2018年四川省攀枝花市中考数学试卷

2018年四川省攀枝花市中考数学试卷

‎2018年四川省攀枝花市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ‎1．（3分）下列实数中，无理数是（　　）‎ A．0 B．﹣2 C． D．‎ ‎2．（3分）下列运算结果是a5的是（　　）‎ A．a10÷a2 B．（a2）3 C．（﹣a）5 D．a3•a2‎ ‎3．（3分）如图，实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（　　）‎ A．点M B．点N C．点P D．点Q ‎4．（3分）如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（　　）‎ A．30° B．15° C．10° D．20°‎ ‎5．（3分）下列平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）‎ A．菱形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形 ‎6．（3分）抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（　　）‎ A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，3）‎ ‎7．（3分）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎8．（3分）布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（3分）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：‎ ‎①四边形AECF为平行四边形；‎ ‎②∠PBA=∠APQ；‎ ‎③△FPC为等腰三角形；‎ ‎④△APB≌△EPC．‎ 其中正确结论的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．‎ ‎11．（4分）分解因式：x3y﹣2x2y+xy=　 　．‎ ‎12．（4分）如果a+b=2，那么代数式（a﹣）÷的值是　 　．‎ ‎13．（4分）样本数据1，2，3，4，5．则这个样本的方差是　 　．‎ ‎14．（4分）关于x的不等式﹣1＜x≤a有3个正整数解，则a的取值范围是　 　．‎ ‎15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为　 　．‎ ‎16．（4分）如图，已知点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，作Rt△ABC，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连结DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为4，则k=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（6分）解方程：﹣=1．‎ ‎18．（6分）某校为了预测本校九年级男生毕业体育测试达标情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分50分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）分成四类：A类（45＜m≤50），B类（40＜m≤45），C类（35＜m≤40），D类（m≤35）绘制出如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）求本次抽取的样本容量和扇形统计图中A类所对的圆心角的度数；‎ ‎（2）若该校九年级男生有500名，D类为测试成绩不达标，请估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多少名？‎ ‎19．（6分）攀枝花市出租车的收费标准是：起步价5元（即行驶距离不超过2千米都需付5元车费），超过2千米以后，每增加1千米，加收1.8元（不足1千米按1千米计）．某同学从家乘出租车到学校，付了车费24.8元．求该同学的家到学校的距离在什么范围？‎ ‎20．（8分）已知△ABC中，∠A=90°．‎ ‎（1）请在图1中作出BC边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）如图2，设BC边上的中线为AD，求证：BC=2AD．‎ ‎21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB═，反比例函数y=的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）求直线EB的解析式；‎ ‎（3）求S△OEB．‎ ‎22．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．‎ ‎（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；‎ ‎（2）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（3）求证：∠EDF=∠DAC．‎ ‎23．（12分）如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．‎ ‎（1）求cosA的值；‎ ‎（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=S△QCN时，求t的值；‎ ‎（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．‎ ‎24．（12分）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；‎ ‎①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；‎ ‎②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2018年四川省攀枝花市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ‎1．（3分）下列实数中，无理数是（　　）‎ A．0 B．﹣2 C． D．‎ ‎【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．‎ ‎【解答】解：0，﹣2，是有理数，‎ 是无理数，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）下列运算结果是a5的是（　　）‎ A．a10÷a2 B．（a2）3 C．（﹣a）5 D．a3•a2‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方计算判断即可．‎ ‎【解答】解：A、a10÷a2=a8，错误；‎ B、（a2）3=a6，错误；‎ C、（﹣a）5=﹣a5，错误；‎ D、a3•a2=a5，正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）如图，实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（　　）‎ A．点M B．点N C．点P D．点Q ‎【分析】‎ 先相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定绝对值最大的数即可解答．‎ ‎【解答】解：∵实数﹣3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，‎ ‎∴原点在点M与N之间，‎ ‎∴这四个数中绝对值最小的数对应的点是点N，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（　　）‎ A．30° B．15° C．10° D．20°‎ ‎【分析】由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，‎ ‎∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴∠ACD=180°﹣120°=60°，‎ ‎∴∠2=∠ACD﹣∠ACB=60°﹣45°=15°；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）下列平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）‎ A．菱形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形 ‎【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：A、菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；‎ B、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；‎ C、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；‎ D、等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（　　）‎ A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，3）‎ ‎【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．‎ ‎【解答】解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，‎ ‎∴顶点坐标为（1，1）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】直接利用第二象限横纵坐标的关系得出a，b的符号，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵点A（a+1，b﹣2）在第二象限，‎ ‎∴a+1＜0，b﹣2＞0，‎ 解得：a＜﹣1，b＞2，‎ 则﹣a＞1，1﹣b＜﹣1，‎ 故点B（﹣a，1﹣b）在第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ 则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，‎ ‎∴两次都摸到白球的概率为，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】‎ 利用相似三角形的性质与判定得出y与x之间的函数关系式进而得出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥y轴于点D，‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∴∠DAC+∠OAB=90°，‎ ‎∵∠DCA+∠DAC=90°，‎ ‎∴∠DCA=∠OAB，‎ 又∵∠CDA=∠AOB=90°，‎ ‎∴△CDA∽△AOB，‎ ‎∴===tan30°，‎ 则=，‎ 故y=x+1（x＞0），‎ 则选项C符合题意．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：‎ ‎①四边形AECF为平行四边形；‎ ‎②∠PBA=∠APQ；‎ ‎③△FPC为等腰三角形；‎ ‎④△APB≌△EPC．‎ 其中正确结论的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】①根据三角形内角和为180°易证∠PAB+∠PBA=90°，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；‎ ‎②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC=90°，由正方形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；‎ ‎③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形；‎ ‎④当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题．‎ ‎【解答】解：①如图，EC，BP交于点G；‎ ‎∵点P是点B关于直线EC的对称点，‎ ‎∴EC垂直平分BP，‎ ‎∴EP=EB，‎ ‎∴∠EBP=∠EPB，‎ ‎∵点E为AB中点，‎ ‎∴AE=EB，‎ ‎∴AE=EP，‎ ‎∴∠PAB=∠PBA，‎ ‎∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，‎ ‎∴∠PAB+∠PBA=90°，‎ ‎∴AP⊥BP，‎ ‎∴AF∥EC；‎ ‎∵AE∥CF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ 故①正确；‎ ‎②∵∠APB=90°，‎ ‎∴∠APQ+∠BPC=90°，‎ 由折叠得：BC=PC，‎ ‎∴∠BPC=∠PBC，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，‎ ‎∴∠ABP=∠APQ，‎ 故②正确；‎ ‎③∵AF∥EC，‎ ‎∴∠FPC=∠PCE=∠BCE，‎ ‎∵∠PFC是钝角，‎ 当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，‎ 如右图，△PCF不一定是等腰三角形，‎ 故③不正确；‎ ‎④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，‎ ‎∴Rt△EPC≌△FDA（HL），‎ ‎∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，‎ 当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，‎ ‎∴△APB≌△EPC，‎ 故④不正确；‎ 其中正确结论有①②，2个，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．‎ ‎11．（4分）分解因式：x3y﹣2x2y+xy=　xy（x﹣1）2　．‎ ‎【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式=xy（x2﹣2x+1）=xy（x﹣1）2．‎ 故答案为：xy（x﹣1）2‎ ‎　‎ ‎12．（4分）如果a+b=2，那么代数式（a﹣）÷的值是　2　．‎ ‎【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：当a+b=2时，‎ 原式=•‎ ‎=•‎ ‎=a+b ‎=2‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎13．（4分）样本数据1，2，3，4，5．则这个样本的方差是　2　．‎ ‎【分析】先平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可．‎ ‎【解答】解：∵1、2、3、4、5的平均数是（1+2+3+4+5）÷5=3，‎ ‎∴这个样本方差为s2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）‎ ‎2]=2；‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）关于x的不等式﹣1＜x≤a有3个正整数解，则a的取值范围是　3≤a＜4　．‎ ‎【分析】根据不等式的正整数解为1，2，3，即可确定出正整数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵不等式﹣1＜x≤a有3个正整数解，‎ ‎∴这3个整数解为1、2、3，‎ 则3≤a＜4，‎ 故答案为：3≤a＜4．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为　4　．‎ ‎【分析】首先由S△PAB=S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．‎ ‎【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．‎ ‎∵S△PAB=S矩形ABCD，‎ ‎∴AB•h=AB•AD，‎ ‎∴h=AD=2，‎ ‎∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．‎ 在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，‎ ‎∴BE===4，‎ 即PA+PB的最小值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）如图，已知点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，作Rt△ABC，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连结DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为4，则k=　8　．‎ ‎【分析】先根据题意证明△BOE∽△CBA，根据相似比及面积公式得出BO×AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值．‎ ‎【解答】解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，‎ ‎∴BD=DC，∠DBC=∠ACB，‎ 又∠DBC=∠EBO，‎ ‎∴∠EBO=∠ACB，‎ 又∠BOE=∠CBA=90°，‎ ‎∴△BOE∽△CBA，‎ ‎∴，即BC×OE=BO×AB．‎ 又∵S△BEC=4，‎ ‎∴BC•EO=4，‎ 即BC×OE=8=BO×AB=|k|．‎ ‎∵反比例函数图象在第一象限，k＞0．‎ ‎∴k=8．‎ 故答案是：8．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（6分）解方程：﹣=1．‎ ‎【分析】方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数6，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上．‎ ‎【解答】解：去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）=6，‎ 去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2=6，‎ 移项得：﹣x=17，‎ 系数化为1得：x=﹣17．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）某校为了预测本校九年级男生毕业体育测试达标情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分50分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）分成四类：A类（45＜m≤50），B类（40＜m≤45），C类（35＜m≤40），D类（m≤35）绘制出如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）求本次抽取的样本容量和扇形统计图中A类所对的圆心角的度数；‎ ‎（2）若该校九年级男生有500名，D类为测试成绩不达标，请估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多少名？‎ ‎【分析】（1）用A类别人数除以其所占百分比可得样本容量，再用360°乘以A类别百分比可得其所对圆心角度数；‎ ‎（2）用总人数乘以样本中达标人数所占百分比可得．‎ ‎【解答】解：（1）本次抽取的样本容量为10÷20%=50，扇形统计图中A类所对的圆心角的度数为360°×20%=72°；‎ ‎（2）估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有500×（1﹣）=470名．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）攀枝花市出租车的收费标准是：起步价5元（即行驶距离不超过2千米都需付5元车费），超过2千米以后，每增加1千米，加收1.8元（不足1千米按1千米计）．某同学从家乘出租车到学校，付了车费24.8元．求该同学的家到学校的距离在什么范围？‎ ‎【分析】已知该同学的家到学校共需支付车费24.8元，从同学的家到学校的距离为x千米，首先去掉前2千米的费用，从而根据题意列出不等式，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：设该同学的家到学校的距离是x千米，依题意：‎ ‎24.8﹣1.8＜5+1.8（x﹣2）≤24.8，‎ 解得：12＜x≤13．‎ 故该同学的家到学校的距离在大于12小于等于13的范围．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）已知△ABC中，∠A=90°．‎ ‎（1）请在图1中作出BC边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）如图2，设BC边上的中线为AD，求证：BC=2AD．‎ ‎【分析】（1）如图1，作BC的垂直平分线得到BC的中点D，从而得到BC边上的中线AD；‎ ‎（2）延长AD到E，使ED=AD，连接EB、EC，如图2，通过证明四边形ABEC为矩形得到AE=BC，从而得到BC=2AD．‎ ‎【解答】（1）解：如图1，AD为所作；‎ ‎（2）证明：延长AD到E，使ED=AD，连接EB、EC，如图2，‎ ‎∵CD=BD，AD=ED，‎ ‎∴四边形ABEC为平行四边形，‎ ‎∵∠CAB=90°，‎ ‎∴四边形ABEC为矩形，‎ ‎∴AE=BC，‎ ‎∴BC=2AD．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB═，反比例函数y=的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）求直线EB的解析式；‎ ‎（3）求S△OEB．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）根据点A的坐标可求得直线OA的解析式，联立直线OA和反比例函数解析式列方程组可得点E的坐标，再利用待定系数法求BE的解析式；‎ ‎（3）根据三角形的面积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴，‎ ‎∴AB=6，‎ ‎∵cos∠OAB═=，‎ ‎∴，‎ ‎∴OA=10，‎ 由勾股定理得：OB=8，‎ ‎∴A（8，6），‎ ‎∴D（8，），‎ ‎∵点D在反比例函数的图象上，‎ ‎∴k=8×=12，‎ ‎∴反比例函数的解析式为：y=；‎ ‎（2）设直线OA的解析式为：y=bx，‎ ‎∵A（8，6），‎ ‎∴8b=6，b=，‎ ‎∴直线OA的解析式为：y=x，‎ 则，‎ x=±4，‎ ‎∴E（﹣4，﹣3），‎ 设直线BE的解式为：y=mx+n，‎ 把B（8，0），E（﹣4，﹣3）代入得：，‎ 解得：，‎ ‎∴直线BE的解式为：y=x﹣2；‎ ‎（3）S△OEB=OB•|yE|=×8×3=12．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．‎ ‎（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；‎ ‎（2）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（3）求证：∠EDF=∠DAC．‎ ‎【分析】（1）连接OE，过O作OM⊥AC于M，求出AE、OM的长和∠AOE的度数，分别求出△AOE和扇形AOE的面积，即可求出答案；‎ ‎（2）连接OD，求出OD⊥DF，根据切线的判定求出即可；‎ ‎（3）连接BE，求出∠FDC=∠EBC，∠FDC=∠EDF，即可求出答案．‎ ‎【解答】（1）解：‎ 连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°，‎ ‎∵DF⊥AC，‎ ‎∴∠DFC=90°，‎ ‎∵∠FDC=15°，‎ ‎∴∠C=180°﹣90°﹣15°=75°，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠C=75°，‎ ‎∴∠BAC=180°﹣∠ABC∠C=30°，‎ ‎∴OM=OA==，AM=OM=，‎ ‎∵OA=OE，OM⊥AC，‎ ‎∴AE=2AM=3，‎ ‎∴∠BAC=∠AEO=30°，‎ ‎∴∠AOE=180°﹣30°﹣30°=120°，‎ ‎∴阴影部分的面积S=S扇形AOE﹣S△AOE=﹣=3π﹣；‎ ‎（2）证明：连接OD，‎ ‎∵AB=AC，OB=OD，‎ ‎∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，‎ ‎∴∠ODB=∠C，‎ ‎∴AC∥OD，‎ ‎∵DF⊥AC，‎ ‎∴DF⊥OD，‎ ‎∵OD过O，‎ ‎∴DF是⊙O的切线；‎ ‎（3）证明：连接BE，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB=90°，‎ ‎∴BE⊥AC，‎ ‎∵DF⊥AC，‎ ‎∴BE∥DF，‎ ‎∴∠FDC=∠EBC，‎ ‎∵∠EBC=∠DAC，‎ ‎∴∠FDC=∠DAC，‎ ‎∵A、B、D、E四点共圆，‎ ‎∴∠DEF=∠ABC，‎ ‎∵∠ABC=∠C，‎ ‎∴∠DEC=∠C，‎ ‎∵DF⊥AC，‎ ‎∴∠EDF=∠FDC，‎ ‎∴∠EDF=∠DAC．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．‎ ‎（1）求cosA的值；‎ ‎（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=S△QCN时，求t的值；‎ ‎（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．‎ ‎【分析】（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；‎ ‎（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=S△QCN构建方程即可解决问题；‎ ‎（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．‎ ‎∵S△ABC=•AC•BE=，‎ ‎∴BE=，‎ 在Rt△ABE中，AE==6，‎ ‎∴coaA===．‎ ‎（2）如图2中，作PH⊥AC于H．‎ ‎∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t，‎ ‎∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9﹣9t）2，‎ ‎∵S△PQM=S△QCN，‎ ‎∴•PQ2=וCQ2，‎ ‎∴9t2+（9﹣9t）2=×（5t）2，‎ 整理得：5t2﹣18t+9=0，‎ 解得t=3（舍弃）或．‎ ‎∴当t=时，满足S△PQM=S△QCN．‎ ‎（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．‎ 易知：PM∥AC，‎ ‎∴∠MPQ=∠PQH=60°，‎ ‎∴PH=HQ，‎ ‎∴3t=（9﹣9t），‎ ‎∴t=．‎ ‎②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．‎ 同法可得PH=QH，‎ ‎∴3t=（9t﹣9），‎ ‎∴t=，‎ 综上所述，当t=s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；‎ ‎①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；‎ ‎②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）应用对称轴方程、根与系数关系求b，c ‎（2）①设出点P坐标表示△BDF面积，求最大值；‎ ‎②利用勾股定理逆定理，证明∠BDC=90°，则QC⊥y轴，问题可解．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1‎ ‎∴﹣‎ ‎∴b=2‎ 由一元二次方程根与系数关系：‎ x1+x2=﹣，x1x2=‎ ‎∴+==﹣‎ ‎∴﹣‎ 则c=﹣3‎ ‎∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3‎ ‎（2）由（1）点D坐标为（1，﹣4）‎ 当y=0时，x2﹣2x﹣3=0‎ 解得x1=﹣1，x2=3‎ ‎∴点B坐标为（3，0）‎ ‎①设点F坐标为（a，b）‎ ‎∴△BDF的面积S=×（4﹣b）（a﹣1）+（﹣b）（3﹣a）﹣×2×4‎ 整理的S=2a﹣b﹣6‎ ‎∵b=a2﹣2a﹣3‎ ‎∴S=2a﹣（a2﹣2a﹣3）﹣6=﹣a2+4a﹣3‎ ‎∵a=﹣1＜0‎ ‎∴当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1‎ ‎②存在 由已知点D坐标为（1，﹣4），点B坐标为（3，0）‎ ‎∴直线BD解析式为：y=2x﹣6‎ 则点E坐标为（0，﹣6）‎ 连BC、CD，则由勾股定理 CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18‎ CD2=12+（﹣4+3）2=2‎ BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20‎ ‎∴CB2+CD2=BD2‎ ‎∴∠BDC=90°‎ ‎∵∠BDC=∠QCE ‎∴∠QCE=90°‎ ‎∴点Q纵坐标为﹣3‎ 代入﹣3=2x﹣6‎ ‎∴x=‎ ‎∴存在点Q坐标为（，﹣3）‎ ‎　‎