），‎ ‎∴OM=1，‎ ‎∴MN=，‎ ‎∴ON=，‎ ‎∴D点的横坐标是，‎ ‎∴1＜x＜时，kx﹣6＜ax+4＜kx，‎ 故答案为：1＜x＜．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2017•十堰）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=NF；③=；④S四边形CGNF=S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是　①③　．‎ ‎【分析】①易证△ABF≌△BCG，即可解题；‎ ‎②易证△BNF∽△BCG，即可求得的值，即可解题；‎ ‎③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM的值，即可解题；‎ ‎④连接AG，FG，根据③中结论即可求得S四边形CGNF和S四边形ANGD，即可解题．‎ ‎【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AB=BC=CD，‎ ‎∵BE=EF=FC，CG=2GD，‎ ‎∴BF=CG，‎ ‎∵在△ABF和△BCG中，，‎ ‎∴△ABF≌△BCG，‎ ‎∴∠BAF=∠CBG，‎ ‎∵∠BAF+∠BFA=90°，‎ ‎∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；‎ ‎②∵在△BNF和△BCG中，，‎ ‎∴△BNF∽△BCG，∴==，‎ ‎∴BN=NF；②错误；‎ ‎③作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，‎ AF==，‎ ‎∵S△ABF=AF•BN=AB•BF，‎ ‎∴BN=，NF=BN=，‎ ‎∴AN=AF﹣NF=，‎ ‎∵E是BF中点，‎ ‎∴EH是△BFN的中位线，‎ ‎∴EH=，NH=，BN∥EH，‎ ‎∴AH=，=，解得：MN=，‎ ‎∴BM=BN﹣MN=，MG=BG﹣BM=，‎ ‎∴=；③正确；‎ ‎④连接AG，FG，根据③中结论，‎ 则NG=BG﹣BN=，‎ ‎∵S四边形CGNF=S△CFG+S△GNF=CG•CF+NF•NG=1+=，‎ S四边形ANGD=S△ANG+S△ADG=AN•GN+AD•DG=+=，‎ ‎∴S四边形CGNF≠S四边形ANGD，④错误；‎ 故答案为 ①③．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边比例相等的性质，本题中令AB=3求得AN，BN，NG，NF的值是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（5分）（2017•十堰）计算：|﹣2|+﹣（﹣1）2017．‎ ‎【分析】原式利用绝对值的代数意义，立方根定义，以及乘方的意义计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=2﹣2+1=1．‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2017•十堰）化简：（+）÷．‎ ‎【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题．‎ ‎【解答】解：（+）÷‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．‎ ‎　‎ ‎19．（7分）（2017•十堰）如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？‎ ‎【分析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等边对等角得出AD=BD=12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AD即可．‎ ‎【解答】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可，‎ 如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∵∠CAD=30°，∠CAB=60°，‎ ‎∴∠BAD=60°﹣30°=30°，∠ABD=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴∠ABD=∠BAD，‎ ‎∴BD=AD=12海里，‎ ‎∵∠CAD=30°，∠ACD=90°，‎ ‎∴CD=AD=6海里，‎ 由勾股定理得：AC==6≈10.392＞8，‎ 即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．‎ ‎【点评】考查了勾股定理的应用和解直角三角形，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．‎ ‎　‎ ‎20．（9分）（2017•十堰）某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．‎ 请根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎（1）杨老师采用的调查方式是　抽样调查　（填“普查”或“抽样调查”）；‎ ‎（2）请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集多少件作品？‎ ‎（3）如果全校征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率．‎ ‎【分析】（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．‎ ‎（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品数为：6÷=24（件），C班作品的件数为：24﹣4﹣6﹣4=10（件）；继而可补全条形统计图；‎ ‎（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．‎ 故答案为抽样调查．‎ ‎（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷=24件，‎ 平均每个班=6件，C班有10件，‎ ‎∴估计全校共征集作品6×30=180件．‎ 条形图如图所示，‎ ‎（3）画树状图得：‎ ‎∵共有20种等可能的结果，两名学生性别相同的有8种情况，‎ ‎∴恰好抽中一男一女的概率为：=．‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．‎ ‎　‎ ‎21．（7分）（2017•十堰）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．‎ ‎（1）求实数k的取值范围；‎ ‎（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．‎ ‎【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；‎ ‎（2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1•x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16+x1•x2中，解之即可得出k的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，‎ ‎∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，‎ 解得：k≤，‎ ‎∴实数k的取值范围为k≤．‎ ‎（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，‎ ‎∴x1+x2=1﹣2k，x1•x2=k2﹣1．‎ ‎∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16+x1•x2，‎ ‎∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12=0，‎ 解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．‎ ‎∴实数k的值为﹣2．‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=﹣4k+5≥0；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22=16+x1x2，找出关于k的一元二次方程．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2017•十堰）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．‎ ‎（1）写出y与x中间的函数关系书和自变量x的取值范围；‎ ‎（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？‎ ‎【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每天多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；‎ ‎（2）由利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，得：y=60+10x，‎ 由36﹣x≥24得x≤12，‎ ‎∴1≤x≤12，且x为整数；‎ ‎（2）设所获利润为W，‎ 则W=（36﹣x﹣24）（10x+60）‎ ‎=﹣10x2+60x+720‎ ‎=﹣10（x﹣3）2+810，‎ ‎∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810，‎ 答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的应用，由利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2017•十堰）已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．‎ ‎（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．‎ ‎【分析】（1）连接DO，CO，易证△CDO≌△CBO，即可解题；‎ ‎（2）连接AD，易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．‎ ‎【解答】解：（1）连接DO，CO，‎ ‎∵BC⊥AB于B，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ 在△CDO与△CBO中，，‎ ‎∴△CDO≌△CBO，‎ ‎∴∠CDO=∠CBO=90°，‎ ‎∴OD⊥CD，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接AD，‎ ‎∵AB是直径，∴∠ADB=90°，‎ ‎∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，‎ ‎∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，‎ ‎∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，‎ ‎∵在△ADF和△BDC中，，‎ ‎∴△ADF∽△BDC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，‎ ‎∴∠E=∠DAB，‎ ‎∵在△ADE和△BDA中，，‎ ‎∴△ADE∽△BDA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴=1．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2017•十堰）已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．‎ ‎（1）如图1，若点B在OP上，则 ‎①AC　=　OE（填“＜”，“=”或“＞”）；‎ ‎②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是　AC2+CO2=CD2　；‎ ‎（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；‎ ‎（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式　CO﹣CA=CD　．‎ ‎【分析】（1）①如图1，证明AC=OC和OC=OE可得结论；‎ ‎②根据勾股定理可得：AC2+CO2=CD2；‎ ‎（2）如图2，（1）中的结论②不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明A、D、O、C四点共圆，得∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，再证明△ACO≌△EOF，得OE=AC，AO=EF，根据勾股定理得：AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，由直角三角形中最长边为斜边可得结论；‎ ‎（3）如图3，连接AD，则AD=OD证明△ACD≌△OED，根据△CDE是等腰直角三角形，得CE2=2CD2，等量代换可得结论（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，开方后是：OC﹣AC=CD．‎ ‎【解答】解：（1）①AC=OE，‎ 理由：如图1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，‎ ‎∴∠ABO=∠AOB=45°，‎ ‎∵OP⊥MN，‎ ‎∴∠COP=90°，‎ ‎∴∠AOC=45°，‎ ‎∵AC∥OP，‎ ‎∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，‎ ‎∴AC=OC，‎ 连接AD，‎ ‎∵BD=OD，‎ ‎∴AD=OD，AD⊥OB，‎ ‎∴AD∥OC，‎ ‎∴四边形ADOC是正方形，‎ ‎∴∠DCO=45°，‎ ‎∴AC=OD，‎ ‎∴∠DEO=45°，‎ ‎∴CD=DE，‎ ‎∴OC=OE，‎ ‎∴AC=OE；‎ ‎②在Rt△CDO中，‎ ‎∵CD2=OC2+OD2，‎ ‎∴CD2=AC2+OC2；‎ 故答案为：AC2+CO2=CD2；‎ ‎（2）如图2，（1）中的结论②不成立，理由是：‎ 连接AD，延长CD交OP于F，连接EF，‎ ‎∵AB=AO，D为OB的中点，‎ ‎∴AD⊥OB，‎ ‎∴∠ADO=90°，‎ ‎∵∠CDE=90°，‎ ‎∴∠ADO=∠CDE，‎ ‎∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO，‎ 即∠ADC=∠EDO，‎ ‎∵∠ADO=∠ACO=90°，‎ ‎∴∠ADO+∠ACO=180°，‎ ‎∴A、D、O、C四点共圆，‎ ‎∴∠ACD=∠AOB，‎ 同理得：∠EFO=∠EDO，‎ ‎∴∠EFO=∠AOC，‎ ‎∵△ABO是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AOB=45°，‎ ‎∴∠DCO=45°，‎ ‎∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，‎ ‎∴OC=OF，‎ ‎∵∠ACO=∠EOF=90°，‎ ‎∴△ACO≌△EOF，‎ ‎∴OE=AC，AO=EF，‎ ‎∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，‎ Rt△DEF中，EF＞DE=DC，‎ ‎∴AC2+OC2＞DC2，‎ 所以（1）中的结论②不成立；‎ ‎（3）如图3，结论：OC﹣CA=CD，‎ 理由是：连接AD，则AD=OD，‎ 同理：∠ADC=∠EDO，‎ ‎∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，‎ ‎∴∠CAB=∠AOC，‎ ‎∵∠DAB=∠AOD=45°，[来源:学科网]‎ ‎∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC，‎ 即∠DAC=∠DOE，‎ ‎∴△ACD≌△OED，‎ ‎∴AC=OE，CD=DE，‎ ‎∴△CDE是等腰直角三角形，‎ ‎∴CE2=2CD2，‎ ‎∴（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，‎ ‎∴OC﹣AC=CD，‎ 故答案为：OC﹣AC=CD．‎ ‎【点评】本题是几何变换的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、旋转的性质、勾股定理、四点共圆的性质等知识，并运用了类比的思想解决问题，有难度，尤其是第二问，结论不成立，要注意辅助线的作法；本题的2、3问能标准作图是关键．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2017•十堰）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．‎ ‎（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；‎ ‎（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；‎ ‎（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；‎ ‎（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；‎ ‎（3）设点P（0，y）．分两种情况：‎ ‎①当m＜0时，如图2，△POB∽△FGP，根据对应线段成比例即可求出m的取值范围；‎ ‎②当m＞0时，如图3，△POB∽△FGP，根据对应线段成比例即可求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），‎ 把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：‎ ‎，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；‎ 对称轴是：直线x=﹣1；‎ ‎（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），‎ 由题意得：AD=1+1=2，OC=3，‎ S△ACE=S△ACD=×AD•OC=×2×3=10，‎ 设直线AE的解析式为：y=kx+b，‎ 把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，‎ ‎∴F（0，﹣m﹣3），‎ ‎∵C（0，﹣3），‎ ‎∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，‎ ‎∴S△ACE=FC•（1﹣m）=10，‎ ‎﹣m（1﹣m）=20，‎ m2﹣m﹣20=0，‎ ‎（m+4）（m﹣5）=0，‎ m1=﹣4，m2=5（舍），‎ ‎∴E（﹣4，5）；‎ ‎（3）设点P（0，y）．‎ ‎①当m＜0时，‎ 如图2，△POB∽△FGP 得=‎ ‎∴m=y2+4y=（y+2）2﹣4‎ ‎∵﹣4＜y＜0，‎ ‎∴﹣4≤m＜0．‎ ‎②当m＞0时，‎ 如图3，△POB∽△FGP ‎∴=‎ ‎∴=‎ ‎∴m=﹣y2﹣4y=﹣（y+2）2+4‎ ‎∴﹣4＜y＜0‎ ‎∴0＜m≤4‎ 综上所述，m的取值范围是﹣4≤m≤4且m≠0．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、配方法求对称轴、等腰直角三角形的性质和判定、三角形面积的求法，及三角形全等的判定与性质．‎