山东省泰安市2020年中考数学试题

山东省泰安市2020年中考数学试题

参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A 泰安市2020年初中学业水平考试 数　学　试　题 本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页，共150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答．‎ ‎2．考试结束后，监考人员将本试题和答题卡一并收回．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 第Ⅰ卷(选择题　共48分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分)‎ ‎1．－的倒数是 A．－2　　　　　　 B．－　　　　　　 C．2　 　　　　　 D． ‎2．下列运算正确的是 A．3xy－xy＝2　 B．x3·x4＝x12　　 C．x－10÷x2＝x－5　　　 D．(－x3)2＝x6‎ ‎3．2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4 000亿元．把数据4 000亿元用科学记数法表示为 ‎(第4题)‎ A．4×1012元 　 B．4×1010 元 C．4×1011 元　　 D．40×109元 ‎4．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若 ‎∠1＝50°，则∠2等于 A．80°　　　　　 B．100°‎ C．110°　　　　　 D．120° 　‎ ‎5．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：‎ 册数/册 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 人数/人 ‎2‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎(第6题)‎ 根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是 A．3，3 B．3，7‎ C．2，7 D．7，3‎ ‎6．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB.则∠BAC等于 A．20° B．25°‎ C．30° D．50°‎ ‎7．将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是 ‎ A. －4，21 B. －4，11 C. 4，21 D．－8，69‎ ‎(第8题)‎ ‎8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，‎ 数学试题 第21页（共14页） 数学试题 第22页（14页）‎ AD是直径，AD＝8，则AC的长为 A．4 B．4 C． D．2 ‎9．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是 ‎　　　A.　　　　　　　　　B.　　　　　　　　　C.　　　　　　　　　D.‎ ‎(第10题)‎ ‎10．如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为 A．1cm B．cm C．(2－3)cm D．(2－)cm ‎(第11题)‎ ‎11．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点 O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：‎ ‎①DN＝BM；‎ ‎②EM∥FN；‎ ‎③AE＝FC；‎ ‎④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．‎ 其中，正确结论的个数是(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　(第12题)‎ ‎12．如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 A．＋1 B．＋ C．2＋1 D．2－ 第Ⅱ卷(非选择题　共102分)‎ 二、填空题(本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分)‎ ‎13．方程组的解是________________.‎ ‎(第14题)‎ ‎14．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，‎ 数学试题 第21页（共14页） 数学试题 第22页（14页）‎ 每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A(0，3)，B(－1，1)，C(3，1).△A′B′C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A′B′C′绕点B′逆时针旋转180°，点A′的对应点为M，则点M的坐标为____________.‎ ‎(第16题)‎ ‎　(第15题)‎ ‎15．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12∶5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移______________m时，才能确保山体不滑坡．(取tan50°＝1.2)‎ ‎16．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是________.‎ ‎17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：‎ x ‎－5‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎2‎ y ‎6‎ ‎0‎ ‎－6‎ ‎－4‎ ‎6‎ 下列结论：‎ ‎①a>0；‎ ‎②当x＝－2时，函数最小值为－6；‎ ‎③若点(－8，y1)，点(8，y2)在二次函数图象上，则y1＜y2；‎ ‎④方程ax2＋bx＋c＝－5有两个不相等的实数根．‎ 其中，正确结论的序号是______________.(把所有正确结论的序号都填上)‎ ‎(第18题)‎ ‎18．右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，......，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，......，第n个数记为an，则a4＋a200＝________.‎ 三、解答题(本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)‎ ‎19．(10分)‎ ‎(1)化简：(a－1＋)÷；‎ ‎(2)解不等式：－1<.‎ ‎20．(9分)‎ 如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(3，a)，‎ 点B(14－2a，2).‎ 数学试题 第21页（共14页） 数学试题 第22页（14页）‎ ‎(1)求反比例函数的表达式；‎ ‎(第20题)‎ ‎(2)若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的 对称点，求△ACD的面积．‎ ‎21．(11分)‎ 为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动(每人限报一项)，将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．‎ ‎　　　　　　‎ ‎　(第21题)‎ 根据统计图中的信息解答下列问题：‎ ‎(1)本次参加比赛的学生人数是________名；‎ ‎(2)把条形统计图补充完整；‎ ‎(3)求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；‎ ‎(4)在C组最优秀的3名同学(1名男生2名女生)和E组最优秀的3名同学(2名男生1名 女生)中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好 是1名男生1名女生的概率．‎ ‎22．(11分)‎ 中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化.2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4 000元购进了A种茶叶若干盒，用8 400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．‎ ‎(1)A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？‎ ‎(2)第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒(进价不变)，A种 茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为 庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5 800 元(不考虑其他因素)，求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？‎ ‎23．(12分)‎ 若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°.‎ ‎(1)如图(1)，点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；‎ ‎(2)如图(2)，若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD.‎ 求证：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC.‎ 数学试题 第21页（共14页） 数学试题 第22页（14页）‎ 图(1) 　　　　图(2)‎ ‎(第23题)‎ ‎24．(12分)‎ 小明将两个直角三角形纸片如图(1)那样拼放在同一平面上，抽象出如图(2)的平面图形，‎ ‎∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段 CE上一点．‎ 图(1) 图(2) 　　　　备用图 ‎(第24题)‎ 探究发现：‎ ‎(1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图(2))，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF.你 认为此结论是否成立？________.(填“是”或“否”)‎ 拓展延伸：‎ ‎(2)将(1)中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是 否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．‎ 问题解决：‎ ‎(3)若AB＝6，CE＝9，求AD的长．‎ ‎25．(13分)‎ 若一次函数y＝－3x－3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为(3，0)， 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A，B，C三点，如图(1).‎ ‎(1)求二次函数的表达式；‎ ‎(2)如图(1)，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上(y轴左侧)，若BC恰 好平分∠DBE.求直线BE的表达式；‎ ‎(3)如图(2)，若点P在抛物线上(点P在y轴右侧)，连接AP交BC于点F，连接BP，‎ S△BFP＝mS△BAF.‎ ‎①当m＝时，求点P的坐标；‎ ‎②求m的最大值．‎ 数学试题 第21页（共14页） 数学试题 第22页（14页）‎ 图(1) 　　　图(2)‎ ‎(第25题)‎ 数学试题 第21页（共14页） 数学试题 第22页（14页）‎ 泰安市2020年初中学业水平考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共12小题，每小题选对得4分，满分48分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C C A B A B C D D B 二、填空题(本大题共6小题，每小题填对得4分，满分24分)‎ ‎13. 　14.(－2，1)　 15.10　 16.π－8　 17.①③④　 18.20110‎ 三、解答题(本大题共7小题，满分78分)‎ ‎19．(10分)‎ ‎(1)解：(a－1＋)÷ ‎＝[＋]÷………………………………2分 ‎＝×……………………………………………3分 ‎＝………………………………………………………………4分 ‎＝………………………………………………………………………………5分 ‎(2)解：不等式两边都乘以12，得 ‎4(x＋1)－12<3(x－1)………………………………………………………………………2分 即4x＋4－12<3x－3‎ ‎4x－3x<8－3‎ 解得x<5……………………………………………………………………………………4分 ‎∴原不等式的解集是x<5.…………………………………………………………………5分 ‎20．(9分)‎ 解：(1)∵点A(3，a)，点B(14－2a，2)在反比例函数y＝的图象上，‎ ‎∴3×a＝(14－2a)×2.‎ 解得a＝4.…………………………………………………………………………………2分 ‎∴m＝3×4＝12.‎ ‎∴反比例函数的表达式是y＝.………………………………………………………3分 ‎(2)∵a＝4，‎ ‎∴点A，点B的坐标分别是(3，4)，(6，2).‎ ‎∵点A，点B在一次函数y＝kx＋b的图象上，‎ ‎∴……………………………………5分 解得 ‎∴一次函数的表达式是y＝－x＋6. ……………6分 当x＝0时，y＝6.‎ ‎∴点C的坐标是(0，6).‎ ‎∴OC＝6.‎ ‎∵点D是点C关于原点O的对称点，‎ ‎∴CD＝2OC.‎ 作AE⊥y轴于点E，‎ ‎∴AE＝3.………………………………………………………………………………8分 数学试题 第21页（共14页） 数学试题 第22页（14页）‎ S△ACD＝CD·AE＝CO·AE＝6×3‎ ‎＝18………………………………………………………………………………9分 ‎21．(11分)‎ ‎(1)80；…………………………………………………………………………………2分 ‎(2)‎ ‎………………………………4分 ‎(3)α＝×360°＝72°……………………………………………………………6分 ‎(4)列表如下：‎ ‎　　　 ‎ ‎……………………………………………………………………………8分 得到所有等可能的情况有9种，‎ 其中满足条件的有5种：(C女1，E男1)，(C女2，E男1)，(C女1，E男2)，(C 女2，E男2)，(C男，E女)………………………………………………………10分 所以所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率是.……………………11分 ‎22．(11分)‎ 解：(1)设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元．‎ 根据题意，得 ＋10＝.……………………………………………………………………………3分 解得x＝200.……………………………………………………………………………………5分 经检验：x＝200是原方程的根．‎ ‎∴1.4x＝1.4×200＝280(元).‎ ‎∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．…………………………………………6分 ‎(2)设第二次A种茶叶购进m盒，则B种茶叶购进(100－m)盒．‎ 打折前A种茶叶的利润为×100＝50m.‎ B种茶叶的利润为×120＝6 000－60m.‎ 打折后A种茶叶的利润为×10＝5m.‎ B种茶叶的利润为0.……………………………………………………………………………8分 由题意得：50m＋6 000－60m＋5m＝5 800.‎ 解方程，得：m＝40.…………………………………………………………………………10分 ‎∴100－m＝100－40＝60(盒).‎ ‎∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．…………………………………………11分 数学试题 第21页（共14页） 数学试题 第22页（14页）‎ ‎23．(12分)‎ ‎(1)证明：四边形BEAC是平行四边形．……………………………………………………1分 理由如下：‎ 图(1)‎ ‎∵△EAD为等腰三角形且∠EAD＝90°，‎ ‎∴∠E＝45°.‎ ‎∵B是DE的中点，‎ ‎∴AB⊥DE.‎ ‎∴∠BAE＝45°.…………………………………………1分 ‎∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠CBA＝45°.‎ ‎∴∠BAE＝∠CBA.‎ ‎∴BC∥EA.………………………………………………………………………………………2分 又∵AB⊥DE，‎ ‎∴∠EBA＝∠BAC＝90°.‎ ‎∴BE∥AC.…………………………………………………………………………………3分 ‎∴四边形BEAC是平行四边形．…………………………………………………………4分 ‎(2)证明：①∵△AED和△ABC为等腰三角形，‎ ‎∴AE＝AD，AB＝AC.‎ ‎∵∠EAD＝∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠EAD＋∠DAB＝∠BAC＋∠DAB.‎ 即∠EAB＝∠DAC.………………………………5分 ‎∴△AEB≌△ADC.………………………………6分 ‎∴EB＝DC.………………………………………7分 ‎②延长FG至点H，使GH＝FG.………………8分 ‎∵G是EC中点，‎ ‎∴EG＝CG.‎ 又∠EGH＝∠FGC，‎ ‎∴△EHG≌△CFG.………………………………9分 ‎∴∠BFC＝∠H，CF＝EH.……………………10分 ‎∵CF＝CD，‎ ‎∴BE＝CF.‎ ‎∴BE＝EH.‎ ‎∴∠EBG＝∠H.…………………………………………………………………………11分 ‎∴∠EBG＝∠BFC.………………………………………………………………………12分 ‎24．(12分)‎ 解：(1)是…………………………………………………………………………………1分 ‎(2)结论成立．‎ 理由如下：‎ ‎∵BD⊥DF，ED⊥AD，‎ ‎∴∠BDC＋∠CDF＝90°，∠EDF＋∠CDF＝90°.‎ ‎∴∠BDC＝∠EDF.…………………………………………3分 ‎∵AB＝BD，‎ ‎∴∠A＝∠BDC.‎ 数学试题 第21页（共14页） 数学试题 第22页（14页）‎ ‎∴∠A＝∠EDF.‎ 又∵∠A＝∠E，‎ ‎∴∠E＝∠EDF.‎ ‎∴EF＝FD.…………………………………………………………………………………5分 又∠E＋∠ECD＝90°，‎ ‎∴∠ECD＝∠CDF.‎ ‎∴CF＝DF.‎ ‎∴CF＝EF.‎ ‎∴F为CE的中点．……………………………………………………………………………7分 ‎(3)在备用图中，设G为EC的中点，则DG⊥BD.‎ ‎∴GD＝EC＝.………………………………………………………………………………8分 又BD＝AB＝6，‎ 在Rt△GDB中，GB＝＝ ‎∴CB＝－＝3……………………………………………9分 在Rt△ABC中，AC＝＝3.‎ 由条件得：△ABC∽△EDC.…………………………………10分 ‎∴＝.…………………………………………………11分 ‎∴CD＝.‎ ‎∴AD＝AC＋CD＝3＋＝.……………………………………………………12分 图(1)‎ ‎25．(13分)‎ ‎(1)解：令－3x－3＝0，得x＝－1.令x＝0时，y＝－3.‎ ‎∴A(－1，0)，C(0，－3).‎ ‎∵抛物线过点C(0，－3)，‎ ‎∴c＝－3.…………………………………………2分 则y＝ax2＋bx－3，将A(－1，0)，B(3，0)代入 得 解得 ‎∴二次函数表达式为y＝x2－2x－3.……………………………………………………………3分 ‎(2)解：设BE交OC于点M.‎ ‎∵B(3，0)，C(0，－3)，‎ ‎∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝45°.‎ ‎∵CD∥AB，‎ 图(2)‎ ‎∴∠BCD＝45°.‎ ‎∴∠OCB＝∠BCD.‎ ‎∵BC平分∠DBE，‎ ‎∴∠EBC＝∠DBC.………………………………5分 又∵BC＝BC，‎ 数学试题 第21页（共14页） 数学试题 第22页（14页）‎ ‎∴△MBC≌△DBC.………………………………6分 ‎∴CM＝CD.‎ 由条件得：D(2，－3).‎ ‎∴CD＝CM＝2.‎ ‎∴OM＝3－2－1.‎ ‎∴M(0，－1).………………………………………………………………………………7分 ‎∵B(3，0)，‎ ‎∴直线BE解析式为y＝x－1.…………………………………………………………8分 ‎(3)①∵S△BFP＝S△BAF，‎ ‎∴PF＝AF.‎ 过点P作PN∥AB交BC于点N，则△ABF∽△PNF.‎ ‎∴AB＝2NP.‎ ‎∵AB＝4，‎ ‎∴NP＝2.…………………………………………………………………………………10分 ‎∵直线BC的表达式为y＝x－3，‎ 设P(t，t2－2t－3)，‎ ‎∴t2－2t－3＝xN－3.‎ ‎∴xN＝t2－2t.‎ ‎∴PN＝t－(t2－2t)，则t－(t2－2t)＝2，解得t1＝2，t2＝1.‎ ‎∴点P(2，－3)或P(1，－4).……………………………………………………………11分 ‎②由①得：m＝.………………………………………………………………………12分 ‎∴m＝＝＝＝×[－(t－)2＋]＝－(t－)2＋.‎ ‎∴m有最大值，m最大值＝.……………………………………………………………13分 数学试题 第21页（共14页） 数学试题 第22页（14页）‎